авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Задача усиления составной упругой пластины кусочно-однородным стрингером

На правах рукописи

Смирнов Александр Валериянович

ЗАДАЧА УСИЛЕНИЯ СОСТАВНОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ

КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫМ СТРИНГЕРОМ

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Чебоксары – 2011

Работа выполнена на кафедре высшей математики в ГОУ ВПО «Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Сильвестров Василий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Маркин Алексей Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Ильина Ирина Игоревна

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится «_ 1_» _июля 2011 г. в 9_ часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.300.02 в Чувашском государственном педагогическом университете им. И.Я. Яковлева по адресу: 428000, г.

Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева.

Автореферат разослан «_» мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук С.В. Тихонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке математического аппа рата решения контактных задач теории пластин и его приложению к реше нию задачи усиления пластины, составленной из разных упругих материа лов, кусочно-однородным стрингером, наложенным на линию соединения материалов или расположенным между пластинами. В ней строится точное аналитическое решение интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой, находится в замкнутой форме решение соответствующей контактной задачи теории пластин и определяются аналитические выражения для коэффициентов интенсивно сти напряжений в точке изменения жёсткости стрингера.

Актуальность работы. В различных областях техники, в частности, авиа- и судостроении широко используются тонкостенные конструкции, усиленные для увеличения их прочности тонкими узкими накладками (стрингерами) из более жёсткого материала. При изучении таких конст рукций особое внимание уделяется определению контактных напряжений.

Указанная задача обычно рассматривается в рамках классической теории упругости. Несмотря на то, что хорошо известно о существовании и един ственности решений подобных задач, проблема построения самих решений задач, а также нахождения напряжений и смещений в конструкциях оста ётся в общем случае нерешенной. В связи с этим остается актуальной как проблема разработки новых методов решения указанных типов задач, так и исследования напряженного состояния конкретных видов тонкостенных конструкций, в частности пластин, усиленных различными комбинациями стрингеров (рёбер жесткости).

Первые решения задачи о подкреплении упругой однородной пласти ны бесконечным, полубесконечным и конечным стрингером были получе ны Е. Меланом, Е. Бюеллем и С. Бенскотером соответственно. Р. Муки, Е.

Стернберг, Г.Т. Сулим, Д.В. Грилицкий исследовали кусочно-однородную пластину с бесконечным или конечным включением на прямой линии раз дела материалов. Н.Х. Арутюнян и С.М. Мхитарян рассмотрели две пла стины, соединённые через полубесконечное тонкое упругое включение.

Кусочно-однородный стрингер или комбинация нескольких стрингеров, присоединенных к однородной или кусочно-однородной пластине, рас смотрены Э.Х. Григоряном, Б.А. Мелтоняном, А.В. Керопяном, В.С. Сар кисяном, Г.В. Оганесяном, Р.А. Багдасаряном. В работах указанных авто ров подкрепляющий элемент моделируется как прямолинейный стержень, работающий только на растяжение-сжатие и предполагается, что нор мальные напряжения под стрингером исчезают. Учёт изгибной жёсткости стрингера приводит к более сложным уравнениям, полученным в работах К.С. Чобаняна, А.С. Хачикяна, М.П. Саврука, Д. В. Грилицкого, М. С. Дра гана, В.К. Опанасовича, В.М. Александрова, С.М. Мхитаряна и др.

В основном, задача подкрепления упругой пластины стрингером сво дится к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля. Методы реше ния этого уравнения зависят от промежутка, на котором оно задано. Точ ное аналитическое решение однородного уравнения на луче получено В.

Койтером с помощью интегральных преобразований Меллина и Лапласа.

А.И. Каландия построено аналитическое решение неоднородного уравне ния на луче путём сведения его к краевой задаче Римана. И.Н. Векуа, В.М.

Толкачёв, Г.Я. Попов, Г.А. Морарь решили уравнение Прандтля на отрезке путем сведения его к интегральному уравнению Фредгольма второго рода посредством регуляризации уравнения методом Карлемана-Векуа или пу тем сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравне ний. Н.Х. Арутюнян, С.М. Мхитарян предложили методы решения урав нений на отрезке и луче с выделением в явном виде особенностей на кон цах контура интегрирования.

