авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Наталья геннадьевна   задачи теории потенциала и фигуры равновесия небесных тел

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

    Трубицына Наталья Геннадьевна   ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА И ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ Специальность 01.03.01 – астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» г. Ижевск

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Кондратьев Борис Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Надежда Алексеевна Чуйкова, Московский государственный университет (ГАИШ) кандидат физико-математических наук Леонид Петрович Осипков, Санкт-Петербургский государственный университет

Ведущая организация:

Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН

Защита состоится «19» октября 2010 г. в 17-00 на заседании совета Д 212.232. по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. 2143 (Математико-механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан « » 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Орлов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы Нахождение силовых полей для тел разной формы и концентрации веще ства или заряда, когда отдельные частицы в них взаимодействуют по закону об ратных квадратов, является важной и актуальной задачей в теоретической ас трономии и физике. Стремительное развитие современной небесной механики ставит перед специалистами в области теоретической астрономии актуальные задачи по созданию новых методов в теории потенциала, которые позволили бы, в частности, расширить список тел с известным потенциалом. Большой теорети ческий и практический интерес представляет, например, нахождение простран ственного потенциала слоисто-неоднородного эллипсоида и потенциала круго вого тора. Новым и перспективным для решения большого класса задач является общий метод эквигравитирующих элементов и метод представления потенциала рядом Лапласа. Однако даже сама постановка проблемы эквигравитирующих элементов требует развития специальных математических методов.

В последние годы заметно усилился интерес к развитию классической теории фигур равновесия и построению моделей газопылевых облаков, звезд и галактик, находящихся во внешних силовых полях. В частности, это связано с необходимостью построения фигур равновесия многочисленного класса глобул.

Актуальным также является изучение фигур равновесия небесных тел, располо женных внутри кольцевых структур. Построение динамических моделей таких конфигураций представляет не только самостоятельный интерес в виду много численных практических приложений в астрономии, но и заметным образом стимулирует фундаментальные исследования в области ньютоновского потен циал и теории фигур равновесия.

  Цель работы Диссертация посвящена решению шести задач, важных для развития тео рии потенциала и теории фигур равновесия.

1. В первой главе диссертации, следуя работам [1;

2;

3], излагается прямой метод нахождения логарифмических потенциалов однородных двумерных тел и этим методом находится внутренний потенциал однородного гравитирующего цилиндра с лемнискатным сечением. Основное внимание в этой задаче уделяет ся получению потенциала данного цилиндра в конечной аналитической форме и нахождению семейства эквипотенциалей.

2. Во второй главе диссертации, опираясь на работы [2;

4;

5], находится внешний пространственный гравитационный потенциал однородного кругового тора через известную из [3] систему пяти эквигравитирующих элементов. Для решения этой сложной задачи применяются методы теории функций комплекс ного переменного.

3. В третьей главе диссертации внешний потенциал однородного кругово го тора представлен рядом Лапласа [6] по отрицательным степеням радиус вектора пробной точки. Главной целью является нахождение коэффициентов и радиуса сходимости этого ряда.

4. В четвертой главе диссертации решена задача о разложении в ряд Лап ласа «внутреннего» потенциала однородного кругового тора [7] по положитель ным степеням радиус-вектора пробной точки. Как и в третьей главе, акцент де лается на нахождении точных аналитических формул для коэффициентов тако го ряда и определении его радиуса сходимости.

5. В пятой главе в эллипсоидальном приближении изучаются фигуры рав новесия газопылевых туманностей в Галактике и в других гравитационных по лях [8]. Целью является построение моделей равновесных глобул. Учитывается собственная гравитация глобул, их вращение и в приливном приближении гра   витационное поле внешней звездной системы. Математические модели построе ны как для фигур относительного равновесия, так и для фигур с внутренними течениями.

6. В шестой главе поставлена и решена задача о влиянии колец на фигуру равновесия вращающегося центрального тела, когда внутренний потенциал кольца в приливном приближении можно представить квадратичной функцией от координат пробной точки [9]. Стимулом к этой работе является существова ние реальных астрофизических объектов с кольцами.



Научная новизна работы 1. Впервые в конечном аналитическом виде через элементарные функции найден внутренний гравитационный потенциал однородного цилиндра с лемни скатным сечением. Это позволило изучить эквипотенциали и доказать, что они образуют два семейства кривых, разделенных сепаратрисой с нулевым потен циалом на ней. Внутри сепаратрисы потенциал всюду имеет положительное значение и достигает максимума в точке на оси симметрии фигуры. Вне сепа ратрисы эквипотенциали оказываются разомкнутыми и потенциал на них всюду отрицательный. Решение данной задачи раскрывает широкие возможности прямого метода нахождения логарифмических потенциалов двумерных тел.

