авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой

На правах рукописи

Кривцов Антон-Иржи Мирославович

Деформирование и разрушение

твердых тел с микроструктурой

Специальность 01.02.04 — “Механика деформируемого твердого тела”

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург

2002

Работа выполнена на кафедре “Теоретическая механика” Санкт-Петербургского государственного технического университета

Научный консультант — доктор физико-математических наук, профессор Жилин Павел Андреевич

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор Блехман Илья Израилевич — доктор физико-математических наук, профессор Бригаднов Игорь Альбертович — доктор физико-математических наук, профессор Пальмов Владимир Александрович

Ведущая организация — Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша (Москва)

Защита состоится 23 апреля 2002 г. в 14:00 на заседании диссертацион ного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт Петербург, В.O., Большой проспект 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем маши новедения РАН.

Автореферат разослан “ ” марта 2002 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук В. В. Дубаренко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Нарушение континуальности материалов при сильном деформировании и разрушении создает серьезные сложности в описании подобных процессов в рамках классической механики сплош ной среды. С другой стороны, развитие технологий, позволяющих изучать микроструктуру деформируемых тел, привело к накоплению фактов, сви детельствующих о чрезвычайно высокой роли внутренней структуры ма териала в процессах, сопровождающих его деформирование. Возросший в последнее десятилетие интерес к механическим свойствам нанообъектов потребовал еще более серьезного внимания к влиянию внутренней струк туры материала на его механическое поведение. Особый интерес в этой области связан с появлением технологической возможности не только на блюдать и измерять элементы внутренней структуры твердых тел, но и оказывать влияние на эту структуру, а в случае нанотехнологий и созда вать необходимые структурные элементы на микроуровне. В этой ситуации особую актуальность приобретает развитие аналитических и компьютер ных моделей, которые бы могли адекватно описать механические свойства подобных сред и структур.

Бурное развитие вычислительной техники позволило на новом уровне вернуться к проблеме описания сред с микроструктурой, дополняя ком пьютерным моделированием решение проблем, недоступных для аналити ческого решения. Компьютерное моделирование становится важным зве ном, занимающим промежуточное положение между теорией и реальным экспериментом. Основываясь на теоретических моделях, компьютерный эксперимент осуществляется в результате численного расчета, где слож ность модели может сколь угодно увеличиваться по мере развития вычис лительных средств, добиваясь все более точного соответствия условиям экспериментальных исследований. Таким образом, с одной стороны, по вышаются возможности теоретических исследований, а, с другой стороны, появляется возможность многократно дублировать дорогостоящие экспери ментальные исследования. Не имея возможности существовать независимо от аналитической теории, создающей расчетную модель, и эксперимента, обеспечивающего соответствие между моделью и реальностью, компьютер ное моделирование оказывается важным звеном объединяющим теорию и эксперимент.

В данной ситуации большие перспективы могут быть связаны с исполь зованием метода частиц, который в последние десятилетия широко приме нялся в различных областях химии и физики, однако относительно мало использовался для моделирования механического поведения твердых тел.

Являясь типичным методом компьютерного моделирования, по мере нара щивания количественных возможностей вычислительной техники, метод частиц позволяет получать качественно новые результаты, за счет количе ственной сложности компьютерной модели. Как принципиально дискрет ный метод, он не имеет недостатков континуальных моделей, проявляю щихся при нарушении сплошности вещества или в результате дискретно сти его внутренней структуры. В применении и развитии метода частиц для моделирования процессов деформирования и разрушения твердых тел с микроструктурой и состоит основная задача данной диссертационной ра боты.

Методика исследований. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой в данной работе исследуется методом частиц, кото рый состоит в представлении вещества совокупностью взаимодействующих материальных точек или твердых тел, описываемых классическими урав нениями движения. Деформирование твердых тел в рамках нелинейной термоупругости рассматривается аналитически, при исследовании процес сов разрушения уравнения движения частиц решаются численно. Одним из наиболее хорошо разработанных вариантов метода частиц является метод молекулярной динамики, на протяжении последних десятилетий интенсив но использующийся для исследования физико-химических свойств матери алов. В классической молекулярной динамике в качестве частиц выступа ют атомы и молекулы, составляющие материал. Для описания процессов в макроскопических объектах уже невозможно придерживаться молекуляр ной концепции, и частицы интерпретируются как элементы более крупного масштабного уровня (мезоуровня), такие, как, например, зерна материала.

Такой подход начал интенсивно развиваться в последние годы в механи ке как альтернатива континуальному описанию материалов при сильном деформировании и разрушении.

Цель работы. Цель данной диссертационной работы состоит в при менении и развитии метода частиц для аналитического и компьютерного моделирования механических процессов в твердых телах. Аналитическое моделирование применяется в задачах деформирования в рамках нелиней ной термоупругости. Компьютерное моделирование используется для ис следования процессов неупругого деформирования и разрушения, опираясь при этом на результаты аналитического моделирования.

Научную новизну составляют следующие результаты работы, вы носимые на защиту.

1. В длинноволновом приближении решена задача о нелинейном упругом деформировании бесконечной монокристаллической упаковки частиц, получены как определяющие уравнения общего вида, так и для част ных случаев геометрически нелинейного материала и материала Сетха.

Выведены определяющие уравнения для поликристаллической упаков ки частиц при нелинейном упругом деформировании в виде ряда по степеням главных инвариантов тензора деформаций.

2. Развит подход, позволяющий учитывать хаотическое движение частиц при моделировании вблизи точки разрушения, получены уравнения со стояния, позволяющие описать термодинамические процессы при силь ном растяжении кристалла вплоть до точки разрыва.

3. Исследована задача об упругом деформировании конечного кристал ла, получены зависимости его упругих модулей от размеров кристалла.

Полученные результаты позволяют оценить погрешность дискретиза ции при использовании метода частиц, а также позволяют описывать аномалии механических характеристик наноразмерных объектов.

4. Предложена специальная форма уравнений движения твердого тела, удобная для описания движения больших систем взаимодействующих твердых тел для использования в методе частиц.

5. На основании аналитического решения перечисленных выше задач нели нейной термоупругости для различных упаковок частиц разработана методика численного моделирования методом частиц макроскопических процессов в твердых телах с микроструктурой. На основе данной ме тодики исследован ряд конкретных задач о сильном деформировании и разрушении твердых тел.

6. Численно исследована задача об откольном разрушении при плоском ударном взаимодействии двух пластин. Показано, что в зоне отколь ного разрушения дисперсия скоростей частиц имеет локализованный максимум. Доказано, что, несмотря на удвоение массовой скорости на свободной поверхности мишени, возрастания дисперсии на свободной поверхности не происходит.

7. Моделирование откольного разрушения позволило дать объяснение экс периментальному факту взаимосвязи откольной прочности и дисперсии скоростей частиц. Показано, что увеличение дисперсии приводит к раз мыванию фронта ударной волны и к интенсификации релаксационных процессов, что в конечном итоге приводит к повышению прочности ма териала.

8. Разработана методика создания поликристаллических компьютерных материалов с различными механическими свойствами. Решена задача об одноосном квазистатическом сжатии поликристаллических образцов, получены зависимости прочностных характеристик от структуры мате риала.

9. Исследована задача об откольном разрушении в поликристаллическом материале, выявлена зависимость характера разрушения и откольной прочности от пористости материала. Показано разделение фронта на упругий предвестник и пластический фронт, исследована зависимость данного эффекта от величины пористости и скорости ударника.

В совокупности полученные результаты позволили разработать новый под ход к анализу деформирования и разрушения твердых тел с микрострук турой.

Достоверность полученных результатов. Достоверность ре зультатов достигается использованием апробированных физических моде лей и применением строгих математических методов;

сравнением резуль татов аналитических исследований и численных расчетов;

использовани ем при компьютерном моделировании тестовых задач, допускающих точ ное аналитическое решение;

применением современных методов и вычис лительных средств;

сравнением результатов моделирования с эксперимен тальными данными.

