авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Национальный Исследовательский Университет

Высшая школа экономики

Московский институт электроники и математики

МИЭМ – НИУ ВШЭ

Факультет прикладной математики и кибернетики

Кафедра прикладной математики

Магистерская программа

«Математические методы естествознания и компьютерные технологии»

Концепция

Москва 2012 Цель программы Магистерская программа «Математические методы естествознания и компьютерные технологии» направлена на подготовку высококвалифицированных специалистов по прикладной математике, которые обладают глубоким знанием совокупности математических методов (в том числе, новейших), используемых при исследовании систем естествознания, перспективных и важных для высоких технологий, а также владеют методами алгебраической и вероятностной информатики, компьютерного симулирования, алгоритмами высокопроизводительных вычислений и представления научной информации с использованием современного программного обеспечения, суперкомпьютеров, сетевых, мультимедийных средств.

Обучение по настоящей программе могут проходить выпускники бакалавриата или специалитета естественно-научных факультетов российских и зарубежных вузов. Для освоения программы абитуриенту нужны знания на уровне стандартного университетского четырехлетнего списка дисциплин с математической или физической специализацией.

Магистерская программа разработана на основе общей идеологии оригинальных образовательных стандартов НИУ ВШЭ. Она содержит аннотации всех дисциплин.

Программа включает в себя большое число курсов по выбору, что дает возможность студенту выбрать до пяти различных траекторий обучения и, таким образом, специализироваться в желаемом поднаправлении программы. Есть возможность преподавания всей программы на английском языке. В программе имеется специальный курс по представлению научной информации на английском языке. Студентам программы обеспечивается возможность посещения курсов магистерских программ других факультетов НИУ ВШЭ по смежным специальностям.

Особый акцент делается на участии студентов в регулярных исследовательских семинарах (общекафедральном и специализированном), на научной работе со своим руководителем, что позволит им по окончании программы иметь заготовку материалов для диссертации (PhD) и научные публикации. Обучающиеся по данной программе будут привлекаться к работе в научно-исследовательских проектах, им предоставляется возможность участия в российских и международных научных школах-семинарах и конференциях.

Современные естественно-научные разработки и высокие технологии требуют от молодых исследователей и специалистов владения новейшими и самыми эффективными математическими теориями и методами моделирования, методами алгебраической и вероятностной информатики, высокопроизводительными технологиями компьютерного расчета, программного симулирования сложных объектов и процессов, а также навыками представления информации с использованием новейших сетевых и мультимедийных возможностей.

Выпускники магистерской программы получат подготовку достаточную для продолжения учебы или исследовательской работы в ведущих российских и мировых университетах, научных институтах, технологических центрах и предприятиях, специализирующихся на научных исследованиях и разработках высоких технологий, использующих новейшие методы математического и компьютерного моделирования.

Место программы в образовательной концепции факультета Магистерская программа «Математические методы естествознания и компьютерные технологии» обеспечивает очень широким спектром самых современных математических методов естествознания, а также новейшими технологиями высокопроизводительных вычислений на суперкомпьютерах в приложении к задачам моделирования физико биологических объектов и процессов, в особенности, для микро и нано масштабов. Она сопровождается обучением специальным разделам алгебраической и вероятностной информатики, методам научного Интернет-программирования. Тем самым, данная программа дополняет и развивает программы бакалавриата. Она также дополняет другие магистерские программы по части наполнения уникальными курсами по математическим методам исследования моделей естествознания и по алгебраической информатике с упором на приложения к реальным, актуальным и перспективным технологическим и информационным системам, а также на эффективное компьютерное моделирование и программное симулирование с применением суперкомпьютеров.

Магистерская программа служит важным подготовительным этапом перед поступлением в аспирантуру. Она позволяет эффективно вести научную подготовку и отбор студентов, проявляющих интерес и способности к самостоятельной научной работе.

Программа существенно упрощает будущее обучение в аспирантуре и обеспечивает более гарантированный итог такого обучения.

Ряд курсов программы (или она вся) могут читаться на английском языке, что дает возможность привлекать на нее иностранных студентов, а также способно помочь работе других проектов, связанных с использованием английского языка.

Требования к выпускникам магистерской программы Система подготовки магистров по данной программе соответствует общей идеологии оригинальных образовательных стандартов НИУ ВШЭ. В частности, обычные требования оригинальных образовательных стандартов применимы к выпускникам данной магистерской программы. Дополнительно к этому, магистр, специализирующийся в области математических методов естествознания и компьютерных технологий, должен понимать возможности современной математики, алгебраической и вероятностной информатики, современных компьютеров, современной информационно-сетевой и мультимедийной среды для эффективного исследования моделей сложных процессов и объектов естествознания, перспективных технологических систем, для представления научной информации. Магистр должен быть подготовлен к дальнейшему обучению в аспирантуре, а также к исследовательской деятельности по выбранной специализации.



В качестве итоговой государственной аттестации выпускник магистратуры должен подготовить и защитить магистерскую диссертацию. Результаты защиты могут учитываться как результаты вступительных экзаменов в аспирантуру по соответствующей специальности.

Конкурентоспособность программы Уникальные и широкие по охвату курсы с кристаллизованной и актуальной информацией, отражающей новейший прогресс математики, физики и технологий.

Мультидисциплинарность и междисциплинарность. Сочетание глубоких и оригинальных математических методов с интенсивным компьютерным моделированием, с использованием современных вычислительных, сетевых и мультимедийных технологий.

Эффективные математические методы, ориентированные на моделирование реальных и перспективных физических систем или на информационно-технологические приложения.

Возможность выбора индивидуальной специализации по одной из пяти траекторий (подпрограмм) обучения в диапазоне от математики, алгебраической и вероятностной информатики до компьютерного моделирования и научного Интернет-программирования.

Обеспеченность программы преподавательскими кадрами Программа базируется на достижениях и преподавательских кадрах активно развивающейся научной школы академика Маслова в МИЭМ. Привлечены также эксперты мирового класса из институтов РАН, ведущих научно-иследовательских университетов, МЦНМО.

Руководителем магистерской программы является заведующий кафедрой прикладной математики МИЭМ – НИУ ВШЭ, профессор Михаил Владимирович Карасев – известный в России и в мире специалист по математической физике (некоммутативный анализ, нелиевские алгебы в моделях физики, алгебраическая теория возмущений, геометрические асимптотики, теория квантования, пуассонова геометрия, симплектические группоиды). Ученик В.П. Маслова, выпускник физического факультета МГУ, д.ф.-м.н. (1990 г.), Соросовский профессор (1995 г.), лауреат Государственной премии РФ в области науки и техники (2000 г.). Более 120 научных трудов, монографии, руководитель проектов, поддержанных грантами РФФИ, Минобрнауки РФ, Междунар. научного фонда, AMS, INTAS. Председатель диссертационного совета Д 212.133.07 (специальности: «Математическая физика», «Теория вероятностей и математическая статистика»), заместитель главного редактора журнала «Наноструктуры.

Математическая физика и моделирование», руководитель проекта «Создание мультидисциплинарного эмуляторного комплекса для информационно-аналитического сопровождения подготовки кадров и поисковых разработок в области математического моделирования наноустройств и наноматериалов (графенная электроника, фотоника, мезомеханика, молекулярные машины и приборы)» по Федеральной программе развития информационной инфраструктуры наноиндустрии в России (МИЭМ, 2011 г.).

В реализации программы принимают участие в качестве преподавателей 9 докторов физико-математических наук (профессоров) мирового уровня и 6 кандидатов физико математических наук (доцентов).

Список дисциплин Цикл дисциплин ядра Дисциплины направления Алгебраическая информатика: конечные поля, коды и алгоритмы Представление научной информации на английском языке Дисциплины специализации Линейные операторы в задачах математической физики Квантовые эффекты и специальные методы квантовой механики Наноструктуры;

физические основы конструирования наноустройств Компьютерное симулирование физических и биологических систем Математическое моделирование молекулярных машин История и философия взаимодействия математики и естествознания Цикл общих дисциплин Дисциплины специализации по выбору (1 из 3) Некоммутативный анализ и алгебраические преобразования Методы исследования нелинейных систем естествознания Интернет-программирование, интерфейсы и компьютерная графика Дисциплины специализации по выбору (1 из 2) Биофизика и термодинамика макромолекул;

самосборка Дискретная геометрия кристаллов и квазикристаллов Цикл дисциплин программы Дисциплины по выбору (2 из 8) Геометрические методы в базовых моделях естествознания Асимптотический анализ и многомасштабное осреднение Идемпотентная и тропическая математика, и приложения Исследование квантовых систем с помощью когерентных состояний Квантовые вычисления, представления групп и инварианты Элементы квантовой электродинамики и квантовой оптики Вероятностные методы в компьютерном моделировании Высокопроизводительные вычисления на суперкомпьютерах Дисциплины по выбору (1 из 2) Моделирование физических сред со свободной границей раздела фаз Интегрированные компьютерные системы математических расчетов Семинар по выбору Спецсеминар или научно-исследовательский семинар Алгебраическая информатика: конечные поля, коды и алгоритмы Цель курса:

Многие бурно развивающиеся отрасли технологий требует знания современной алгебры и базируется на синтезе теоретических областей (теории групп, колец, полей, квадратичных форм, решеток, укладок и покрытий, алгебраической геометрии и теории чисел) с прикладными разделами. В курсе дается изложение теоретических основ алгебраический информатики, а также ее приложений. Для одной группы приложений оно концентрируется вокруг теории базисов Грёбнера, для другой - вокруг теории алгебраических чисел и теории эллиптических кривых.

