авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Павел николаевич моделирование резинокорда с применением к задаче качения шины

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 539.3

ДЕМИДОВИЧ ПАВЕЛ НИКОЛАЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗИНОКОРДА С

ПРИМЕНЕНИЕМ К ЗАДАЧЕ КАЧЕНИЯ ШИНЫ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2007 г.

Работа выполнена на кафедре Механики композитов Механико-Мате матического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор С. В. Шешенин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. С. Кравчук доктор физико-математических наук, ст. науч. сотр. С. Г. Пшеничнов

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН (г. Пермь)

Защита состоится «28» сентября 2007 года в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д501.001.91 при МГУ им. М. В. Ломоносова, рас положенном по адресу: 119991, РФ, ГСП-1, г. Москва, Ленинские горы, Главное здание, Механико-Математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-Матема тического факультета МГУ (Главное здание, 14 эт.).

Автореферат разослан «24» августа 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор, Шешенин С. В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Автомобильная шина является высокотех нологичным изделием. Разработанная методами механики деформиру емого твердого тела (МДТТ) трехмерная модель шины востребована прежде всего при решении прикладных задач, важных для промышлен ности. Однако проблемы, возникающие в процессе моделирования шины, имеют и чисто научный интерес. Модель должна описывать сильную неоднородность в структуре шины, состоящей из резинокорда и рези ны;

анизотропию;

достаточно сложную геометрию изделия;

разнообразие условий эксплуатации. Также важно, чтобы модель позволяла решать различные контактные задачи для системы «колесо — дорога». Макси мально полно учесть особенности строения и поведения автомобильной шины можно при её численном моделировании как трехмерного вязко упругого тела. Наиболее подходящем численным методом является метод конечных элементов (МКЭ).

Расстояние между кордными нитями существенно больше, чем рас стояние между волокнами традиционных композитов. Однако непосред ственная аппроксимация на уровне корда требует столь мелкой дискре тизации рабочей области, что решение возникающих систем уравнений является непосильной задачей для компьютерных комплексов настояще го дня и ближайшего будущего. Поэтому широко используются гомоге низация и различные приближенные модели. К ним относятся модель кольца на упругом основании, модель эффективного кордного волокна, модель эффективного резинокордного слоя и др. Наиболее простой рас чет упругих модулей резинокорда производят при плоском напряженном состоянии, а методами теории оболочек определяют напряженно-дефор мированное состояние (НДС) шины в статической и динамической поста новках.

В развитии механики шин и резинокордных композитов участвовали отечественные и зарубежные специалисты, в частности, J. Rotta, F. Bhm,o В. Л. Бидерман и Б. Л. Бухин, R. Ridha, T. Akasaka, S. K. Clark, Э. И. Гри голюк и Г. М. Куликов, J. Padovan, H. Rothert, А. Е. Белкин, Б. Е. Победря и С. В. Шешенин и многие другие. Ими разработаны различные модели шины, применяемые при решении многих задач. Многообразие в подхо дах к расчету шины делает актуальным теоретико-экспериментальный анализ существующих моделей с целью выявления ограничений в их при менении. Практически важным является синтез различных моделей с целью повышения их универсальности. Также с практической и с теоре тической точек зрения представляют интерес исследования различных численных методов в их приложении к решению динамических контакт ных задач (например, задачи о наезде колеса на твердое препятствие).

Вышеизложенное и определяет актуальность темы диссертации.

Основными целями диссертационной работы являются сравнитель ный анализ различных моделей резинокорда, применяемых в инженер ной практике;

строгое описание эффективных свойств резинокорда на ос нове методики осреднения;

построение экспериментально-расчетной ме тодики определения упругих модулей резинокордных пластин;

теорети ческое и опытное обоснование адекватной модели резинокорда, в кото рой жесткости на растяжение, изгиб, сдвиг и поперечное сжатие задают ся независимо;

построение оболочечно-трехмерного конечного элемента;

формулировка и реализация контактной задачи.

Научная новизна работы определена тем, что – проведен сравнительный анализ методик для определения упругих модулей резинокордных пластин;

– по результатам опытов на растяжение образцов с различными корд ными углами поставлена и численно решена обратная задача опреде ления упругих модулей компонент — обрезиненного корда и резины;

– для моделей эффективного волокна и эффективного резинокордно го слоя экспериментально-аналитически исследована возможность со гласованного учета изгибных, растягивающих и сдвиговых жестко стей резинокорда, из чего сделан вывод об актуальности описания резинокорда оболочечно-трехмерными элементами;

– описаны эксперименты, необходимые для задания материальных кон стант резинокорда в рамках предложенной модели резинокорда;

– для резинокорда построен слоистый конечный элемент, в котором жесткости на изгиб, растяжение, сдвиг и поперечное сжатие задаются независимо;

– построен программный модуль для расчета НДС шины при её дина мическом контакте с твердой дорогой для случаев стационарного и нестационарного качений.

Достоверность полученных результатов обусловлена коррект но поставленными экспериментами, статистической обработкой опытных данных, экспериментальным обоснованием оболочечно-трехмерной моде ли резинокорда, использованием строгих математических методов и про веренных численных алгоритмов. Результаты численных экспериментов согласуются с решениями аналогичных задач, полученными другими ме тодами.