2. Через эквигравитирующие элементы впервые найден пространственный внешний гравитационный потенциал кругового тора. Проведена всесторонняя теоретическая и численная проверка результатов. По найденной формуле рас считано семейство эквипотенциалей тора. Тем самым доказана практическая значимость метода нахождения потенциала тора через эквигравитирующие эле менты.

3 - 4. Внешний и «внутренний» потенциал однородного кругового тора представлен рядом Лапласа. Впервые в точном аналитическом виде получены коэффициенты этих рядов. Для внешнего потенциала тора коэффициенты ряда   выражаются через полиномы Лежандра, а для «внутреннего» потенциала – через гипергеометрическую функцию Гаусса. В обоих случаях коэффициенты зависят только от геометрического параметра тора. Доказана сходимость данных рядов и в обоих случаях найдены их радиусы сходимости. Тем самым, дан эффектив ный метод расчета потенциалов тора. Обнаружен зазор (сферическая оболочка), где задача о представлении потенциала тора в виде степенного ряда должна ре шаться в особом порядке.

5. Выведена и решена система уравнений гидродинамики, описывающая фигуры равновесия газопылевых туманностей в гравитационном поле Галактики и в других гравитационных полях. Фигуры равновесия глобул могут включать в себя внутренние течения с однородным вихрем. Найдено обобщенное выраже ние для классического приливного предела. Эти результаты расширяют теорию классических жидких эллипсоидов Римана и фигур Роша.

6. В приливном приближении рассмотрена фигура равновесия сфероида Маклорена, находящаяся внутри гравитирующего кольца или тора. В этой зада че получена общая формула для поправки к угловой скорости сфероида от воз мущений внешнего кольца или тора. Тем самым дано обобщение теории класси ческого сфероида Маклорена.

Практическая значимость работы 1. В задаче о потенциале цилиндра раскрыты широкие возможности ана литического прямого метода нахождения логарифмических потенциалов дву мерных тел. Получен потенциал однородного цилиндра с лемнискатным сече нием и расширен список тел, для которых потенциал известен в конечном ана литическом виде. Найдены сложные определенные интегралы, отсутствующие в справочниках. Изучено силовое поле внутри гравитирующего цилиндра и по строены его эквипотенциали, образующие два семейства кривых, разделенных сепаратрисой. Внутри сепаратрисы потенциал имеет положительное значение и   достигает максимума на оси симметрии фигуры. Вне сепаратрисы эквипотен циали разомкнуты и потенциал на них всюду отрицательный. Изучение потен циала цилиндра открывает возможность исследовать устойчивость вытянутого тела относительно разбиения на сгустки.

2. Знание пространственного потенциала тора имеет большое практиче ское значение в астрономии и позволяет изучать влияние гравитирующих коль цевых и тороидальных структур на форму планет, звезд и галактик. Проверка показала корректность найденного внешнего потенциала тора, что подтверждает эффективность метода эквигравитирующих элементов. Знание гравитационного потенциала тора позволяет также ставить задачи по изучению орбит звезд на по верхности и внутри тора.





3-4. Представление внешнего и «внутреннего» потенциалов тора в виде ряда Лапласа дает весьма эффективный на практике метод вычисления потен циала в любой заданной точке вне вещества этой фигуры. Данные ряды быстро сходятся и дают результат с требуемой для каждой конкретной задачи точно стью. Полученное выражение ряда Лапласа для «внутреннего» потенциала тора используется, в частности, при нахождении приливного влияния внешнего тора на внутреннюю фигуру равновесия.

5. Полученная нами полная система уравнений для фигур относительного равновесия и фигур с внутренним полем скоростей позволяет описывать форму и пространственное расположение глобул и плотных газопылевых туманностей в Галактике.

6. Разработана модель приливного влияния колец на внутреннюю фигуру равновесия вращающегося астрофизического объекта. Рассмотрены три модели колец, имеющих важное практическое значение. Выявлены случаи, когда влия ние колец на форму звезды или галактики является существенным и сравнимым с эффектом вращения тела. Ярким примером является звезда WOH G64 в БМО (красный сверхгигант), для которой относительная поправка квадрата угловой   скорости которой равна 18%. Заметное влияние оказывает гравитирующее пы левое кольцо и на галактику SO+ M 104 (NGC 4594) «Сомбреро».

Апробация работы Основные результаты диссертации регулярно докладывались на научных семинарах кафедры Астрономии и механики УдГУ, на семинарах ГАИШ (МГУ) и кафедры небесной механики СПбГУ, а также на следующих конференциях:

1. Международная конференция “Новые результаты аналитической и качест венной небесной механики”, Москва, 2000.

