авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Численно-аналитическое исследование проблемы штурма-лиувилля в задачах мдтт

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Промыслова Анна Сергеевна

Численно-аналитическое исследование проблемы

Штурма-Лиувилля в задачах МДТТ

Специальность: 01.02.06 Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор Д.В.Георгиевский

Официальные оппоненты: Доктор технических наук, профессор С.Н.Сухинин Доктор технических наук, профессор С.А.Лурье

Ведущая организация: Институт проблем механики Российской Академии Наук

Защита состоится 12 сентября 2008 года в 16 часов на заседании специализированного совета Д 501.001.91 по механике при Москов ском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу:

119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 июля 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001. профессор С.В. Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В механике деформируемого твердого тела и волновой динамике чрезвычайно важны методы и алгоритмы, представляющие решение задачи в виде разложения по некоторой системе функций. К таким методам относятся метод Фурье, метод интегральных преобразова ний и другие. Данные разложения хорошо изучены, когда каждая из функций, участвующая в них, зависит только от одной из пе ременных (пространственных либо временной), входящих в задачу.

Для нахождения естественной системы функций, по которой можно осуществить разложение, обычно решается определенная граничная задача для обыкновенного дифференциального уравнения, в широ ком смысле называемая задачей Штурма-Лиувилля.

Математический аппарат аналитического нахождения собствен ных значений, собственных функций и разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля хорошо развит и излагает ся, например, в классических учебниках по математической физике И.Г.Петровского, С.Г.Михлина, Н.С.Кошлякова, В.С.Владимирова.

Для анализа обобщенных задач Штурма-Лиувилля, задач с особыми точками и сингулярными возмущениями в механике используются приближенные аналитические и численные методы.

С появлением современных мощных компьютеров и суперком пьютеров возникает необходимость создания и апробации новых ме тодов исследования, в том числе и проблемы Штурма-Лиувилля, приспособленных именно для такого рода вычислительных средств.

Поиск алгоритмов, оптимизирующих вычисления в той или иной задаче на компьютерах с наперед заданными свойствами (быстро действием, памятью, архитектурой), является важной составляю щей частью вычислительной механики - науки, сформировавшей ся на стыке классической механики сплошной среды и методов вы числений и развиваемой в настоящее время в работах Б.Е.Победри, А.С.Кравчука, Г.М.Кобелькова, С.В.Шешенина и других механиков и математиков.

Одним из новых методов, о которых шла речь выше, слу жит метод ускоренной сходимости, предложенный в 90-е годы Л.Д.Акуленко и С.В.Нестеровым для анализа задач на собствен ные значения. С помощью этого метода с достаточно точной оцен кой собственного числа за несколько итераций получается искомое решение. Одним из достоинств этого метода является поиск каждо го собственного значения по отдельности. Кроме того, одновремен но численно определяются собственные функции, соответствующие каждому собственному числу.

В настоящей диссертации данный метод развивается на класс за дач Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициентами, модели рующих многие явления и процессы в механике сплошной среды, динамике и прочности машин, приборов и аппаратуры, что являет ся актуальным как с позиций теоретического так и практического интереса.

Цель работы.

1. Разработка численно-аналитического метода решения обоб щенной проблемы Штурма-Лиувилля с комплексными коэффици ентами.

2. Численно-аналитическое решение задачи о продольных и кру тильных колебаниях упругих стержней переменного поперечного се чения (концентраторов) для различных форм концентраторов, ти пов граничных условий и областей частот колебаний.

3. Ассимптотический анализ при малых безразмерных пределах текучести любого дискретного собственного значения вблизи грани цы области устойчивости в обобщенной задаче Рэлея, представляю щей собой задачу Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициен тами.

Научная новизна.

1. Разработан метод численно-аналитического решения обобщен ной проблемы Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициента ми, являющийся развитием метода ускоренной сходимости.

2. В задаче о продольных и крутильных колебаниях упругих стержней переменного поперечного сечения (концентраторов) для рассмотренных профилей построенные графики коэффициентов усиления показывают, что с увеличением номера собственного зна чения кривые стремятся к некоторой кривой, которая является их предельной. Данное утверждение справедливо как для условий пер вого, так и второго рода.

3. Разработан аналитический метод получения первого члена асимптотического разложения по малому безразмерному пределу текучести любого дискретного собственного значения обобщенной задачи Рэлея. По знаку этого члена можно судить об устойчивости того или иного профиля скорости относительно возмущения мате риальной функции среды - предела текучести при сдвиге.