Цель работы: разработка математического аппарата решения задачи усиления пластины, составленной из различных упругих материалов, с помощью кусочно-однородного стрингера, наложенного на линию соеди нения материалов или расположенного между пластинами. Для достиже ния данной цели были поставлены следующие задачи:

– разработать метод решения интегро-дифференциально уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой, соответст вующего краевой задаче для рассматриваемого объекта, и системы двух интегро-дифференциальных уравнений на луче;

– решить задачу о тонком кусочно-однородном стрингере, располо женном на линии соединения разных упругих пластин и полностью ли шённом изгибной жёсткости;

найти комплексные потенциалы, контактные напряжения и смещения точек пластин;

– решить задачу о тонком упругом кусочно-однородном включении, расположенном между двумя упругими материалами и абсолютно жёстком на изгиб;

– получить аналитические выражения для коэффициентов интенсивно сти напряжений в точке изменения жёсткости стрингера (включения) и исследовать их зависимости от упругих и геометрических параметров за дачи.

Методика исследования. Представленные в диссертации исследова ния опираются на формулы Колосова-Мусхелишвили из плоской теории упругости, интегральное преобразование Меллина, теорию функциональ ных разностных уравнений и краевую задачу Римана на плоскости и на римановой поверхности.

Научная новизна полученных в диссертации результатов, которые и выносятся на защиту:

а) метод решения и само решение интегро-дифференциального урав нения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой;

б) решение в явной форме задачи о подкреплении составной упругой пластины кусочно-однородным стрингером в предположении отсутствия изгибной жёсткости стрингера или отсутствия его изгиба;

нахождение комплексных потенциалов, контактных напряжений и смещений точек пластины;

в) нахождение явных выражений коэффициентов интенсивности на пряжений в точке изменения жёсткости стрингера и изучение их зависимо сти от упругих и геометрических параметров пластин и стрингера (вклю чения).

Достоверность результатов работы подтверждается физической обос нованностью постановки задачи, строгим аналитическим характером их рассмотрения с использованием современного математического аппарата, сравнением полученных решений в ряде частных случаев с известными решениями.

Практическая значимость результатов определяется как развитием новых математических методов исследования контактных задач, так и ре зультатами решения самих задач, которые представляют интерес для ин женерных приложений в машино-, авиа- и судостроении и позволяют оце нить влияние кусочно-однородного стрингера (включения) на напряжённо деформированное состояние составной бесконечной упругой пластины.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докла дывались на VI молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2007), на XLVI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2008), на XXXIV и XXXV международных молодёжных научных конфе ренциях «Гагаринские чтения» (Москва, 2008, 2009), на международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных урав нений» (Минск, 2009), на международных научных конференциях «Совре менные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2009, 2010), на VIII всероссийской научно-технической конференции «Актуаль ные проблемы развития нефтегазового комплекса России» (Москва, 2010), на II международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Дилижан, Армения, 2010), на семинаре кафедры выс шей математики Российского государственного университета нефти и газа (Москва, 2009, 2011, руководитель – профессор Калинин В.В.), на научных семинарах по механике сплошной среды имени Л.А. Галина при институте проблем механики РАН (Москва, 2009, 2011, руководители – профессора В.М. Александров, В.Н. Кукуджанов, А.В. Манжиров), на семинаре по ме ханике деформируемого твердого тела при Чувашском государственном педагогическом университете (руководители – профессора Д.Д. Ивлев, Б.Г.

Миронов).

Результаты работы получены в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00038, 10-01-00103).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 14 пе чатных работ, 5 из которых в соавторстве с В.В. Сильвестровым, в том числе 4 статьи в журналах из перечня ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из вве дения, трёх глав и заключения. В тексте имеется 13 рисунков. Список ци тируемой литературы содержит 93 наименований. Общий объём работы составляет 94 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследова ния, сформулирована цель работы. Приведён обзор литературы по соот ветствующей проблематике. Здесь же кратко сформулированы основные положения глав и параграфов диссертации.

