авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Динамические задачи для пороупругих сред

На правах рукописи

Ляпин Александр Александрович

Динамические задачи для пороупругих сред

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2013

Работа выполнена в федеральном государственном автономном

образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесович.

Официальные оппоненты:

Сумбатян Межлум Альбертович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», заведующий кафедрой теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Суворова Татьяна Виссарионовна, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения», профессор кафедры «Высшая математика - 1».

Ведущая организация: Кубанский государственный университет.

Защита состоится «29» октября 2013г. в 17 30 часов на заседании диссерта­ ционного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ), расположенном по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, фа­ культет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «25» сентября 2013г.

Ученый секретарь Боев Николай Васильевич диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

Проблематика описания напряженно-деформированного состояния поро­ упругих тел в режиме установившихся гармонических колебаний является ак­ туальной и важной задачей механики деформируемого твердого тела. Физиче­ ские свойства различных пористых композитов, биологических тканей, грунтов и горных пород требуют учета анизотропии в соответствующих математических моделях. Современные вычислительные технологии позволяют анализировать подобные задачи различными методами, среди которых необходимо выделить методы конечных и граничных элементов.

Начало исследования деформирования пороупругих сред относится к сере­ дине ХХ века. Первыми работами в данной области по праву считаются труды М.А. Био. На сегодняшний день в данной области механики деформируемого твердого тела уже проведено большое число как теоретических, так и практи­ ческих исследований. Возникает все больше областей знания, где модели поро­ упругой насыщенной среды могут быть эффективно применены для анализа динамических процессов. Так, например, многие волновые процессы, протека­ ющие в водонасыщенном грунте, могут быть эффективно описаны этими мо­ делями, а наличие в среде полостей либо неоднородностей требует разработки соответствующих методов решения таких задач.

Многие исследуемые среды в своей структуре могут содержать какие-либо неоднородности, полости или же дефекты типа трещин. Для учета неоднород­ ностей необходимо использовать соответствующие методы анализа такого вида геометрии объектов. Одним из эффективных методов анализа динамического поведения пороупругих сред с неоднородностями является метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем метод граничных элементов.

Другой популярной областью применения моделей пороупругости являет­ ся исследование задач биомеханики. Так, некоторые биологические ткани, такие как костная ткань, по своей природе также обладают пористой структурой и насыщены биологической жидкостью. Моделирование колебаний в изотропных одномерных пороупругих структурах создает необходимый теоретический фун­ дамент для развития неинвазивных методов (в первую очередь акустических) диагностики сращивания костного регенерата в месте перелома. В задачах о ремоделировании костной ткани требуется заранее знать функции распределе­ ния неоднородных характеристик для правильной оценки состояния костного регенерата в зоне перелома. В случае биологических объектов такая инфор­ мация неизвестна и требует соответствующего анализа и механизма определе­ ния. Метод акустического зондирования заключается в том, что исследуемый объект подвергается осциллирующему во времени механическому воздействию на определенной частоте и по снятой информации о перемещениях или уско­ рениях на некотором участке границы делается вывод о распределении той или иной характеристики. Изучению данных задач для пороупругих сред по­ священо крайне мало работ. Более того, построенное в рамках представленной диссертационной работы обобщенное соотношение взаимности для пороупругой насыщенной жидкостью среды является совершенно новым результатом, позво­ ляющим достаточно просто формулировать интегральные уравнения в итера­ ционных процессах для определения характеристик неоднородной пороупругой среды.

Цели и задачи диссертационной работы:

Основной целью представляемой диссертационной работы является иссле­ дование динамических процессов, протекающих в пороупругих насыщенных жидкостью средах, анализ влияния параметра связанности на динамическое поведение, а также разработка метода реконструкции неоднородных пороупру­ гих характеристик по данным акустического зондирования.

Научная новизна.

Научная новизна работы состоит в разработке методов решения, построе­ нии операторных соотношений и итерационных процессов в коэффициентных обратных задачах для идентификации неоднородных одномерных характери­ стик пороупругих тел в режиме установившихся колебаний.

Сформулировано обобщенное динамическое соотношение взаимности и ва­ риационный принцип для пороупругой среды в режиме установившихся коле­ баний.

Проанализироано влияние коэффициента связанности среды на динамиче­ ское поведение.

