Факторизационные методы исследования влияния поверхностных воздействий на напряженно-деформированное состояние литосферных плит

На правах рукописи

ПАВЛОВА АЛЛА ВЛАДИМИРОВНА ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Краснодар 2010

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный консультант: академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор Бабешко Владимир Андреевич Официальные член-корреспондент РАН, оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Индейцев Дмитрий Анатольевич доктор физико-математических наук, профессор Фролов Николай Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Собисевич Алексей Леонидович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Южный научный центр РАН

Защита состоится «28» декабря 2010 г. в 14 ч на заседании диссертационного совета Д.212.101.07 в Кубанском государственном университете (КубГУ) по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КубГУ.

Автореферат разослан « » ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета М.С. Капустин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Создание Актуальность темы исследования.

теоретических основ систем сейсмодеформационного мониторинга и методов обработки данных, ориентированных на прогнозирование катастрофических природных и техногенных явлений – одна из центральных проблем геомеханики и геофизики. Многолетние попытки поиска прогностических признаков землетрясений подтверждают исключительную сложность задачи и необходимость комплексного применения всех возможных геофизических и математических методов, проведения общего анализа материалов сейсмологических наблюдений и расчетов напряженно-деформированного состояния геологической среды.

В настоящее время существуют разные модели сейсмичности. Фундаментальные проблемы динамики земной коры исследованы в работах В.В. Адушкина, К. Аки, П. Ричардса, А.С. Алексеева, В.Н. Родионова, М.А. Садовского, В.Ф. Писаренко.

Важные результаты в области развития методов исследования структуры верхней литосферы и интерпретации данных сейсморазведки принадлежат Г.А. Гамбурцеву, Ю.В. Ризниченко, Е.В. Гальперину. Большой вклад в развитие моделей сейсмических волновых процессов внесли А.О. Глико, А.В. Николаев, Л.Е Собисевич, А.Л. Собисевич, Ю.К. Чернов и другие ученые. Используемые механико-математические модели геофизической среды весьма многообразны, степень их общности и сложности определяется решаемыми с их помощью задачами.

Несмотря на значительные усилия и очевидные успехи, проблема оценки сейсмичности и прогноза землетрясений далека от полного решения. Это объясняется чрезвычайной сложностью рассматриваемой системы и указывает на необходимость разработки новых методов ее исследования. Анализ сейсмической напряженности литосферных плит с позиции механики деформируемого твердого тела приводит к изучению задач для слоисто-блочных сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия различной природы. Решение такого рода задач требует привлечения методов механики контактных взаимодействий деформируемых тел.

Значительный вклад в исследование контактных задач внесли российские и зарубежные ученые Б.А. Абрамян, В.М. Александров, Ю.М. Амензаде, А.Е. Андрейкив, Б.Д, Аннин, Н.Х. Арутюнян, А.А. Баблаян, А.В. Белоконь, Н.М. Бородачев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Л.А. Галин, И.П. Гетман, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, В.Г. Гринченко, А.Н. Гузь, И.М. Дунаев, О.Ю. Жарий, В.В. Зозуля, Д.А. Индейцев, В.И. Колесников, В.В. Калинчук, А.С. Космодамианский, В.Д. Купрадзе, Е.В. Ломакин, А.В. Манжиров, В.П. Матвеенко, В.В. Мелешко, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, Н.И. Мусхелишвили, А.В. Наседкин, В. Новацкий, В.В. Панасюк, В.З. Партон, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, В.С. Саркисян, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Л.И. Слепян, Б.И. Сметанин, А.В. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, Л.А. Фильштинский, М.И. Чебаков, Г.П. Черепанов, J.D. Achenbach, A. Ben-Menahem, A.H.-D. Cheng, D.T. Cheng, W.M. Ewing, W.S. Jardetzky, M.J. Musgrave и др.

В последние десятилетия появилось множество доказательств, позволяющих говорить о постоянных изменениях, происходящих на поверхности и в глубинах Земли не только в сейсмоактивных районах, но и в равнинно-платформенных областях1. То есть сейсмические события происходят и в удаленных от глобальных разломов зонах, что указывает на определенную роль разломов сравнительно малой мощности и необходимость анализировать и мелкомасштабные особенности при изучении предпосылок сейсмического события. Это одна из причин усиления внимания исследователей в различных областях науки к изменению напряженно-деформированного состояния верхней части земной коры.

Кузьмин Ю.О. Современные суперинтенсивные деформации земной поверхности в зонах платформенных разломов // Геологическое изучение и использование недр: информ. сб. М., 1996. № 4. С. 43–45.

Другая очевидная причина повышения интереса к изучению напряженно-деформированного состояния литосферных плит – глобальные масштабы промышленной деятельности человека, связанной с отбором углеводородов из глубинных зон Земли, взрывами большой мощности, имеющими место в очагах военных действий, и т.д., создающие так называемые наведенные геомеханические процессы, способные вызвать техногенные катастрофы. Несмотря на редкие проявления сейсмичности в виде техногенных землетрясений, нанесенный ими экологический ущерб может быть велик. Реакция земной коры на внешние воздействия зависит не только от их интенсивности, но и от энергонасыщенности ее структур, величины и распределения напряжений в ней. Неоднородность геологической среды, проявляющаяся в виде естественных структурных нарушений (тектонические разломы, множественные включения и трещины разного масштаба и т.д.), определяет ее деформационные и прочностные свойства, играющие важную роль в формировании отклика на внешние воздействия. Под действием внешних сил на неоднородности литосферной плиты могут активизироваться процессы, приводящие к появлению зон разуплотнения (дилатансных зон). Зарождение и развитие зон дилатансии можно связывать с активизацией «вирусов» вибропрочности – совокупностей неоднородностей различной природы (трещин и включений)2. Академиком А.С. Алексеевым и его учениками установлено, что зарождение и развитие локальных дилатансных структур имеет место на этапе подготовки сейсмических событий в упругих средах.

Верхняя часть земной коры, где сосредоточена деятельность человека, является практически важным объектом изучения.

Особое внимание в настоящее время уделяется воздействию на земную кору техногенных источников, например, слабых, но продолжительных по времени механических вибраций (автомобильные и железные дороги, промышленные комплексы), Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и трещин) // Известия РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5–9.

способных приводить к резонансным явлениям на некоторых элементах земной коры3.

Настоящая работа посвящена изучению влияния поверхностных воздействий на напряженно-деформированное состояние геологической среды и связана с оценкой концентраций напряжений, возникающих в литосферных плитах, с учетом блочного строения последних и наличия межблоковых нарушений сплошности (трещин, включений), которые определяют в целом деформационные свойства и устойчивость к внешним воздействиям слагающих плиты массивов.

математическое Цель диссертационной работы:

моделирование динамики литосферных плит в результате воздействия поверхностных факторов;

изучение напряженно деформированного состояния литосферных плит, обусловленного воздействиями различного типа на поверхность Земли;

разработка основанного на идеях факторизации математического аппарата для исследования деформационных процессов, позволяющего учитывать сложное строение среды (слоисто блочную структуру, наличие внутренних концентраторов напряжений и покрытий);

выявление закономерностей, связанных с поведением литосферных плит различного строения.

Достижение поставленной цели осуществлялось путем решения следующих задач:

– моделирование динамического поведения сред с учетом их блочного строения;

– моделирование динамических процессов в слоистых средах при наличии множественных дефектов типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев;

– моделирование динамических процессов в упругих средах при наличии покрытия;

Адушкин В.В. Актуальные проблемы геомеханики земной коры // Вестник ОГГГН РАН. 2001. № 1(16). URL:

http://www.scgis.ru/russian/cp1251/h_dgggms/1-2001/adushkin.htm#begin (дата обращения: 17.12.2009).

– развитие математических методов исследования краевых задач, возникающих при моделировании динамических процессов в средах сложного строения;

– применение развитых факторизационных методов к решению задач для слоисто-структурированных сред при наличии дефектов на границах структурных элементов;

– применение факторизационных методов к исследованию процессов формирования покрытий за счет осаждения субстанций на поверхность Земли;

– развитие метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений динамических контактных задач.

