Оценка предельных возможностей систем виброзащиты машин, приборов и оборудования
На правах рукописи
ИМЫХЕЛОВА МАРИНА БАДМАЕВНА ОЦЕНКА ПРЕДЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СИСТЕМ ВИБРОЗАЩИТЫ МАШИН, ПРИБОРОВ И ОБОРУДОВАНИЯ Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Иркутск - 2011
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления»
Научный консультант: доктор технических наук, профессор Мижидон Арсалан Дугарович
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Лонцих Павел Абрамович доктор технических наук, профессор Гурман Владимир Иосифович
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Забайкальский государствен ный университет»
Защита диссертации состоится 22 декабря 2011 г. в 12.00 часов на заседа нии диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссерта ций Д 218.004.02 при ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» (ИрГУПС) по адресу: 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевско го, 15, ауд. А-803.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Иркут ский государственный университет путей сообщения».
Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью органи зации, просим направлять по адресу: 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, ИрГУПС, диссертационный совет по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 218.004.02.
Автореферат разослан « » 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета канд. техн. наук, доцент Ермошенко Ю.В.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Одной из проблем современной динамики машин, приборов и оборудования является защита от ударных и вибрационных воздей ствий с целью повышения качества и надежности их функционирования.
Создание эффективных средств виброзащиты тесно связано с необходимо стью совершенствования качества проектирования. В связи с этим большое значение имеет развитие теории виброзащитных систем (ВЗС) в вопросах, свя занных с разработкой методов и алгоритмов решения задач проектирования систем виброзащиты. К одной из них относится задача о предельных возмож ностях системы виброизоляции. Требования, предъявляемые к проектируемым системам виброзащиты, могут быть сформулированы в виде некоторых ограни чений. При проектировании ВЗС необходимо удовлетворить всей совокупности предъявляемых к ней требований, являющихся весьма противоречивыми. С од ной стороны, ВЗС должна обеспечивать заданное снижение уровня динамиче ских воздействий, а с другой – иметь ограниченные габаритные размеры. В ус ловиях, когда заданы количественные характеристики этих требований, пред ставляет интерес оценка предельных возможностей виброзащиты, причем эта оценка не должна зависеть от структуры ВЗС. Знание этой оценки имеет осо бенно большое значение на начальных этапах проектирования при решении следующих вопросов: реализуемости требований, предъявляемых к ВЗС;
опре деления возможности повышения качества ВЗС;
целесообразности использова ния той или иной конструкции амортизаторов;
проведения сравнительного ана лиза конкурирующих структур ВЗС.
Задачам о предельных возможностях виброзащиты посвящены многочис ленные работы, в которых, в основном, рассматривались системы с одной сте пенью свободы либо частные задачи с несколькими степенями свободы. Реше ние задач оценки предельных возможностей производилось с позиций теории оптимального управления. При рассмотрении соответствующих задач опти мального управления в случае многомерных систем при сложных возмущениях, действующих на достаточно длинном интервале времени, их решение практи чески не представляется возможным. В связи с этим представляются актуаль ными исследования, связанные с необходимостью формализации понятия о предельных возможностях виброзащиты и разработкой методов нахождения оценки предельных свойств ВЗС, которые позволяют обойти трудности реше ния соответствующих задач оптимального управления.
Работа выполнялась согласно:
- плану НИР Восточно-Сибирского государственного технологического университета (2002-2011 гг.);
- плану совместных работ Улан-Удэнского филиала Института динамики систем управления СО РАН и Восточно-Сибирского государственного техно логического университета (2003-2006 гг.).
Исследования поддержаны грантом РФФИ проект № 05-01-00659 «Авто матизация интеллектуального обеспечения методов решения задач оптимально го управления», грантом «Молодые ученые ВСГТУ» (2006 г.).
Целью работы является разработка методики оценки предельных воз можностей виброизоляции при проектировании систем защиты от вибраций и ударов технических объектов на стадиях, предшествующих конструкторским разработкам.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.
1. Формализация понятия предельных возможностей ВЗС, построение ма тематических моделей оценки предельных возможностей многомерной ВЗС технических объектов.
2. Разработка методов и алгоритмов для оценки предельных возможностей систем виброзащиты.
3. Приложение разработанной методики к оценке предельных возможно стей виброзащиты технических объектов.
Научная новизна работы заключается в следующем.