Построены фундаментальные решения для трансверсально-изотропной по­ роупругой среды и осуществлен вывод и анализ граничных интегральных урав­ нений для полуплоскости с полостью.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая ценность результатов исследования состоит в выводе вари­ ационной постановки задач пороупругости, обобщенного динамического соотно­ шения взаимности для пороупругих сред в режиме установившихся колебаний, разработке методов реконструкции одномерных неоднородных характеристик пороупругой среды и методов решения задач о колебаниях анизотропных поро­ упругих тел при наличии полости произвольной формы.

Методы исследования.

Методы исследования задач о колебаниях пороупругих тел с полостью ос­ нованы на построении явных и неявных представлений фундаментальных ре­ шений и сведении к системам нерегулярных интегральных уравнений.

Методы исследования обратных задач о реконструкции неоднородных ха­ рактеристик по данным акустического зондирования основаны на построении итерационного процесса, на каждом шаге которого решается прямая задача, а поправки определяются из решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Достоверность и апробация результатов.

Достоверность представленных результатов основана на строгом анали­ тическом аппарате математической теории пороупругости, применении извест­ ных эффективных методов решения дифференциальных и интегральных урав­ нений, сравнении полученных результатов с известными классическими реше­ ниями, а также проведении достаточного числа вычислительных экспериментов по реконструкции неоднородных характеристик пороупругих тел.

Результаты диссертационной работы прошли апробацию и были доложе­ ны на следующих всероссийских и международных конференциях: VI, VII Все­ российская школа-семинар (п. Дивноморское, 2011, 2012 гг.), XV, XVI между­ народная конференция ”Современные проблемы механики сплошной среды” (г.

Ростов-на-Дону, 2011, 2012 гг.), международная научно-практическая конферен­ ция ”Строительство-2011”, ”Строительство-2012” (г. Ростов-на-Дону, 2011, гг.), международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения ака­ демика М.М. Лаврентьева ”Обратные и некорректные задачи математической физики” (г. Новосибирск, 2012 г.), XXII международная научная школа им.

С.А. Христиановича ”Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках” (г. Алушта, 2012 г.).

Публикации.

По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том чис­ ле 3 работы из ”Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссер­ тации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук”, утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, спис­ ка литературы из 150 наименований общим объемом 127 страниц машинопис­ ного текста.

Содержание работы Введение содержит краткий исторический очерк развития пороупруго­ сти, как теории, исследующей связанные поля между деформациями упругого скелета и течением поровой жидкости сквозь него. Приведен ряд работ, посвя­ щенных применению теории пороупругости в геомеханике и биомеханике для изучения множества различных динамических процессов, встречающихся в ши­ роком наборе задач для естественных и синтетических материалов.

В задачах со сложной геометрией для решения применяется технология МГЭ, которая в своей основе опирается на метод граничных интегральных урав­ нений. Среди многих монографий, посвященных различным аспектам методам граничных уравнений и элементов, отметим работы Т. Крузе и Ф. Риццо, П.

Бенерджи и Р. Баттерфилда, К. Бреббия, Ж. Теллеса и Л. Вроубела, Л.А. Игум­ нова, В.А. Баженова, М.А. Сумбатяна, А.Г. Угодчикова и Н.М. Хуторянского, В.З. Партона и П.И. Перлина.

Вопросам распространения волн в пороупругих средах посвящено множе­ ство работ отечественных ученых. Среди работ последних лет можно отметить труды О.Ю. Болдыревой, А.А. Губайдуллина, Л.Б. Маслова, Т.В. Суворовой, М.А. Сумбатяна и многих других.

Анализу фундаментальных решений в нестационарных задачах для поро­ упругих сред посвящены работы зарубежных и отечественных ученых, в част­ ности в работах Новгородской школы механиков, среди которых можно выде­ лить работы Л.А. Игумнова, А.В. Аменицкого, А.А. Белова [Аменицкий А.В., Белов А.А., Игумнов Л.А. Гранично-элементный анализ динамической осадки пороупругой колонны // Проблемы прочности и пластичности. 2010. -№ 72. -С.