Задачи курса:

Изложить теорию конечных полей, обсудить базисные понятия и результаты теории кодирования, рассмотреть важнейшие типы кодов. Дать введение в соответствующие разделы алгебраической геометрии и теории решеток. Рассмотреть конструкции и свойства алгебро-геометрических кодов и кодов, связанных с решетками. Дать введение в вычислительную алгебру, облегчив слушателям освоение теоретического материала за счет рассмотрения примеров конкретных вычислений, иллюстрирующих общетеоретические понятия. Итоговая задача: добиться уровня овладения изложенным материалом, который позволит слушателям самостоятельно работать в этой области.

Программа курса Часть 1. Конечные поля и коды Строение конечных полей. Следы, нормы и базисы. Представление элементов конечных полей.

Многочлены над конечными полями. Построение неприводимых многочленов. Разложение мно гочлена на множители.

Теорема Шеннона. Блочные коды. Линейные коды. Коды Хемминга. Весовой энумератор кода.

Коды Адамара. Бинарный и тернарный коды Голея. Группы Матье. Коды Рида—Мюллера.

Границы для кодов. Граница Гилберта. Граница Варшамова—Гилберта.

Циклические коды. Коды Рида—Соломона. Квадратично вычетные коды.

Коды Гоппы.

Подготовительный материал из алгебраической геометрии. Алгебраические кривые. Дивизоры.

Дифференциальные формы. Теорема Римана—Роха. Рациональные точки кривых над полем оп ределения.

Введение в теорию эллиптических кривых. Основные определения, эллиптические интегралы и эллиптические функции. Отображения между эллиптическими кривыми. Изогении. Комплексное умножение. Гильбертовы поля классов. Ранг и L-функция. Гипотеза Таниямы—Вейля. Гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера.

Кривые над конечными полями. Дзета-функция. Эллиптические кривые над конечным полем.

Конструкции алгебро-геометрических кодов. Примеры.

Оценки параметров алгебро-геометрических кодов. Асимптотические результаты.

Часть 2. Алгоритмы алгебраических вычислений Решетки в n–мерном евклидовом пространстве, упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки.

Связь энумераторов кодов с тета-функциями решеток и конечными группами, порожденными отражениями.

Кольца и идеалы. Гомоморфизмы. Полиномиальные кольца. Упорядочение мономов. Алгоритм деления в кольце полиномов. Мономиальные идеалы и лемма Диксона.

Теорема Гильберта о базисе. Базисы Грёбнера, их свойства. Алгоритм Бухбергера.

Теория исключения. Решение систем полиномиальных уравнений. Геометрические приложения.

Алгоритмы линейной алгебры. LLL-алгоритм нахождения редуцированного базиса в решетке, его приложения к нахождению базисов в ядре и образе целочисленной матрицы и коротких векторов в решетке.

Алгоритмы теории полиномов от одного переменного. Алгоритм Евклида. Алгоритм Коллинза.

Результанты и дискриминанты. Факторизация полиномов с коэффициентами в простом конеч ном поле. Факторизация полиномов с рациональными коэффициентами. Факторизация полино мов с целочисленными коэффициентами.

Алгебраические числа. След, норма, характеристический полином. Порядки и идеалы. Единицы, регулятор и классы идеалов. Основные вычислительные проблемы теории алгебраических чисел.

Алгоритмы для квадратичных полей. Вычисление числа классов мнимого квадратичного поля.

Вычисление групп классов мнимых и вещественных квадратичных полей. Вычисление фунда ментальной единицы и регулятора.

Вычисление максимального порядка. Разложение простых чисел. Вычисление групп Галуа.

Алгоритмы для эллиптических кривых над полем комплексных чисел. Вычисление Вейрштрас совой нормальной формы по периодам и наоборот.

Алгоритмы для эллиптических кривых над конечным простым полем. Вычисление числа рациональных точек.

Алгоритмы для эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Алгоритм Тейта.

Алгоритм описания кручения в группе рациональных точек. Алгоритм вычисления L-функции.

Список литературы 1. Э. Берлекэмп, Алгебраическая теория кодирования, Мир, М., 1971.

2. Т. Касами, Н. Токура, Ё. Ивадари, Я. Инагаки, Теория кодирования, Мир, М., 1978.

3. Ф. Дж. Мак-Вильямс, Н. Дж. Слоэн, теория кодов, исправляющих ошибки, Связь, М., 1979.

4. Р. Лидл, Г. Нидеррайтер, Конечные поля, тт. 1 и 2, Мир, М., 1988.

Дж. Конвей, Н. Слоэн, Упаковки шаров, решетки и группы, тт. 1 и 2, Мир, М.,1990.

5.

6. С. Г. Влэдуц, Д. Ю. Ногин, М. А. Цфасман, Алгеброгеометрические коды. Основные понятия, МЦНМО, М., 2003.

7. С. Г. Влэдуц, Ю. И. Манин, Линейные коды и модулярные кривые, Итоги науки и техники.

Современные проблемы математики, т. 25, ВИНИТИ, М., 1984.

8. С. А. Степанов, Арифметика алгебраических кривых, Наука, М., 9. П. Камерон, Дж. Ванн Линт, Теория графов, теория кодирования и блок-схемы, Наука, М., 1980.

10. J. H. van Lint, Introduction to Coding Theory, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics, Vol. 86, Springer, Berlin, 1999.

11. J. H. van Lint, G. van der Geer, Introduction to Coding Theory and Algebraic Geometry, Birkhuser Verlag, Basel, 1988.

12. H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, 3rd ed., Springer, Berlin, 1996.

13. Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. О’Ши, Идеалы, многообразия и алгоритмы, Мир, М., 2000.

14. В. А. Уфнаровский, Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре, Итоги науки и техни-ки. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 57, ВИНИТИ, М., 1990.

15. Д. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье, Компьютерная алгебра, Мир, М., 1991.

16. B. Mishra, Algorithmic Algebra, Springer-Verlag, New York, 1993.

17. Т. Becker, V. Weispfenning, Grbner Bases, Springer-Verlag, New York, 1993.

18. M. Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer-Verlag, New York, 1992.

Представление научной информации на английском языке Цель курса: обучение студентов навыкам письменного и устного изложения естественнонаучной информации на английском языке.

Задачи курса:

Расширение словарного запаса и обучение русско-английским эквивалентам научной лексики. Знакомство с распространенными грамматическими ошибками в письменном изложении и в устной речи. Обучение оптимальному структурированию научной статьи и устного доклада на английском языке, разбор примеров и проведение соответствующих практических упражнений.

Программа курса Словарный запас для чтения и написания естественнонаучных статей.

Лексическое разнообразие. Синонимы.

Основные «русизмы» и их адекватные английские замены.

Времена глаголов в устной речи и в научных публикациях.

Пунктуация.

Пассивный и активный залог.

Распространенные латинские выражения.

Переписка с коллегами по научным вопросам. Стандарты вежливости.

Структура научной статьи. Отправка статьи в журнал и переписка с редакцией.

Принципы построения научного доклада.

Общение на научной конференции.

Список литературы 1. R. Smith, How not to give a presentation // British Medical Journal. 2000. V. 321. P.1570.

2. S. G. Benka, Who is listening? What do they hear? // Physics Today. 2008. V. 61. Issue 12.

P. 3. M. F. Ashby, How to Write a Paper, URL: http://www-mech.eng.cam.ac.uk/mmd/ashby paper-V6.pdf 4. H. Glasman-Deal, Science research writing for non-native speakers of English. World Scientific, 2010.

5. А. Б. Сосинский, Как написать математическую статью по-английски / М: «Факториал Пресс», 2000. 112 с.

6. P. R. Наlmоs, How to write mathematics, L'Enseignement Math. 16:2 (1970), 123– (http://ega-math.narod.ru/Halmos.htm) 7. С.С. Кутателадзе, Russian-to-English in writing: Советы эпизодическому переводчику.

Новосибирск: Ин-т математики, 2000.

(http://vivovoco.rsl.ru/VV/BOOKS/RUSTOENG/CONTENT.HTM ) Линейные операторы в задачах математической физики Цель курса: представить главные идеи и подходы к анализу базовых задач математической физики с помощью теории линейных операторов.

Задачи курса: обучить слушателей основным понятиям и теоремам теории линейных операторов, а также методам применения линейных операторов в основных типах задач математической физики.

Программа курса 1. Спектральные свойства операторов математической физики 1.1. Неограниченные операторы. Область определения. Замкнутые операторы.

1.2. Симметрические операторы и индексы дефекта. Самосопряженное расширение. Теорема Нельсона. Физические примеры.

1.3. Дискретный и непрерывный спектры. Собственные функции.

1.4. Спектральная теорема. Спектральная плотность. Формулы следа.

1.5. Унитарные операторы. Проекторы и корни из единицы. Примеры: оператор Теплица, когерентные состояния, квантайзер.





1.6. Общие свойства спектра операторов Шредингера и Дирака.

1.7. Спектр в периодических полях. Блоховские функции. Зоны Бриллюэна. Поверхность Ферми.

1.8. Туннельное расщепление спектра.

1.9. Квазистационарные состояния оператора Шредингера и спектр аналитических семейств компактных операторов (теория Келдыша).

2. Нестационарные задачи математической физики 2.1. Теорема Стоуна.

2.2. Банаховы и гильбертовы шкалы, производящие операторы.

2.3. Формулы Троттера и Каца-Фейнмана. Вывод континуального интеграла.

2.4. Туннельная транспортация квантовых состояний.