Практическая ценность диссертации заключается в разработанной экспериментально-расчетной методике определения упругих модулей ре зинокорда и приложении полученных результатов к решению практиче ски важных контактных задач. Указанная методика и созданный про граммный модуль использовались при выполнении работ по грантам РФФИ и АФГИР.

На защиту выносятся:

1. экспериментально-расчетная методика определения эффективных мо дулей резинокорда;

2. построенная и экспериментально обоснованная оболочечно-трехмер ная модель резинокорда;

3. постановка и программный модуль решения задач о контакте колеса с дорогой в динамической постановке для случаев стационарного и нестационарного качения.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертаци онной работы докладывались и обсуждались на 14 и 15 Международных симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2003 и 2004 г.г. (г. Москва);

на Международном научном симпозиуме по пробле мам механики деформируемых тел, посвященном 95-летию со дня рожде ния А. А. Ильюшина в 2006 г. (г. Москва);

на научных конференциях «Ло моносовские чтения» в 2003, 2004 и 2006 г.г. в МГУ им. М. В. Ломоносова (г. Москва);

на научных семинарах кафедры «Механики композитов»

(под руководством профессора Б. Е. Победри).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 9-ти научных публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе ния, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы.

Работа изложена на 113-ти страницах машинописного текста, содержит 42 рисунка, список использованных источников из 101 наименования.

Краткое изложение диссертации Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представле ны выносимые на защиту научные положения.

В Обзоре литературы рассмотрены вопросы механики шин и опи саны работы отечественных и зарубежных авторов, относящиеся к теме диссертации.

Первая глава посвящена экспериментально-аналитическому анали зу различных методов определения упругих свойств резинокорда.

В § 1.1 рассмотрена структура легковой шины, приведена классифи кация шин по строению каркаса, показаны различия между диагональ ными и радиальными шинами. Далее описывается строение основного материала шины — резинокордного слоя. Обсуждаются трудности, возни кающие при изучении резинокорда. Указывается, что серьезные осложне ния обусловлены значительным — на несколько порядков — различием в механичеких свойствах резины и корда;

практической несжимаемостью резины;

геометрической нелинейно 7. стью, характерной для эксплуата 6. ционных нагрузок. Приводится экс 5., / периментальная зависимость напря 4. жения от относительного удлинения 3. при одноосном растяжении плоско 2. го образца, из чего сделан вывод о 1. допустимости применения упругих 0. моделей резинокорда (см. рис. 1).

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3., % Модель резинокорда, основанная на технике осреднения, обсуждает Рис. 1. ся в § 1.2. Однослойный резинокорд, у которого кордные нити расположены параллельно, моделируется как волокнистый композит. Двухслойная пластина обладает иерархической структурой, как показано на рис. 2, так что на втором этапе резинокорд гомогенизируется как слоистый ком позит. Для случая плоско-напряжен ного состояния модель двухслойно- Рис. 2.

го резинокорда можно упростить и рассматривать один «±–слой», как показано на рис. 3. Плоская модель основана на гипотезе о жестком сцеплении между слоями. В опытах на одноосное растяжение межслойными эффектами можно пренебречь вда ли от кромок образца.

В §1.3 подробно рассматривают ся наиболее популярные приближен- ные методы расчета плоских моду лей резинокорда. Для сравнительно- Рис. 3.

го анализа были выбраны следую щие соотношения:

формулы Akasaka–Hirano EL = Ec c + Eg (1 c ) GLT = Gg g = 0.25 · ET (1) 4 Eg ET = = 4Gg g LT = 0. 3 g уравнения Нalpin–Tsai Gg [Gc + Gg + (Gc Gg )c ] EL = Ec c + Eg (1 c ) GLT = Gc + Gg (Gc Gg )c (2) Eg (1 + 2c ) LT = c c + g (1 c ) ET = 1 c и формулы Gough–Tangorra EL = Ec c + Eg (1 c ) GLT = Gg (1 c ) (3) 4Eg (1 c ) [Ec c + Eg (1 c )] ET = LT = 0. 3Ec c + 4Eg (1 c ) Индексы c и r обозначают корд и резину соответственно. Направление вдоль волокна обозначено буквой L, а поперечное направление — индек сом T ;

c — объемная концентрация корда. Модули задаются в системе координат, когда одна из осей направлена вдоль корда. Из соотношений (1) выводятся расчетные формулы для плоской модели двухслойных об разцов ET C1111 = c4 EL + ET, C1122 = c2 s2 EL + C2222 = s4 EL + ET, C1112 = 0 (4) ET C2212 = 0, C1212 = c s EL + здесь c = cos() и s = sin() — функции кордного угла, равного по опре делению половине угла между волокнами. Направления 1 и 2 являются главными, как показано на рис. 3. В заключительной части параграфа установлено, что два слоя резинокорда не симметричны относительно срединной плоскости, следствием чего является взаимное влияние крут ки и растягивающего усилия. Для случая шины, обжатой на поверхность, это означает отсутствие симметрии в пятне контакта, что согласуется с наблюдениями.

