авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Нестационарная динамика упругих тел с подвижными включениями и границами

Федеральное государственное бюджетное учреждение наук

и

Институт проблем машиноведения

Российской академии наук

На правах рукописи

Гаврилов Сергей Николаевич

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ДИНАМИКА

УПРУГИХ ТЕЛ С ПОДВИЖНЫМИ

ВКЛЮЧЕНИЯМИ И ГРАНИЦАМИ

01.02.04 механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук Санкт-Петербург 2013

Работа выполнена в лаборатории гидроупругости Федерального государ ственного бюджетного учреждения науки Институт проблем машиноведения Российской академии наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН БУРЕНИН Анатолий Александро вич (ФГБУН Институт машиноведения и метал лургии Дальневосточного отделения Российской академии наук, директор) доктор физико-математических наук, доцент ЕРЕМЕЕВ Виктор Анатольевич (Южный научный центр Российской академии наук, зав.

лаб. “Механика активных материалов”) доктор физико-математических наук, профессор КИСЕЛЁВ Алексей Прохорович (ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Мате матического института им. В.А. Стеклова РАН, в.н.с.)

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учре ждение науки Институт проблем мeханики им.

А.Ю. Ишлинского Российской академии наук.

Защита состоится 2013 г. в часов на заседании со вета Д 002.075.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт про блем машиноведения Российской академии наук по адресу: 199178, Санкт Петербург, В.О., Большой пр., д. 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ФГБУН Институт проблем машиноведения Российской академии наук.

Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.075. доктор технических наук, профессор В.В. Дубаренко Общая характеристика диссертации Актуальность темы. В различных разделах современной механики де формируемого твердого тела возникает необходимость исследования сходных математических задач. Именно: имеется упругий континуум (упругое тело) и подвижной источник (в диссертации подвижное инерционное включение или подвижная граница), способный изменять свое пространственное поло жение внутри континуума и взаимодействующий с ним. Разделами механи ки, где такие задачи совершенно естественны, являются, например, механика упругих систем с подвижными нагрузками, в которой подобные задачи бы ли рассмотрены впервые, а также более новые разделы, такие, как механика фазовых превращений (подвижной источник фазовая граница), разномо дульная теория упругости (источник подвижной разрывной фронт), ме ханика разрушения (источник трещина), теория дислокаций и дефектов.

Сходство математических постановок подобных задач диктуется сходством физических явлений, которые они описывают. Рассмотрение энергетического баланса для движущегося источника дает возможность определить реакцию континуума на его движение (так называемую конфигурационную силу), что позволяет формулировать нестационарные задачи двух типов (в диссерта ции задачи кинематического и силового типов). В задачах кинематическо го типа задается закон движения источника;

требуется определить движение упругого тела и, если это необходимо, конфигурационную силу. В задачах силового типа заданы силовые воздействия, вызывающие движение источни ка, и разыскиваются движение источника и движение упругого тела. Задачи силового типа особенно сложны: по своей сути они являются нестационар ными, кроме того, известно, что они всегда нелинейны. Даже для более про стых задач кинематического типа распространенной является ситуация, ко гда вместо нестационарной задачи рассматривается стационарная, в которой источник движется с постоянной скоростью, и разыскивается автомодельное решение, неизменное в подвижной системе координат, движущейся вместе с источником. Что касается собственно нестационарных задач, то систематиче ски в литературе применяются два аналитических подхода: метод интеграль ных преобразований и вычисление (или асимптотическая оценка) интеграла свертки фундаментального решения соответствующего оператора в частных производных с функцией нагрузки. Оба этих подхода применимы только для задач кинематического типа и достаточно эффективны для нестационарных задач, где внезапно возникший источник движется далее с постоянной ско ростью. В некоторых частных случаях с их помощью удается исследовать решения задач, в которых источник движется с переменной скоростью, од нако в целом для таких задач данные подходы не являются достаточно эф фективными. Возможными подходами также являются численная оценка ин теграла свертки или прямое численное моделирование, которое, однако, как правило, неэффективно для выявления качественных закономерностей в ре шениях соответствующих задач. Таким образом, определение качественных и количественных закономерностей поведения упругих тел с подвижными включениями и границами, не поддающихся анализу в рамках стационарных постановок задач, является весьма актуальной проблемой. В связи с этим воз никает необходимость в разработке нового, альтернативного, аналитического подхода к решению нестационарных задач механики упругих тел с включе ниями и границами, движущимися с переменной скоростью, допускающего систематическое применение в различных разделах современной механики деформируемого твердого тела.

Целями диссертационной работы являются:

• определение качественных и количественных закономерностей поведения упругих тел с подвижными включениями и границами, не поддающихся анализу в рамках стационарных постановок задач;

• разработка нового аналитического подхода, допускающего систематиче ское применение для решения задач динамики упругих тел с включени ями и границами, движущимися с переменной скоростью;

• демонстрация эффективности данного подхода посредством решения ря да задач, исследование которых представляет самостоятельный интерес.

Методы исследований. В диссертации получены аналитические решения ряда нестационарных задач механики упругих тел с подвижными включени ями и границами при помощи асимптотических методов.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Диссерта ция носит теоретический характер. Разработанный в ней аналитический под ход к исследованию нестационарных процессов в упругих телах с подвиж ными включениями и границами может быть применён к широкому классу задач из различных разделов механики сплошных сред. Результаты главы дают представление об области применимости квазистатического подхода, широко используемого в теории фазовых превращений в упругих телах. Ре зультаты главы 3 были получены при финансовой поддержке Shell E.&P. и могут быть использованы в геофизических приложениях. Результаты глав 2 и 5 могут быть использованы в инженерных приложениях, связанных с развитием железнодорожного транспорта.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой матема тической постановкой задач, применением математически обоснованных ме тодов решения, полученными предельными переходами к известным случаям, использованием компьютерных систем аналитических вычислений для про верки аналитических результатов, совпадением с результатами численных расчетов.