2. Всероссийская астрономическая конференция, С.-Петербургский государ ственный университет, 2001.

3. 5-ая Российская университетско-академическая научно-практическая кон ференция ЕГНОК, УдГУ, Ижевск, 2001 г.

4. 6-ая Российская университетско-академическая научно-практическая кон ференция ЕГНОК, УдГУ, Ижевск, 2002 г.

5. Международная конференция: Порядок и хаос в звездных и планетных системах, С.-Петербургский государственный университет, 2003.

6. Восьмой съезд Астрономического общества и Международный симпозиум АСТРОНОМИЯ-2005, Москва, ГАИШ, 2005.

7. XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информати ки, физики и химии, Москва, РУДН, 2010.

Результаты, выносимые на защиту

1. Прямой метод нахождения логарифмических потенциалов двумерных тел, с помощью которого в конечном виде через элементарные функции полу чен внутренний потенциал однородного гравитирующего цилиндра с лем нискатным сечением.

2. Новым методом, через систему эквигравитирующих элементов получено выражение гравитационного потенциала однородного кругового тора в произвольной внешней точке пространства. Рассчитано семейство эквипо тенциалей.

  3. «Внутренний» и внешний потенциал однородного кругового тора пред ставлен рядами Лапласа. Впервые в точном аналитическом виде получены коэффициенты этих рядов. Доказана сходимость рядов Лапласа и в обоих случаях найдены их радиусы сходимости.

4. Выведена и решена полная система уравнений гидродинамики, описы вающая фигуры равновесия газопылевых туманностей в гравитационном поле Галактики. Построены модели для фигур относительного равновесия глобул и фигур с внутренними течениями. Классический приливной пре дел Роша обобщен на случай нахождения пробного тела внутри Галакти ки.

5. Построена модель, где в приливном приближении учитывается влияние внешних материальных колец или тора на центральную фигуру равнове сия. Дана формула для поправки к угловой скорости сфероида Маклорена, расположенного внутри кольцевых структур.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка лите ратуры. Содержит 21 рисунок. Объем работы составляет 117 страниц. Список литературы включает 58 наименований.

Краткое содержание диссертационной работы В первой главе диссертации, следуя работам [1;

2;

3], излагается прямой метод в теории потенциала, и находится внутренний потенциал однородного гравитирующего цилиндра с лемнискатным сечением.

Дан гравитирующий однородный двумерный цилиндр с лемнискатным сечением. После преобразований основной формулы логарифмического потен циала цилиндра 2H x1 x1 x2 x2, x1, x2 2G x ln 2 dx1dx2, D (1) D S задача сводится к вычислению сложных определенных интегралов вида   z aei cos sin d, R2 ln (2) z aei cos cos отсутствующих в справочниках. У нас предложен метод взятия таких интегра лов, основанный на разделении корней полинома в знаменателе подынтеграль ного выражения на вещественные и комплексные.

В итоге, внутренний потенциал цилиндра с лемнискатным сечением был найден через элементарные функции:

2eH 1 b2 p b1 b2 ln ln 2G a 2 a 2 (3) a2 a1 2 b 2 p 2 a2 2 b2 1.

4 2 2 Здесь b x1 и p x2 нормированные координаты испытуемой точки, a a а вспомогательные функции 1, 2, 1, 2 имеют вид uv v u 1, 2 ;

(4) 4q sin 4q sin 1 q q 2 2q cos 1 q, 1. (5) 3 3 8C1q q cos 8C1qq cos sin sin 2 2 В формулах (4) q 2 2q cos u sin ln, 2 q 2q cos (6) 1 q cos 1 q cos 2 arcrg v 2cos arcrg.

2 q sin q sin 2 Здесь, в свою очередь,   a2 a q 4 b2, cos 22 1, (7) 2 b2 2q Q 4Q W 2 E 4Q W a2, b2, (8) 2 Q2 E 16 Q 2 E причем в (8) использованы обозначения Q 1 p 2 b 2, W b 2 p 2, E 42 b 2 p 2.

(9) В выражении (5) введены функции 1 2q cos q q4, (10) 1 2q cos q 1 q cos, (11) q 2q cos 4 C1 1 2q cos q2. (12) В частном случае на границе цилиндра потенциал (3) выражается в заме чательно кратком виде 1 cos 2 1 1 sin cos 2 ln sin 2 ln. (13) 1 sin 4 2 2 В другом частном случае, когда точка находится на оси симметрии цилин дра, потенциал принимает вид b ln K. (14) b Здесь b 1 и 1 b2 T для b 1, ln T K (15) b2 1 2 arctg T для b 1, с обозначением   2 b T 1. (16) 2 1 b Численно исследованы кривые равного потенциала (3). Показано, что они образуют два семейства кривых, разделенных сепаратрисой с нулевым потен циалом на ней. На семействе замкнутых кривых, расположенных внутри сепа ратрисы, потенциал имеет положительное значение и достигает максимума на оси симметрии фигуры в точке b 0.47077. Вне сепаратрисы эквипотенциали оказываются разомкнутыми и потенциал на них отрицательный.

