авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Численное моделирование процессов деформации и разрушения геологических сред

На правах рукописи

Стефанов Юрий Павлович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ

ГЕОЛОГИЧЕСКИХ СРЕД

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Томск 2008

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте фи зики прочности и материаловедения Сибирского отделения РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Гриняев Юрий Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Сибиряков Борис Петрович доктор физико-математических наук, профессор Скрипняк Владимир Альбертович

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН, Москва

Защита состоится « 28 » ноября 2008 г. в 14 ч 30 мин на заседании диссерта ционного совета Д 003.038.01 при Учреждении Российской академии наук Институте физики прочности и материаловедения Сибирского отделения РАН по адресу: 634021, Томск, пр. Академический, 2/4, факс (3822) 492-576.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФПМ СО РАН.

Автореферат разослан «» _ 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук профессор О.В. Сизова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. Диссертация посвящена исследованию механи ческого поведения плотных и высокопористых геологических сред.

Актуальность темы. Исследование закономерностей механического поведения геологических сред, построение моделей и методов расчета про цессов деформации и разрушения является актуальной задачей механики и геомеханики. Математическое описание поведения геологических сред важ но для понимания процессов, происходящих в них под действием нагрузок, и прогноза поведения в различных условиях. Решение данной задачи представ ляет интерес не только с научной, исследовательской точки зрения, но также актуально в строительстве, поиске и разработке полезных ископаемых, для обеспечения безопасности наземных и подземных сооружений, прогноза и предотвращения аварийных ситуаций. Такие исследования имеют первосте пенное значение для объяснения механизмов и условий протекания геомеха нических процессов, а также проверки гипотез о структуре, напряженном со стоянии рассматриваемой области и предсказания дальнейшего поведения среды.

Целью диссертации является разработка моделей описания упругопла стического деформирования, локализации деформации и разрушения в гео логических средах, а также исследование указанных процессов.

Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели, адекватно описывающей про цессы деформации и разрушения упруго-хрупкопластичных материалов с учетом накопления повреждений, дилатансии, локализации деформации и формирования трещин.

2. Разработка математической модели, описывающей процессы дефор мации и разрушения высокопористых материалов с учетом формирования полос локализованного сдвига, уплотнения и разрыхления.

3. Исследование закономерностей развития деформации, формирова ния полос локализации и разрушения в плотных и высокопористых материа лах.

4. Исследование деформационных процессов в земной коре.

Научная новизна работы состоит в разработке и реализации матема тических моделей и алгоритмов численного описания процессов деформации и разрушения в геологических средах, а также в решении ряда задач:

1. Предложен подход численного решения задач деформирования гео логической среды, позволяющий рассматривать процессы квазистатического и динамического нагружения с учетом локализации деформации и явным учетом образования несплошностей среды в процессе разрушения.

2. Предложена математическая модель и разработаны соответствующие алгоритмы расчета для исследования процессов деформации и разрушения геоматериалов, основанные на решении системы динамических уравнений упругопластической среды с использованием модификаций моделей Друкке ра–Прагера–Николаевского, Рудницкого, Ди Маджио–Сандлера.

3. На основе численных расчетов с использованием разработанных мо делей и алгоритмов впервые получено и исследовано:

– формирование периодической системы полос локализованного сдвига в слое геосреды;

– формирование полос локализованного уплотнения и локализованного сдвига с уплотнением;

– возможность реализации и смены режимов развития неупругой де формации с уплотнением и разрыхлением в зонах повышенной пористости и трещиноватости;

– влияние жесткого блока на характер и место инициации разрыва на примере Чаган-Узунского блока в районе Чуйского землетрясения 2003 г.;

– существенное влияние гравитационных сил на формирование совре менной структуры Байкальской рифтовой зоны.

Научная и практическая значимость определяется разработанными моделями для численного исследования процессов деформации и разруше ния в геологических средах, предложенными подходами к решению задач механики деформируемого твердого тела и геомеханики, а также получен ными решениями ряда задач.

Разработанные модели и алгоритмы численного расчета расширяют возможности исследования процессов деформации и разрушения. С их ис пользованием могут рассматриваться как конкретные задачи прикладного характера, так и задачи научного плана, обеспечивающие расширение пред ставлений о деформационных процессах в геологических средах. Решение ряда задач вносит вклад в развитие представлений о возможных механизмах развития деформации в тех или иных условиях.

Результаты исследований представляют интерес для прогноза поведе ния среды при проведении горных работ, добыче полезных ископаемых, бу рении и строительстве, а также в исследовании природных геомеханических процессов.

Представленные модели, методика расчета и разработанный комплекс программ могут быть использованы для решения широкого круга научных и практических задач механики структурно-неоднородных сред и геомеханики.

Разработанные модели и алгоритмы использовались при выполнении ряда программ фундаментальных исследований, интеграционных проектов, проектов СО РАН и грантов РФФИ, а также хоздоговорных тем.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель, описывающая процессы деформации и раз рушения плотных геологических материалов. За основу принята модель уп ругопластической деформации Друккера–Прагера–Николаевского с неассо циированным законом течения.

2. Математическая модель описания процессов деформации и разруше ния высокопористых материалов. За основу приняты модели упругопласти ческой деформации Друккера–Прагера–Николаевского, Рудницкого и Ди Маджио–Сандлера.

3. Результаты численного исследования и выявленные особенности развития процессов деформации и разрушения плотных геоматериалов, а именно:

влияние условий нагружения на эффективную прочность однородных и неоднородных образцов, а также влияние дилатансии как упрочняюще го фактора;

формирование полос локализованной деформации Риделя в условиях сдвигового деформирования слоя геосреды;

характер формирования полос локализованного сдвига в среде под дей ствием жесткого штампа и возможность возникновения расклиниваю щего эффекта в результате дилатансии.

4. Результаты исследования процессов деформации высокопористых материалов, а именно:

связь параметров поверхности предельного состояния с изменением пористости и их влияние на степень локализации уплотнения;

влияние условий нагружения на развитие неупругой деформации, фор мирование и расширение зон локализованного уплотнения;

взаимосвязь формирования полос локализации и путей нагружения разных точек образца.