2.5. Симметрические гиперболические системы, уравнения Максвелла.

2.6. Связь волновых и диффузионных процессов. Полугруппы операторов.

2.7. Эволюция в неавтономных системах.

2.8. Периодические системы и операторы монодромии.

3. Задача рассеяния 3.1. Постановка задачи рассеяния. Безотражательные потенциалы.

3.2. Интегральное уравнение Липпмана-Швингера теории рассеяния.

3.3. Функция Йоста, матрица рассеяния, полюса Редже.

3.4. Обратная задача теории рассеяния.

Список литературы 1. У. Рудин, Функциональный анализ / М.: Мир, 1975.

2. К. Морен, Методы гильбертова пространства / М.: Мир, 1965.

3. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972.

4. Ю.И. Любич, Линейный функциональный анализ / Современные проблемы математики.

Фундаментальные направления, т.19 (Функциональный анализ-I), М.: ВИНИТИ, 1988.

5. П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах / М.: Мир, 1970.

6. К. Фридрихс, Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / М.: Мир, 1969.

7. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, тт.1-4 / М.: Мир, 1977, 1978, 1982.

8. Ф.А. Березин, М.А. Шубин, Уравнение Шредингера / МГУ, 1983.

9. И.М. Глазман, Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов / М.: Физматгиз, 1963.

10. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / М.: Наука, 1981.

Квантовые эффекты и специальные методы квантовой механики Цель курса: описать понятия и методы важные как для освоения принципиально новых концепций в данной области, так и для расчета конкретных моделей квантовых систем, рассмотреть парадоксы квантовой механики, дать анализ методов компьютерного моделирования квантовых систем (достоинства, недостатки и открытые проблемы).

Задачи курса: научить делать простые оценки квантовых эффектов, научить основным подходам и методам моделирования базовых квантовых систем.

Программа курса I. Квантовая механика и топология.

• Квантовые системы во внешнем электромагнитном поле.

• Эффект Ааронова-Бома.

• Эффект Ааронова-Кашера.

• Фаза Берри.

II. Специальные методы квантовой механики.

• Аналогия между квантовой механикой и квантовой статистической физикой.

• Метод мнимого времени. Метод инстантонов в квантовой механике.

• Континуальные интегралы.

• Квантовые методы Монте Карло.

• Метод функционала плотности. Теорема об однозначности энергии как функционала от плотности. Уравнения Кона-Шэма.

III. Квантовые коллективные явления.

• Симметрии и законы сохранения. Симметрия кристаллов. Квазиимпульс.

• Электронная структура твердых тел.

• Кристаллическая решетка и фононы.

• Фазовые переходы. Спонтанное нарушение симметрии. Теория Ландау. Теорема Голдстоуна.

• Природа сил притяжения между электронами в кристалле. Бозе-конденсация и сверхтекучесть бозе-систем.

• Спаривание электронов. Модель Купера.

• Сверхтекучесть ферми-газа и микроскопическая теория сверхпроводимости.

• Эффект Мейснера.

• Эффект Джозефсона.

• Магнетизм Список литературы 1. Y. Aharonov, D. Bohm, Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory / Phys.Rev., 115, 485-491 (1959).

2. Y. Aharonov, A. Casher, Ground state of spin-1/2 charged particle in a two-dimensional magnetic field / Phys.Rev., A19, 2461-2462 (1979).

3. Е.Л. Фейнберг, Об "особой" роли потенциалов в квантовой механике / УФН,78, 53–64 (1962).

4. Л.И. Мандельштам, Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике / М.:

Наука, 1972.

5. С.И. Виницкий, В.Л. Дербов, В.М. Дубовик, Б.Л. Марковски, Ю.П. Степановский, Топологические фазы в квантовой механике и поляризационной оптике / УФН, 160, 1–49 (1990).

6. А.А. Абрикосов, Теория металлов / М, Наука, 1987.

7. О. Маделунг, Теория твердого тела / М.: Наука, 1980.

8. Р.Фейнман, Статистическая механика / М.: Мир, 1975.

9. Р.Фейнман, А. Хиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям / М.: Мир, 1968.

10. Х. Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное моделирование в физике / М.: Мир, 1990.

11.Д.В. Хеерман, Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / М.: Наука, 1990.

12. А.М. Сатанин, Введение в теорию функционала плотности. Учебно-методическое пособие / Нижний Новгород, 2009.

Наноструктуры;

физические основы конструирования наноустройств Цель курса Курс направлен на глубокое изучение основных понятий и явлений физики наноструктур, наиболее важных как с концептуальной, так и с прикладной точек зрения. Этот постоянно обновляющийся курс включает в себя последние, наиболее интересные и перспективные достижения;

в настоящее время это, например, – открытие и свойства графена и совсем недавнее открытие и изучение замечательных свойств топологических изоляторов.

Задачи курса Задачи курса – глубокое и наглядное освоение понятий и самых важных эффектов физики твердого тела и физики твердотельных наноструктур, понимание эвристики важнейших научных открытий, ценности физических аналогий, умение делать простые и быстрые оценки критических параметров для различных эффектов, умение применять полученные знания к конкретным научным и техническим задачам Программа курса Введение.

Тенденции и основные открытия в современных нанотехнологиях. Закон Мура.

Ограничения и возможности нанолитографии. Основные устройства для анализа с нанометровым пространственным разрешением. Принципиальные особенности низкоразмерных систем.

1. Низкоразмерные системы и наноструктуры.

Инверсионные слои. Гетероструктуры. Квантовые ямы и сверхрешетки. Связанные квантовые ямы. Квантовые провода. Квантовые точки. Приложения в наноэлектронике и в оптоэлектронике.

2. Двумерные электронные и электрон-дырочные системы Основные свойства двумерного электронного газа. Сильно коррелированные низкоразмерные электронные системы. Теория ферми-жидкости Ландау. Латинжеровская жидкость. Вигнеровский кристалл. Переход Мотта-Хаббарда. Фазовые переходы в системе электронов и дырок в полупроводниковых наноструктурах. Модель экситонных фаз. Бозе-конденсация и сверхтекучесть экситонов и магнитоэкситонов в наноструктурах:

теория, эксперименты и проблемы.

3. Теория низкоразмерных разупорядоченных систем.

Источники случайного поля в кристалле: примеси, шероховатость поверхности раздела, дефекты кристалла и т.п. Делокализованные и локализованные состояния в примесном кристалле. Пороги подвижности в трехмерных неупорядоченных системах. Правило Иоффе-Регеля. “Примесный” переход Хаббарда. Минимум металлической проводимости.

Локализация Андерсона:

- модель Андерсона, модель Лифшица, - критерии локализации, - самоусредняющиеся величины, - квантовая перколяция, - локализация в одномерных системах, - слабая локализация, роль интерференции путей с обращенным временем.

4. Мезоскопические явления. Фазовая когерентность 5. Квантовый эффект Холла.

Эффект Холла в полупроводниках. Выражение для холловского сопротивления.

Целочисленный квантовый эффекты Холла:

- основные экспериментальные закономерности целочисленного квантового эффекта Холла, - продольная и поперечная проводимость и сопротивление, - диск Корбино, - спектр и плотность состояний двумерного электронного газа в сильных магнитных полях, кратность вырождения, заполнение уровня Ландау, - случайное поле примесей, - движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном поле, - дрейфовое приближение в сильных магнитных полях и квантование холловской проводимости, - краевые состояния, - квантовый эффект Холла и топологические инварианты, - эффект Бома – Ааронова, - калибровочная инвариантность и квантование холловской проводимости, - квантование холловского сопротивления и эталон сопротивления.

Дробный квантовый эффект Холла:

- основные экспериментальные закономерности дробного квантового эффекта Холла, - теория Лафлина, несжимаемые квантовые жидкости, - свойства вариационной функции Лафлина, - аналогия волновой функции Лафлина и двумерной электродинамики (зарядов с логарифмическим взаимодействием), квазичастицы – квазиэлектроны и квазидырки, - дробный заряд квазичастиц, доказательство Лафлина по аналогии с двумерной электродинамикой, доказательство Шриффера с использованием эффекта Бома-Ааронова, - экспериментальное доказательство дробного заряда квазичастиц по спектру шумов, - дробная статистика квазичастиц, - композитные фермионы – новый тип квазичастиц, аналогия целочисленного и дробного квантовых эффектов Холла, калибровочные поля, теория типа Черна-Саймонса.

Композитные фермионы при дробных заполнениях уровня Ландау с четными знаменателями:

- поверхность Ферми для композитных фермионов, - экспериментальные проявления композитных фермионов: магнитная фокусировка и резонансное поглощение ультразвука в системе антиточек, - новые загадки.

6. Открытие и свойства графена.

Аллотропные формы углерода. Проблема устойчивости двумерных мембран. Симметрия и электронный спектр графена. Аналогия с уравнением Дирака для нейтрино.

Киральность. Графен и парадокс Клейна в квантовой электродинамике. Аномальное прохождение электронов через барьер. Отсутствие отражения назад и отсутствие слабой локализации в графене. Проблема минимальной металлической проводимости в графене.

Поведение графена в сильном магнитном поле. Эффект Шубникова-де Газа и экспериментальное доказательство линейности электронного спектра. Аномальный квантовый эффект Холла для графена. Возможные наноустройства на основе графена.

Нерешенные проблемы в графене. Возможные применения графена.