154-158.], где проанализированы фундаментальные решения для среды Био в нестационарном режиме. Построению фундаментальных решений для линей­ ных моделей и их исследованию посвящены работы М.А. Алексидзе, В.А. Ба­ бешко, М.О. Башелейшвили, Т.В. Бурчуладзе, А.О. Ватульяна, Т.Г. Гегелиа, П.С. Диневой, А.В. Капцова, С.В. Кузнецова, В.Д. Купрадзе, А.В. Наседкина, Д.Г. Натрошвили, Т.В. Рангелова, В.И. Сторожева и многих других авторов.

Коэффициентные обратные задачи для неоднородных тел исследовали как отечественные, так и зарубежные ученые: А.С. Алексеев, О.М. Алифанов, А.Ю.

Аниконов, А.Б. Бакушинский, А.Л. Бухгейм, А.О. Ватульян, А. М. Денисов, С.И. Кабанихин, М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, В.Г. Яхно, G. Chavent, B.

Jadamba, C. Kravaris, C.R. Lee, S.A. Lukasievicz, и др.

Глава 1 посвящена обзору моделей движения пороупругой среды, а так­ же некоторым важным вопросам ее динамического поведения. В параграфах 1.1-1.5 рассматриваются две различных постановки модели движения пороупру­ гого континуума, которые чаще всего встречаются в литературе. Представлен анализ приведенных моделей, а также рассмотрены постановки задач об устано­ пороупругого тела объема, ограниченного вившихся колебаниях с частотой = 1 2 = = поверхностью для обеих моделей.

Система уравнений в первой постановке имеет вид [Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range // J. Acoust. Soc. Am. 1956. -V. 28. -P. 168–178.]:

+ ( + ) + = (11 2 + 12 2 ) ( ),,,, (1) (12 2 22 2 ) ( );

+ = + +,, Граничные условия:

=, 1, =, 1, (2) = 0, 2, = 0, 2.

, - компоненты векторов смещений твердой и жидкой фракций, Здесь,,, 11, 12, - материальные константы, - характеристики распределе­ - параметр, характеризующий диссипацию в среде.

ния плотности материала, Система уравнений во второй постановке имеет вид [Маслов Л.Б. Матема­ тическое моделирование колебаний пороупругих систем: монография. - Ивано­ во: ПресСто. 2010. - 264 c.]:

(, ), (( )), + ( ) 2 = 0, (3) (, ), + + ( ), = 0;

Граничные условия:

(, ) =,, =,, (4) = 0,, = 0, ;

Здесь - компоненты вектора смещений среды, давление поровой жид­, кости, - компоненты тензора упругих модулей, - плотность материала и жидкости соответственно, - компоненты тензора модулей Био, - компо­ ненты тензора коэффициентов проницаемости среды, - компоненты тензора, зависящего от частоты колебаний и коэффициентов проницаемости среды, пористость материала, - гидростатическая константа.

В параграфе 1.6 представлен вывод обобщенного соотношения взаимности для неоднородных анизотропных пороупругих сред, позволяющего формулиро­ вать интегральные уравнения для задач реконструкции различных характери­ стик среды, а также применять его для формулировки интегральных представ­ лений решений в задачах, когда исследуемая среда содержит полость. Верхний индекс в представлении отвечает за состояние среды.

( ) 1 (1) (2) (2) (1) ( (2) (1) ) + (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (1) (2) + ( ),, ( )((2), + (1), ) (5) (2) (2) (1) (1) (1) (2) (1) (1) ((2) (1) + ) 2 (2) + ( ), (2) +, ( (1) (2) ) (2) (1) (2) + (2) (1) + (1) (2) (2) (1) ) = 0;

(1) (2) + (1), Здесь - компоненты массовых сил в среде.

Эту форму соотношения взаимности можно использовать для построения итерационных процессов и получения соответствующих интегральных уравне­ ний для определения поправок для искомых коэффициентов.

Важным результатом, описанным в параграфе 1.7, является вывод аналога вариационного принципа Лагранжа для пороупругой среды. Данный принцип был получен на основе введения кинематически возможных полей смещений и порового давления и дальнейшего преобразования исходной системы. Получен­ ный аналог функционала Лагранжа позволяет единообразно вывести системы уравнений и граничные условия для различных упрощенных моделей.

= 0, Полученное вариационное уравнение имеет вид причем функцио­ нал представим в форме:

1 = (,, +, + + 2 + 2 (6) 1 1 + +,, + ) + + +.