5. Результаты исследования деформационных процессов в геологиче ской среде, а именно:

влияние жесткого блока и величины напряжений на место инициации и направление распространения разрыва в разломе на примере Чаган Узунского блока в районе Чуйского землетрясения 2003 г.;

влияние гравитационных сил на формирование современной структуры Байкальской рифтовой зоны. В рамках структурных моделей среды для двух разрезов определены прочностные параметры, при которых полу ченные деформационные картины соответствуют современному со стоянию рифта.

Обоснованность и достоверность результатов расчетов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечиваются математической кор ректностью постановок задач, применением апробированных методов реше ния, решением тестовых и модельных задач, для которых имеются аналити ческие и численные решения, полученные другими авторами и другими ме тодами, внутренним тестированием программы, сопоставлением с данными физических экспериментов, соответствием полученных результатов физиче ской сути исследуемых процессов.

Апробация работы. Работа докладывалась на следующих научных се минарах: на семинаре по механике сплошной среды им. Л.А. Галина под ру ководством профессоров В.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова, А.В. Ман жирова (Институт прикладной механики РАН, Москва, 2007 г.);

на семинаре под руководством академика Е.И. Шемякина (механико-математический фа культет Московского государственного университета, Москва, 2007 г.);

на семинаре «Геомеханика и геофизика», посвященном памяти академика С.В. Гольдина (Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Но восибирск, 2007 г.);

на семинаре «Геомеханика и геофизика» под руково дством академика С.В. Гольдина (Институт нефтегазовой геологии и геофи зики СО РАН, Новосибирск, 2000, 2002, 2004, 2005, 2006 гг.);

на семинаре под руководством профессора Ю.Л. Ребецкого (Институт физики Земли РАН, Москва, 2007 г.);

на семинаре Института динамики геосфер РАН, Мо сква, 2006 г.

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих меж дународных и всероссийских конференциях: «Геодинамика и напряженное состояние недр Земли», Новосибирск, 2007 г.;

«Advanced Problems of Me chanics», Санкт-Петербург, 2004, 2005, 2006, 2007 гг.;

на Международных конференциях по физической мезомеханике, компьютерному конструирова нию и разработке новых материалов, Томск, 2004, 2006 гг., «Геофизические исследования литосферы Сибири», Новосибирск, 2006 г.;

16th European Conference on Fracture, Alexandroupolis, Greece, 2006;

на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г.;

на II Международном симпозиуме «Активный геофизический мониторинг литосферы Земли», Новосибирск, 2005 г.;

Int. Congress of Fracture (ICF-XI), Turine, Italy, March 20–25, 2005;

Int. Workshop «Mesomechanics: Foundations and Applications», Томск, 2001, 2003, 2004 гг.;

International Conference on Heterogeneous Materials Mechanics (ICHMM-2004), Chongqing, China, 2004;

Int. Conf. «Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technologies», Томск, 1995, 2001, 2003 гг., Байкальск, 1997 г.;

13th Int. Workshop «Computational Mechanics of Materials» (IWCMM-13), Magdeburg, Germany, 2003;

«Напряженно-деформированное состояние и сейсмичность литосфе ры», Иркутск, 2003;

на I Международной конференции «Байкальские чтения по моделированию процессов в синергетических системах», Улан-Удэ, 2002 г.;

International Conference «Shock Waves in Condensed Matter», St. Petersburg, 1998, 2002 гг.;

International Conference «Role of Mesomechanics for Development of Science and Technology», Xi’an, China, 2000;

Int. Conf.

MESOMECHANICS’98, Tel Aviv, Israel, 1998;

8-th Int. Workshop on Computa tional Mechanics of Materials IWCMM8, Stuttgart, Germany, 1998;

на Междуна родной конференции «Shock Waves in Condensed Matter», Санкт-Петербург, 1998 г.;

на V Всероссийской конференции «Механика летательных аппаратов и современные материалы», Томск, 1998 г.;

на Всероссийской конференции молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов», Томск, 1998 г.;

на Международных конференциях «Workshop on New Models and Numerical Codes for Wave Processes in Condensed Media», Санкт-Петербург, 1995 г., Оксфорд, 1997 г.;

на Международной конференции «Mathematical Methods in Physics, Mechanics and Mesomechanics of Fracture», Томск, 1996 г.;

на XIII сессии Международной летней школы «Модели и методы механики сплошной среды», Санкт-Петербург, 1995 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 48 статей, из них 22 — в российских журналах из перечня ВАК, 7 — в зарубежных рецензи руемых журналах, 14 — в материалах международных и всероссийских кон ференций, 1 — в коллективной монографии.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех разде лов, заключения и списка цитированной литературы, состоящего из 372 наименований. Объем работы — 292 страницы, включая 158 рисунков и 16 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В зависимости от условий нагружения, а также структуры материала (пористости, трещиноватости, минерального состава) развитие деформации за пределом упругости сопровождается различными явлениями, рис. 1. На пример, в условиях растяжения быстро развиваются магистральные трещи ны. В условиях сдвига поведение становится более сложным, часто сопрово ждается объемными изменениями и сильно зависит от давления. В этом слу чае возможно образование крупных трещин, которым, как правило, предше ствовало разрыхление, рассеянное накопление микротрещин с увеличением объема и локализация деформации. В высокопористых материалах увеличе ние давления приводит к дроблению зерен и сокращению порового про странства. При больших давлениях в случае плотных сред возможен переход к дислокационному механизму пластичности.

Рис. 1. Схема явлений, наблюдаемых в плотных и высокопористых геологи ческих средах при различных условиях нагружения В диссертации основное внимание уделено поведению геологических сред в условиях сдвига и сжатия. Однако, принимая во внимание возможность образования зон растяжения и формирования трещин при неравноосном сжа тии и сдвиге, изложен подход, позволяющий моделировать процессы дефор мирования с учетом данных явлений, а также рассмотрен ряд таких задач.

В первом разделе изложен общий подход к решению задач, второй и третий разделы посвящены детализации моделей математического описания и исследованию деформирования соответственно плотных и высокопористых сред, а в последнем разделе выполнено моделирование процессов деформа ции в геосредах с использованием разработанных моделей.

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сфор мулирована цель работы, перечислены новые результаты, раскрыта их прак тическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, и опи сана структура диссертации.