7. Топологические изоляторы Топологические инварианты в физике. Фаза Берри. Эффект Бома-Ааронова. Аналогия с квантовым эффектом Холла. Краевые состояния. Топологический инвариант. Двумерный топологический изолятор. Спиновый квантовый эффект Холла. Киральные краевые состояния. Трехмерный топологический изолятор. Киральные безмассовые дираковские фермионы на поверхности. Магнитоэлектрический эффект. Дионы. Нерешенные вопросы, возможные эксперименты и применения.

Список литературы 1. А.А.Абрикосов, Теория металлов, М, Наука, 1987.

2. Christophe Jean Delerue, Michel Lannoo, Nanostructures: Theory and Modelling Springer, 2010..

3. О.Маделунг, Теория твердого тела, М, Наука, 1980.

4. И.М.Лифшиц, С.А.Гредескул, Л.А.Пастур, Введение в теорию неупорядоченных систем, М, Наука.

5. Электронная теория неупорядоченных полупроводников, М, Наука.

6. Квантовый эффект Холла, сборник статей под ред. Гирвина.

7. Т.Райс, Дж.Хенсел, Т. Филипс, Г.Томас, Электронно- дырочная жидкость в полупроводниках, М, Мир.

8. M.I. Katsnelson, Graphene: carbon in two dimensions, Materials.Review article,. Materials Today, Volume 10, Issue 1-2, January 2007, Pages 20-27.| 9. Carbon nanotubes, eds.M.S.Dresselhaus et.al., Springer 10. A. Kavokin, G. Malpuech, Cavity polaritons, Elsevier.

11. Turton R. J. The Quantum Dot, W H Freeman, 1995.

12. П. Дьячков, Электронные свойства и применение нанотрубок, Бином-Пресс (2010).

13. M. Z. Hasan, C. L. Kane, Topological Insulators, arXiv:1002.3895 (Обзор).

14. К. фон Клитцинг, Квантованный эффект Холла, 150, 107–126 (1986). (Нобелевская лекция).

15. Р.Б. Лафлин, Х. Штермер, Д. Цуи, Открытие нового вида квантовой жидкости с дробно заряженными возбуждениями. Нобелевские лекции по физике—1998, 170, 289 (2000).

16. А.К. Гейм, Случайные блуждания: непредсказуемый путь к графену, 181, 1284– (2011) (Нобелевская лекция).

17. К.С. Новосёлов, Графен: материалы Флатландии, 181, 1299–1311 (2011)(Нобелевская лекция).

Дополнительная литература:

18. Ю.Е.Лозовик, А.М.Попов, УФН, 167, N7, 751(1997).

19. Ю.Е.Лозовик, УФН, 171, N12, 1373(2001).

20. Ю.Е.Лозовик, А.М.Попов, УФН,177, No.7, 786(2007).

21. Ю.Е.Лозовик и др, УФН, 178, No.7, 757 (2008).

22. Ю.Е.Лозовик, УФН, 179 (2009).

Компьютерное симулирование физических и биологических систем Цель курса: познакомить слушателя с математическими и физическими основами молекулярно-динамического моделирования и с основными принципами компьютерного моделирования материалов на основе квантовой механики, показать связь между моделированием вещества на уровне отдельных атомов с расчетом макроскопических свойств, описать базовые теоретические положения, продемонстрировать примеры решения конкретных задач физики конденсированного состояния, молекулярной биологии и материаловедения, дать представление о различных приближениях и вычислительных методах, начиная с выбора базиса для представления волновых функций и заканчивая алгоритмами распараллеливания вычислений.

Задачи курса:

Описание основных положений теоретической механики и вычислительной математики, относящихся к построению молекулярно-динамических моделей. Классификация моделей потенциалов межатомного и межмолекулярного взаимодействия для различных веществ.

Обучение принципам расчета макроскопических свойств методами атомистического моделирования на основе связи молекулярной динамики и термодинамики. Описание методов решения уравнения Шредингера в простейших случаях, иерархии приближений, используемых в молекулярной биологии, квантовой химии и физике твердого тела.

Знакомство с примерами решения задач. Овладение общими навыками проведения суперкомпьютерных расчетов для решения прикладных задач. Знакомство с конкретными пакетами программ для квантового моделирования и проведение суперкомпьютерных расчетов с их использованием.

Программа курса Часть 1. Компьютерная молекулярная динамика и термодинамика Введение. Системы координат. Уравнения движения. Периодические граничные условия.

Поверхности потенциальной энергии. Единицы измерения. Математический аппарат.

Методы классической молекулярной динамики (МД) и Монте-Карло (МК). Параллельные алгоритмы для расчета взаимодействий между частицами: декомпозиция по частицам и по пространству. Роль статистического усреднения. Эффективность распараллеливания.Средства визуализации данных и молекулярная графика.

Компьютерное оборудование и программное обеспечение. Операционная система Linux.

Ресурсы Интернета.

Потенциалы межатомного взаимодействия. Парные потенциалы: твердые и мягкие сферы, потенциалы Леннарда-Джонса и Букингема. Многочастичные потенциалы для металлов и полупроводников. Модели межатомного взаимодействия в (био)молекулярных системах. Ван-дер-ваальсовское взаимодействие. Водородная связь. Электростатическое взаимодействие. Потенциалы взаимодействия в неидеальной плазме.

Интегрирование уравнений движения. Методы интегрирования уравнений движения в молекулярной динамике. Сохранение интегралов движения и инвариантов.

Симплектические схемы интегрирования. Алгоритмы сортировки при расчете сил, действующих на атомы: списки Верле, связные списки. Методы оптимизации.

Равновесные системы. Методы вывода молекулярно-динамической системы в равновесное состояние. Моделирование различных статистических ансамблей: микроканонический, канонический, изобарический. Флуктуации. Методы диагностики: температура, давление, тензор напряжений, теплоемкость, упругие свойства среды, коэффициент диффузии. Основные уравнения механики сплошных сред. Методы анализа структуры. Корреляционные функции и их спектры. Решение уравнения Пуассона на сетке. Декомпозиция по пространству, оптимизация передачи данных между узлами.

Неравновесные системы, релаксация. Примеры моделей неравновесных процессов на атомистическом уровне. Основные требования к моделированию релаксации: начальные состояния, ансамбль начальных состояний, характеристики, зависящие и не зависящие от начального ансамбля, диагностика, требующая усреднения по времени. Методы расчета транспортных свойств: вязкость, теплопроводность, диффузия. Модели ударных волн.

Гюгониостат. Моделирование взаимодействия излучения с веществом. Распараллеливание задач газо- и гидродинамики.

Часть 2. Компьютерная квантовая механика Уравнение Шредингера в стационарном и нестационарном случае. Решение задач о движении частицы, прохождении через щель. Использование пакета Mathematica для построения соответствующих моделей и визуализации результатов.

Одноэлектронный атом. Многоэлектронный атом и молекулы. Детерминант Слэтера.

Молекулярные орбитали. Уравнения Хартри-Фока. Методы учета электронных корреляций. Теория возмущений. Многоконфигурационные подходы.

Использование функционала плотности. Электрон-электронное взаимодействие: обменно корреляционное взаимодействие, функционал Кона-Шэма, приближение локальной плотности. Электрон-ионное взаимодействие: приближение псевдопотенциала.

Особенности моделирования изолированных молекул и кластеров и периодических систем.

Технология вычислений. Базис плоских волн. Локализованные базисы. Смешанные базисы. Вейвлетные базисы. Принципы распараллеливания алгоритмов. Использование быстрого преобразования Фурье. Обзор существующих программных средств.

Список литературы 1. A. Rahman, Correlations in the Motion of Atoms in Liquid Argon // Phys. Rev., v.136, p.

A405, 1964.

2. M.P. Allen and D.J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids, Oxford: Clarendon Press, 1989.

3. D. Frenkel, B. Smit, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications, San Diego: Academic Press, 2002.

4. А.А. Валуев, Г.Э. Норман, В.Ю.Подлипчук, Метод молекулярной динамики: теория и приложения // В сб. «Математическое моделирование. Физико-химические свойства вещества». М.: Наука, 1989. С. 5-40.

5. Х. Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное моделирование в физике, М.: Наука, 1990.

6. Р. Хокни, Дж. Иствуд, Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.

7. P. Gibbon, G. Sutmann, Long-range interactions in many-particle simulation // in Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms, Lecture Notes, J.

Grotendorst, D. Marx, A. Muramatsu (Eds.), 2002.

8. A. R. Leach, Molecular modelling: principles and applications. Prentice Hall, 2001.

9. Теория неоднородного электронного газа. Под. ред. С. Лундквиста и Н. Марча, М.:

Мир, 1987.

10. M. D. Segall, Applications of ab initio atomistic simulations to biology // J. Phys.: Condens.

Matter, v.14, p.2957, 2002.

11. R.M.Martin, Electronic structure. Basic theory and practical methods. Cambridge University Press. 2008.

12. J.Hutter, D.Marx, Ab Initio Molecular Dynamics: Basic Theory and Advanced Methods.

Cambridge University Press. 2009.

Математическое моделирование молекулярных машин Цель курса: познакомить студентов с методами использования р-адических уравнений в задачах математического моделирования динамки и функции биологических макромолекул - молекулярных машин.

Задачи курса:

Ознакомление с ультраметрическими пространствами, р-адическими числами, элементами анализа на поле р-адических чисел и р-адическими псевдо-дифференциальными уравнениями. Освоение аналитического аппарата теории ультраметрических случайных процессов. Развитие навыков решения р-адических уравнений ультраметрической диффузии как основы ультраметрических моделей динамики молекулярных машин. Ознакомление с особенностями архитектуры и динамики функциональных биополимеров.Развитие навыков конструирования ультраметрических моделей структуры и динамики функциональных биополимеров и молекулярных машин.