Практическая значимость работы. Разработанные методы мо делирования могут эффективно использоваться для анализа деформирова ния и разрушения твердых тел с микроструктурой, начиная от нанообъ ектов, и заканчивая макроскопическими телами. Предложенные методы компьютерного расчета могут использоваться для проведения компьютер ных экспериментов, заменяя тем самым значительную часть дорогостоя щих натурных экспериментов. Практическая значимость работы подтвер ждается ее успешным применением для решения прикладных задач, таких как откольное разрушение при плоском ударном взаимодействии пластин, пробивание пластин ударниками различной формы, динамическое взаимо действие инструмента с материалом при вибрационном сверлении, модели рование механических свойств мелкодисперсных порошков.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семи нарах кафедры “Теоретическая механика” СПбГТУ, Института проблем машиноведения РАН (С.-Петербург), Института прикладной математики им. М. В. Келдыша (Москва), кафедры Электроники и электромагнетиз ма Университета Севильи (Испания), Инженерного департамента Абердин ского университета (Великоборитания), а также на всесоюзных и меж дународных конференциях: “Асимптотические методы в механике” (С. Петербург 1994), “Инновационные наукоемкие технологии для России” (С. Петербург 1995), ICIAM’95 (Гамбург), GAMM’96 (Прага), “Анализ и син тез нелинейных механических колебательных систем” (С.-Петербург 1996, 1997, 1998), 2nd ENOC (Прага 1996), “Длительная прочность и неупругое деформирование материалов и элементов конструкций при сложных ре жимах термомеханического нагружения” (С.-Петербург 1996), GAMM’ (Регенсбург), EUROMECH 362 (Манчестер 1997), 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference (Стокгольм 1997), SMiRT 14 (Леон 1997), GAMM’ (Бремен), “Nondestructive Testing and Computer Simulations in Sciences and Engineering” (С.-Петербург 1998), HVIS’98 (Хантсвил, США), ICIAM’ (Эдинбург), DETC99/VIB (Лас Вегас), EURODYN’99 (Прага), NOMS’ (С.-Петербург), APM’2000 (С.-Петербург 2000), APM’2001 (С.-Петербург), EUROMECH 425 (Абердин, Великобритания 2001), VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь 2001).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 55 научных работ.

Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа содержит 234 страницы, 69 рисунков, список литературы содержит 332 наименования.

Содержание работы Во введении дана общая характеристика работы, обоснована акту альность исследования деформирования и разрушения твердых тел с ми кроструктурой, описана методика исследований. Обсуждаются преимуще ства метода частиц для решения поставленных в работе задач по срав нению с континуальными подходами. В частности указывается, что метод частиц требует значительно меньше априорных предположений о свойствах материала: роль определяющих уравнений в методе частиц выполняет по тенциал взаимодействия, являющийся функцией расстояния между части цами, что значительно проще, чем операторная зависимость от многих ска лярных, векторных и тензорных величин в определяющих уравнениях ме ханики континуума. Не являясь континуальным, метод частиц позволяет более естественно описывать процессы, в которых происходит нарушение сплошности вещества, в частности не требуется специальных критериев разрушения — снижение концентрации частиц в некоторой области про странства, полученное в результате интегрирования уравнений движения, свидетельствует о разрушении материала. Метод частиц позволяет есте ственным образом устранить континуальное звено между дискретностью микроструктуры реальных веществ и дискретностью численных методов, используемых для решения уравнений, описывающих деформирование и разрушение твердых тел. Вместе с тем отмечается и ряд недостатков мето да частиц, один из которых состоит в повышенном, по сравнению с конти нуальными методами, требовании к мощности вычислительных систем, при использовании данного метода в описании макроскопических процессов.

Во введении проведен обзор литературы, дана краткая история разви тия метода частиц применительно к описанию физико-механических про цессов в твердых телах. Указывается, что первые работы, использующие метод молекулярной динамики, были опубликованы в начале шестидеся тых годов, затем количество работ в рассматриваемой области постепенно повышалось, следуя за прогрессом компьютерных технологий, достигнув апогея в последнее десятилетие, когда возможности вычислительной техни ки позволили использовать при моделировании достаточное число частиц для описания процессов деформирования и разрушения одновременно на нескольких масштабных уровнях.

Первая глава посвящена математическому моделированию нелиней ного деформирования тел с кристаллической структурой. В силу регулярно сти кристаллических решеток многие соотношения, связывающие парамет ры микроструктуры с макроскопическими параметрами деформирования удается получить аналитически. С одной стороны, подобные аналитические соотношения представляют самостоятельный интерес для теоретического описания деформирования кристаллических твердых тел. С другой сторо ны, они необходимы для постановки задач компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения методом частиц, так как в осно ве этого метода лежит представление твердого тела с помощью различных упаковок частиц, из которых кристаллические являются наиболее широко используемыми. В основном в данной главе изучаются монокристалличе ские структуры, однако, также рассматривается осреднение нелинейных определяющих уравнений, позволяющее описывать деформирование поли кристаллических материалов.

Глава состоит из пяти параграфов. Первый параграф вводный, в нем описываются основные предположения, лежащие в основе дальнейших по строений, даются краткие сведения о типах кристаллических решеток и видах взаимодействия между частицами.

В параграфе 1.2 из уравнений движения частиц на основе длинновол нового приближения получаются линейные макроскопические соотноше ния упругости. Для сложной кристаллической решетки выводится система тензорных уравнений для нахождения тензора жесткости.

C · 3U C · 3U = 3C ;

2, = 1, 2,..., n, (1) где, и n — номера и число частиц в элементарной ячейке, 2 C, 2 C, 3 C — известные тензорные коэффициенты, U — неизвестные тензорные переменные (3-го ранга). После решения системы (1) тензор жесткости 4 C определяется как def C a a a a.

C · 3U, C = 4C 0 2 3 (2) C0 =, Для простой кристаллической решетки 4 C 4 C 0. Формулы для коэффици ентов:

def def a a, C = C = C, 2 2 C def 1d C = r f (r), V rdr def def a a a, r=a C = C = C, 3 3 C где — номер ячейки (пробегает все ячейки, с которыми взаимодействует данная);

a — вектор, проведенный из частицы данной ячейки к частице ячейки ;

f (r) — сила взаимодействия между частицами и ;

V — объем элементарной ячейки. Проводится сравнение полученных уравнений с имеющимися в литературе.

Параграф 1.3 посвящен получению нелинейных макроскопических урав нений для кристаллических упаковок частиц. Используется следующая модель: частицы формируют идеальную простую кристаллическую решет ку;

взаимодействие осуществляется посредством парных центральных сил;

каждая частица взаимодействует с ограниченным числом соседей;

силы и деформации нелинейны;

справедливо длинноволновое приближение. Для отсчетной и актуальной конфигураций, соответственно, используются сле дующие обозначения: r, R — вектор положения;

a, A — радиус-вектор o узла ;

v, V — объем элементарной ячейки;

, — оператор Гамиль тона. Для краткости ограничимся ниже уравнениями статики, уравнения динамики могут быть получены заменой массовых сил инерционными сла гаемыми. Уравнения равновесия частицы имеют вид (3) F +f =0 (F + F ) + f = 0, где F — воздействие атома, f — внешнее воздействие;

узлы нумеру ются относительно данной частицы, причем a = a. В материальном представлении F = F (r) использование длинноволнового приближения r дает a o F (r) = F (r a ) F (r) + a · F (r), что позволяет записать уравнения (3) в виде макроскопического уравнения равновесия в форме Пиола 1 1 m o def def def ·P + 0 k = 0 ;

(4) P= a F, k= f, 0 =, 2v m v где P — тензор напряжений Пиола, k — вектор распределенных массо вых сил, 0 — плотность среды в отсчетной конфигурации. Использование пространственного представления F = F (R) позволяет получить анало гичное уравнение равновесия среды в форме Коши 1 m def def ·T + k = 0 ;

(5) T= A F, =, 2V V где T — тензор напряжений Коши, — плотность в актуальной конфи гурации. Данный подход позволяет дать микроструктурное истолкование различным тензорам напряжений, используемым в литературе:

— Тензор Коши, T = A A 2V — (Гамель и др.), T (o) = A A 2v — Тензор Пиола, P = a A 2v — Энергетический тензор, T = a a 2V T — 2-ой тензор Пиола, = a a 2v def где = A ·F /A2. В результате определяющее уравнение кристалличе ской решетки при нелинейном упругом деформировании может быть запи сано в виде o o o o T= (R )·(G)·( R), G = ( R)·(R ), v |G|1/ def (r2 ) = (r)/r, (a ·G·a ) a a, (G) = где G — мера деформации Коши-Грина, (r) — потенциал взаимодействия двух частиц, разделенных расстоянием r.

