авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Удк 539.3 + 612.311 юркевич кирилл сергеевич биомеханическое моделирование напряженно-деформированного состояния системы зуб–периодонт при ортодонтическом лечении

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 539.3 + 612.311

ЮРКЕВИЧ Кирилл Сергеевич

БИОМЕХАНИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

СИСТЕМЫ ЗУБ–ПЕРИОДОНТ

ПРИ ОРТОДОНТИЧЕСКОМ ЛЕЧЕНИИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

по специальности 01.02.08 – Биомеханика Минск, 2012 Работа выполнена в Белорусском государственном университете Научный руководитель Босяков Сергей Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры теоретической и прикладной механики Белорусского государственного уни верситета Официальные оппоненты: Чигарев Анатолий Власович, доктор физико-математических наук, профес сор, заведующий кафедрой теоретической ме ханики Белорусского национального техниче ского университета;

Шилько Сергей Викторович, кандидат технических наук, доцент, заведую щий отделом механики адаптивных материалов и биомеханики Института механики металлопо лимерных систем им. В.А. Белого Националь ной академии наук Беларуси Оппонирующая организация Объединенный институт проблем информа тики Национальной академии наук Беларуси Защита состоится 13 июня 2012 г. в 1400 часов на заседании совета по за щите диссертаций Д 02.05.07 при Белорусском национальном техническом университете по адресу: 220013, г. Минск, пр-т Независимости, 65, корпус 1, аудитория 202. Телефон ученого секретаря совета: (+37517)292-67-84.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского нацио нального технического университета.

Автореферат разослан «11» мая 2012 г.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций Д 02.05.07, кандидат физико-математических наук, доцент Нифагин В.А.

© Юркевич К.С., © Белорусский национальный технический университет, ВВЕДЕНИЕ Определяющими факторами успешного и эффективного лечения аномалий зубочелюстной системы является корректное дозирование нагрузки, создавае мой ортодонтическими конструкциями, а также прогнозирование напряженно деформированного состояния биомеханической системы зуб–периодонт в ходе ортодонтического лечения. Важность учета этих аспектов при планировании соответствующего стоматологического вмешательства обусловлена теми об стоятельствами, что превышение допустимых усилий или их некорректное приложение, а также отсутствие сведений о поведении корней зубов и пародон та при воздействии ортодонтических конструкций, может привести к патологи ческим процессам, возникающим в поддерживающем аппарате корня зуба.

В настоящее время в ходе ортодонтического лечения стоматолог в основ ном принимает решения эмпирически, руководствуясь накопленным опытом и ощущениями пациента. Существующие подходы к моделированию напряжен но-деформированного состояния биомеханической системы зуб-периодонт опираются в основном на данные вычислительных экспериментов, отвечающие различным частным случаям. При разработке аналитических методов зачастую задача формулируется в упрощенной постановке, в частности, для геометриче ской формы корня зуба в виде конуса. Работы, посвященные математическому моделированию системы зуб–периодонт, имеют единичный характер, причем сравнительный анализ полученных результатов с экспериментальными данны ми и данными вычислительного эксперимента практически отсутствует. В свя зи с этим представляется актуальной и практически важной разработка матема тических моделей для прогнозирования поведения биомеханической системы зуб–периодонт при действии на корень зуба ортодонтической нагрузки.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Связь работы с крупными научными программами и темами Диссертационная работа выполнялась в рамках инновационных проектов «Разработать методику автоматизированного проектирования и оптимизации конструкций зубочелюстных протезов и ортодонтических аппаратов при ано малиях и деформациях челюстно-лицевой области, обусловленных расщелина ми губы и неба, с применением универсальных CAD/CAE/CAM-систем» (№ ГР 20065714 от 19.12.2006 г., 20062008 гг.), «Разработать и освоить в производст ве аппарат для низкочастотной ультразвуковой терапии. Разработать методики клинических испытаний аппарата» (№ ГР 20072923, 20072009 гг.) Государст венного комитета по науке и технологиям Республики Беларусь;

грант Мини стерства образования Республики Беларусь «Анализ перемещений корня зуба в костной ткани, возникающих под действием сосредоточенной нагрузки и мо мента сил» (№ ГР 20100249 от 05.03.2010 г., 2010 г.);

гранты студентов и аспи рантов Белорусского государственного университета «Биомеханическое моде лирование ортодонтического аппарата с четырьмя коронками» (номер регист рации грантов Белгосуниверситета 38, 2010 г.) «Анализ свободных и вынуж денных колебаний корня зуба в периодонтальной вязкоупругой оболочке с уче том атрофии костной ткани» (номер регистрации грантов Белгосуниверситета 51, 2011 г.);

грант БРФФИ «Математическое моделирование динамических процессов в биомеханической системе зуб-периодонт» (проект Ф11М 040, № ГР 20113972 от 13.10.2011 г., 20112013 гг.);

задание 1.8.01 «Разработать мате матические модели и методы решения новых классов краевых задач механики сплошных сред применительно к актуальным современным проблемам науки и техники» Государственной программы научных исследований «Конвергенция»

(№ ГР 20113045 от 07.09.2011 г., 20102013 гг.).

Цель и задачи исследования Цель диссертационной работы заключается в нахождении зависимостей усилий, развиваемых ортодонтическим аппаратом для расширения верхней че люсти при его активации, от углов, определяющих ориентацию стрежней аппа рата, геометрических и физико-механических характеристик стержней, а также в разработке математических моделей линейно-упругой и вязкоупругой перио донтальной оболочки, позволяющих определять напряженно-деформированное состояние периодонта при действии ортодонтической нагрузки.

Для достижения поставленной в работе цели были решены следующие ос новные задачи:

1. Выполнено математическое моделирование ортодонтического аппарата для быстрого расширения верхней челюсти при граничных условиях, со ответствующих упругому и жесткому закреплению конца стержня.

2. Разработана параметризованная твердотельная трехмерная геометриче ская модель ортодонтического аппарата и проведен конечно-элементный расчет усилий, развиваемых ортодонтическим аппаратом при его актива ции с учетом жесткого закрепления стержня на коронке.