1. Построены математические модели оценки предельных возможностей виброзащиты.
2. Разработаны проблемно-ориентированные методы нахождения оценок предельного значения критерия выполнимости требований, предъявляемых к качеству виброзащиты пространственных ВЗС технических объектов, которые учитывают специфику конкретных возмущений: полигармонических, гармони ческих и ударных.
3. Разработаны методы оценки предельных возможностей виброзащиты многомерных ВЗС, основанные на решениях вспомогательной задачи опти мального управления со среднеквадратическим функционалом.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1. Математические модели оценки предельных возможностей систем за щиты от вибраций и ударов технических объектов.
2. Методы получения оценок оптимальных значений критерия выполнимо сти требований, предъявляемых к ВЗС на стадиях предварительного проекти рования.
Методы исследований. При выполнении исследований использованы ме тоды теоретической механики, теории колебаний, теории управления и оптими зации, вычислительной математики.
Практическая значимость работы заключается в развитии научных ос нов построения методик проектирования виброзащитных систем. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при проектировании систем виброзащиты в проектных отделах приборостроительных, машиностроитель ных предприятий на стадиях, предшествующих конструкторским разработкам.
Результаты использованы для оценки предельных возможностей виброзащиты вибростендов при гашении низкочастотных вибрационных воздействий, что подтверждается актом внедрения в ООО «Малое инновационное предприятие» «Байкальский научный центр прочности».
Полученные в диссертационной работе результаты используются при чте нии спецкурсов для специальности «Прикладная математика» ФГБОУ ВПО «Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управле ния».
Достоверность результатов исследований основывается на строгости ма тематических доказательств и подтверждается сравнением численных экспери ментов с известными ранее результатами.
Публикации. По тематике диссертации опубликовано 14 научных работ, включая статьи в журналах, трудах конференций и школ, из них 6 в рецензи руемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов диссертационных работ.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсу ждались на всероссийских конференциях с международным участием: «Мате матика, информатика, управление» (Иркутск, 2005), «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (Улан-Удэ, 2006, 2010);
школах семинарах молодых ученых «Математическое моделирование и информацион ные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программ ное обеспечение, технологии программирования» (Иркутск, 2005, 2006);
меж дународных конференциях: «Математика, ее приложения и математическое об разование» (Улан-Удэ, 2005, 2011), International conference on optimization, si mulation and control (Улан-Батор, 2010), а также на ежегодных научно практических конференциях Восточно-Сибирского государственного техноло гического университета (2003-2006, 2009-2011 гг.) и Бурятского государствен ного университета (2003-2006 гг.).
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введе ния, четырех глав, заключения. Общий объем работы 158 страниц, включая таблицы и 22 рисунка, список использованной литературы – 149 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность проблемы и приведена общая ха рактеристика диссертационной работы с тезисным изложением основных по ложений.
В первой главе дана характеристика современного состояния теории виб розащиты, приведен обзор постановок задач об оценке предельных возможно стей систем виброзащиты и методов оптимальной амортизации, определено ме сто задач о предельных возможностях в общей методике автоматизированного проектирования ВЗС, предложен критерий выполнимости требований, предъ являемых к качеству виброзащиты.
Современная динамика машин построена на решении комплекса актуаль ных задач виброзащиты, виброизоляции, динамики управляемых систем, виб родиагностики, обеспечения точности работы манипуляторов и др. В становле ние теории ВЗС существенный вклад внесли такие отечественные и зарубеж ные ученые, как В.В. Болотин, И.И. Блехман, Р.Ф. Ганиев, М.Д. Генкин, В.В. Гурецкий, Дж. Ден-Гартог, С.В. Елисеев, М.З. Коловский, Дж.Е. Ружичка, Е. Севин, А.А. Первозванский, В.А. Троицкий, К.В. Фролов, Ф.А. Фурман, Ф.Л. Черноусько, Д.С. Карноп, А.К. Трайк, М.Х. Хсяо и др.
Особое место в теории динамики и прочности занимают задачи о предель ных возможностях систем виброзащиты. Рассмотрению задач о предельных возможностях ВЗС посвящены работы Д.В. Баландина, В.В. Гурецкого, М.З. Коловского, В.Д. Манойленко, А.Д. Мижидона, Б. Ванга, В. Пилке и др.