В параграфе рассмотрены упрощенные определяющие соотношения, спра ведливые для приближений, часто используемых в теории упругости. Так, в приближении линейной теории упругости данные уравнения приобретают вид (при отстутствии напряжений в отсчетной конфигурации) def = 4 C ··, (a2 ) a a a a, = ( u)s, (6) C= v где, — тензоры напряжений и деформаций линейной теории, 4 C — тен зор жесткости, u — вектор перемещиний точек среды. В случае изотропии тензора жесткости или для поликристаллического материала уравнение (6) примет вид def (7) = C (tr )E + 2, C= a B.

Данная формула справедлива для трехмерных кристаллических решеток, соответствующий коэффициент Пуассона равен 1/4. В приближении гео метрически нелинейного материала определяющие уравнения принимают вид o o T = |G|1/2 (R )·(4 C ·· )·( R), (8) def где = 1 (GE) — тензор конечной деформации Коши-Грина, 4 C — тензор жесткости линейной теории. Уравнение (8) может быть записано в более простой форме с использованием переменного тензора жесткости 4 C def def T = 4 C ··, (9) C= B A A a a.

2V В случае изотропии тензора жесткости или для поликристаллического ма териала уравнение (8) примет вид o o def def T = C|F |1/2 F · (tr )E + 2, (F E), F = (R )·( R), = где коэффициент жесткости определяется формулой (7).

Параграф 1.4 посвящен выделению изотропной части определяющих уравнений. Кристаллы по своей природе анизотропны, однако реальные вещества чаще встречаются в виде поликристаллов, механические свой ства которых осреднены по всем направлениям. Кроме того, использование поликристаллических упаковок частиц необходимо для моделирования ме тодом частиц изотропных материалов. Интерес к рассматриваемому вопро су вызван еще и тем, что его решение позволяет значительно упростить определяющие уравнения монокристалла, сохраняя при этом имеющую ся нелинейную специфику. В параграфе получены формулы, позволяющие определить плотность внутренней энергии поликристаллической упаковки через главные инварианты тензора деформации:

1 2n def U (n) (a2 ) a2n, U= (10) Un Kn (), Un = (2n + d 2)!!

2v n!

n= где U — энергия деформирования, приходящаяся на единицу объема;

d = def 1, 2, 3 — размерность пространства, U (r2 ) = 2(r) — величина, пропор циональная потенциалу взаимодействия;

U (n) — производная порядка n от функции по ее аргументу. Коэффициенты Un в (10) определяются исклю чительно потенциалом взаимодействия и геометрией решетки, величины Kn () в (10), напротив, являются функциями исключительно тензора ко нечной деформации Коши-Грина и могут быть определены по формуле dn def n K(x) = exp tr ln(E x) (11) Kn = 2 K(x),.

dxn x=0 Производящая функция K(x) может быть представлена через главные ин варианты Ik тензора формулой d Ik (x)k (12) K(x) =, k= что позволяет выразить величины Kn, а следовательно и энергию дефор мирования поликристалла, через главные инварианты тензора деформации.

В параграфе 1.5 развит подход, основанный на разделении быстрых и медленных движений, позволяющий учитывать хаотическое движение частиц при моделировании в случаях, когда использование подходов, осно ванных на методах статистической физики оказывается слишком слож ным, например, вблизи точки разрушения. Предлагаемый подход удобен для определения термодинамических величин в ходе моделирования. При подобном подходе удается ограничиться рассмотрением только трех термо динамических величин — давление, объем и тепловая энергия, что доста точно для описания быстрых ударных процессов, при которых явлениями, связанными с теплопроводностью можно пренебречь. Рассмотрим продоль ные колебания в одномерной цепочке, содержащей одинаковые частицы, взаимодействующие посредством потенциальной силы с соседними части цами. Уравнения движения имеют вид def def n = Fn+1 Fn, Fn = f (a + n ), n = un un1.

mn = n, u Здесь n — индекс, пробегающий целые значения от 1 до N, где N — число частиц в цепочке;

un — перемещение частицы;

Fn — сила, действующая на частицу n 1 со стороны частицы n;

функция f определяет силу вза имодействия между двумя частицами;

a — равновесное расстояние между частицами в цепочке. Используются периодические граничные условия. В положении равновесия цепочка может быть сжата или растянута, то есть равновесная сила взаимодействия не обязательно равна нулю. Введем опе ратор осреднения t+T / n+/ def def (13) n (t) = n (t) = lim k ( ) d.

T k = n/ tT / Согласно (13), осреднение проводится как по времени, так и по координате.

Период осреднения T и интервал осреднения выбираются так, чтобы (14) Tmin T Tmax, 1 N, где Tmin и Tmax, соответственно, минимальный и максимальный период колебаний в системе. Любая величина может быть представлена в виде суммы медленной (осредненной) и осцилляционной компонент def где n (t) = n (t) n (t). (15) n (t) = n (t) + n (t), Считается, что для осредненных величин может использоваться длинно волновое приближение, что позволяет для них получить классические ма кроскопические уравнения движения. Для макроскопического давления p и тепловой энергии UT с использованием вириального преобразования могут быть получены следующие выражения UT = 1 f (V + n )n + (V + n ) (V ), p = f (V + n ), def где V = a + n — осредненный удельный объем, — потенциал взаимо действия частиц, f — соответствующая сила взаимодействия. Предположе ние, что осцилляционная компонента удельного объема мала по сравнению с осредненной, позволяет разложить полученные соотношения в ряды по малому параметру n, что в первом приближении дает уравнение состояния Ми-Грюнайзена (1)k dk 1 f2 (V ) def def f (V ), (16) pT = (V ) UT, (V ) = V, fk (V ) = k! dV k V f1 (V ) где (V ) — безразмерный коэффициент Грюнайзена. Уравнение Ми-Грю найзена хорошо описывает состояние цепочки в условиях сжатия и слабого растяжения, однако при сильном растяжении оно теряет смысл, так как коэффициент Грюнайзена обращается в бесконечность. Для того чтобы устранить этот эффект требуется учет второго приближения, что позволяет получить уравнение состояния f1 (V ) + 9f3 (V )UT f1 (V ) (17) pT = 2f2 (V ), 9f3 (V ) справедливое при сильном растяжении вплоть до разрыва цепочки, что особенно важно для описания процессов откольного разрушения.

Вторая глава посвящена аналитическому рассмотрению сред с услож ненными свойствами. В первом параграфе главы исследуются свойства конечных кристаллических упаковок частиц в сравнении с неограничен ными кристаллами, рассмотренными в первой главе. Исследуется влияние масштабного эффекта на механические свойства модели. Анализ влияния дискретности атомарного описания на значения механических характери стик необходим для определения минимального количества частиц для до стижения заданной точности расчетов. С другой стороны, данный вопрос имеет приложения к наномеханике, позволяя ответить на вопрос, насколь ко дискретность структуры нанообъектов влияет на их механические свой ства.

Рассмотрим двумерный монокристалл, изображенный на Рис. 1, имею щий бесконечную длину в направлении x и N 2 атомарных слоев в направлении y. Каждый атом взаимодействует только с ближайшими со седями по кристаллической решетке, как показано на Рис. 1. К атомам на торцах кристалла приложены постоянные растягивающие силы Q. Важным Рис. 1: Рассматриваемая модель: двумерная монокристаллическая полоса.

эффектом, связанным с конечностью рассматриваемого кристалла, являет ся невозможность однозначного определения его толщины H. Так, если по ложить, что толщина кристалла равна расстоянию между слоями атомов, лежащими на противоположных торцах (см. Рис. 1), то тогда H = (N 1)h.

Если, с другой стороны, определить толщину кристалла как произведение числа слоев на толщину одного слоя, то это приводит к формуле H = N h.

Поэтому вводится обозначение def N 1 N N, (18) H = N h, где N — величина, отражающая произвол в определении H. Рассмотрение равновесия кристалла под действием приложенных нагрузок дает следую щие выражения для модулей упругости:

N 1 N N 1 =, 2 = ;

E1 = E, E2 = E.

N1 N N 9 Здесь 1, 2 и — значения модуля коэффициента Пуассона, соответству ющие растяжению в направлении x, y и бесконечному кристаллу;

E1, E2, E — соответствующие значения модуля Юнга. Отметим, что рассматри ваемый конечный кристалл анизотропен, в то время как соответствующий ему бесконечный кристалл изотропен. При растяжении вдоль атомарных слоев модуль Юнга E1 существенно зависит от величины N, то есть от того, как определяется толщина нанокристаллической полосы. При рас тяжении перпендикулярно атомарным слоям и коэффициент Пуассона, и модуль Юнга зависят от N, причем при уменьшении числа слоев коэф фициент Пуассона убывает, а модуль Юнга возрастает — см. таблицу 1.