3. Получены выражения для начальных перемещений корня зуба в линейно упругой периодонтальной оболочке на основании решения системы урав нений равновесия для точек внутренней поверхности периодонта, которая прилегает к корню зуба и описывается уравнением эллиптического гипер болоида.

4. Сформулирована система уравнений движения вязкоупругой периодон тальной оболочки, а также определены перемещения точек внутренней поверхности периодонта при действии вертикальной сосредоточенной на грузки.

5. Проведен анализ нормальных напряжений и тангенциальных напряже ний, действующих по образующей и направляющей к внутренней по верхности линейно-упругого и вязкоупругого периодонта, в случае дейст вия на зуб сосредоточенной нагрузки.

Объектом исследования являются ортодонтические аппараты для быстро го расширения верхней челюсти, биомеханическая система корень зуба пе риодонт.

Предмет исследования нагрузки, действующие на корень зуба со сторо ны ортодонтического аппарата, напряженно-деформированное состояние ли нейно-упругой и вязкоупругой периодонтальной оболочки, возникающее под действием ортодонтической нагрузки.

Для решения поставленных в диссертационной работе задач применены методы механики деформируемого твердого тела и теории упругости, метод конечных элементов, а также методы дифференциального и интегрального ис числения.

Геометрическое моделирование выполнено на основании функциональных возможностей пакетов CATIA, ANSYS;

конечно-элементные расчеты проведе ны в программном комплексе ANSYS;

численные результаты, визуализация полей напряжений и начальных положений корня зуба до и после приложения нагрузки получены с применением функциональных возможностей компью терной системы Mathematica.

Положения, выносимые на защиту Новыми результатами, выносимыми на защиту, являются:

1. Соотношения, позволяющие определять усилия, развиваемые стержнем ортодонтического аппарата для расширения верхней челюсти при его актива ции, в вестибулооральном, медиодистальном и вертикальном направлении в за висимости от геометрических размеров и ориентации стержней аппарата, а также от величины смещения пластинок аппарата относительно исходного по ложения при упругом закреплении конца стержня.

2. Математическая модель равновесия линейно-упругой периодонтальной оболочки, отличающаяся учетом изменения положения внутренней поверхно сти периодонта при перемещении корня зуба и позволяющая определять на чальные перемещения корня зуба, имеющего форму эллиптического гипербо лоида, в периодонтальной связке, напряженно-деформированное состояние пе риодонта, а также координаты точки приложения и направление действия на грузки, обеспечивающие поступательное перемещение корня зуба.

3. Нестационарная модель системы зуб–периодонт, описывающая движе ние вязкоупругой периодонтальной оболочки с учетом жесткого закрепления ее внешней поверхности и начальных перемещений зуба, позволяющая определять перемещения корня зуба и напряженно-деформированное состояние периодонта с течением времени при действии заданной ортодонтической нагрузки.

Личный вклад соискателя Все основные результаты, выносимые на защиту диссертации, получены автором лично. Научный руководитель С.М. Босяков и соавторы научных ис следований принимали участие в постановке задач и анализе полученных ре зультатов.

Апробация результатов диссертации Основные результаты, вошедшие в диссертационную работу, прошли ап робацию на следующих международных и республиканских научных конфе ренциях: III Белорусском конгрессе «Теоретическая и прикладная механика»

(Минск, 12–16 октября 2007 г.);

65-й конференции студентов и аспирантов Бе лорусского государственного университета (Минск, 1621 мая 2008 г.);

IV Бе лорусском Конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика 2009» (Минск, 2224 декабря 2009 г.);

V и VI Международных конференциях «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 1419 сентября 2009 г., 2011 г.);

The World Congress on Medical Physics and Biomedical Engineering (Мюнхен, Германия, 7–12 сентября 2009 г. );

XXXIX, XL Республиканских семинарах по теоретической и прикладной механике (Минск, 67 февраля 2008 г., 34 февраля 2009 г.) Boundary Value Problems, Functional Equations and Applications 2 (BFA 2) (Краков, Польша, 1217 апреля 2010 г.);

Mathematical Modelling and Analisys: 15th InternationalConference (Дру скининкай, Литва, 2629 мая 2010 г.);

X Всероссийской конференции по био механике «Биомеханика2010» (Саратов, Россия, 1622 мая 2010 г.);

Advanced Problemsin Mechanics (APM) 2009, 2010, 2011 (Санкт-Петербург, Россия, июля 2009 г., 2010 г., 2011 г.);

XVII, XVIII Международных научно технических конференциях «Прикладные задачи математики и механики» (Се вастополь, Украина, 1418 сентября 2009 г., 1317 сентября 2010 г.);

International Workshop «Computer Algebra Systems in Teaching and Research CASTR 2011» (Седльце, Польша, 26 февраля 2011 г.);

Международном кон грессе по биомеханике ISB 2011 (Брюссель, Бельгия, 26 июля 2011 г.);

X Все российском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и приклад ной механики (Нижний Новгород, Россия, 2430 августа 2011 г.), Республикан ской научной конференции студентов и аспирантов Республики Беларусь «НИРС-2011» (Минск, 18 октября 2011 г.).

Опубликованность результатов Основные результаты диссертации опубликованы в 32 научных работах, из них 8 статей в научных журналах, соответствующих п. 18 Положения о прису ждении ученых степеней и присвоения ученых званий в Республике Беларусь (общим объемом 3,25 авторского листа), 5 статей в других журналах, 10 статей в материалах и трудах конференций, 8 тезисов докладов, 1 свидетельство о ре гистрации компьютерной программы.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, общей характеристики рабо ты, четырех глав, заключения, библиографического списка и одного приложе ния. Полный объем диссертационной работы составляет 117 страниц, из них страниц содержат основной текст с рисунками и таблицами, 11 страниц – спи сок использованных библиографических источников, 8 страниц – приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Основное содержание диссертационной работы составляют четыре главы.

В первой главе проведен обзор литературных источников, посвященных методам исследования влияния ортодонтических конструкций на перемещае мые зубы и верхнюю челюсть, существующим моделям периодонтальной связ ки и их использованию для определения напряженно-деформированного со стояния периодонта. Выполненный обзор показал, что в основном для расчета перемещений корня зуба в периодонте используется метод конечных элемен тов, в то время как аналитические модели системы зуб–периодонт практически отсутствуют. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния периодонтальной связки представлены в малом количестве публика ций, в частности, в работах А. Е. Крушевского, Ю. И. Няшина, С. В. Шилько и некоторых других авторов.

