авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости

На правах рукописи

Рувинская Екатерина Александровна

ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ

ВОЛН В ТРЕХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород – 2012

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева и кафедре математики НИУ ВШЭ – Нижний Новгород.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Куркин Андрей Александрович Талипова Татьяна Георгиевна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ФГБУН «Институт прикладной физики РАН»

Зайцев Андрей Иванович кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией вычислительной гидромеханики и океанографии ФГБУН «Специализированное конструкторское бюро средств автоматизации морских исследований ДВО РАН»

Ведущая организация: ФГБУН Институт водных проблем РАН

Защита состоится «21» декабря 2012 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им Р.Е. Алексеева по адресу:

603600, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24, корп. 1, ауд. 1313.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева.

Автореферат разослан « » ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., доцент Л.Ю. Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации Последние десятилетия характеризуются интенсивным освоением морских берегов, океанического шельфа и прибрежных регионов. Внутренние гравитационные волны оказывают важное влияние на гидрологический режим шельфовой зоны. Интенсивные внутренние волны представляют особый интерес, так как могут затруднять осуществление хозяйственной деятельности человека на шельфе, влияя на сверхдальнее распространение акустических сигналов, движение подводных аппаратов, размывы грунтов под нефтяными и газовыми платформами, продуктивность планктона, процессы вертикального перемешивания, перенос примесей и загрязнений. Очевидно, что создание прогностических моделей, позволяющих предсказывать возможность существования и свойства интенсивных внутренних волн в зависимости от условий среды, является актуальной и практически значимой задачей.

В мелких морях вертикальная стратификация плотности нередко имеет трехслойную структуру с хорошо различимым сезонным пикноклином на глубине ~ 100 м и основным пикноклином на большей глубине [4]. Так, например, Балтийское море имеет более или менее постоянную трехслойную структуру, вызванную стоком пресных вод у поверхности и проникновением наиболее соленой воды в придонные слои через Датские проливы [7].

Различимая трехслойная стратификация плотности встречается и в Южно Китайском море [12]. Некоторые аспекты волновой динамики в трехслойной жидкости были исследованы ранее в рамках слабонелинейных [3, 11] и полнонелинейных моделей [6, 9, 10], главным образом численно. Многие важные вопросы, однако, остались не исследованными. В трехслойной жидкости существуют две волновые моды, и так называемые медленные волны почти не изучены в литературе. В трехслойной среде могут распространяться специфические классы нелинейных уединенных волн – бризеры, которые пока еще слабо исследованы как аналитически, так и численно. Кроме того, при некоторых соотношениях параметров среды уравнение Кортевега – де Вриза вырождается, и необходим учет нелинейности высших порядков. Все это указывает на актуальность проблемы изучения внутренних волн в трехслойной жидкости.

Цели диссертационной работы Основной целью диссертационной работы является изучение динамики нелинейных гравитационных волн в трехслойной жидкости. В частности, предполагается:

1. Вывести расширенное уравнение Кортевега – де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей для волн первой (быстрой) и второй (медленной) моды в трехслойной жидкости.

2. Произвести уточнение динамики волн первой моды в рамках слабонелинейной теории в частном случае жидкости с симметричной трехслойной стратификацией при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейности в обобщенном уравнении Кортевега – де Вриза.

3. Исследовать влияние эффектов полной нелинейности на процессы генерации и свойства уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости, в том числе на вертикальную структуру волновых полей.

Научная новизна результатов работы Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Получено расширенное уравнение Кортевега – де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Продемонстрировано, что для медленной (второй моды) невозможно, чтобы оба нелинейных коэффициента (квадратичной и кубической нелинейности) одновременно обращались в нуль, в то время как для быстрой (первой) такое возможно, что было известно ранее. Тем не менее, для медленной моды возможно обращение квадратичной нелинейности в нуль, в то время как коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен. Показано, что в частном случае симметричной трехслойной стратификации коэффициенты нелинейного эволюционного уравнения для медленной моды совпадают с аналогичными коэффициентами двухслойной жидкости, если одну из границ переместить в середину потока.

2. Выведено так называемое «2+4» уравнение Кортевега – де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Это уравнение не является полностью интегрируемым, но допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической. Численно изучены процессы двух-солитонного взаимодействия, приводящие к образованию дисперсионных пакетов.