Методы решения задач оценки предельных свойств ВЗС основаны на решении минимаксных задач оптимального управления. При этом в силу неаддитивно сти критерия качества при сложных возмущениях, действующих на достаточно длинном интервале времени, получение оценки предельных возможностей ВЗС через решение соответствующей задачи оптимального управления практически не представляется возможным.
При проектировании системы виброизоляции, как правило, задается сово купность требований к качеству виброзащиты, отражаемая в техническом зада нии. Эти требования могут быть сформулированы в виде ограничений, наибо лее существенными из которых являются следующие.
1. Ограничения по абсолютным ускорениям. Если ВЗС предназначается для защиты от кинематических воздействий, то основная ее задача состоит в уменьшении абсолютных ускорений тех или иных точек амортизируемого объ екта:
J w {wi (t )} li, (i = 1, s ), (1) где wi (t ) - проекции абсолютных ускорений некоторых точек амортизируемо го тела на заданные направления.
2. Ограничения по относительным перемещениям. Известно, что создавая достаточно мягкие амортизаторы, можно в принципе обеспечить выполнение любых, самых жестких требований к виброзащите приборов и оборудования.
Однако при этом динамические воздействия будут вызывать большие смеще ния объекта относительно основания. Иными словами, система виброзащиты приобретает большие габаритные размеры и поэтому может стать практически нереализуемой. В связи с этим при создании ВЗС должны быть сформулирова ны требования к относительным смещениям:
J q {q j (t )} L j, ( j = 1, n), (2) где q j ( t ) - относительные перемещения отдельных точек объекта.
Формы функционалов J w и J q обычно зависят от характера воздействий.
В случае выбранной структуры ВЗС могут быть наложены ограничения по уси лиям, передаваемым на основание, ограничения на управляющие воздействия при использовании активных устройств, а также конструктивные ограничения, связанные с необходимостью ограничений параметров системы или использо ванием устройств, имеющих вполне определенную структуру (например, толь ко линейных пассивных амортизаторов или гидравлического исполнительного механизма заданного типа).
Под проектированием ВЗС понимают задачу выбора системы виброизоля ции w (рис. 1), удовлетворяющей всем заданным ограничениям.
Рис. 1. Различные конструктивные реализации системы виброизоляции w.
При решении вопроса о выборе типа ВЗС в начале, не рассматривая вопро са о физической реализуемости, целесообразно определить предельные воз можности, которые позволяют оценить тот предел, к которому при заданных воздействиях следует стремиться при проектировании ВЗС. В связи с этим воз никает необходимость выразить количественно предельные возможности виб розащиты объекта при тех или иных внешних воздействиях.
На стадии предварительного проектирования, когда еще не выбрана струк тура ВЗС, наибольший интерес в практическом отношении вызывает возмож ность обеспечения ограничений по ускорению (1) при выполнении ограничений на относительные смещения (2). Для количественного выражения выполнимо сти этих требований введем на множестве W всех возможных конструктивных реализаций ВЗС следующий функционал:
max J w {wi (t )}, t 0 l i J (w) = max (3) J q {q j (t )}.
1 i s 1 j n max t 0 L j Далее функционал (3) будем называть критерием выполнимости требова ний, предъявляемых к качеству ВЗС. Отметим, что если значение функционала (3) при некоторой реализации ВЗС w W не превышает единицы, то можно заключить, что при данной структуре ВЗС требования, предъявляемые к проек тируемой системе, выполняются. Задача проектирования оптимальной ВЗС может быть поставлена следующим образом:
{ } J ( w ) = min J ( w ), W1 = w W J ( w ) 1.
wW Численное значение J = J (w ), к которому, очевидно, следует стремиться при проектировании, характеризует предельные возможности ВЗС в ее опти мальной реализации. Определение точного значения J не представляется воз можным. В связи с этим ставится задача нахождения оценок значения критерия выполнимости, таких что J J (w ) J. Если нижняя оценка J превосходит единицу, то это означает, что требования, предъявляемые к ВЗС, не выполнимы ни при какой конструктивной реализации. Условие J 1 для верхней оценки критерия (3) является достаточным для выполнимости требований (1) и (2). Та ким образом, значение функционала (3) характеризует выполнение требований, предъявляемых к ВЗС.
В конце главы сформулированы цель и задачи диссертационного исследо вания.