Научная новизна работы определяется следующими результатами.

Математический аппарат, включающий в совокупности теорию «вирусов» вибропрочности, дифференциальный метод факторизации, интегральный метод факторизации, метод блочного элемента, впервые применен к исследованию задач механики деформируемого твердого тела для многослойных сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия.

Предложен новый аналитический метод построения систем интегральных уравнений динамических задач для слоистых и блочных упругих сред с учетом включений и расслоений на контактных границах.

Получены матрично-функциональные соотношения для различных сред, служащие основой для построения систем интегральных уравнений исследуемых задач.

Эффективный метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач – метод фиктивного поглощения обобщен на случай невыпуклых в плане областей контакта.

Построены аналитические представления решений краевых задач для блочно-структурированной среды.

Научное и практическое значение результатов работы. В диссертационной работе проведен комплекс теоретических исследований напряженно-деформированного состояния литосферных плит как сложных деформируемых объектов с неоднородностями. Получил дальнейшее развитие метод факторизации, использующий топологический подход и позволяющий строить представления решений рассматриваемых задач в различных интегральных формах.

Полученные результаты открывают определенные перспективы разработки моделей и развития методов, направленных на построение теории деформирования литосферных плит и слагающих их горных массивов с учетом их строения. Совокупность научных положений и результатов, полученных и обоснованных в диссертационной работе, служит развитию нового перспективного научного направления в механике деформируемых тел сложной структуры.

Методы, получившие дальнейшее развитие в диссертационном исследовании, позволяют с единых позиций изучить комплекс проблем сейсмологии, связанных с нарастанием напряжений в литосферной плите.

Результаты проведенных теоретических исследований, построенные модели и разработанные подходы позволяют по новому подойти к изучению сейсмических событий, разработке методов вибрационного воздействия на очаги концентрации напряжений, постановке экспериментальных работ, связанных с изучением волновых полей в геофизической среде, а также дать правильное толкование наблюдаемым геофизическим процессам и явлениям.

Изучение динамики упругих сред с множественными неоднородностями может найти применение при выборе путей и методов изменения резонансных свойств среды, в геофизике и сейсмологии – при разработке методов контроля напряженного состояния горных пород, раннего прогнозирования землетрясений и выявления путей разрядки сейсмичности.

Предложенные методы также могут быть использованы при расчетах конструкций и их элементов на прочность, в решении проблем виброзащиты и сейсмостойкости сооружений.

Исследования проводились в КубГУ в рамках ряда государственных научно-технических программ, в том числе:

Федеральной целевой комплексной программы «Интеграция науки и высшего образования России 2002–2006 гг.», проект № А0017;

программ Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ» (грант НШ-2107.2003.1), «Фундаментальные проблемы механики твердого деформируемого тела» (грант НШ-4839.2006.1), «Фундаментальные проблемы механики и сейсмологии» (грант НШ-2298.2008.1), «Разработка теоретических основ и прикладных методов применения блочных элементов для дефектоскопии материалов и конструкций сложного строения с зонами недоступности» (грант НШ-3765.2010.1);

программы Минобразования России «Фундаментальные исследования в области естественных и точных наук», грант «Разработка математических моделей, методов и программных средств исследования динамических процессов в связанных задачах механики деформируемого твердого тела», проект № Е-02-4.0-191.

Исследования проводились при поддержке грантов РФФИ, выполняемых под руководством диссертанта: 06-01-96802-р_юг_офи, 06-01-96638-р_юг, 08-01-99016-р_офи, 10-08-00289_а;

грантов с участием диссертанта в качестве исполнителя: REC- Американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза, РФФИ:

99-01-00787_а, 00-01-96007-р_юг, 00-01-96024-р_юг, 03-01-00694_а, 03-01-96537-р_юг, 05-01-00902_а, 06-01-00295_а, 03-01-96519-р_юг_а, 03-01-96658-р_юг, 06-01-08017_офи, 06-01-96805-р_юг_офи, 06-08-00671_а, 08-01-99013, 08-08-00669_а, 09-01-96503-р_юг_а, 09-08-00170_а, 09-08-00294_а.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов, сравнением результатов решения простых задач с полученными иными методами, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами.

На защиту выносятся:

1) математические модели динамики блочно структурированной литосферной плиты с учетом наличия внутренних концентраторов напряжений;

2) развитие дифференциального метода факторизации для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит как деформируемых объектов сложного строения;

3) метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании слоистых материалов с неоднородностями и покрытиями;

4) новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей;

5) обобщение метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических задач теории упругости для случая односвязных областей произвольной конфигурации;

6) методы исследования процессов формирования покрытий за счет осаждения субстанций на подложку.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее части докладывались: на научно-практической конференции «Проблемы строительства в сейсмоопасных регионах» (Ростов-на-Дону, 2002 г.), Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород, 2004 г.), ежегодных всероссийских конференциях по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 2002–2007 гг.), XVI (Санкт-Петербург, 2003 г.), XVII (Кострома, 2004 г.), XVIII (Казань, 2005 г.) международных научных конференциях по математическим методам в технике и технологиях, Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону – Азов, 2004 г.), XXIV Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 80-летию со дня рождения акад. В.П. Макеева (Миасс, 2004 г.), Международной научно-технической конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005 г.), Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005 г.), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), VII (2001 г.), VIII (2002 г.), X (2006 г.), XI (2007 г.), XII (2008 г.) международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону), VI, VII, VIII всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике, VI Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 2010 г.), на конференциях грантодержателей регионального конкурса Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Краснодарского края «Юг России» (Краснодар, 2006–2009 гг.). В полном объеме результаты диссертационной работы представлялись и обсуждались на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Научно исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф КубГУ.

Основные результаты исследований, Публикации.

выполненных по теме диссертации, содержатся в 58 публикациях, в том числе 15 публикациях, вышедших в изданиях, включенных ВАК в перечень рекомендованных для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук. Теоретические положения работы использованы в ряде спецкурсов, а также включены в учебное пособие «Математическое моделирование экологических процессов распространения загрязняющих веществ», рекомендованное отделением Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки РФ в ЮФО для студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика и информатика» и «Безопасность жизнедеятельности в техносфере». Результаты диссертационных исследований использованы в 4 свидетельствах об официальной регистрации созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской Федерации. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы, объемом 265 страниц, и приложений. Список использованной литературы включает 299 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертационной работы, обоснована актуальность темы диссертации, дана общая характеристика работы, сформулированы цель, основные задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

Здесь же приведено разделение результатов, принадлежащих автору диссертационной работы и его соавторам в совместных публикациях.

В Кубанском государственном университете ведутся работы по созданию новых методов прогноза сейсмичности. Основная идея подхода состоит в исследовании концентраций напряжений в литосферных плитах как деформируемых физико-механических объектах сложного строения с учетом их слоисто-блочного строения, анизотропии, широкого спектра физико-механических характеристик, наличия совокупностей неоднородностей и т.д.

Моделированию динамических процессов в упругих ограниченных и полуограниченных телах, содержащих неоднородности, посвящено большое количество работ. В работах В.М. Александрова, О.М. Бабешко, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.В. Михаськива, Ю.Н. Подильчука, Г.Я. Попова, О.Д. Пряхиной, Н.Ф. Морозова, М.Г. Селезнева, Б.И. Сметанина, А.В. Смирновой, Г.П. Черепанова и других авторов описаны результаты исследований применительно к различным упругим и пластическим материалам в широком диапазоне постановок задач.

В крупномасштабной модели строения литосферы литосферные плиты можно рассматривать как покрытия с относительно малой толщиной в масштабах Земли. В другом масштабе литосферную плиту можно моделировать полуограниченным упругим телом с покрытием.