Во второй главе представлены результаты биомеханического моделиро вания усилий, развиваемых ортодонтическим аппаратом для быстрого расши рения верхней челюсти с четырьмя стержнями и винтом HYRAX (рисунок 1).

Ортодонтический аппарат такого типа за счет раскручивания винта, соединяю щего пластинки, создает усилия, приводящие к расширению верхней челюсти и перемещению зубов, к которым прикреплены коронки, жестко соединенные со стержнями аппарата.

Рисунок 1 Реальная конструкция ортодонтического аппарата На рисунке 2 представлена расчетная схема ортодонтического аппарата, на которой приняты следующие обозначения: u0 – начальные перемещения пла стинок аппарата при раскручивании винта, rmd, rvo, rve – медиодистальное, вес тибулооральное и вертикальное направление соответственно, – угол между касательной к зубному ряду и координатной осью 0X.

Рисунок 2 Схематическое изображение ортодонтического аппарата Расчетная схема для стержня AB ортодонтического аппарата представлена на рисунке 3.

Точка A соответствует верх нему концу стержня, точка B нижнему концу стержня. Верхний конец стержня, соединенный с пластинкой ортодонтического ап парата, получает перемещения, равные смещению пластинки аппа рата. С учетом этого будем счи тать, что точка A, совпадающая с началом координат системы 0XYZ, при раскручивании винта получает перемещение u0, направленное вдоль координатной оси 0Y. Ниж ний конец стержня, соединенный с коронкой, при перемещении верх Рисунок 3 Расчетная схема него конца стержня создает усилия, для стержня ортодонтического действующие на зуб.

аппарата Перемещение u y вдоль оси 0 y найдем из уравнения поперечного изгиба стержня EI 4u y Rx 2u y 0, (1) x x где E модуль упругости материала, из которого изготовлен стержень ортодо тического аппарата;

I момент инерции поперечно сечения стержня;

Rx cxu0 x ;

cx жесткость пародонта в направлении координатной оси 0x ;

u0 x u0 cos Y перемещение верхней точки стержня вдоль этой же оси;

X, Y, Z углы между стержнем аппарата и осями координат 0X, 0Y, 0Z со ответственно;

x x.

Граничные условия для точки A верхнего конца стержня имеют вид ( u0 y u0 sin Y перемещение верхней точки стержня в направлении коорди натной оси 0x ) uy u0 y, xu y 0. (2) x 0 x В случае жесткого закрепления стержня аппарата на коронке зуба гранич ные условия для точки B сформулированы следующим образом (l длина стержня) uy xu y 0. (3) x l x l Граничные условия для точки B стержня, учитывающие упругость паро донта представлены в виде c u EI 3 u y 0, xu y EI 2u y 0. (4) yy x x x l x l Здесь c y жесткость пародонта в направлении координатной оси 0 y ;

жесткость пародонта при повороте зуба относительно оси, перпендикулярной плоскости x0 y.

На основании решения уравнения (1) с учетом граничных условий (2), (3) и (2), (4) для двух случаев закрепления нижнего конца стержня получены выра жения для определения реактивной сил, действующих в медиодистальном, вес тибулооральном и вертикальном направлении и моментов, действующих отно сительно тех же направлений, которые имеют вид ( угол между касательной к зубному ряду и координатной осью 0X ) Rmd RX cos RY sin, Rvo RX sin RY cos, Rv RZ, (5) M md M X cos, M vo M X sin, M v M Z. (6) В формулах (5), (6) приняты следующие обозначения:

RX cos X Rx Ry r cos Y, RY R y sin Y Rx r cos Y, RZ cos Z Rx Ry r cos Y, R y EI 3 u y, x x l M X Mr cos Z, M Z Mr cos X, M EI 2u y, x x l 1 r cos 2 X cos 2 Z.

С применением формул (5), (6) проведен анализ зависимостей реакций и реактивных моментов, возникающих при активации ортодонтического аппара та, от углов наклона стержня для различных клинических случаев. Рассмотрены три варианта расположения стержня аппарата в пространстве. В первом случае стержень принадлежит плоскости Y 0Z, во втором случае – располагается в плоскости, составляющей угол 4 с плоскостями X 0Z и Y 0Z, в третьем слу чае стержень аппарата принадлежит плоскости X 0Y. При вычислениях прини маем расстояние, на которое перемещаются пластинки аппарата, равным u0 мм для граничных условий (2), (4). Модуль упругости материала, из которого изготовлены стрежни, составляет E 200 ГПа, радиус поперечного сечения стержня r 1 мм, длина стержня l 25 мм. Жесткость пародонта при поступа тельном перемещении корня зуба в направлении осей cx c y 50 кН/м, жест кость пародонта при поворотах корня 10 Нм. В результате расчетов уста новлено, что для различных конструкций ортодонтического аппарата наиболь шие по величине реактивные силы наблюдались в вестибулооральном направ лении. Максимальные величины моментов наблюдались относительно медио дистального и вертикального направлений и составляли 3 и 3,6 Н·м соответст венно.

Также во второй главе выполнено конечно-элементное моделирование ортодонтического аппарата с четырьмя стержнями и винтом HYRAX на осно вании параметризованной геометрической твердотельной модели аппарата, и определены усилия, развиваемые стержнем аппарата при раскручивании винта.

Сравнительный анализ результатов расчета реактивных сил и моментов, полу ченных на основании соотношений (5), (6) с учетом граничных условий (2), (3) и с применением метода конечных элементов в случае жесткого закрепления стержня на коронке, показал достаточно высокое совпадение значений реакций (максимальное различие 1,1 %);

расхождение результатов при вычислении мо ментов не превышали 12,5 %.

Третья глава посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния периодонта, возникающего под действием ортодонтической нагруз ки. Внешняя поверхность периодонта и его поверхность, примыкающая к кор ню зуба, описываются уравнениями эллиптических гиперболоидов:

F0 x, y, z F x, y, z h0 0, x2 y2 (7) H F x, y, z z 2 2 p p 0.