Достоверность предложенного метода и результатов обеспечи вается строгостью постановок задач и математических методов их решения, анализом различных модельных и тестовых задач, сопо ставлением полученных результатов с теоретическими и экспери ментальными данными других авторов.

Используемые методы. В работе используются методы вычис лительной механики, методы функционального анализа, вариаци онного исчисления, методы теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Практическая ценность работы определяется тем, что рас смотренные в диссертации расчетно-теоретические схемы позволяют анализировать динамическое поведение материалов при продоль ных и крутильных колебаниях стержней переменного поперечного сечения. Подход к описанию процессов деформирования материалов и конструкций, предложенный в диссертации, позволяет существен но сократить материальные затраты на дорогостоящие лаборатор ные экспериментальные исследования.

Полученные результаты могут служить научно-методическим основанием для обоснования рациональных конструктивно технологических решений при проектировании и изготовлении акустических концентраторов различного назначения.

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта Рос сийского фонда фундаментальных исследований проект № 08-01 00231.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссерта ции, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

– Аспирантский семинар и научно - исследовательский семинар кафедры механики композитов механико - математического фа культета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф.

Б.Е.Победри.

– Научно - исследовательский семинар "Актуальные пробле мы геометрии и механики"на механико - математическом фа культете МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф.

Д.В.Георгиевского и д.ф.-м.н. М.В.Шамолина.

– Научно - исследовательский семинар "Задачи механики сплошной среды"в ИПМех РАН под руководством проф.

С.В.Нестерова и проф. Д.В.Георгиевского.

– Научно - исследовательский семинар кафедры теории упру гости механико - математического факультета МГУ им.

М.В.Ломоносова под руководством проф. И.А.Кийко.

– Научно - исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико - математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством академика РАН Е.И.Шемякина.

– Научная конференция Ломоносовские чтения, МГУ им.

М.В.Ломоносова, 2007, 2008 г.г.

– Научная конференция Ломоносов-2008, МГУ им.

М.В.Ломоносова, 2008г.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введе ния, трех глав, заключения и списка литературы из 110 наименова ний. Работа содержит 59 рисунков. Общий объем диссертации - страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится общая характеристика работы, вклю чающая в себя обоснование актуальности и научной новизны. Изло гается содержание диссертации и проведен обзор литературы, свя занной с темой диссертации.

В первой главе дается краткий обзор численно-аналитических методов решения проблемы Штурма-Лиувилля. Приводится метод Рэлея-Ритца, с помощью которого можно получить верхнюю оценку первого собственного значения на основе пробной функции, удовле творяющей граничным условиям задачи. Обсуждается метод уско ренной сходимости в случае граничных условий первого рода и тре тьего рода. Этот метод основан на сочетании вариационного подхо да, теории краевых задач и методов возмущений и приводит к ре куррентному алгоритму последовательного уточнения собственных чисел и функций. Как и "метод касательных"Ньютона, он обладает ускоренной (квадратичной) сходимостью.

Ряд проблем классической механики, теории упругости, теории колебаний приводит к обобщенной задаче Штурма-Лиувилля, в ко торой коэффициенты уравнения - произвольные нелинейные функ ции искомого параметра. Поэтому исследуется задача конструктив ного определения собственных частот и форм колебаний распреде ленных систем с существенно изменяющимися параметрами. В от личие от классического случая самосопряженной краевой задачи допускается произвольная нелинейная зависимость коэффициентов уравнения от числового параметра, собственные значения которого требуется найти.

В рассмотренных методах не учитывается то обстоятельство, что коэффициенты уравнения могут быть комплекснозначными. В виду того, что в механике деформируемого твердого тела довольно ча сто встречаются задачи с комплексными коэффициентами, был раз работан численно-аналитический метод, развивающий метод уско ренной сходимости, дающий решение обобщенной задачи Штурма Лиувилля с комплекснозначными коэффициентами и допускающий нелинейную зависимость коэффициентов уравнения от собственного значения.

Рассматривается следующая задача с граничными условиями первого рода :

(p(x)u ) + [r(x, ) q(x)]u =. (1) u(0) = u(1) = где u = u(x) - координатная функция, x [0, 1] R - аргу мент, = 1 + i2 C - постоянная разделения пространствен ной и временной переменных. Функции p(x), q(x), r(x, ) считают ся достаточно гладкими и отделенными от нуля;

p(x), q(x) R, u(x, ), r(x, ) C.