Существенный вклад в развитие теории смешанных задач механики сплошных сред с покрытиями внесли С.А. Амбарцумян, В.И. Авилкин, В.М. Александров, Н.Х.Арутюнян, И.Н. Векуа, И.И. Ворович, А.Л. Гольденвейзер, А.И. Лурье, Г.И. Петрашень и их ученики и последователи. Различные задачи, нашедшие практические приложения, исследованы в работах А.С. Вольмира, И.Г. Горячевой, Е.В. Коваленко, А.В. Манжирова, С.М. Мхитаряна, Б.Л. Пелеха и др.

В первой главе даны постановки задач, моделирующих динамику литосферной плиты с позиций механики деформируемого твердого тела с учетом ее строения и наличия внутренних концентраторов напряжения. Приведены определяющие уравнения и соотношения динамики упругого анизотропного тела, обладающего пьезо- и пироэлектрическими свойствами, рассмотрены различные типы начальных и граничных условий, выполнены постановки задач о взаимодействии массивных твердых тел с полуограниченной термоэлектроупругой средой в рамках линейной теории (п. 1.1).

Здесь же представлены системы уравнений, описывающих динамические процессы в слоистых средах, содержащих внутренние дефекты, при взаимодействии с поверхностными объектами (п. 1.2).

При постановке задач о вибрации штампов на поверхности среды считается, что существует статическая нагрузка, прижимающая основания штампов к поверхности. Аналогично постановка задач для сред с трещинами подразумевает действие наряду с динамическими препятствующих контакту берегов статических напряжений.

Для решения сформулированных динамических начально краевых задач к дифференциальным уравнениям, описывающим движение среды и поверхностных объектов, и граничным условиям применяется интегральное преобразование Лапласа по времени с учетом заданных начальных условий или осуществляется переход к установившемуся режиму колебаний.

В п. 1.3 первой главы приведены основные определения и положения теории «вирусов» вибропрочности, используемые при классификации задач для слоисто-структурированных сред с дефектами.

Если задачи для упругих тел с единичной неоднородностью исследованы достаточно глубоко, то в случае совокупности дефектов – недостаточно, в первую очередь по причине трудностей математического характера. Одним из методов, позволяющих исследовать «вирусы» вибропрочности, является метод факторизации. В настоящей работе метод факторизации развивается применительно к совокупностям плоских жестких включений и полостей-трещин, расположенных на параллельных плоскостях в деформируемой среде, а также их комбинациям.

Подобные структуры впервые были обнаружены в литосферных плитах вибросейсмическими методами профессором университета Теннесси Р. Вильямсом в штате Огайо.

Во второй главе изложены сведения о факторизации функций и матриц-функций (п. 2.1), описаны общая схема дифференциального метода факторизации (п. 2.2) и примеры использования факторизационных методов в решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (п. 2.3), демонстрирующие технику применения дифференциального метода факторизации.

Дифференциальный метод факторизации для краевой задачи в области представляет собой обобщение метода интегральных преобразований, являющегося удобным инструментом изучения последней в случае, когда область и функции, описывающие интегральное преобразование, согласованы. При этом под согласованностью понимается возможность перехода от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям в результате применения интегрального преобразования.

Рассматривается краевая задача для системы P дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в частных производных произвольного порядка в выпуклой трехмерной области, записанная в операторном виде:

K x1, x2, x3 g, (1) l, g g m, l, m 1, P, xi.

xi На гладкой границе задаются следующие граничные условия:

R x1, x2, x3 f, x. (2) Искомое решение и заданные f, g принадлежат некоторому пространству медленно растущих функций H s. С помощью дифференциального метода факторизации краевая задача решается в конечном виде, если является полупространством. В случае, если область выпуклая, задача сводится к решению системы нормально разрешимых псевдодифференциальных уравнений меньшей размерности.

Используются локальные системы декартовых координат x x1, x, x, 1,P, где O x1, O x лежат в касательной 2 плоскости к границе, а третья ось направлена по внешней нормали. Применением трехмерного преобразования Фурье V задача (1), (2) в локальной системе координат сводится к системе функциональных уравнений вида K G. (3) i 1, Здесь K kn m, – полиномиальная i матрица-функция порядка P в локальной системе координат с номером, V3, G V3g. Вектор внешних форм имеет в качестве компонентов значения решения и его нормальных производных на, заданных граничными условиями, а также неизвестных. Неизвестные функции или производные находятся из псевдодифференциальных уравнений, получаемых при преобразовании функциональных уравнений (3).

Предполагается, что параметры 1, находятся на вещественной оси, а 3 3 1, 2 изменяется в комплексной плоскости. Осуществляя левостороннюю факторизацию K по параметру 3 в виде K K K 3, функциональное уравнение (3) можно представить как K K 1 G.

(4) 3 Слева в соотношении (4) находится вектор-функция, компоненты которой регулярны в области E. Такими же свойствами должна обладать вектор-функция, стоящая справа.

Здесь использовано обозначение E для области, содержащей все нули z vj Imz vj 0, j 1, N, определителя K, нули считаются однократными. Через E обозначено дополнение E до всей плоскости.

Требование равенства нулю проекции правой части как функции параметра 3 на область E приводит к соотношениям lim K 1 3 G 3 3 zj 0, j 1, N, (5) 3 z j где z vj – нули detK Imz vj 0.

После решения системы псевдодифференциальных уравнений (5) найденные составляющие вносятся в вектор внешних форм. Из (3) находится, к которому затем применяется трехмерное обращение Фурье V31. В результате получается представление решения в виде i,x 1 x 3 K 3 G e d1 d d, x.

(6) 2 8 В случае ограниченной области, используя факторизацию в виде K K l, K r, K l, K r,, представление (6) 3 3 3 можно преобразовать к виду i1 x x N 1 1 z x x 2 e B 1,,zj e j K r, i 1 4 x3 j z x N B 1,,zj e j 3 d1 d 2, K l,1 i x3 j B 1, 2,zj i lim 3 zj K 1, G, 3 z j где в матрице-функции K, знаку «–» соответствует l, знаку «+» – r. Граница и G представлены:, G G G ;

G 0, 0 при.

Рассматриваемые системы дифференциальных уравнений в частных производных являются весьма общими, и ценность дифференциального метода факторизации заключается в его применимости к исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений по одному и тому же алгоритму, независимо от типа дифференциальных уравнений. Однако его реализация для задач механики деформируемого твердого тела, порождаемых исследованиями литосферных плит, подверженных внешним воздействиям, недостаточно проработана и требует дальнейшего развития.

В п. 2.3 изложено применение дифференциального метода факторизации к задаче для упругого тела, движение точек которого описывается уравнениями Ляме. Подробно алгоритм построения соотношений (3) – (5) для упругого тела приведен в работах [9, 10]. Для избранной окрестности их можно представить в виде известных соотношений:

LVu DV или V 1K V u, где u ul, l – соответственно вектора амплитуд (в случае установившегося режима колебаний) или трансформант Лапласа (в случае нестационарной задачи) перемещений и напряжений;

V – оператор двумерного преобразования Фурье по переменным x1, x2 ;

K – матрица Грина упругого полупространства. Вид матриц L, D приведен в диссертационной работе и в [9, 10].

Полученные формулы совпадают со случаем, когда тело является полупространством. Однако существенное различие состоит в том, что носителями вектор-функций u и выступают окрестности локальных систем координат. Вводя касательное расслоение границы, следует построить локальные системы прямоугольных координат, затем в каждой из них применить преобразование Фурье по всем переменным, сопровождающееся введением своих внешних форм. Количество систем псевдодифференциальных уравнений будет равным количеству локальных систем координат P. Системы уравнений могут быть записаны в следующем виде:

L 1,, 3r 1, U 1,, 3r 1, 2 2 2, T,, 3r 1, D 1,, r 2 3 1 2 1 2 P L, 2, 3r 1, U 1, 2, 3r 1, 1 2, D 1,, 3r 1, T 1,, r 1, 0, 1, P, (7) 2 2 2 3 где r 1, ;

r 1, R – нули detK (3), принадлежащие нижней 3 полуплоскости.

Построенные псевдодифференциальные уравнения позволяют формулировать краевые задачи для упругого тела в различных постановках в зависимости от того, заданы ли на границе перемещения u или напряжения, u V 1U, V 1T.

