авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения.

На правах рукописи

Елшин Михаил Анатольевич

Одномерная математическая модель динамики кровотока в

русле артериальной системы человека и вариант ее

практического применения.

Специальность 01.02.08 – «Биомеханика»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Саратов – 2009

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Гуляев Юрий Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Скрипаль Анатолий Владимирович кандидат физико-математических наук, Шабрыкина Наталья Сергеевна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Московский государственный университет приборостроения и информатики»

Защита состоится « 16 » апреля 2009 г. в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу:

410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, к. 9, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского Автореферат разослан « 11 » марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Ю.В. Шевцова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Статистика утверждает, что сердечно-сосудистые заболевания (ССЗ) – это одна из основных причин инвалидности и преждевременной смерти жителей экономически развитых стран. На сегодняшний день доля ССЗ в структуре смертности является основной и составляет от сорока до шестидесяти процентов от общей смертности. При этом продолжается рост заболеваемости и поражение людей всё более молодого возраста, что делает сердечно-сосудистые заболевания важнейшей медико-социальной проблемой здравоохранения.

Сосудистые заболевания конечностей – лидирующая причина ампутаций у людей в возрасте 50 лет и старше, и занимает 90% всех ампутаций. Обычно лечение осложненных сосудистых заболеваний состоит в назначении антибиотиков, удалении инфицированных тканей, назначение сосудистых препаратов (например, антикоагулянтов), а оперативное лечение заключается в таких операциях, как ангиопластика, шунтирование, стентирование. Однако когда перечисленные мероприятия не могут помочь достичь требуемого результата, хирургу приходится прибегать к ампутации в качестве спасительной меры.

Заболевания артерий нижних конечностей, помимо болей при ходьбе нередко приводят к развитию критической ишемии и ампутации. Для лечения этих поражений применяется весь спектр сосудистых препаратов, но нередко приходится выполнять реконструктивные сосудистые операции, чтобы восстановить кровообращение в пораженной нижней конечности.

Реконструктивные операции выполняются достаточно часто в наше время, однако на данный момент не существует объективных показаний к применению того или иного типа материала шунта и выбора его геометрических параметров. Часто невозможно также объективно предсказать результат операции, а именно, на сколько близок будет кровоток после реконструируемого участка к нормальному или какой тип реконструкции будет оптимальным для каждого конкретного случая.

Таким образом, математическое компьютерное моделирование течения крови является актуальной научно-практической задачей. Моделирование течения крови позволяет вычислить параметры кровотока в любой точке сосудистого русла в любой момент времени и спрогнозировать его изменение в результате реконструктивной операции.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка математической модели и программного комплекса, удовлетворяющего выше обозначенным критериям. Для достижения цели исследования рассмотрены следующие задачи:

• выполнить сравнительный анализ существующих на данный момент математических моделей и расчетных схем течения крови в артериальной системе человека.

• построить быстродействующую, многопараметрическую математическую модель течения крови в артериальном русле, применимую к сосудистому дереву произвольной конфигурации.

• разработать на базе построенной математической модели пакет прикладных программ, позволяющий моделировать различные сосудистые деревья и рассчитывать параметры течения крови в любой их части и в любой момент времени периода пульсации.

• сравнить in vivo данные с результатами моделирования исследованного участка артериальной системы.

Научная новизна.

1. Разработана одномерная линейная, многопараметрическая математическая модель, позволяющая получить аналитическое решение, в силу этого адаптируемая к большому множеству кровеносных систем, быстродействующая при ее реализации на компьютере. Модель применима к сосудистому руслу произвольной конфигурации.

2. Разработано ПО, позволяющее быстро графически строить модели артериальных систем и вычислять параметры течения крови в них. ПО имеет высокую производительность и простой удобный интерфейс.

3. Приведены in vivo данные и их сравнение с результатами компьютерного моделирования. Компьютерное моделирование на основе разработанного ПО показало результаты, близкие к эксперименту.