3. Исследованы эффекты полной нелинейности для интенсивных локализованных внутренних гравитационных волн, которые в слабонелинейном пределе описываются фундаментальными неизлучающими решениями (солитонами и бризерами) соответствующих упрощенных моделей – эволюционных уравнений типа Кортевега – де Вриза. Численным интегрированием исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, исследованы свойства уединенных волн в такой среде, определена предельная амплитуда. Сравнение результатов моделирования с решениями уравнения модифицированного Кортевега – де Вриза показывает, что область применимости последнего для количественных оценок характеристик уединенных волн относительно узка. Прогнозирование количества солитонов, возникающих из начального возмущения с помощью слабонелинейной модели приводит к переоценке числа уединенных волн по сравнению с полно нелинейной моделью.

4. Выполнено исследование вертикальной структуры солитонов, полученных путем численного интегрирования начальной задачи для полной системы уравнений гидродинамики в сопоставлении с солитонами расширенного модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза для трехслойной среды.

Выявлены количественные различия структуры профиля горизонтальной и вертикальной скорости течений в солитоне в рамках слабо и сильно нелинейных моделей.

5. Доказано, что бризер может трансформироваться в солитон в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн (ранее этот процесс был известен только для слабонелинейных волн).

6. Показано, что вклад внутренних волн в формирование придонных потоков сравним с вкладом приливных волн даже для областей, находящихся на достаточно большой глубине по сравнению с пикноклином, что доказывают результаты численных экспериментов для Охотского моря, а, значит, бароклинная составляющая придонных скоростей должна учитываться при решении инженерных задач, связанных с обеспечением безопасности экосистем океанов и морей. Важно отметить, что коротковолновые цуги, наблюдаемые во всех расчетах, вносят основной вклад в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.

Положения, выносимые на защиту 1. Уравнение Гарднера для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Для быстрой моды коэффициенты квадратичной и кубической нелинейности могут менять знак. Для медленной моды коэффициент квадратичной нелинейности может менять знак, а коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен.

2. «2+4» уравнение Кортевега – де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Оно допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической.

3. Результаты сопоставления выводов полнонелинейной и слабонелинейной теории внутренних волн. В частности, в рамках исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, в то время как в классической слабонелинейной теории солитоны остаются узкими.

4. Процесс трансформации солитона в бризер в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн.

5. Важность учета сильнонелинейных эффектов в описании вертикальной структуры солитонов и их вклада в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.

Практическая значимость результатов работы Предложенные в работе модели нелинейных волн в трехслойной жидкости могут применяться для изучения природных и технологических процессов и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Они позволят прогнозировать условия существования солитонов и бризеров в природных водоемах, стратификация которых близка к трехслойной. Важным практическим приложением теории является оценка придонных и приповерхностных скоростей во внутренних волнах, необходимых для расчета транспорта донных наносов и поверхностных загрязнений.

Апробация работы Основные результаты диссертации представлялись на конференциях: IX международной конференции MEDCOAST (Сочи, 2009);

XV Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Кемерово – Томск, 2009);

IV и V Сахалинских молодежных научных школах «Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз» (Южно-Сахалинск, 2009, 2010);

XIV, XV Нижегородских сессиях молодых ученых «Технические науки»

(Нижний Новгород, 2009, 2010);

Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2009 – 2012);

XII Всероссийской школе семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Москва, 2010);

Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященной 110-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010);

X международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2010);

XV – XVIII Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии»

(Нижний Новгород, 2009 – 2012);

IX – XI Международной молодежной научно технической «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2010 – 2012);

Конференции, посвященной 65-летию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН «Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе» (Южно-Сахалинск, 2011).

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е.

Алексеева и НИУ ВШЭ – Нижний Новгород.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации – 164 страницы, включая рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическая значимость результатов работы, апробация, список публикаций по теме диссертации.

Глава 1 является преимущественно вводной, в ней обсуждаются основные подходы к изучению длинных внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости. Основной акцент делается на описание моделей, применимых для исследования внутренних волн в трехслойной среде. § 1. посвящен рассмотрению линейной теории длинных внутренних волн в N слойной жидкости, необходимой для последующего изучения нелинейных эффектов. Для двухслойной (§ 1.2.1) и трехслойной (§ 1.2.2) среды получены и проанализированы дисперсионные соотношения, построена вертикальная структура функции тока. Разложение дисперсионного соотношения для линейных длинных внутренних волн в ряды Тейлора по малому волновому числу k позволяет определить коэффициенты дисперсионных членов произвольного порядка, что может быть использовано для верификации слабонелинейных моделей высокого порядка теории возмущений. В § 1.3.1 дан обзор известных слабонелинейных моделей и их уединенных стационарных решений, используемых для изучения динамики солитонов внутренних волн. В § 1.3.2 приведено подробное описание асимптотической процедуры вывода обобщенного уравнения Кортевега – де Вриза для волн на границах раздела в трехслойной жидкости, усовершенствованной и автоматизированной при участии автора. Рассмотрим модельную ситуацию потенциального движения в трехслойной невязкой жидкости несжимаемой жидкости с невозмущенным положением верхнего и нижнего интерфейса на уровне z = H1,2 (H2 H1), ограниченную ровным дном (z = 0), для которого выполняется условие непротекания, и поверхностью на уровне z = H3 (H3 H2), для которой выполняется приближение «твердой крышки». Величины плотности в нижнем, среднем и верхнем слоях определяются как 1 = + 1, 2 =, 3 = соответственно. Также используется приближение Буссинеска (1,2/ 1).