Во второй главе предлагается метод нахождения нижней оценки критерия выполнимости требований, предъявляемых при проектировании многомерных систем виброзащиты машин, приборов и оборудования.
Расчетной моделью многих технических объектов является твердое тело. Например, рассмотрим проектирование системы виброи золяции блока бортовой радиоэлектронной аппаратуры (РЭА), в s точках которой нахо дятся чувствительные к перегрузкам электро радиоэлементы, выдерживающие заданное предельное виброускорение. Виброизоли рующее устройство должно иметь минималь ные габаритные размеры. Перемещение бло ка в n точках крепления амортизаторов не должно превышать заданных значений.
Блок РЭА, как и многие другие меха Рис. 2. Динамическая схема ВЗС низмы, соединенные с основанием с помо твердого тела щью некоторого амортизационного устрой ства, представляет собой колебательную сис тему, обладающую шестью степенями свободы (рис. 2). Введем три декартовых системы координат, совпадающих в положении равновесия между собой: - неподвижную;
0x1 y1 z1 - подвижную, жестко связанную с объектом и совпа дающую с ее главными центральными осями;
0xyz - подвижную, жестко свя занную с основанием.
Ограничения на абсолютные ускорения wi в s заданных точках объекта могут быть записаны в виде неравенств:
wi li, (i = 1, s ) (4) где li - заданные положительные числа. Проекция абсолютного ускорения i-й точки на оси системы координат 0 определяется следующими выражения ми:
w i = u1 + u5 zi u6 yi ;
u1 = sx + s, u5 = y +, u6 = z + ;
w i = u2 + u6 xi u4 zi ;
u2 = s y + s, u4 = x + ;
w i = u3 + u4 yi u5 xi ;
u3 = sz + s.
Здесь ( sx, s y, sz ) - вектор смещения центра инерции объекта в системе коорди нат 0xyz ;
( s, s, s ) - вектор смещения в системе координат 0 той точки основания, которая в положении равновесия совпадает с центром инерции объ екта;
( x y z ) - вектор малого относительного угла поворота тела;
( ) вектор малого угла поворота основания;
( xi, yi, zi ) - координаты i -й точки тела в системе координат 0x1 y1 z1.
Ограничения габаритных размеров системы амортизации равносильны ограничениям, накладываемым на относительные смещения n заданных точек тела в заданных направлениях:
g j L j, ( j = 1, n) (5) где g j - относительное смещение j -й точки тела в направлении вектора n j, L j - заданные положительные числа.
Относительное смещение g j через обобщенные координаты представимо в виде:
( ) ( ) ( ) gj = sx +y zj z yj j + sy +z xj xzj j + sz +x yj y xj j.
Здесь x j, y j, z j - координаты j-й точки тела в системе координат 0x1 y1 z1 ;
j, j, j - направляющие косинусы, определяющие вектор n j.
В матричной форме относительное смещение запишется следующим обра зом:
g j = d j q, ( j = 1, n), где d j = ( j, j, j, y j j z j j, z j j x j j, x j j y j j ), q = ( sx, s y, sz, x, y, z ).
Динамика рассматриваемой системы описывается дифференциальными уравнениями:
s x = u1 (t ) s (t ), s y = u2 (t ) s (t ), s z = u3 (t ) s (t ), (6) x = u4 (t ) (t ), y = u5 (t ) (t ), z = u6 (t ) (t ), где s (t ), s (t ), s (t ), (t ), (t ), (t ) - заданные функции, определяющие закон изменения обобщенных ускорений основания. Умножив (6) на вектор-функции d j, получим n уравнений движения g j (t ) = v j j (t ), (7) где v j = d j u, j (t ) = d j f (t ), f (t ) = ( s (t ), s (t ), s (t ), (t ), (t ), (t ) ), ( j = 1, n).
Нижнюю оценку критерия выполнимости (3) можно получить, минимизи руя функционал, характеризующий предельные перегрузки, J ( u ) = max max 2 uWiu (8) 1i s t 0 l i при выполнении габаритных ограничений (5). Здесь yi u1 1 0 0 0 zi u 0 1 xi 0 zi 2 u 0 0 1 xi yi u = 3, Wi = 0 zi yi zi + yi xi yi xi zi 2 u u5 zi 0 xi xi yi zi2 + xi yi zi y x 0 x z y z y2 + x2.
u 6 ii i ii ii i Минимизация неаддитивного функционала (8) не представляется возмож ной. В диссертационной работе предложен следующий алгоритм для нахожде ния оценки функционала (8).