1 p p a 2 b Здесь H высота корня зуба;

p параметр, характеризующий за кругление вершины корня зуба;

a, b полуоси эллипса в сечении корня зуба плоскостью, перпендикулярной оси корня;

h0 параметр, характе ризующий толщину периодонта;

F0 x, y, z ограничивает поверх ность периодонта со стороны кост ной ткани, F x, y, z ограничивает периодонт со стороны корня зуба Обозначения, принятые в формулах (7), показаны на рисунке 4.

Вектор перемещений точек пе риодонта u u x, u y, u z, по анало гии с подходом, предложенным в работах А. Е. Крушевского, С. А. Наумовича, представлены в Рисунок 4 Геометрические размеры корня зуба виде, отвечающем жесткому закреплению внешней поверхности периодонта на костной ткани зубной альвеолы:

u F x, y, z h0 u r, (8) h где u u, u, u z 0 0 – вектор поступательных перемещений внутренней x y поверхности периодонтальной оболочки, вдоль осей координат, компоненты которого совпадают с поступательными перемещениями корня зуба;

x, y, z – вектор углов поворота внутренней поверхности периодонта, компоненты которого также совпадают с поворотами корня зуба относительно осей координат;

r x, y, z радиус-вектор, проведенный из начала коорди нат, находящегося в вершине корня зуба.

Для нахождения компонент вектора поступательных перемещений и углов поворота использованы уравнения равновесия (равенства нулю главного векто ра и главного момента сил, действующих на зуб, а также напряжений на внут ренней поверхности периодонта) n dF P 0, r n dF m 0, (9) F F где m mx, m y, mz главный момент внешних сил;

P Px, Py, Pz главный вектор внешних сил;

n nx, n y, nz единичный вектор нормали к поверхно сти F x, y, z 0 ;

тензор напряжений, описывающий линейно-упругую среду.

После подстановки компонент тензора напряжений и компонент единич ного вектора нормали, а также выражений (8) в уравнения (9), выделив коэф фициенты при поступательных перемещениях и углах поворота, получена сис тема уравнений для нахождения трех компонент вектора поступательных пере мещений и трех компонент вектора углов поворота. Интегрирование коэффи циентов полученной системы проведено в обобщенных цилиндрических коор динатах с учетом поворота системы координат, связанной с корнем зуба. Для этого сформулированы выражения для координат x, y и z системы 0xyz, свя занной с исходным положением корня зуба, через координаты x3, y3 и z3 сис темы 0x3 y3 z3, связанной с положением равновесия корня зуба под действием ортодонтической нагрузки (рисунок 5). Поворот системы координат 0xyz отно сительно системы 0x3 y3 z3 рассматривался как результат последовательных по воротов осей координат 0x, 0 y и 0z на углы x, y и z.

Рисунок 5 Поворот системы координат Используя матрицы поворота и полагая, что углы поворота малы, получе ны выражения, связывающие координаты x, y, z и координаты x3, y3 и z3 :

x x3 u0 v0 y3 x y y w0 z3 y x z, y u0 x3 z w0 z3 y z x v0 y3 1 x y z, (10) z w0 z3 v0 y3 x u0 x3 y.

После преобразования координат в соответствии с соотношениями (10) из системы уравнений равновесия найдены соотношения для перемещений, воз никающих в линейно-упругой периодонтальной связке при действии на зуб ор тодонтической нагрузки. С применением полученных выражений, проведен расчет перемещений корня премоляра в периодонтальной связке для трех слу чаев действия сосредоточенной силы. Выполнен сравнительный анализ пере мещений премоляра на основании найденных соотношений и конечно элементного пакета ANSYS. В результате установлено, что максимальное раз личие в результатах нахождения перемещений не превышает 3 %. Также ре зультаты расчета перемещений сравнивались с экспериментальными исследо ваниями in vivo, которые показали достаточно высокое совпадение результатов.

Определены координаты точек, в которых следует приложить нагрузку па раллельно координатным осям 0x и 0 y соответственно, чтобы корень зуба пе ремещался только поступательно, а также решена задача по определению коор динат точек приложения силы и ориентации линии действия нагрузки в плоско стях симметрии корня из условия поступательного перемещения корня зуба.

Найденные точки являются центрами сопротивления, связанными с корнем зу ба. Координаты центров сопротивления, вычисленные для определенных гео метрических параметров корня и упругих постоянных периодонтальной связки, достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными и теоретиче скими результатами, полученными другими авторами, в частности Ю. И. Ня шиным, А. Е. Крушевским, С. А. Наумовичем и др. Координаты центров сопро тивления, определенные с помощью конечно-элементного пакета ANSYS, практически совпали с найденными координатами.

При определении перемещений точек периодонта с учетом его вязкоупру гих свойств зависимость между напряжениями и деформациями для периодон тальной оболочки принималась в виде t ij r, t 2G eij r, t K t eij r, d (11) t ij 3 ekk r, t K t ekk r, d, 1 2 k 1 k где G мгновенный модуль сдвига;

const коэффициент поперечной де формации;

K t ядро релаксации для объемных и сдвиговых напряжений.

Сформулированы уравнения движения корня зуба в вязкоупругом перио донте:

d 2u t d 2 t n r, t dF M dt 2 P 0, r n r, t dF J dt 2 m 0, (12) F F где r, t тензор напряжений, компоненты которого определяются выраже ниями (11);

M масса зуба;

J осевой момент инерции зуба.

На основании системы уравнений движения (12) определены вертикальные перемещения корня зуба в вязкоупругом периодонте при действии постоянной во времени нагрузки Pz P. В этом случае из уравнений движения (12) следует 2 0 d M d u z t P, t cz u z t K t u z (13) dt, 2aG b 2 H 2 a 2 H 2 2r1b 2 H 2 p 2 r2 a 2 b cz 4 a 2bh0 r 2 1 1 p p, r2 ln 2 1.

r p В частности, для экспоненциального ядра релаксации K1 t Ae Bt ( A, B 0 ), соответствующего модели Максвелла, в результате решения уравне ния (13) получено следующее выражение для перемещений корня зуба в зави симости от времени:

exp p1t cz Mp1 B p PB PA u t z cz B A cz m A B p1 p2 p1 p (14) exp p3t cz Mp3 B p3 exp p2t cz Mp2 B p, p2 p1 p2 p3 p3 p1 p3 p2 B1 i b p1, p2, 32 2 b1 i3 q q q, 3 2 2 1, p3 32 2 2 2 cz B 2 2 B3 Acz 2 Bc z q, q1, q.