Научная новизна. В диссертации разработан новый аналитический под ход к решению нестационарных задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью, связанный с представ лением решений рассматриваемых задач в виде многомасштабных асимпто тических разложений по малому параметру (являющемуся свойством рас сматриваемых механических систем). Продемонстрирована эффективность предложенного подхода посредством решения ряда не исследованных ранее нестационарных задач механики деформируемого твёрдого тела, представля ющих самостоятельный интерес. Проведена верификация квазистатического подхода, широко используемого в литературе для задач механики фазовых превращений в упругих телах.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представ лялись на ежегодных летних школах-конференциях “Advanced Problems in Mechanics” (С.-Петербург, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009, 2010, 2011, 2013);

на международных конференциях “Days on Diraction” (С. Петербург, 2002, 2013);

на Всероссийских съездах по теоретической и при кладной механике (Пермь, 2001;

Нижний Новгород, 2006);

на международных конгрессах ICTAM (Чикаго, США, 2000;

Варшава, Польша, 2004);

на съез де немецкого общества прикладной математики и механики GAMM (Падуя, Италия, 2003);

на конференции (workshop) “Mechanics of Materials” (Обер вольфах, Германия, 2002);

на восьмой международной конференции “Совре менные проблемы механики сплошных сред” (Ростов-на-Дону, 2002);

на III Всероссийской конференции по теории упругости (Азов, 2003);

на 484 кол локвиуме Euromech “Wave Mechanics and Stability of Long Flexible Structures Subject to Moving Loads and Flows” (Делфт, Нидерланды, 2006);

на 68 меж дународной конференции–выставке EAGE (Вена, Австрия, 2006);

на меж дународной конференции–выставке EAGE “Geosciences To Discover and Develop” (С.-Петербург, 2006);

на рабочих встречах исследовательского кла стера СПбГУ–РАН и Shell E.&P;

на семинаре под руководством Ж. Може на (Париж, Франция, 2002);

на семинаре под руководством А. Кастельяноса (Севилья, Испания, 2007);

на докладах на Городском семинаре по вычисли тельной и теоретической акустике (руководитель семинара д.ф.-м.н. Д.П.

Коузов);

на семинаре кафедры теоретической механики СПбГПУ (руководи тель семинара д.ф.-м.н. А.М. Кривцов).

В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре академика Н.Ф. Морозова (С.-Петербург) в 2012 г.;

на семинаре Института механики МГУ (руководитель семинара академик РАН И.Г. Горячева) в 2012 г.;

на семинаре ИПМех РАН (руководитель семинара чл.-корр. РАН Р.В. Гольд штейн) в 2012 г.;

на Санкт-Петербургском городском семинаре по механике (руководитель семинара чл.-корр. РАН Д.А. Индейцев) в 2013 г.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (99-01-00693, 05-01-00785, 08-01-00691, 11-01-00385);

грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук (МК-5355.2007.1);

грантом Фонда содействия отечественной науке;

Shell E.&P. (CRDF грант RG0-1318(8)-ST-02);

грантом Правительства С.-Петербурга (PD04-1.10-89);

входила в Программы фунда ментальных исследований РАН академиков Н.Ф. Морозова и И.Г. Горячевой.

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертационной рабо ты опубликованы в 21 работе [1–21], в том числе в 10 работах в изданиях, входящих в международную базу цитирования Web of Science [1,2,9,11,12,15, 16, 19–21]. Работа [8] опубликована в издании, входящем в международную базу цитирования SCOPUS. Работы [3,17] опубликованы в журнале из списка российских изданий, рекомендованных ВАК России.

Полнота изложения материала. Все результаты диссертации опублико ваны в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Личное участие автора. По теме диссертации опубликовано 11 работ, подготовленных лично автором, и 10 работ в соавторстве. В работах [18, 21] автору принадлежат результаты исследования эволюции локализованной мо ды колебаний (доказательство наличия смешанного спектра собственных ко лебаний в системе “струна на упругом основании подвижное инерционное включение” принадлежит Д.А. Индейцеву). В работах [13–15] автору при надлежит постановка задачи и метод её исследования, решение выполнялось совместно с Е.В. Шишкиной. В работах [10, 11] автору принадлежит реше ние задачи (постановка задачи принадлежит Х. Херману). Работа [12] была начата диссертантом совместно с Х. Херманом (постановка задачи) и завер шена после кончины соавтора (решение задачи). В работах [16, 17] автору принадлежит процедура построения асимптотического разложения, позво лившая получить решение рассмотренных задач.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 239 стра ницах и состоит из введения, пяти глав и списка использованной литературы.

Библиография включает 186 наименований.

Краткое содержание диссертации В диссертации приняты следующие обозначения, общие для всех глав:

малый параметр;

t время;

x пространственная координата (в рас сматриваемых задачах движение источника происходит вдоль оси x);

(t) положение подвижного источника (подвижного включения или подвиж ной границы) на оси x;

производная по пространственной координате x некоторой величины ;

производная по времени t некоторой величины ;

± предельные значения слева и справа некоторой величины при x = (t);

скачок некоторой величины при x = (t);

полусумма предельных значений слева и справа некоторой величины при x = (t);

H функция Хевисайда;

дельта-функция Дирака.

Первая глава диссертации имеет вводный характер. В ней обсуждаются особенности постановки нестационарных задач о взаимодействии упругих тел с подвижными источниками, а также понятие конфигурационной силы ве личины, характеризующей энергетический обмен между упругой средой и по движным источником. Существует два типа конфигурационных сил: внешние и внутренние (классификация принадлежит М. Гартину). Внешняя конфигу рационная сила (сила вибрационного давления, сила волнового сопротивле ния движению) представляет собой реакцию среды на движение инерционно го включения. Это понятие было введено в механику работой лорда Рэлея и в последствии обсуждалось в работах Е.Л. Николаи, Т. Хавелока, А.И. Весниц кого, Г.Г. Денисова, А.В. Метрикина и многих других авторов. Внутренняя конфигурационная сила (термодинамическая сила, материальная сила) пред ставляет собой реакцию среды на движение неоднородности упругих свойств материала (в частности, на движение подвижной границы, разделяющей зо ны внутри материала, обладающие различными упругими свойствами). Это понятие было введено в механику работами Дж. Эшелби, Г.П. Черепанова и Дж. Райса и в последствие рассматривалось в работах Ж. Можена, Р. Кинц лера, Дж. Херрманна и многих других авторов. С единых позиций внешние и внутренние конфигурационные силы были рассмотрены М. Гартиным (хотя фактически Г.П. Черепанов рассматривал их совместно значительно раньше, не делая при этом акцент на некотором их отличии).

В диссертации кратко рассматриваются три классические задачи (зада ча Рэлея, раздел 1.1.1;

задача Николаи, раздел 1.1.2;

задача Эшелби, разде лы 1.2.1–1.2.3) с целью демонстрации сходства постановок задач, исследуе мых далее в диссертации, а также вывода некоторых известных формул.

В разделе 1.1.2 на примере задачи Николаи (задачи о движении точечного инерционного включения по струне) выводится формула для потока энергии J от точечного включения:

dU J = P0 + Fext, Fext = P0 u.

dt внешняя конфигурационная сила, u Здесь Fext перемещения струны, U = u( (t), t) перемещение включения, P0 сила, действующая на струну со стороны включения. В разделе 1.1.3 продемонстрировано, что внешняя конфигурационная сила может быть представлена как сумма воздействия извне и самовоздействия.

В разделе 1.2.2 выводится формула для потока энергии J от подвижной границы (разрыва поля деформаций), разделяющей зоны внутри материа ла, обладающие различными упругими свойствами, распространяющейся в прямом упругом стержне при его продольных колебаниях:

J = Fint, Fint = ([W ] T [u ]).