Теоретическая и практическая ценность работы. Пакет прикладных программ и математическая модель, описанные в данной диссертации, могут служить инструментом для выбора наиболее удачного варианта реконструктивной операции, наиболее подходящего по геометрическим размерам шунта и его материала. Одномерная математическая модель показывает результаты, мало отличающиеся от результатов трехмерного моделирования кровотока всюду, за исключением локальных участков сосудистой системы, где имеется достаточно выраженная физическая и геометрическая неоднородность.

Положения, выносимые на защиту:

1. Одномерная, линейная математическая модель периодического течения крови, учитывающая углы разветвления.

2. ПО, построенное на основе одномерной математической модели, является быстродействующим, требующим мало системных ресурсов, простое в обращении, способное моделировать широкий спектр конфигураций сосудистых систем и легко настраивается под конкретный случай.

Разработанная система может служить прототипом для промышленного производства такого рода программ, их внедрения в медицинские учреждения РФ или даже интеграции их в УЗ аппараты.

3. Моделирование течения крови с помощью разработанного пакета прикладных программ показывает результаты, близкие как к результатам полученным на базе трехмерной модели, так и к экспериментальным данным. Однако, в силу того, что уравнения трехмерной модели требуют численного решения, а уравнения одномерной модели решаются аналитически, время вычисления для последней на несколько порядков меньше.

4. Моделирование тока крови в сосудистых системах может быть осуществлено на основе in vivo данных ультразвуковой допплерографии и анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и плотность).

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции “Вычислительная механика деформируемого твердого тела” (Москва, 2006);

Всероссийской научной школе-семинаре “Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине – 2007” (Саратов, 2007);

Всероссийской школе семинаре “Математическое моделирование и биомеханика в современном университете” (Дивноморск, 2007, 2008);

Международной конференции “XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды” (Саратов, 2007);

XIII Всероссийском съезде сердечно-сосудистых хирургов в НЦССХ им. А. Н. Бакулева РАМН (Москва, 2007);

IX всероссийской конференции по биомеханике “Биомеханика – 2008” (Нижний Новгород, 2008).

В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 7-и печатных работах, в том числе одна статья [2] в журнале, входящем в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 145 страницы машинописного текста, 69 иллюстраций, 2 таблицы и библиографический список из 133 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи, показаны новизна и практическая значимость работы, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлена информация о строении кровеносной системы человека и в частности конфигурация русла бедренной артерии нижней конечности человека, кратко описано наиболее распространенное заболевание сосудов – атеросклероз. Кроме того, здесь представлено описание современных математических моделей и расчетных схем, применяемых разными авторами для вычисления или анализа параметров кровотока и напряженно деформированного состояния стенки сосуда.

Вторая глава посвящена построению математической модели движения крови в упругом изотропном сосуде. Кровь рассматривается как нютоновская жидкость. Модель строится на базе системы уравнений состоящей из следующих соотношений:

- упрощенное одномерное дифференциальное уравнение течения вязкой несжимаемой жидкости:

Q P = R 8 2 Q, (1) t z R где Q – скорость объемного расхода крови, P – давление крови, – вязкость крови, – плотность крови, R – радиус рассматриваемого сосуда, z – продольная координата, t – время;

- уравнение неразрывности, которое связывает объёмный расход Q с радиальным перемещением стенок сосуда w:

w 1 Q = ;

(2) 2R z t - динамические уравнения осесимметричного деформирования круговой цилиндрической оболочки по безмоментной теории:

2u S S 0 T0 w h = + K 2u, (3) z z 2 R t 2w 2w T0 T h = P + 2 w + S 0 2 K1 w, (4) t 2 R z R где h – толщина стенки сосуда, u – продольное перемещение стенки сосуда, K1 и K 2 – коэффициенты податливости тканей в радиальном и осевом направлениях, S и T – пульсационные составляющие осевой и поперечной силы натяжения сосуда, S 0 и T0 – их начальные величины;

- соотношения идеальной упругости стенок сосуда для обобщенного плоского напряженного состояния Eh u w z + R, S= (5) 1 2 Eh u w T= +, (6) 1 2 z r где E – модуль упругости, – коэффициент Пуассона;

или известные соотношения, учитывающие анизотропию стенок сосуда.