При N упругие модули стремятся к значениям, соответствующим бесконечному кристаллу.

max N E1 /E 2 2 / E2 /E 2 2.00 0.18 0.53 1. 3 1.50 0.23 0.69 1. 5 1.25 0.27 0.82 1. 10 1.11 0.30 0.91 1. 20 1.05 0.32 0.96 1. 100 1.01 0.33 0.99 1. max Таблица 1: Зависимость модулей упругости от числа атомарных слоев, E1 = E1 |N =N 1.

В параграфе показано, что в определении размера нанообъекта суще ствует принципиальный произвол, приводящий к неоднозначности многих макроскопических характеристик, таких как напряжение, модуль Юнга, удельная объемная энергия деформирования. Выбрать универсальное опре деление для размера нанообъекта не удается: если добиваться того, чтобы модули упругости были максимально близки к своим макроскопическим значениям, то видоизменяются соотношения Коши-Грина и нарушается симметрия тензора упругости кристалла. Если, напротив, выполнить со отношения Коши-Грина, то значительно усиливается масштабный эффект.

Согласно полученным в параграфе результатам, погрешность, вызван ная заменой континуальной среды ее атомарным аналогом, приближенно равна 1/N, где N — отношение характерного линейного размера модели к среднему межатомному расстоянию. Из данной оценки следует, что для достижения погрешности в 1% при одномерном моделировании требуется 100 частиц, в двумерном случае — 104 частиц, в трехмерном — 106. Расчет подобных систем вполне доступен для современных компьютеров, что сви детельствует о принципиальной возможности применения метода частиц в макроскопической области.

Параграф 2.2 посвящен применению для описания частиц модели твер дого тела. Экспериментальные данные свидетельствуют, что возбуждение ротационных степеней свободы оказывает принципиальное влияние на ме ханические процессы при деформировании и разрушении. Отождествление расчетной частицы с зерном материала требует учета инерции вращения ча стицы и моментного взаимодествия. Кроме того, учет этих эффектов может быть существенным и на микроуровне, например, при описании свойств ко валентных кристаллов или сложных молекулярных образований. В данном параграфе разрабатывается математический аппарат, предназначенный для описания движения взаимодействующих частиц, представляющих собой твердые тела. Одна из наиболее серьезных проблем состоит в описании инерционных свойств подобных систем, которые могут существенно про являться при ударных процессах в твердых телах. Инерциальные свойства материальной точки характеризуются одной скалярной величиной — мас сой, твердого тела — тензором инерции, что серьезно усложняет уравнения и, как следствие, приводит к значительным вычислительным сложностям при использовании метода частиц.

Обозначим e1, e2, e3 — орты собственного базиса тензора инерции твердого тела: = 1 e1 e1 + 2 e2 e2 + 3 e3 e3, где k — главные моменты инер ции. Обозначим k, Mk — проекции угловой скорости и внешнего мо мента M на ek. Введем векторные проекции угловой скорости def def def 1 = 1 e1, 2 = 2 e2, 3 = 3 e3.

Для векторных переменных k, описывающих движение твердого тела, имеющего неподвижную точку, в параграфе получена система уравнений 1 1 + (3 2 ) 2 3 + 1 1( 2 + 3 ) = M 1, + (1 3 ) 3 1 + 2 2( 3 + 1 ) = M 2, (19) + ( ) + ( + ) = M, 3 2 1 3 1 2 3 1 2 где величины M k являются векторными проекциями действующего на тело внешнего момента: Mk = Mk ek. Полученная векторная система уравнений по структуре близка к системе скалярных динамических уравнений Эйле ра, однако, ее отличие состоит в том, что решение данной системы дает полное решение задачи о вращении тела, определяя как угловые скорости, так и ориентацию тела в пространстве (векторы ek = k /k однозначно определяют пространственную ориентацию тензора инерции тела). Вектор ные уравнения (19) во многом аналогичны скалярным уравнениям Эйлера, и многие методы решения, использующиеся для скалярных уравнений Эй лера, могут быть к ним применены. Отметим, что согласно определению, векторы k ортогональны, а следовательно, удовлетворяют дополнитель ным скалярным соотношениям 1 · 2 = 2 · 3 = 3 · 1 = 0.

Дальнейшее упрощение системы (19) возможно за счет введения ди намических векторных переменных uk = k · (k = 0, 1, 2), однозначно связанных с переменными k. Отметим, что u0 = представляет собой угловую скорость, а u1 = L — кинетический момент твердого тела. Обо значим I1 = 1 + 2 + 3, I3 = 1 2 3, тогда для переменных uk справедлива система уравнений u1u2 = 1 ·M, u2 + I1 u0u1 + 2u2u0 = ·M, (20) u0 + u1 = M, I близкая по структуре к (19), однако имеющая более простую и удобную для численной реализации форму. Правые части уравнений могут быть представлены в виде разложения по векторам uk. Система (20), как и (19), избыточна. Этот недостаток может быть устранен путем представления вектора u3 через u1 и u2, что позволяет записать уравнения движения относительно двух векторных переменных — вектора угловой скорости и кинетического момента L 1 hH3 L4 (H) L(L) = 1 ·M, L ± L = M, (21) 2 L2 h2 2 L2 h I3 I где скаляры h, H3 и (H) в (21) являются известными функциями векторов L и. Выбор одной из предложенных систем уравнений для численного решения уравнений движений частиц осуществляется в зависимости от специфики конкретной задачи моделирования.

Третья глава посвящена компьютерному моделированию с исполь зованием идеальных кристаллических упаковок частиц. В первом пара графе главы описывается техника моделирования. Моделируемый объект представляется совокупностью N взаимодействующих материальных точек (частиц), описываемых в общем случае следующими уравнениями движе ния N N (22) mk = r (rkn ) rkn + (rkn, vkn ) rkn + (rk ) + (rk, v k ), n=1 n= где rk и v k — векторы положения и скорости k-ой частицы, def def def def rkn = rk rn, v kn = v k v n, rkn = |rkn |, vkn = |v kn |, (23) m — масса частицы, (r) и (r, v) задают консервативную и неконсерва тивную составляющую взаимодействия между частицами, (r) и (r, v) за дают внешнее консервативное и неконсервативное силовое поле. Наиболее важна консервативная составляющая взаимодействия (r), определяемая как def 1 def f (r) = (r), (24) (r) = f (r), r где f (r) — скалярная сила взаимодействия между частицами, (r) — по тенциал взаимодействия. Неконсервативная составляющая взаимодействия (r, v) предназначена для описания внутренней диссипации в материале, во многих задачах может отсутствовать. Внешние силовые поля (r) и (v) обычно используются для двух целей: для задания внешних массовых силовых воздействий (гравитационного, электромагнитного) и для задания силовых граничных условий. В первом случае указанные силы распределе ны во всем объеме пространства, где проводится расчет, во втором случае они локализованы вблизи некоторых поверхностей, часто являющихся гра ницами области расчета. Кроме того, неконсервативное воздействие (r, v) часто используется для отвода энергии из системы посредством внешней диссипации, простейшим вариантом которой являются силы вязкого трения (r, v) = Bv, (25) B 0.

Данное воздействие может также использоваться для поддержания требуе мого уровня теплового движения, в этом случае коэффициент B в формуле (25) является знакопеременным и зависит от уровня тепловой энергии си стемы.

С математической точки зрения моделирование состоит в численном ре шении задачи Коши для дифференциальных уравнений (22). В параграфе обсуждается выбор метода численного интегрирования уравнений движе ния, рассматриваются методы Верле, Виньярда, Нордзика и др. Начальные условия для уравнений (22) представляют собой распределение частиц и их скоростей в пространстве. Генерация начальных условий является от дельной задачей, так как структура исходной упаковки частиц существен ным образом влияет на свойства модели. Начальные условия по скоростям обычно содержат макроскопическую скорость, задаваемую в виде медленно изменяющейся функции координаты частицы, и скорость теплового (хао тического) движения, задаваемую для каждой частицы в виде случайной величины, имеющей определенное среднеквадратичное отклонение от ма кроскопической скорости. Квадрат данного отклонения может характери зовать или температуру вещества или дисперсию скоростей мезочастиц, в зависимости от масштаба моделирования.