В первой главе рассматривается задача определения напряженно деформированного состояния упругой пластины, составленной из двух полубесконечных пластин, по линии соединения усиленной упругим ку сочно-однородным стрингером, лишённым изгибной жёсткости. Напря жённо-деформированное состояние возникает под действием нагрузки, распределенной вдоль стрингера, сосредоточенных сил, приложенных к пластинам, и заданных значений напряжений на бесконечности. Строятся комплексные потенциалы, описывающие напряженное состояние состав ной пластины, вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений в точке изменения жёсткости стрингера.

Рис. 1. Стрингер, лишённый изгибной жёсткости В §1 приводится механическая постановка задачи. Тонкая упругая ку сочно-однородная пластина, составленная из двух полубесконечных пла стин, усилена по линии соединения кусочно-однородным бесконечным упругим стрингером, составленным из двух соединенных друг с другом полубесконечных кусков, имеющих модули упругости E1, E 2, малые по перечные сечения S1, S 2, и толщины d1, d 2 соответственно. Пластины имеют толщины, коэффициенты Пуассона, модули сдвига h1, v1, 1 и h2, v2, 2 (рис. 1). На внешнюю грань стрингера действуют продольные и поперечные распределенные усилия интенсивности 0 ( x) и 0 ( x) соответ ственно, к пластинам в конечном числе точек z zk приложены сосредото ченные силы Pk ( k 1,, n ), а на бесконечности заданы нормальные на пряжения, 1, 2. Считаем, что стрингер присоединён к пластинам y x x идеально жёстко и симметрично относительно линии соединения пластин, абсолютно не сопротивляется изгибу (полностью лишён изгибной жёстко сти) и работает только на растяжение–сжатие (модель одномерного упру гого континуума);

в пластинах реализуется обобщённое плоское напря жённое состояние;

пространственные эффекты концентрации напряжений вблизи линии соединения пластин со стрингером пренебрежимо малы. На пряжения и вращение на бесконечности в самих пластинах ограничены, а в точке z 0 они могут обращаться в бесконечность порядка меньше 1.

В задаче требуется определить комплексные потенциалы, описываю щие напряжённо-деформированное состояние пластин, контактные напря жения под стрингером, и исследовать их поведение в точке изменения жё сткости стрингера.

В §2 поставленная задача подкрепления сводится к интегро дифференциальному уравнению Прандтля с кусочно-постоянным коэффи циентом на действительной оси.

Рис. 2. Равновесие элемента стрингера Записывая уравнения равновесия для произвольного элемента стрин гера (рис. 2) при малых параметрах h1, h2, d1, d 2, деля их левые и правые части на x и устремляя x к нулю, с учётом закона Гука получим урав нения Ek Sk u( x) h1 ( x ) h2 ( x) d k 0 ( x ) 0, (1) k 1 x 0, xy xy (1) h1 ( x ) h2 ( x) d k 0 ( x ) 0, k 1,2, y y где, – касательные и нормальные контактные напряжения верхней и xy y нижней пластины на линии раздела материалов, u – продольное смещение стрингера. Условие жёсткого контакта, связывающее горизонтальные и вертикальные смещения в стрингере и в верхней и нижней пластинах, за писывается в виде (u iv)( x) (u iv) ( x) (u iv ) ( x), x. (2) Уравнения (1), (2), рассматриваемые совместно с заданными значениями напряжений на бесконечности и сосредоточенных сил, приложенных к пластинам, а также с условием равновесия всего стрингера [h1 ( x) h2 ( x)] dx [d1 0 ( x) d 2 0 ( x)] dx (3) xy xy полностью определяют напряжённо-деформированное состояние в пласти нах.

Посредством формул Колосова–Мусхелишвили ( x) i ( x) 1 ( x) 1 ( x), y xy x, y ( x) i xy ( x) ( x) ( x), 2 x x, (4) 21 x (u iv ) 1 1 ( x) 1 ( x), 3 k 2 2 x (u iv ) 2 ( x) ( x), k 1, k 1, 2 k краевые условия (1), (2) заменяются эквивалентной им задачей сопряжения относительно кусочно-мероморфных функций (комплексных потенциалов) с линией разрыва на действительной оси. Подставляя формулы (4) в усло вие (2), получим равенство 2 1 1 ( x) 1 ( x) 1 2 ( x) 2 1 ( x), x, (5) 2 левая и правая части которого являются предельными значениями функ ции R0 ( z ), мероморфной в комплексной плоскости и ограниченной на бес конечности. Вид функции R0 ( z ) полностью определяется значениями со средоточенных сил, приложенных к пластинам, точками их приложения и значениями напряжений на бесконечности.