Таким образом, получается замкнутая система уравнений (1) – (6) в частных производных относительно шести неизвестных u, w, Q, T, S, P, которая преобразуется в систему трех уравнений в частных производных для трех неизвестных функций u ( z, t ), w( z, t ) и Q( z, t ).

2u Eh 2 u 1 w Eh h + S 0 T0 + K 2u = R z 1 t 2 1 2 z w T0 3w Q Eh = R h 2 + R RK t z R R (1 2 ) t z. (7) 2 Eh u w + R 2 S 0 3 8 2 Q R 1 2 z 2 R z w 1 Q = 2R z t Затем функции u, w, Q представляются в виде комплексного ряда Фурье:

2k ~ u ( z, t ) = U k ( z )e i k t, w( z, t ) = Wk ( z )e i k t, Q ( z, t ) = Qk ( z )e i k t, k = (8) T где T – период кровообращения. После подстановки выражений (8) в систему уравнений (7) получается система уравнений (для простоты записи нижний индекс k у искомых функций опускается):

d 2U 1 2 1 2 dW Eh ( K 2 h k ) U = 1 2 + S 0 T dz 2 Eh EhR dz d 3W T S 1 dW Eh T0 + RK 1 Rh k + 0 + = RS 0 dz R dz 3 R R (9) i k 8 ~ ( K 2 h k ) U 2 + 2 4 Q + R S 0 R S 0 RS ~ dQ = 2Ri k W dz Это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Отмечается, что искомые функции и множители являются величинами комплексными. Для того, чтобы полностью решить эту систему уравнений шестого порядка, необходимо задать шесть произвольных постоянных для каждого участка артериальной системы. Эти постоянные определяются из краевых и контактных условий артериальной системы. Необходимо задать шесть условий для каждого участка. В качестве таких условий принимаются следующие сооьношения:

- на входе в артериальное русло:

Q (0, t ) = Q0 (t ), u (0) = 0, (10) u = 0;

z z = - на выходе из артериального русла:

R *Q (l ) = P (l ), u (l ) = 0, (11) u = 0;

z z =l где l – длина сосуда.

- в точке соединения/разветвления нескольких участков артериального русла:

n Qi = 0, i = (сумма объемных расходов входящих и исходящих равна нулю) i = 2, n, P1 = Pi i = 2, n, u1 = u i (12) i = 2, n, w1 = wi n n S i li Ti li S1 = i =2 T1 = i =,, n n li li i =2 i = где n – количество артерий соединенных в данной точке, li – длина окружности поперечного сечения i -го сосуда в узле ветвления.

Таким образом, получается по три условия в начале и в конце артериальной системы. Чтобы система уравнений для определения произвольных констант была замкнутая, необходимо, чтобы в точке контакта на каждую из артерий приходилось по три контактных условия. Действительно, имеем одно уравнение баланса кровотоков, два осредненных уравнения равенства продольных и поперечных усилий и по n 1 уравнению для давления и перемещений: 3 + 3(n 1) = 3n, т.е. для n артерий в узле задается 3n уравнений, по 3 на каждую артерию. Таким образом, получается замкнутая система уравнений для нахождения произвольных констант для каждой из артерий составляющих артериальную систему.