M M 3M 3 Зависимость поступательных вертикальных перемещений u t корня z премоляра ( a 5 мм, b 3,5 мм, H 14,3 мм, p 0, 4 ) при действии постоян ной вертикальной нагрузки P 100 Н показана на рисунке 6. Рисунок 7 пока зывает, что в начальный момент времени перемещение составляет u 0 4, 4643 мкм, начальная скорость равна нулю.

z Рисунок 7 Выполнение начальных Рисунок 6 Зависимость условий для зависимости поступательного перемещения поступательного перемещения корня зуба в вязкоупругой корня зуба в вязкоупругой периодонтальной оболочке периодонтальной оболочке вдоль оси аппликат вдоль оси аппликат Параметры ядра релаксации K1 t определены на основании данных кли нических наблюдений и принимались равными A 23,80 1/c, B 24,48 1/c.

Модуль упругости периодонта с «бесконечной» скоростью E 10 МПа, коэф фициент Пуассона 0, 45. Жесткость при поступательном перемещении вдоль оси 0z для премоляра составляет cz 22,4 МН/м;

масса премоляра M 1 г.

Аналогичный расчет вертикальных перемещений корня премоляра прове ден с использованием ядра релаксации с особенностью K 2 t At s e Bt ( A, B 0, 0 s 1 ).

Четвертая глава посвящена анализу напряженно-деформированного со стояния периодонта, возникающего вследствие действия на зуб ортодонтиче ской нагрузки.

Выведены выражения для определения напряжений n, действующих по нормали к поверхности корня зуба, напряжений ns, действующих вдоль обра зующей к поверхности корня зуба, и напряжений n, действующих вдоль на правляющей к поверхности корня:

n n, t n s, t n t, n (15) 2 ns n ns nt n где тензор напряжений;

n вектор внешней нормали к поверхности корня зуба;

s вектор образующей эллиптического гиперболоида;

t вектор на правляющей в поверхности эллиптического гиперболоида.

Сведения о напряжениях (15) имеют большое практическое значение, по скольку отвечают трем взаимно перпендикулярным направлениям, а также по зволяют определить суммарные напряжения, возникающие в периодонте, и спрогнозировать появление болевых ощущений.

Проведен анализ напряженного состояния линейно-упругой периодон тальной связки для двух вариантов нагружения корня премоляра сосредоточен ной нагрузкой. В частности, на рисунке 8 представлены диаграммы нормаль ных и касательных напряжений при действии на корень премоляра горизон тальной нагрузки 100 Н. Максимальные напряжения наблюдались в направле нии нормали к внутренней поверхности периодонта и составили 4,83 МПа.

Выполнено моделирование напряженно-деформированного состояния пе риодонта с учетом его вязкоупругих свойств. Проведен анализ зависимостей нормальных к внутренней поверхности периодонта напряжений и касательных напряжений, действующих по образующей и направляющей к внутренней по верхности периодонта, от времени при перемещении корня премоляра вдоль оси аппликат под действием постоянной по времени нагрузки.

n ns n Рисунок 8 Распределения нормальных и касательных напряжений на внутренней поверхности периодонта Также в четвертой главе определены зависимости деформаций внутрен ней поверхности периодонтальной оболочки от времени. Проведен анализ по лученных зависимостей при перемещении корня премоляра вдоль оси аппли кат, а также зависимостей нормальных и касательных напряжений от деформа ций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные научные результаты диссертации В диссертационной работе получены следующие новые научные результа ты:

1. Получены соотношения для усилий, развиваемых стержнем ортодонтиче ского аппарата для расширения верхней челюсти при его активации в вестибу лооральном, медиодистальном и вертикальном направлении, зависящие от гео метрических размеров стержней, ориентации стержней по отношению к пла стинкам аппарата, а также величины смещения пластинок относительно исход ного положения при упругом закреплении конца стержня. Проведен расчет ре активных сил и моментов, развиваемых ортодонтическим аппаратом, для кон кретных клинических случаев. Выполнен сравнительный анализ результатов математического и конечно-элементного моделирования для случая жесткого закрепления стержня на коронке [1, 5, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 24, 27, 32].

2. Разработана математическая модель равновесия линейно-упругой перио донтальной оболочки, отличающаяся учетом изменения положения внутренней поверхности периодонта при перемещении корня зуба и позволяющая опреде лять начальные перемещения корня зуба, имеющего форму эллиптического ги перболоида, в периодонтальной связке, напряженно-деформированное состоя ние периодонта, а также координаты точки приложения и направление действия нагрузки, обеспечивающие поступательное перемещение корня зуба. Выполнен расчет перемещений корня премоляра в линейно-упругой периодонтальной связке под действием различных сосредоточенных нагрузок. Проведен сравни тельный анализ результатов расчета перемещений полученных на основании предложенного подхода, метода конечных элементов и экспериментальных дан ных [3, 4, 8, 9, 7, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 30, 31].

3. Разработана нестационарная модель системы зуб-периодонт, описываю щая движение вязкоупругой периодонтальной оболочки с учетом жесткого за крепления ее внешней поверхности и начальных перемещений зуба, позволяю щая определять перемещения корня зуба и напряженно-деформированное со стояние периодонта с течением времени при действии заданной ортодонтиче ской нагрузки. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния вяз коупругой периодонтальной оболочки, возникающего при перемещении корня зуба под действием вертикальной нагрузки [2, 11, 12, 21, 26, 27, 28, 29, 30, 31].

Рекомендации по практическому использованию результатов Полученные результаты могут быть непосредственно использованы на практике стоматологами-ортодонтами для прогнозирования нагрузки, прихо дящейся на перемещаемые зубы, со стороны стержней ортодонтического аппа рата, а также для оптимизации конструкций аппарата.