Подставляя формулы (4) в условие (1), выражая из равенства (5) пре дельные значения ( x) через предельные значения 1 ( x) и функцию R0 ( x), и вводя новую неизвестную функцию (1 2 ) ES d Re11 ( x) 1 ( x) R0 ( x ) k k g ( x ) i 22 21h1 dx (6) d k 0 ( x) i 0 ( x), (1) k 1 x 0, k 1, 2, h получим краевое условие задачи Римана относительно функции 1 ( z ) :

(1 1 ) 1 ( x) (1 1 ) 1 ( x) ig ( x), x, (7) где ( 2 h2 ) (1h1 ). Решая задачу (7) и подставляя решение в формулу (6), непосредственно определяем и приходим к интегро Im g ( x) дифференциальному уравнению Прандтля с кусочно-постоянным коэффи циентом на действительной оси a k f (t ) dt b( x), (1) k 1 x 0, k 1, f ( x) (8) t x относительно непрерывно-дифференцируемой на действительных полу осях функции f ( x), производная которой f ( x ) Re g ( x ) удовлетворяет условию Прандтля на полуосях, имеет в точке x 0 особенность порядка меньше 1 и исчезает на бесконечности.

Решению уравнения (8) в случае комплекснозначных функций f ( x), b( x ) и коэффициентов a1, a2 посвящена вторая глава диссертационной ра боты. В §3 приводятся упрощённые формулы, соответствующие случаю действительных функций и коэффициентов.

В §4 из поведения найденного решения уравнения (8) выводятся фор мулы, описывающие поведение контактных напряжений и в окре- xy y стности нуля и бесконечности. Касательные контактные напряжения, xy определяемые формулами (4), имеют логарифмическую особенность в ну ле 1 A B 2 ( A B) ( x) ~ ln | x |, 2 1 1 2 xy x 0, 1 2 A B 1 ( A B ) ln | x |, xy ( x) ~ 2 1 2 1 где A, B – действительные постоянные, определяемые в ходе решения за дачи. Нормальные контактные напряжения имеют разрывы первого y рода в этой точке.

В §5 рассматриваются различные нагрузки, прикладываемые к стрин геру и пластинам. В случае, когда заданы только значения напряжений на бесконечности и никакие внешние силы не прикладываются, нормальные контактные напряжения постоянны и равны, а касательные кон y y тактные напряжения отсутствуют.

Случаи, когда к стрингеру прикладывается распределённая продольная и поперечная экспоненциальная нагрузка, симметричная относительно x 0, изображены на рисунке 3.

Рис. 3. Контактные напряжения вблизи нуля В обоих случаях в пластинах возникают как касательные, так и нормаль ные контактные напряжения. Обычно при продольной внешней нагрузке нормальные напряжения считаются малыми и не учитываются при расчё тах, однако на рисунке 3 (слева) видно, что они могут достигать значений, сравнимых с касательными напряжениями. В случае поперечной внешней нагрузки (справа) нормальные контактные напряжения и вовсе превышают касательные напряжения на действительной оси, за исключением малой окрестности точки x 0.

На рисунке 4 изображены графики касательных и контактных напря жений, когда к пластинам симметрично относительно стрингера приложе ны сосредоточенные силы на расстоянии d от точки изменения его жёст кости.

Рис. 4. Контактные напряжения при различных значениях расстояния d :

1) d d 0, 2) d 2d 0, 3) d 4d 0, 4) d 8d 0.

При уменьшении расстояния d, т.е. когда сосредоточенные силы прило жены близко к стрингеру, контактные напряжения испытывают сильные возмущения вблизи нуля.

Наконец, были произведены расчёты в случаях, когда параметры пла стин совпадают (однородная бесконечная пластина) или одна полубеско нечная пластина отсутствует, и сравнены с уже известными решениями этих задач.

Во второй главе находится аналитическое решение интегро дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффи циентом на действительной оси a ( x) f (t ) dt f ( x) b( x), x, (9) t x a ( x ) a1, x 0, a( x) a 2, x 0.