Для вычисления установившегося течения крови сначала определяется сопротивление течению в узлах разветвления с учетом углов между входящей артерией и исходящими. За основу берутся динамические контактные условия, полученные из уравнения сохранения количества движения сплошной среды:

Q Q Q cos 3l 3 Q12 + l1 + cos 2 l 2 + Q2 cos 2 + t t t F1 F Q Q Q Q F2 1 + 2 sin 2 3 F3 1 + 3 sin 3 + cos 3 = + Q3 F F 1 F 8 1 F2 F + P1 F1 P2 F2 cos 2 P3 F3 cos 3, 2 Q Q sin 2 l 2 + sin 3 l 3 + Q2 sin 2 + Q3 sin 3 = t t F2 F 2 Q Q Q Q F2 1 + 2 cos 2 3 F3 1 + 3 cos 3 P2 F2 sin 2 + = F F 8 8 1 F 1 F P3 F3 sin 3.

Члены, отвечающие не установившемуся течению, отбрасываются:

Q Q Q12 2 cos 2 + cos 3 = F2 1 + 2 sin + Q2 Q3 F F1 F2 F3 1 F 3 Q Q F3 1 + 3 sin 3 + P1 F1 P2 F2 cos 2 P3 F3 cos 3, F 8 1 F Q Q 2 sin 2 + sin 3 = F2 1 + 2 cos Q2 Q3 F F2 F3 1 F 3 Q Q F3 1 + 3 cos 3 P2 F2 sin 2 + P3 F3 sin 3.

F 8 1 F Далее анализируется случай, когда в узле соединены только две артерии.

Слагаемые, относящиеся к третьей артерии, отбрасываются. С учетом того, что в узле осталось только две артерии и, значит, кровотоки в них одинаковы – Q1 = Q2, записывается соотношение:

Q Q 2 cos 2 = F2 2 + 2 sin 2 + P1 F1 P2 F2 cos 2, + Q2 Q2 F F1 F2 8 1 F Q Q sin 2 = F2 2 + 2 cos 2 P2 F2 sin 2.

Q2 F F2 8 1 F В результате домножения первого из этих уравнений на cos 2, второго на sin 2 и их сложения получается выражение:

2 Q2 cos 2 = P1 F1 cos 2 P2 F2.

Q F2 F После выражения Q2, получается формула:

P F1 cos 2 P2 F Q2 = (13) cos F2 F Затем рассматривается следующая аналогия для артерии выходящей из узла:

Рис. 1. Электродинамическая аналогия.

Здесь P11 – давление в конце первого участка (входящего в узел), P20 – давление в начале второго участка (исходящего из узла), P21 – давление в конце второго участка (исходящего из узла), RУ – сопротивление узла разветвления, RП – Пуазейлево сопротивление второго участка, Q2 – ток на участке. В силу того, что данная схема представляет собой последовательное соединение, ток в каждой точке будет одинаковый. Тогда из закона Ома следует выражение:

P P20 P20 P21 P P = Q= = (14) RУ + RП RУ RП Формула (13) будет выполняться на участке с сопротивлением RУ и примет для этого участка вид:

P F1 cos 2 P20 F Q2 = (15) cos F2 F После подстановки выражения (14) в (15) и преобразования получается соотношение:

P F1 cos 2 P20 F P P 11 = (16) RУ cos F2 F Так как все давления здесь мало отличаются от нормального атмосферного Н Н 10 P20 давления, то принимается и вводится м2 м коэффициент P k= (17) P Подстановка соотношения (17) в (16) дает уравнение, после выражения из которого RУ получается формула:

(k 1)2 cos F F 2 RУ = 105 (18) kF1 cos 2 F где k 1 ~ 10 2 10 3 в силу малого перепада давления в сосудах относительно нормального атмосферного давления.

Для вычисления установившегося кровотока составляется система уравнений для всей рассматриваемой артериальной системы. В нее включаются следующие уравнения:

- Для каждого участка уравнение связи тока и давления согласно формуле (14) Pk,1 Pi, Qi =, (19) RУ + R П где k – номер сосуда входящего в узел ветвления;

i – номер исходящего Pk,1 – давление в конце k-го сосуда, то есть, давление сосуда;

непосредственно перед узлом ветвления;

Pi,1 – давление в конце i-го сосуда. Для входного участка системы, в силу того, что он не исходит из P1,0 P1, узла ветвления, записывается соотношение Qi =.