Для того чтобы с помощью асимптотических методов получить эволюционные уравнения, описывающие динамику внутренних волн относительно малой амплитуды в рассматриваемой среде, необходимо определить соотношение характерных масштабов среды и волновых процессов. Пусть глубина жидкости H, характерный горизонтальный масштаб волновых движений L и характерная амплитуда a. Следуя допущению о распространении длинных волн L H, введем малый параметр дисперсии µ = H 2 L2. Долгоживущие волны обычно имеют малую по сравнению с глубиной жидкости амплитуду, иными словами можно ввести малый параметр нелинейности = a H 1. Так как уединенные волны могут существовать только при достижении баланса между нелинейными и дисперсионными членами, предположим, что ~ µ. Тогда уравнения Лапласа для каждого слоя и системы динамических и кинематических граничных условий на интерфейсах в размерном виде, но с учетом малости параметров запишутся следующим образом:

1 zz + 1 xx = 0, 0 z H 1, 1 z ( z = 0) = 0, (1) 2 zz + 2 xx = 0, H1 z H 2, (2) 3 zz + 3 xx = 0, H 2 z H 3, 3z (z = H3 ) = 0. (3) t + 1x x 1z = 0, t + 2 x x 2 z = 0, (4) z = H1 + ( x, t ), 1 1t + (1x )2 + (1z )2 + g = 2 2t + ( 2 x )2 + ( 2 z )2 + g 1 1 1 2 2 2 t + 2 x x 2 z = 0, t + 3 x x 3 z = 0, (5) z = H 2 + ( x, t ).

2 2t + ( 2 x )2 + ( 2 z )2 + g = 3 3t + (3 x )2 + (3 z )2 + g.

1 1 1 2 2 2 Здесь Фi, i = 1 – 3 – потенциалы скорости частиц жидкости в каждом из слоев, g – ускорение силы тяжести.

В предположении малости амплитуд распространяющихся возмущений граничные условия на интерфейсах могут быть сведены к более простому виду путем разложения всех неизвестных функций, в них входящих, в ряды Тейлора по малым отклонениям от невозмущенного уровня:

j f j f j j f (x, z = H 1 + ( x, t ), t ) =, f ( x, z = H 2 + ( x, t ), t ) = (6) j! z j j! z j j =0 j =0 z=H z = H Разложим также в ряды по малому параметру = a H 1 потенциалы в каждом слое и отклонения интерфейсов:

( ), = 0 + 1 + 2 2 +... (7) ( ).

= 0 + 1 + 2 2 +... (8) ( +...), i = 1,2,3, i = 1(i ) + 2 (i ) + 23 (i ) (9) Подстановка выражений (7)-(9) в исходную систему уравнений, позволяет перейти к асимптотическому рекурсивному алгоритму, который подробно описан в работе [Р6]. На каждом шаге алгоритма может быть получено эволюционное уравнение относительно соответствующей поправки ряда (7) или ряда (8), комбинируя которое с уравнениями для поправок предыдущих порядков соответствующего ряда, можно получить эволюционную модель для искомой функции или. Также на каждом шаге асимптотического алгоритма определяются соотношения между поправками одного порядка рядов (7) и (8), подстановка которых в выражение (7) или (8) позволяет найти уравнения связи между смещениями интерфейсов. Так, например, эволюционные уравнения второго порядка теории возмущений для внутренних волн первой или второй моды, распространяющихся по нижнему интерфейсу имеют вид (в исходных координатах (x, t)):

± t + c ± ± x + ± ± ± x + ± ± xxx + 1± ± ± x + 1± ± 5 x + 1± ± ± xxx + 2 ± x ± xx = ± (10) где индекс «+» соответствует волновой функции первой моды, а индекс « »

используется для обозначения второй моды. Тогда уравнение связи смещений верхнего и нижнего интерфейсов примут вид:

± = s ± + s ± quad 2 + s ± disp xx (11) Мы не выписываем здесь коэффициенты в уравнениях (10) и (11), которые представляются весьма громоздкими выражениями.