В §1 приводится математическая постановка задачи. Коэффициенты a1, a2, функция b( x ), и искомая функция f ( x) в уравнении (9) предпола гаются комплекснозначными. Искомая функция предполагается непрерыв но-дифференцируемой на полуосях, а её производная f ( x) может иметь особенность в нуле порядка меньше 1, и должна исчезать на бесконечности быстрее 1 x.

В §2 рассматриваются два частных случая уравнения (9). В первом случае предполагается, что один из коэффициентов a1, a2 равен нулю. То гда уравнение принимает вид f (t ) dt ~ a f ( x) 1 b ( x), x 0.

0 tx Метод решения данного уравнения во многом повторяет решение общего уравнения (9), приводимое в последующих параграфах, и сводит задачу к эквивалентной краевой задаче Римана. В случае a1 a2 уравнение (9) при нимает вид a f (t ) dt f ( x) 1 b( x), x (, ).

t x Посредством интегрального преобразования Фурье оно сводится к линей ному алгебраическому уравнению первого порядка, которое затем и реша ется.

В §3 уравнение (9) посредством ввода новых функций f1 ( x) f ( x), f 2 ( x) f ( x), x 0 записывается в виде системы, которая с помощью интегральных преобразований Меллина s f ( x ) x Fk ( s ) dx, k 1, k сводится к системе разностных уравнений Fk* ( s ) a k ctg s Fk* ( s 1) ak (sin s ) 1 F3* k ( s 1) Bk* ( s ), k 1, 2 (10) относительно Fk* ( s ) Fk ( s ) ( s ) – аналитических в полосе 0 Re s 2 функ ций, где ( s) – гамма-функция Эйлера.

В §4 подбирается диагонализация, позволяющая разбить систему (10) на два отдельных уравнения. Система записывается в матричном виде F( s ) G ( s )F ( s 1) g( s ), (11) после чего коэффициент уравнения представляется в виде G ( s ) T( s ) ( s )[T( s 1)]1, (12) (s) 0 T ( s ) T12 ( s ) ( s ) 1, T( s ) T ( s ) T ( s ).

0 2 (s) 21 Перемножая матрицы в равенстве (12), накладывая на коэффициенты мат рицы (s ) условия периодичности с периодом 1, а на коэффициенты мат рицы T(s ) условия T ( s ) c T ( s 1), где с – некоторые постоянные, для ij ij ij ij определения функций ( s ), ( s ) получаем алгебраические уравнения 1 второго порядка. Оказывается, что постоянные сij можно выбрать таким образом ( c c 1, c c 1 ), чтобы функции ( s ), ( s ) являлись од 11 12 21 22 1 нозначными ветвями одной двузначной функции. Полученная здесь диаго нализация отличается от «классической» диагонализации и позволяет сильно упростить процесс решения. Система (11) разбивается на два от дельных уравнения (13) k ( s ) k ( s ) k ( s 1) M k ( s ), k 1, 2, однако для однозначности искомого вектора F (s ) на функции ( s ), ( s) 1 накладываются дополнительные условия 1 () (), 1 () (),, (14) 2 где – система разрезов в s -плоскости, такая что функции, входящие в (18), однозначны в плоскости с разрезами.

Затем в s -плоскости выделяется полоса 1 Re s, где удовле творяет условиям 1 1 Re или 2 Re 2, и конформно отобра жается на расширенную комплексную плоскость (рис. 5) функцией z i tg ( s ), при этом левая и правая границы полосы переходят в левый и правый берег разреза L [1, 1], а отрезок – в кривую.

Рис. 5. Конформное отображение полосы на z -плоскость Посредством замены ( s) ( z ( s)) равенства (13), (14) принимают вид k k (t ) k (t ) (t ) k (t ), t [1, 1], k 1, 2, k k (15) 1 (t ) (t ), 1 (t ) (t ), t.