RП - Для каждого узла Qi = 0, (20) k k где ik - номера артерий соединенных в узле.

- На входе в артериальную систему задается Q1 = Q00, где Q00 – свободный член разложения (8).

- На выходах из артериальной системы задается Pj k,1 = 0, где j k – номера артерий, которыми оканчивается рассматриваемая артериальная система (здесь Pi,0 и Pi,1 – соответственно значения в начале и в конце i –го участка).

Таким образом, получается замкнутая система уравнений для вычисления установившегося течения крови в артериальном русле с учетом углов между сосудами в узлах разветвления.

Для определения этого параметра рассматривается уравнение неразрывности для i -го участка.

wi 1 Qi =.

2Ri z t Здесь Ri = Ri 0 + wi, где Ri 0 – начальный радиус сосуда. Тогда уравнение можно переписывается в виде Ri 1 Qi =.

2Ri z t Данное уравнение после преобразований приводится к следующему соотношению:

Ri2 Q = i.

t z Интегрирование по dz последнего соотношения, дает формулу l i Ri dz = Qi (0, t ) Qi (li, t ).

t li Учитывая что Ri2 dz = Vi, где Vi – текущий объем сосуда, получают уравнение Vi = Qi (0, t ) Qi (li, t ).

t После интегрирования данного соотношения по времени, получается формула для избыточного объема крови в сосуде в конкретный момент времени t Vi (t ) = Vi (t ) Vi (0) = [Qi (0, t ) Qi (li, t )]dt.

описана, разработанная для предлагаемой В третьей главе математической модели, программная система, позволяющая графически строить участок артериальной системы, в который можно включить и искусственные элементы, такие как, например, шунты, имплантаты или другие, а также задавать геометрические и механические параметры каждого сосуда модели. По заданным входным параметрам система вычисляет характеристики тока крови во всех участках модели и в любой момент времени периода пульсации. Ниже, структурировано, записаны входные и выходные данные вычислительной системы.

Входными параметрами являются геометрия артериальной системы, механические параметры крови и сосудов, входной объемный расход крови и некоторые дополнительные параметры. Геометрические характеристики могут быть получены с помощью рентгена или УЗИ аппарата. Вязкость можно получить с помощью ротационного вискозиметра при скорости сдвига 100 с-1.

Необходимыми механическими параметрами сосудов являются модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Кроме того, на входе задается изменение объемного кровотока по времени Q(t). Здесь Q скорость объемного расхода крови (м3/с), t – время (с). Данный параметр может быть получен с помощью допплерографа.

Дополнительные параметры, представляют собой следующие характеристики:

параметры, связывающие объемный кровоток с давлением на выходах, среднее за период давление на выходах, начальное натяжение. Эти величины подбираются эмпирически, таким образом, чтобы расход крови в неизмененном русле (до оперативного вмешательства) был максимально близок реальному, который можно измерить соответствующими приборами.

Выходными данными являются:

• давление крови в артериальном русле • объемный кровоток в артериальном русле • скорость крови.

Результаты представляются в виде графиков зависимостей V(z, t), P(z, t) и Q(z, t), где V – средняя по сечению скорость крови, P – давление крови в сосуде, z – продольная координата. Возможно отображение как двухмерных графиков, так и трехмерных. Двухмерные графики показывают изменение по одной переменной при второй фиксированной, или анимацию при переборе допустимых значений второй координаты с заданной дискретностью.

Возможен просмотр графиков для каждого участка в отдельном окне или семейство анимированных графиков для всех участков системы одновременно.

В строке состояний отображаются координаты положения курсора относительно текущей координатной сетки.