В работе получены системы уравнений, описывающих смещения верхнего и нижнего интерфейсов до пятого порядка теории возмущений (в симметричной трехслойной среде).

В § 1.4 представлено описание программного комплекса IGW, который решает систему уравнений, описывающих движение невязкой несжимаемой стратифицированной жидкости в вертикальной плоскости в приближении Буссинеска. IGW, разработанный первоначально профессором университета Ватерлоо К. Лэмбом [5], усовершенствован в научно-исследовательской группе с участием диссертанта под руководством профессора А.А. Куркина для решения широкого круга задач, к числу которых относится настоящее исследование.

Глава 2 посвящена разработке слабонелинейных эволюционных моделей для описания динамики внутренних волн в трехслойной жидкости. В такой среде существуют две волновые моды. В § 2.2 получено расширенное уравнение Кортевега – де Вриза (называемое уравнением Гарднера) для внутренних волн быстрой (первой) моды в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Первый порядок теории возмущений оказался недостаточным, так как коэффициент квадратичной нелинейности может вырождаться. Чтобы получить уравнение Гарднера с помощью асимптотических разложений, необходимо заменить стандартное масштабирование = µ на 2 = для учета дисперсионных и нелинейных эффектов в одном порядке, при этом должна возрастать роль следующих по нелинейности членов в асимптотическом разложении волнового поля. Коэффициенты эволюционных моделей представляют собой сложные функции, зависящие от параметров среды. При этом параметры дисперсии для внутренних волн всегда положительны, а коэффициенты нелинейностей могут быть положительными, отрицательными или обращаться в нуль. Поэтому для предсказания возможности существования уединенных волн, а также определения их типов, необходим подробный анализ значений коэффициентов квадратичной и кубической нелинейности в зависимости от сочетания условий в жидкости. В качестве примера на рис. 1 представлена схема солитонных режимов для волн быстрой моды в трехслойной среде при 1 = 2.

Верхняя половина плоскости параметров (выше диагонали H1 = H2) используется для отображения значений коэффициентов эволюционного уравнения для верхнего интерфейса, а нижняя половина – для отображения значений коэффициентов эволюционного уравнения для нижнего интерфейса.

В выделенных точках на рис. 1 параметры квадратичной и кубической нелинейности одновременно обращаются в нуль, поэтому при таких стратификациях плотности необходимо уточнение теории.

В § 2.3 исследованы особенности динамики внутренних уединенных волн быстрой моды в трехслойной жидкости с симметричной стратификацией плотности ( H 1 = H 3 H 2 = h, 1 = 2 ). Симметрия приводит к вырождению коэффициента квадратичной нелинейности, так что стартовой моделью является классическое модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза (мКдВ). Однако коэффициент кубической нелинейности и нелинейности четвертой степени могут одновременно обращаться в нуль при некотором соотношении толщин слоев (hcr = 9H /26). В малой окрестности такой критической точки необходима модификация асимптотической процедуры и нами выведено для этого случая следующее уравнение t + c x + 1 2 x + xxx + ( 2 3 x + 2 x xx ) + (12) () + 2 ( 3 4 x + 31 ( x )3 + 32 x xx + 33 2 xxx + 1 5 x ) + O 3 = 0, коэффициенты которого определены в [Р6]. Уравнение для (x, t) отличается от (12) только противоположным знаком коэффициентов, помеченных индексом ”*”. Раскладывая выражения для коэффициентов уравнения (12) в ряд Тейлора в окрестности точки hcr ( = (h hcr)/H) (для учета дисперсионных и нелинейных эффектов в одном порядке, соотношение между малыми параметрамии должно быть следующим: = ) и вновь изменяя масштабирование параметров для баланса нелинейности и дисперсии, получаем расширенное модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза с комбинированной нелинейностью («2+4» КдВ):

t + c x + 1 2 x + 3 4 x + xxx = 0, (13) Рис. 1 Схема солитонных режимов для волн быстрой моды в трехслойной жидкости ( = 2). Черные контуры соответствуют вырождению квадратичной нелинейности, серые - кубической. Выделенные точки имеют координаты: черные ромбы (H1/H3, H2/H3)=(9/26;

17/26), серые круги (H1/H3, H2/H3)(0.1703;

0.5717) и (H1/H3, H2/H3)(0.4283;

0.8297).

В рамках уравнения «2+4» КдВ легко доказывается возможность существования уединенных волн при положительных значениях кубической нелинейности (коэффициент нелинейности пятой степени отрицателен всегда).