Здесь Fint внутренняя конфигурационная сила, W внутренняя энергия стержня на единицу длины, T внутренняя сила в стержне, u перемеще ния стержня.

Предлагается классификация нестационарных задач о взаимодействии упругих тел с подвижными источниками (задачи кинематического и сило вого типа), см. разделы 1.1.4 и 1.2.4.

Задачи о подвижных включениях, где закон движения включения за данная функция, являются задачами кинематического типа. В задачах сило вого типа закон движения включения считается неизвестной функцией, под лежащей определению при помощи уравнения продольного движения вклю чения, которое, к примеру, в задаче Николаи имеет вид m0 = Fext + f0 (t) (где f0 (t) заданная сила тяги, m0 масса включения), и начальных усло вий к нему. Задачи кинематического типа для подвижных включений рас сматриваются в главе 2 диссертации (раздел 2.1) и главе 5, задачи силового типа в главе 2 (раздел 2.2).

В зависимости от вида определяющего соотношения рассматриваемого материала положения разрывных фронтов (подвижных границ), которые мо гут в нем распространяться, либо могут быть определены решением уравне ний движения с учетом начальных и граничных условий к ним, либо должны рассматриваться как дополнительные степени свободы. Первая ситуация ха рактерна, например, для разномодульной теории упругости (рассматривается в главе 3 диссертации) и соответствует задаче кинематического типа, а вторая рассматривается в теории фазовых превращений в упругих телах и соответ ствует задаче силового типа (глава 4 диссертации). Требование того, чтобы свободно распространяющаяся подвижная граница не являлась источником энергии для окружающей её упругой среды, приводит к так называемому термодинамическому неравенству Fint 0.

В задачах кинематического типа выполнение данного неравенства на всех по движных разрывах является критерием выбора энергетически допустимых решений и необходимым условием единственности решения. В задачах си лового типа требуется сформулировать дополнительное условие на подвиж ных границах. В качестве дополнительного условия обычно используется так называемое термодинамическое условие, смысл которого состоит в задании некоторой связи между скоростью движения границы и конфигурационной силой, гарантирующей выполнение термодинамического неравенства.

В заключение (раздел 1.4) формулируются основные идеи аналитического подхода к исследованию задач динамики упругих тел с включениями и грани цами, движущимися с переменной скоростью. Данный подход используется далее для исследования задач, рассмотренных в главах 2–4 диссертации.

Для задач кинематического типа предлагается следующий метод иссле дования.

1) В системе обнаруживается (или искусственно вводится туда) малый па раметр, позволяющий рассматривать её как систему с медленно изме няющимися (во времени или в пространстве) параметрами.

2) Решение задачи представляется в виде многомасштабного асимптотиче ского разложения по малому параметру.

3) Для определения главного члена асимптотического представления ре шения в окрестности источника используется асимптотический подход типа метода многих масштабов (МММ). При этом целью применяемой асимптотической процедуры является переход от исходной задачи для уравнения в частных производных, описывающего упругий континуум вокруг источника, к некоторой редуцированной задаче, формулируемой для “обобщённой координаты” (t) (положения источника) в терминах величин1, измеренных под подвижным источником (или их предельных значений в окрестности источника).

4) Разрешая редуцированную задачу при помощи асимптотических методов типа МММ, получаем описание движения системы в окрестности источ ника, справедливое на временах t = O( 1 ).

5) На последнем этапе, при необходимости, при помощи уравнения в част ных производных определяется решение на удалении от источника.

Для задач силового типа предлагается следующий метод исследования.

1) Считая закон движения источника (t) произвольной достаточно гладкой функцией и решая задачу кинематического типа, находим функциональ ную зависимость u± { (t)}( (t), t) деформации (а точнее, её предельных значений u± ) под подвижным источником от закона движения источника (t).

2) Подставляя найденную функциональную зависимость u± { (t)}( (t), t) деформации от закона движения источника в выражение для конфигура ционной силы, входящее в правую часть уравнения движения источника, находим неизвестное положение источника (t).

Таким образом, решение задачи силового типа сводится к решению задачи кинематического типа с законом движения (t) достаточно общего вида.

Во второй главе рассматриваются нестационарные задачи динамики бес конечной струны на винклеровском основании, по которой с переменной до критической скоростью движется инерционное включение (инерционная по движная нагрузка). Во введении представлен аналитический обзор литерату ры по нестационарным задачам динамики струны под действием подвижной нагрузки. Задачи нестационарной динамики струны под действием подвиж ной нагрузки рассматривались В.Л. Андриановым, С. Байером, А.И. Вес ницким, А. Вулфертом, Н.В. Дерендяевым, Б. Диниевичем, Х. Дитерма ном, Ю.Д. Каплуновым, С.В. Крысовым, Е.Е. Лисенковой, С.Б. Малановым, Например, деформаций или материальных скоростей.

А.В. Метрикиным, Г.Б. Муравским, Р. Родеманом, Л.И. Слепяном, Ч. Сми том, И.Н. Солдатовым, У. Стронджем, Г.А. Уткиным, Ф.T. Флаэрти, Л. Фри бой и другими авторами.

В задаче кинематического типа, рассматриваемой в разделе 2.1, закон движения включения считается заданной функцией.

В разделе 2.1.1 представлена постановка задачи. Уравнения движения имеют вид 1 u u ku = P (t) (x (t)), mU = P (t) + p(t).

c Здесь u и U u (t), t перемещения струны и включения соответственно, c скорость поперечных волн в струне, P0 = P T0 неизвестная вертикаль ная проекция силы, действующей на струну со стороны включения, p0 = pT заданная внешняя вертикальная сила, действующая на включение (напри мер, вес), m0 = mT0 масса включения, k0 = kT0 коэффициент упругости основания, T0 сила натяжения невозмущенной струны. Начальные усло вия задаются в виде u t0 0. Переходя в уравнении движения струны в движущуюся вместе с включением систему координат = x (t), = t, получим 2v a (1 2 )u + u + 2 u 2 u ku = (mU p) (), c2 c c где v(t) = (t), a(t) = (t) скорость и ускорение включения соответствен но, (t) = v/c. Для численного исследования задачи можно воспользоваться интегральным уравнением для силы между струной и включением (раздел 2.1.2):

t t dJ0 ((t,, (t))) 2 P (t) = + P ( ) d + p( ) d, dt mc mc 0 k c2 (t )2 (x ( ))2, (t,, x) = где J0 функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Стартовой точкой для исследования задачи кинематического типа, представленной в диссерта ции, является работа Ю.Д. Каплунова, где рассмотрена задача о крутильных колебаниях стержня на деформируемом основании под действием внезапно приложенной инерционной сосредоточенной нагрузки, движущейся с посто янной докритической скоростью v (раздел 2.1.3). Данная задача математи чески эквивалентна задаче о поперечных колебаниях струны на винклеров ском основании. Получив при помощи метода интегральных преобразований асимптотику решения задачи для больших значений времени, Ю.Д. Каплу нов обнаружил, что в системе возникают незатухающие колебания, которым соответствуют формы, локализованные в окрестности нагрузки. Причиной возникновения таких незатухающих колебаний является тот факт, что дан ная система обладает смешанным спектром частот собственных колебаний.