Ставится задача найти такие вещественные или комплексные зна чения, при которых существуют нетривиальные решения уравне ния с краевыми условиями (1).

Выбирается некоторое 0 и рассматривается задача Коши (p(x)v ) + (r(x, 0 ) q(x))v = (2) v(0) = 0, v (0) = Аналитически или численно строится решение v(x, 0 ) задачи (2) и рассматривается нахождение первого собственного числа 1 и функции u(x). Введем числовой параметр = 1, где - первый корень уравнения v(x, 0 ) = 0. Малость величины характеризует относительную близость к 0 ;

{0, v(x, 0 )} - точное решение обоб щенной задачи (1) на известном промежутке 0 x, = ().

Будем считать его приближенным решением для исходного интер вала. Процедура уточнения порождающего решения {0, v(x, 0 )} основана на введении возмущенного аргумента y = x и представ лении задачи (1) в виде возмущенной. В результате преобразований получим для искомого 1 :

p() |v ()| + o(2 ), |v()|2 = v() v() 1 = (3) |v()|2 dy 0 r Процедура взятия интеграла в знаменателе может быть заменена процедурой совместного интегрирования задачи Коши для функции v и функции = v/. В результате получим r |v()|2 dy = p() v() (). (4) Используем вновь соотношения (2) - (4) для построения уточ ненного значения на основе найденного 1 и рассматриваемого как начальное приближение (аналогично 0 ). В итоге, получим ре куррентную процедуру уточнения приближенного решения исход ной задачи (1), обладающую свойством ускоренной сходимости, то есть приводящую к погрешности (k) = O((c )(k) ), || 1, c 1, (k) = 2k.

Проводится тестирование данного метода с помощью различных примеров.

Во второй главе диссертации рассматривается задача МДТТ о продольных колебаниях упругих стержней переменного попереч ного сечения (концентраторов). Показано, что постановки задач о продольных и крутильных колебаниях упругих стержней сводятся к задаче Штурма-Лиувилля S v + k 2 v = 0, k 2 = v+ (5) S c где частота колебаний, c1 соответствующая скорость волн в стержне. Принимаются два типа граничных условий (первого и второго рода):

v(0) = 0, v(1) = 0 (6) v (0) = 0, v (1) = 0 (7) для трех классических профилей продольного сечения и получа ются аналитические выражения для коэффициента усиления (N1 = |v(1)/v(0)| при граничных условиях второго рода и N2 = |v (1)/v (0)| при граничных условиях первого рода), распределения колебатель ной скорости и деформаций в случае граничных условий первого (на границе заданы скорости) и второго рода (на границе заданы напряжения). Приводятся результаты численных исследований по ставленной задачи при различных формах концентратора. Прово дится сравнение полученных коэффициентов усиления в зависимо сти от профиля поперечного сечения, выбора граничных условий и номера собственного значения.

Для граничных условий второго рода поставленная задача анали тически исследовалась в классических работах Л.Г.Меркулова. По казано, что для конического, экспоненциального и катеноидального профилей в случае граничных условий второго рода наибольший ко эффициент усиления достигается при катеноидальном профиле. В случае граничных условий первого рода, коэффициенты усиления совпадают, то есть выбирая профиль из предложенных, необходимо брать тот, который проще в изготовлении.

Кроме того, замечается, что с увеличением номера собственного числа кривые для коэффициента усиления как для первого, так и для второго рода стремятся к предельным кривым.

Рис. 1: Коэффициент усиления для конического концентратора S = S1 (1 ax) Рис. 2: Коэффициент усиления для катеноидального концентратора S = S2 ch2 (a(1 x)) Рис. 3: Коэффициент усиления для концентратора с профилем продольного сечения S = S2 ch3 (a(1 x)) Одновременно с вычислением коэффициентов усиления были по лучены распределения амплитуд колебательной скорости и дефор маций по длине концентратора для всех рассмотренных профилей, двух типов граничных условий, каждого собственного значения и различных N - отношениях радиусов поперечных сечений широко го и узкого концов концентратора. На рис.4 показаны характерные графики амплитуд колебательной скорости и деформаций.

0.5 0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 4: Распределение колебательной скорости (сплошная линия) и скорости де формаций (пунктирная) по катеноидальному концентратору (1 род, 1 соб число, N=1, N=10) В третьей главе рассматривается задача Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициентами - обобщенная задача Рэлея об устойчивости сдвигового течения плоского идеальножесткопласти ческого слоя:

( + isv )( s2 ) + 4 s isv = 0, 0 x 1 (8) |v | (0) = (1) = 0 (9) Невозмущенное течение характеризуется профилем продольной ско рости v C 2 [0;

1];

sup |v (x)| q. Область изменения x в sup, inf, а также интегралах по x по умолчанию принимается от 0 до 1.

