авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в твердых телах

На правах рукописи

Дударев Владимир Владимирович

РЕКОНСТРУКЦИЯ НЕОДНОРОДНОГО ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО

НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2013

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор, Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты:

Соловьев Аркадий Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент, Донской государственный технический университет, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика».

Зеленцов Владимир Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики им. И. И. Воровича Южного федерального университета, старший научный сотрудник.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Защита состоится «26» ноября 2013 г. в 17:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «24» октября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Николай Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предварительными (внутренними, собственными, первоначальными) напряжениями (ПН) называются напряжения, которые существуют в теле при отсутствии внешних воздействий. Подобные напряжения практически всегда возникают в ходе различных технологических операций (литья, ковки, крутки, прокатки, термообработки и т.п.), а также присутствуют в некоторых биологических тканях (костных, сосудистых и т.д.).

Остаточные напряжения в изделии обычно локализуются в окрестности дефектов (полостей, трещин, включений и т.п.).

Следует отметить, что в силу своей природы остаточные напряжения могут играть решающую роль при наложении на них больших эксплуатационных нагрузок, поэтому их учет чрезвычайно важен в прогнозировании критических ситуаций. Отличительной чертой остаточных напряжений также является то, что их присутствие никак не проявляется до тех пор, пока не происходит сбой или поломка. Поэтому в настоящее время разработка и усовершенствование методов идентификации ПН является востребованной задачей механики сплошной среды. По виду диагностики в механике различают три типа методов: разрушающие, полуразрушающие и неразрушающие.

В последнее время внимание как отечественных, так и зарубежных ученых обращено к совершенствованию акустического метода, теоретическое обоснование которого началось с середины прошлого века. Главным преимуществом этого подхода является мобильность, экономичность, возможность применения к различным материалам и оперативность проведения всего цикла исследования. Несмотря на довольно развитую техническую сторону этого метода, следует отметить, что основной целью подхода остается задача идентификации существенно неоднородного предварительного напряженного состояния (ПНС) в упругих телах и развитие более адекватной теории.

Цель работы состоит в исследовании влияния неоднородного поля ПНС на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) упругих тел, в анализе зависимости собственных частот и собственных форм колебаний от уровня ПНС, в разработке методов решения задач об идентификации неоднородного ПНС в упругих телах на основе акустического зондирования, построении операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции, апробации предлагаемых подходов на конкретных объектах (стержень, слой, кольцо).

Методика исследования прямых задач основана либо на сведении исходных краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, построение решений которых осуществлено численно на основе метода дискретизации интегральных операторов и решения системы линейных алгебраических уравнений, либо на основе метода пристрелки. Обратные задачи идентификации неоднородного ПНС сведены к реализации итерационных процессов, на каждом шаге которых решается прямая задача и определяются поправки из решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода (в задачах для слоя и стержня) или интегро-дифференциального уравнения (в задаче для кольца);

при этом начальное приближение определяется из условия достижения наименьшего значения функционала невязки на компактном множестве, которое может быть построено по известной информации о характере изменения ПНС.

Научная новизна диссертационной работы заключается в изучении влияния неоднородного ПНС на АЧХ, создании методов решения и выводе операторных уравнений, формулировке итерационных процессов в новых коэффициентных обратных задачах об определении неоднородного ПНС в упругих телах и анализе полученных решений для конкретных объектов (стержень, слой, кольцо).

Достоверность результатов, представленных в диссертационном исследовании, основана на строгом аналитическом аппарате математического анализа, на последовательном сведении сформулированных краевых задач для рассматриваемых тел к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, на сравнительном анализе полученных результатов с описанными ранее достоверными частными случаями;

на многочисленных вычислительных экспериментах по исследованию обратных задач для различных законов изменения ПНС.