2 Склеивая крест-накрест два экземпляра z -плоскости, разрезанной вдоль, получаем риманову поверхность, определяемую алгебраиче ской функцией w2 ( z z1 )( z z2 ), а условия (15) эквивалентны скалярной краевой задаче Римана на поверхности (t, ) (t, ) (t, ) (t, ), (t, ) L. (16) Решение задачи (16) в случае (t, ) 0 даётся формулой (1,q (1)) (1, q (1)) ( z, w) e ( z,w ), ( z, w) 2i ln (t, ) dW n1 dW n2 dW, L ( z,q ( z )) ( z, q ( z )) 0 0 0 w dt dW, w w( z ), w(t ).

2 t z Первый интеграл в формуле испытывает скачок на контуре интегрирова ния L, равный ln (t, ), а два последующих интеграла испытывают скачки 2in и 2in. Соответственно, функция ( z, w) удовлетворяет однородно 1 му условию (16) и аналитична на остальной римановой поверхности. Ветви ln (t, ) и целые числа n, n определяются так, чтобы функция ( z, w) 1 имела заданное поведение на концах контура интегрирования L, а отно шение ( z, w) ( z, w) имело лишь интегрируемые особенности на L.

Записывая в условии (16) функцию (t, ) в виде X (t, ) X (t, ), по- лучим задачу «о скачке», из решения которого определяется искомая функция 1 C z C (t, ) dW С0 1 (17) ( z, w) ( z, w).

2i (t, ) w( z ) L В §6 исследуется поведение найденного решения интегро дифференциального уравнения в окрестности нуля и на бесконечности. В окрестности нуля функция f (x) имеет логарифмическую особенность, а на бесконечности убывает как 1 x 2.

В §7 рассматривается решение системы f1(t ) dt a12 f 2(t ) dt a f1 ( x ) b1 ( x), 0 tx tx (18) x 0.

f1(t ) dt a22 f 2(t ) dt a f 2 ( x) 21 b2 ( x ), 0 tx tx Показывается, что в случае a11 a12 и a 21 a 22, её решение может быть также найдено методом, описанным в параграфах 3 – 5, однако иско мые функции f ( x) и f ( x) имеют степенные особенности порядка i, 1 2 0 где в зависимости от параметров a, a, a, a число принимает значе 11 12 21 22 ния из отрезка [1 2, 1].

Третья глава посвящена решению задачи о кусочно-однородном включении, расположенном между двумя полубесконечными пластинами.

Включение в данном случае предполагается абсолютно жестким на изгиб.

В §1 приводится механическая постановка задачи. Две полубесконеч ные пластины с одинаковыми упругими характеристиками, и толщи ной h соединены между собой вдоль действительной оси через кусочно однородное включение, состоящее из двух различных однородных частей, расположенных на положительной и отрицательной полуосях и имеющих модули упругости E, E, малое поперечное сечение S и толщину d. К 1 внешней грани включения приложено касательное усилие интенсивности ( x ). Предполагается, что пластины находятся в обобщенном плоском напряженном состоянии, а включение рассматривается как одномерный упругий континуум, абсолютно жёсткий на изгиб. Пространственные эф фекты концентрации напряжений вблизи линии соединения пластин с включением считаем пренебрежимо малыми.

В §2 производные от смещений u, v в пластинах на действительной оси и деформация в стрингере, входящие в краевые условия контакта u x u x, v x v x 0, (19) выражаются через касательные и нормальные контактные напряжения xy и y в пластинах. В результате, задача сводится к уравнению (9) относи x тельно функции f ( x) x (t )dt при x 0 и f ( x) (t )dt при x 0.

xy xy Остальные контактные напряжения выражаются через по формулам xy 1 xy (t )dt ( x), ( x) ( x), ( x) ( x).

y y y xy xy t x В §3 определяется поведение контактных напряжений в окрестности нуля и на бесконечности. Как и в задаче о стрингере, касательные контакт ные напряжения имеют логарифмическую особенность в нуле, а нормаль ные контактные напряжения – разрыв первого рода.

В §4 приводятся численные расчёты задачи при продольной экспонен циальной нагрузке. При этом полученные значения касательных контакт ных напряжений совпадают с касательными напряжениями, получен xy ными в задаче о стрингере;

нормальные контактные напряжения незна y чительно отличаются от нормальных контактных напряжений, найден- ных в первой главе.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, по лученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Путём сведения к краевой задаче Римана на двулистной римановой поверхности впервые построены аналитические решения интегро дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффи циентом на прямой и системы интегро-дифференциальных уравнений Прандтля на луче;

исследовано их поведение вблизи нуля и на бесконечно сти.