В первом разделе излагается общая физико-математическая постанов ка задачи, записана система уравнений механики сплошной среды, приведе ны начальные и граничные условия. Изложен метод численного решения за дач и приведена конечно-разностная схема. Обсуждаются достоинства и не достатки метода решения. Кратко описаны проблемы, возникающие при рас чете разрушения твердых тел, и изложены подходы к их решению.

Система уравнений, используемая для описания процессов деформа ции, включает:

– уравнение неразрывности d + ui,i = 0, (1) dt – уравнения движения du ij, j + Fi =. (2) dt Здесь — плотность материала;

ui — компоненты вектора скорости;

ij — компоненты тензора напряжений Коши;

Fi — массовые силы;

индекс после запятой означает производную по соответствующей координате. Ввиду того, что в определяющие соотношения используемых в работе моделей не входит внутренняя энергия, уравнение энергии исключено из системы. Данное урав нение рассматривалось лишь при тестировании моделей.

Связь между напряжениями и деформациями для упругого поведения описывается гипоупругим законом:

ij = ij + sij, (3) Dsij Dsij = 2µ ij kk ij, = sij sik jk s jk ik, (4) & & & & & Dt 3 Dt & V = K. (5) & V Здесь использовано разложение тензора напряжений на шаровую и девиа торную части;

= kk 3 — среднее давление;

sij — компоненты девиатора тензора напряжений;

ij — символ Кронекера;

ij — компоненты тензора & скорости деформации;

K и µ — модули всестороннего сжатия и сдвига соот ветственно;

— антисимметричный тензор скорости вращения.

& Пластическая деформация определяется в соответствии с уравнением предельной поверхности и пластическим потенциалом:

g p p p f ( ij, ij ) = 0, g ( ij, ij ) = 0, d ij = d (6), ij где f — уравнение предельной поверхности (функции нагружения);

g — пла стический потенциал;

— множитель, определяемый в ходе процесса де p формации;

ij — компоненты пластической (неупругой) деформации.

В работе рассматриваются процессы деформирования в двумерной по становке для условий плоской деформации, когда:

u z = 0, xz = yz = zz = 0.

& & & В разделе приведены основные алгоритмы стабилизации расчетной сет ки для устранения осцилляций и искажений формы расчетных ячеек, имею щих нефизичную природу. Один из таких алгоритмов искусственной «мо ментной» вязкости предложен автором. Данный тип искусственной вязкости практически не отражается на времени вычислений, в отличие от традицион ных вязкостей углового и треугольного типа, при этом в ряде задач показы вает высокую эффективность.

В рамках общего динамического подхода изложен эффективный спо соб решения задач квазистатического нагружения. С этой целью приложение нагрузки осуществляется таким образом, чтобы влияние динамических эф фектов, обусловленных распространением упругих волн в исследуемом объ екте, на процессы деформирования было несущественным. Установление квазистационарного состояния в рассматриваемой области материала обес печивается, если нагрузка прикладывается плавным образом, когда длитель ность ее возрастания или изменения превышает время, необходимое для не скольких пробегов волны по длине образца: t0 = n L c, где L — наибольший (эффективный) размер расчетной области;

с — скорость продольной волны;

n — множитель, значение которого подбирается исходя из конкретной зада чи. Удовлетворительные результаты для задач квазистатического нагружения получаются при n 10. Применение такого подхода дает возможность рас сматривать развитие процесса, что особенно важно при исследовании лока лизации пластической деформации и разрушении.

а б Рис. 2. Схема разделения узлов расчетной сетки для описания разрушения.

Возможные конфигурации трещин при разделении узлов (а) и фрагмент рас четной сетки при наклонном росте трещины (б) Учет образования и роста макроскопических трещин, превышающих размер шага дискретизации при численном моделировании, осуществляется явным образом с формированием свободных поверхностей путем разделения узлов сетки (Wilkins M.L., 1972, 1999, Гриднева В.А., Немирович-Данчен ко М.М., 1983), который обеспечивает автоматический учет концентрации напряжений в вершинах трещин независимо от их числа, рис. 2. Для расчета образования и роста трещин использовалось условие разрушения в виде:

eff = *, (7) которое при наличии трещины эквивалентно условию K i = K ic, где eff — эффективное и * — критическое напряжения, K i — коэффициент интен сивности напряжений.

Описаны алгоритмы расчета контактного взаимодействия и сопряже ния сеток. Процедура контактного взаимодействия сеток основана на тради ционном подходе, который обеспечивает непроникновение расчетных облас тей путем коррекции скорости граничных узлов расчетной сетки в зоне взаи модействия.

Алгоритм сопряжения сеток был разработан с целью совместного ис пользования различных подходов к описанию процессов деформирования и может быть использован для сопряжения сеток с различным шагом дискре тизации, а также расчета контактного взаимодействия.

В последней части раздела приведен ряд примеров, иллюстрирующих работу алгоритмов, а также область применения разработанной программы и достоверность полученных результатов расчетов.

Во втором разделе диссертации рассматриваются процессы упруго пластической деформации и образования трещин в плотных консолидиро ванных геологических средах и других хрупких материалах. При этом счита ется, что в ходе неупругой деформации происходит накопление поврежде ний, снижающих прочность материала, а раскрытие трещин может происхо дить под действием растягивающих и касательных напряжений. Описание неупругой деформации при сохранении макроскопической сплошности осу ществляется в рамках континуального подхода с использованием теории пла стического течения. Поэтому под пластической деформацией понимается любое неупругое поведение, не связанное с развитием макроскопических трещин, независимо от его природы.

Выполнена детализация модели Николаевского с неассоциированным законом течения и поверхностью предельного состояния в виде конуса Мизе са–Шлейхера (Друккера–Прагера) (Николаевский В.Н., 1971, 1972). Основ ное внимание уделено построению соотношений, необходимых для проведе ния численных расчетов, исследованию влияния параметров модели на ха рактер поведения, а также построению зависимостей, обеспечивающих соот ветствие результатов моделирования экспериментальным данным.

В качестве условия пластичности применяется условие Мизеса– Шлейхера, рис. 3, в виде:

+ = Y, (8) где — второй инвариант девиатора напряжений;

— коэффициент внут реннего трения, Y — сдвиговая прочность материала, или сцепление.