Программа курса 1. Обзор представлений о функциональных биополимерах и молекулярных машинах. Характерные особенности динамики и функции биополимеров. Молекулярные машины. Проблемы математического моделирования биополимеров и молекулярных машин. Основные идеи иерархического (ультраметрического) моделирования.

2. Введение в р-адический анализ в объеме, необходимом для освоения данного курса. р-Адические числа и ультраметрические пространства, локально-постоянные функции на Qp, интегрирование на Qp. (8 часов) 3. р-Адическое преобразование Фурье и р-адические всплески.

4. Псевдо-дифференциальный оператор Владимирова, р-адические псевдодифференциальные уравнения.

Уравнение ультраметрической диффузии, методы решения, свойства решений. Численные методы решения р-адических псевдо-дифференциальных уравнений. Компьютерное моделирование ультраметрической диффузии.

5. Ультраметрическое описание флуктуационно-динамической подвижности белковой структуры. Свойства флуктуационно-динамической подвижности белковых молекул. Спектральная диффузия в белках. Задача о распределении времени первых возвращений и числа возвращений для ультраметрической диффузии.

Ультраметрическая модель спектральной диффузии в белках.

6. Ультраметрическое описание элементарного цикла ферментативной реакции. Особенности кинетики связывания СО миоглобином в высокотемпературной и низкотемпературной областях. Моделирование кинетики ферментативного связывания уравнением ультраметрической диффузии с реакционным стоком.

Методы решения и свойства решений такого уравнения. Особенности ультраметрической модели кинетики связывания СО миоглобином в низкотемпературной и высокотемпературной области.

7. Ультраметрические модели рабочего цикла молекулярной машины. Биологические молекулярные машины, их структурные и функциональные особенности. Архитектура модели рабочего цикла молекулярной машины. Система уравнений вида "реакция - ультраметрическая диффузия" как основа многомасштабного математического моделирования рабочего цикла молекулярных машин. Методы решения. Примеры математических моделей молекулярных машин.

Список литературы 1. В.С. Владимиров, И.В. Волович, Е.И. Зеленов, р-Адичесикий анализ и математическая физика. Наука. М.

1994.

2. Н. Коблиц, р-Адические числа, р-адический анализ и дзета функции. Мир. М. 3. С.В. Козырев, р-Адические псевдодифференциальные операторы и р-адические всплески.

4. В.А. Аветисов, А.Х. Бикулов, А.П. Зубарев, Д.А. Мешков, Многомасштабное математическое моделирование молекулярных машин: проблемы и современные подходы. //Наноструктуры.

Математическая физика и моделирование. (2012, в печати) 5. Л.А. Блюменфельд, Проблемы биологической физики, Наука. М. История и философия взаимодействия математики и естествознания Цель курса: познакомить слушателя с историей развития естественных наук с точки зрения использования математики как инструмента описания законов природы и получения новых знаний.

Задачи курса:

1) Знакомство с развитием представлений о природе со времен античности до нового времени.

2) Изложение истории развития исчисления бесконечно малых и последующего триумфа математического описания природы. Возникновение механистических представлений и концепции детерминизма.

3) Знакомство с квантовой механикой как с примером возникновения принципиально новой математической теории. Описание фундаментальных проблем ее интерпретации.

Программа курса Пифагорейцы. Поиск первооснов и гармонии в математических соотношениях.

Физика Аристотеля. Представление об уникальности вещей. Трудности математического описания.

Геоцентрическая картина мира – пример победы математического взгляда на природу.

«Книга природы написана на языке математики» (взгляды Галилея).

Труды Иоганна Кеплера и Рене Декарта.

Исаак Ньютона и его «Математические начала натуральной философии».

«Гипотез не измышляю» - конвенционализм использования математики в натуральной философии. Взгляды Анри Пуанкаре и Пьера Дюгема.

Открытие принципов исчисления бесконечно малых.

Лаплас и развитие методов небесной механики. «Мир как машина». Детерминизм.

Современные успехи молекулярной биологии. Вопрос о разграничении живой и неживой материи.

Картезианская доктрина. Разделение материального и духовного.

Лейбниц и принципы разделения и примирения философского и научного знания.

«Монадология».

Рождение квантовой механики как пример возникновения новой физической теории.

Смысла процедуры редукции (коллапса) волновой функции. Копенгагенская интерпретация квантовой механики. Статистические (ансамблевые) интерпретации.

Карл Поппер и реалистическая интерпретация квантовой механики.

Квантовая теория и индетерминизм.

Список литературы 1. Д. Антисери и Дж. Реале, Западная философия от истоков до наших дней. Античность и средневековье / СПб.: Пневма, 2001. 604 с.

2. Д. Антисери и Дж. Реале, Западная философия от истоков до наших дней. От Возрождения до Канта / СПб.: Пневма, 2002. 880 с.

3. Философский энциклопедический словарь / М.: Сов. Энциклопедия, 1989. 815 с.

4. В. Л. Гинзбург, К трехсотлетию «Математических начал натуральной философии»

Исаака Ньютона / УФН, 1987, т. 151, с. 119.

5. Математический энциклопедический словарь / М.: Сов. Энциклопедия, 1988. 847 с.

6. П. Медавар, Дж. Медавар, Наука о живом / М.: Мир, 1983. 207 с.

7. К. Р. Поппер, Квантовая теория и раскол в физике / М.: Логос, 1998. 192 с.

8. М. Джеммер, Эволюция понятий квантовой механики / М.: Наука, 1985. 380 с.

9. Дж. Гринштейн, А. Зайонц, Квантовый вызов. Современные исследования оснований квантовой механики / Долгопрудный: «Ителлект», 2008. 399 с.

10. Э. Шредингер, Что такое жизнь с точки зрения физики? / М.: РИМИС, 2009. 172 с.

11. В. Гейзенберг, Часть и целое / М.: URSS, 2010. 232 с.

12. В. Гейзенберг, Шаги за горизонт / М.: Прогресс, 13. Луи де Бройль. По тропам науки / М.: ИЛ, 14. А. Сухотин, Превратности научных идей / М., 1991. 271 с.

15. С.Г. Гиндикин, Рассказы о физиках и математиках / М.: Наука, 1981. 190 с.

16. Д.Я. Стройк, Краткий очерк истории математики / М.: Наука, 1984. 283 с.

17. А. Даан-Дельмедико, Ж. Пейффер, Пути и лабиринты. Очерки по истории математики / М.: Мир, 1986. 431 с.

18. В.И. Арнольд, Что такое математика? / М.: МЦНМО, 2004. 103 с.

19. В.И. Арнольд, Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов / М.: 1989. 94 с.

20. С.И. Вавилов, Исаак Ньютон / М.-Л.: АН СССР, 1945. 230 с.

21. А. Пуанкаре, О науке / М.: Наука, 1983. 560 с.

22. Математики о математике. Сб. статей / М.: «Знание», 1967. 32 с.

23. Ж. Адамар, Исследование психологии процесса изобретения в области математики / М.: «Советское радио», 1970.

24. И.М. Яглом, Герман Вейль / М.: «Знание», 1967. 47 с.

25. Г. Вейль, Полвека математики / М.: «Знание», 1969.

Некоммутативный анализ и алгебраические преобразования Цель курса: представить общий обзор методов и конструкций алгебраического анализа линейных уравнений математической физики, а также формул исчисления некоммутирующих операторов.

Задачи курса: обучить применению некоммутирующих операторов и алгебраических подходов в исследовании линейных моделей математической физики, продемонстрировать фундаментальные связи между алгеброй и механикой, алгеброй и геометрией, дать примеры анализа ряда базовых квантовомеханических систем с помощью алгебраических методов и квантовой геометрии.

Программа курса 1. Функции от некоммутирующих операторов - Функции от нескольких некоммутирующих операторов. Достаточные условия реализации.

Базовые формулы исчисления (Ньютона, дифференцирования, квазикоммутации, для сложной функции, диаграммная техника и «интеграл» по путям). Контрпримеры.

- Квантовое произведение функций. Операторы регулярного представления и свертка. Примеры построения квантовых произведений по перестановочным соотношениям.

- Алгебра Гейзенберга. Теорема Стоуна-фон Неймана и неравенство Вейля. Задача Дирака.

Исчисление Вейля-Вигнера-Грюнвольда-Мойала-Берри-Маринова. Квантовые дельта-функция и тэта-функция. Формула Аргиреса для дискретного спектра квантовых систем с одной степенью свободы. Квантовое «действие» для случая одной степени свободы. Обобщенное упорядочение образующих алгебры Гейзенбкрга, устранение фокальных точек на примере осциллятора.

- Функции от образующих алгебр Ли. Унитарные представления групп Ли, теорема Нельсона.

Формула Кэмпбелла-Хаусдорфа. Инвариантные поля, формы, мера, уравнения Маурера-Картана.

Нильпотентные, разрешимые, полупростые, компактные группы. Форма Киллинга и лапласиан.

Разложение на неприводимые представления, мера Планшереля. Метод орбит Кириллова Костанта-Сурьо и геометрическое квантование. Формула Кириллова для характеров.

- Общие перестановочные соотношения, свойство Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Алгебры Фаддеева Решетихина-Склянина. Полулинейные соотношения. Сильно нелинейные и разрешимые соотношения. «Цветные» алгебры. Антикоммутационные соотношения. Операторы обобщенного сдвига.

- Подход Фейнмана к функциям от семейств некоммутирующих операторов. Формула выпутывания. Некоммутативная теорема Стокса. Континуальный аналог формулы Кэмпбелла Хаусдорфа. Формула Цассенхауза.