В (8) = + i - частота колебаний, s 0 - волновое число, ||e( t) - амплитуда возмущения функции тока. Часто вместо па раметра устойчивости (s) вводится комплексная фазовая скорость c(s) = i/s, = s /(V 2 ) - безразмерный предел текучести;

s размерный предел текучести;

V 2 - динамический напор.

При = 0 эта задача совпадает с классической задачей Рэлея об устойчивости сдвигового течения идеальной несжимаемой жидкости в плоском слое.

Дискретный спектр задачи Рэлея для того или иного профиля сдвиговой скорости может либо лежать на границе области устой чивости, либо состоять из пар собственных значений, одно из ко торых принадлежит полуплоскости неустойчивости. При изучении вопросов возмущения физической модели идеальной жидкости ма лым пределом текучести и связанных с этим стабилизационных и дестабилизационных эффектов представляет интерес исследование первого, в определенном смысле пограничного, случая.

Дана интегральная оценка и выведено явное выражение для пер вого члена асимптотического разложения по любого дискретного собственного значения задачи Рэлея, принадлежащего границе об ласти устойчивости:

v 2 dx 0 0 dx 1 = 4s2 (10) | c c ) |v v (v 0 По знаку этого члена можно судить об устойчивости того или иного профиля скорости при возмущении материальной функции среды предела текучести при сдвиге.

Основные результаты и выводы 1. Разработан численно-аналитический метод решения обобщен ной проблемы Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициента ми, являющийся развитием метода ускоренной сходимости. С по мощью этого метода с выведенной оценкой собственного числа за несколько итераций получается искомое решение. Одним из досто инств этого метода является поиск каждого собственного значения по отдельности. Одновременно численно определяются собственные функции, соответствующие каждому собственному числу.

2. Аналитические исследования показывают, что наибольшим усиливающим действием из рассмотренных концентраторов для гра ничных условий второго рода (на границе заданы напряжения) об ладает катеноидальный концентратор, а наименьшим конический.

Для граничных условий первого рода (на границы заданы скорости) кривые во всех случаях совпадают с кривой для экспоненциального концентратора.

3. Для рассмотренных профилей показано, что с увеличением но мера собственного значения кривые коэффициентов усиления стре мятся к некоторой кривой, которая является их предельной. Это стремление может быть как снизу, так и сверху. Это означает, что с точки зрения получения наибольших усилий имеет смысл рассмат ривать или первое собственное значение (в случае, когда стремле ние к предельной кривой происходит сверху) или максимально воз можное (если стремление к предельной кривой происходит снизу).

Данное утверждение справедливо как для условий первого, так и второго рода.

4. Разработан аналитический метод получения первого члена асимптотического разложения по малому безразмерному пределу текучести любого собственного значения обобщенной задачи Рэлея, принадлежащего границе области устойчивости. По знаку этого чле на можно судить об устойчивости того или иного профиля скорости относительно возмущений материальной функции среды - предела текучести при сдвиге.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Акуленко Л.Д., Георгиевский Д.В., Нестеров С.В., Промысло ва А.С. Возмущение собственных значений в обобщенной зада че Рэлея//Докл. РАН. 2008. T.422. №5.

2. Георгиевский Д.В., Промыслова А.С. Анализ спектральных кривых в обобщенной задаче Рэлея методом ускоренной сходи мости// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносов ские чтения". Секция механика. М.: Издательство Московского Университета, 2007. С.56.

3. Георгиевский Д.В., Промыслова А.С. Задачи на собствен ные значения, моделирующие продольные колебания упругих стержней переменного сечения// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механика. М.:

Издательство Московского Университета, 2008.

4. Промыслова А.С. Продольные колебания упругих стержней переменного сечения (концентраторов)//Известия РАН. МТТ.

2008. № 6. В печати.

5. Промыслова А.С. Решение обобщенной задачи Штурма Лиувилля с комплексными коэффициентами методом ускорен ной сходимости//Вестник МГУ. 2008. № 2. C. 59-61.

6. Промыслова А.С. Метод ускоренной сходимости в задаче о про дольных колебаниях упругих стержней переменного сечения (концентраторов)// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносов-2008". Секция механика. 2008.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.