При небольших амплитудах реализуются солитоны уравнения мКдВ, которые при приближении к предельной амплитуде неограниченно уширяются. В рамках уравнения «2+4» КдВ численно основе неявной псевдоспектральной схемы с контролем массы и энергии [1, 2] исследованы двухсолитонные взаимодействия различных типов – обмен, обгон и взаимодействия с участием солитонов предельных амплитуд. В качестве примера на рис. 2 представлено взаимодействие разнополярных импульсов в безразмерных координатах 1/ 3/ 4 3/ 1 3 ( ) ( ) 1 / 2 1 / = t, = x, q = ).

3 Рис. 2 Взаимодействие разнополярных солитонов в рамках уравнения (10) с амплитудами 1.118 и -0.5 в безразмерных координатах § 2.4 посвящен исследованию динамики внутренних волн второй моды, которые имеют меньшее значение фазовой скорости, чем у первой моды. Механизмом генерации солитонов медленной моды может быть интрузия жидкости в стратифицированный бассейн [8], взрывы внутри слоистой акватории и др. Для описания динамики таких волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей получено уравнение Гарднера, Рис. 3 Схема солитонных режимов для коэффициенты которого определены через волн медленной моды в трехслойной параметры среды и проанализированы.

жидкости (1 = 2).

Уточнение слабонелинейной теории (классического уравнения КдВ) оказалось необходимым, так как коэффициент квадратичной нелинейности может вырождаться, при этом коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен. Построены схемы солитонных режимов для волн медленной моды в трехслойной жидкости (в качестве примера на рис. 3 представлена такая схема при 1 = 2).

В § 2.5 показано, что коэффициенты эволюционных уравнений для внутренних волн второй моды в частном случае симметричной трехслойной жидкости совпадают с параметрами аналогичных слабонелинейных моделей для волн в двухслойной жидкости, если перенести одну из границ в середину потока.

Глава 3 посвящена исследованию эффектов сильной нелинейности, а также содержит несколько примеров моделирования внутренних гравитационных волн в реалистичных условиях. Основная цель этого раздела – продемонстрировать в каких случаях использование слабонелинейной теории (в том числе теоретических модели, полученные в главе 2) для предсказания свойств уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости оправдано, а в каких необходим учет полной нелинейности. § 3.2 посвящен сравнению свойств уединенных внутренних волн в симметричной трехслойной жидкости в рамках уравнения мКдВ, «2+4» КдВ и полнонелинейной модели. В § 3.2. показано, что слабонелинейная теория (уравнение мКдВ) переоценивает количество солитонов в составе решения начальной задачи и недооценивает время формирования уединенной внутренней волны. При этом предсказания слабонелинейной теории относительно возможности существования солитоноподобных волн оказываются достаточно точными. В § 3.2. исследуются свойства уединенных внутренних волн при фиксированном соотношении толщин слоев в симметричной трехслойной жидкости в рамках уравнений мКдВ, «2+4» КдВ и полнонелиненой модели. Показано, что уравнение «2+4» КдВ позволяет делать более точные, чем мКдВ, прогнозы относительно параметров волн умеренных амплитуд и предсказывает возможность существования платообразных уединенных волн в симметричной трехслойной жидкости.

посвящен § 3. исследованию вертикальной структуры волнового поля при прохождении уединенной внутренней волны в симметричной трехслойной жидкости в рамках полнонелинейной численной модели и уравнения мКдВ.

Доказано, что существенная Рис. 4 Нормированные значения придонных (серый) нелинейность приводит не только и приповерхностных (черный) скоростей для к количественным, но и солитонов мКдВ (сплошная линия) и качественным изменениям полнонелинейных уединенных волн (точки) пространственной структуры уединенной волны в сравнении со слабонелинейным солитоном. В частности, выявлены качественные (расположение максимума вертикальной скорости и линии нулевой горизонтальной скорости) и количественные различия структуры профиля горизонтальной и вертикальной скоростей для уединенных внутренних волн и солитонов мКдВ умеренных амплитуд. Сделан вывод о том, что в трехслойной симметричной среде для волн быстрой моды положительной полярности слабонелинейная теория недооценивает придонные и переоценивает приповерхностные скорости, а для волн отрицательной полярности наоборот недооценивает приповерхностные и переоценивает придонные (рис. 4).

§ 3.4 содержит результаты моделирования динамики внутренних волн в шельфовой зоне о. Сахалин. Показана важнейшая роль бароклинной компоненты волнового поля в формирование придонных скоростей (рис. 5).