Практическая ценность результатов диссертационного исследования состоит в разработке методов диагностики неоднородного ПНС, в апробации методов для стержня, слоя и кольцевой области при установившихся колебаниях, а также исследовании возможностей процедуры идентификации в зависимости от частотного диапазона и способа нагружения.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, были доложены на различных международных и Всероссийских конференциях:

«Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008, 2010, 2012 гг.), «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (Украина, Донецк, 2010 г.), «Х Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики»

(Нижний Новгород, 2011 г.), «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Волгодонск, 2011 г., Владикавказ, 2010, 2013 гг.), «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2009, 2012-2013 гг.), «Владикавказская молодежная математическая школа» (Владикавказ, 2012 г.), неоднократно на научных семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано работ, из них четыре статьи помещены в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя введение, три главы, заключение, список литературы из 121 наименования, 55 рисунков и 3 таблицы. Общий объем работы 119 страниц машинописного текста.

Научные результаты, полученные в диссертации, неоднократно поддерживались РФФИ № 10-01-00194-а, 13-01-00196-а, (проекты 12-01-31501 мол_а) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГК от 18 мая 2010 г. № П596, соглашения № 14.132.21.1358, 14.132.21.1360).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по проблеме диагностики и моделирования ПНС в телах. Описаны основные причины возникновения ПН в телах. Представлена краткая классификация методов диагностики ПНС, выделены наиболее распространенные. Описаны научные аспекты, подтверждающие актуальность диссертационного исследования, представлены основные цели работы.

В первой главе работы представлены постановки прямых задач о колебаниях предварительно напряженных тел в рамках акустического метода.

В параграфе 1.1 изложен краткий исторический обзор по проблеме формирования понятия ПНС. Представлены основные современные математические модели механики сплошной среды, описывающие поведение тела при наличии неоднородного поля ПН. Отмечены некоторые зарубежные и отечественные ученые, которые внесли значительный вклад в разработку теоретических основ моделирования и определения ПНС: Родман В.И., Умов И.А., Саусвелл Р.В., Бицено К.В., Генки Х., Нейбер Х., Треффтц Е., Био М.А., Новожилов В.В., Грин А.Е., Ривлин Р.С., Шилд Р.Т., Трусделл К., Лурье А.И., Зубов Л.М., Огден Р.В., Васидзу К., Гузь А.Н., Товстик П.Е., Калинчук В.В., Белянкова Т.И., Хогер А., Ерофеев В.И. Также отмечены ученые, работы которых посвящены экспериментальному исследованию ПНС:

Давиденков Н.Н., Закс Г., Фридман Я.Б., Калакуцкий Н.В., Большаков К.П., Винокуров В.А., Голоднов А.И., Григорьянц А.Г., Патон Е.О., Игнатьева В.С., Казимиров А.А., Касаткин Б.С., Лобанов Л.М., Недосека А.Я., Николаев Г.А., Окерблом Н.О., Биргер И.А., Чернышев Г.Н., Попов А.Л., Козинцев В.М., Карабутов А.А., Никитина Н.Е. и другие.

В параграфе 1.2 сформулирована общая постановка задачи о колебаниях S S Su, в терминах тела объема V, ограниченного поверхностью несимметричного тензора Пиолы Tij при наличии ПНС, характеризующегося тензором mj, на основе модели, развитой А.Н. Гузем1:

Tij, j 2u i 0 (1) Tij ij ui,m0 (2) mj ij Cijkl uk,l (3) ui |Su 0, Tij n j |S pi (4) где ui – компоненты поля перемещения, – плотность, – частота установившихся колебаний, pi – компоненты вектора нагрузки, Cijkl – компоненты тензора упругих модулей, ni – компоненты вектора единичной внешней нормали.