Создание основанного на методах топологической алгебры, внешнего анализа, теории представления групп и интегральной геометрии математического аппарата исследования блочных структур позволяет изучать особенности напряженно деформированного состояния литосферной плиты в рамках теории М.А. Садовского. В представленной работе сделаны дальнейшие шаги в развитии математического аппарата исследования структурно-неоднородных сред. В п. 2.5 приведено обобщение дифференциального метода факторизации на случай блочной структуры. Метод излагается для блочных структур на примере разнотипных изотропных блоков, однако он может быть использован и для материалов с произвольными свойствами блоков. Полагается, что область блочной структуры состоит из соприкасающихся выпуклых областей j, j 1,M, с границами j. Может оказаться, что часть границы np некоторого блока с номером n является общей с границей блока с номером p. Далее такие границы будут называться контактирующими, в их обозначениях использован двойной индекс. Остальные части границ обеих областей n, p являются неконтактирующими, они могут быть свободны или подвержены внешним воздействиям. Для каждого блока j 1,M, имеющего свои механические характеристики, справедливы определяющие уравнения изотропной теории упругости. На неконтактирующих частях границы ставятся краевые условия теории упругости, приведенные в первой главе. На контактирующих частях при условии сохранения сплошности среды ставятся условия равенства векторов напряжений и перемещений, т.е. u n u p, n = p на np. Краевые условия на контактирующих границах в общем случае содержат значения напряжений и перемещений по крайней мере из двух соседних областей. Этим блочные структуры существенно отличаются от рассмотренного случая для отдельного выпуклого тела.

Для каждого блока в локальной системе координат задача сводится к функциональным уравнениям вида (3):

K l U l, Ul V3ul.

l n Процедура применения дифференциального метода факторизации к рассматриваемой краевой задаче, включающая его реализацию в каждой из областей отдельно [12, 13], приводит для двух блоков n, p к системам псевдодифференциальных уравнений вида (7), где L Ll, D D, U U, T Tl,,, l l l n в области n и l p в области p.

Эти псевдодифференциальные уравнения можно свести к системам интегральных уравнений (СИУ). СИУ для области n, составленная относительно вектора n при заданных на неконтактирующих границах перемещениях un, имеет вид 0 P,n :

k x 1, x 2 n 1, 2 d1 d 2 + n 1 n P, n k x,, x, 2 1, 2 d1 d 2 = + n 1 1 2 n 1, n P, n = u x, x + g x,, x, 2 u 1, 2 d1 2, x1, x n.

n 1 2 n 1 1 2 n 1, n Для области p, контактирующей с областью n по границе np, с учетом выполнения граничных условий система интегральных уравнений принимает вид k x 1, x 2 1, 2 d 1 d 2 + p 1 2 l m P k x,, x, 2 1, 2 d 1 d p 1 1 2 p 1, n P k x, 1, x, 2 1, 2 d 1 d 2 = u x1, x + p 1 2 n l 1, np P g x, 1, x, 2 u 1, 2 d 1 p 1 2 p 1, p P g x1, 1, x, 2 u 1, 2 d1 2, 1 P P2.

p 2 n 1, np x, x p, l n, m np Здесь l p, m p, если при 1 x, x ;

P1, P2 – числа разбиений единицы для np 1 неконтактирующей и контактирующей частей границы p соответственно. Ядра интегральных уравнений определяются формулами k x1, x V 1K 1,, k x1, 1, x, 2 V 1K 1, expi,, l 2 l l 2 l g x1,1, x, 2 V 1G 1, exp i,, =, l 2 l 1 1 K 1, Ll D, K 1, Ll D, G 1, Ll Ll.

l 2 l l 2 l l Изложенный в п. 2.5 вывод интегральных уравнений для блочной структуры из двух блоков позволяет получить интегральные уравнения для структуры, содержащей произвольное число блоков.

В случае блочной структуры так же, как и в случае одного тела, можно построить приближенное решение, опустив малые члены. Тогда интегральные уравнения относительно вектора n примут вид k n x1 1, x2 2 t n 1, 2 d1 d 2 u n x1, x2, x1, x2 n ;

n k x 1, x 2 t 1, 2 d1 d 2 u x1, x, x1, x p, 1 P.

p 1 2 l l 2 p Здесь l p при x1, x p, l n при x1, x np. После 2 решения СИУ точные или приближенные их решения вносятся в интегральные представления решений краевых задач, в результате перемещения представляются в виде u V31 K l1, l n, p.

l l l При наличии дефектов (трещин или включений) меньших размерностей последние целесообразно рассматривать как границы блоков. В результате получается однотипный алгоритм исследования блочных структур с указанными неоднородностями.

При изучении задач для блоков сложной формы предлагается осуществлять их разбиение на составляющие с плоскими границами, названные блочными элементами. В п. 2. построены примеры ограниченных и полуограниченных [14] блочных элементов. Благодаря дифференциальному методу факторизации удалось сформировать алгоритмы теории блочных структур, следствием чего явилась возможность введения блочного элемента как альтернативы конечному элементу, имеющему свои достоинства и недостатки. Блочный элемент – инструмент, позволяющий распространить теорию блочных структур на среды с переменными и нелинейными свойствами и открывающий возможность для представления решений во внутренних областях через значения некоторых дифференциальных форм, задаваемых на границах рассматриваемой области и в заданных сечениях областей.

В третьей главе рассмотрены краевые задачи механики деформируемого твердого тела, поставленные для слоистых структур при наличии совокупности внутренних неоднородностей. Предложен новый аналитический метод построения функциональных уравнений и систем интегральных уравнений для слоисто-структурированной среды на основе дифференциального метода факторизации.

В п. 3.1 с помощью дифференциального метода факторизации построены функциональные уравнения для упругого слоя: x1,x2, hk 1 x3 hk. Предполагается, что на граничных поверхностях x3 hn, n k 1, k действуют напряжения с амплитудами n n1, n 2, n 3, n x1, x2, hn ij n j, амплитуды x3 hn перемещений точек поверхностей определяются векторами u n u n1,u n 2,u n 3. Здесь использован прямой дифференциальный метод факторизации, удобный для областей с плоскими границами. Для однородного изотропного слоя к тем же соотношениям, являющимся своеобразной формой записи граничных интегральных уравнений, приводит использование теоремы Бетти4. Однако дифференциальный метод факторизации демонстрирует более общий подход, так как переход к уравнениям для анизотропных и электроупругих сред требует дополнительных усилий по построению аналогов формулы Бетти.

Для слоя с плоскими границами соотношения (5) приводят к матричным уравнениям Lk 1,k 1U k 1 Lk,k 1U k Dk 1,k 1Tk 1 D k,k 1Tk, (8) где U k U kj, U kj 1, 2 Vu j x1, x2, hk ;

Tk Tkj, Tkj 1, 2 V j x1, x2, hk, j 1,3.

При этом матрицы Ll,k 1 и Dl,k 1, l k 1, k, отражают вклад волн, распространяющихся в слое вверх, а матрицы Ll,k 1 и Dl,k 1 – соответственно вниз. Здесь использованы обозначения работ [1–3], второй индекс у матриц Ll,k 1 и Dl,k 1 введен для указания на номер слоя, совпадающего с номером его нижней границы.

В п. 3.2 рассмотрена задача об установившихся колебаниях многослойной среды. Физико-механические свойства среды предполагаются кусочно-однородными по координате x3 и однородными по x1, x2. Целесообразность рассмотрения кусочно неоднородных сред может быть обоснована структурой реальных объектов или удобством соответствующей дискретизации неоднородной среды. Для слоистой среды (N слоев) соотношения (8) принимают следующий вид:

Ln,k U n Ln1,k U n1 Dn,k Tn Dn1,k Tn1, k, n 1, N.

Здесь U, Tn – двумерные преобразования Фурье функций n u n u x1,x2,hn 0, x1,x2,hn 0. В отсутствие нарушений n сплошности контакта Tn Tn Tn, U U U n. Кроме того, n n полагается U N 1 U N 1, U1 U1, аналогично TN 1 TN 1, T1 T1.

Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М: Наука, 1989. 344 с.

В случае изотропных материалов предпочтительнее использовать явные выражения матриц Ln,k, D,k, приведенные в n диссертации и работах [4, 21]. В п. 3.1 изложен способ построения соответствующих матриц для анизотропной среды.

С помощью возможных представлений для Dl,k 1 и Ll,k 1 [16] вводятся матрицы специального вида:

L J D, 1 1 1 1 S 1 L k 1, J k 1L k 1, L k 1, J k 11L k 1, L k 1, J k 11Dk 1, k k 1, k 1 k 1, L D, 1 1 1 B 1 L k 1, J k 1L k 1, L k 1, J k 11 L k 1, Dk 1, L k k 1, k 1, k 1, D J L, 1 1 1 D k 1, J k11D k 1, Dk 1, J k11D k 1, D k 1, J k 1L k 1, Z 1 k k 1, k 1 k 1, D L, 1 1 1 Fk1 Dk 1, J k 1Dk 1, D k 1, J k 1 Dk 1, L k 1, D k 1, k 1, k 1, где J k 1 – диагональные матрицы, J k 1 ei, i 32,k 1H k i 32,k 1H k 31,k 1H k,e,e H k hk hk 1 – толщина k-го слоя.

На основе полученных соотношений для слоя, с использованием элементов алгоритма, предложенного О.Д. Пряхиной, строятся матрицы Грина и выписываются матрично-функциональные соотношения для пакета слоев и слоистого полупространства, подверженных поверхностному воздействию.

В п. 3.3 построены функционально-матричные соотношения, соответствующие различным случаям расположения дефектов типа трещин в слоисто-структурированной среде. Дефекты могут присутствовать как в плоскостях раздела слоев, так и внутри слоев, поверхность пакета подвергается воздействию штампа или системы штампов, нижняя граница жестко сцеплена с недеформируемым основанием. На поверхности в области контакта со штампами задаются смещения, на остальной части поверхности ставится условие отсутствия напряжений. Плоскости дефектов и плоскости раздела физико-механических свойств рассматриваются как блокообразующие границы. Если трещина Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999.

248 с.

находится внутри одного из слоев, свойства двух введенных блоков, граничащих в плоскости трещины, полагаются одинаковыми. При этом на стыках слоев-блоков в областях, занятых трещинами, напряжения считаются заданными, ставится условие равенства напряжений на берегах разрезов, на остальной части плоскости раздела ставится условие идеального контакта.

Далее считается, что во всех плоскостях раздела слоев на высотах hn, n 2,N имеются полости-трещины, занимающие односвязные области jn c кусочно-гладкими границами, j 1, M n.

Сформулированные условия запишутся в виде x3 hN 1 : u N 1 u0 1, x1, x2 N 1 ;

N 1 0, x1, x2 N 1 ;

(9) N x3 h1 : u1 0, x1,x2 ;

(10) Mn x3 hn : jn, x1, x2 jn ;

u*jn u u 0, x1, x2 jn, n 2, N.

jn jn jn jn j В многослойной среде, жестко сцепленной с недеформируемым основанием, реализован «вирус» вибропрочности класса (1,2) V 1 / h1;

/ hN 1;

N 1 // 2 / h2 ;

2 / / hN ;

N / hN 1 ;

1, где – N N дополнение N 1 до всей плоскости.

Используя обозначения п. 3.1 и 3.2, функционально матричные соотношения для рассматриваемой задачи можно записать следующим образом:

K *U* T. (11) Здесь T T2,,TN,U 0 1, U* U*2,,U*N,TN 1, N Mn dx1dx2, n jn, l 2, N.

i1x1 2 x * * x1, x2 e U u n jn j n Блоки матрицы K* имеют вид j 1 N N i K*NN K N, K*Nj Bl H l1, K* 1 Bl, i, j 1, N 1 ;

H iN l l i l N j N 1 1 * N 1i K*N 1,N 1 H 1, K*N 1, j K *N 1,N 1 Bl H l1, K*,N 1 1 H l Bl K N 1,N 1, N i l i 1 l N * 1 1 * i, j 1, N 2 ;

K ii H i 1 H i 1B i1K i 1,i1Bi 1H i1, i N 1 ;

K*, j K*, j 1B 1H 1 1 для j i N 1, K*, j H i1Bi1K*1, j для i j N 1, i i i i j j K N – матрица Грина пакета из N слоев без дефектов;

H1 S1, H l 1 Sl1 K l.

Перемещения Ui на границах раздела слоев могут быть определены через скачки перемещений W* U* U, (12) j U U,, U, W * * K i K для i j, W B l H l1 K i K* для j i N.

* ij ij ij ij 2 N l i * * Матрицы K, W в (11), (12) определяют соответственно ij ij напряжения и перемещения в плоскости x3 hi 1, вызванные скачком перемещений на границах трещины, расположенной в плоскости x3 h j 1.

Построены также функционально-матричные соотношения для пакета слоев, содержащего дефекты типа трещин, на упругом полупространстве, соответствующего «вирусу» вибропрочности V 1 / hN 1;

N 1 // 2 / h1;

1 / / hN ;

N.

В п. 3.4 получены функционально-матричные соотношения для различных случаев расположения дефектов типа жестких включений. На верхней и нижней поверхностях среды заданы соответственно условия (9), (10), условия на блокообразующих границах n 2, N имеют следующий вид:

Nl x3 hn : u jl u u, x1, x2 jl ;

0, x1, x2 jl, j 1, N l.

* jl jl jl jl jl j В многослойной среде, жестко сцепленной с недеформируемым основанием, реализован «вирус» вибропрочности класса (1,2) V 1 / h1;

/ h2 ;

2 / / hN 1 ;

N 1 // 2 / h2 ;

2 / / hN 1;

1.

N Перемещения на границах раздела слоев могут быть выражены через скачки напряжений на включениях RT* U, (13) где U U 2,,U N 1, T T2,,TN,TN 1, * * * Nl dx1dx2, l jl, l 2, N.

i 1x1 2 x * * x1, x2 e T l jl j l Напряжения T на границах раздела слоев могут быть i определены через скачки напряжений на границах включений WT* T, где T T2,,TN, блоки матриц R и W выражаются через введенные в п. 3.1 Fl, Zl и матрицы Грина пакетов слоев без дефектов.

Построены также функционально-матричные соотношения для пакета слоев, содержащего дефекты типа жестких включений, на упругом полупространстве, соответствующего «вирусу» вибропрочности V 1 / h1;

1 / / hN ;

N // 2 / h1;

1 / / hN ;

.

N Ранее приведены представления систем функционально матричных уравнений (11), (13) для случаев, когда нарушения сплошности имеются на всех стыковочных границах слоев. В общем случае на некоторых границах раздела слоев x3 hi, i i1, il могут выполняться условия идеального контакта, тогда U* 0, Ti* 0 и из матриц K* (11) и R (13) удаляются строки i и столбцы с номерами i i1, il, соответственно удаляются и U*, Ti* i из вектора неизвестных, и Ti, Ui из правой части. Аналогично для случая свободной верхней границы TN 1 0 из матрицы системы удаляются последняя строка и столбец.

В п. 3.5 осуществлено построение интегральных уравнений, порождаемых динамическими задачами для слоисто структурированных сред, на основе полученных функционально матричных соотношений с учетом заданных смешанных граничных условий на границах элементов структуры.

