авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Некоторые задачи динамики и устойчивости цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией

На правах рукописи

Панфилов Иван Александрович

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ И

УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ОБОЛОЧКИ С ВИНТОВОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

Специальность 01.02.04 –

механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2011

Работа выполнена на кафедре теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Устинов Юрий Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Юдин Анатолий Семенович доктор технических наук, профессор Шевцов Сергей Николаевич

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита состоится ”11“октября 2011 г. в 1545 часов на заседании диссер тационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компью терных наук, ауд.211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан ”7“ сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Целью работы является исследование некоторых особенностей гар монических волновых процессов в цилиндрических оболочках, порожда емых винтовой анизотропией;

оценка применимости прикладных теорий, основанных на гипотезах Кирхгофа – Лява и гипотезах Тимошенко–Рейсснера;

а также разработка численно-аналитического ме тода определения критических значений внешнего гидростатического дав ления и осевого сжатия для армированной цилиндрической (непологой) оболочки с винтовой анизотропией.

Актуальность работы.В настоящее время в различных отраслях производства широкое применение получили оболочки из волокнистых композитов, состоящие из армирующих элементов высокой прочности и полимерного связующего, обеспечивающего монолитность конструкции. В качестве армирующих волокон применяются стекло-, угле-, боро- и орга нопластики. В ряде отраслей широко используются цилиндрические обо лочки со спиральной и биспиральной ориентацией волокон относительно оси цилиндра.

Важной технологической особенностью армированных оболочек явля ется возможность варьирования их механических свойств в достаточно широких пределах за счет изменения состава, концентрации и взаимного расположения армирующих волокон. Для армированных цилиндрических оболочек такими характеристиками являются механические свойства ком понент, их концентрация и углы намотки армирующих волокон.

Основной задачей теории упругости анизотропных оболочек, как и за дачей теории оболочек вообще, является изучение прочности, колебаний и устойчивости.

Методы исследования. Исследования колебаний и волновых про цессов в цилиндре с винтовой анизотропией для уравнений, построенных на основе гипотез Кирхгофа–Лява, гипотез Тимошенко–Рейсснера, а так же на основе трехмерных уравнений теории упругости, проведены с по мощью метода однородных решений. Соотношения для определения кри тических нагрузок и форм потери устойчивости были получены методом линеаризации нелинейных уравнений теории оболочек. Анализ уравнений устойчивости осуществлен численным методом прогонки.

Достоверность полученных результатов в диссертационной работе в динамических задачах обеспечивается сравнением результатов, получен ных на основе различных прикладных теорий оболочек с результатами, полученными на основе численного интегрирования трехмерных уравне ний теории упругости. При исследовании устойчивости оболочек с винто вой анизотропией величины критических нагрузок, которые в настоящей работе получаются численными методами, сравнивались с критически ми нагрузками изотропной оболочки, для которой критические нагруз ки определяются на основе аналитических формул, а для анизотропной оболочки–с результатами, полученными другими авторами интегрирова нием линеаризованных уравнений методом Бубнова–Галеркина при без моментном докритическом состоянии.

Новые результаты, выносимые на защиту, заключаются в сле дующем:

1. Для исследования колебаний и волновых процессов цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией построены соотношения, отвеча ющие двум прикладным теориям: 1) теории, основанной на гипоте зах Кирхгофа–Лява;

2) теории, основанной на гипотезах Тимошенко– Рейсснера.

2. Исследованы осесимметричные колебания и волны в цилиндре с вин товой анизотропией, построены дисперсионные кривые и отвечающие им элементарные решения, описаны их основные свойства, исследо вано влияние угла армирования на собственные частоты оболочки, а также решена задача для оболочки конечной длины при кинемати ческом возбуждении одного из торцов.

3. Исследованы изгибные колебания, получены дисперсионные уравне ния и элементарные решения, для полубесконечной оболочки реше ны задача распространения гармонических волн при кинематическом возбуждении ее торца и задача отражения гармонических однород ных волн от торца оболочки.