В параграфе рассмотрен ряд наиболее часто встречающихся в литерату ре потенциалов взаимодействия. Обозначим a и b расстояния, на которых обращается в ноль, соответственно, первая и вторая производные потен циала взаимодействия. Отметим, что a — равновесное расстояние между двумя частицами, b — расстояние разрыва связи. Для сравнения потенци алов взаимодействия используются следующие безразмерные параметры a2 (a) b (a) a (a) def def def def = 1, k = (b a) =, kv =,.

a (b) 2(a) 2 (a) Здесь — относительное удлинение межатомной связи при ее разрыве, k — мера нелинейности взаимодействия (отношение в точке разрыва значе ний линеаризованной и нелинейной сил взаимодействия), kv — отношение скорости распространения длинных волн в одномерной цепочке частиц к скорости диссоциации, — коэффициент Грюнайзена бесконечной одно мерной цепочки в окрестности положения равновесия. В параграфе рас смотрены потенциалы Ми, Леннарда-Джонса, Морзе, модифицированные, сплайновые и др., дан краткий анализ их свойств, достоинств и недостат ков для применения в моделировании деформирования и разрушения.

На основании результатов предыдущих глав, в параграфе получены кон кретные выражения для ряда важнейших макроскопических характеристик кристаллических упаковок через микроструктурные параметры моделиро вания. Рассмотрены одномерные, двумерные и трехмерные упаковки. Рас считаны равновесные состояния ряда упаковок частиц при взаимодействии атомов нескольких координационных сфер. Далее рассматривается мето дика определения параметров моделирования по макроскопическим пара метрам моделируемого объекта. Для определения размерных параметров модели выбираются три базовых размерных величины — масса частицы m, равновесное расстоние a в системе из двух частиц, период T0 малых одномерных колебаний частицы в потенциальном поле, определяемом вы бранным потенциалом взаимодействия. Все остальные размерные парамет ры могут быть выражены через них и безразмерные коэффициенты. Для базовых параметров массы, расстояния и времени получены следующие формулы M 1d V a (26) m=, a=, T0 = 2, N pV0 N vl где M, V, vl — размерные макроскопические параметры (масса и объем мо делируемого объекта, скорость распространения длинных продольных волн в материале);

d, N, p — безразмерные параметры, определяемые условия ми моделирования (размерность пространства, число частиц, пористость упаковки);

, V0, — безразмерные коэффициенты, значения которых рас считываются для основных упаковок частиц. Использование формул (26) гарантирует при достаточно большом количестве частиц точное соответ ствие компьютерной модели следующим макроскопическим свойствам мо делируемого объекта: масса, плотность, геометрические размеры, скорость распространения линейных упругих продольных волн в выбранном направ лении. Кроме того, приближенное соответствие достигается для упругих модулей материала и скорости распространения различных волн в рамках линейной теории. Более точное соответствие может быть достигнуто при использовании поликристаллических и аморфных упаковок частиц. Фор мулы (26) предназначены для динамических компьютерных экспериментов, для квазистатических экспериментов предлагаются альтернативные форму лы.

Дальнейшее уточнение модели, прежде всего применительно к нелиней ному деформированию и разрушению, может быть осуществлено выбором безразмерных параметров (26) потенциала взаимодействия в соответствии с требуемыми значениями безразмерных макроскопических параметров мо делируемого материала, такими, как относительное удлинение при разрыве, отношение модуля Юнга к пределу прочности, отношение скорости распро странения упругих волн к откольной скорости, параметр Грюнайзена и др.

Указанный выбор в простейших случаях может осуществляться аналити чески, в более сложных он требует проведения тестовых компьютерных экспериментов, по возможности повторяющих известные натурные экспе рименты.

В параграфе 3.2 на конкретных задачах, имеющих самостоятельное значение, демонстрируются технология использования и некоторые досто инства метода частиц при моделировании неупругого деформирования. Рас сматриваются задачи, в которых при моделировании наблюдаются такие процессы, как пластическое течение материала, разрушение, температурное изменение свойств материала, фазовые переходы. Так, на Рис. 2 изображе s s s ss cs cc sc c c ss ccc csc c s cs s s c ccsss ss c c ss c s s c ss s s cs c s cc s sc c c ss s scccc ss s s cc cc sc sccccss s s ss ss cccssss c ssss ssss s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s sssss sss s ssssss s s ss cc c sssscccccc cccc cccccc ccccccc csss c sc ss c c c cccccc cccc c c c c c cccc cc c c cccc c ccccccc ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccs c ccss s sss s sssssssssssssss s ss cc c cc sss ssss s s ssss ssss s ss sssssssscssssssscssssscscscscssscscscscssssscssssscscssssssscssssssss s ssssss c cc ss s s ssssssssssss s s s s ss s c cc cs c ccscs cccccccccccc c cc c cccc c cc ccccccc c c c c c c cc cc c ccccccc cscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscccccscccccccc c cc cscscc ccsccccccccccccccccc ccss s s s ccccccc ss sssssssssssssssssc cc s sc ss s ssss sssss ssssssss s ssss c s s sssssss sssssss sssssssscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscscsssssssc cccccc s s sss c cc ccccc c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c ccccccc c cc c s s s cscs s cccccc c cccccccccccccc c cc s ss sc c cccccccs s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s ssss ss s c s ccccc ccccccccccc c s ssss ss s s cccsccccsssssssssssssssss sssss s sc sss sss s sss ss s s c c s c ssss ssss s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s ssss ssss ss s c sss sss s sss s s s cc c s s cs s s sc s cc c css c c cc s s s s sc c c sc s cs s c c ss s c ss s sc c cs s ss s sc ss s s ss s s a b c c c s sssccc ss s c c cs sss c ccscc s sscc ss ssss s s c s s c s s c cc s s c c s ss s csc s cs cc ccss s ss c cc c cs s cs c cscs c ss c ss c s ss c cccs s cc sscc sc s sc s sc c ssss s cc cc c scs csc c sc c s sc c c c cc s s cs s s s c c c s s cs c ss s s s c cs c sc s cc s sssc cc c cc s sc c ssccc css c cssc cs c s sscc s c cs s sc cc c s csss cc c ss s sc cc ss sscc scss sscsscc ss ss s cc c s csss ssccs s cc s cssssc c s scc c cccssccs sc s cc ss c s s cs c s c sc cc c cs sss c c s cs s s cc s c cc ss c c css ccccc cc cc ssc cc c cs ccc cc c c cccs ss cc cc s sc c c s cc c ssssc cc cc s csc csc c c c s sss sccs cc c sccccc c cc ss c cs s sss s s ss ss sss s cc c cc c s s cs s ccc s scs ssscsssc c cc c s s s c ss c c ccc cc ccss ssscssc cc ssc c cc c c s c c cs c c c c s c s c c ccc c csccs c sc cc cc cs c cc sccc sccc s ssccc sc sc c cc ccc c s s s s c ss c s c s c s s s s s c s cccc ss cc ss scs sc s s s c scsss cs s s csssssss ss s ss s s sss s s s s s s s c s c s s sc c c s c c s ss cc csc sscccc cs s ss s s s s cccc cccc c ss cs s ss c c c c s ss ss cc csccc c csccs s sss ss cc ccc cscccc ss sssc c sscs sss s c s ss s sc sc c cc c s s ss sc cs c s s s css s s cs s ssscccss sss s s c cc sc csc ss s ss sc ss s cc c ss scsccc css s sccssc s cs c c cs c ss cc css sc cc cs s ss ss s ss sc c ss ss scscccc s sss sc ssc cccc ss s s s s s sc cc cs s ss ss s sccs ss s c sccc s s s cc s ss cs ss s ss s s s scscs cs s s s sssc s s ss s cs cc c c c s sss ss s s c c s s c cc scc ss ss sss cs cc s s c s s cc s s s ssss scccc s s cs ccsc c sssssss sccc c css s ss s sss c c csc cs s ss ss s ss cs s c sssss s s cscscsss ss ss csccscs c d Рис. 2: Быстрое сжатие призматического образца ны результаты компьютерного эксперимента по ударному сжатию призма тического образца, состоящего из 540 частиц, взаимодействующих по зако ну Леннарда-Джонса. Для наглядности на Рис. 2 рассматривается неболь шое количество частиц, позволяющее визуально проследить механизм ра боты метода. Сжатие осуществляется посредством двух абсолютно жест ких стенок. Рис. 2a показывает начало эксперимента, образец находится в недеформированном состоянии и обладает регулярной кристаллической структурой. Различные горизонтальные слои материала выделены черным и белым цветом так, чтобы было возможно при деформировании наблюдать пластическое течение материала. Рис. 2b демонстрирует образец в процес се сжатия, кристаллическая структура в деформированной области образца разрушена и материал в этой зоне находится практически в жидкой фа зе. Рис. 2c соответствует моменту максимального сжатия, а Рис. 2d демон стрирует образец после снятия нагрузки. Из рисунков видно, что частицы, бывшие соседними в исходной конфигурации, после сильного деформиро вания могут оказаться в различных областях образца, слои материала в процессе деформирования приобретают сложную, часто разрывную струк туру. Моделирование подобных процессов методами механики сплошной среды оказывается затруднительным в виду противоречия между контину альностью описания среды и очевидным нарушением континуальности в материале в процессе деформирования.