При взаимодействии системы штампов, занимающих области j,N 1, j 1,M N 1, с пакетом из N слоев при наличии совокупностей включений, занимающих области ml m 1, Nl, и совокупностей трещин, располагающихся в областях jl j 1, M, l 2, N, на стыках слоев система интегральных l уравнений примет вид N 1 M l N 1 Nl M N u m,n1, K nl jl 1 u*j,l 1 K n,l N 1 jl 1 *j,l 1 K n,2 N 1 j,N 1 j,N l 1 j 1 l 1 j 1 j x3 hn 1, x1,x2 m,n1, m 1, M n, n 1, N 1 ;

N 1 M l N 1 Nl M N m,n1, jl 1 u*j,l 1 K n N 1,l N 1 jl 1 *j,l 1 K K n N 1,l n N 1,2 N 1 j,N 1 j,N l 1 j 1 l 1 j 1 j x3 hn 1, x1,x2 m,n1, m 1, N n, n 1, N 1 ;

N 1 M l N 1 N l M N u p,N 1, K 2 N 1,l jl 1 u*j,l 1 K 2 N 1,l N 1 jl 1 *j,l 1 K 2 N 1,2 N 1 j,N 1 j,N l 1 j 1 l 1 j 1 j x3 hN 1, x1,x2 p,N 1, p 1, M N 1.

Здесь интегральные операторы представляются соотношениями K nl jm k x, x 2 1, 2 d 1d 2, (14) nl 1 1 jm K nl 1, 2 e i1x1 2 x2 d1d 2.

k nl x1, x2 (15) 4 1 Подынтегральные матрицы-символы описываются * соответствующими блоками матриц-функций K, W*, R, W, построенных в п. 3.3, 3.4.

Метод факторизации, в результате применения которого получены матрицы-символы ядер интегральных уравнений задач для сред с дефектами, дает возможность исследовать с единых позиций все основные типы краевых задач, возникающих при изучении напряженно-деформированного состояния сред при наличии воздействий внешних полей любой природы, описываемых системами линейных уравнений в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами. Достоинством предложенного подхода является его тесная связь с методом преобразований Фурье в областях с плоскопараллельными границами, кроме того, использование метода факторизации упрощает построение систем интегральных уравнений рассматриваемых задач.

В п. 3.5 приведены известные асимптотические свойства элементов матриц-блоков символов ядер построенных систем интегральных уравнений, знание которых необходимо для построения приближенных решений.

В работах О.Д. Пряхиной, А.В. Смирновой проведено аналитическое исследование корневых и полярных множеств элементов и определителей матриц-символов ряда динамических задач для многослойных сред с неоднородностями.

Полученные в настоящей работе представления матриц блоков символов ядер систем интегральных уравнений для слоисто-структурированных сред с нарушениями сплошности на структурных границах позволяют реализовать численные алгоритмы построения корневых и полярных множеств их элементов и определителей для широкого круга задач.

На рис. 1 и 2 представлены нули и полюса определителей матриц-символов для задач о колебаниях двухслойной среды с включением на стыке слоев (рис. 1) и трехслойной среды с включением между вторым и третьим слоями (рис. 2), толщины слоев приведены в безразмерных величинах, 1 2 3 0,3.

detR11 detR 1 1 0, 2, 2 5,, 2 0, 2 H1 0,5, H 2 1 H1 H 2 H 3 0, Рис. 1 Рис. Сплошные линии представляют полюса функции, пунктирные – нули. По оси абсцисс откладывается безразмерная частота, по оси ординат – параметр преобразования Фурье.

В четвертой главе изложен подход к моделированию установившихся колебательных процессов для упругой среды с покрытием. Крупномасштабная модель позволяет рассматривать литосферные плиты как покрытия с относительно малой толщиной в масштабах размера Земли. Рассматривая литосферную плиту в другом масштабе, ее можно моделировать полуограниченным упругим телом сложного строения, имеющим покрытие.

В настоящей главе проблема взаимодействия литосферных плит как контактирующих разделенных деформируемых плит, расположенных на деформируемом основании, исследуется в рамках теории смешанных задач упругости. В качестве покрытий рассматриваются пластины, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений в перемещениях.

В п. 4.1 приведены постановки нелинейных краевых задач для установившихся с частотой колебаний однослойной однородной оболочки6. В принятой модели, если покрытие представляет собой систему P пластин, занимающих области i с границами i i, для завершения постановки краевой задачи формулируются условия стыковки на контактирующих краях пластин i, i 1, P. В общем случае характер этих условий определяется видом контактного взаимодействия.

Для математического описания явлений, связанных с потерей устойчивости плит, необходимо рассматривать описанные ранее задачи в нелинейной постановке. Для оценки концентрации напряжений в литосферных плитах можно ограничиться линеаризованными уравнениями движения пластин.

В общем случае литосферные плиты имеют рельефные поверхности и сложную в плане форму. Исследование их напряженно-деформированного состояния с учетом всех особенностей сопряжено с большими техническими трудностями.

Далее рассмотрен случай взаимодействия двух литосферных плит, моделируемых пластинами, граничащими вдоль прямой. В результате линеаризации приведенных уравнений для плоского покрытия в матричном виде уравнения движения примут вид R x1,x2 u St g, где u – вектор перемещений точек срединной поверхности с компонентами ui x1, x2, i 1,3, u1,2 – перемещения точек в плоскости x1Оx2, u3 – прогиб срединной поверхности;

R x1,x2 – матричный дифференциальный оператор с компонентами 2 2 1 2 2, R12 3, R21 3, R13 R23 R31 R32 0, R x12 x1x2 x1x x Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.:

Наука, 1972. 432 с.

2 2 2 R22 2 1 2 2, R33 4 2 ;

, x12 x2 x1 x, Sij 0, i j, Sii 5, g x1, x2 5b x1, x2, S Sij i, j 2 1 ;

4 h 12 ;

5 1 ;

, – где 1 ;

2 ;

2 2 h 2 соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига;

h – толщина покрытия;

– плотность покрытия;

ti x1, x2 – компоненты вектора усилий t на нижней грани пластины, bi x1, x2 – b на верхней грани, i 1,3.

В качестве основания, на котором находится покрытие, можно принимать деформируемое полупространство, слой, многослойную среду, в том числе содержащую внутренние неоднородности, и т.д. Учет сложных свойств подложки (неоднородность, анизотропия и др.) даже в рамках линейной теории упругости приводит к увеличению математических трудностей при исследовании указанных задач.

В п. 4.2 на основе полученных в третьей главе соотношений построены системы интегральных уравнений для слоистой полуограниченной среды с дефектами при наличии покрытия.

Построенные системы интегральных уравнений связывают напряжения в плоскостях раздела слоев и на границе между покрытием и подложкой со скачками характеристик в областях дефектов. Решения получаемых систем интегральных уравнений для простейших моделей подложки и частных случаев областей, занимаемых покрытиями, строятся в конечном виде с помощью интегральных факторизационных методов Винера – Хопфа или фиктивного поглощения.

Для преодоления трудностей, вызванных степенным ростом элементов матриц-символов ядер полученных систем, использован метод выноса дифференциального оператора:

, p 1,2, vmm x1, x2 m b1 p m, p p p x1, x2 = mk vmk m,k m x 0 f mp x1, m 1,2, v33 x1, x2 3 b2 p b3 p 3, p f 4 p x1, bkp const.

3 x 0 f3 p x1, x x2 Появляющиеся при этом произвольные гладкие функции f jp, p 1,2 определяются из дополнительных физических условий.

В п. 4.3 описан метод решения системы для случая двух полуограниченных пластин на упругом основании без дефектов.

Литосферные плиты рассматриваются как контактирующие разделенные пластины на деформируемом основании в докритической стадии деформации. Система интегральных уравнений на границе покрытия и подложки, описанная в 4.2, примет вид i 2 x K, e T 1, 2 d 2 g p 1, x2, x2 p, p 1,2, (16) p 1 где K p 1, 2 1 i 1, i 2 R p K S p ;

g p 1g p ;

K – матрица p p Грина основания;

1 : x2 0, 2 : 0 x2.

Система (16) решается с помощью интегрального метода факторизации. Найденные контактные напряжения, действующие между покрытием и подложкой (на плиту – снизу, на основание – сверху), позволяют определить смещения срединной плоскости покрытия:

KTe 1 1 2 2 d1d 2.

i x x u x1, x2 4 1 При этом вектор V 1T содержит восемь неизвестных функций, нуждающихся в определении при удовлетворении граничных условий в области контакта пластин.

Если покрытие представляет собой бесконечную пластину, нетрудно получить функционально-матричное соотношение для интегральных характеристик амплитуд напряжений на границе покрытие/основание. Найдя T 1, 2, можно вычислить перемещения на границе покрытия и основания.