Рис.5 x-t диаграмма полной скорости в проекции на касательную к линии дна, скорости баротропного прилива, вертикальной и горизонтальной бароклинных составляющих для шельфовой зоны о. Сахалин В § 3.5 в рамках полнонелинейной модели продемонстрирован процесс трансформации бризера в солитон над наклонным дном при прохождении точки смены знака коэффициента кубической нелинейности. При этом для подбора трассы использовались полученные во второй главе диаграммы значений коэффициентов нелинейности.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

В Приложении приведены вычисленные коэффициенты уравнения Гарднера для смещений верхнего и нижнего интерфесов при распространении волн первой и второй моды в зависимости от параметров среды.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Получено расширенное уравнение Кортевега – де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Продемонстрировано, что для медленной (второй моды) невозможно, чтобы оба нелинейных коэффициента (квадратичной и кубической нелинейности) одновременно обращались в нуль, в то время как для быстрой (первой) такое возможно, что было известно ранее. Тем не менее, для медленной моды возможно обращение квадратичной нелинейности в нуль, в то время как коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен. Показано, что в частном случае симметричной трехслойной стратификации коэффициенты нелинейного эволюционного уравнения для медленной моды совпадают с аналогичными коэффициентами двухслойной жидкости, если одну из границ переместить в середину потока.

2. Выведено так называемое «2+4» уравнение Кортевега – де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Это уравнение не является полностью интегрируемым, но допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической. Численно изучены процессы двух-солитонного взаимодействия, приводящие к образованию дисперсионных пакетов.

3. Исследованы эффекты полной нелинейности для интенсивных локализованных внутренних гравитационных волн, которые в слабонелинейном пределе описываются фундаментальными неизлучающими решениями (солитонами и бризерами) соответствующих упрощенных моделей – эволюционных уравнений типа Кортевега – де Вриза. Численным интегрированием исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, исследованы свойства уединенных волн в такой среде, определена предельная амплитуда. Сравнение результатов моделирования с решениями уравнения модифицированного Кортевега – де Вриза показывает, что область применимости последнего для количественных оценок характеристик уединенных волн относительно узка. Прогнозирование количества солитонов, возникающих из начального возмущения с помощью слабонелинейной модели приводит к переоценке числа уединенных волн по сравнению с полно нелинейной моделью.

4. Выполнено исследование вертикальной структуры солитонов, полученных путем численного интегрирования начальной задачи для полной системы уравнений гидродинамики в сопоставлении с солитонами расширенного модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза для трехслойной среды.

Выявлены количественные различия структуры профиля горизонтальной и вертикальной скорости течений в солитоне в рамках слабо и сильно нелинейных моделей.

5. Доказано, что солитон может трансформироваться в бризер в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн (ранее этот процесс был известен только для слабонелинейных волн).

6. Показано, что вклад внутренних волн в формирование придонных потоков сравним с вкладом приливных волн даже для областей, находящихся на достаточно большой глубине по сравнению с пикноклином, что доказывают результаты численных экспериментов для Охотского моря, а, значит, бароклинная составляющая придонных скоростей должна учитываться при решении инженерных задач, связанных с обеспечением безопасности экосистем океанов и морей. Важно отметить, что коротковолновые цуги, наблюдаемые во всех расчетах, вносят основной вклад в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Куркин, А.А. Численные эксперименты по распространению волн Россби в океане/ А.А. Куркин, О.Е. Полухина // Известия Академии инженерных наук РФ. Прикладная математика и механика, 2003. – 4. – с. 99 – 116.

2. Fornberg, B. A Practical Guide to Pseudospectral Methods/ Cambridge University Press, 1998. – 231 pp.

3. Grimshaw, R. The modified Korteweg – de Vries equation in the theory of large – amplitude internal waves/ Grimshaw, R., Pelinovsky, E., and Talipova, T. // Nonlin. Processes Geophys, 1997. – 4. – p. 237–250, doi:10.5194/npg-4-237- 4. Knauss J. A. Introduction to Physical Oceanography/ Prentice Hall, 1996. – 309 p.

5. Lamb, K. Numerical experiments of internal wave generation by strong tidal flow across a finite amplitude bank edge // J. Geoph. Res., 1994. – 99C1 – p. 843–864.

6. Lamb, K.G. Conjugate flows for a three–layer fluid // Phys. Fluids, 2000. – v.12.

No.9 – p. 2169 – 2185.

7. Leppranta, M. Physical Oceanography of the Baltic Sea/ Leppranta, M., Myrberg, K. // Springer Praxis, Berlin Heidelberg New York, 2009. – 378 p.

8. Mehta, A.P. Interfacial gravity currents. Wave excitation/ Mehta, A.P., Sutherland, B.R., and Kyba, P.J. // Phys. Fluids, 2002. –14. – p. 3558–3569.