Если инерционное включение движется с постоянной докритической скоро стью, то локализованные колебания оказываются также возможными (раздел 2.1.3.1). Частоте 0, квадрат которой равен 2( 1 + m2 c2 k(c2 v 2 ) 1) 2 =, m2 c соответствует так называемая ловушечная мода колебаний. Результаты Ю.Д. Каплунова и некоторые их обобщения представлены в разделе 2.1.3.2.

Если теперь рассмотреть исходную задачу о включении, движущемся вдоль струны с переменной скоростью v = v(T ), где T =, = O( 1 ), то естественным образом возникает задача об описании эволюции локализован ной моды колебаний в системе с медленно меняющимися во времени пара метрами. Аналитическое решение данной задачи для случая, когда скорость включения медленно меняющаяся кусочно-монотонная функция времени, получено в разделах 2.1.4–2.1.7.

В предположении, |v( )| = a(t) dt c частные решения задачи для 0 и 0 разыскиваются в виде u (, ) = W (X, T ) exp( (, )), X =, = i(X, T ), = i(X, T ).

Здесь амплитуда W (X, T ), волновое число (X, T ) и частота (X, T ) неизвестные функции, подлежащие определению;

W W и при sign = ±1. Будем полагать, что характерное время, за которое скорость v претерпевает существенные изменения, значительно больше характерного времени, за которое происходит установление волновых процессов в случае a = 0. Тогда решение задачи о движении включения с постоянной скоростью показывает, что естественно принять некоторые априорные предположения о структуре решения в случае малого ускорения a. Именно, пусть при больших временах решение задачи под включением имеет вид () d () () U() (T ) exp(0 ( )), U( ) = ( ) = i(T ), U d T T где суммирование ведется по набору частот T = {0, ±0 (T )}. Асимптоти ческая процедура, основанная на методе многих масштабов, предложенная в диссертации, позволяет получить следующий результат:

t c2 v 2 p U = C0 cos 0 (T ) dT D0 + + O( ).

0 (m2 c2 2 + 2) 2 k(1 2 ) Для определения неизвестных постоянных C0 и D0 необходимо воспользо ваться начальными условиями. Потребуем, чтобы правая часть последнего выражения при t = 0 совпадала с членами порядка O(1) асимптотики реше ния задачи о движении включения с постоянной скоростью. Получим mc2 0 (0) C0 = ||, D0 = arg, 2 m2 c2 2 (0) c2 v0 + + = i0 (0) p(t) exp(i0 (0)t) dt.

Тем самым, исследована эволюция ловушечной моды колебаний в систе ме с медленно изменяющимися параметрами, а именно, найдена зависимость амплитуды колебаний от переменной скорости включения. Для проверки по строенного аналитического решения были проведены расчеты (раздел 2.1.8) функции силы между струной и нагрузкой, основанные на численном реше нии интегрального уравнения, полученного в разделе 2.1.2. Результаты срав нивались с найденным аналитическим выражением. Показано, что построен ное асимптотическое решение хорошо согласуется с расчетом. На рис. 1 пред ставлены графики численного решения (сплошная линия) и аналитического решения (пунктир). Результаты получены для случая p = pH( ), p = const.

Рис. 1 (слева) соответствует быстрому разгону с постоянным ускорением, та кому, что на интервале времени от начала разгона до момента преодоления критической скорости укладывается только полтора периода локализован ных колебаний включения. На рис. 1 (справа) представлены численное реше ние (сплошная линия) и аналитическое решение (пунктир) для случая немо нотонной скорости включения, задаваемой по формуле v = v0 + v sin(2t).

a P P t t Рис. 1. Зависимость силы между струной и включением от времени: числен ное решение (сплошная линия) и аналитическое решение (пунктир).

Рассматриваемая в разделе 2.2 задача силового типа представляет собой задачу о движении инерционного включения по струне под действием задан ной продольной внешней силы и фактически является модифицированной задачей Николаи. Продольная компонента силы взаимодействия между точ кой и струной представляет собой конфигурационную силу самовоздействия (силу волнового сопротивления движению). В разделе 2.2.1 представлена по становка задачи. Именно, задача кинематического типа, сформулированная в 2.1.1, дополняется уравнением продольного движения точечного инерцион ного включения и начальными условиями к нему:

m = f ;

(0) = V0, (0) = L0, а положение включения на струне (t) считается неизвестной функцией, под лежащей определению. Здесь T0 Fext, f0 = T0 f заданная сила тяги.

Для того чтобы исследовать такую задачу, сначала необходимо вычислить силу волнового сопротивления движению для достаточно общего случая ре жима движения включения вдоль струны. Применённый в диссертации но вый асимптотический подход позволяет получить (раздел 2.2.2) выражение для силы волнового сопротивления в виде простой аналитической формулы 3 2 c2 c p 1 + =, = + + o( ), (c2 2 )5/2 (c2 2 )3/2 (c2 2 )3/2 4k а уравнение для закона движения включения в виде формул (M )· = f, M =m+.

(c2 2 )3/ Таким образом, показано, что инерционное включение движется вдоль стру ны так, как двигалась бы материальная точка с переменной, зависящей от скорости массой под действием только внешней силы (без учета силы сопро тивления). Отдельно рассматривается (раздел 2.2.3) движение инерционного включения по струне без упругого основания. Показано, что сила волнового сопротивления в этом случае ведет себя как сила вязкого трения.

В третьей главе исследуются нестационарные динамические процессы в разномодульном упругом теле. При малых деформациях упругий модуль для такого тела зависит от знака деформации (в простейшем одномерном случае упругий модуль различен при растяжении и сжатии). Наличие негладкой нелинейности в определяющем уравнении для разномодульного материала приводит к тому, что решения нестационарных динамических задач содер жат разрывные фронты (разрывы деформаций). Различные подходы к по строению теории были предложены С.А. Амбарцумяном и А.А. Хачатряном;

Е.В. Ломакиным и Ю.Н. Работновым;

В.П. Мясниковым и А.И. Олейнико вым;

Н.М. Матченко, Л.А Толоконниковым и А.А. Трещевым. В простейшем одномерном случае в приближении малых деформаций все подходы приво дят к одинаковому результату, т.е. для одномерного случая имеется канони ческая формулировка теории. Динамические задачи разномодульной теории упругости рассматривались Р. Абейратне, М.М. Анциферовой, Б. Вангом, В.Г. Даниловым, О.В. Дудко, В.И. Ерофеевым, А.Г. Куликовским, А.А. Лап тевой, М. Луччеси, В.П. Масловым, П.П. Мосоловым, В.П. Мясниковым, Дж.