2 2 Параграф 1.8 посвящен некоторым особенностям нестационарного возму­ щения пороупругой среды. В рамках исследования был рассмотрен аналог за­ дачи Даниловской о внезапном воздействии волны порового давления на поро­ 3 0. Важной частью анализа нестационарных про­ упругое полупространство цессов является построение передаточной функции. Для поставленной задачи такой функцией является отношение функции смещений на границе полупро­ странства к функции давления, возбуждаемого на этой границе. Передаточная функция была построена аналитически и для различных явных значений функ­ ции давления получены аналитические представления неизвестных смещений на границе полупространства. На рис. 1, 2 приведены результаты моделиро­ (1, ) (1, ) вания для функций смещения и ( - безразмерное время) при 3 = 1.

(1, ) (1, ) Рис. 1. Функция смещений Рис. 2. Функция давления Глава 2 диссертационного исследования посвящена методу граничных ин­ тегральных уравнений в задачах пороупругости. В параграфе 2.1 построены явные представления фундаментальных решений для пороупругой плоскости в рамках первой модели при помощи метода Ламе разложения полей смещений на потенциальную и вихревую составляющую.

, =,,, 1,, =, +,, 2, В результате неизвестные потенциалы в разложении могут быть представ­ лены в виде:

( ) (1) (1) 0 (1 ) 0 (2 ) () = () + 2 1 ( ) 2 (1) 2 (1) 2 0 (1 ) 1 0 (2 ) () +, 2 2 (1 2 )1 ( ) (1) (1) 0 (1 ) 0 (2 ) () () = + 2 1 ( ) 2 (1) 2 (1) 2 0 (1 ) 1 0 (2 ) () +, 2 2 (1 2 )1 ( ) (1) 0 (3 ) () = () ( ) (1) () 0 (3 ) () () = + () ;

3 1,2, Здесь - волновые числа, отвечающие соответствующим волнам в сре­ () () () (),,,,,,,, = 1.. де, - параметры, зависящие от материальных (1) 0 () констант среды, - функция Ханкеля первого рода.

Параграф 2.2 посвящен построению фундаментальных решений для транс­ версально-изотропной пороупругой плоскости в рамках второй модели, для ко­ торых получено два интегральных представления. Первое содержит однократ­ ные интегралы по бесконечному отрезку:

3 () (1, ) (1 (1 1 )+ (3 3 )) () (1 1, 3 3 ) = 2 2 )( 2 2 ) 1, 2 =1 20 ( = =, = 1..3,,, = 1..3;

(7) Второе имеет вид интегралов по конечному промежутку при переходе к полярной системе координат 1 =, 3 =, 1 1 =, 3 3 = :

2 1 () ((), ()) = 2 () (1,2) ( |( )|), 4 (8) 0 =, = 1..3;

1 () () () () () () 1 = 1, 2 =, 3 = 3 ;

(1,2) () Функции выражаются через интегральные синус и косинус (), 1,3 (1, 3 ) - параметры преобразования Фурье, - точка приложения на­, = 1.. грузки, - корни бикубического характеристического многочлена () ( 0),,,, = 1.., - полиномы четвертой степени.

Проанализированы корни характеристического уравнения для конкретно­ го вида материала. Осуществлена проверка построенных решений путем пре­ дельного перехода к упругой среде.

(1) 1 0.6.

Рис. 3. Функция в упругом и пороупругом случаях, модуль Био равен В параграфе 2.3 представлен способ построения фундаментальных реше­ ний для пороупругой полуплоскости, слоя, а также многослойной среды.

Параграф 2.4 посвящен выводу граничных интегральных уравнений в за­ дачах пороупругости на примере задачи об установившихся колебаниях транс­ версально-изотропной пороупругой полуплоскости с полостью, ограниченной. Осуществлен вывод интегральных представ­ произвольным гладким контуром лений решений в среде при помощи динамического соотношения взаимности, полученного в первой главе диссертации. Граничные интегральные уравнения для определения значений неизвестных функций на контуре имеют вид:

эт () (1, 3 ) = (1, 3 ).. (1, 3, 1, 3 ) (1, 3 ) ;

(9) где введены следующие обозначения:

1 = 1, 2 =,, 3 = 3, () () () () () () 1 = 1, 2 =,, 3 = 3, (10) 1 = 1, 2 =, 3 = 3, = 1, 3;

= 1, 2, 3;

эт () (1, 3 ) = (1 ) (1, 0, 1, 3 )1 ;

(11) эт () (1, 3 ) Здесь - фундаментальные решения для полуплоскости, эталонное решение, отвечающее полям в среде без полости.