- Уравнение квантового эфира, квантовые пути и кривизна. Асимптотическое квантовое произведение на общих симплектических многообразиях. Квантовое фазовое пространство для римановой метрики и магнитного поля, магнито-метрическая симплектическая связность. Фронт эффект над плоскостью Лобачевского.

2. Алгебраические источники механики - Хроно-алгебры Фейнмана и алгебраическая динамика.

- Тензоры тока и напряжения, выведенные из алгебры Гейзенберга.

- Локализация на траекториях и транслокация гамильтониана.

- Фронт осцилляций и инфинитезимальные интегралы движения.

- Геометрия смешанных самосогласованных состояний и гистерезис.

- Влияние алгебры быстрых движений на геометрию медленных. Квантовая связность и кривизна Берри-Саймона.

- Некоммутативные координаты ведущего центра Ландау-Пайерлса для ларморова вихря в магнитном поле. Квантовые магнитные ловушки и квантовые адиабатические поверхности.

2D-уравнение Максвелла-Лоренца как гамильтонова система. Ток и локализация состояний ларморовых квазичастиц за счет геометрии поверхности. Квантовая поправка к геометрическому гамильтониану квазичастицы на поверхности.

- Спинорная структура и уравнение Дирака на многообразии. Деформация метрики в спинтронике.

Кривизна как напряженность псевдомагнитного поля в графене. Ток Холла в графене.

- Деформация классической геометрии в квантовых интегрируемых системах. Динамика на больших временах и квантовая диффузия. Формулы для асимптотики следа оператора эволюции и спектральной плотности.

3. Алгебраическое усреднение и нелиевские квантовые алгебры в физических моделях - Алгебраическое усреднение для матриц. Как сделать матрицы коммутирующими.

- Алгебраическое усреднение для нелинейных динамических (гамильтоновых) систем.

- Алгебраическое усреднение для квантовых систем.

- Резонансные алгебры: алгебры Ли, нелиевские алгебры и тройные алгебры. Алгебры ангармонических резонансных осцилляторов. Гироны в резонансных волноводных каналах и квантовых проволоках. Алгебры резонансных наноловушек Пеннинга.

- Регуляризация Кустанхеймо. Квадратичная алгебра эффекта Зеемана для атома водорода.

Алгебра резонансного эффекта Зеемана-Штарка. Водородоподобный центр на поверхности в магнитном поле. Атом-монополь в магнитном поле (модель МиК-Кеплера).

- Квадратичная алгебра фазового пространства над трехмерной сферой.

- Коммутанты элементов алгебр Ли и их квантовые листы.

Список литературы П.М. Дирак, Лекции по квантовой механике / М.: Мир, 1968.

П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах / М.: Мир, 1970.

А.А. Кириллов, Элементы теории представлений / М.: Наука, 1972.

Ф.А. Березин, Метод вторичного квантования / М.: Наука, 1986.

А.М. Переломов, Обобщенные когерентные состояния и их применение / М.: Наука, 1987.

В.В. Козлов, Общая теория вихрей / Ижевск, 1998.

Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов / М.: Наука, 1986.

В.П. Маслов, Операторные методы / М.: Наука, 1973.

В.П. Маслов, Асимптотические методы и теория возмущений / М.: Наука, 1988.

М.В. Карасев, Задачник по операторным методам / М.: МИЭМ, 1979.

М.В. Карасев, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование / М.: 1991.

M.V. Karasev (ed.), Coherent transform, quantization and Poisson geometry / Advances Math.Sci., 40, AMS, 1998.

M.V. Karasev (ed.), Asymptotic methods for wave and quantum problems / Advances Math.Sci., 53, AMS, 2003.

M.V. Karasev (ed.), Quantum algebra and Poisson geometry in mathematical physics / Advances Math.Sci., 57, AMS, 2005.

Н. Харт, Геометрическое квантование в действии / М.: Мир, 1985.

В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики / М.: Мир, 1977.

А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / М.: Наука, 1981.

М.Б. Менский, Группа путей. Измерения. Поля, Частицы / М.: Наука, 1983.

В.П. Шляйх, Квантовая оптика в фазовом пространстве / М.: Физматлит, 2005.

Н.Б. Брандт, В.А. Кульбачинский, Квазичастицы в физике конденсированного состояния / М.:

Физматлит, 2007.

Методы исследования нелинейных систем естествознания Цель курса: ознакомление с основными классами эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными, которые возникают при описании нелинейных явлений, и с методами построения их (асимптотических) решений;

с единой точки зрения, с помощью метода слабых асимптотик, рассматриваются разнородные, на первый взгляд, задачи такие как распространение и взаимодействие солитонов или слияние свободных границ при фазовых переходах;

излагается также метод построение точных решений вполне интегрируемых нелинейных уравнений с помощью обратной задачи рассеяния.

Задачи курса: слушатели должны освоить основные нелинейные эволюционные модели математической физики, понятие обобщенного решения, метод характеристик и его обобщения;

знать свойства, присущие решениям нелинейных уравнений (нелинейные эффекты), метод обратной задачи рассеяния, метод слабых асимптотик (с точки зрения техники вычислений и алгебры), метод регуляризаций;

уметь исследовать уравнения с частными производными первого порядка, строить решения уравнения неразрывности в разрывном поле скоростей,описывать распространение и взаимодействие уединенных нелинейных волн в различных задачах типа уравнений Бюргерса, Хопфа, Кортевега-де Фриза и его аналогов;

с помощью метода обобщенных характеристик уметь анализировать прямую и обратную задачи Коши для параболического уравнения Колмогорова-Феллера глобально по времени.

Программа курса 1. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка в дивергентной форме («скалярные законы сохранения»). Метод характеристик. Условие устойчивости Лакса Олейник. Метод малой вязкости. Энтропийное условие Кружкова.

2. Уравнение Бюргерса. Задача о взаимодействии сглаженных ударных волн.

Преобразование Хопфа-Коула.

3. Введение в метод слабых асимптотик. Асимптотические алгебры обобщенных функций с общим сингулярным носителем. Общие асимптотические алгебры обобщенных функций. Связь с теорией Коломбо.

4. Нелинейные законы суперпозиции. Взаимодействие сглаженных ударных волн для уравнений типа Бюргерса. Рождение ударных волн как результат взаимодействия слабых разрывов. Распад неустойчивой ударной волны. Взаимодействие ударной волны и волны разряжения в одномерном случае.

5. Асимптотические алгебры в многомерном случае. Рождение ударной волны как результат взаимодействия слабых разрывов.

6. Уравнения с малой дисперсией. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ.

7. Метод Маслова построения асимптотических солитонных решений для уравнений типа КдВ с переменными коэффициентами и малой дисперсией.

8. Описание взаимодействия солитонов в интегрируемых и неинтегрируемых уравнениях типа КдВ с малой дисперсией в рамках метода слабых асимптотик.

9. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Негладкие решения уравнения Гамильтона Якоби-Беллмана и их связь с обобщенными решениями «законов сохранения» в одномерном случае. Построение негладких решений уравнения Гамильтона-Якоби Беллмана методом характеристик.

10. Уравнение неразрывности в разрывном поле скоростей. Концентрация массы на подмногообразиях положительной коразмерности. Дельта-ударные волны: определение и построение методом характеристик. Дельта-ударные волны в многомерном случае.

Описание взаимодействия дельта-ударных волн методом слабых асимптотик. Дельта ударные волны с сингулярным носителем в виде стратифицированного многообразия.

11. Система уравнений газовой динамики без давления. Связь дельта-ударных волн с «блинной» теорией Зельдовича-Шандарина о строении вселенной. Влияние «темной материи» на процесс концентрации масс.

12. Построение обобщенных решений уравнения переноса с помощью обобщенных решений уравнения неразрывности и преобразования Маделунга.

13. Параболические псевдодифференциальные уравнения с малым параметром (уравнения типа Колмогорова-Феллера). Неосциллирующие аналоги ВКБ-решений в малом по времени. Асимптотика фундаментального решения при малых временах. Общая схема туннельного канонического оператора Маслова.

14. Построение глобальных по времени асимптотических решений уравнения с малым параметром типа Колмогорова-Феллера методом характеристик. Решение задачи Коши в обратном времени.

Список литературы 1. C.M. Dafermos, Hyperbolic conservation laws in continuum physics / Springer, 2000.

2.Теория солитонов. Метод обратной задачи / М., Мир, 1980.

3. Дж. Лэм, Введение в теорию солитонов / М., Мир, 1983.

4. М. Абловиц, X. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи / М., Мир, 1987.

5. V.G. Danilov, G.A. Omel’yanov, V.M. Shelkovich, Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves / Asymptotic methods for wave and quantum problems, Amer. Math. Soc., Transl. Ser. 2, 208, 33–163, Providence, RI, 2003.

6. V.G. Danilov, V.M. Shelkovich, Delta-shock wave type solution of hyperbolic systems of conservation laws / Quart. Appl. Math. 63(2005), no. 3, 401–427.

7. S. Albeverio, V. Danilov, Global in Time Solutions to Kolmogorov-Feller Pseudodifferential Equations with Small Parameter / Russian Journal Math. Phys., 18 (2011), no. 1, 10-25.

8. V.G. Danilov, D. Mitrovic, Shock wave formation process for a multidimension scalar conservation law / Quarterly Appl. Math., XIX (2011), no.4, 613-634.