В работах Б. Е. Победри и В. А. Молькова развита модель волокнисто слоистого композита как среды, периодической по трем направлениям.

Краткому описанию модели посвящен §1.4. Преимуществом такого под хода является в частности то, что он позволяет рассчитать все упругие модули, а не только «плоские», хотя и с разной степенью достоверно сти. Полученные расчетные схемы были впоследствии применены для резинокорда С. В. Шешениным и С. А. Маргаряном. Модифицированный автором программный модуль далее используется для сравнительного анализа различных моделей резинокорда.

В §1.5 описывается серия эксперимен тов на одноосное растяжение двухслой ных образцов, проведенных с целью срав нительного анализа «плоских» модулей резинокорда и определения поперечного модуля. Опыты проводились в Институ те механики МГУ на испытательной ма шине фирмы ZWICK. Автор выражает благодарность сотрудникам НИИ механи ки П. В. Чистякову и А. В. Муравлеву за содействие в организации экспериментов.

Внешний вид установки представлен на рис. 4. Использовались двухслойные пла стины размером 320 80 2 мм. Испытан ные образцы были однотипными, т. е. сов падали по структурным и геометрическим характеристикам своих компонент. Разли чия касались только кордных углов, при Рис. 4. нимавших значения 00, 100, 150, 200, 250, 300, 400, 600 и 900. Концентрация волокон, определяемая как отношение объёма корда к объёму слоя, составляла 12% (c = 0.12). Также имелись контрольные двухслойные пластины без корда для измерения модуля резины. Для каждого образца была определена экспериментальная зави симость, характерный вид которой представлен на рис. 1. Эффек тивный модуль Юнга аппроксимировался методом линейной регрессии.

В результате была получена эмпирическая зависимость E эфф от корд ного угла. Аналогичные зависимости были вычислены для некоторых приближенных моделей. Результаты сравнения представлены на рис. 5.

График Homogenization simplified соответствует «формуле смесей». Кри вая Homogenization вычислена в рамках модели, описанной в §1.4. Ли нии FE 2D Link elements и FE 3D Link elements соответствуют двух- и трехмерной модели. Они были получены в результате численного моде лирования опыта на одноосное растяжение методом конечных элементов.

По результатам экспериментальной проверки инженерных методик был сделан вывод об их достаточной точности при вычислении модуля Юнга для практически важных углов 200.

В §1.6 исследована обратная задача определения модулей обрезинен ного корда и резины по известному продольному модулю резинокорда.

Показано, что для решения задачи достаточно одних лишь опытов на одноосное растяжение двухслойных образцов с различными кордными ZWICK Halpin-Tsai Gough-Tangorra, / Akasaka-Hirano Boem Homogenization Simplified Homogenization 30 40 50 60 70 80 FE 2D Link elements FE 3D Link elements 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90, Рис. 5.

углами. Искомые модули Er и Ec были вычислены с помощью модифи цированного метода Ньютона:

H(1) H(1) Eg Ec exp n n H(1) Eg, Ec E(1) n+1 n Eg Eg n · · = (5) exp n n n+ H(2) Eg, Ec E(2) Ec Ec H(2) H(2) Eg Ec exp exp здесь E(1) и E(2) взяты из опытов и соответствуют двум разным углам i i 1 и 2 ;

Eg, Eс — i-ые приближения для модулей резины и корда;

— итерационный параметр, улучшающий сходимость алгоритма (обычно он принимался равным 0,5). Расчетная схема, по которой модули резино корда вычисляются через модули его изотропных компонент, обозначена как H. Таким образом, функция H(Ec, Er, ) может быть соотнесена с любой приближенной моделью из рассмотренных в §1.5. Численный экс перимент был проведен с использованием метода осреднения, рассмот ренного в §1.4. Выбор обусловлен во-первых тем, что по результатам §1.5 метод продемонстрировал хорошую аппроксимацию опытных дан ных. Во-вторых, указанная модель позволяет находить все (а не только «плоские») модули резинокорда. Поскольку в этом случае аналитическая форма у функции H отсутствует, дифференцирование проводилось тоже численно. Была установлена сходимость схемы (5) для следующих пар углов: 00 /250, 00 /900, 100 /900, 250 /600 и некоторых других. При этом расхождение между значениями вычисленного модуля резины и изме ренного в эксперименте не превысило 7-ми%. Далее, метод был проверен на контрольном образце с = 200 по следующей схеме:

ef f exp exp exp E1, E2 (Eg, Ec ) E(200 ) сравнить с E(200 ) (6) В этом случае ошибка оказалась в районе 3-х%. Вообще, обратный алго ритм показал хорошие результаты, когда хотя бы один из кордных углов достаточно мал ( 250 ). Расходимость при бльших углах можно объ o яснить тем, что при больших углах продольная жесткость резинокорда слабо зависит от модуля корда. Ценность предложенной методики состо ит в том, что она позволяет сравнительно дешево определить свойства обрезиненного корда, которые не совпадают с его первоначальными свой ствами.

Проблема определения попереч z, ного модуля резинокорда на сжатие R R h и жесткости резинокорда на изгиб eff d обсуждается в §1.7. Были рассмот- R рены две модели резинокорда: мо дель эффективного волокна (левый Рис. 6.