1. Решить n задач нахождения нижней оценки численного значения функ ционалов J j (v j ) = max v j 2 (t ), (9) t при оптимальном управлении системой (7), с учетом ограничений (5).
2. Выбрать начальное приближение как решение задачи нелинейного про граммирования с целевой функцией s I (u ) = 2 uWiu, i =1 li на множестве { } U = u : d u v, p = 1, k, dqu vq, q = k + 1, n, (10) p p где v 0, p = 1, k, vq 0, q = k + 1, r - решения задач (13) - (14) при заданных на p чальных условиях и выполнении условия (9).
3. Решить дискретную задачу поиска минимума следующей функции мак симума:
(u) = max 2 uWu. (11) i 1is l i на множестве (10).
Если u является решением задачи (10) - (11), то (u ) можно рассматри вать как приближенную оценку критерия качества (8).
Для частного случая, когда заданы ограничения на проекции абсолютных ускорений на оси неподвижной системы координат в заданных точках и огра ничения на относительные смещения этих же точек, решение дискретной ми нимаксной задачи (10) - (11) значительно упрощается и сводится к решению за дачи линейного программирования.
Учитывая специфику воздействий, автором построено множество U для случая ударных и гармонических возмущений. Получены аналитические выра жения наибольших предельных значений абсолютного ускорения при относи тельном смещении, не превышающем L, при ударах с различными формами импульсов. Проведен сравнительный анализ с графоаналитическим методом.
Показано, что предлагаемая в работе методика позволяет вычислить точное предельное значение критерия при ударном возмущении.
Получены в явном виде аналитические выражения для v* и vq, опреде- * p ляющих множество U при гармоническом воздействии.
Решена задача о предельных габаритных размерах системы виброзащиты твердого тела при заданной допустимой перегрузке для ударных и гармониче ских воздействий.
В некоторых случаях задача об оценке предельных возможностей не может быть сведена к описанной выше модели. В диссертационной работе предложен общий подход к оценке предельных значений неаддитивных критериев качест ва многомерных ВЗС, основанный на сведении к задаче математического про граммирования.
В третьей главе разрабатывается метод нахождения верхней оценки кри терия выполнимости требований, предъявляемых к качеству виброзащиты при проектировании многомерных ВЗС машин, приборов и оборудования.
Рассматривается механическая система, состоящая из объекта защиты (твердое тело), соединенного с жестким основанием N упругодемпфирующими подвесами (рис. 3а). Источником кинематического возмущения является известное пространственное колебание основания.
Критерий выполнимости ограничений на перегрузки и габаритные размеры примет вид max u (t )W u (t ), i J (u ) = max t 0 (12) 1 j n max d q (t ).
1i s t 0 j Здесь q(t ) - вектор обобщенных координат, характеризующий относительное смещение тела;
u (t ) - вектор, определяемый соотношением u (t ) = q(t ) + (t ), (13) где (t ) - заданный закон, описывающий движение основания.
Косвенной оценкой критерия выполнимости (12) служит среднеквадратический функционал вида T J ( u ) = lim ( qQq + uRu )dt. (14) T T Здесь Q и R положительно определенные матрицы, определяемые соотношениями s Q = d, d …, d d, d …, d, R = W, ( )( ) 11 2 2, N N 11 2 2, N N i i i = где j 0, j = 1, N, i 0, i = 1, s - некоторые весовые коэффициенты, удовле N s i + i = 1.
творяющие условию i =1 i = а) б) Рис. 3. Динамическая схема виброзащитной системы, содержащей а) упругодемпфи рующие подвесы, б) упругодемпфирующие подвесы и активные элементы.
Функционал (14) построен таким образом, чтобы при минимизации обеспечивалось снижение динамических воздействий на объект при выполнении габаритных ограничений. Выбором коэффициентов j, i можно обеспечить выполнение этих противоречивых требований. Нахождение функции u (q, q, t ), доставляющей минимум функционалу (14) на решениях системы (13), основано на использовании методики аналитического конструирования оптимального регулятора.
Решая вспомогательную задачу аналитического конструирования оптимального регулятора, мы находим верхнюю оценку предельного значения критерия выполнимости (12) и стремимся удовлетворить заданным требованиям. Построив оптимальный закон движения {u (t ), q (t )}, следует удостовериться, что он действительно удовлетворяет заданным ограничениям.