9. Rubino, A., Brandt, P., and Weigle, R. On the dynamics of internal waves in a nonlinear, weakly nonhydrostatic three-layer ocean/ Rubino, A., Brandt, P. and Weigle, R. // J.Geophys. Res., 2001. – 106. – p.26899 – 26915.

10.Rusas, P.-O. Solitary waves and conjugate flows in three-layer fluid/ Rusas, P.-O.

and Grue, J. // Eur. J. Mech. B-Fluids, 2002. – 21. – p.185–206.

11.Талипова, Т.Г. Эффекты кубической нелинейности при распространении интенсивных внутренних волн/ Талипова, Т.Г., Пелиновский, Е.Н., Ламб, К., Гримшоу, Р., Холловэй, П. // ДАН, 1999. – 364(6). – р.824 – 827.

12.Yang, Y. J. Convex and concave types of second baroclinic mode internal solitary waves/ Yang, Y. J., Fang, Y. C., Tang, T. Y., and Ramp, S. R. // Nonlin. Process.

Geophys., 2010. – 17. – 605.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

Р 1. Куркина О.Е., Куркин А.А., Рувинская Е.А., Пелиновский Е.Н., Соомере Т. Динамика солитонов неинтегрируемой версии модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 95. № 2. C. 98 – 103.

Р 2. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Моделирование «внутренней погоды» в экосистеме стратифицированного морского шельфа // Экологические системы и приборы. 2011. № 6. С. 8 – 16.

Р 3. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Исследование структуры уединенных внутренних волн большой амплитуды в трехслойной жидкости // Вестник МГОУ, серия «Физика – математика». 2011. № 2. С. 61 – 74.

Р 4. Kurkina O.E., Kurkin A.A., Soomere T., Pelinovsky E.N., Rouvinskaya E.A.

Higher-order (2+4) Korteweg-de Vries – like equation for interfacial waves in a symmetric three-layer fluid // Physics of Fluids. 2011. V. 23. Issue 11. C. 116602 1-13.

Статьи в рецензируемых журналах:

Р 5. Рувинская Е.А. Свойства уединенных внутренних волн в трехслойной среде: сравнение моделей. // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева. 2012. № 3. С. 39 – 50.

Р 6. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Уточненное нелинейное эволюционное уравнение для внутренних гравитационных волн в трехслойной симметричной жидкости // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева. 2010. № 4(83). С. 30 – 39.

Статьи в трудах международных и всероссийских конференций:

Р 7. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркин А.А., Полухина (Куркина) О.Е., Норкин В.М. Особенности динамики уединенных волн в океане с двумя пикноклинами. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз:

IV Сахалинская молодежная научная школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: сборник материалов/ отв. Ред. О.Н. Лихачева. – Южно-Сахалинск:

ИМГиГ ДВО РАН. 2010. С. 225 – 232.

Р 8. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркин А.А., Полухина (Куркина) О.Е., Норкин В.М. Анализ скоростей придонных течений в поле длинных нелинейных внутренних волн. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалинская молодежная научная школа, Южно Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: сборник материалов/ отв. Ред. О.Н. Лихачева. – Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН. 2010. С. 233 – 239.

Р 9. Vladykina (Rouvinskaya) E.A., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A., Norkin V.M. Internal Gravity Waves in the Ocean with Two Pycnoclines: Models and Dynamics. // Proceedings of the Ninth international conference on the Mediterranean coastal environment, MEDCOAST 09. 2009. V. 2. P. 949 – 960.

Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

Р 10. Kurkina O.E., Rouvinskaya E.A., Kurkin A.A. Higher-order weakly nonlinear theory for internal waves in three-layer uid // Geophysical Research Abstracts 2012. V. 14. EGU2012-8429- Р 11. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Уточненное нелинейное эволюционное уравнение для волн второй моды в жидкости с симметричной трехслойной стратификацией // Информационные системы и технологии ИСТ-2012 (20 апреля 2012 г, Нижний Новгород). Материалы XVIII международной научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2012.

С. 369.

Р 12. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Исследование волновой динамики в трехслойной жидкости со слоями произвольной толщины // Будущее технической науки БТН-2012. Материалы XI международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», 2012. С. 426.

Р 13. Rouvinskaya E.A., Kurkina O.E., Kurkin A.A.., Kuzin A.M., Barenboim M.N. Nonlinear dynamics of intensive internal waves in bounded stratified basins.

// Geophysical Research Abstracts 2011. V. 13. EGU2011-433.