2. Решена явно задача о тонком кусочно-однородном стрингере, рас положенном на линии разных упругих пластин и полностью лишённом изгибной жёсткости.

3. Решена явно задача о тонком упругом кусочно-однородном включе нии в однородном упругом теле, абсолютно жёстком на изгиб.

4. Исследовано поведение контактных напряжений вблизи точки из менения жёсткости стрингера (включения), найдены аналитические выра жения для коэффициентов интенсивности напряжений. Численными рас чётами изучена их зависимость от упругих и геометрических параметров пластин и стрингера (включения).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах [1] Сильвестров В. В., Смирнов А. В. Интегро-дифференциальное уравнение Прандтля и контактная задача для кусочно-однородной пластины // При кладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 6. С. 953–970.

[2] Сильвестров В. В., Смирнов А. В. Усиление тонкостенной конструкции по линии соединения материалов // Труды Российского государственного университета нефти и газа имени И. М. Губкина. Сборник научных статей по проблемам нефти и газа. 2010. № 3. С. 101–106.

[3] Сильвестров В. В., Смирнов А. В. Контактное взаимодействие двух упру гих полубесконечных пластин через тонкое кусочно-однородное включе ние // Вестник Чувашского государственного педагогического универси тета имени И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2011.

№ 1. С. 197-202.

[4] Сильвестров В. В., Смирнов А. В. Упругие напряжения в плоскости с тонкостенным кусочно-однородным включением при наличии сосредото ченных сил // Вестник Самарского государственного технического уни верситета. Серия: Физико-математические науки. 2011. № 2.

[5] Смирнов А. В. Об одной системе разностных уравнений // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 36. Лобачевские чтения – 2007: Материалы VI молодежной научной школы-конференции. Казань:

Изд-во Казанск. матем. общества, 2007. С. 196–198.

[6] Смирнов А. В. Об усилении пластины кусочно-однородным стрингером // Материалы XLVI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск:

Новосиб. гос. ун-т, 2008. С. 169–170.

[7] Смирнов А. В. Напряженное состояние пластины, усиленной кусочно однородным стрингером // XXXIV Гагаринские чтения: Научные труды международной молодежной научной конференции. М.: МАТИ, 2008. Т. 1. С.

195-196.

[8] Смирнов А. В. Интегро-дифференциальное уравнение задачи усиления пластины стрингером кусочно-постоянной толщины // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тезисы докладов международной конференции. Минск: ИМ НАНБ, 2009. С. 149-150.

[9] Смирнов А. В. Поведение контактных напряжений вблизи точки изменения толщины стрингера, наложенного на линию соединения различных пластин // XXXV Гагаринские чтения: Тезисы докладов международной молодежной научной конференции. М.: МАТИ, 2009. Т. 3. С. 77-78.

[10] Смирнов А. В. Поведение контактных напряжений на границе упругого включения и кусочно-однородной плоскости // Современные проблемы математики, механики, информатики: Материалы международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 179–181.

[11] Сильвестров В. В., Смирнов А. В. Модель усиления тонкостенной конструкции по линии соединения материалов // Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России: Тезисы докладов VIII Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 80-летию Российского государственного университета нефти и газа имени И.М.

Губкина. Часть II. М.: Издательский центр РГУ нефти и газа имени И.М.

Губкина, 2010, С. 81.

[12] Смирнов А. В. Система двух интегро-дифференциальных уравнений на положительной полуоси // Труды 5-й международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений». Том 2.

Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2010. С. 123–128.

[13] Смирнов А. В. Напряженное состояние кусочно-однородной пластины, подкрепленной двумя полубесконечными стрингерами // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Труды II международной конференции.

Том 2. Ереван: Изд-во ЕГУАС, 2010. 2010. С. 155–159.

[14] Смирнов А. В. Решение задачи о полубесконечных пластинах, соединенных через упругое включение // Современные проблемы математики, механики, информатики: Материалы международной научной конференции. Тула: Изд во ТулГУ, 2010. С. 205–208.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.