Во второй главе диссертации, опирающейся на работы [3;

5], решается задача о нахождении внешнего гравитационного потенциала однородного кру гового тора с поверхностью r R x3 r (17) через известную из [3] систему эквигравитирующих элементов: составного од номерного стержня из трех звеньев с чисто мнимой плотностью на каждом из них 1 1 1 i r0 R0 k k k k, 3 k k (18) r k 1, R r R r, 2 2 2 0 0 0 i R 2 2 3 i r0 R0 1 k 2 1 k 2, 3 k k (19) r k 1, R0 R02 r02, R02 r02 R0, i i R 2 и двух вещественных точечных масс, расположенных на краях стержня M 4 M 5 r03. (20) С помощью указанных эквигравитирующих элементов было получено вы ражение гравитационного потенциала тора в произвольной внешней точке про странства через определенные интегралы от полных эллиптических интегралов Лежандра I-го и II-го рода:

  1 q S X 1 3 1 tor r, x3 k k k k k k dx G q R 3 S (21) 2 S X SX 1 1 k k 1 k k dx 2 q S.

2 S x 1 q Здесь, кроме известных уже величин, введены также обозначения:

r0 q, k x q, R0 1 x2 (22) X x r 2 x3 R02 x 2, Y x 2 R0 x3 x, S x X 2 Y 2.

Обратим внимание, что наряду с упомянутыми интегралами, в выражение (21) входит и конечный член. В целом, выражение (21) по форме заметно отличается от ранее известного потенциала тора [3].

Главная формула для потенциала тора (21) была проверена аналитически в том частном случае, когда пробная точка находится на оси симметрии. По об щей формуле было рассчитано семейство эквипотенциалей тора. Кроме того, выполнено численное сравнение результатов, найденных данным методом с ре зультатами для тора, полученными другим способом [3] – через тонкие широ кие круговые кольца. Это сравнение позволило убедиться в достоверности обо их известных теперь представлений внешнего потенциала тора.

В третьей главе диссертации решена задача представления потенциала од нородного кругового тора с поверхностью (17) в виде ряда Лапласа C2 n x tor (, R ) G P2 n (cos ), R r 2 x3, cos.  (23)  R 2 n1 R n Коэффициенты ряда (23) C2n можно записать в интегральном виде C2 n x3 ix1 dx1dx2 dx 2n (24) (интегрирование по объему тора). Здесь однородная плотность тора, G гравитационная постоянная.

  Наш подход заключается в том, что вначале мы рассматриваем потенциал тора на оси его симметрии Ox3. Разложение внешнего потенциала тора (внеш ним для тора здесь считаем потенциал в тех точках, которые находятся вне ве щества и вне сферы радиусом R0 ) на этой оси в ряд по обратным степеням x имеет вид C2 n x3 G r 0, x3 0.

, (25) 2 n n 0 x Прямое интегрирование по x3 выражения (24) дает x ix1 ix1 x3 dx1 dx2, 2 n 1 2 n 2n C2 n (26) где оставшийся двойной интеграл берется по экваториальному сечению тора, а x3 относится только к верхней половине его поверхности.

Далее декартовы координаты поверхности тора представим в параметри ческой форме через вспомогательные углы и :

x1 R0 r0 cos cos, x2 R0 r0 cos sin, (27) x3 r0 sin.

Угол отсчитывается от экваториальной плоскости, а азимутальный угол от оси Ox1.

После многих преобразований выражение (26) можно привести к виду 2 n qm i C2 n r0 2n ! iR0 R0 I1 r0 I 2 d, cos 2 n 1 m 2 n 1 m m! 2n 1 m !

m 0 (28) где обозначены вспомогательные интегралы   sin sin i cos cos d, m I1 (29) sin cos sin i cos cos m d.

I2 (30) Введём для симметрии в I 1 коэффициенты, 1, i cos (31) и запишем (29) в таком виде sin sin cos m d.

I1 (32) Нормированные коэффициенты и можно представить в форме cos 0, sin 0. (33) 2 2 2 Тогда вместо (32) получим m I1 sin sin d.

2 2 m (34) В итоге, для нечетных т (при четном т интеграл (34) равен нулю), имеем m!!

I1 2 sin m1. (35) m 1!!

Интеграл I 2 из (30), в отличие от I1, не равен нулю только при четных т, и мы находим его в виде m m 1!!