В параграфе 1.3 выведена слабая постановка задачи:

A(u, v, ) B(v ) 0, (5) где A(u, v, ) – линейная форма по каждому из аргументов u, v,, для 0 анизотропного тела A(u, v, ) Cijkl uk, l vi, j dV ui, m mj vi, j dV 2ui vi dV, для 0 V V V изотропного тела A(u, v, ) (uk, k vk, k 2 ij (u) ij (v ))dV ui, m mj dV 2ui vi dV ;

0 V V V B(v ) pi vi ds – линейная форма от гладкого пробного поля перемещений S v(v1, v2, v3 ), которое удовлетворяет граничным условиям vi |Su 0 ;

, – параметры Ламе;

ij (u ) – компоненты симметричного тензора деформации ij (u) 1 2 (ui, j u j,i ) ;

Коши pi – компоненты вектора нагрузки. В Впервые описана Е. Треффтцем (E. Trefftz. Zur theorie der stabilitat des elastischen gleichgewichts // ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1933. V. 12, N 2. P. 160–165.) представленной форме компоненты тензора ПН ij и параметры Ламе, в общем случае могут быть заданы как функции пространственных координат.

В параграфе 1.4 представлена постановка задачи об установившихся изгибных колебаниях консольно закрепленного предварительно напряженного стержня. Колебанию вызываются нагрузкой приложенной на свободном конце.

Напряженное состояние – одноосное ( 11 ( x1 ) 0 ). Уравнение движения и граничные условия выведены согласно гипотезам Бернулли-Эйлера на основе вариационной постановки, сформулированной в параграфе 1.2:

( J ( E 11 )w) ( F11w) F2 w 2 ( Jw) 0 (6) w(0) 0 (7) w(0) 0 (8) ( J ( E 11 )w)(l ) (9) (( J ( E 11 )w) F11 w 2 Jw)(l ) P 0 (10) где w( x1 ) – компонента вектора смещений вдоль оси x3, F – площадь поперечного сечения, l – длина стержня, J x3 dS – осевой момент инерции, F E – модуль Юнга. Основное отличие от ранее известных уравнений и граничных условий состоит в слагаемом F 11w, входящем в граничное условие (10), и сохранении компоненты 11 при старшей производной в уравнении (6). Параметры J, E, 11, F, могут быть заданы как функции x x1 ;

соответственно полученная постановка может быть переменной использована для балок с переменными свойствами.

В параграфе 1.5 в полярной системе координат ( r, ) сформулирована постановка задачи о колебаниях предварительно напряженного тела в рамках плоской деформации. Получены уравнения движения в компонентах поля перемещения u(ur, u ). Представлена задача о радиальных колебаниях с частотой кольцевой области ( 0 r1 r r2 ), в случае, когда поле ПН зависит только от радиальной координаты:

d 2 u d rr 1 0 du 2 rr ( 2 ) dr dr r rr r (11) 2 1 d rr 2 2 r rr u r dr 2 rr u r r2 p 0 du (12) r r 2 rr u r r1 0 du (13) r r где p – амплитуда осесимметричной периодической нагрузки, приложенной на внешней границе r r2.

В параграфе 1.6 сформулирована постановка задачи о колебаниях ортотропного слоя при наличии поля ПН, зависящих от поперечной координаты x3. Колебания вызываются нагрузкой, приложенной на верхней границе слоя x3 h. С помощью преобразования Фурье сформулированы три вспомогательные краевые задачи относительно интегральных компонент смещений, в которых компоненты тензора ПН разделяются.

Во второй главе диссертации представлены решения сформулированных прямых задач об определении компонент поля перемещения для предварительно напряженных тел. В дальнейшем эти решения используются в качестве входной информации при исследовании обратных задач об идентификации неоднородного ПНС.