рис.6), применяемая для определе ния «плоских» модулей резинокорда, и модель эффективного слоя, ко торая используется при моделировании качения шины (правый рис.6).

Подробно исследован модуль на поперечное сжатие E3. С помощью ко нечно-элементных расчетов в рамках моделей эффективного волокна бы ла изучена зависимость модуля от концентрации корда. Установлено, что формулы, применяемые для вычисления ET, удовлетворительно аппрок симируют модуль E3, если концентрация корда не превосходит 15-ти%.

Далее, рассматривалась трехмерная конечно-элементная модель резино z, корда как среды, периодической по двум направлениям, представленная y, на рис.7. Изучена зависимость попе речного модуля от отношения L1 /L длины и ширины ячейки перио L дичности. Установлено, что только при малых концентрациях корда (до L x,1 15%) допустимо этой зависимостью пренебречь. С ростом относительно Рис. 7. Ячейка периодичности го содержания корда зависимость модуля E3 от отношения L1 /L3 становится более выраженной, что важно, поскольку для практического значения L1 /L3 = 2.77 концентрация суще ственно больше 15-ти%. Поскольку сама модель эффективного волокна не представляется адекватной для вычисления поперечного модуля ре зинокорда E3, для определения модуля E3 были поставлены опыты на сжатие резинокордных пластин. Эксперименты проводились в Институ те механики МГУ на испытательной установке фирмы ZWICK (рис. 4).

Были использованы те же двухслойные образцы, описанные в §1.5. Об разец закреплялся на плоской станине, расположенной в рабочей части машины, и прессовался с помощью цилиндрических инденторов. Всего в опытах применялось два однотипных стальных индентора с различны ми диаметрами: d1 = 45 мм и d2 = 22 мм. В результате были получены экспериментальные зависимости, по которым методом линейной exp регрессии был определен модуль E3. При сравнении его значения с из exp exp exp 2 · ET. Сделан вы меренным в §1.5 модулем ET, установлено: E вод, что модуль E3 нельзя аппроксимировать по приближенным форму лам, принятым для расчета модуля ET. Нельзя применять и саму модель эффективного волокна. Это означает, что для определения модуля E3 из решения задачи на ячейке периодичности необходимо задавать реальную структуру корда. Однако, вероятно надежнее модуль E3 определять экс периментально. В тоже время отмечено, что для определения «плоских»

модулей модель эффективного волокна является вполне приемлемой.

Для модели эффективного слоя L (правая часть рис.6) была подроб w но исследована проблема определе ния эффективной толщины h. Из L условия E3 f = E3 было выведе ef exp но неравенство 0, 7 h/H 1, 0, где Рис. 8. Схема опыта на изгиб H — полная толщина пластины, h — толщина эффективного слоя. С дру гой стороны, из условия совпадения изгибных жесткостей, рассчитанных по модели эффективного волокна и модели эффективного слоя, получе но: h/H 0, 5. Жесткость на изгиб Dexp была определена также из опы та, схематично представленного на рис.8. Для сравнения, эффективная жесткость на изгиб Def f рассчитывалась в рамках двухслойной модели эффективного слоя с использованием гипотезы эффективного волокна.

В результате было получено:

Dexp 7000 [Н · мм] Def f 10000 [Н · мм] (7) т.е. экспериментальная жесткость еще меньше, чем дает гипотеза эффек тивного волокна. В итоге сделан вывод о невозможности выбрать толщи ну эффективного слоя так, чтобы достаточно хорошо аппроксимировать и модуль E3, и жесткость на изгиб.

К сожалению, современный уровень вычислительной техники не поз воляет более детально учесть строение шины при решении краевых задач и отказаться от модели эффективного слоя. Однако, если моделировать резинокордный слой специальным конечным элементом, то тогда жест кости на растяжение, изгиб, сдвиг и сжатие можно задавать независимо.

В §1.8 изложен способ моделиро вания резинокорда с помощью обо лочечно-трехмерного элемента, схема тично показанного на рис.9. Модель резинокорда при растяжении и изги бе, получаемая методом осреднения, записывается так:

(1) NIJ = AIJP Q eP Q + BIJP Q P Q (8) (2) MIJ = BIJP Q eP Q + DIJP Q P Q здесь NIJ и MIJ — усилия и крутящие Рис. 9.

моменты в плоскости пластины, eP Q и P Q — растяжения, сдвиги и крутки, AIJP Q — растягивающие и сдви (1) говые эффективные жесткости, DIJP Q — эффективные изгибы, BIJP Q, (2) BIJP Q — эффективные жесткости взаимного влияния. Растягивающие, (1) (2) изгибные и смешанные жесткости BIJP Q, BIJP Q задаются выражениями +H/2 +H/ (1) QIJP Q d AIJP Q = PIJP Q d3, BIJP Q = H/2 H/ (9) +H/2 +H/ (2) BIJP Q = 2 DIJP Q = 3 3 QIJP Q d 3 PIJP Q d3, H/2 H/ здесь PIJP Q и QIJP Q находятся из решения задачи на ячейке периодич ности. Интегралы берутся по периодической ячейке. Для резинокорда интегрирование ведется поперек толщины, а локальные задачи являют ся одномерными.