Рис. 3. Вид предельной поверхности в модели Друккера–Прагера–Николаевс кого (c = Y) В отличие от классической формулировки модели Друккера–Прагера, в мо дели Николаевского используется неассоциированный закон течения:

g &p & ij = (9), ij где g — пластический потенциал, который записывается в виде:

g ( ij ) = 2 + (2Y ) + const. (10) Это равносильно введению связи между объемной p и сдвиговой p частями пластической деформации:

p = p, (11) & kk & &p &p где p = 2 (eij eij 2) 1 2 — интенсивность сдвиговой пластической деформа & p 1p p ции;

eij = ij kk ij ;

— коэффициент дилатансии.

Построены зависимости параметров модели (сцепления, коэффициента дилатансии и др.) от накопленной неупругой деформации и величины сред него напряжения. Принято, что в ходе развития неупругой деформации про исходит изменение поверхности предельного состояния, а также накопление повреждений, которое макроскопически проявляется в объемных изменени ях, т.е. в дилатансии среды. Упрочнение среды описывается соотношением:

Y ( p ) = c0[1 + h( A( p ) D( p ))], (12) где h — коэффициент упрочнения. Как наиболее часто используемые, при меняются линейная зависимость для учета упрочнения A( p ) = 2 p * (13) и квадратичная зависимость для учета разупрочнения (накопления повреж дений) D( p ) = ( p * ) 2, (14) * — критическая деформация, после достижения которой преобладает де градация материала.

Кроме того, предложено учитывать влияние давления не только на прочность материала, но также и на предельную деформацию, которую мате риал выдерживает до начала деградации:

* = * (1 + w * ), (15) где * — пластическая деформация начала разрушения при отсутствии об жимающего (сдерживающего) давления;

w и * — параметры. Такой способ позволил описать переход от хрупкого к «вязкому» характеру поведения с ростом давления.

Из полученных в работе выражений общей модели при соответствую щих значениях параметров как частные случаи следуют соотношения моде лей Друккера–Прагера с ассоциированным законом течения ( = ), а также Прандтля–Рейса с условием текучести Мизеса при независимости функции текучести от первого инварианта напряжений ( = = 0).

Выполнены расчеты по распространению трещины вблизи границы раздела сред при неравноосном сжатии хрупкого тела и в образцах с дефек том в виде отверстия. На рис. 4 показаны некоторые результаты расчета рос та трещин с использованием алгоритмов разделения узлов расчетной сетки и контактного взаимодействия поверхностей. Полученные результаты показали возможность качественного описания расчета образования и роста трещин в условиях взаимодействия их поверхностей, что особенно актуально для опи сания процессов разрушения в геосредах.

Проведено исследование влияния параметров модели на характер по ведения и картину разрушения моделируемого объекта. Отмечено сущест венное влияние коэффициента дилатансии как упрочняющего фактора на развитие пластической деформации.

а б в Рис. 4. Результаты численного расчета роста трещин при неравноосном сжа тии образцов хрупких материалов с наклонной трещиной (а), центральным отверстием (б) и в неоднородном пористом образце песчаника (в) а б Рис. 5. Кривые зависимости напряжений Q = 1 – 2 от осевой (a) и объемной (б) частей деформации образца песчаника. Сплошная линия — расчет, пунк тирная — экспериментальные данные (Labuz J.F. et al., 1996) Рассмотрен ряд задач о деформации образцов песчаника, найдены па раметры, обеспечивающие хорошее совпадение полученных кривых нагру жения с экспериментальными данными. Показано, что за счет дилатансион ного упрочнения возможно продолжение роста напряжений несмотря на снижение величины сцепления. На рис. 5 приведено сопоставление результа тов расчета с имеющимися в литературе экспериментальными данными по деформированию образцов песчаника в условиях, соответствующих плоской деформации. Хорошо видно качественное и количественное совпадение на кривых нагружения.

На рис. 6 показаны результаты расчета деформирования образцов пес чаника при различных значениях боковой нагрузки. Полученные результаты качественно соответствуют экспериментальным наблюдениям и иллюстри руют выраженную зависимость поведения образцов от величины бокового давления. С ростом давления происходит переход от хрупкого к «вязкому»

характеру поведения подобных материалов.

Известно, что на поведение геоматериалов заметное влияние оказывает трение на поверхностях приложения нагрузки. В условиях сжатия с увеличе нием трения возрастает эффективная прочность образцов, что объясняется возникновением условий, сдерживающих развитие трещин, которые содер жатся в материале. С целью исследования этого вопроса и проверки возмож ности описания данного эффекта выполнены расчеты деформирования одно родных и неоднородных образцов при различных условиях на торцевых по верхностях.

а б Рис. 6. Результаты численного расчета деформации образцов пес чаника. Зависимость деформирую 7,43E+ щих напряжений от осевой (а), объемной (б) частей деформации и 5,38E+ распределение интенсивности сдвиговой деформации (%) в де 3,72E+ формированном образце при боко вом давлении с = 50 МПа (в).

1,66E+ Цифрами над кривыми указано бо ковое давление в 0,00E+ Анализ процесса деформирования однородных образцов при невысо ком боковом давлении показал, что наибольшая эффективная прочность на блюдалась в случае идеального скольжения на поверхностях приложения на грузки. В случае жесткого сцепления в угловых точках возникала концентра ция напряжений, что приводило к формированию полос локализованного сдвига. Такое поведение характерно для пластичных, но не хрупких геологи ческих материалов. В условиях сильного бокового обжатия эффективная прочность была одинаковой, угловые точки в качестве концентраторов на пряжений не проявлялись.

При рассмотрении деформирования образцов с явным учетом неодно родности структуры материала с ростом трения проявилось возрастание эф фективной прочности. В этом случае уровень концентрации напряжений вблизи пор оказался существенно выше, чем в угловых точках образца. По этому возникновение сжимающих поперечных напряжений вблизи поверх ностей приложения нагрузки затруднило развитие полос локализации и тре щин от неоднородностей структуры и обеспечило увеличение эффективной прочности. Полученные картины локализации деформации и растрескивания неоднородных образцов песчаника показаны на рисунках 4(в), 7.