В параграфе 2.1 для описанной задачи об изгибных колебаниях стержня проведена процедура обезразмеривания, решение сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно специально введенной функции y ( ) :

y () K (, s) y ( s)ds f (), (14) f () P0 (1 ), (15) K (, s ) ( 1 f 3 ( ) ( ) 2 ( )( s) g 2 ( ))d 2 ( s) max(,s ) (16) g1 ( s ) 1 f 2 ( s) где max | 11 | / E0 1, 12 F0l 2 / J 0, 2 0 F0l 4 2 / E0 J 0, P0 Pl 2 / E0 J 0, 0 x[ 0, l ] ( ) 11 / max | 11 |, J J 0 f1 (), E E0 f 2 (), F F0 f 3 (), 0 f 4 (), 0 x[ 0, l ] J 0 max J ( x ), E0 max E ( x ), g1 () f1 () f 2 (), g 2 () f 3 () f 4 (), x[ 0, l ] x[ 0, l ] F0 max F ( x ), 0 max ( x ), x / l [0;

1].

x[ 0, l ] x[ 0, l ] Вычисление значений функции смещения производится по формуле:

y( s) w( ) ( s ) ds, ( s) (17) g1 ( s ) f 2 ( s) Решение интегрального уравнения (14) осуществлено численно с помощью метода коллокаций с использованием квадратурной формулы Симпсона и сведения к линейной алгебраической системе уравнений. Проведен численный анализ влияния уровня ПН на АЧХ и зависимость значений собственных частот от величины ПН.

В параграфе 2.2 осуществлено численное решение прямой задачи для кольцевой области на основе метода пристрелки в пакете Maple, примененного к канонической системе дифференциальных уравнений:

U y, (18) 1 1 g 1 g g g 2 U, y y 1 g (19) U (1 g ) y k p*, (20) U (1 g ) y k 0, (21) где для общности рассуждений введены безразмерные параметры и функции p* pr2 /( 2 ), 2 2 r22 /( 2 ), [ 0,1], 0 r1 / r2, k /( 2 ), g ( ) rr / max | rr | – функция, характеризующая закон изменения 0 [ 0,1] компоненты rr, max | rr | /( 2 ) – параметр, характеризующий уровень 0 [0,1] ПНС, u( r ) r2U ( ).

Для анализа точности численного решения получено аналитическое решение в случае постоянного ПНС, сравнительный анализ показал высокую точность приближенного решения.

Для анализа возможности использования акустического метода в качестве метода определения функции g ( ) построены АЧХ U (1, ) в окрестности первых трех резонансных частот для различных значений параметра и функций g ( ). Отмечено, что наиболее существенное влияние параметра проявляется вблизи более высоких резонансных частот.

В параграфе 2.3 прямая задача об определении значений осредненной характеристики смещения сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

p V ( ) K (, )Vd d, (22) f ( ) 0 min(, ) K (, ) 2 ds (23) f ( s) f ( ) 1 ( ) (24) V ( ) v( x3 ) / h, max | 33 | / С55, ( ) 33 / max | 33 | – функция где 0 0 x3[ 0,h ] x3[ 0,h ] изменения компоненты 33, 2 h 2 2 / C55, p0 pv /C55, x3 / h [0;

1].

Решение интегрального уравнения находится численно с помощью метода коллокаций аналогично задаче для стержня. Проведен анализ влияния уровня ПНС на АЧХ и выявлена зависимость значений толщинных резонансов от величины.

В третьей главе диссертационной работы рассмотрены коэффициентные обратные задачи для предварительно напряженных упругих тел.

В параграфе 3.1 представлен обзор методов и подходов к решению обратных задач. Обозначены основные преимущества и недостатки каждого из них. Особое внимание уделено методам решения обратных коэффициентных задач. Описаны способы формулировки операторных уравнений, связывающих неизвестные и заданные функции. Поскольку в явном виде это осуществить невозможно, в работе сформулирована общая итерационная схема, при этом на каждом шаге необходимо находить решение прямой задачи и вычислять поправки на основе данных, полученных на предыдущем шаге. Как известно, для реализации любого итерационного процесса необходимо знать начальное приближение восстанавливаемой функции. В представленном диссертационном исследовании такое начальное приближение выбиралось в классе линейных функций. При этом два неизвестных коэффициента определялись из условия достижения минимума сформулированного функционала невязки на компактном множестве, которое было построено для каждой из исследуемых задач по априорной информации об ограниченности значения ПНС.