Отметим, что жесткости на растяжение и изгиб можно также опреде лить из экспериментов. Формулы (8), (9) годятся для нескольких слоев резинокорда. Для одного слоя формулы (8) упрощаются NIJ = AIJP Q eP Q, MIJ = DIJP Q P Q Выражение энергии имеет вид W (a1, a2 ) = HAIJP Q e1 e2 Q + H 3 DIJP Q 1 2 Q (10) IJ P IJ P Построение конечного элемента для резинокорда было проведено в четыре этапа:

1. аппроксимация энергии (10) при помощи функций формы срединной плоскости и узловых переменных в срединной плоскости;

2. аппроксимация энергии поперечного обжатия;

3. применение три-линейных функций формы для аппроксимации энер гии поперечного сдвига;

4. выражение узловых неизвестных срединной плоскости через узловые перемещения в вершинах трехмерного элемента (см. рисунок 9).

Далее, в качестве примера было продемонстрировано применение сло истого элемента в моделировании резинокорда.

В выводах к параграфу отмечено то преимущество оболочечно-трех мерного элемента, что матрица жесткости элемента выражена в терми нах продольных, изгибных и поперечных жесткостей резинокорда, кото рые задаются как независимые входные параметры. Особенно целесооб разно использование этого элемента для моделирования резинокорда с текстильным кордом.

Во второй главе излагается методика решения задач стационарного и нестационарного качения шины с использованием полностью Лагран жевого подхода и полностью трехмерных конечных элементов.

В §2.1 осуществлена постановка краевой задачи в начальной области V, отнесенной к моменту t0. В текущий момент времени t шина занимает объем V. В уравнении движения использован первый тензор Пиола – Киргоффа P = JF 1 · T :

0..

0 · P (r) = R, r V (11) здесь R = R(X1, X2, X3, t) — радиус-вектор материальной точки в ак туальной конфигурации;

в начальной конфигурации радиус-вектор обо значен как r = xi ki ;

через Xi, i = 1, 2, 3 обозначены декартовы коорди наты xi в момент t0 ;

— плотность в начальной конфигурации. Также использованы тензор Коши T, градиент места F T = R, якобиан преоб 0 разования начальной конфигурации в текущую J = dV /d V. Через и обозначены градиенты в начальный и текущий моменты соответственно.

Начальная и актуальная граничные поверхности тела (соответственно ) разбиты на четыре части: = u c p ext. На p с норма лью N приложено внутреннее давление p (N · T = p N ), так что на недеформированной поверхности с нормалью n выполнено соотношение 0 n · P = p J n · F 1 = p J N, r p (J = d/d ) (12) Внешняя поверхность ext шины свободна от нагрузки n · P = 0, r ext (13) На u заданы перемещения r u R = R0, (14) причем положено, что R0 = Q · r + vt, где Q = sin( t) sin( t) — cos( t) t) cos( матрица поворота. Компонента переносной скорости удовлетворяет соот ношению (здесь через d обозначена осадка колеса): vпер = Rtire (1 d).

Контактные условия на поверхности c сформулированы в §2.2.

При записи вариационного уравнения, 2-ой тензор Пиола – Кирго фа S был использован для подобласти V rc, занимаемой резинокордом.

В подобласти V r, которая заполнена резиной, применялся 1-ый тензор Пиола – Киргофа P :

0..

0 0 0 (w w0 )T d V + R ·(w w0 )d V = S(u) : (w w0 )d V + P (u) :

0 0 Vr Vrc V 0 = p J N · (w w0 ) d p + J S c (u) · (w w0 ) d c 0 p c Здесь ww0 — возможное перемещение, удовлетворяющее нулевому гра ничному условию на u ;

S c — вектор контактных усилий, существенно нелинейно зависящий от перемещения;

двойное скалярное произведение обозначено как двоеточие. Задание S c (u) дано в следующем параграфе с помощью контактного алгоритма.

Определяющее соотношение для резины записано через потенциаль ную энергию деформирования W, которая разбита на сумму потенциа лов, характеризующих сдвиг и объемную деформацию:

W P=, W = Wshear + Wvol (15) F Сдвиг аппроксимировался потенциалом Муни – Ривлина Wshear = C10 (I 1 (G)3)+C01 (I 2 (G)3)+C20 (I 1 3)2 +C30 (I 1 3)2 (16) здесь I 1 (G), I 2 (G), I 3 (G) — приведенные инварианты тензора деформа ции, определенные в виде F I = I (F ), F=, = 1, 2, (detF )1/ Объемный потенциал задавался следующем образом K (detF 1) Wvol = (17) где K — модуль объемного сжатия и / или параметр штрафа.

Определяющее соотношение для резинокорда задавалось в скоростях S = C rc : 0 (18) здесь модули C rc считались постоянными;

0 = 1/2(G I);

G = F T F.