Результаты исследований могут быть использованы на практике стомато логами-ортодонтами для определения величин и направлений начальных пере мещений корня зуба в периодонте, а также перемещений в зависимости от вре мени в случае действия на зуб сосредоточенной нагрузки или момента сил. По скольку полученные значения перемещений корней зубов на основании явных формул достаточно хорошо совпадают с результатами конечно-элементного расчета, найденные соотношения можно также использовать для разработки компьютерного пакета, позволяющего определять начальные перемещения корней зубов, а также осуществлять визуализацию положений корней зубов до и после приложения нагрузки.

Результаты диссертационной работы могут быть также использованы для оценки напряжений, возникающих в периодонте, в случае действия на зуб ор тодонтической нагрузки, в частности, со стороны стержня ортодонтического аппарата. Представленный в работе подход позволяет корректно дозировать ве личину нагрузки и задавать ее направление. Также отметим, что полученные явные формулы для напряжений можно использовать для разработки компью терного пакета, позволяющего осуществлять визуализацию полей напряжений в периодонте.

Полученные в ходе проведения диссертационного исследования результа ты использованы при разработке специального учебного курса «Биомеханика системы зубпериодонткостная ткань», читаемом студентам механико математического факультета Белорусского государственного университета.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в рецензируемых журналах и сборниках 1. Доста, А.Н. Компьютерный анализ напряженно-деформированного со стояния ортодонтического аппарата / А.Н. Доста, С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Теоретическая и прикладная механика. – 2008. – № 23. – С. 18–23.

2. Ивашенко, С.В. Расчет перемещений корней зубов в нормальной и ос лабленной костной ткани для различных клинических случаев / С.В. Ивашенко, С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Медицинский журнал. – 2009. – № 2. – С. 54–58.

3. Ивашенко, С.В. Моделирование перемещений и поворотов корня зуба, возникающих под действием сосредоточенной нагрузки / С.В. Ивашенко, С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Теоретическая и прикладная механика. – 2009. – № 24. – С. 108–111.

4. Ивашенко, С.В. Анализ влияния свойств костной ткани на перемещения зубного ряда под действием сосредоточенной нагрузки / С.В. Ивашенко, С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Теоретическая и прикладная механика. – 2009. – № 24. – С. 112–116.

5. Михасев, Г.И. Биомеханическое моделирование ортодонтического аппа рата с четырьмя стержнями / Г.И. Михасев, С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Вестник БГУ. Серия 1. – 2010. – № 1. – С. 156–159.

6. Михасев, Г.И. Определение силовых факторов, развиваемых ортодонти ческим аппаратом для расширения верхней челюсти / Г.И. Михасев, С.М. Бося ков, К.С. Юркевич // Российский журнал биомеханики. – 2010. – Т. 13, № 1. – С. 74–85.

7. Белодед, Л.А. Конечно-элементный анализ напряжений, возникающих в системе «штифт – корень зуба» под действием статической нагрузки / Л.А. Бе лодед, К.С. Юркевич, С.М. Босяков // Теоретическая и прикладная механика. – 2010. – № 25. – С. 171–174.

8. Босяков, С.М. Анализ влияния атрофии костной ткани на жесткости пе риодонта при поступательных перемещениях и поворотах корней зубов / С.М. Босяков, С.В. Ивашенко, К.С. Юркевич // Механика машин, материалов и механизмов. – 2010. – № 1. – С. 81–85.

9. Босяков, С.М. Определение жесткостей костной ткани при поступатель ных перемещениях и поворотах корня зуба / С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Российский журнал биомеханики. – 2010. – Т. 14, № 2. – С. 37–46.

10. Босяков, С.М. Анализ напряжений, возникающих под действием сосре доточенной нагрузки, в области контакта периодонта с корнем зуб / С.М. Бося ков, К.С. Юркевич // Механика машин, материалов и механизмов. – 2010. – № 4. – С. 75–79.

11. Босяков, С.М. Математическое моделирование начальных перемеще ний корня зуба в костной ткани под действием мгновенной статической нагруз ки / С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Российский журнал биомеханики. – 2011. – Т. 15, № 3. – С. 55–67.

12. Bosiakov S. The modeling of the displacement of the fang in the bone stock under the concentrated force / S. Bosiakov, K. Yurkevich // Computer Algebra Sys tems in Teaching and Research. 2011. P. 23–29.

13. Доста, А.Н. Биомеханический анализ быстрого расширения верхней челюсти винтом HYRAX в случае расщелины неба и альвеолярного отростка / А.Н. Доста, С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Стоматологический журнал. – 2011. – № 1. – С.34–37.

Материалы конференций 14. Юркевич, К.С. Компьютерное моделирование и расчет напряженно – деформированного состояния ортодонтического аппарата в программной среде Ansys Workbench / К.С. Юркевич, С.М. Босяков // Материалы докладов XIV Международной конф. студентов, асп. и молодых ученых «Ломоносов» / Отв.

ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев [Электронный ресурс]. – М.: Изд. центр факультета журналистики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. – 1 электрон. опт.

диск (CD-ROM).

15. Юркевич, К.С. Конечно-элементный анализ напряженно деформированного состояния ортодонтического аппарата / К.С. Юркевич, С.М.

Босяков // Прикладные задачи математики в механике, экономике, экологии:

материалы V Междунар. студ. науч. конф., Севастополь, 9–13 апреля 2007 г. / Севастопольский национальный технический университет, науч. ред. Ю.Е. Об жерин. – Севастополь, 2007. – С. 41–44.

16. Босяков, С.М. Компьютерный анализ напряженно – деформированного состояния ортодонтического аппарата / С.М. Босяков, К.С. Юркевич // При кладные задачи математики и механики: материалы докладов XV Международ ной науч. конф. ученых Украины, Беларуси, России, Севастополь, 17–21 сент.

2007 г. / Севастопольский национальный технический университет, науч. ред.

Ю.Е. Обжерин. – Севастополь, 2007. – С. 180–183.

17. Bosiakov, S. The calculation of teeth roots displacement which appears dur ing orthodontical treatment/ S. Bosiakov, K. Yurkevich, A. Dosta // The World Con gress on Medical Physics and Biomedical Engineering: IFMBE Proceedings, Munich, Germany, 7–12 September, 2009. – Springer Berlin Heidelberg, 2009. – P. 209–211.