На основе общей постановки задачи выведено линейное операторное уравнение для отыскания поправок компонент тензора ПНС.

В параграфе 3.2 подробно описан метод линеаризации для вывода необходимых операторных соотношений, связывающих определяемую характеристику (функцию изменения одноосного ПНС) упругой балки с заданными функциями (прогибом балки в точке приложения силы для фиксированной частоты). С помощью метода линеаризации построено интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для определения функции поправки 1 ( ) :

1 ( )( f 2 ( )(w0) 1 f 3 ( )(w0 ) )d P0 ( f ( 2 ) w0 (1, 2 )), 2 (25) 2 [ 2, 2 ] где w0 – функция смещения, вычисленная на предыдущей итерации, f ( 2 ) w(1, 2 ) – заданная АЧХ. При выводе этого уравнения показана важность сохранения величины ПН при старшей производной функции смещения в уравнении движения (6). Численное решение (25) реализовано с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова. В работе представлено большое количество вычислительных экспериментов по восстановлению монотонных и немонотонных функций. В качестве примера на рисунке изображены результаты реконструкции монотонной функции ( ) 1.5 0.7 2.

Здесь и далее сплошной линией обозначена искомая функция, штриховой линией – начальное приближение, точками – восстановленная. Начальное приближение 0 ( ) 0.3 1.4, уровень ПНС 103, параметр 1 0.3, частотный диапазон 2 [0.6,1.5] расположен до первой резонансной частоты, количество итераций 7. Максимальная относительная погрешность между точным и восстановленным законом в приведенном примере наблюдается на торцах и не превосходит 7%.

Рисунок 1 – Реконструкция монотонного закона в задаче для стержня В параграфе 3.3 представлено 2 подхода для исследования обратной задачи о восстановлении функции, описывающей изменение радиальной компоненты тензора ПНС по известной информации о смещении кольцевой области при заданной частоте.

В рамках первого подхода решение обратной задачи сведено к дифференциальному уравнению 1-го порядка с переменными коэффициентами относительно неизвестной функции g ( ). При этом в качестве дополнительной информации считаются заданными значения функции смещения в конечном наборе точек i [0,1], соответствующие некоторой фиксированной частоте.

Анализ результатов проведенных вычислительных экспериментов по реконструкции закона, соответствующего ПНС задачи Ламе, показал, что такой подход реализуем в частотной области до первого резонанса. Дальнейший анализ показал, что нельзя осуществить восстановление исходной функции с приемлемой точностью в иной частотной области в силу обращения в некоторых точках в ноль коэффициента при старшей производной. Точность реконструкции определяется главным образом точностью аппроксимации первой и второй производной функции смещения, которая осуществлена на основе сплайнов.

Во втором подходе считается известным смещение d ( ) U (1, ), [, ]. Решение обратной задачи о реконструкции функции g ( ) основано на построении итерационного процесса. Выведено необходимое операторное соотношение, связывающее искомую функцию поправки радиальной компоненты ПНС g1 с измеряемой функцией смещения.

1 U )d g1U 0 d p* (U 0 (1, ) d ( )), [, ] g1 (U (26) 0 где U 0 (1, ) – функция смещения, вычисленная на предыдущем шаге. Решение этого уравнения реализовано численно путем дискретизации интегральных операторов, использованием разностной схемы при вычислении производной неизвестной функции и дальнейшим применением метода регуляризации А.Н. Тихонова. В работе представлены примеры реконструкции монотонных и немонотонных законов. На рисунке 2 в качестве иллюстрации предложенного способа решения обратной задачи представлены результаты реконструкции немонотонной функции g ( ) cos(10 ( )) 0.4. Начальное приближение g0 ( ) 10 9.5, количество итераций равно 20, значение параметра 0 0.9, 103. Максимальная относительная погрешность между точным и восстановленным законом не превосходит 7%.