Использовалось также определяющие соотношение для резины, запи санное в скоростях 2w P= 2 :( u) (19) F Таким образом была сформулирована нелинейная краевая задача в частных производных — соотношения (11) - (14) плюс условия контакта — на нахождение вектора R (или вектора перемещения u = R r). За дача решалась с помощью дискретизации по параметру t, так что опре делялся вектор R = Rt+t Rt. Удерживая лишь члены, линейные относительно приращения перемещения u = ut+t ut, запишем 2W..

0 0 u) = R, · 2 :( (20) F Преобразуем краевые условия на u u = R0, r u (21) и краевые условия на p (давление считается постоянным) n · P (u) = p (J N ) (22) В результате было получено..

0 0 ·[C m : ( um )T ] = Rm C m = C(Rm ) (23) m+ R, Rm = R(tm ), tm = mt, m = 1, 2,...

m m u =R Аппроксимация граничного условия (22) производилось на внутренних итерациях, которые являются одновременно и итерациями контактного алгоритма.

Для уравнения движения и граничных условий верны следующие при ближенные соотношения....

0 0 ·[C m : ( um,s )T ] = Rm,s Rm1 (24) um,s = (R0 )m, r 0 (25) u 0 m,s n · [C m : ( N m,s1 J N m m um,s )T ] = p (26) J здесь через s обозначен номер текущей итерации;

um,s – s-ая итерация вектора um, так что um,0 = um1. Приращение перемещения um в левой части (26) соответствует s-ой итерации, в то время как правая часть отнесена к (s 1)-ой итерации.

Так была осуществлена постановка задачи движения шины относи тельно неподвижной системы отсчета. Однако известно, что задачу удоб нее решать в системе отсчета, которая вращается вместе с колесом. Для этого случая полное ускорение было представлено как сумма ускорений относительного, центробежного и Кориолисова a = [ (r + u)] 2 v r + ar или в приращениях a = [ (u)] 2 v r + ar где u и u – относительное перемещение и приращение относительного перемещения во вращающейся системе;

ar и v r – относительные скорость...

и ускорение соответственно: ar =u, v r =u, считалась постоянной.

Был рассмотрен следующий класс задач: шина катится стационарно и наезжает на препятствие небольшого размера. Соответственно, при ближенно полагалось, что угловая скорость вращения обода колеса не изменяется: = const. Приращения относительных скорости и ускоре ния выражались через приращение перемещения a = A1 u A2 v(t) (A3 + 1)a(t) v = [(1 ) · a(t) + · a(t + t)]t где A1, A2, A3 и – известные константы метода Ньюмарка.

Все члены с um,s добавляются в матрицу жесткости, остальные – в правую часть. Сформулированное выше справедливо как для нестаци онарного, так и стационарного вращения. Различие заключается в том, что в последнем случае производная по времени заменяется дифферен цированием по углу.

Уравнение движения в приращениях в случае стационарного враще ния использовано в виде 2 ui C ijpq (Rm )up,q + 2 =0 (27),j Здесь учтено, что вектор поворота имеет единственную координату, от личную от нуля: = (0, 0, ) и = const. На начальном шаге m = решалась статическая задача о раздувании шины внутренним давлени ем с учетом центробежных сил C Ijpq (Rm )up,q + 2 x0 = I,j (28) C 3jpq (Rm )up,q =,j I = 1, 2, i, p, q, = 1, 2, здесь пренебрегается изменением геометрии вследствии надува шины внутренним давлением. В уравнении (27) учтено изменение центробеж ных сил в результате относительных перемещений шины, вызванных контактом с дорогой. Наличие последнего члена в уравнении (27) су щественно усложняет решение задачи при больших скоростях поскольку приводит к потере сильной эллиптичности (положительной определен ности) краевой задачи и результирующей линейной системы алгебраиче ских уравнений.

В §2.2 описан контактный алгоритм для решения задач в прираще ниях на основе закона Кулона, записанного следующем образом:

|S T | k|N | тогда если N 0 и uT = 0, (29) ST uT |S T | = k|N | тогда = если N 0 и |S T | |uT | здесь вектор напряжения S разложен S N = N · N + S T на тангенци N альную S T и нормальную N · N составляющие. Используемый контакт ный алгоритм впервые был предложен А. С. Кравчуком. Полагалось, что контакт колеса с дорогой описывается уравнением f (R, t) = 0 таким об разом, что шина расположена в области пространства, соответствующем неравенству: f (R, t) 0. Граничные условия условия на контактирую щей поверхности имеют вид если f (Rm+1,s1, tm ) 0 тогда n · [C m : ( um,s )T ] = 0, если f (Rm+1,s1, tm ) 0 тогда n · [C m : ( um,s )T ] = (J S c )m,s здесь через S m,s обозначена s-ая итерация для вектора напряжения кон c тактной поверхности, вычисленного для момента времени tm. Правая часть (J S c )m,s расписывается следующим образом (J S c )m,s = (J S c )m+1,s (J S c )m m+1,s m+1,s здесь S m+1,s = S T · N. Для решения системы (29) был + N c использован итерационный метод на основе оператора проектирования.