Ноулсом, А. Пагни, Л.А. Пекуровской, К.Т. Семеновым, Д. Харенко, А.А. Ха чатряном, Х. Янгом и другими авторами.

Рассматривается одномерная задача о распространении волн в одномер ном полубесконечном разномодульном теле2 под действием внезапно прило женной гармонической силы на конце. Данная задача является задачей ки нематического типа (см. раздел 1.2.4), т.к. известно, что положение фронтов может быть определено решением уравнений движения с учетом начальных и граничных условий к ним. Постановка задачи представлена в разделе 3.1.

Уравнение движения в безразмерной форме имеет вид u u = ( |u |), 0 | | 1.

Здесь u продольные перемещения стержня. Предполагается, что параметр, характеризующий разномодульность, положителен: 0, т.е. жесткость на сжатие больше жесткости на растяжение. Начальные условия сформули рованы в виде u t0 0.

Целью исследования является нахождение нестационарного решения в случае внезапно приложенной гармонической нагрузки F на свободном конце тела:

F u =, F = F0 H(t) sin t.

x=0 1 + sign F Дополнительно требуем также, чтобы термодинамическое неравенство вы полнялось на всех разрывах. Для описания движения разрывных фронтов (подвижных границ) в диссертации применяется асимптотический подход, при этом в качестве малого параметра используется параметр разномодуль ности. Разыскивается асимптотика ближнего поля на расстояниях порядка от конца стержня.

В разделе 3.2 приводятся некоторые определения и факты (в том чис ле классификация типов разрывных фронтов) из основополагающих работ В.П. Маслова и П.П. Мосолова, в которых была исследована структура ре шений уравнения одномерной разномодульной теории упругости.

Для того чтобы исследовать задачу о внезапно приложенной гармони ческой нагрузке, предлагается рассмотреть две вспомогательные задачи, а именно задачи о движении полубесконечного разномодульного стержня под В стержне или полупространстве в условиях одноосного деформированного состояния. Ниже для определенности обсуждается стержень.

действием цикла нагружения типа “сжатие – растяжение” (раздел 3.3) и под действием цикла “растяжение – сжатие” (раздел 3.4).

Для первой из вспомогательных задач можно получить точное решение, показывающее, что в момент, когда нагружение на конце стержня меняет знак (смена сжатия на растяжение), в характеристической плоскости зада чи возникает клиновидная область, в которой деформация остается равной тождественному нулю (“жёсткая область”).

Вторая вспомогательная задача существенно сложнее первой. В момент, когда нагружение на конце стержня меняет знак (смена растяжения на сжа тие), на свободном конце стержня возникает ударная волна (подвижная гра ница), распространяющаяся далее по стержню с переменной скоростью. В разделе 3.4.1 в предположении малости параметра разномодульности полу чена формула t 3 2t + O( 2 ), = t tg где t = O( ), 4 4 для положения ударной волны (подвижной границы), а также аналитическое решение, описывающее волновое поле. Полученное решение, вообще говоря, не является асимптотически точным, так как в жёсткую область позади удар ной волны проникают волны второго порядка малости. Поскольку жёсткая область неустойчивая структура, в ней могут зарождаться новые разрыв ные фронты высших порядков. Этот процесс требует отдельного детального анализа и не рассматривается в диссертации. Области в характеристической плоскости, для которых первый и второй шаги асимптотического анализа показывают, что деформации в них второго порядка малости, будем на зывать квази-жёсткими. Важно понимать, что возможное зарождение в них разрывных фронтов высокого порядка, в принципе, может привести к измене нию решения в главном члене. В разделе 3.4.2 обсуждается общая структура решения второй вспомогательной задачи. В разделе 3.4.3 показано, что най денное решение удовлетворяет диссипативному неравенству. В разделе 3.4. получены формулы для перемещений. Наконец, в разделе 3.4.5 проведено сравнение аналитических и численных результатов для второй вспомогатель ной задачи и исследовано влияние разрывов высших порядков, возникающих в квази-жёсткой области. Cравнение с численными результатами показывает, что предлагаемая процедура, не будучи асимптотически точной, даёт вполне удовлетворительные результаты.

В разделе 3.5 решение исходной задачи о гармоническом внешнем возбуж дении получено суперпозицией последовательности решений первой и второй вспомогательных задач. В разделе 3.5.1 получены формулы для перемеще ний. В разделе 3.5.2 проведено сравнение аналитических и численных ре зультатов. Для примера на рис. 2 представлены аналитические и численные результаты для перемещения u в зависимости от координаты x. Наконец, в u x t = u x t = Рис. 2. Перемещения u в зависимости от x: численное (пунктир) и аналити ческое (сплошная линия) решения ( = 0.05).

разделе 3.5.3 исследованы спектральные свойства решения, а именно, полу чены формулы для амплитуд и фаз первой и высших гармоник колебаний точек стержня.

Таким образом, в третьей главе получено приближенное аналитическое решение, описывающее ближнее волновое поле в полубесконечном разномо дульном стержне, находящемся под действием внезапно приложенной гармо нической нагрузки на его конце.

В четвертой главе исследуются нестационарные динамические процессы в упругом стержне из материала, способного претерпевать фазовые превра щения. Используется модель упругого тела с невыпуклой энергией дефор мации. Известно, что статическая задача теории упругости для материала указанного типа может иметь решения с разрывными полями деформаций.

В рамках данной модели поверхности разрывов полей деформаций модели руют границы фаз, а области непрерывности решений считаются зонами, в которых материал находится в соответствующем фазовом состоянии. По скольку решение как статических, так и динамических задач, как правило, не единственно, требуется сформулировать дополнительное условие на фазовой границе. В качестве дополнительного условия обычно используется упомя нутое ранее термодинамическое условие. Типичным приложением для такой теории являются мартенситные превращения в металлах.

В настоящее время значительная часть аналитических результатов в обла сти исследования фазовых превращений получена в рамках квазистатическо го (кинетического) приближения (одномерный случай рассмотрен, например, Р. Абейратне и Дж. Ноулсом, А.Б. Фрейдиным и Л.Л. Шариповой). В рамках данного подхода во всех уравнениях пренебрегают силами инерции. Факти чески рассматривается однопараметрическое семейство статических задач, связанных посредством времениподобного параметра t, входящего в термо динамическое условие. Квазистатический подход позволяет определить воз можные равновесные положения фазовых границ. Как правило, в рамках квазистатического подхода рассматриваются задачи, в которых эти равно весные положения являются изолированными вследствие некоторой “неод нородности” рассматриваемого упругого тела. Под “неоднородностью” здесь понимается энергетическая неравноправность положений фазовых границ в теле, возникающая вследствие неоднородности физических параметров или особенностей геометрии тела. В таком случае квазистатический подход поз воляет определить эволюцию положений фазовых границ при медленном из менении параметров нагружения.