18. Босяков, С.М. Определение жесткости костной ткани при поступатель ных перемещениях и поворотах корня зуба / С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Прикладные задачи математики и механики: материалы докладов XVII Между нар. науч.-техн. конф., Севастополь, 14–19 сент. 2009 г. / Севастопольский на циональный технический университет, науч. ред. Ю.Е. Обжерин. – Севасто поль, 2009. – С. 177–181.

19. Юркевич, К.С. Математическое моделирование перемещений трехко ренного зуба / К.С. Юркевич // Прикладные задачи математики и механики: ма териалы докладов XVII Междунар. науч.-техн. конф., Севастополь, 14–19 сент.

2009 г. / Севастопольский национальный технический университет, науч. ред.

Ю.Е. Обжерин. – Севастополь, 2009. – С. 181–184.

20. Михасев, Г.И. Анализ усилий, развиваемых ортодонтическим аппара том для расширения верхней челюсти/ Г.И. Михасев, С.М. Босяков, К.С. Юрке вич // Механика-2009: Сб. науч. тр. IV Белорусского конгресса по теорет. и прикл. механике, Минск, 22–24 дек. 2009 г. / ОИМ НАН Беларуси;

редкол.:

М. С. Высоцкий [и др.]. Минск, 2009. С. 455–459.

21. Bosiakov, S.M. Stress condition of elastic medium originates from dis placements of elliptical hyperboloid / S.M. Bosiakov, K.S. Yurkevich // Boundary Value Problems, Functional Equations and Applications 2 (BFA 2): Proceedings of international conference, Crakow, Poland, April 1417, 2010. / The Pedagogical University of Crakow. – Cracow, 2010. P. 21–22.

22. Босяков, С.М. Определение жесткостей костной ткани при поступа тельных перемещениях корня зуба/ С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Аналитиче ские методы анализа и дифференциальных уравнений: Труды 5-й Междунар.

конференции: в 2 томах. 2010. – Т. 2. – С. 27–30.

23. Босяков, С.М. Математическое моделирование напряженно - деформи руемого состояния периодонтальной связки / С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Прикладные задачи математики и механики: материалы докладов XVIII Меж дународной науч.-техн. конф., Севастополь, 13–17 сент. 2010 г. / Севастополь ский национальный технический университет, науч. ред. Ю.Е. Обжерин. – Се вастополь, 2010. – С. 48–52.

Тезисы докладов 24. Юркевич, К.С. Компьютерное моделирование сложных зубных по верхностей на примере коронок для резца и клыка / К.С. Юркевич // Пятые По ляховские чтения: тез. докл. междунар. науч. конф. по механике, Санкт Петербург, 36 фев. 2009 г. – СПб., 2009. С. 222.

25. Босяков, С.М. Определение жесткостей костной ткани при поступа тельных перемещениях корня зуба / С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Аналитиче ские методы анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. Междунар.

конф. Минск, 1419 сент., 2009 г. / ИМ НАН Беларуси. – Минск, 2009.

С. 3536.

26. Босяков, С.М. Моделирование напряженного состояния периодонталь ной связки в области контакта периодонта с корнем зуба с учетом атрофии ко стной ткани/ С.М. Босяков, К.С. Юркевич // Биомеханика 2010: Тез. докл. X Всерос. конф., Саратов, Россия, 16–22 мая, 2010 г. / Саратовский университет;

редкол. Л. Ю. Коссович [и др.]. Саратов, 2010. С. 4748.

27. Bosiakov, S. Some cases of mathematical modeling applications in ortho pedic stomatology / S. Bosiakov, K. Yurkevich // Mathematical Modelling and Ana lisys: Abstracts of 15th International Conference, Druskininkai, Lithuania, May 2629, 2010 / Vilnius Gediminas Technical University. – Vilnius, 2010. P. 9.

28. Yurkevich, K.S. Analisys of stress deformed condition of periodontal layer / K.S. Yurkevich, S.M. Bosiakov // Advanced Problems in Mechanics: Book of ab stracts of XXXVIII Summer School-Conference, St. Petersburg (Repino), Russia, Ju ly 15, 2010 / IPME RAS. – 2010. – P. 101.

29. Bosiakov, S.M. Biomechanical modeling of tooth root movements in bone stock / S.M. Bosiakov, K.S. Yurkevich // Advanced Problems in Mechanics: Book of abstracts of XXXIX Summer School-Conference, St. Petersburg (Repino), Russia, July 15, 2011 / IPME RAS. – 2011. – P. 75.

30. Yurkevich, K.S. Biomechanical modeling of teeth roots displacement in bone stock under static loading / K.S. Yurkevich, S.M. Bosiakov // Book of abstracts of XXIII congress of the International Society of Biomechanics, Brussels, Belgium, July 3–7, 2011 – Brussels, 2011. – P. 24.

31. Юркевич, К.С. Математическое моделирование начальных перемеще ний корня зуба под действием статической нагрузки / К.С. Юркевич, С.М. Бо сяков // НИРС–2011: Сборник тезисов докладов Республиканской науч. конф.

студентов и асп. Республики Беларусь, Минск, 18 октября 2011 г. / Редкол.:

С.В. Абламейко [и др.]. – Минск, 2011. – С. 92.

Свидетельство о регистрации компьютерной программы 32. Свидетельство о регистрации компьютерной программы в Националь ном центре интеллектуальной собственности Республики Беларусь № 030 Про граммный модуль «Orthodontic Appliance Modeler» CAD - пакета CATIA V5, (авторы С.А. Наумович, А.Н. Доста, С.М. Босяков, К.С. Юркевич). Заявка № С20080014, дата подачи 07.05.2008, дата внесения записи в Реестр зарегист рированных компьютерных программ 18.06.2008.

РЭЗЮМЭ Юркевіч Кірыл Сяргеевіч БІЯМЕХАНІЧНАЕ МАДЭЛЯВАННЕ НАПРУЖАНА-ДЭФАРМАВАНАГА СТАНУ СІСТЭМЫ ЗУБ-ПЕРЫЯДОНТ ПРЫ АРТАДАНТЫЧНЫМ ЛЯЧЭННІ Ключавыя словы: артадантычны апарат, артадантычная нагрузка, лінейна пругкі перыядонт, пачатковыя перамяшчэнні кораня зуба, цэнтры супраціву, глейка-пругкі перыядонт, напружана-дэфармаваны стан перыядонта.