Итерации S m+1,s, N m+1,s вычислялись по формулам T m+1,s = PT [S m+1,s1 + T um,s1 ] ST T T m+1,s = PN [ m+1,s N dm,s1 ] N здесь через dN обозначено расстояние от узла до препятствия. Оператор проекции был выбран в виде:

0, N PN (N ) = N, n (30) m,s S T, |S T | k|N | ST PT (S T ) = m,s1 m,s |, |S T | k|N | k|N |S T | где N и T – параметры итераций. В качестве начального приближения можно положить (J S c )m+1,0 = (J S c )m (J S c )m1. Однако числен ные тесты показали, что начальные значения не играют существенной роли для контактного алгоритма.

Контактный итерационный алгоритм на каждой итерации ”s” приво дит к линейной задаче. Для решения этой внутренней задачи использо вались как итерационный, так и прямой методы. Если внутренний метод итерационный, то оба алгоритма, рассмотренные в совокупности, состав ляют так называемый двухступенчатый метод. Главной его особенно стью является то, что для достижения высокой общей точности доста точно небольшого числа внутренних итераций. В численных эксперимен тах пороговая точность внутренних итераций задавалась равной 0, 5 или 0, 7. Для решения внутренней задачи нами также применялся прямой ме тод. Это позволило сделать вывод об оптимальности выбранной точно сти внутреннего итерационного процесса, поскольку при её дальнейшем повышении время расчета увеличивалось без существенного улучшения результирующей точности. Более того, для плохо обусловленных матриц жесткости (для модели шины этого свойства избежать не удается) из лишне сильное требование к точности внутренних итераций приводит к расходимости алгоритма.

Скорость сходимости метода (30) продемонстрирована на графиках 10. На верхнем рисунке построена за висимость числа внешних итераций, необходимых для для достижения точности 0.01, от контактных итера ционных параметров. Для расчета оба итерационных параметра выби рались равными. Коэффициент тре ния принимался равным 0.8. Ниж няя диаграмма демонстрирует зави симость времени счета (в минутах) от контактных итерационных пара метров. Можно заметить качествен ную корреляцию обоих графиков, однако минимумы не совпадают. Обе кривые не являются монотонными, что затрудняет априорную оценку оптимальных значений для парамет ров итерации.

Установлено, что наилучший вы бор итерационных параметров повы- Рис. 10.

шает эффективность метода до 25%.

Однако следует учесть, что в случае нелинейного анализа существенная доля полного расчетного времени затрачивается на формирование гло бальной матрицы жесткости. С другой стороны, настройка оптимальных итерационных параметров возможна с помощью упрощенных предвари тельных расчетов. В качестве тестового расчета была решена задача о колесе, катящемся по твердой плоскости. При больших значениях пара метров поведение контактного алгоритма оказалось неустойчивым. Мо нотонную сходимость можно получить, ограничив область значений па раметров итерации окрестностью единицы. В более сложных задачах, например при наезде на цилиндрическое или сферическое препятствие, оказалось, что для достижения устойчивой сходимости и сокращения времени счета итерационные параметры следует выбирать существенно меньше.

В §2.3 описана конечно-элемент ная модель радиальной шины, в которой использованы резинокорд ные слои трех типов. Слой, при мыкающий к ободу колеса, соответ ствует каркасу шины и имеет корд ный угол 900. Над ним расположе ны два резинокордных слоя с уг лами ±, которые моделируют бре кер шины. Четвертый слой модели рует область, расположенную непо средственно под протектором, кото рая укреплена нейлоновыми нитя ми. Все слои однородны, и их меха Рис. 11.

нические свойства определялись по методике, развитой в [7]. Важными элементами модели являются рези новые прослойки. Рассмотрены случаи: прослойки отсутствуют или рас положены лишь между резинокордными слоями разных типов («модель 1») и резиновая прослойка также разделяет слои брекера («модель 2»).

Для второй модели получено несим метричное распределение давления в пятне контакта, что согласуется с экс периментальными данными. Напротив, в рамках первой модели окружное на правление является главным и распре деление усилий в зоне контакта остает ся симметричным.

Конечно-элементное разбиение ил люстрирует рис.11. Количество узлов Рис. 12. по толщине равно восьми для первой модели и девяти для второй. Равномерная в окружном направлении сет ка показана на рисунке 12. Для вычислений мы использовали следующее разбиение: от 6 до 9 узлов по толщине шины, от 47 до 67 узлов в мери диональном направлении и до 144 узлов в окружном направлении.

Для построения сетки в меридиональном сечении была написана про грамма. Она работает с произвольным числом слоев и произвольным числом граничных поверхностей, которые задаются координатами своих узлов. На толщину отдельного слоя также нет ограничений. После успеш ного разбиения плоского сечения полученная сетка распространяется на весь объем, занятый шиной.

В §2.4 с помощью численных экспериментов исследована работоспо собность построенных выше моделей. Процесс моделирования наезда на препятствие следующий. На первом этапе решается задача об установив шимся качении колеса. Найденное решение используется как начальное условие при рассмотрении дальнейшего качения. Установлено, что упру гая модель накладывает известное ограничение на максимальную ско рость, для которой возможно получить решение. Было проведено боль шое число тестовых вычислений для случая стационарного качения в линейно-упругой постановке. Оказалось, что предельная скорость вра щения, при которой вычислительные алгоритмы демонстрируют устой чивость, зависит от размера конечно-элементной сетки, коэффициента Пуассона и того факта, является ли конечно-элементное разбиение ши ны равномерным или неравномерным в окружном направлении.