В параграфе 3.3 исследуется процесс ударного взаимодействия твердых тел и откольного разрушения. Особое внимание уделяется возбуждению хаотической составляющей скоростей частиц в результате прохождения ударной волны. Актуальность этого вопроса связана с тем, что, соглас но экспериментальным данным, дисперсия скоростей мезочастиц характе ризует интенсивность релаксационных процессов во время прохождения ударной волны, а следовательно, повышает прочность материала. Однако из экспериментов удается определить распределение скоростей только на внешних поверхностях образца, в то время как моделирование методом ча стиц позволяет наблюдать распределение скоростей частиц как на поверх ности, так и внутри образца. Так как целью данного исследования является качественное рассмотрение процессов, возникающих в материале при про хождении ударной волны, то используется двумерная совокупность частиц, взаимодействующих посредством потенциала Леннарда-Джонса. Компью терная модель эксперимента, насчитывающая 20 000 частиц, представлена на Рис. 3. Изначально частицы упорядочены в треугольную решетку, за полняющую два прямоугольника, моделирующие сечения ударника и ми шени. На всех внешних границах используются свободные граничные усло вия. Изначально мишень имеет нулевую скорость, ударник имеет скорость направленную вдоль оси z в сторону мишени. Кроме того, к начальной скорости каждой частицы добавляется случайная скорость, выбранная из двумерного равномерного случайного распределения. Используются обо значения n n 1 (Vkz V z )2, (27) Vz = Vkz, z = Vz = z, n n k=1 k= где k = 1, 2,..., n — номер частицы, Vkz — проекции скоростей частиц, z и Vz — дисперсия и девиация скоростей частиц в направлении z.

Аналогичным образом определяются x и Vx.

Полученные в ходе моделирования графики распределения деформации и девиаций скоростей частиц вдоль продольной координаты z приведены Рис. 3: Компьютерная модель ударного нагружения.

на Рис. 4–5. Для наглядности масштабы времени, расстояния и скорости при компьютерном моделировании были приведены в соответствие с со ответствующими масштабами в экспериментах с вязкими высокопрочны ми сталями. В ходе исследования получены следующие выводы: дисперсия продольных скоростей мезочастиц (z = Vz 2 ) возбуждается фронтом удар ной волны и следует за ним с некоторой задержкой (см. Рис. 4);

дисперсия поперечных скоростей мезочастиц (x = Vx 2 ) близка к z но возбуждается с большей задержкой (см. Рис. 4);

в зоне откольного разрушения дисперсия имеет локализованный максимум (Рис. 5);

несмотря на удвоение скорости частиц на свободной поверхности, дисперсия на свободной поверхности не возрастает.

В параграфе 3.4 исследуются влияние хаотической составляющей дви жения частиц на откольную прочность. Из экспериментов известно, что дисперсия скоростей мезочастиц оказывает существенное влияние на ма кроскопическую динамическую прочность материала. В данном параграфе проводится компьютерное исследование этого явления. Используется та же расчетная модель, что и в предыдущем параграфе. Результаты компью терных экспериментов представлены на Рис. 6, где показаны зависимости ширины трещины h и откольной скорости W от начальной девиации. Из графика видно, что увеличение дисперсии скоростей частиц от нуля до зна Vz (m/s) Vx (m/s) Strain (%) Рис. 4: Дисперсия возбуждается волновым фронтом (t = 0.5 мкс).

Vz (m/s) Vx (m/s) Strain (%) Рис. 5: Локализованный максимум дисперсии в откольной зоне (t = 1.3 мкс).

чения, соответствующего девиации 15–25 м/с, приводит к существенному увеличению прочности материала. Из анализа изменения во времени фор мы откольной трещины в процессе ударного нагружения следует, что мож но выделить две основные причины, благодаря которым дисперсия увели чивает прочность материала. Первая причина состоит в том, что дисперсия ослабляет локализацию ударного разрушения — ширина области разруше ния значительно меньше при высокой дисперсии. Вторая причина состоит в том, что дисперсия стимулирует релаксационные процессы в материале — микротрещины, которые появляются на начальной стадии разрушения, могут спонтанно исчезнуть, если дисперсия достаточно высока.

В параграфе 3.5 рассмотрены некоторые специфические эффекты трех мерного моделирования методом частиц, которые не могут наблюдаться на двумерных экспериментах. Для сравнения результатов двух- и трехмер ного моделирования используются эксперименты по плоскому откольному разрушению. Трехмерная компьютерная модель представлена на Рис. 7a.

Частицы формируют две квадратные пластины, представляющие ударник (верхняя пластина) и мишень (нижняя пластина). Частицы упорядоче ны в гранецентрированную кубическую решетку. Приблизительное число частиц — 1200. Относительно небольшое число частиц использовано на Рис. 7 для демонстрации эффекта дискретизации. После контакта ударник и мишень объединяются, однако в результате откола от мишени отделя ется откольная пластина, имеющей толщину, приблизительно равную тол щине ударника. Краевой эффект, который особенно силен в углах пластин, Рис. 6: Зависимость откольной скорости W и толщины откольной трещины h от начальной девиации скоростей частиц.

приводит к сильной пластической деформации материала в этой области.

На Рис. 7c хорошо виден эффект, реализующийся только при трехмерном моделировании — образование в результате фокусировки ударных волн от верстия в центре откольной пластины.

Откол в полномасштабной модели, содержащей 150 000 частиц пока зан на Рис. 8. Ударник и мишень представлены круговыми пластинами.

Выбранная скорость ударника недостаточна для разрушения центральной области откольной пластины, однако хорошо видны распространяющиеся концентрические волны. Толщина ударника незначительна по сравнению с его диаметром. В результате откольная пластина, имеющая те же про порции, что и ударник, имеет малую изгибную жесткость, что позволяет ей существенно деформироваться под действием краевых сил, возникших при ее отрыве от мишени. Подобные эффекты наблюдаются в натурных экспериментах при отколе фольг.

Четвертая глава посвящена компьютерному моделированию с ис пользованием пористых поликристаллических упаковок частиц. Одна из основных проблем в применении метода частиц для моделирования макро скопического поведения твердых тел состоит в том, что любые регулярные упаковки частиц анизотропны. По этой причине метод частиц, широко при меняющийся для моделирования кристаллических материалов, на настоя щее время достаточно редко используется в моделировании изотропных твердых тел. Подход, позволяющий решить эту проблему, состоит в кон струировании поликристаллических упаковок частиц со случайным распре a) b) c) Рис. 7: Трехмерный компьютерный эксперимент по откольному разрушению: a) до удара, b) после откола, c) другая проекция.

a) b) Рис. 8: Модель после откола, показанная с разных точек в пространстве (150 000 частиц).

делением ориентации монокристаллов. Подобная технология требует значи тельно больших компьютерных ресурсов, так как в этом случае в качестве элементарного объема выступает монокристаллическое зерно, содержащее по крайней мере сотни частиц. Поэтому полномасштабное использование поликристаллических компьютерных материалов началось только недавно, следуя за увеличением мощности современных компьютеров.

Первый параграф главы посвящен разработке методов построения по ристых поликристаллических компьютерных материалов. В начале парагра фа дается краткий обзор существующих методов. Далее предлагается два новых метода, позволяющих в ходе одного цикла моделирования создать серию образцов с различными значениями пористости материала.

Первый метод состоит в создание поликристаллического материала из монокристаллических зерен в ходе их квазистатической прессовки. На пер вом этапе в ходе конденсирования газообразной смеси частиц происходит формирование монокристаллических зерен. Выбор параметров конденсации позволяет получить различные геометрические характеристики зерен. На следующем шаге совокупность зерен сжимается равномерно во всех на правлениях, в результате чего зерна объединяются и формируют пористый материал. Примеры поликристаллических компьютерных материалов раз личной пористости, полученных в результате прессования зерен, показаны на Рис. 9, где белый цвет используется для обозначения материала, черный Рис. 9: Образцы материала различной пористости (каждый образец содержит около 100 000 частиц). Пористость: a) 20%, b) 10%, c) 1%.