На рис. 3, 4 приведены кривые нулей (рис. 3) и полюсов (рис. 4) элемента K11 матрицы Грина для слоя, жестко сцепленного с недеформируемым основанием: сплошные линии – без покрытия, крупный пунктир – с покрытием толщины 0,01, мелкий пунктир – толщины 0,1.

K K, 1 2,, 1 2,, 1 3,, 1 3, 0, 0, Рис. 3 Рис. Земная кора находится в непрерывном развитии.

Взаимодействуя с атмосферой и гидросферой, она обменивается с ними массой и энергией, в результате чего поверхность земной коры непрерывно изменяется.

В п. 4.4 продемонстрировано применение интегрального метода факторизации к решению задач расчета временных покрытий, формирующихся за счет осаждения субстанций на разнотипные подстилающие поверхности. Изменение содержания субстанции в приповерхностном слое описывается уравнением переноса и диффузии, в зависимости от свойств подстилающей поверхности на различных участках происходит частичное или полное осаждение субстанции. Приведены примеры решения интегральных уравнений для двух вариантов подстилающей поверхности.

На рис. 5 представлено распределение субстанции у поверхности, представляющей собой две разнотипные области 1 x1 0, x2, 2 x1 0, x2 при следующих граничных условиях:

j x1, x2, x1, x2 j.

j x x3 Решению задачи для областей 1: x1 a, x2 x1 a, x2, 2 : a x1 a, x2 соответствует рис. 6. Для обоих случаев 1 0, 2 Ae x, A const [7].

Рис. 5 Рис. Пятая глава посвящена разработке теории интегральных уравнений, задаваемых в областях сложной формы.

Метод фиктивного поглощения развит для случая невыпуклых в плане областей, занимаемых штампом или дефектом. Достоинство данного метода заключается в возможности описания решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ. Метод рассматривается для решения контактных задач о вибрации штампов, жестких включений или полостей произвольной в плане формы.

В п. 5.1 дана общая схема метода фиктивного поглощения решения интегрального уравнения в произвольной в плане области. Предполагается, что невыпуклая область контакта представляет собой объединение замкнутых ограниченных M областей Dk, M, общими у которых могут быть только k граничные множества Sk. В данном случае СИУ будет иметь вид M q f j x1, x2, j 1,, M, K (17) mm m K m qm k x1 1, x2 2 qm 1, 2 d1d 2, x1, x2 Dm, Dm K 1, 2 e 1 1 2 2 d1d 2, 12 2 2.

i x x k x1, x2 4 1 Вводятся локальные системы координат x1mOm x2 c центрами m во внутренних точках областей Dm, с осями, параллельными осям x1Ox2. При этом точки Om в системе x1Ox2 имеют координаты am, bm, уравнения границ Sm в системе x1Ox2 записываются как Rm Rm.

Согласно схеме метода фиктивного поглощения7, вводится функция N K 0 K П 1, где П EN 2 QN1 2 2 zk 2 pk, zk, 2 k pk – соответственно вещественные нули и полюса K. Решение отыскивается в виде q x1, x2 p x1, x2 x1, x2. Вспомогательная функция вводится следующим образом:

M x1, x2 s x1, x2, s N x1, x2 Gk x1 as Rs cos x2 bs Rs sin f ks d, s k 1 Gk p 2 pk 1 2 pk 1 2 pN.

2 2 2 2 2 Здесь – двумерный оператор Лапласа;

f ks – неизвестные однозначные функции, подлежащие определению.

В работе дается модификация указанного метода в части подбора базисных функций. Использование производных дельта функций облегчает построение решений. После ряда преобразований решение (17) представляется в виде q x1, x2 V 1 1, N V 2 + K 0 1 f x1, x2 K 0 1P K 02, N M 2 1 i as1 bs 2 i R cos E p 1 2 f e d.

2 V p e N k k ks k 1 s 1 Последнее соотношение можно упростить, дополнительно выделив у функции 2 составляющие с носителем в Ds и вне этой области, положив 2s 2 x1, x2, x1, x2 Ds, 2s 2 x1, x2, M x1, x2 Ds, 2 2 x1, x2 2s.

s qs x1, x2 q x1, x2, Ds q x1, x2, Используя обозначение x1, x2 Ds, соотношение для решения (17) примет вид q x1, x2, Ds V 1, N F 1, 2, Ds, Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 265 с.

F 1, 2, Ds VP Ds K 0 1 f K 0 1PK 0 2 V 2 s.

Неизвестные f ks определяются из системы F 1, 2, Ds 0, 12 2 zn, n 1, N.

2 Предложенная схема метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений применима для решения СИУ (п. 5.2). Как и в случае одного уравнения, вектор-функция в окончательном решении присутствует лишь под знаками операторов. Это обстоятельство позволяет существенно расширить класс функций, из которого выбираются x1, x2, и использовать комбинации производных от дельта-функций.

В п. 5.3 приведены примеры построения аналитических представлений приближенных решений для ряда областей.

Рассмотрено интегральное уравнение, соответствующее плоской или антиплоской задаче 2 0, 1 о вибрации массивного штампа на поверхности полуограниченной среды (слоя, пакета слоев) или жесткого включения в среде при любых условиях на нижней границе и одной отличной от нуля компонентой контактных напряжений или скачка напряжений. Кроме того, построены представления приближенных решений для осесимметричной задачи и пространственной контактной задачи для составной области контакта.

В задачах о колебаниях полуограниченной среды, вызванной вибрацией берегов внутренних трещин или пластин на поверхности, рассмотренных в третьей и четвертой главах, нарушается свойство убывания элементов матриц-символов ядер интегральных уравнений. Так, для задачи о колебаниях трещины в уравнении q x1,x2 u*1 x1,x2, K K jl – элемент матрицы l K ij (15) в (14), соответствующий плоской или антиплоской постановке задачи. Согласно приведенным в третьей главе асимптотическим свойствам элементов блоков матрицы-символа ядра системы, ядро оператора K является обобщенной функцией.

В этом случае осуществляется регуляризация K, приводящая к интегральному уравнению с классической функцией ядра.

Обращение последнего производится в соответствии с приведенной ранее схемой. То же самое справедливо для систем интегральных уравнений. Осуществить регуляризацию можно, например, путем выноса из обеих частей уравнения дифференциального оператора, как это предлагалось в четвертой главе.

В п. 5.4 приведен пример применения метода фиктивного поглощения к решению интегрального уравнения осесимметричной задачи о возбуждении гармонических колебаний в упругой среде вибрацией берегов трещины отрыва.

Метод фиктивного поглощения позволяет использовать весь арсенал методов решения статических смешанных задач. Данный метод, будучи полуаналитическим, устраняет недостатки прямых численных методов. Область применения полученных формул, дающих приближенные решения динамических задач, определяется областью применения решений соответствующих задач для сред с сильным затуханием.

В заключении сформулированы основные результаты исследования, выносимые на защиту.

В диссертации вынесены некоторые приложения представления решений рассмотренных задач, результаты расчетов и иллюстративный материал.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ В диссертационной работе представлено одно из возможных решений важной научно-технической проблемы создания математических моделей слоистых и блочных упругих сред с учетом включений и расслоений на контактных границах и разработки эффективных методов построения и решения систем уравнений, описывающих поведение таких сред.

Предложен подход, позволяющий провести исследование параметров напряженно-деформированного состояния литосферных плит с учетом внутреннего строения и воздействия поверхностных факторов.

Основными результатами являются:

– математические модели динамики блочно структурированной литосферной плиты с учетом наличия множественных внутренних концентраторов напряжений;

– развитие дифференциального метода факторизации для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит как деформируемых объектов сложного строения;

– метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании слоистых материалов с неоднородностями (дефектами) типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев, и покрытиями;

– новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей;

– модификация метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических задач теории упругости для случая односвязных областей произвольной конфигурации;

– методы исследования процесса формирования покрытий за счет осаждения субстанций на подложку.