В большинстве тестов принима лось, что динамический радиус ко леса составляет 93% от начально го радиуса. В задаче об обжатии неподвижной шины на твердую по верхность итерационный алгоритм сходится для коэффициента Пуас сона, меньшего или равного 0.497.

Бльшая устойчивость алгоритма o наблюдалась при = 0.495, но опять же для случая неподвижной шины.

Было определено, что предельное значение коэффициента Пуассона, при котором работают прямые мето- Рис. 13. Деформирование сетки ды, составляет 0.49. При прямом ме- при наезде на цилиндрическое пре тоде на решение системы из 46000 пятствие. Ск-ть – 70 км/ч, ко линейных уравнений было затраче- эфф.трения – 0.8, кордный угол но приблизительно 3.3 мин. (процес- брекера – сор Pentium3 с тактовой частотой 1GHz), причем потребовалось 500M b оперативной памяти. Максимальный размер системы, решенной нами при = 0.49 итерационно, составлял 260000 уравнений при требуемом объеме памяти всего лишь в 187M b. Были проведены тестовые расчеты для выяснения влияния сил инерции на сходимость метода. Установлено, что максимально допустимый размер обращаемой матрицы существенно зависит от угловой скорости вращения колеса. В завершении парагра фа с помощью рисунков продемонстрированы возможные распределения нормальных и касательных составляющих поверхностных усилий в зоне контакта колеса с дорогой.

В Заключении кратко сформулированы итоги работы:

- Рассмотрены и проанализированы на предмет корреляции с опытны ми данными известные приближенные подходы к определению «плос ких» модулей резинокорда.

- Построена замкнутая расчетно-экспериментальная методика опреде ления «плоских» упругих модулей резинокорда, на основе лишь опы тов на одноосное растяжение плоских образцов. Модули резины и кор да определяются путем решения обратной задачи с помощью модифи цированного итерационного метода Ньютона.

- Предложен конечный элемент, отражающий специфические свойства резинокордного композита, в котором независимо задаются продоль ные модули, изгибные жесткости и жесткости на поперечное сжатие.

- Осуществлена постановка контактной задачи стационарного и неста ционарного качения для колеса, катящегося по твердой дороге, с уче том силы трения в рамках закона Кулона. Линеаризация задачи ка чения по времени осуществлена с использованием метода Ньюмарка, записанного в приращениях. Применен двухступенчатый итерацион ный алгоритм решения контактной задачи. Проведены численные те сты для случаев стационарного и нестационарного движения, в случае наезда на препятствие.

- Численно исследована зависимость результатов решения контактной задачи от скорости вращения колеса. Получены распределения кон тактных усилий в зоне контакта;

Основные результаты диссертации:

1. Осуществлено обоснование и построение оболочечно-трехмерной мо дели резинокорда;

2. Разработаны механическая модели и численный алгоритм для моде лирования стационарного и нестационарного качения шины.

Список публикаций по теме диссертации 1. Демидович П. Н., Шешенин С. В. О вычислении свойств резинокор да // Тезисы науч. конф. «Ломоносовские чтения». — г. Москва: МГУ, апрель 2003г. — С. 48–49.

2. Демидович П. Н., Шешенин С. В., Чистяков П. В. Об определении механических свойств резинокордного материала // 14-ый междуна родный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов». — Т. 1. — г. Москва: НИИШП, 20-24 октября 2003г. — С. 137–141.

3. Шешенин С. В., Демидович П. Н. К определению эффективных свойств резинокорда // Тезисы науч. конференции «Ломоносовские чтения». — г. Москва: МГУ, апрель 2004г. — С. 161–162.

4. Шешенин С. В., Демидович П. Н. Анализ методов определения упру гих свойств резинокорда // 15-ый международный симпозиум «Про блемы шин и резинокордных композитов». — Т. 2. — г. Москва: НИИ ШП, 18-22 октября 2004г. — С. 195–197.

5. Шешенин С. В., Демидович П. Н. Применение метода осреднения для построения слоистого конечного элемента // Сб. тр. Междунар. симп.

по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А. А. Ильюшина. — М.: URSS, 19-20 янв. 2006г. — С. 432–437.

6. Демидович П. Н., Михаленко А. П., Шешенин С. В. Построение сло истого конечного элемента резинокорда // Тезисы науч. конф. «Ломо носовские чтения». — г. Москва: МГУ, апрель 2006г. — С. 61.

7. Демидович П. Н. Теоретико-экспериментальное определение эффек тивных свойств резинокорда. — М.: Моск. гос. ун-т., 2007. — 29 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 09.04.2007 №400-B2007.

8. Шешенин С. В., Демидович П. Н. Трехмерное моделирование стаци онарного и нестационарного качения шины. — М.: Моск. гос. ун-т., 2007. — 22 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 12.07.2007 №720-B2007.

9. Шешенин С. В., Демидович П. Н., Чистяков П. В., Муравлев А. В.

Определение модулей резинокорда при плоско–напряженном состоя нии // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика, Механика. — 2007. — № 5. — С. 49–53.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.