Рассмотрены задачи о деформировании образцов горной породы жест ким штампом, рис. 8. Исследовано влияние параметров модели на развитие полос локализации деформации. При нулевых значениях коэффициентов внутреннего трения и дилатансии, что эквивалентно использованию модели Прандтля–Рейса, полученная картина локализации деформации совпадает с известным решением Прандтля, рис. 8, а. Решение задачи с учетом внутрен него трения и дилатансии показало, что с увеличением данных коэффициен тов зона локализации заметно расширяется, рис. 8, б. При значениях пара метров, характерных для геосред, развитие полос локализации происходит сначала в глубину, а затем полосы выходят на поверхность на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки, вовлекая в процесс де формирования обширную зону вокруг области воздействия, рис. 8, в.

а б в Рис. 7. Рассчитанные картины локализации деформации в неоднородном об разце при различных условиях на торцевых поверхностях: идеальное сколь жение (а), запрет скольжения (б) и зависимости напряжений Q = 1 – 2 от осевой деформации образца при различных условиях на торцевых поверхно стях (в). Кривая 1 — «фиксированные» торцы (большое трение), 2 — при ус ловии идеального скольжения. Пористость ~2 % а б Рис. 8. Локализация деформа ции при вдавливании жестко го штампа в упругопластиче скую среду для разных значе ний коэффициентов внутрен в него трения и дилатансии:

= = 0 (а);

= 0.25, = 0.15 (б);

= 0.546, = 0.12 (в) В случае малой толщины образца полосы локализации могут достиг нуть его основания, тем самым разделить его на отдельные фрагменты. Такая особенность поведения геосред наблюдается при значительной разнице меж ду коэффициентами внутреннего трения и дилатансии и поэтому не может быть описана в рамках классической модели Друккера–Прагера.

Проведенные расчеты показали, что при развитии полосы локализо ванной деформации возможно проявление расклинивающего эффекта за счет дилатансии среды в зоне локализации, что может привести к появлению тре щины отрыва, распространяющейся в глубину образца.

Выполненные во втором разделе исследования позволили показать ряд важных особенностей поведения геологических сред и других хрупких мате риалов. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными дан ными позволяют сделать вывод об адекватности предложенной модели для описания деформирования геоматериалов.

Третий раздел посвящен разработке модели для численного описания процессов деформации высокопористых сред, исследованию процессов уп лотнения и формирования зон локализации.

Рассмотрены основные существующие модели, применяемые при изу чении процессов уплотнения высокопористых геоматериалов. На основе мо дифицированной модели Друккера–Прагера–Николаевского построены до полнительные соотношения, позволяющие рассматривать процесс уплотне ния высокопористых сред. Выполнена модификация модели Рудницкого (Rudnicki J.W., 2004, Grueschow E., Rudnicki J.W., 2005). Получены соотно шения, необходимые для проведения численных расчетов, и построены соот ветствующие алгоритмы. Выполнен анализ влияния параметров (упрочнения, коэффициента дилатансии и др.) на развитие процесса. На ряде примеров по казано, что предложенные модели позволяют описывать процессы локализо ванного уплотнения.

Показано, что для описания процесса уплотнения высокопористых ма териалов определяющее значение имеет изменение поверхности предельного состояния в ходе деформирования. Поэтому особенно важно определить за висимости параметров модели от степени уплотнения вещества. В области низких давлений, когда процесс деформирования материала не сопровожда ется уплотнением, предложено применить функции, аналогичные использо ванным в модели плотных сред, с более выраженной зависимостью коэффи циента дилатансии от среднего давления. В области давлений, превышающих пороговое значение, соответствующее переходу к уплотнению вещества, па раметры модели становятся функциями изменения пористости и сдвиговой деформации.

Рассмотрен процесс уплотнения высокопористого песчаника, и проана лизировано влияние параметров моделей, а также вида функций, описываю щих изменение предельной поверхности, на картину деформирования и фор мирование полос локализованного уплотнения. Построены кривые нагруже ния при различном боковом давлении образцов, и выполнено сопоставление с экспериментальными данными.

Рассмотрено развитие полосы локализованного уплотнения. Показано, что напряженное состояние, создаваемое перед вершиной полосы локализо ванного уплотнения, способствует ее продвижению, что соответствует харак теру антитрещины отрыва. Численное моделирование позволило показать, что напряженно-деформированное состояние при развитии деформации в полосе локализованного сжатия неоднородно, соответственно не совпадают в различных точках среды и пути нагружения.

Анализ процессов деформирования образцов песчаника с использова нием модифицированных моделей Друккера–Прагера–Николаевского и Руд ницкого показал, что возможно одновременное проявление различных меха низмов неупругой деформации. При формировании полос локализованного сдвига-уплотнения в отдельных областях образца могут возникнуть зоны раз рыхления. Поэтому для полноценного описания поведения геологических сред под нагрузкой необходимо принимать во внимание весь спектр возмож ных явлений, включая образование зон разрыхления и уплотнения, а также раскрытие макроскопических трещин.

Построена комбинированная модель с предельной поверхностью, кото рая аналогична предельной поверхности в модели Ди Маджио–Сандлера (Di Maggio F.L., Sandler I.S., 1971). Данная модель позволяет рассматривать по ведение материалов в широком диапазоне изменения параметров нагрузки, т.к. она объединяет основные достоинства модифицированных моделей Друккера–Прагера–Николаевского и Рудницкого.

Предельная поверхность, рис. 9, в области сдвиговой деформации на интервале давлений t 0 описывается уравнением f1 (, ) = c (16) и при давлениях 0 — уравнением ( 0 ) 2 f 2 (, ) = + 2 1 = 0. (17) a2 b Учет упрочнения в ходе сдвиговой пластической деформации осущест вляется с использованием функции (12). Расширение поверхности при уп лотнении среды описывается с помощью зависимости:

m * 0 () = 0, a = a0 + r 0, (18) Рис. 9. Обобщенная комбинированная предельная поверхность для плотных и высокопористых сред: 0, 1 — значения давления начала уплотнения вы сокопористых материалов при неравноосном и всестороннем сжатии соот ветственно, M — давление перехода к дислокационному механизму пла стичности где, * — соответственно текущая и исходная пористости среды, r — ко эффициент. Вершина эллипса скользит вдоль поверхности (16), и ее коорди наты определяются как b = c + 0.

Уравнение пластического потенциала удобно записать в виде:

g = +, (19) так что = ;

= sin ;

= cos.