В главе 3 внимание уделено вопросам построения решений обратных за­ дач для пороупругих сред. В параграфе 3.1 представлена общая формулировка коэффициентных обратных задач для ограниченного пороупругого тела.

Параграф 3.2 посвящен выводу уравнений продольных и поперечных коле­ баний стержня на основе вариационного принципа, полученного в первой главе.

Другим важным результатом, описанным в параграфе 3.3, является ана­ лиз влияния коэффициента связанности среды на ее динамическое поведение.

Данный анализ проводился на примере задачи о продольных колебаниях по­ роупругого стержня. Для решения поставленной задачи неизвестные функции были представлены в виде разложения в ряд по степеням параметра связан­ ности. В результате был получен ряд задач при различных степенях модуля Био. Система уравнений при нулевой степени параметра отвечала несвязанной задаче, для последующих же коэффициентов разложения приходится решать неоднородные системы уравнений, но с однородными граничными условиями.

Полученная последовательность задач была решена численно, и на каждой ите­ рации был проанализирован вклад соответствующего слагаемого в общее реше­ ние задачи. В результате было получено, что при малых величинах параметра Био влияние связанности мало и можно ограничиться одним членом в разло­ жении, однако при увеличении параметра до величины некоторых реальных констант порядка 0.5, влияние становилось значительным.

Параграф 3.4 посвящен формулировке интегральных соотношений на ос­ нове обобщенного соотношения взаимности, полученного в первой главе диссер­ тационного исследования.

Для восстановления различных параметров среды представлено интеграль­ ное соотношение для реконструкции коэффициентов системы. В случае задачи о толщинных колебаниях пороупругого слоя, когда на верхней границе действу­, ет система нагрузок и известна дополнительная информация о смещениях,, и давлении интегральное соотношение относительно поправок для коэф­ фициентов системы имеет вид:

(33 ()(0 ()) ( 0 ()) + ( 0 ()) + (12) (1 ()) 1 ()(20 ()0 ()) + 33 ()(0 ())2 + 0 ()2 ) = 0.

33 1 () Исследование описанной задачи представлено в параграфе 3.5. Обезразме­ ренные уравнения для описания движения среды представимы в виде:

(4 3 ) (3 ) + 2 (1 3 )3 = 0, + (3 ) + 3 3 = 0, (13) 0, 4 3 (1) 3 (0) = (0) = 0, (1) = =, 3 (1, ) = () : [, ];

Граничные условия задачи:

3 (0) = (0) = 0, (1) = 0, 4 3 (1) =, (14) Дополнительная информация в обратной задаче имеет вид:

3 (1, ) = () : [, ];

(15) где введены следующие параметры:

3 =, 3 =, = *, 33 () * 2 33 () 2 =, 3 () =, 4 () =, 33 33 33 33 (3 ) 33 33 3 () = 33 (3 ), 3 () =, () =.

33 * (3 ) 33,, Здесь - максимальные значения соответствующих харак­ теристик по толщине слоя. Знак в дальнейшем опущен.

На основе общего подхода разработан итерационный алгоритм решения обратной задачи. На нулевом этапе выбирается эталонное приближение в клас­ се линейных функций из условия минимизации функционала невязки. На сле­ дующем этапе решается прямая задача методом пристрелки и интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с гладким ядром относительно поправок к ис­ комым функциям. При численном обращении оператора Фредгольма 1-го рода использован метод регуляризации А.Н. Тихонова.

Интегральные уравнения для отыскания поправок к искомым функциям имеют вид:

+ ( ( () (1, )) + 4 ()1 (, ) = 0, [, ], (16) + ( ( () (1, )) 3 ()2 (, ) = 0, [, ], где 1 (, ) = ( (, ))2, (17) 2 (, ) (, );

2 (, ) = +1 + 4 3.

Решив уравнения (16) методом Тихонова, получим значения и +1 + 4 Далее за начальное приближение параметров и возьмем полученные функции и повторим процедуру заново, таким образом вычислив новые при­ +2 + 4 3.