Рисунок 2 – Реконструкция немонотонного закона ПН в задаче для кольца Также выведена формула (27), связывающая значения собственных частот при наличии и отсутствии ПНС. На основе этой формулы при известном законе изменения ПНС (например, для задачи Ламе g ( ) (1 2 ) /(02 1), p0 ) можно определить его уровень.

1 1 1 1 2 U 0 1 2 U 0 d 0 p 2 (27) 2 U d где p0 – безразмерная величина внутреннего давления, – собственная частота кольца при наличии ПНС, 0 – собственная частота при отсутствии ПНС, U 0 – форма колебаний при отсутствии ПНС. В работе приведены таблицы для толстых ( 0 0.1 ) и тонких ( 0 0.8 ) колец, позволяющие оценить точность определения резонансных частот по формуле (27) для первых трех резонансных частот при разном уровне ПНС;

их погрешность не превосходит 0.5%.

В параграфе 3.4 решение обратной задачи об определении закона изменения ПНС (функции ( ) ) при толщинных колебаниях ортотропного слоя предлагается строить с помощью итерационного метода. На основе метода линеаризации выведено интегральное уравнения Фредгольма 1-го рода, связывающее значения неизвестной функции поправки 1 и известной функции трансформанты смещения d ( ) V (1, ) на верхней границе слоя при заданной частоте:

1 (V0) d p0 (V0 (1, ) d ( )), [ 1, 2 ].

(28) где V0 – функция, вычисленная на предыдущем шаге. Особенностью ядра этого интегрального уравнения является то обстоятельство, что для некоторых форм колебаний оно может обращаться в ноль. Решение уравнения (28) осуществлено численно с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова.

В работе представлены различные примеры реконструкции монотонных и немонотонных законов. На рисунке 3 приведен пример реконструкции ( ) 1 3 2.

монотонного закона Начальное приближение 0 ( ) 4 1.2, уровень ПНС 10 2, частотный диапазон расположен между первой и второй резонансными частотами [1.9,4.6], количество итераций 20, 0.26 108.

значение параметра регуляризации на последнем шаге Максимальная относительная погрешность между точным и восстановленным законом не превосходит 5%.

Для анализа влияния уровня погрешности входных данных на качество реконструкции также проведена серия вычислительных экспериментов.

Выявлено, что предложенный метод решения обратной задачи устойчив к малому уровню зашумления (менее 0.1% ) входных данных, при этом погрешность восстановления возрастает пропорционально увеличению погрешности входных данных.

В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Рисунок 3 – Реконструкция монотонного закона ПН в задаче для слоя ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ Разработаны новые методы решения одномерных задач об 1.

установившихся колебаниях упругих тел при наличии неоднородного ПНС.

Описаны способы построения операторных соотношений и 2.

итерационных процессов в коэффициентных обратных задачах по восстановлению существенно неоднородного ПНС в упругих телах;

построены конкретные операторные соотношения и итерационные процессы для стержня, слоя и кольца.

Проведены вычислительные эксперименты по определению законов 3.

(монотонных, немонотонных) изменения неоднородного ПНС для стержня, слоя и кольца при установившихся колебаниях Получено приближенное решение задачи об определении величины 4.

уровня ПНС, соответствующего задаче Ламе для цилиндра, по изменению значений собственных частот колебаний.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Ватульян А.О., Дударев В.В. О реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в стержне // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2009. №3 С. 18-23.

2. Ватульян А.О., Дударев В.В. О некоторых проблемах реконструкции неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика.

Информатика. 2009. Т. 9, вып. 4, ч. 2. С. 25–32.

3. Дударев В.В., Недин Р.Д. О реконструкции остаточных напряжений в твердых телах // Вестник Нижегородского университета им.

Н.И. Лобачевского. 2011. № 4(4). С. 1473–1475.

4. V.V. Dudarev, A.O. Vatulyan. On restoring of the pre-stressed state in elastic bodies // ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2011.

V. 91, N 6. P. 485–492.

5. Дударев В.В. Об определении плоского предварительного напряженного состояния // Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям.