Интернет-программирование, интерфейсы и компьютерная графика Цель курса Изучение цикла технологий для разработки научных веб-сайтов и научных интернет-сервисов Задачи курса 1. Теоретическое и практическое освоение технологий для программирования веб-сайтов.

2. Изучение методов и инструментов проектирования интеллектуальных интерфейсов программных систем, веб-сайтов и мобильных приложений.

3. Знакомство с технологиями компьютерной графики и освоение инструментов разработки графических элементов.

Программа курса Интернет-программирование Создание первого веб-сайта, основы синтаксиса html/css. Основы синтаксиса php на примере разработки программы для решения системы линейных уравнений.

Расширенные возможности php: использование библиотек, работа со строками, регулярные выражения. Основы работы с базой данных MySQL. Основы отладки веб-сайтов.

Виды интерфейсов (веб, мобильные приложения, десктопные приложения, специальные интерфейсы): их особенности и ограничения. Классы, списки. Веб-интерфейс: формы, таблицы.

Обмен данными между веб-приложениями: способы, форматы.

Основы проектирования сложных веб-сайтов: архитектура "интерфейс - сервер - БД".

Основы JavaScript. Использование AJAX. Интеграция с другими системами, API.

Работа с базой данных: сложные запросы, проектирование базы данных.

Проектирование интеллектуальных интерфейсов Что такое пользовательский интерфейс, примеры. Основные типы элементов интерфейса ("контроллы"). Обзор методики разработки интерфейсов: сбор и компоновка требований, создание прототипа, тестирование. Формат описания функциональных требований и логики поведения.

Способы проектирования интерфейсов (на основе списка требований, "use cases"/UML, итеративный). Программы для проектирования интерфейсов. Выбор элементов интерфейса.

Проектирование экранных форм. Разработка составных и специальных элементов интерфейса.

Разработка сценариев использования и карты последовательностей экранных форм.

Особенности интерфейса для десктопных приложений. Особенности интерфейса для веб приложений. Тестирование интерфейсов. Особенности интерфейса для мобильных приложений.

Особенности специальных интерфейсов. Адаптивные интерфейсы. Автоматическая генерация интерфейсов системой.

Компьютерная графика и дизайн сайтов Виды дизайна, анимации и компьютерной графики. Разработка трехмерной графики. Движение фигур в пространстве. Освещение, тени. Методы визуализации на примере физических и химических эффектов. Разработка материалов. Разработка текстур. Программирование трехмерной графики: обзор графических библиотек и методов создания компьютерной графики.

Трехмерное моделирование с помощью OpenGL. Трехмерное моделирование с помощью DirectX.

Разработка дизайна интернет-сайтов. Проектирование функциональных областей интернет-сайтов.

Разработка анимации с помощью flash. Скрипты flash-анимации (обзор языка Action Script).

Список литературы 1. М. Грабер, SQL. Справочное руководство / Лори, 2006.

2. К. Паппас, У. Мюррей, Отладка в С++. Руководство для разработчиков / Бином-Пресс, 2009.

3. Дж. Спольски, Джоэл о программировании / Символ-Плюс, 2006.

4. М. Янг, XML. Шаг за шагом / Эком, 2001.

5. Дж. Армстронг, Джен де-Хаан, Macromedia Flash 8. Официальный учебный курс / Триумф, 2007.

6. Э. Хант, Д. Томас, Программист-прагматик. Путь от подмастерья к мастеру / Лори, 2007.

7. Б. Скотт, Т. Нейл, Проектирование веб-интерфейсов / Символ-Плюс, 2010.

Биофизика и термодинамика макромолекул;

самосборка Цель курса: ознакомить с базовыми процессами и объектами молекулярных мезосистем.

Задачи курса:

- получение базовых знаний о биофизике молекулярных мезосистем, - ознакомление с механизмами молекулярного движения и самосборки, - получение представлений о математических моделях, описывающих молекулярные мезосистемы, - подготовка к самостоятельным исследованиям в области моделирования макромолекул и явлений самосборки.

Программа курса 1. Базовые физико-химические структуры и процессы в молекулярных мезосистемах.

Молекулы биологической клетки, мембраны, плазма, регуляторы протеинов, энзимы.

Молекулярные моторы. Потоки информации в клетке. Биокомпьютер Либермана.

Броуновское движение, уранение Фоккера-Планка, соотношения Эйнштейна, диффузионное приближение, теория Крамерса теплового туннелирования, химические реакции.

2. Термодинамика мягкой материи.

Статистический вес, энтропия, конформационная энтропия. Второй закон термодинамики, равновесные процессы. Примеры: термодинамика нитей, стальные проволоки, каучук.

Физика воды, роль водородных связей. Осмотическое давление. Особый статус модели Изинга. Денатурация ДНК.

3. Проблема самосборки.

Амфифильные молекулы, образование бислоёв. Вирусы. Молекулярные машины.

Модельные представления, основанные на уравнении Фоккера-Планка, применение к деятельности энзимов. Самосборка как работа молекулярной вычислительной машины.

4. Механика мембран.

Строение биологической мембраны. Искусственные химические мембраны, их технологические применения. Модель Хелфрика. Фазы губок (sponge phases). Трудности аналитического и дифференциально-геометрического подхода;

численное моделирование.

Список литературы М.В.Волькенштейн, Молекулярная биофизика, Наука, Москва (1975).

А.Зоммерфельд, Термодинамика и статистическая физика, ИЛ, Москва (1955) Р.Кубо, Статистическая механика, Мир, Москва (1967).

А.Б.Рубин, Теоретическая биофизика, том 1-2, изд. МГУ (2004).

Дискретная геометрия кристаллов и квазикристаллов Цель курса. Изложение математических основ теории внутренних симметрий структуры твердых тел, а также связей с глубокими результатами современной алгебры (в том числе, с решением знаменитой 18-ой проблемы Гильберта). Курс нацелен на формирование базисных знаний в этой фундаментальной области и демонстрацию взаимосвязей современной алгебры с физикой.

Задачи курса. Овладение языком и методами современной математической теории кристаллографии, включая развивающуюся в последние годы теорию квазикристаллов.

Итоговая задача - добиться такого уровня овладения материалом, который позволит слушателям самостоятельно работать в этой области.

Программа курса Группа изометрий (перемещений) n-мерного евклидова пространства. Ортогональная группа и группа параллельных переносов. Случаи прямой, плоскости и пространства (n=3).

Кристаллические множества и их группы симметрий. Кристаллографические группы.

Классификация кристаллографических групп изометрий плоскости.

Строение групп симметрий правильных многогранников. Классификация конечных групп ортогональных преобразований 3-мерного пространства.

Теорема Шенфлиса—Бибербаха о подгруппе параллельных переносов. Описание абстрактного строения кристаллографической группы в терминах когомологий. Теорема Бибербаха об аффинной эквивалентности. Теорема Цассенхауза о существовании.

Этапы классификации кристаллографических групп. Класс и арифметический класс кристалло-графической группы. Подгруппы Браве. Теорема Бибербаха о конечности.

Решетки в n-мерном евклидовом пространстве. Деформации: теория приведения. Случаи плоскости (n = 2) и пространства (n = 3). Типы Браве и сингонии (голоэдрии).

Классификация федоровских групп. Обзор результатов о кристаллографических группах изометрий пространств более высокой размерности.

Определение правильного многогранника в n-мерном евклидовом пространстве.

Символы Шлефли. Классификация правильных многогранников.

Разбиения n-мерного евклидова пространства на равные правильные многогранники.

Мозаики и калейдоскопы. 18 проблема Гильберта. Конечные группы изометрий n-мерного евклидова пространства, порожденные отражениями. Схемы Коксетера. Классификация таких групп.

Системы корней и решетки, инвариантные относительно конечных групп, порожденных отражениями. Их классификация.

Покрытие плоскости ромбами Пенроуза. Квазипериодические покрытия, их связь с периодическими покрытиями с помощью проектирования. Квазипериодические функции.

Квазирешетки. Квазикристаллы: определение и примеры. Теорема о локальной метрической повторяемости квазикристалла.

Группа симметрий квазикристалла. Квазикристаллографические группы. Примеры двумерных квазикристаллографических групп с бесконечной группой линейных частей.

Классификация двумерных квазикристаллографических групп с конечной группой линейных частей.

Квазикристаллографические группы с конечной группой линейных частей в размерностях 3.

Геометрия локальных правил для кристаллов и квазикристаллов.

Группы симметрий квазикристаллов и инверсные моноиды.

Квазикристаллографические группы в пространствах Минковского.

Алгебраические свойства групп симметрий кристаллов и квазикристаллов: проблемы Милнора и Ауслендера.

Список литературы 1. М. Берже, Геометрия, том первый, Мир, М., 1984.

2. Дж. Вольф, Пространства постоянной кривизны, Наука, М., 1982.

3. Д. В. Алексеевский, Э. Б. Винберг, А. С. Солодовников, Геометрия пространств постоянной кривизны, Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, том. 29, ВИНИТИ, М., 1983.

4. Г. Я. Любарский, Теория групп и ее применения в физике, Физматгиз, М., 1958.

5. А. В. Шубников, Атлас кристаллографических групп симметрии, изд-во АН СССР, М. Л., 1946.

6. М. Хамермеш, Теория групп и ее применение к физическим проблемам, УРСС, М., 2002.

7. R. L. E. Schwarzenberger, N-dimensional Crystallography, Pitman, San Francisco, 1980.

8. H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Chelsea, New York, 1973.

9. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия, Наука, М., 1979.

10. C. Janot, Quasicrystals, 2nd ed., Crandon Press, Oxford, 1994.

11. С. П. Новиков, И. А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля, МЦНМО, М, 2005.