4. На основе трехмерных уравнений теории упругости построена при кладная теория продольно-крутильных длинноволновых колебаний.

Получены оценки для областей применимости построенных приклад ных теорий цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией по параметрам толщины и частоты (длины волн).

5. Для исследования высокочастотных колебаний на основе трехмерных уравнений теории упругости построен численно-аналитический алго ритм построения дисперсионных кривых в высокочастотной области.

6. Для исследования устойчивости цилиндрической оболочки с винто вой анизотропией при действии гидростатического давления и осево го сжатия построен численно-аналитический алгоритм определения точек ветвления (бифуркации).

Практическая значимость работы. Полученные в диссертацион ной работе результаты могут быть использованы для расчета прочности и устойчивости конструкций, содержащих в своей структуре оболочки с винтовой анизотропией.

Структура работы. Диссертация состоит из перечня основных со кращений, введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 89 страниц.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры теории упругости факультета математики, механи ки и компьютерных наук ЮФУ и докладывались на XII, XIII, XIV Меж дународных конференциях “Современные проблемы механики сплошной среды”(Ростов - на - Дону–2008, Ростов-на-Дону–2009, Ростов - на - Дону Азов–2010), IV, V, VI Всероссийских школах-семинарах “Математическое моделирование и биомеханика в современном университете” (пос. Дивноморское–2008, 2009, 2011), Международной научной конферен ции “Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделиро вания”(Владикавказ 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород– 2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 статьях, список которых приведен в конце автореферата. Из них статьи [6, 8, 11, 12] опубликованы в журналах из “Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные ре зультаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук”, утвержденного ВАК РФ.

В совместных работах научному руководителю Ю. А. Устинову при надлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения.

Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация числен ных методов, численные результаты принадлежат автору диссертацион ной работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной ра боты, приводится краткая история развития исследования колебаний и устойчивости цилиндрических оболочек с винтовой анизотропией (Ц О В А), формулируются цели и задачи работы, а также результаты, выносимые на защиту.

В первой главе исследуются колебания цилиндрических тел с винто вой анизотропией на основе соотношений трехмерной теории упругости.

В п. 1.1 приводятся основные соотношения трехмерной теории упруго сти в винтовой системе координат для тел с винтовой анизотропией.

Введем винтовую систему координат r,, z, связанную c декартовой соотношениями x1 = r cos( + z), x2 = r sin( + z), x3 = z, (1) где r1 r r2 ;

= tg()/r2 – геометрический параметр винтовой анизо тропии (крутка).

Соотношения (1) при r = const, = const являются параметриче скими уравнениями винтовой линии, при этом является углом между касательной к винтовой линии и осью Ox3. С каждой винтовой линией свяжем репер Френе с ортами главной нормали e1, главной бинормали e2, касательной e3. Переход от базиса Френе к базису винтовой системы координат er, e, ez, первые два орта которой связаны с ортами декарто вой системы Ox1 x2 x3 соотношениями er = i1 cos( + z) + i2 sin( + z), e = i1 sin( + z) + i2 cos( + z), осуществляется с помощью ортогональной матрицы 1 0 A=, 0 cos sin 0 sin cos где = arctg(x), x = r.

Будем считать материал цилиндра локально трансверсально -изотропным, у которого направления главных осей тензора упругих свойств совпадают с направлениями ортов e1, e2, e3, где орт e3 определяет направление оси упругой симметрии. В этом базисе соотношения обобщен ного закона Гука имеют вид = Ce, C = (cij ), i, j = 1,..., 6, (2) = (11, 22, 33, 23, 13, 12, )T, e = (e11, e22, e33, 2e23, 2e13, 2e12 )T.

Здесь eij, ij – компоненты тензоров малых деформаций и напряжений соответственно.

Трансверсально-изотропный материал характеризуется пятью незави симыми техническими постоянными: модулями Юнга E, E, коэффици ентами Пуассона, и модулем сдвига G.