Аб'ект даследавання: артадантычныя апараты для пашырэння верхняй сківіцы, біямеханічныя сістэма зуб–перыядонт.

Мэта работы: распрацоўка методык разліку намаганняў, якія развіваюцца артадантычным апаратам для пашырэння верхняй сківіцы, аналіз напружана дэфармаванага стану лінейна-пругкай і глейка-пругкай перыядантальнай абалонкі, які ўзнікае пад дзеяннем артадантычнай нагрузкі.

Метады даследавання: механіка дэфармаванага цвёрдага цела, тэорыя пругкасці, метад канчатковых элементаў, метады дыферэнцыяльнага і інтэгральнага вылічэння.

Атрыманыя вынікі і іх навізна: у выніку праведзеных даследаванняў ат рыманы выразы для вызначэння намаганняў, якія развіваюцца стрыжнем арта дантычнага апарата для пашырэння верхняй сківіцы ў вестыбулааральным, ме дыядыстальным і вертыкальным напрамку. Распрацавана статычная мадэль раўнавагі лінейна-пругкай перыядантальнай звязкі, пры дзеянні на зуб артадантычнай нагрузкі. Знойдзены каардынаты кропак прыкладання нагрузкі і яе арыентацыя, якія забяспечваюць паступальны рух кораня зуба ў розных плоскасцях. Пабудавана нестацыянарная матэматычная мадэль перамяшчэння кораня зуба ў глейка-пругкім перыядонце. Выведзены выразы для напружанняў і дэфармацый кропак глейка-пругкай перыядантальнай звязкі ў залежнасці ад часу дзеяння нагрузкі. Распрацавана параметрызаваная трохмерная канчаткова элементная мадэль кораня зуба ў форме эліптычнага гіпербалоіда ў перыядантальнай лінейна-пругкай абалонцы.

Рэкамендацыі па выкарыстанню: атрыманыя вынікі могуць быць непасрэдна выкарыстаны на практыцы стаматолагамі-артадонтамі для ацэнкі напружана-дэфармаванага стану сістэмы зуб–перыядонт пры артадантычным лячэнні.

Галіна ўжывання: біямеханіка сківічнай вобласці, артадантыя, артапедыя.

РЕЗЮМЕ Юркевич Кирилл Сергеевич БИОМЕХАНИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ЗУБ–ПЕРИОДОНТ ПРИ ОРТОДОНТИЧЕСКОМ ЛЕЧЕНИИ Ключевые слова: ортодонтический аппарат, ортодонтическая нагрузка, линейно-упругий периодонт, начальные перемещения корня зуба, центры со противления, вязкоупругий периодонт, напряженно-деформированное состоя ние периодонта Объект исследования: ортодонтические аппараты для расширения верх ней челюсти, биомеханическая система зуб-периодонт.

Цель работы: разработка методик расчета усилий, развиваемых ортодон тическим аппаратом для расширения верхней челюсти, анализ напряженно деформированного состояния линейно-упругой и вязкоупругой периодонталь ной оболочки, возникающего под действием ортодонтической нагрузки.

Методы исследования: механика деформируемого твердого тела, теория упругости, метод конечных элементов, методы дифференциального и инте грального исчисления.

Полученные результаты и их новизна: в результате проведенных иссле дований получены выражения для определения усилий, развиваемых стержня ми ортодонтического аппарата для расширения верхней челюсти в вестибуло оральном, медиодистальном и вертикальном направлениях. Разработана стати ческая модель равновесия линейно-упругой периодонтальной связки, при дей ствии на зуб ортодонтической нагрузки. Найдены координаты точек приложе ния нагрузки и ее ориентация, которые обеспечивают поступательное движение корня зуба в различных плоскостях. Построена нестационарная математическая модель перемещений корня зуба в вязкоупругом периодонте. Выведены выра жения для напряжений и деформаций точек вязкоупругой периодонтальной связки в зависимости от времени действия нагрузки. Разработана параметризо ванная трехмерная конечно-элементная модель корня зуба в форме эллиптиче ского гиперболоида в периодонтальной линейно-упругой оболочке.

Рекомендации по использованию: полученные результаты могут быть ис пользованы на практике стоматологами-ортодонтами для прогнозирования на пряженно-деформированного состояния системы зуб-периодонт при ортодон тическом лечении.

Область применения: биомеханика зубочелюстной области, ортодонтия, ортопедия.

SUMMARY Yurkevich Kirill Sergeevich BIOMECHANICAL MODELING OF STRESS-DEFORMED CONDITION OF TOOTH–PERIODONT SYSTEM DURING ORTHODONTIC TREATMENT Key words: orthodontic appliance, orthodontic force, linear elastic periodont, tooth root’s initial displacements, resistance centers, viscoelastic periodont, stress deformed condition of periodont.

The object of research: orthodontic appliances for maxilla expansion, biome chanical system tooth-periodont.

The purpose of work: development of the method for loads calculation devel oped by orthodontic appliance for maxilla expansion, analysis of linear elastic and viscoelastic periodontal ligament’ stress-deformed condition appears under orthodon tic load action.

Methods: mechanics of deformable solid body, the theory of elasticity, finite element method, the methods of differential and integral calculus.

Obtained results and their novelty: as results expressions for loads calculation in mediadistal, vestibulooral and vertical direction developed by orthodontic ap pliance for maxilla expansion were found. The static equilibrium model of linear elastic periodontal ligament under orthodontic load action on a tooth is developed.

The coordinates of the points of load application and orientation, providing translational motion of the tooth root in different planes are found. Mathematical model of the transient displacement of the tooth root in the viscoelastic periodont was built. Expressions for the stress and strain of a viscoelastic periodontal ligament points depending on the time of loading are derived. Three-dimensional parameterized finite element model of the tooth root in the form of an elliptic hyperboloid in periodontal linearly elastic shell is developed.

Recommendation for using: obtained expressions can be used in practice by or thodontist for estimation of stress-deformed condition of tooth-periodont system dur ing orthodontic treatment.

Application field: dental biomechanics, orthodontics, orthopedics.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.