12. Ле Ты Куок Тханг, С. А. Пиунихин, В. А. Садов, Геометрия квазикристаллов, Успехи математических наук, т. 48 (1993), вып. 1(289), 41—101.

13. Н. Abels, Properly disconnected groups of affine transformations: a survey, Geometriae Dedicata, 87 (20010, 309--333.

14. Проблемы Гильберта, Наука, М., 1969.

15. J. Milnor, Hilbert’s problem 18: On crystallographic groups, fundamental domains, and sphere packing, in: Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 28, 1976, 491-506.

Геометрические методы в базовых моделях естествознания Цель курса: обучить основным идеям, объектам и методам дифференциальной геометрии, которые используются в современных математических исследованиях базовых моделей естествознания.

Задачи курса: продемонстрировать появление ключевых структур дифференциальной геометрии в моделях, описывающих базовые системы естествознания, научить операциям с геометрическими объектами, научить применению геометрических объектов и методов для анализа свойств моделей естествознания, для представления решений динамических систем, в частности, гамильтоновых, для описания систем с симметриями, систем со связями, адиабатических систем.

Программа курса 1. Элементы дифференциальной геометрии в физике Основные понятия. Векторные поля, распределения, критерий интегрируемости Фробениуса. Тензоры, дифференциальные формы, теорема Стокса. Классы гомологий и когомологий. Расслоения, связности, аффинные связности, кручение, кривизна. Метрика, связность Леви-Чевита, геодезические, экспоненциальное отображение, нормальные координаты, рефлексии. Комплексные и кэлеровы структуры, форма Риччи, теорема Римана-Роха.Теория Ходжа. Классы Черна, Штифеля-Уитни, класс Эйлера. Теорема Гаусса-Бонне.

Примеры применения. Уравнения Максвелла. Монополь Дирака, электрический и магнитный заряды. Уравнения Янга-Миллса. Геодезические на сфере: расслоение Хопфа и двумерный осциллятор. Конформации молекул полимера. Вращение поляризации света в среде. Метрики, порожденные криволинейными координатами. Дефекты кристаллических решеток. Механика, электромагнетизм и спинтроника в искривленном пространстве.

Полевые уравнения Эйнштейна. Двумерные наноструктуры, электроны в графене.

2. Симплектическая геометрия в теории динамических систем Симплектические структуры. Примеры симплектических многообразий. Теорема Дарбу. (Ко)изотропные подмногообразия. Лагранжевы подмногообразия фазового пространства, теорема Костанта. Вполне интегрируемые системы, расслоение Лиувилля Арнольда. Координаты действие-угол. Цикл особенностей лагранжева подмногообразия и класс Маслова.

Группы и алгебры Ли. Коприсоединенные орбиты, их симплектическая структура.

Действие группы Ли на многообразии, группы симметрий. Редукция фазового пространства по действию группы Ли и редукция гамильтоновых систем с симметриями.

Отображение момента. Теорема Нетер. Некоммутативная интегрируемость гамильтоновых систем.

Динамические системы на расслоениях. Главные и ассоциированные расслоения.

Формы связности, кривизны. Параллельный перенос, группа голономий и ее связь с кривизной, редукция к группе голономий. Адиабатическое приближение в гамильтоновых системах, адиабатические инварианты, связность и кривизна Берри-Саймона, топологические и геометрические фазы.

Динамическая геометрия. Симплектические связности, дифференциально геометрические свойства. Рефлексивные и симметрические пространства, примеры симплектических связностей. Симплектические пути, симплектическая голономия и транслокации гамильтоновых систем. Обобщение метода подвижного репера Картана.

3. Пуассонова геометрия в классической механике Основные понятия. Скобки Схоутена. Пуассоновы структуры. Обобщенная терема Дарбу. Симплектические листы, форма Кириллова. Пуассоновы бирасслоения, редукция по пуассоновой алгебре симметрий и некоммутативная интегрируемость. Пуассонов алгеброид. Скобки Дирака и их обобщения. Деформации скобок Пуассона. Группоид, отвечающий скобке Пауссона.

Физические системы. Гамильтониан Леггетта в сверхтекучем гелии и математический маятник. Нелиевские алгебры симметрий резонансных осцилляторов, проблема сингулярных листов. Алгебры ловушек Пеннинга-Поля-Йоффе. Дрейф в адиабатических магнитных ловушках. Физические системы со связями 2-ого рода. Деформация динамики волчка. Адиабатическая прецессия спина.

Список литературы 1. С. Стернберг, Лекции по дифференциальной геометрии / М.: Мир, 1970.

2. К. Телеман, Элементы топологии и дифференцируемые многообразия / М.: Мир, 1967.

3. Р. Бишоп, Р. Криттенден, Геометрия многообразий / М.: Мир, 1967.

4. Дж. Милнор, Дж. Сташеф, Характеристические классы / М.: Мир, 1979.

5. Б. Шутц, Геометрические методы математической физики / Платон, 1995.

6. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия / М.: Наука, 1979.

7. А.Т. Фоменко, Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы / М.:

МГУ, 1983.

8. В.В. Трофимов, Введение в геометрию многообразий с симметриями / М.: МГУ, 1989.

9. Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер, Риманова геометрия в целом / М.: Мир, 1971.

10. Ш. Кобаяси, К. Номидзу, Основы дифференциальной геометрии, тт.1,2 / М.: Мир, 1981.

11. Д.В. Алексеевский, А.М. Виноградов, В.В. Лычагин, Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии / Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, т. (Геометрия-I), М.: ВИНИТИ, 1988.

12. К. Номидзу, Группы Ли и дифференциальная геометрия / Платон, 1996.

13. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики / М.: Наука, 1974.

14. В.В. Козлов, Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике / Ижевск, 1995.

15. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование / М.: Наука, 1991.

16. П.М. Дирак, Обобщенная гамильтонова динамика. Вариационные принципы динамики / М.: Физмаигиз, 1959.

17. А.В. Борисов, И.С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике / Ижевск, 1999.

18. Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев, Введение в нелинейную физику / М.: Наука, 1988.

Асимптотический анализ и многомасштабное осреднение Цель курса: изложение асимптотических методов построения решений уравнений с частными производными, важных в механике жидкостей и в теории теплопроводности;

в первой «механической» части обращено особое внимание на нелинейные эффекты, которые удается описать с помощью осреднения (или комбинации осреднения с техникой пограничного слоя) при изучении течений в рамках уравнений Навье-Стокса;

во второй части основную роль играют объекты симплектической геометрии и специальные интегральные преобразования.

Задачи курса: обучить общему подходу, позволяющему строить асимптотику решений математических моделей, возникающих как в многомасштабной пористой среде, так и в погранслоях сложной структуры над поверхностями с одиночными локализованными возмущениями и с периодическими неровностями;

обучить методу канонического оператора в виде Маслова (или интегральных операторов Фурье) для параболических уравнений, а также методу, основанному на разложении дельта-функции Дирака по гауссовым экспонентам.

Программа курса 1. Метод осреднения. Построение осциллирующих решений для линейных уравнений теплопроводности и волнового с осциллирующими коэффициентами. Математическая модель фильтрации газа в слоистой среде: нелинейное параболическое уравнение с осциллирующим коэффициентом.

2. Асимптотические решение систем уравнений Стокса и Навье-Стокса в пористой среде.

Модели «частиц в ячейках». Многомасштабные пористые среды, многомасштабные асимптотические решения. Поправки к уравнениям Дарси.

3. Течение несжимаемой жидкости вдоль поверхностей с неровностями:

- солитоноподобная неровность, трехпалубная структура Смита-Стюартсона, - солитоноподобное возмущение, двухпалубная структура, - малые периодические неровности, двухпалубная и трехпалубная структуры течения.

Устойчивость двухпалубной структуры. Рождение и затухание вихрей в двухпалубном погранслое. Алгоритмы численного решения уравнения, описывающего течение в приповерхностной области.

4. Представление дельта-функции через гауссову экспоненту с помощью операторов рождение-уничтожение.

5. Асимптотика на малых временах фундаментального решения задачи Коши для уравнения Колмогорова-Феллера:

- геометрия лагранжевых подмногообразий, отвечающих задаче, - построение интегрального представления, - обоснование построенной асимптотики, - исследование качественных свойств фундаментального решения для некоторых вырожденных коэффициентов диффузии, - фундаментальное решение для бездиффузионного уравнения Колмогорова-Феллера и его свойства.

6. Построения асимптотики фундаментального решения краевых задач на основе интегрального представления дельта-функции с помощью операторов рождение уничтожение.

Список литературы 1. Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, Осреднение процессов в периодических средах.

Математические задачи механики композиционных материалов / М.: Наука, 1984.

2. В. П. Маслов, Асимптотические методы и теория возмущений / М.: Наука, 1988/ 3. Э. Санчес-Паленсия, Неоднородные среды и теория колебаний / М.: Мир, 1984.

4. V.G. Danilov, V.P. Maslov, K.A.Volosov, Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes / Kluwer Acad. Publ., 1995.

5. V.G. Danilov, S.M. Frolovitchev, Exact asymptotics of the density of the transition probability for discontinuous Markov processes / Math. Nachr. 215 (2000), 55–90.

6. V.G. Danilov, A representation of the delta function via creation operators and Gaussian exponentials, and multiplicative fundamental solution asymptotics for some parabolic pseudodifferential equations / Russian J. Math. Phys. 3 (1995), no. 1, 25–40.



Pages:   || 2 |
 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.