ближения и Тем самым решение обратных задач сведено к после­ довательности решения прямых задач на основе метода стрельбы и решений интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода для определения поправок.

Для решения интегральных уравнений методом Тихонова априорная ин­ [0.9, 1.2], формация бралась в пяти частотах в диапазоне который рас­ полагается до первого толщинного резонанса. Отметим достаточно неплохое качество реконструкции, достигнутое за 5-6 итераций, однако погрешность ре­ конструкции на границах несколько выше, чем внутри области.

Проведена серия вычислительных экспериментов для различных законов изменения коэффициентов системы дифференциальных уравнений. Результат восстановления безразмерного модуля представлен рис. 4-5, где сплошной линией обозначена точная характеристика, точками - восстановленная:

Рис. 4. Результаты восстановления характери­ Рис. 5. Результаты восстановления характери­ 4 = 0.77 + 0.23 4 = 0.77 + 0. стики стики Аналогично проведена серия вычислительных экспериментов для рекон­ 3. Результат восстановления безразмерного модуля 3 пред­ струкции функции ставлен рис. 6-7, где сплошной линией обозначена точная характеристика, точ­ ками - восстановленная:

Рис. 6. Результаты восстановления характери­ Рис. 7. Результаты восстановления характери­ 3 = 34.18 3.1 3 = 31.08 + 3. стики стики В Заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Сформулировано обобщенное соотношение взаимности для неоднородных пороупругих тел 2. Сформулирован вариационный принцип для задач пороупругости в слу­ чае установившихся колебаний 3. Построены фундаментальные решения для пороупругой среды в случае установившихся колебаний и исследованы их свойства 4. Сформулированы системы ГИУ для исследования колебаний пороупругой полоуплоскости с полостью 5. Разработан метод идентификации одномерных пороупругих неоднород­ ных характеристик на основе акустического зондирования 6. Проведены вычислительные эксперименты в задачах реконструкции Список публикаций 1. Ватульян А.О., Ляпин А.А., Динамическая теорема взаимности и фунда­ ментальные решения для пороупругих сред // Экологический вестник на­ учных центров ЧЭС. 2010. -№4. -С. 14-20.

2. Ватульян А.О., Ляпин А.А., О вариационной постановке задач пороупруго­ сти в случае установившихся колебаний // Известия вузов. Северо-Кавказ­ ский регион. Естественные науки. 2011. -№4. -С. 20- 3. Ватульян А.О., Ляпин А.А., Об обратных коэффициентных задачах поро­ упругости // Изв. РАН. МТТ. 2013. -№ 2. -С. 114-121.

4. Ватульян А.О., Ляпин А.А., О моделях пороупругости и их приложениях к изучению свойств биологических тканей // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссий­ ской школы-семинара, пос. Дивноморское. 2011. -С. 5. Козин С.В., Ляпин А.А., Индентификация упругих свойств пороупругого стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара. 2011.

-С. 6. Ляпин А.А. Построение фундаментальных решений для пороупругих сред // «Строительство-2011» Материалы международной научно-практической конференции. г. Ростов-на-Дону. 2011. -С. 130- 7. Ляпин А.А. Об установившихся колебаниях пороупругой неоднородной ко­ лонны // «Строительство-2012» Материалы международной научно-прак­ тической конференции. г. Ростов-на-Дону. 2012. -С. 92- 8. Козин С.В., Ляпин А.А., Об идентификации характеристик неоднород­ ной пороупругой колонны // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону. 2012.

-С.134-136.

9. Ляпин А.А. Фундаментальные решения трансверсально-изотропной поро­ упругой плоскости // Современные проблемы механики сплошной сре­ ды. Труды XV международной конференции, г. Ростов-на-Дону. 2011.

-С.159-163.

10. Ватульян А.О., Ляпин А.А. Об идентификации характеристик неоднород­ ной пороупругой колонны // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках: Мате­ риалы XXII Междун. научн. школы. Симферополь. 2012. -С. 46- Для заметок Научное издание Ляпин Александр Александрович АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему:

«Динамические задачи для пороупругих сред»

Сдано в набор 22.09.2013. Подписано в печать 22.09.2013.

60 Формат 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 0, 7.

Бумага офсетная Тираж 120 экз. Заказ 256.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии»

340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30- www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.