На рисунках 10–12 приведен ряд примеров численного исследования уплотнения высокопористых образцов песчаника. Полученные результаты имеют хорошее качественное сходство с экспериментальными данными и учитывают основные особенности поведения такого типа материалов. На пример, на рис. 10 видно, что применение зависимости (18) позволяет учесть характер расширения предельной поверхности с уменьшением пористости материала. На рис. 11 показано сопоставление расчетных и эксперименталь ных кривых изменения давления от объемной деформации. Здесь также вид но хорошее качественное сходство полученных результатов с данными экс периментов. На рис. 12, где показаны рассчитанные картины локализации в последовательные моменты времени, видно, что при формировании полос локализованного уплотнения разница величины деформации в зоне локали зации и вне ее ограничена. С ростом нагрузки происходит расширение имею щихся полос локализации и формирование новых;

постепенно степень де формации в образце выравнивается и затем уплотнение протекает однородно.

а б Рис. 10. Зависимость среднего давления от объемной деформации образцов при всестороннем сжатии образца высокопористых материалов: а — резуль таты расчетов для песчаника с пористостью 10 (1) и 30 % (2) и б — экспери ментальные данные (Karner S.L. et al., 2003) а б Рис. 11. Результаты численного расчета деформации высокопористого песча ника при однородном уплотнении (а) и экспериментальные данные (Fortin J.

et al., 2005) (б). Цифрами указано давление бокового обжатия Рис. 12. Формирование и расширение полос локализации уплотнения при осевом сжатии образцов высокопористого песчаника при боковом давлении 80 МПа. Показано распределение объемной деформации в последовательные моменты времени Отмеченная особенность имеет место, если не формируются полосы локализованного сдвига, в противном случае происходит локализованный сдвиг и разрушение.

Изучено формирование полос локализации и развитие однородного уп лотнения при различной величине обжатия образцов. Показано, что степень локализации связана со скоростью расширения поверхности предельного со стояния. Выполнено сопоставление характера полученных кривых нагруже ния с экспериментальными данными. Определен диапазон величины боковой нагрузки, при котором наблюдается формирование полос локализованного уплотнения.

Рассмотрены пути нагружения различных точек среды при формирова нии полос локализованного уплотнения и сдвига с уплотнением. Показано, что при формировании полос локализации нагружение близких точек среды протекает по различным путям, рис. 13, что может быть обусловлено тремя причинами: неоднородной структурой материала, неоднородностью напря женно-деформированного состояния, динамическим возмущением напря женного состояния. С началом локализации пути нагружения точек, лежащих в зоне локализации и вне ее, резко меняют свое направление. Причем при формировании полос уплотнения и сдвига с уплотнением направления изме нений путей нагружения имеют противоположный характер, рис. 13.

а б Рис. 13. Пути нагружения двух различных точек образца при формировании полос локализации. Точка 1 лежит в зонах локализации сдвига с уплотнением (а) и уплотнения (б) Четвертый раздел посвящен численному моделированию процессов деформации в геологических средах. Выполнено решение модельных задач, а также задач о процессах деформации в конкретных областях земной коры.

Впервые смоделировано формирование полос локализованного сдвига Риде ля в слое среды, рис. 14. Показано, что формирование данных полос харак терно для сред, обладающих внутренним трением и дилатансией.

При сдвиговом деформировании слоя, ограниченного жесткими стен ками, практически с самого начала деформирования возникают полосы лока лизованной деформации. Можно наблюдать основные и сопряженные систе мы полос деформации, различающиеся углом наклона и интенсивностью.

Интенсивность деформации в последних существенно ниже, чем в основных, лишь в самом начале деформирования они оказывались близки. Угол наклона основных полос в зависимости от параметров среды менялся в пределах от 10° до 23°, а наклон дополнительных сопряженных полос составлял около 70° и более. Дополнительные или сопряженные полосы первоначально воз никают в центральной части слоя, где наиболее стесненные условия дефор мирования. Обратное смещение стенок и соответственно деформация обрат ного знака приводят к формированию новых полос локализации, аналогич ных первоначальным, так что среда покрывается «ромбической» сеткой по лос, рис. 14, б.

Не вызывает сомнений, что характер формирования и развития полос локализованного сдвига определяется условиями нагружения и параметрами среды. Угол наклона полос зависит от коэффициентов внутреннего трения и дилатансии. Заметно упрочняющее влияние коэффициента дилатансии, по вышение его значения может привести к однородной деформации, за исклю чением торцов, где всегда возникают полосы локализации. При малых значе ниях коэффициента дилатансии деформация с самого начала имеет локализо ванный характер практически в любых условиях деформирования.

Рассмотрены модельные задачи для области, содержащей нарушение.

Показано, что пластическая деформация в среде развивается в виде пары по лос от вершины нарушения. Изучено влияние состояния среды на характер развития неупругой деформации и картину разрушения вокруг нарушения.

а t t б Рис. 14. Формирование полос локализованной деформации Риделя при сдви ге по границам слоя среды: = 0.9, = 0.05 (а) и полосы локализации при прямом t1 и обратном t2 сдвиге: = 0.63, = 0.115 (б) y 0. С 0. 0. 0. 0. 0. 0. x x 0. 0. 0. 0. Ю y Рис. 15. Нормированные «кулоновские напряжения» (С = = ( ) c) в об ласти Чаган-Узунского блока, показанного на рисунке белой пунктирной ли нией. Светлая область, где действуют наибольшие напряжения, является ме стом инициации разрыва Получено, что в зоне нарушения с высокой пористостью и трещинова тостью деформация может развиваться по различным механизмам: как тра диционно рассматриваемому механизму сдвига с разрыхлением среды, так и по механизму сдвига с уплотнением. В соответствии с этим будет иметь ме сто сближение или раздвижение поверхностей нарушения, что может слу жить объяснением некоторых наблюдений в реальных геологических струк турах.

Для области Алтайского (Чуйского) землетрясения 2003 г. рассмотрено влияние Чаган-Узунского блока на место инициации и развитие разрыва. По казано, что в условиях смещения фундамента вдоль существующего разлома возникает сдвиговая деформация, приводящая к повороту более жесткого блока среды. Такой характер деформации обеспечивает формирование зон повышенных и пониженных кулоновских напряжений. Области пересечения указанных зон с имеющимся разломом могут стать местом зарождения и торможения разрыва, рис. 15. Проведенные расчеты показали, что характер и направление развития разрыва зависят от соотношения между величиной сцепления и прочностью, обусловленной трением в разломе. Здесь также продемонстрировано, что в условиях высокого сжатия возможны различные режимы развития неупругой деформации, сопровождающиеся как разрыхле нием, так и уплотнением среды.