Динамика фазовых превращений в упругих телах рассматривалась Р. Абейратне, М. Гартиным, М.А. Гузевым, Р. Джеймсом, Н.Ф. Морозо вым, Дж. Ноулсом, В.Г. Осмоловским, Т. Пенсом, Р. Риццони, П. Росакисом, В.В. Стенькиным, Л. Трускиновским, Х. Тсаем и другими авторами.

В диссертации рассмотрены модельные одномерные нестационарные ди намические задачи о движении фазовых границ в неоднородных телах, где существуют изолированные равновесные положения фазовых границ. Целью исследования является верификация квазистатического подхода путём срав нения результатов, полученных в рамках данного подхода, с результатами, полученными при помощи динамического подхода.

Рассматриваются продольные движения бесконечного упругого стержня переменного сечения с площадью S(x), изготовленного из материала, спо собного претерпевать фазовые превращения. В разделе 4.1 сформулированы основные уравнения для одномерных нестационарных динамических задач о движении фазовой границы в бесконечном упругом стержне переменно F F x (t) Рис. 3. Стержень с фазовой границей: схема системы.

го сечения, изготовленном из материала, способного претерпевать фазовые превращения. Зависимость напряжения от деформации является немоно тонной кусочно-линейной функцией и содержит “падающий участок” (рис. 4), что влечет за собой невыпуклость энергии деформации материала.

M st m st st M m 1 1 Рис. 4. Зависимость напряжения от деформации.

Предполагается, что в стержне существует единственная фазовая грани ца, разделяющая две устойчивые фазы (фаза “1” и фаза “3”) с деформациями, лежащими в диапазонах M и m соответственно. Уравнения движе 1 ния и условия Гюгонио на фазовой границе имеют вид (S) S u = q(x, t), (S) = 0, [u] + [u ] = 0, [u] = 0, []+ [u] = 0, [] = соответственно для динамического (столбец слева) и квазистатического (столбец справа) подходов. Здесь u перемещения стержня, плотность материала. Термодинамическое условие на фазовой границе в рамках обоих рассматриваемых подходов имеет вид = 1 F.

Здесь 0 материальная константа, характеризующая диссипацию на фазовой границе. В рамках квазистатического подхода данное условие также используется для определения равновесного положения фазовой границы (t) и его медленной эволюции под действием медленно изменяющихся внешних нагрузок. Начальное положение фазовой границы задано: (0) = l0. Предпо лагается, что стержень при всех t нагружен постоянными растягивающими усилиями F0, приложенными на бесконечности, а при t 0 дополнительно нагружен зависящими от времени усилиями q(x, t). Статическая компонента напряжения в стержне имеет вид 0 = F0 /S(x). Начальные условия для u, соответствующие состоянию покоя при t 0, имеют вид x u(x, 0) = 0 (x) dx + u(l0, 0), u(x, 0) = 0, l где статическая компонента 0 деформации вычислена по 0 в силу опреде ляющего соотношения. Для завершения постановки задачи необходимо сфор мулировать граничные условия на бесконечности (условия излучения) в виде тождества u(x, t) u(x, 0), которое должно быть выполнено при всех t для достаточно больших |x|.

В разделе 4.2 обсуждается метод решения задачи в случае динамического подхода. Рассматриваемая в рамках динамического подхода задача является типичной задачей силового типа. Для её исследования используется метод, сформулированный в разделе 1.4 диссертации. Предполагается, что площадь поперечного сечения стержня является медленно меняющейся функцией про странственной координаты.

В разделе 4.3 в рамках динамического и квазистатического подходов ис следована задача о движении вследствие неравновесного начального условия (l0 = 0) для положения фазовой границы, в которой S F0, q = 0.

x В рамках динамического подхода получено нелинейное обыкновенное диф ференциальное уравнение в неявной форме, описывающее движение фазо вой границы на расстояниях порядка O( 1 ) от равновесного положения, и исследованы его свойства. Проведено сравнение с аналогичными результата ми, полученными в квазистатическом приближении: показано, что скорость фазовой границы при динамическом рассмотрении оказывается ограничен ной значениями критических скоростей c± = E± / для фаз материала стержня (что неверно в рамках квазистатического приближения). Получен ные решения могут быть линеаризованы в окрестности равновесного положе ния диаметра порядка O(1). Решения соответствующих линейных уравнений имеют вид = l0 exp(t/T ), где T T d в рамках динамического подхода, T T qs в рамках квазистатического подхода, ( + g)S(0) S(0) Td = T qs =,.

F0 [0 (0)]S (0) F0 [0 (0)]S (0) Тем самым, обнаружен скрытый параметр g (материальная константа), c g = S(0) Ee [0 (0)]2, e± =, 2c± c характеризующий волновой перенос энергии от фазовой границы на беско нечность и определяющий характерное время релаксации положения фазовой границы к равновесному в недиссипативной системе (в которой = 0).

В разделе 4.4 рассмотрена задача о движении под действием внешних w динамических нагрузок, приложенных в точках x = l1,3 по обе стороны от фазовой границы, в которой начальное условие выбрано равновесным и w w q = atH(t)((x l1 ) (x l3 )), q = 0, S F0, S F0 + at x x соответственно для динамического (столбец слева) и квазистатического (столбец справа) подходов. Получены аналитические решения, описывающие движение фазовой границы на расстояниях порядка O( 1 ) от равновесного положения.

В результате исследования продемонстрировано, что в общем случае ре шение задачи в квазистатической постановке не является пределом динамиче ского решения для случая бесконечно малой скорости нагружения. Показано, что для случая медленного нагружения полная динамическая и квазистати ческая постановки приводят к одинаковым результатам только для систем с g). При слабой достаточно сильной диссипацией на фазовой границе ( диссипации результаты различны: использование квазистатического подхо да приводит к неверному описанию процесса релаксации положения фазовой границы к равновесному положению. В разделе 4.5 обсуждаются причины, вызывающие это несоответствие. Отмечается, что переходный процесс релак сации положения фазовой границы к равновесному происходит, очевидно, с характеристической скоростью системы, не зависящей от скорости нагруже ния. Поэтому лежащее в основе квазистатического подхода утверждение о том, что медленные нагружения вызывают медленные движения, вообще го воря, верно только применительно к вынужденному движению, но неверно по отношению к переходному процессу релаксации.

В пятой главе аналитически исследована трёхмерная задача о верти кальных колебаниях одиночного штампа, движущегося с постоянной до рэлеевской скоростью по поверхности упругого полупространства (рис. 5).