Для этого необходимо подсчитать значение критерия выполнимости (12) при найденном законе движения. Если предъявляемые к качеству проектирования требования не выполняются, то рассматривается оптимизационная задача по выбору весовых коэффициентов. Предложен подход к нахождению таких весовых коэффициентов.
Для улучшения качества виброзащиты, помимо пассивных упругодемпфирующих подвесов, система виброзащиты содержит N активных элементов, формирующих силы U1 (t ),U 2 (t ),...,U N (t ), прикладываемые в некоторых N точках объекта защиты (рис. 3б).
Предполагаем, что колебания амортизируемого тела являются малыми, а начало неподвижной системы координат в положении статического равновесия совпадает с центром инерции объекта. В качестве подвижных осей координат рассмотрим главные центральные оси инерции объекта защиты. Считаем, что неподвижные оси координат совпадают в положении равновесия с подвижны ми осями. При этих предположениях уравнения движения объекта защиты можно записать в виде Aq + Bq + Cq = A (t ) + DU (t ), (15) где q - вектор обобщенных координат, характеризующий относительные сме щения тела;
(t ) - вектор возмущений (вектор обобщенных ускорений коор динат, описывающий движение основания);
A - матрица моментов инерции тела;
B - матрица коэффициентов демпфирования;
C - матрица коэффициен тов жесткостей;
D - матрица, зависящая от точек приложения и направления действия управляющих сил;
U (t ) - вектор управляющих сил (управление).
Выразив из уравнения (15) абсолютное ускорение, получим ( ) q + (t ) = A1 Bq + Cq U (t ).
Косвенной оценкой качества проектирования ВЗС с активными элемента ми может служить следующий функционал:
T 1 ( ) ( ) T 2T qQq + Bq + Cq U (t ) A1RA1 Bq + Cq U (t ) d, J (U ) = lim 0 который после преобразований примет вид:
T T 2T (qQq + qPU + U RU )dt, J (U ) = lim 2C R C RC + Q C RB ( ) где R = A1RA1, Q =, P=.
C RB 2 BR RB B Путем введения дополнительных переменных система (15) может быть приведена к виду:
x ( t ) = A(t ) x ( t ) + B(t )u ( t ) + f (t ), (16) E 0 q, B = 1, f (t ) =, x =.
где A = 1 1 q A C A B A D В связи с этим в диссертационной работе получено обобщение метода ана литического конструирования оптимального регулятора на случай минимиза ции функционала T T 2T ( xQx + xPu + uRu )dt J (u ) = lim (17) при ограниченных неисчезающих возмущениях на бесконечном интервале на блюдения. Доказано, что управление, доставляющее минимум функционалу (17) на решениях системы (16), имеет вид:
u ( x, t ) = R 1BK + R 1P x + R 1Bn(t ), где симметричная положительно определенная матрица K - решение матрич ного алгебраического уравнения Риккати:
1 1 KA + AK KBR1BK KBR1P PR1BK PR1P + Q = 0, 2 2 а n(t ) - частное решение линейной системы дифференциальных уравнений:
n(t ) = A K (t ) BR 1B PR 1B n(t ) + K (t ) f (t ).
После решения задачи аналитического конструирования оптимального ре гулятора (16) - (17) производится проверка выполнимости заданных требований аналогично изложенному выше.
В четвертой главе рассматриваются приложения и анализ разработанной методики к оценке предельных возможностей виброзащиты в модельных зада чах.
1. Исследованы предельные возможности двухмассо вой механической системы, расчетная модель которой изображена на рисунке 4. Массы нижней и верхней частей системы связаны между собой линейной упру го-демпферной моделью. Проектируется виброизоли рующее устройство, устанавливаемое между плат формой и нижней массой, генерирующее управляю щую силу u.
Движение системы описывается следующими уравнениями:
x0 = v(t ), Рис. 4. Расчетная модель m1 x1 + c ( x1 x2 ) + k ( x1 x2 ) = u (t ), двухмассовой механиче m2 x2 + +c ( x1 x2 ) k ( x1 x2 ) = 0.
ской системы Система рассматривается при внешнем воздей ствии вида v(t ) = e t, 0 t.