При переходе от базиса Френе к базису винтовой системы координат для закона Гука получаем следующие выражения:

= C e, C = (cij ), i, j = 1,..., 6, (3) = (rr,, zz, z, rz, r, )T, e = (err, e, ezz, 2ez, 2erz, 2er )T.

В базисе винтовой системы координат er, ez, e компоненты тензора деформаций выражаются через координаты вектора смещений u = (ur, u, uz )T следующими формулами:

err = r ur, e = (ur + u )/r, ezz = Duz, 2er = r u + ( ur u )/r, 2erz = r uz + Dur, (4) 2ez = uz /r + Du.

Уравнения движения в данном случае имеют вид r (rrr ) + r + rDrz = rt2 ur, r (rr ) + r + + rDz = rt2 u, (5) r (rrz ) + z + rDzz = rt2 uz.

В формулах (5) – плотность материала цилиндра;

r =, =, =, t =, r z t D =.

Для биспирально-армированной оболочки в выше приведенных соот ношениях следует оператор D заменить на z и элементы матрицы жест костей c24, c34 приравнять нулю.

П. 1.2. посвящен описанию метода однородных решений для случая, когда боковая поверхность свободна от напряжений:

при r = r ( = 1, 2) : rr = r = rz = 0. (6) Вводятся векторы напряжений:

r = (rr, r, rz )T, = (r,, z )T, z = (rz, z, zz )T, связанные со смещениями операторными соотношениями:

r = z Ar u + Br u, = z A u + B u, (7) z = z Az u + Bz u.

Разыскивая решение в виде гармонической волны u = ei(kzt) a, r = ei(kzt) br, = ei(kzt) b, z = ei(kzt) bz, a = (ar, ia, iaz )T, br = (ibrr, br, brz )T, (8) b = (br, ib, ibz )T, bz = (brz, ibz, ibzz )T, на основании (5)–(8) получаем двухпараметрическую спектральную зада чу L(k, )a k 2 A2 a + ikA1 a + A0 + r 2 Ia = 0, (9) при r = r : (ikAr + Br )a = 0, (10) где –круговая частота, k–волновое число.

В п. 1.3 на основе трехмерных уравнений теории упругости постро ена прикладная теория продольно-крутильных длинноволновых колеба ний, отвечающих малым значениям частоты и волнового числа. Показано, что любые низкочастотные длинноволновые колебания цилиндра с винто вой анизотропией являются линейной комбинацией решений, отвечающих продольным и крутильным колебаниям. Проведен сравнительный анализ дисперсионных кривых, построенных на основе разработанной приклад ной теории и на основе численного интегрирования трехмерных уравне ний.

Для проведения исследований осуществлен переход к безразмерным координатам = r/r2, = z/r2 и безразмерным параметрам = r2 k– безразмерное волновое число, = r2 /c–безразмерная частота, c = (E /)1/2 –параметр, имеющий размерность скорости.

Для построения приближенного решения, отвечающего малым значе ниям параметров,, используя методы теории возмущений, решение задачи (9)-(10) будем отыскивать в виде = s0 + s1 3 +..., (11) a = a0 + a1 + 2 a2 +....

После подстановки (11) в (9)-(10) получается рекуррентная система краевых задач A0 a0 = 0, Br a0 |= = 0, (12) A0 a1 + A1 a0 = 0, (Br a1 + iAr a0 )|= = 0, (13) A0 a2 + A1 a1 + A2 a0 + s2 a0 = 0, 0 (Br a2 + iAr a1 )|= = 0. (14) Умножая уравнение из (14) скалярно на a0, получим следующую од нородную алгебраическую систему:

(d11 s2 b1 )C1 + d12 C2 = 0, d21 C1 + (d22 C2 s2 b2 )C2 = 0, (15) 0 dij = (A2 ai, aj ), b1 = (2 1 )/2, b2 = (2 1 )/4.