Рассматривается круглый в плане плоский жесткий штамп. Трение между r x y z Рис. 5. Штамп на упругом полупространстве.

штампом и полупространством считается пренебрежимо малым.

Трехмерные задачи о движении полупространства под действием нагру зок, приложенных на поверхности, рассматривались в работах А. Аврамеско, В.М. Александрова, И.И. Аргатова, В.А. Бабешко, А.В. Белоконя, Л. Брока, И.И. Воровича, Д. Гакенхеймера, Х. Георгиадиса, Дж. Гладвелла, Е.В. Глуш кова, А.Г. Горшкова, K. Джонсона, В.Б. Зеленцова, Ж.Ф. Зинченко, Л. Ка ньяра, Л.А. Крауклиса, П.В. Крауклиса, Н.А. Лаврова, Г. Ликотрафити са, В.Л. Лобысева, Х. Лэмба, Ж. Мандела, Г.И. Марчука, Ю. Микловица, Л.А. Молоткова, А.В. Наседкина, К.И. Огурцова, Е.Е. Павловской, Х. Пеке риса, Г.И. Петрашеня, В.Б. Поручикова, Р. Пэйтона, М. Рахмана, М. Роджер са, В.М. Сеймова, Л.И. Слепяна, В.И. Смирнова, С.Л. Соболева, Д.В. Тарла ковского, А. де Хоопа, В.А. Чурилова, Дж. Эзона, Ю.С. Яковлева и многих других авторов.

Постановка задачи дается в разделе 5.1. Уравнения динамики штампа имеют вид mw = 33 dS + f, J0 = 33 dS.

0 Здесь f внешняя сила, приложенная к штампу, w и вертикальное смещение и угол поворота штампа соответственно, ij компоненты тензора напряжений в полупространстве, J0 момент инерции штампа. Во внутрен них точках полупространства (z 0) должно быть выполнено уравнение Ламе c2 u + (c2 c2 ) · u = u.

2 1 Здесь c1 и c2 скорости волн сжатия и искажения соответственно, u век тор перемещений. На поверхности упругого полупространства (при z = 0) должны быть выполнены следующие граничные условия:

u3 = w при 0, 33 = 0 при 0, 13 = 23 = 0.

Здесь = x vt. Рассматривается задача Коши: предполагается, что полу пространство и штамп находятся в покое при t 0, т.е.

= 0, w = 0, = 0.

u t0 t0 t Исследуются “медленные” вертикальные движения штампа: предполага ется, что характерное время изменения внешней нагрузки много больше вре мени прохождения волны сдвига под штампом. Это означает, что безразмер ная величина = (здесь частота колебаний штампа) мала для точек c поверхности полупространства, находящихся под штампом. Поскольку пред полагается, что штамп движется с постоянной скоростью, решение удаётся построить при помощи классического подхода, связанного с оценкой интегра ла свёртки фундаментального решения с функцией нагрузки. Используемый асимптотический подход основан на работах Н.А. Лаврова и Е.Е. Павловской, рассмотревших колебания неподвижного штампа. Для того чтобы получить решение контактной задачи, необходимо сформулировать задачу в виде инте грального уравнения для неизвестного контактного давления (давления под штампом). Это интегральное уравнение должно быть рассмотрено совместно с уравнениями движения. Для того чтобы найти выражение для ядра инте грального уравнения, следует рассмотреть сначала несколько более простых вспомогательных задач о подвижной точечной нагрузке. Исследование всех этих задач основано на использовании функции Грина для упругого полупро странства (решения трехмерной динамической задачи Лэмба). Выражение для функции Грина известно. Его вид, для случая, когда коэффициент Пуас сона полупространства лежит в пределах 0.263, рассматриваемого далее в диссертации3, представлен в разделе 5.2. В разделе 5.3 рассмотрена задача о внезапно приложенной точечной постоянной подвижной нагрузке.

В разделе 5.4 рассмотрена задача о подвижной осциллирующей точечной на грузке. Получено аналитическое выражение для члена порядка в разложе нии перемещений на поверхности упругого полупространства (член нулевого порядка соответствует прогибу от неосциллирующей нагрузки). В разделе 5. рассматривается контактная задача. Формулируется интегральное уравнение для преобразования Фурье по времени неизвестного контактного давления под штампом. Ядро данного интегрального уравнения является решением задачи о подвижной осциллирующей точечной нагрузке и выражается в ви де асимптотического разложения, полученного в разделе 5.4. Автомодельное решение задачи о движении упругого полупространства под действием дви жущегося неосциллирующего штампа, полученное ранее В.А. Чуриловым, рассматривается в качестве нулевого приближения для решения сформули рованной задачи. В результате показано, что вертикальные колебания штам па могут быть приближенно описаны уравнением динамики системы с одной степенью свободы с вязким трением:

µ mw + B(, ) w + 2µ0 C(, ) w = f.

c Здесь = v/c2, µ вторая константа Ламе. Получены формулы для коэф Именно в таком диапазоне, как правило, лежит коэффициент Пуассона для сухих грунтов.

2. 1. B() 0. 0 0.2 0.6 0.8 0. Рис. 6. График коэффициента вязкости B() для случаев = 0.25 (сплошная линия), = 0.125 (штриховая линия) и = 0 (пунктирная линия).

фициентов этого уравнения. Наиболее важным результатом является полу чение формул для безразмерного коэффициента вязкости B (безразмерный коэффициент жесткости C фактически может быть вычислен на основе реше ния В.А. Чурилова). Зависимость коэффициента вязкости B от параметра представлена на рис. 6. В разделе 5.6 рассмотрены вынужденные колебания штампа под действием внешней гармонической нагрузки. Получено и иссле довано выражение для комплексного коэффициента динамичности. Наконец, в разделе 5.7 проводится анализ полученных результатов и обсуждаются их возможные обобщения.

Основные результаты диссертации • Исследованы задачи кинематического и силового типов о движении инер ционного включения с переменной докритической скоростью по бесконеч ной струне на винклеровском основании.

Исследована эволюция ловушечной моды колебаний в системе с мед ленно изменяющимися параметрами, а именно, найдена зависимость амплитуды колебаний от переменной скорости включения.

Показано, что эффект самовоздействия (нелинейного взаимодействия посредством конфигурационной силы материального включения с упругим полем, излученным им самим) приводит к появлению у по движного включения “присоединённой массы”, зависящей от скорости включения. Значение присоединённой массы обращается в бесконеч ность при стремлении скорости к критическому значению. Присоеди ненная масса не зависит от массы включения и возникает, таким об разом, даже при нулевой массе включения.