Качество исследуемой ВЗС характеризуется следующими ограничениями:
J1 = max x2 x1 D1, J 2 = max x1 x0 D2, J 3 = max u (t ) D3, (18) t t t где D1, D2, D3 заранее известны.
Критерий выполнимости ограничений (18) имеет вид:
u x x x x J = max max 2 1,max 1 0,max. (19) D1 D2 D t t t Косвенной оценкой критерия выполнимости (19) является среднеквадра тический функционал:
( ) T J (u ) = lim ( x2 x1 ) + ( x1 x0 ) + u 2 dt.
(20) T T Найдено управление, доставляющее минимум функционалу (20) при сле дующих значениях параметров виброзащитной системы: m1 = 20,18 кг;
m 2 = 34,52 кг;
k = 96600 Н/м;
c = 818,1 Н·с/м;
D1 = 1,5;
D2 = 309,3 мм, D3 = 10 Н.
Вычислена верхняя оценка критерия выполнимости J = 0,93, значение которой не превышает единицы. В силу этого можно заключить, что требования, предъ являемые к ВЗС, выполнимы.
2. Проведен анализ применения методики оценки предельных возможно N стей ВЗС при полигармоническом возмущении f (t ) = Ai sin(it + i ). При i = этом для случая оценки предельных возможностей виброзащиты в установив шемся режиме функционирования ВЗС предложен способ реализации общей методики получения верхней оценки критерия выполнимости, при котором не требуется решать уравнение Риккати. На рисунке 5 показано, что перегрузка u и смещение x, полученные через решение матричного уравнения Риккати и с помощью данного способа в установившемся режиме, совпадают. Также пред ложен способ выбора весовых коэффициентов с целью попадания в заданные ограничения.
а) б) Рис. 5. а) график изменения перегрузки, найденной через решение уравнения Риккати (1), в установившемся режиме (2);
б) график изменения смещения, найденного через решение уравнения Риккати (1), в установившемся режиме (2).
Рассмотрена задача приборной виброзащиты твердого тела с шестью сте пенями свободы при ограничениях на проекции абсолютных ускорений при ударном воздействии. Найдено предельное значение критерия качества вибро защиты путем сведения дискретной минимаксной задачи к задаче линейного программирования.
В заключении диссертационной работы приведены основные выводы.
ВЫВОДЫ В результате проведенного диссертационного исследования разработана научно обоснованная методика оценки предельных возможностей виброзащиты систем виброизоляции машин, приборов и оборудования, которая может быть использована при создании автоматизированных систем проектирования ВЗС на стадиях, предшествующих конструкторским разработкам.
Конкретные научные результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему.
1. Формализовано понятие о предельных возможностях виброзащиты, по строены математические модели оценки предельных возможностей многомер ных виброзащитных систем технических объектов.
2. Разработано алгоритмическое обеспечение оценки предельных свойств многомерных виброзащитных систем технических объектов, расчетной моде лью которых является твердое тело с шестью степенями свободы. При этом проблемно-ориентированные методы нахождения оценки предельного значения критерия качества, положенные в основу алгоритмического обеспечения, не требуют решения соответствующей задачи оптимального управления. Учет структуры внешних возмущений при разработке проблемно-ориентированных методов в случае ударных и гармонических возмущений позволил построить алгоритмы, определяющие точное предельное значение критериев качества.
3. Разработан метод нахождения нижней оценки предельных возможно стей многомерных виброзащитных систем, основанный на решении вспомога тельной задачи оптимального управления путем сведения к задаче математиче ского программирования.
4. Разработаны алгоритмы нахождения верхней оценки предельных воз можностей многомерных виброзащитных систем, основанные на замене крите рия выполнимости требований среднеквадратическим функционалом.
5. Получено обобщение аналитического конструирования оптимальных ре гуляторов при детерминированных возмущениях на случай функционалов с по дынтегральной функцией вида xQx + xPu + uRu, на основе которого разрабо тана методика решения задачи об оценке предельных возможностей активной ВЗС.
6. Разработанная методика использована для оценки предельных возмож ностей виброзащиты двухмассовой механической системы и приборной вибро защиты. Проведен анализ использования методики для оценки предельных возможностей виброзащиты при полигармоническом возмущении.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Имыхелова М.Б. Об одном подходе к приближенному решению ли нейной задачи оптимального управления с терминальным функционалом / М.Б. Имыхелова, А.Д. Мижидон // Вестн. БГУ. Сер. 13: Математика и ин форматика. - Вып. 1.- Улан-Удэ, 2004. - С. 85 - 90.