Рассмотрена ситуация, когда развитию разрыва вдоль разломной зоны препятствует перекрывающий блок. Показано, что на начальном этапе раз рушения блока происходит постепенное смещение в разломе. После полного разрушения перекрывающего блока возможна реализация сверхбыстрого распространения (превышающего скорость распространения поперечных волн) разрыва вдоль линии разлома. Рассмотрено влияние трения в зоне раз лома на развитие разрыва и выполнено сопоставление результатов, получен ных в рамках представлений о процессе как распространении трещины и раз витии деформации в разупрочняющейся пластической среде. В итоге, впер вые смоделированы условия, обеспечивающие аномально высокую скорость распространения разрывов в земной коре.

Рассмотрена задача о влиянии гравитационных сил на структуру Бай кальской рифтовой зоны. С использованием плотностных и сейсмических моделей структуры для двух вертикальных сечений Байкальского рифта най дены прочностные характеристики, обеспечивающие деформационную кар тину, соответствующую современной структуре. На рис. 16 приведено полу ченное распределение интенсивности деформации по одному из профилей.

Таким образом, получено, что одним из существенных факторов в формиро вании и развитии Байкальского рифта является гравитационная неустойчи вость, обусловленная неоднородностью строения и наличием плотностных аномалий.

Рис. 16. Рассчитанное распределение интенсивности деформации литосферы по профилю, пересекающему Байкальскую рифтовую зону (п. Усть-Уда – п. Хилок) Для области геологической среды, находящейся под действием грави тационных сил, рассмотрены задачи о распространении сейсмических волн.

На границе раздела упругой и пластической областей, а также во всей пла стической области распространение волны будет сопровождаться измене ниями формы импульса и возникновением отраженных волн меньшей интен сивности. Таким образом, показано, что наличие пластических зон может проявлять себя в роли сейсмических границ, а распространение упругих волн в критически напряженных областях может сопровождаться развитием неуп ругой деформации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Использованный для моделирования процессов деформации и раз рушения геологических сред подход, базирующийся на решении уравнений динамики упругопластической среды по явной схеме, является эффективным средством решения задач о деформации и разрушении в условиях квазиста тического и динамического видов нагружения.

2. Предложенные модели упругопластического деформирования геома териалов описывают важнейшие особенности поведения соответствующих материалов за пределом упругости, включая процессы локализации дефор мации и разрушения в плотных и высокопористых средах. Показано, что при менение модифицированной модели Друккера–Прагера–Николаевского эф фективно для описания процессов, сопровождающихся разрыхлением среды, а также при незначительном уплотнении, например на начальной стадии на гружения, когда наблюдается схлопывание некоторого количества пор и трещин. Модель с эллиптической поверхностью предельного состояния мо жет быть использована для моделирования процессов интенсивного уплот нения среды. Наиболее универсальной является комбинированная модель, которая позволяет рассматривать деформирование как плотных, так и высо копористых сред в широком диапазоне нагрузок.

3. Использование моделей упруго-хрупкопластических сред позволяет описать важнейшие особенности поведения соответствующих материалов, включая процессы локализации деформации и разрушения. Такие расчеты могут быть полезны для проверки гипотез о структуре и действующих усло виях нагружения геосреды, подбора значений параметров, а также для объяс нения и предсказания их поведения. В то же время, представление неодно родных пористых и трещиноватых материалов как эффективной однородной упруго-хрупкопластической среды не позволяет учесть некоторые особенно сти их поведения, например, зависимость эффективной прочности и картины разрушения от трения в области воздействия. В ряде случаев для наиболее адекватного описания процесса деформирования неоднородных пористых и трещиноватых материалов необходимо принимать во внимание особенности их структуры, а также рост трещин.

4. При внедрении жесткого штампа в геосреде происходит формирова ние полос локализации, развивающихся в глубину образца, которые затем выходят на свободную поверхность на значительном удалении от зоны воз действия. Таким образом, в деформацию вовлекается обширная зона вокруг области воздействия. Вблизи поверхностей приложения сжимающей нагруз ки действуют условия, сдерживающие развитие трещин и неупругой дефор мации в неоднородном материале.

При распространении полосы локализованного сдвига за счет дилатан сии возможно появление расклинивающего эффекта, в результате чего фор мируются трещины отрыва, распространяющиеся в глубину образца.

5. Формирование полос локализованного уплотнения происходит на начальной стадии уплотнения, когда изменение пористости сопровождается наименьшим расширением поверхности предельного состояния. С ростом нагрузки происходит постепенное расширение зоны локализованного уплот нения на весь образец, после чего степень уплотнения в образце выравнива ется и в дальнейшем протекает однородно. Такая особенность развития де формации отличается от характера локализации по сдвиговому механизму, при котором происходит рост деформации лишь в зоне локализации и, как правило, сопровождается сбросом напряжений.

Формирование полос локализации связано с нагружением близких то чек среды по различным путям, что может быть обусловлено тремя причина ми: наличием неоднородной структуры материала, неоднородностью напря женно-деформированного состояния и динамическим возмущением напря женного состояния. С началом локализации деформации пути нагружения точек, лежащих в зоне локализации и вне ее, резко меняют свое направление.

Причем при формировании полос уплотнения и сдвига с уплотнением на правления изменений путей нагружения имеют противоположный характер.

Можно предположить возможность провоцирования разного типа локализа ции с помощью соответствующего воздействия.

6. Формирование периодической системы полос локализованной де формации Риделя в условиях сдвигового деформирования слоя геосреды яв ляется характерной особенностью нелинейного поведения сред, обладающих внутренним трением и дилатансией. Ориентация данных полос определяется, в первую очередь, характером нагружения и свойствами среды, в то время как на их периодичность существенно влияет и геометрия области. В услови ях кинематических ограничений повышается роль дилатансии как упроч няющего фактора. Наиболее четкое проявление полос Риделя наблюдается при небольших значениях коэффициента дилатансии.