I 2 2 i cos sin m2. (36) m 2 !!

  Подставляя I1 из (35) и I 2 из (36) под знак интеграла по переменной в (28), после преобразований, находим точные аналитические формулы для коэф фициентов ряда Лапласа n 1 q 2n 1!! n 3 3n 2n R 2 n 2 C2 n 1 q Pn n 0 3 2n2 n 1! 2 (37) 2q n 1 q 2 1 2 n 1 q 2 Pn1,.

2 1 q Они выражаются через полиномы Лежандра Pn, зависящие от геометриче r ского параметра тора q 1.

R Данный результат интересен, прежде всего, тем, что, как известно, и сам ряд Лапласа представляет собой разложение потенциала тела по полиномам Ле жандра, причем эти полиномы зависят только от координат пробной точки.

Разложение (23) для тора имеет место только вне сферы радиуса R0. Про верка показала, что указанный ряд быстро сходится и даёт правильные резуль таты.

Для «внутреннего» потенциала тора («внутренним» считаем потенциал в тех пробных точках, которые находятся вне вещества, но внутри сферы радиу R02 r02 ) с поверхностью (17) ряд Лапласа имеет вид сом r, D r P cos, (38) а коэффициенты ряда D выражаются интегралами D 2 G r P cos sin drd. (39) S Здесь полярный угол. Задача, рассматриваемая в четвертой главе диссерта ции, заключается в нахождении коэффициентов D. Для этого используем из   вестное из [2] или [3, стр. 194] выражение потенциала однородного кругового тора на оси симметрии 8 4 M torG x3 G r0 R0 J J, (40) 3 r где функция J x 1 r J ( x3 ) k E k k K k, k. (41) k k R02 x Идея примененного метода заключается в разложении потенциала тора (40) только на оси симметрии Ox3 по степеням x. А именно, раскладывается функция J из (41) с последующим выделением в этом разложении коэффици ентов при x. Это и будут, с точностью до постоянного множителя, искомые ко эффициенты D. С этой целью интеграл J из (41) преобразуется вначале к виду J J1 J 2, где cos d ;

J1 r0 (42) R x r sin 2 2 2 0 3 r0 2 R0 x3 r02 sin 2 d.

J2 2 (43) R0 x3 После многих преобразований и вычислений находим m 2 m 1!!

m cos 2 x 1 d, J1 k (44) 2m !! R02 r02 sin 2 1 k 2 sin 2 m0 m 2m 1!!

m r0 1 x J 2 3 R02 x3 r02 1 d.

2m !! R02 r02 sin 2 R0 m 0 1 k 2 sin (45) В итоге получим   4 M tor G 2 2m 1!! R 2 r 2 sin 2 m cos 0 0 m D2 m R02 r02 sin 2 2m !!

3 m 2m 1!!

R02 r02 sin 2 R02 r02 m (46) 2m !!

2m 1!! R 2 r 2 sin 2 m 1 d.

0 0 m 2m 2 !! После интеграции по углу и преобразований эти коэффициенты можно запи сать в более кратком виде 1 r m 2 m 1!! M tor G, m ;

2;

02.

(1) m 2 F D2 m (47) 2 m! R02 m 2 2 R R С учетом найденного выше, «внутренний» потенциал однородного круго вого тора может быть представлен рядом Лапласа в виде r, D0 D2 m r 2 m P2 m cos, (48) m где в качестве первого, нулевого члена выделен потенциал в центре тора 4 M tor G 1 1 r k E k k K k, k 0, D0 (49) 3 r0 k R k а остальные коэффициенты выражаются через стандартную гипергеометриче скую функцию.

Доказано, что для ряда Лапласа (48) радиус сходимости равен Rсх R02 r02. (50) Существенно, что найденный Rсх сильно зависит от геометрического параметра r 1. Лишь в частном случае r0 0 (при вырождении тора в тонкий об тора R руч) эта зависимость исчезает, и тогда Rсх R0.

  В пятой главе в эллипсоидальном приближении построены фигуры равно весия однородных глобул. Для решения задачи используется метод, разработан ный в [2;

8]. Некоторые теоретические вопросы изучения динамики конфигура ций с помощью вириального метода затрагиваются также в статье [11]. Мы применяем гидродинамический подход и исходим из уравнений гидродинамики во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим компактную глобулу, которая находится в главной плоскости Галактики на расстоянии R0 от ее центра и обращается вокруг него по круговой орбите с угловой скоростью ( R0 ). Гравитационный потенциал Галактики обо значим через ( R, x3 ). С центром глобулы связана система декартовых коор динат Ox1 x2 x3. Ось Ox1 направлена от центра Галактики, Ox2 лежит в главной плоскости и направлена по ходу движения.