2 2 4 Здесь a1 = (0, 0, 1)T, a2 = (0,, 0)T –два линейно независимых реше 0 ния статической однородной задачи (12), a0 = C1 a1 + C2 a2.

0 Из условия существования нетривиального решения системы (15) по лучается характеристическое уравнение для определения s0 :

(s0 ) s4 2g1 s2 + g2 = 0. (16) 0 Обращаясь к (11), получаем аналитические выражения для начальных участков дисперсионных кривых = v1 + O( 3 ), = v2 + O( 3 ), (17) g1 g2 )1/2, v2 = (g1 g1 g2 )1/2, 2 v1 = (g1 + где vi – корни уравнения (16).

Из проведенного анализа вытекает, что при малых значениях парамет ров, существуют четыре бездисперсионных волны вида:

u+ = X11 a1 eik1 (zc1 t) + X12 a2 eik2 (zc2 t), (18) 0 u+ = X12 a1 eik1 (zc1 t) + X22 a2 eik2 (zc2 t), 0 u = X11 a1 eik1 (z+c1 t) + X12 a2 eik2 (z+c2 t), (19) 0 u = X12 a1 eik1 (z+c1 t) + X22 a2 eik2 (z+c2 t).

0 Здесь X1 = a(d22 v b2 ), X2 = ad12, c = v c, k = /c, ( = 1, 2).

Таким образом, любые низкочастотные и длинноволновые колебания цилиндра с винтовой анизотропией являются линейной комбинацией эле ментарных решений (18), (19).

Далее, поскольку a1 = (0, 0, 1)T, a2 = (0,, 0)T, то первые слагаемые 0 в приведенных выше формулах описывают продольные волны, а вторые – крутильные. При = 0 элементарные волны u± становятся чисто про дольными, а u± – чисто крутильными. Винтовая анизотропия приводит к тому, что эти волны становятся квазипродольными и квазикрутильными соответственно.

Для оценки применимости прикладной теории дисперсионные кривые были получены на основе численного интегрирования спектральной зада чи (9)-(10) методом пристрелки.

Для реализация метода эта задача была преобразована в краевую за дачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:

da db = G11 a + G12 b, = G21 a + G22 b, (20) d d b(1 ) = 0, b(2 ) = 0. (21) где b = br.

Расчетный анализ для исследования колебаний и волновых процессов проводился для спирально-армированной оболочки, механические свой ства которой соответствуют биологическому материалу.

На рис. 1 приведены графики первых двух дисперсионных кривых для 2 = 1, = 45. Графики 1-2 получе М1 с параметрами 1 = 0.92, ны на основе численного интегрирования спектральной задачи методом пристрелки, графики 3-4 (изображены пунктиром) получены на основе прикладной теории продольно-крутильных колебаний.

Рис. 1: Дисперсионные кривые Эти графики позволяют получить некоторое представление об обла сти применимости прикладной теории продольно - крутильных колеба ний. Так, например, прямолинейный участок первой дисперсионной кри вой принадлежит области 0 = 0.7, 0 = 0.65, второй 0 = 0.9. Из дисперсионной кривой – 0 1 = 1.5, этих неравенств можно сделать вывод о том, что для цилиндра с выбран ными параметрами прикладная теория будет давать удовлетворительные результаты, если круговая частота c1 /r2. Прикладная теория при влекательна еще тем, что позволяет сравнительно простыми средства ми определять собственные частоты и собственные формы продольно– крутильных колебаний цилиндров конечной длины. Поскольку множество собственных частот n (n = 1,...) неограничено и принадлежит диспер сионным кривым, то данная прикладная теория может претендовать на достаточно точное определение только тех частот, значения которых при надлежат интервалам 0 n, 0 n.

В п. 1.4 вводится понятие критических частот и высокочастотных ко лебаний. В качестве примера вычислены первые три критические частоты путем численного интегрирования трехмерных уравнений.

Под критическими частотами в данном случае понимается множество СЗ l (l = 1,...) самосопряженной спектральной задачи L(0, )a A0 + r 2 Ia = 0, (22) при r = r : Br a = 0, которая является частным случаем задачи (9)-(10), если в последней по ложить k = 0.