(Итоги науки. Юг России). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-Д, 2010. С.

232–237.

6. Дударев В.В. К оценке неоднородного предварительного напряженного состояния (плоский случай) // Тр. аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Т. XV. Ростов-на-Дону: ИПО ПИ ЮФУ, 2010. С.

28–31.

7. Дударев В.В., Недин Р.Д. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 2012. Вып. 127: Механика структурно-неоднородных сред. C. 38–40.

8. Дударев В.В. Поперечные колебания предварительно напряженного стержня // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Тр. VI Шк.-сем., Ростов-на-Дону, 17-20 декабря 2007. Ростов-на Дону: Издательство ЮФУ, 2008. С. 90–92.

9. Дударев В.В. Об уточненной модели изгибных колебаний предварительно напряженной балки // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. XII Межд. конф., Ростов-на-Дону, 1-5 декабря 2008. Т. II.

Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2008. С. 56–59.

10. Дударев В.В. Об уточненной модели предварительно напряженного стержня // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Тр. VII Шк.-сем., Ростов-на-Дону, 1-5 декабря 2008. Ростов-на Дону: Издательство ЮФУ, 2009. С. 77–79.

11. Ватульян А.О., Дударев В.В. Об операторных уравнениях для предварительно напряженного слоя // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Мат. VI Межд. научной конф., Донецк, 8– июня 2010. С. 119–122.

12. Дударев В.В. Об антиплоских колебаниях слоя при наличии неоднородного поля предварительных напряжений // III Межд. науч.-практ.

конф. «Молодые ученые в решении актуальных проблем науки»: Сборник работ молодых ученых. Ч. 2. Владикавказ. 2012. C. 34–38.

13. Дударев В.В. Плоские колебания предварительно напряженного анизотропного слоя // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр.

XVI Межд. конф., Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012. Т. I. Ростов-на-Дону:

Издательство ЮФУ. 2012. С. 80–83.

14. Дударев В.В. О численном решении обратной задачи определения предварительных напряжений в слое // Мат. 2-й науч.-практ. шк.-сем. молодых ученых, Тольятти, 18-21 декабря 2012. Тольятти: ТГУ, 2012. С. 47–51.

15. Дударев В.В. Об определении неоднородного предварительного напряженного состояния для стержней // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. V Всерос. шк.-сем., Дивноморское, 1-5 июня 2009. Ростов-на-Дону: Издательство «Терра Принт», 2009. С. 37–38.

16. Дударев В.В. Об уточненной модели колебаний предварительно напряженного стержня // Неделя науки 2009: Сб. тез. Ростов-на-Дону:

Издательство ЮФУ, 2009. С. 78–82.

17. Дударев В.В., Недин Р.Д. Идентификация неоднородного предварительного напряженного состояния в плоских упругих областях при установившихся колебаниях // VI Ежегодная научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН: Тез. докл., Ростов на-Дону, 19-30 апреля 2010. Ростов-на-Дону: Издательство ЮНЦ РАН, 2010. С.

216–217.

18. Ватульян А.О., Дударев В.В., Недин Р.Д. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций:

Тез. докл. II Всерос. конф., Новосибирск, 10-14 октября 2011. Новосибирск:

Изд. НГТУ С. 21.

19. Дударев В.В. Антиплоские колебания предварительно напряженного слоя // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всерос. шк.-сем., Дивноморское, 28 мая – 1 июня 2012. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2012. С. 48.

20. Дударев В.В., Недин Р.Д. Задача о радиальных колебаниях кольцевой области при наличии предварительного напряженного состояния // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете:

Тез. докл. VIII Всерос. шк.-сем., Дивноморское, 27 мая – 31 мая 2013. Ростов на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. С. 52.

Для заметок Сдано в набор 21.10.2013. Подписано в печать 21.10.2013.

Формат 60х84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0.

Бумага офсетная.

Тираж 120 экз. Заказ 2110/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии»

340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30- www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.