Р 14. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Уточненные нелинейные эволюционные модели высокого порядка для внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости // Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе: научная конференция, посвященная 65-летию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН: тезисы докладов, Южно-Сахалинск, 26-30 сентября 2011г./отв. ред. Б.В.Левин. Южно-Сахалинск: Ин-т мор. геологии и геофизики ДВО РАН, 2011. С. 122 – 123.

Р 15. Vladykina (Rouvinskaya) E.A., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A.

Extended modified Korteweg – de Vries equation for internal gravity waves in a symmetric three-layer fluid. // Geophysical Research Abstracts. 2010. V. 12.

EGU2010-2998, Р 16. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Уточненная теория нелинейных внутренних волн в трехслойной жидкости. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: тезисы докладов Пятой Сахалинской молодежной научной школы, Южно-Сахалинск, 8-11 июня 2010 г. / отв. ред. О.Н. Лихачева. – Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН, 2010. С. 44 – 45.

Р 17. Куркина О.Е., Куркин А.А., Владыкина (Рувинская) Е.А. Уединенные внутренние гравитационные волны большой амплитуды в трехслойной жидкости: сравнение моделей. // Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева. 23 – 27 августа 2010 г. Тезисы докладов. Новосибирск 2010. С. 119 – 120.

Р 18. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Уединенные волны в симметричной трехслойной жидкости: уточненное модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза и полнонелинейная модель. // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» «Волны 2010» 24 – 29 мая 2010 г.

Звенигород, Московская обл. – М.: Изд-во физ. ф-та МГУ, 2010. С. 15 – 16.

Р 19. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) О.Е., Куркин А.А.

Динамика уединенных волн в симметричной трехслойной жидкости. // Материалы конференции «ВНКСФ-15 Пятнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых», издательство Ассоциации студентов-физиков России, Кемерово – Томск. 2009. C. 533 – 534.

Р 20. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) О.Е., Куркин А.А.

Использование модернизированного программного комплекса для обеспечения исследований уединенных внутренних волн в трехслойной среде. // Материалы XV Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ-2009», НГТУ, Нижний Новгород. 2009. C. 197 – 198.

Р 21. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) О.Е., Куркин А.А., Гиниятуллин А.Р., Норкин В.М., Безрук И.В. Анализ скоростей придонных течений в поле длинных нелинейных внутренних и краевых волн. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалин. молод.

науч. Школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: тез. докл.;

Рос. акад. наук, Дальневост. отд-ние, Ин-т морской геологии и геофизики.-Южно Сахалинск:ИМГиГ ДВО РАН, 2009.С. 80-82.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Введение Глава 1 Математические модели внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости § 1.1. Введение § 1.2. Линейная теория внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости § 1.2.1. Линейная теория: двухслойная жидкость § 1.2.2. Линейная теория: трехслойная жидкость § 1.3. Слабонелинейная теория внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости § 1.3.1. Обзор слабонелинейных моделей, используемых для описания динамики внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости § 1.3.2. Асимптотическая процедура получения обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза для жидкости с трехслойной стратификацией плотности § 1.4. Полнонелинейная модель внутренних гравитационных волн в стратифицированной жидкости § 1.5. Заключение Глава 2 Особенности динамики слабонелинейных внутренних волн в трехслойной жидкости § 2.1. Введение § 2.2. Внутренние гравитационные волны быстрой моды в трехслойной жидкости § 2.3. Внутренние гравитационные волны быстрой моды в симметричной трехслойной жидкости § 2.3.1. Уточненное модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза:

масштабирование и асимптотическое преобразование § 2.3.2. Уединенные внутренние волны быстрой моды в симметричной трехслойной жидкости § 2.4. Внутренние гравитационные волны медленной моды в трехслойной жидкости § 2.5. Внутренние гравитационные волны медленной моды в симметричной трехслойной жидкости § 2.5.1. Уточнение нелинейных эволюционных уравнений в зависимости от сочетания условий в среде § 2.5.2. Уединенные внутренние волны медленной моды в симметричной трехслойной жидкости § 2.6. Заключение Глава 3 Динамика сильнонелинейных внутренних волн в стратифицированном океане § 3.1. Введение § 3.2. Свойства уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости:

сравнение моделей § 3.2.1. Особенности генерации уединенных внутренних волн в симметричной трехслойной жидкости § 3.2.2. Свойства уединенных внутренних волн при фиксированном соотношении толщин слоев в симметричной трехслойной жидкости § 3.3. Исследование вертикальной структуры интенсивных уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости Моделирование внутренних гравитационных волн на § 3.4.

стратифицированном морском шельфе § 3.5. Трансформация бризер-солитон в шельфовой зоне океана с двумя пикноклинами § 3.6. Заключение Заключение Приложение Список литературы

 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.