Ограничиваясь квадратичным (приливным) приближением, потенциал запишем в виде 1 2 1 R, x3 0 R R0 2 R R0 2 x3.

(51) R 0 2 R 0 2 x3 Компактность глобулы позволяет также представить R в виде x R0 x R x R0 x. (52) 2 R Из баланса гравитационной и центробежной сил следует d 2 R0.

R0 (53), R 0 R dR Тогда, с учетом (52) и (53), x2 1 2 d 2 2 1 2 R 0 0 R0 x1 R0 x1 2 x3.

(54) 2 x3 2 R0 2 dR   Равновесное газопылевое облако моделируется однородным трехосным эллипсоидом с полуосями ( a1, a2, a3 ) и внутренним потенциалом G I A1 x12 A2 x2 A3 x3.

2 (55) Полный приведенный потенциал туманности после преобразований при водится к виду 1 2 1 d 2 2 G A1 x1 G A2 x2 2 G A3 x3. (56) W 0 R0 2 x3 2 dR0 Согласно теории фигур равновесия [2;

10], поверхность глобулы должна совпадать с уровенной поверхностью W const. С учетом принятой эллипсои дальности глобулы это требование дает x12 x2 x 2 W 2 2 2 const, (57) a1 a2 a где постоянный множитель, а W из (56). Приравнивая нулю коэффициенты – при x12, x2 и x3 в (57), в итоге получим систему двух уравнений 2 1 R0 d a A1 A2 a2 a3 A 2 2 2. (58) 2 G x3 2 dR0 G г Для реальной средней плотности глобулы 4 1021, и с учетом см 2 1 оценки Оорта [15] для 2 9.21 1030 c 2, член 2 5.5 2 G x3 x 3. Следовательно, последний оказывается значительно меньше значения A3 член в правой части (58) можно отбросить, и тогда имеем R d a12 A1 0 a2 A2 a3 A3.

2 (59) 2 dR0 G   Анализируя уравнения относительного равновесия (59), приходим к выво ду, что глобулы без внутренних течений образуют две однопараметрические последовательности и имеют форму вытянутых сфероидов с осью симметрии, указывающей на центр Галактики. Этот вывод согласуется с результатами на блюдений [12]. Эксцентриситет e вытянутых сфероидов зависит от их удален ности R от силового центра, однако зависимость e R является сильной только на интервале 0.1 R кпк 3, а в районе Солнца глобулы этого класса имеют или почти сферическую, или очень вытянутую форму. Ближе критического приливного радиуса, примерно равного 0.1-0.8 кпк, глобулы в Галактике суще ствовать не могут.

В параграфе 3 пятой главы рассматриваются эллипсоидальные фигуры равновесия глобул с внутренними течениями. Уравнения гидродинамики во вращающейся системе отсчёта имеют вид u1 u 1 p W u2 1 2u2, u x1 x x1 x u2 u 1 p W u2 2 2u1, u1 (60) x2 x x1 x 1 p W 0, x3 x где p давление внутри глобулы. Внутреннее поле скоростей в глобуле линей – ное по координатам a1 a x2, u2 2 x1, u3 0, u1 (61) a2 a а давление имеет вид x2 x2 x p p0 1 12 2 3. (62) 2 a1 a2 a Используя соотношение (53) и исключая давление, получаем уравнения   a2 d 2 2 a1 2 p a 2 2 A1 R a2 2 2 A 2 2 a1 dR a2 (63) a3 2 A3 2, x3 содержащих полную информацию об искомых фигурах глобул.

Система уравнений (63) была решена на различных расстояниях R от цен тра Галактики, результаты расчетов приведены в параграфе 4. На любом из вы бранных расстояний глобула с внутренними течениями оказывается, как прави ло, трехосным эллипсоидом, вытянутым в направлении на центр Галактики.

Сжатые сфероиды типа E3 могут существовать только в качестве предельных конфигураций. На каждом из допустимых расстояний могут существовать эл липсоиды с разными отношениями полуосей, а значит, и разной геометрической формы. Учёт внутреннего поля скоростей также согласуется с наблюдениями [13]. Установлено, что для глобул должен существовать аналог приливного пре дела Роша, и эти объекты не могут существовать ближе нескольких сотен парсек от центра Галактики.

В шестой главе решена задача о влиянии широкого материального кольца на внутреннюю фигуру равновесия. Внутренний потенциал кольца в приливном приближении представлен квадратичной функцией от координат пробной точки.

x1, x2, x3 x12 x2 x3, 0.