В ходе проведенного диссертационного исследования:

– разработанный ранее для отдельного выпуклого изотропного тела алгоритм дифференциального метода факторизации обобщен на случай блочных структур, одним из вариантов которых являются слоистые;

– рассмотрены примеры ограниченного (в виде прямоугольного параллелепипеда) и полуограниченного блочного элементов, вводимых из-за сложности анализа полученных систем интегральных уравнений для блоков произвольной формы;

– на основе предложенных моделей и разработанных методов построены аналитические представления приближенных решений краевых задач для блочно-структурированной среды;

– на базе метода факторизации для различных моделей слоисто-структурированных сред с разрывными условиями на границах структурных элементов построены матрицы-символы Грина;

– предложен способ факторизации матриц с полиномиальными элементами;

– предложена модификация метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических контактных задач в части выбора используемых систем вспомогательных функций;

– рассмотрены примеры построения решений ряда задач для уравнений, характеризующихся различным поведением символов ядер.

Предложенные модели и разработанные методы расширяют возможности изучения процессов деформации в слоисто- и блочно-структурированных средах. С их использованием могут исследоваться конкретные задачи сейсмологии прикладного характера, а также задачи диагностики напряженного состояния сложных структур, находящихся в условиях динамических воздействий.

Публикации автора по теме диссертации в журналах, определенных ВАК РФ для докторских диссертаций 1. Бабешко В.А., Павлова А.В., Ратнер С.В., Вильямс Р. К решению задачи о вибрации упругого тела, содержащего систему внутренних полостей // ДАН. 2002. Т. 382, № 5. С. 625–628.

2. Бабешко В.А., Павлова А.В., Ратнер С.В., Вильямс Р.

Задача о вибрации упругого полупространства, содержащего систему внутренних полостей // ДАН. 2002. Т. 386, № 1. С. 625–628.

3. Вильямс Р., Павлова А.В., Ратнер С.В. Исследование «вирусов» вибропрочности при моделировании геологических структур // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. № 1. С. 33–35.

4. Павлова А.В., Рубцов С.Е. Исследование многослойных материалов при наличии нарушений сплошности соединений // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 3. С. 19–22.

5. Павлова А.В., Ратнер С.В., Рубцов С.Е. К решению динамической задачи для упругого полупространства с трещиной // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 4. С. 14–17.

6. Нижник М.П., Павлова А.В., Рубцов С.Е. К решению одной задачи для упругого полупространства с жидким включением // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 2. С. 40–43.

7. Павлова А.В., Цыбульников А.А. Метод факторизации в задачах распространения и осаждения субстанций // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 17–21.

8. Зарецкая М.В., Москвичев С.В., Павлова А.В., Плужник А.В., Ратнер С.В., Сыромятников П.В. О смешанных задачах для многослойных анизотропных материалов со множественными неоднородностями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 1. С. 35–41.

9. Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Бабешко В.А., Павлова А.В., Гладской И.Б., Зарецкая М.В., Федоренко А.Г. Некоторые приложения дифференциального метода факторизации // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 3. С. 24–29.

10. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова А.В., Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в приложениях // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 2. С. 5–12.

11.Павлова А.В., Цыбульников А.А. К моделированию распространения примеси от динамического площадного источника // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 2. С. 51–56.

12. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова А.В., Мухин А.С., Лозовой В.В., Федоренко А.Г. О приложениях теории блочных структур в науках о Земле, сейсмологии, строительстве, материаловедении // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 4. С. 27–34.

13. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова А.В. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // ДАН. 2009. Т. 424, № 1.

C. 36–39.

14. Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова А.В., Бабешко О.М., Лозовой В.В., Бабешко В.А., Федоренко А.Г. О полуограниченных блочных элементах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. С. 14–19.

15. Павлова А.В., Колесников М.Н. К проблеме моделирования динамических процессов в средах с покрытиями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. С. 41–47.

Основные публикации автора по теме диссертации в других изданиях:

16. Бабешко В.А., Бужан В.В., Павлова А.В., Ратнер С.В.

Упругое пространство с совокупностью неоднородностей // Изв.

вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск.

C. 26–29.

17. Павлова А.В., Телятников С.В. Метод фиктивного поглощения в решении динамических задач при наличии плоских трещин // Обозрение прикладной и промышленной математики.

2001. Т. 8, вып. 2. С. 663–664.

18. Павлова А.В. Метод фиктивного поглощения в решении динамических задач для произвольных областей контакта // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9, вып. 3. С. 646–647.

19. Бабешко В.А., Павлова А.В., Ратнер С.В. К задаче о вибрации упругого полупространства с совокупностью внутренних трещин // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств.

науки. 2002. Вып. 3. C. 36–38.

20. Павлова А.В., Смирнова А.В., Телятников С.В. Об одном методе исследования динамики полуограниченных тел, содержащих внутренние плоские трещины // Природа. Общество.

Человек. 2002. № 1(14). С. 75–78.

21. Павлова А.В., Рубцов С.Е. К решению динамических задач для слоистого полупространства с дефектами // Наука технологии: тр. XXIV Рос. школы. М.: Изд. РАН, 2004. С. 283–290.

22. Павлова А.В., Ратнер С.В. Исследование «вирусов» вибропрочности смешанного типа в упругих средах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. Приложение №1. С. 64–69.

23. Павлова А.В., Гладской И.Б., Яковенко Р.Г.

Использование ГИС-технологий при моделировании динамики литосферных плит // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. Т. 13, вып. 5. С. 845–846.

24. Капустин М.С., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Исследование напряженно-деформированного состояния многослойной плиты с позиций теории вирусов вибропрочности // Наука Кубани. 2007.

№ 3. С. 13–15.

25. Павлова А.В., Рубцов С.Е. К исследованию напряженно деформированного состояния литосферных плит // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14, вып. 1.

С. 133–134.

26. Павлова А.В., Рубцов С.Е. К исследованию установившихся колебаний упругой среды с покрытием при наличии внутренних дефектов // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. X Междунар. конф. Ростов н/Д, 2008. С. 149–151.

27. Павлова А.В., Рубцов С.Е. Дифференциальный метод факторизации решения задач в слоистых и блочных структурах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16, вып. 6. С. 1104–1105.

28. Колесников М.Н., Павлова А.В., Рубцов С.Е.

Исследование дисперсионных характеристик упругого полупространства с дефектами при наличии покрытия // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. XI Междунар. конф. Ростов н/Д, 2009. Т. 1. С. 170–173.

Свидетельства о регистрации программ Сыромятников П.В., Ратнер С.В., Зарецкая М.В., 1.

Павлова А.В., Ломакина Л.В. Программа расчета механических перемещений и напряжений, возбуждаемых гармоническими нагрузками на берегах трещин и границах жестких включений в пакете упругих анизотропных слоев. Свидетельство об офиц.

регистрации программы для ЭВМ (Россия). № 2007610339 от 18.01.2007.

Бабешко В.А., Павлова А.В., Цыбульников А.А., 2.

Ломакина Л.В. Расчет параметров оптимальных зон размещения источников, загрязняющих атмосферу: Свидетельство о государств. регистрации программы для ЭВМ (Россия).

№ 2008611547 от 26.03.2008.

3. Бабешко В.А., Павлова А.В., Цыбульников А.А., Ломакина Л.В. Расчет осаждения субстанций на разнотипные подстилающие поверхности: Свидетельство о государств.

регистрации программы для ЭВМ (Россия). № 2008611548 от 26.03.2008.

4. Сыромятников П.В., Павлова А.В., Ломакина Л.В. Расчет амплитуд волн, возбуждаемых поверхностным механическим источником в анизотропном слое. Свидетельство о государств.

регистрации программы для ЭВМ (Россия). № 2008616012 от 13.02.2009.

Автореферат П а в л о в а Алла Владимировна ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ Подписано в печать..2010. Печать цифровая.

Формат 6084 1.

Бумага тип. № 1. Уч.-изд. л. 2,5.

Тираж 100. Заказ №.

Издательско-полиграфический центр Кубанского государственного университета 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.