для пустот. Каждый двумерный образец содержит приблизительно 100 ты сяч частиц. Для каждого из образцов приведено увеличение небольшого участка его внутренней области для визуализации внутренней структуры материала. Достоинством данного метода создания поликристаллического материала является то, что в результате прессовки достигается большее сцепление между зернами, чем при других методах, что позволяет полу чить более качественные механические характеристики образцов. Кроме того, путем варьирования параметров процесса конденсации возможно по лучение зерен разнообразных форм и размеров. Недостатком метода явля ются большие затраты времени, необходимые для достаточно медленного (квазистатического) прессования.

Второй метод использует алгоритм последовательного заполнения и поз воляет ускорить процесс создания поликристаллического материала. Для ускорения расчета при создании поликристалла применяется потенциал Ми 4–6, так как он обеспечивает большую плотность упаковки и скорость агло мерации. Затем, когда необходимая пористость достигнута, потенциал Ми может быть заменен на потенциал Леннарда-Джонса или любой другой, который больше подходит для дальнейшего исследования. После того, как образцы с различной пористостью получены и сохранены, к ним применяет ся дополнительная обработка, которая может включать плавление образца с последующим охлаждением. Плавление означает, что к скорости каж дой частицы добавляется случайная скорость, такая, чтобы кинетическая энергия частиц значительно превысила энергию связи. Плавление позволя ет получить более однородную поликристаллическую структуру материала.

Кроме того, изменяя скорость охлаждения, удается получить материал с различным размером зерен.

Рис. 10: Сравнение диаграмм нагружения моно- и поликристаллических материалов.

После того, как материал с требуемой пористостью сгенерирован, он может использоваться в различных тестовых задачах для определения его механических свойств. В данном параграфе рассмотрены квазистатические тесты по одноосному сжатию прямоугольных образцов. Параметры потен циала взаимодействия между частицами таковы, что механические свой ства образцов близки к свойствам песчаника. Диаграммы нагружения для моно- и поликристаллических образцов сравниваются на Рис. 10. Из рисун ков видно, что прочность монокристаллического материала значительно вы ше, чем поликристаллического. Более того, монокристаллический материал демонстрирует хрупкое поведение, в то время как поликристаллический в большей степени проявляет пластические свойства.

Параграф 4.2 посвящен динамическим компьютерным экспериментам с поликристаллическими материалами. Для сравнения свойств моно- и по ликристаллических компьютерных материалов выбраны эксперименты по плоскому откольному разрушению. Монокристаллический образец содер жащий 30 000 частиц после откола показан на Рис. 11. Вблизи боковых по верхностей образца наблюдается специфическая локализация разрушения, вызванная отражением волн от свободных поверхностей образца. Результа Рис. 11: Откол в монокристаллическом образце.

ты аналогичного компьютерного эксперимента, в котором использовалась мишень из поликристаллического материала, приведены на Рис. 12. Ана лиз характера разрушения образцов показывает, что для поликристаллов характерно сглаживание фронта ударной волны, связанное с неоднородно стью их внутренней структуры, что приводит к уменьшению локализаци онных эффектов, характерных для монокристаллов. Аналогичный экспе Рис. 12: Откол в поликристаллическом образце. Исходная пористость мишени 1%.

римент с мишенью, сформированной из материала со значительно более высоким уровнем пористости (15%) показан на Рис. 13. Несмотря на то, что высокопористый материал, вообще говоря, значительно менее прочен, трещины в зоне откольного разрушения заметно мельче. Еще более ярко выражен этот эффект на Рис. 14, где аналогичный эксперимент проведен Рис. 13: Откол в поликристаллическом образце. Исходная пористость мишени 15%.

с мишенью, имеющей 30% пористость. Откол на Рис. 14 фактически от сутствует. Объяснение этого явления может быть получено из сравнения внутренней структуры материала до и после удара — пористый материал оказывается прочнее по отношению к откольному разрушению, так как он может абсорбировать энергию за счет сильных пластических деформаций в его микроструктуре.

Рис. 14: Результат плоского удара по поликристаллическому образцу. Исходная пористость мишени 30%.

Параграф 4.2 посвящен моделированию пластических эффектов при распространении ударных волн. В реальных экспериментах наблюдается разделение ударной волны на упругий предвестник и пластический фронт, которое слабо выражено или отсутствует при моделировании методом ча стиц при использовании монокристаллических упаковок. Для описания подобных эффектов в данном параграфе используется компьютерная мо дель пористого кристаллического материала. На Рис. 15a приведена зави симость скорости свободной поверхности мишени от времени, полученная в результате компьютерного моделирования в монокристаллическом образ це, содержащем 100 000 частиц. Для сравнения на Рис. 15b приведена a) b) Рис. 15: Зависимость скорости свободной поверхности мишени от времени: a) монокри сталл (расчет), b) титановый сплав (эксперимент).

аналогичная зависимость, полученная из натурного эксперимента по от кольному разрушению в титановом сплаве при скорости ударника 602 м/с (Mescheryakov Y. I., Divakov A. K., Zhigacheva N. I. // Shock Waves. 2000.

№ 10. P. 43–56). Форма графиков во многом совпадает, однако на чис ленном эксперименте не наблюдается разделения фронта ударной волны на упругий предвестник и пластический фронт. Рассмотрим аналогичный компьютерный эксперимент с пористым кристаллическим образцом, содер жащим 500 000 частиц. На Рис. 16 приведены полученные зависимости скорости свободной поверхности от времени при выходе ударной волны на a) b) Рис. 16: Профили скорости свободной поверхности мишени, моделирование, 500 000 ча стиц: a) при vimp = vd и пористости 0%, 1%, 2%, 4%, 6%, 9%;

b) при пористости 6% и vimp /vd = 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4.

поверхность мишени при разных значениях пористости и скорости удар ника vimp. Масштаб времени и скорости выбран в единицах расчетного времени откола ts и расчетной минимальной скорости ударника vd, вызы вающей откол в монокристаллическом материале. С увеличением пористо сти амплитуда упругого предвестника убывает значительно быстрее, чем амплитуда пластического фронта, что приводит к их четкому разделению — Рис. 16 a. Таким образом удается получить временные зависимости ско рости свободной поверхности, очень близкие к реализующимся в натурных экспериментах, в частности по откольному разрушению титановых сплавов.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. Разработан метод прямого получения континуальных уравнений среды из уравнений движения частиц при нелинейных упругих деформаци ях. На основе данного метода решена задача о нелинейном упругом деформировании бесконечной монокристаллической упаковки частиц, получены определяющие уравнения общего вида, которые конкретизи руются для частных случаев геометрически нелинейного материала и материала Сетха. Получены определяющие уравнения для поликристал лической упаковки частиц при нелинейном упругом деформировании в виде ряда по степеням главных инвариантов тензора деформаций. По лученные результаты могут эффективно использоваться для анализа результатов численного моделирования с использованием моно- и поли кристаллических упаковок частиц.

2. Развит подход, позволяющий учитывать хаотическое движение частиц при моделировании в критических случаях, например, вблизи точки разрушения. Для бесконечного одномерного кристалла получены урав нения состояния, аналогичные уравнению Ми-Грюнайзена, но, в отли чие от последних, позволяющие описать термодинамическое состояние при сильном растяжении кристалла вплоть до точки разрыва.

3. Решена задача об упругом деформировании конечного кристалла, полу чены зависимости его упругих модулей от размеров кристалла. Полу ченные результаты позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц, а также позволяют описывать анома лии механических характеристик наноразмерных объектов. Показано, что форма и размеры нанокристалла вносят анизотропию в его упругие свойства — на анизотропию, связанную с видом кристаллической ре шетки, накладывается дополнительная анизотропия, вызванная его раз мерами и формой. Получено, что в определении размера нанообъекта существует принципиальный произвол, приводящий к неоднозначности многих макроскопических характеристик.

4. Предложена специальная форма уравнений движения твердого тела, удобная для описания движения больших систем взаимодействующих твердых тел. В частности, получен векторный аналог динамических уравнений Эйлера, решение которых позволяет определить не только проекции угловой скорости на оси подвижного базиса, но и ориента цию тела в пространстве;

уравнения движения твердого тела сведены к нелинейной системе векторных уравнений относительно двух вектор ных неизвестных: вектора кинетического момента и угловой скорости.

5. На основании аналитического решения перечисленных выше задач нели нейной термоупругости для различных упаковок частиц разработана методика численного моделирования методом частиц макроскопических процессов в твердых телах с микроструктурой. С помощью данной ме тодики решен ряд задач о сильном деформировании и разрушении твер дых тел.