2 (64) Центральное тело вращается равномерно с угловой скоростью. Фигуру равновесия ищем в виде классического сфероида Маклорена с поверхностью x12 x2 x 2 2 1, a1 a3. (65) a12 a Тогда поправка к квадрату угловой скорости фигуры равновесия [9], воз никающая за счёт гравитационного воздействия кольца, оказывается равной a 2 1 2 2. (66) 2 G G a   В самом простом случае кольцо может быть однородным. Тогда для плос кого кольца с граничными радиусами R1 и R2 и поверхностной плотностью поправка к квадрату нормированной угловой скорости фигуры равновесия 2M r a1 3 2e 1 e 3 2. (67) 3M 0 R1R2 R1 R 2 G Для практических приложений важно рассмотреть также неоднородное кольцо с законом распределения плотности, которое обычно принимается для протопланетного кольца, из которого впоследствии образовались планеты и ма лые тела Солнечной системы. Этому условию можно удовлетворить, если взять распределение плотности в виде r C R2 r r R1. (68) В итоге, находим поправку R2 R 2 Mr R 8. (69) R2 R1 R22 R 2 G M0 R1R Прилагая формулу (66) к кольцевым галактикам, распределение плотности в широком кольце можно представить законом C r R1 r R2.

, (70) r В общем случае внутреннюю фигуру звездной системы считаем сжатым сфе роидом с эксцентриситетом e, а внутренний радиус кольца положим равным эк ваториальному радиусу центральной фигуры. В итоге:

3 2e 2 1 e 2 1 R 2 2.

R R1 R 2 1 Mr (71) 2 G 6 M0 Здесь – средняя плотность центральной фигуры.

Часто необходимо учитывать, что многие галактики содержат не только звезды, но также газ и пыль. Масса звезд в галактиках, как правило, значительно превышает массу газа, поэтому приливное воздействие внешнего кольца силь нее всего будет сказываться на фигуре газовой подсистемы. Возникает новая   интересная задача: как учесть приливное влияние кольца не на всю галактику (оно может быть ничтожно малым), а только на газовую составляющую. При ращение квадрата угловой скорости для одной только газовой подсистемы ока зывается равным 2 1 M r 3 2e2 1 e2 R1 1 R1.

R R (72) 2 G 1 6 M g 2 Наконец, влияние гравитирующего однородного кругового тора на сплюс нутость центральной конфигурации описывается выражением 2 1 M torG 1 2k 2 E k 1 k 2 K k 3 2e2.

2 (73) 2 G 3 G r0 R Здесь K k и E k - стандартные полные эллиптические интегралы Лежандра r первого и второго рода, а модуль k 1, где R0 и r0 радиусы осевой и – R вспомогательной окружности.

Применение формулы (69) для оценки влияния широкого круглого кольца к конкретным объектам показало, что влиянием кольца на сжатие Сатурна и Солнца при современной точности наблюдений можно пренебречь. Однако влияние кольца на сплюснутость центрального сгущения в галактике «Сомбре ро» оказывается значительным и составляет примерно 18% от влияния вращения самого газового сфероида. Для красного сверхгиганта WOH G64, окруженного мощным массивным тором, влияние внешнего тора на фигуру центральной звезды, согласно формуле (73), оказывается на 6-7 порядков больше, чем для Сатурна и Солнца, и этим влиянием уже нельзя пренебрегать.

  Список опубликованных работ по теме диссертации 1. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш. Прямой метод на хождения потенциалов двумерных однородных тел // Вестник Удмуртско го Университета. Серия Математика. 2003. С. 71.

2. Кондратьев Б.П., Дубровский А.С., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш.

Пространственный потенциал однородного кругового тора через эквигра витирующие элементы // Журнал технической физики, РАН. 2008. Т. 78, № 7. С. 132.

3. Кондратьев Б.П., Дубровский А.С., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш.

Разложение потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики, РАН. 2009. Т. 79, № 2. С. 17.

4. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Нахождение силовой функции взаимно го притяжения двух тел методом эквигравитирующих стержней // Вестник Удмуртского Университета. Серия Математика. 2001. № 3. С. 41.

5. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Гравитационное и электростатическое поле однородного кругового конуса // Журнал технической физики. 2009.  Т. 79, № 12. С. 26.

6. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Разложение внутреннего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики, РАН. 2010. Т. 80, № 1. С. 23.

7. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Фигуры равновесия компактных газо пылевых туманностей в Галактике // Вестник Удмуртского Университета.

Серия Астрономия и математическая физика. 2010. № 1. С. 52.

8. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Приливное влияние колец на централь ные фигуры равновесия // Вестник Удмуртского Университета. Серия Ас трономия и математическая физика. 2010. № 1. С. 68.