В четвертой главе диссертации производится сравнение данных, полученных при помощи разработанной программы, с данными, полученными с помощью конечно-элементного моделирования, а так же с данными, полученными in vivo в клинике с ультра звукового дуплексного аппарата Toshiba Xario. Ниже приведены характерные графики сравнения для конечно элементного моделирования и для экспериментальных данных.

ADINA Blood Flow Modeler 0. 0. 0. V 0. 0. 0. 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1. t Рис. 2. График зависимости скорости от времени на выходном сечений подколенной артерии (сравнивается результат вычислений разработанной системы и конечно элементного пакета ADINA).

IN VIVO Blood Flow Modeler 0. 0. 0. 0. Q 0. 0. 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0. t Рис. 3. График зависимости скорости объемного расхода от времени на выходном сечений подколенной артерии (сравнивается результат вычислений разработанной системы с экспериментальными данными).

Раздел «Основные результаты и выводы» содержит информацию о результатах проделанной работы и выводы, сделанные на основе полученных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Построена одномерная, линейная математическая модель периодического течения крови. Модель применима к сосудистому дереву произвольной конфигурации. Система уравнений модели допускает аналитическое решение, в силу чего построенная на ее базе вычислительная система является быстродействующей.

2. Показано, что одномерная математическая модель в результате вычислений дает значения, мало отклоняющиеся от результатов вычислений, произведенных для трехмерной модели. Однако в силу того, что математическая модель является одномерной, она не позволяет анализировать распределение того или иного параметра в достаточно узкой области с ярко выраженной геометрической и физической неоднородностью, например в близи области ветвления или возле атеросклеротических бляшек. Также модель не позволяет анализировать распределение скорости по сечению и не учитывает изгибы русла.

3. На основе одномерной математической модели разработано простое в обращении программное обеспечение, способное моделировать широкий спектр конфигураций сосудистых систем и легко настраиваемое под конкретный случай. ПО позволяет графически строить артериальное русло, имеет высокую скорость вычислений, настраиваемый пользовательский интерфейс.

4. Показано, что моделирование тока крови в сосудистых системах может быть осуществлено на основе in vivo данных ультразвуковой допплерографии и анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и плотность).

5. На сравнительных графиках продемонстрировано, что моделирование течения крови с помощью разработанного пакета прикладных программ показывает результаты, близкие к экспериментальным данным.

6. Приведенные в диссертации математическая модель и ПО могут служить основанием для дальнейшего клинического исследования с целью обоснования выбора метода и варианта реконструкции, типа и формы пластического материала с учетом индивидуальных особенностей артерий каждого пациента.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Елшин М. А. Основные уравнения одномерной теории динамики кровотока в системах крупных артерий. // Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела».

Труды. – T. 1. – М.: МИИТ, 2006. С. – 152-155.

2. Елшин М.А., Гуляев Ю.П. Постановка и решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории. // Известия Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика. – 2007. – Т. 7. – Вып. 1. – С. 45-48.

3. Елшин М.А. Пакет программ для вычисления кровотока в части артериальной системы // Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2007». – Саратов: Изд. Саратовского университета, 2007, – С. 41 45.

4. Елшин М.А. Гуляев Ю. П. Решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории с использованием ПК. // Труды III всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». Дивноморск, 2007 г. – Ростов на-Дону, 2007. – С. 33-34.

5. Елшин М.А., Гуляев Ю.П. Решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории с использованием динамических условий в узле разветвления // Труды конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды». Саратов, 2007 г. – Саратов, 2007. – С. 112-118.

6. Елшин М.А. Программное обеспечение для вычисления параметров кровотока в части артериальной системы. // Тезисы докладов. IX Всероссийская конференция по биомеханике «Биомеханика – 2008».

Нижний Новгород, 2008. – Нижний Новгород, 2008. – C. 180-182.

7. Елшин М.А. Программное обеспечение для вычисления параметров кровотока в части артериальной системы. // Труды IV всероссийской школы семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». Дивноморск, 2008 г. – Ростов-на-Дону, 2008. – С. 42-43.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.