6. Компьютерным моделированием методом частиц исследована задача об откольном разрушении при плоском ударном взаимодействии двух пла стин. Показано, что дисперсия скоростей частиц возбуждается фронтом ударной волны и следует за ним с некоторой задержкой, а в зоне отколь ного разрушения дисперсия имеет локализованный максимум. Доказа но, что при выходе ударной волны на свободную поверхность твердого тела не происходит возрастания дисперсии, аналогичного возрастанию массовой скорости частиц.

7. Моделирование откольного разрушения позволило дать объяснение экс периментальному факту взаимосвязи откольной прочности и дисперсии скоростей частиц. Показано, что при малой дисперсии происходит ло кализация зоны разрушения и, как следствие, охрупчивание материала.

Большие значения дисперсии приводит к размыванию фронта ударной волны и к интенсификации релаксационных процессов, что в конечном итоге приводит к повышению прочности материала.

8. Разработана методика создания поликристаллических компьютерных материалов с различными механическими свойствами. Предложенные методы основаны на последовательном приготовлении из единого на чального набора частиц серии образцов с различными параметрами ми кроструктуры.

9. Решена квазистатическая задача об одноосном сжатии призматических образцов из моно- и поликристаллического материала. Показано, что неупругое деформирование осуществляется в результате многократных перестроек внутренней структуры образца. Получены зависимости упру гих и прочностных характеристик от пористости материала.

10. Численно исследовано распространение ударной волны и откольное раз рушение в пористом кристаллическом материале. Показано, что пори стый материал может иметь повышенную устойчивость к откольному разрушению за счет поглощения энергии волны в результате преобра зования внутренней структуры материала. Показано разделение фронта ударной волны на упругий предвестник и пластический фронт. Исследо вана зависимость данного эффекта от величины пористости и скорости ударника.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Кривцов А. М. К теории сред с микроструктурой // Труды СПбГТУ.

1992. № 443. С. 9–17.

2. Кривцов А. М. Растяжение системы из четырех взаимодействующих атомов // Труды СПбГТУ. 1994. № 448. С. 176–178.

3. Кривцов А. М. Изотропная часть нелинейных определяющих уравне ний идеальной кристаллической решетки // Тр. СПбГТУ. 1995. № 458.

С. 132–140.

4. Кривцов А. М. Одномерные квадратичные отображения // Труды СПбГ ТУ. 1995. № 458. С. 141–151.

5. Кривцов А. М. Квазикоординаты в описании движения осесимметрич ного твердого тела в линейно вязкой среде // Труды СПбГТУ. 1997.

№ 467. С. 91–99.

6. Кривцов А. М. Стационарные движения несимметричного волчка // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 3. С. 28–38.

7. Krivtsov А. М. Stability and Bifurcation of Stationary Motions of Elastical ly Mounted Rigid Body // ZAMM · Z. angew. Math. Mech. 1997. V. 77.

№ S1. P. 171–172.

8. Krivtsov А. М., Zhilin P. A. Particle Simulation of Large Inelastic Defor mations // Transactions of the 14th Int. Conf. on Structural Mechanics in Reactor technology (SMiRT 14). Lyon. France. 1997. P. 121–128.

9. Кривцов А. М. Компьютерное исследование взаимосвязи между отколь ной прочностью и дисперсией скоростей мезочастиц // Труды XXV– XXVI летних школ Анализ и синтез нелинейных механических коле бательных систем. С.-Пб. 1998. Т. 2. С. 246–257.

10. Кривцов А. М., Мещеряков Ю. И. Компьютерное исследование возбужде ния дисперсии скоростей мезочастиц в результате прохождения ударной волны // Труды XXV–XXVI летних школ Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. С.-Пб. 1998. Т. 2. С. 258–267.

11. Krivtsov А. М. Molecular Dynamics Investigation of the Spall Fracture // Preprints of the Second International Workshop HI-TECH 98: Nondestruc tive Testing and Computer Simulations in Sciences and Engineering. St. Petersburg. 1998. C21.

12. Krivtsov А. М., Hofmann A., Staude J., Klvana M., Bumba V. Determina tion of the full velocity vector based on vector magnetograph measurements in an asymmetric sunspot // Astronomy & Astrophysics. 1998. V. 335. № 3.

P. 1077–1084.

13. Krivtsov А. М. Constitutive Equations of the Nonlinear Crystal Lattice // ZAMM · Z. angew. Math. Mech. 1999. V. 79. № S2. P. 419–420.

14. Krivtsov А. М. Computer Simulation of Spall Crack Formation // Structural Dynamics. EURODYN’99. Fryba & Naprstek (eds). 1999. Balkema. Rotter dam. P. 475–477.

15. Krivtsov А. М. Influence of Velocities Dispersion on Spall Strength of Material // ZAMM · Z. angew. Math. Mech. 1999. V. 79. № S2. P. 511–512.

16. Krivtsov А. М. Relation between Spall Strength and Mesoparticle Velocity Dispersion // International International Journal of Impact Engineering.

1999. V. 23. № 1. P. 466–476.

17. Krivtsov А. М., Mescheryakov Y. I. Molecular Dynamics Investigation of the Spall Fracture // Proceedings of SPIE. 1999. V. 3687. P. 205–212.

18. Krivtsov А. М., Wiercigroch M. Dry Friction Model of Percussive Drilling // Meccanica. 1999. V. 34. № 6. P. 425–435.

19. Krivtsov А. М., Wiercigroch M. Nonlinear Dynamics of Percussive Drilling of Hard Materials // CD Proc. of 1999 ASME Int. Design Engineering Techn. Conf.: 17th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise.

Las Vegas. Nevada. DETC99/VIB-8033. 6 p.

20. Krivtsov А. М. Simulating Perforation of Thin Plates Using Molecular Dynamics Approach. Proc. of International Conference “Shock waves in condensed matter”. St.-Petersburg. 2000. P. 158–160.

21. Кривцов А. М. Влияние вращающего момента ограниченной мощно сти на устойчивость стационарных движений несимметричного волчка // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 2. С. 33–43.

22. Кривцов А. М. Описание движения осесимметричного твердого тела в линейно вязкой среде при помощи квазикоординат // Изв. РАН. МТТ.

2000. № 4. С. 23–29.

23. Krivtsov А. М., Wiercigroch M. Penetration Rate Prediction for Percussive Drilling // Chaos, Solitons & Fractals. 2000. V. 11. № 15. P. 2479–2485.

24. Wiercigroch M., Krivtsov A.M., Wojewoda J. Dynamics of Ultrasonic Drilling of Hard materials / In Wiercigroch M. and de Kraker A. eds.

Applied Non-linear Dynamics and Chaos of Mechanical Systems with Discontinuities. World Scientific. 2000. 403–444.

25. Кривцов А. М. Метод молекулярной динамики и динамики частиц в мо делировании сильного неупругого деформирования и разрушения. Ан нот. докл. VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Пермь. Россия. 2001. С. 368.

26. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // ДАН. 2001. Т. 381. № 3. С. 825–827.

27. Krivtsov А. М. About Using Moment of Momentum and Angular Velocity Vectors // ZAMM · Z. angew. Math. Mech. 2001. V. 81. № 6. P. 393–403.

28. Krivtsov А. М. Second Order Equation of State for Lennard-Jones Chain // Proceedings of the XXVIII Summer School Actual Problems in Mechanics.

St.-Petersburg. Russia. 2001. V. 1. P. 79–90.

29. Krivtsov А. М., Wiercigroch M. Mechanical properties of polycrystal mate rials, molecular dynamics simulation // Proceedings of the XXVIII Sum mer School Actual Problems in Mechanics. St.-Petersburg. Russia. 2001.

V. 1. P. 71–78.

30. Krivtsov А. М., Wiercigroch M. Molecular dynamics simulation of impact fracture in polycrystalline materials // Book of Abstracts of EUROMECH Colloquium 425: Nonlinear Dynamics, Control and Condition Monitoring.

Aberdeen. UK. 2001. P. 39.

31. Krivtsov А. М., Wiercigroch M. Molecular Dynamic Simulation of Mecha nical Properties for Polycrystal Materials // Materials Physics and Me chanics. 2001. V. 3. № 1. P. 45–51.

32. Wiercigroch M., Krivtsov А. М. Frictional chatter in orthogonal metal cutting // Philosophical Transactions of the Royal Society A. 2001. V. 359.

№ 1781. P. 713–738.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.