  9. Трубицына Н.Г. Фигура равновесия внутри двух гравитирующих колец // Вестник Удмуртского Университета. Серия Астрономия и математическая физика. 2010. № 1. С. 82.

10. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Приливное влияние колец на централь ные фигуры равновесия // Астрофизика. 2010. Т. 53, № 2. С. 217.

Личный вклад автора В задаче 1 о внутреннем логарифмическом потенциале однородного ци линдра с лемнискатным сечением, основные результаты которой были опубли кованы в статье 1, вклад автора состоит в преобразовании и упрощении основ ного интеграла задачи (1.22) (см. диссертацию), а также в преобразовании и на хождении важных вспомогательных интегралов I1 и I2. Автор выполнила также численную проверку окончательного выражения потенциала и совместно с на учным руководителем рассчитала эквипотенциали внутри цилиндра.

В задаче 2 о нахождении пространственного потенциала однородного кру гового тора через эквигравитирующие элементы, результаты которой были опубликованы в статье 2, автору принадлежат преобразования сложных инте гралов в комплексной плоскости, см. формулу (2.21) диссертации, дающих вклад в потенциал тора от трех эквигравитирующих стержней с чисто мнимым распределением плотности (формулы (18), (19)). Кроме того, автор активно уча ствовала в проверке эквигравитирующих элементов тора по массе, а также вы полнила часть расчетов по основной формуле потенциала тора (21).

В публикации 3, составившей основу задачи 3 о коэффициентах ряда Лап ласа для внешнего потенциала однородного кругового тора, автору принадлежит нахождение в конечном аналитическом виде важных интегралов I1 и I 2 (форму   лы (29) и (30)), а также в математической обработке и приведении коэффициен тов ряда Лапласа C2n к итоговому виду (37).

В статье 6 (задача 4) о коэффициентах ряда Лапласа для «внутреннего» потенциала однородного кругового тора автору принадлежит нахождение в ко нечном аналитическом виде важных интегралов J1 из (42) и J 2 из (43), а также в математической обработке аналитических выражений для коэффициентов D2 m.

В статье 7 (задача 5) о фигурах равновесия глобул автору принадлежит вывод и анализ полного приведенного потенциала во внутренней точке газовой туманности. Выполнен также теоретический анализ уравнений равновесия и проделаны численные расчеты формы равновесных глобул по формулам, полу ченным Кондратьевым Б.П.

В статьях 8 и 10, наряду с участием в постановке задачи 6, автор выполни ла необходимые расчеты коэффициентов, играющих центральную роль при оценке приливной силы для всех трех моделей гравитирующих широких колец, а также для модели кругового тора. Собраны сведения о звезде красном сверх гиганте WOH G64. Полностью самостоятельно ею была поставлена задача по оценке приливного влияния двух колец на внутреннюю фигуру равновесия.

Список цитируемой литературы 1. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш. Прямой метод на хождения потенциалов двумерных однородных тел // Вестник Удмурт ского Университета. Серия Математика. 2003. С. 71.

2. Кондратьев Б.П. Теория потенциала и фигуры равновесия. Москва;

Ижевск: Изд-во РХД, 2003.

3. Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями.

Москва: Мир, 2007.

  4. Кондратьев Б.П. Теория потенциала: эквигравитирующие стержни для осесимметричных тел // Вестник Удмуртского Университета. Серия Ма тематика. 2000. № 4. С. 108.

5. Кондратьев Б.П., Дубровский А.С., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш.

Пространственный потенциал однородного кругового тора через экви гравитирующие элементы // Журнал технической физики. 2008. Т. 78, № 7. С. 132.

6. Кондратьев Б.П., Дубровский А.С., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш.

Разложение потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики. 2009. Т. 79, № 2. С. 17.

7. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Разложение внутреннего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физи ки. 2010. Т. 80, № 1. С. 23.

8. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Фигуры равновесия компактных газо пылевых туманностей в Галактике // Вестник Удмуртского Университета.

Серия Астрономия и математическая физика. 2010. № 1. С. 52.

9. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Приливное влияние колец на централь ные фигуры равновесия // Астрофизика. 2010. Т. 53, № 2. С. 217.

10. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1973.

11. Кузмин Г. Г. Публ. Тарт. АО, 34, 9, 1964.

12. Clemens D. P., Barvainis R. Ap. JS, 68, 157-186, 1988.

13. Goodman A. A., Benson P. J., Fuller G. A., Myers P. S., Ap. J, 456, 528, 1993.

14. Кондратьев Б.П. Динамика и устойчивость резонансных колец в галакти ках // Астрон. журн. 2000. Т. 77. С. 323.

15. Огородников К.Ф. Динамика звёздных систем. М.: ГИФМЛ, 1958.

 

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.