• Получено приближенное аналитическое решение, описывающее ближнее волновое поле в полубесконечном разномодульном стержне, находящем ся под действием внезапно приложенной гармонической нагрузки на его конце. Роль подвижных границ в данном случае играют разрывные вол новые фронты (ударные волны), возникающие на конце и распространя ющиеся вглубь стержня.

• На основе динамического и квазистатического подходов определен закон движения фазовой границы в неоднородном упругом стержне, вызванно го неравновесным начальным условием или медленным силовым нагру жением стержня.

Обнаружен скрытый параметр, характеризующий волновой перенос энергии от фазовой границы на бесконечность и определяющий ха рактерное время релаксации положения фазовой границы к равно весному в недиссипативной системе.

Показано, что в общем случае решение рассмотренной задачи о фазо вом превращении в упругом стержне в квазистатической постановке не является пределом динамического решения для случая бесконеч но малой скорости нагружения. Именно: при слабой диссипации на фазовой границе использование квазистатического подхода приводит к неверному описанию переходного процесса релаксации положения фазовой границы к равновесному положению. Для случая сильной диссипации на фазовой границе результаты, полученные в рамках ди намического и квазистатического подходов, совпадают.

• Получены выражения для коэффициентов уравнения динамики системы с одной степенью свободы с вязким трением, приближенно описываю щего вертикальные колебания круглого в плане штампа, движущегося с дорэлеевской скоростью по свободной поверхности упругого полупро странства.

• Разработан аналитический подход к решению нестационарных задач ди намики упругих тел с включениями и границами, движущимися с пе ременной скоростью, связанный с представлением решений рассматри ваемых задач в виде многомасштабных асимптотических разложений по малому параметру (являющемуся свойством рассматриваемых механиче ских систем).

Публикации автора по материалам диссертации [1] Gavrilov S. Passage through the critical velocity by a moving load in an elastic waveguide. The nonlinear statement for the problem // Z. Angew.

Math. Mech. 2000. Vol. 80. P. S743–S744.

[2] Gavrilov S. Nonlinear investigation of the possibility to exceed the critical speed by a load on a string // Acta Mechanica. 2002. Vol. 154. P. 47– 60.

[3] Gavrilov S.N. Congurational forces in elastic systems with moving loads // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спе циальный выпуск “Нелинейные проблемы механики сплошной среды”.

2003. С. 7–14.

[4] Gavrilov S.N. Dynamics of a free phase boundary in an elastic bar with variable cross-section area // Proc. of XXXII Summer School–Conference “Advanced Problems in Mechanics” 2004 / Ed. by D.A. Indeitsev ;

IPME RAS. St. Petersburg, 2004. P. 156–161.

[5] Gavrilov S.N. New Analytical Approach for Investigation of Non-Stationary Dynamics of Media with Moving Inhomogeneities // Abstracts Book of 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM04) August 15-21, 2004. Warsaw, Poland, 2004. P. 245.

[6] Gavrilov S.N. On the acoustic excitation of a heteromodular bar // Proc.

of XXXIII Summer School–Conference “Advanced Problems in Mechanics” 2005 / Ed. by D.A. Indeitsev ;

IPME RAS. St. Petersburg, 2005. P. 205– 215.

[7] Gavrilov S.N. Wave Propagation in Rocks and Granular Materials Modelled as 1D Heteromodular Elastic Medium // Proceedings of EAGE International Conference and Exhibition “Geosciences To Discover and Develop”, Saint Petersburg, Russia, 16–19 October 2006. 2006.

[8] Gavrilov S.N. Wave Propagation in a Heteromodular Elastic Medium // Pro ceedings of 68th EAGE Conference and Exhibition, Vienna, Austria, 12– June 2006. 2006.

[9] Gavrilov S.N. Dynamics of a free phase boundary in an innite bar with variable cross-sectional area // Z. Angew. Math. Mech. 2007. Vol. 87, no. 2. P. 117–127.

[10] Gavrilov S.N., Herman G.C. Oscillation of a punch moving on the free surface of an elastic half space // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII международной конференции / Под ред. А.В. Бело коня. Т. 2. Ростов-на-Дону : Новая книга, 2003. С. 51–55.

[11] Gavrilov S.N., Herman G.C. Oscillation of a punch moving on the free surface of an elastic half space // Journal of Elasticity. 2004. Vol. 75, no. 3.

P. 247–265.

[12] Gavrilov S.N., Herman G.C. Wave propagation in a semi-innite heteromod ular elastic bar subjected to a harmonic loading // Journal of Sound and Vibration. 2012. Vol. 331, no. 20. P. 4464–4480.

[13] Gavrilov S.N., Shishkina E.V. On the extension of a bar capable of undergoing phase transitions // Proc. of XXXIV Summer School–Conference “Advanced Problems in Mechanics” 2006 / Ed. by D.A. Indeitsev, A.M. Krivtsov ;

IPME RAS. St. Petersburg, 2006. P. 162–180.

[14] Gavrilov S.N., Shishkina E.V. Dynamics of phase transformations in a spher ical elastic body // Proc. of XXXVII Summer School–Conference “Advanced Problems in Mechanics” 2009 / Ed. by D.A. Indeitsev, A.M. Krivtsov ;

IPME RAS. St. Petersburg, 2009. P. 250–263.

[15] Gavrilov S.N., Shishkina E.V. On stretching of a bar capable of undergoing phase transitions // Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2010.

Vol. 22. P. 299–316.

[16] Shishkina E.V., Blekhman I.I., Cartmell M.P., Gavrilov S.N. Application of the method of direct separation of motions to the parametric stabilization of an elastic wire // Nonlinear Dynamics. 2008. Vol. 54, no. 4. P. 313–331.

[17] Блехман И.И., Гаврилов С.Н., Шишкина Е.В. О применении метода пря мого разделения движений к расчету систем с распределёнными пара метрами // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Специальный выпуск “Нелинейные проблемы механики сплошной среды”. 2003. С. 113–123.

[18] Гаврилов C.Н., Индейцев Д.А. Об эволюции ловушечной моды колебаний в дискретно-континуальной системе с медленно меняющимися парамет рами // Труды XXIII Летней Школы “Актуальные проблемы механи ки” 2000 / Под ред. Д.А. Индейцева ;

ИПМаш РАН. Т. 2. Санкт Петербург, 2001. С. 80–92.

[19] Гаврилов С.Н. Об эффективной массе материальной точки, движущейся по струне на винклеровском основании // ПММ. 2006. Т. 70, № 4.

С. 641–649.

[20] Гаврилов С.Н. Собственная динамика фазовой границы в бесконечном упругом стержне переменного сечения // ДАН. 2007. Т. 413, № 3.

С. 332–336.

[21] Гаврилов С.Н., Индейцев Д.А. Об эволюции локализованной моды коле баний в системе “струна на упругом основании – подвижное инерционное включение” // ПММ. 2002. Т. 66, № 5. С. 864–873.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.