2. Имыхелова М.Б. Оценка предельного значения неаддитивного функционала / М.Б. Имыхелова, А.Д. Мижидон // Вестн. БГУ. Сер. 13: Ма тематика и информатика. - Вып. 2. - Улан-Удэ, 2005. - С. 91 - 95.
3. Имыхелова М.Б. Об одном частном случае конструирования вибро защитных систем / М.Б. Имыхелова, Е.В. Елтошкина, А.Д. Мижидон // Вестн. БГУ. Сер. 13: Математика и информатика. - Вып. 3. - Улан-Удэ, 2006. - С. 143 - 150.
4. Имыхелова М.Б. Предельные возможности пространственной виб розащитной системы при ударных возмущениях / М.Б. Имыхелова, А.Д.
Мижидон // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.
- ИрГУПС. - Иркутск, 2010. - №1(25) – C. 56 - 64.
5. Имыхелова М.Б. Предельные свойства пространственной виброза щитной системы при гармоническом возмущении / М.Б. Имыхелова, А.Д.
Мижидон // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.
- ИрГУПС. - Иркутск, 2010. - №2(26) - С. 110 - 117.
6. Имыхелова М.Б. Предельные возможности в задаче активной виб розащиты / М.Б. Имыхелова, А.Д. Мижидон // Вестн. БГУ. Сер. 13: Матема тика и информатика. - Вып. 9. - Улан-Удэ, 2011.– С. 26 - 30.
7. Имыхелова М.Б. Предельные возможности в задаче оптимального управления с неаддитивным функционалом // Математика, информатика, управление: материалы всерос. конф. с междунар. участием. – Иркутск, (электронная публикация).
8. Имыхелова М.Б. Задача об оценке предельных возможностей дина мических систем как многокритериальная задача оптимального управления // Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы: мате риалы всерос. конф. с междунар. участием. – Улан-Удэ, 2006. – С. 123- 127.
9. Имыхелова М.Б. Предельные габаритные размеры виброзащитных систем при гармоническом возмущении / М.Б. Имыхелова // Сб. науч. тр.
Сер.: Физико-математическая. – Вып. 11. – ВСГТУ. – Улан-Удэ, 2010. – С.
59 - 65.
10. Имыхелова М.Б. Применение метода АКОР для нахождения управ ления, обеспечивающего выполнение фазовых ограничений / М.Б. Имыхело ва, А.П. Казанцева // Сб. науч. тр. Сер.: Физико-математическая. – Вып. 11. – ВСГТУ. – Улан-Удэ, 2010 – С. 65 - 70.
11. Имыхелова М.Б. К решению задачи об оценке предельных свойств виброзащитных систем / М.Б. Имыхелова, А.Д. Мижидон // Математика, ее приложения и математическое образование: материалы всерос. конф. с меж дунар. участием. – Улан-Удэ, 2005. – С. 99 - 102.
12. Имыхелова М.Б. Построение эталонного закона функционирования виброзащитных систем / М.Б. Имыхелова, Е.В. Елтошкина, Б.А. Мадаев, К.А. Мижидон // Математика, ее приложения и математическое образование:
материалы IV Междунар. конф. – Ч.1. – Улан-Удэ, 2011.– С. 47 - 52.
13. Имыхелова М.Б. Алгоритмическое обеспечение автоматизации про ектирования виброзащитных систем / М.Б. Имыхелова, А.Д. Мижидон, Е.В.
Елтошкина, А.П. Казанцева, Б.А. Мадаев, К.А. Мижидон // Инфокоммуни кационные и вычислительные технологии и системы: материалы III Между нар. конф. – Улан-Удэ, 2010. – С. 208 - 211.
14. Imykhelova M.B. The estimation of limiting capabilities of spatial vibra tion protective systems / M.B. Imykhelova, A.D. Mizhidon // Abstracts of contri buted papers of the International conference on optimization, simulation and con trol (Ulaanbaatar, Mongolia). – P. 99.
Редактор Т.А. Стороженко Подписано в печать 15.11.11. Формат 6084 1/ Усл. печ. л. - 1,1. Печать операт., бумага писч.
Тираж 100 экз. Заказ № Издательство ВСГУТУ 670013, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40 в.