7. Наличие «жесткого» блока в геологической среде оказывает сущест венное влияние на развитие деформации в его окрестности. Для области в окрестности Чаган-Узунского блока получено, что в условиях сдвига возни кает поворот блока, что приводит к возникновению ослабленных и упроч ненных зон, находящихся вблизи разломной зоны. В зависимости от уровня напряжений может изменяться как место инициации, так и направление раз вития разрыва.

Анализ процесса деформирования среды с нарушением, имитирующим зону разлома, показал возможность реализации и смены различных режимов развития неупругой деформации в зонах повышенной пористости и трещи новатости. В таких областях протекание сдвиговой деформации может про исходить как с расширением, так и с уплотнением, в зависимости от состоя ния среды и уровня напряжений. Изменение напряженного состояния может привести к смене режима деформирования.

8. Указана одна из схем деформирования, обеспечивающая аномально высокую скорость распространения разрывов в земной коре. В условиях сдвига может происходить сверхбыстрое распространение разрыва вдоль ли нии разлома со скоростью, превышающей скорость поперечных и прибли жающейся к скорости распространения продольных волн. Это возможно в случаях, когда развитию разрыва препятствовал участок сильноупрочненной среды или блок, выполняющий функцию перемычки.

9. Численное исследование показало влияние гравитационной неустой чивости как фактора формирования и развития Байкальской рифтовой зоны.

На основе плотностных и сейсмических моделей структуры Байкальского рифта найдены параметры, при которых под действием силы тяжести рас считанная деформационная картина для двух вертикальных сечений соответ ствует современному состоянию данного региона.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Стефанов Ю.П. Об инициации и распространения разрывов в раз ломной зоне // Физ. мезомех. – 2008. – Т. 11. – № 1. – С. 94–100.

2. Стефанов Ю.П. Численное моделирование деформирования и раз рушения горных пород на примере расчета поведения образцов пес чаника // ФТПРТИ. – 2008. – № 1. – С. 73–83.

3. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., Тру бицын А.А., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П., Ворошилов Я.С. Не линейная механика геоматериалов и геосред. – Новосибирск: Акаде мич. изд-во «Гео», 2007. – 240 с.

4. Стефанов Ю.П., Тьерселен М. Моделирование поведения высокопо ристых геоматериалов при формировании полос локализованного уп лотнения // Физ. мезомех. – 2007. – Т. 10. – № 1. – С. 93–106.

5. Стефанов Ю.П. Моделирование поведения консолидированных и высокопористых геологических сред в условиях сжатия // Вестник ПГТУ. Математ. моделир. систем и процессов. – 2007. – № 15. – С. 156–169.

6. Гольдин С.В., Суворов В.Д., Макаров П.В., Стефанов Ю.П. Структу ра и напряженно-деформированное состояние литосферы Байкаль ской рифтовой зоны в модели гравитационной неустойчивости // Гео логия и геофизика. – 2006. – Т. 47. – № 10. – С. 1094–1105.

7. Стефанов Ю.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упруго-хрупкопластичных материалов // Физ. мезомех. – 2005. – Т. 8. – № 3. – С. 129–142.

8. Makarov P.V., Stefanov Yu.P., Smolin I.Yu., Cherepanov O.I. Modeling of mechanical behavior of geomaterials on the mesoscale // Int. J. Multis cale Comput. Eng. – 2005. – V. 3. – Iss. 2. – P. 135–148.

9. Stefanov Yu.P. Numerical investigation of deformation localization and crack formation in elastic brittle-plastic materials // Int. J. Fract. – 2004. – V. 128(1). – P. 345–352.

10. Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Псахье С.Г. Совместное использова ние дискретного и континуального методов для моделирования про цессов деформации и разрушения в области контактного взаимодей ствия // Физ. мезомех.– 2004. – Т. 7. – Спец. выпуск. – Ч. 1. – С. 70–73.

11. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Чер тов М.А. Моделирование поведения сложных сред на основе совме стного использования дискретного и континуального подходов // Письма в ЖТФ. – 2004. – Т. 30. – Вып. 17. – С. 7–13.

12. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Шиль ко Е.В., Чертов М.А., Евтушенко Е.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно континуального подхода // Физ. мезомех.– 2003. – Т. 6. – № 6. – С. 11– 21.

13. Стефанов Ю.П. Локализация деформации и разрушение в геомате риалах. Численное моделирование // Физ. мезомех. – 2002. – Т. 5. – № 5. – С. 107–118.

14. Стефанов Ю.П., Поболь И.Л., Князева А.Г., Гордиенко А.И. Рост трещины вблизи границы раздела разнородных материалов в услови ях сжатия // Физ. мезомех. – 2002. – Т. 5. – № 1. – С. 81–88.

15. Stefanov Yu.P. Wave dynamics of cracks and multiple contact surface in teraction // J. of Theor. and Appl. Frac. Mech. – 2000. – V. 34/2. – P. 101– 108.

16. Cherepanov O.I., Smolin I.Yu., Stefanov Yu.P., Makarov P.V. Investiga tion of influence of internal structure of heterogeneous materials on plastic flow and fracture // Comp. Mater. Sci. – 1999. – V. 16. – Iss. 1–4. – P. 25– 31.

17. Makarov P.V., Smolin I.Yu., Prokopinsky I.P., Stefanov Yu.P. Modeling of development of localized plastic deformation and subsequent following fracture in mesovolumes of heterogeneous media // Int. J. Fract. – 1999. – V. 100(2). – P. 121–131.

18. Стефанов Ю.П. Численное исследование поведения упруго идеальнопластических тел, содержащих неподвижную и распростра няющуюся трещины, под действием квазистатических и динамиче ских растягивающих нагрузок // Физ. мезомех. – 1998. – Т. 1. – № 2. – С. 81–93.

19. Stefanov Y.P., Makarov P.V., Burkov P.V., Matveev V.S. Dynamic simu lation of chip generation and formation in metal cutting // J. Theor. Appl.

Frac. Mech. – 1997. – V. 28/2. – P. 117–124.

20. Немирович-Данченко М.М., Стефанов Ю.П. Применение конечно разностного метода в переменных Лагранжа для расчета волновых полей в сложнопостроенных средах // Геология и геофизика. – 1995. – Т. 36. – № 11. – С. 96–105.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.