Приведем здесь значения первых трех критических частот, получен ных путем численного интегрирования уравнений (20), для M при = 45 : = (1.16, 21.73, 24.61). Для оценки точности результа тов, полученных численным методом, поставленная задача (4)-(6) при (k = 0, = 0– ортотропный материал) была решена аналитически.

Сравнительный анализ показал полное совпадение результатов, а также позволил идентифицировать типы колебаний, отвечающих каждой из при веденных частот. Оказывается, что первая частота порождает продольные колебания, вторая– радиальные, третья – крутильные.

Глава 2 посвящена прикладным теориям оболочек.

В п. 2.1 исследуются колебания ЦОВА на основе теории, полученной с учетом гипотез Кирхгофа–Лява.

Теория оболочек Кирхгофа–Лява (К.–Л.) основывается на двух основ ных гипотезах. Следуя геометрической гипотезе, согласно которой прямые углы между нормалью к срединной поверхности оболочки до деформации остаются таковыми и после деформации, имеем:

ur = vr (, z), u = v (, z) +, uz = vz (, z) + z, (23) = a1 ( vr v ), z = Dvr, h/2 h/2, (24) D = z, =, z =, z где vr, v, vz – смещения точек срединной поверхности;

, z – углы по ворота нормали, a–радиус срединной поверхности оболочки.

Для компонент тензора деформаций срединной поверхности получены следующие выражения:

= a1 (vr + v ), zz = Dvz, z = Dv + a1 vz, rz = r = 0. (25) Для тензора изменения кривизн соответственно имеем:

= a2 ( v vr ), zz = D2 vr, z = a1 Dv 2a1 D vr. (26) Согласно второй гипотезе Кирхгофа считается, что абсолютные значе ния напряжений rr, rz, r, z, zz, в силу чего в соотношениях закона Гука (3) первыми тремя можно пренебречь.

В качестве основных характеристик напряженного состояния введены усилия и моменты:

T = h(g11 + g12 zz + g13 z ), Tzz = h(g12 + g22 zz + g23 z ), (27) Tz = h(g13 + g23 zz + g33 z ).

h M = (g11 + g12 zz + g13 z ), h Mzz = (g12 + g22 zz + g23 z ), (28) h Mz = (g13 + g23 zz + g33 z ).

На основе вариационного принципа Гамильтона–Остроградского полу чены следующие уравнения движения:

DTzz + a1 Tz ht2 vz = 0, a1 T + DTz + a1 Q1 ht2 v = 0, (29) a1 Q1 + DQ2 a1 T ht2 vr = 0, где поперечные силы Q1 и Q2 выражаются через моменты следующим образом:

Q1 = DM + a1 Mz, Q2 = DMz + a1 Mzz.

Решение системы уравнений (23)-(29) в осесимметричном случае отыс кивается в виде гармонических волн v = iX1 ei(kzt), vz = iX2 ei(kzt), vr = X3 ei(kzt), (30) где Xj (j = 1, 2, 3) – произвольные постоянные.

В случае изгибных колебаний (когда полевые характеристики пропор циональны cos() и sin()) решение разыскивается в виде четырех типов волн:

vn = Xn ei(n t), (31) 1 = kz +, 2 = 1, 3 = kz, 4 = 3.

Здесь Xn ( =, z, r, n = 1..4) – произвольные постоянные.

В п. 2.1.2 рассмотрены осесимметричные колебания и волны в цилин дрической оболочке с винтовой анизотропией. Построены дисперсионное уравнение и элементарные решения, описаны их основные свойства. Ре шены задачи при однородных граничных условиях (найдены собственные частоты) и при кинематическом возбуждении одного из торцов оболочки.

В пункте 2.1.3 для изгибных колебаний и волн ЦОВА получены дис персионные уравнения и элементарные решения. Для полубесконечной оболочки решены задача распространения гармонических волн при ки нематическом возбуждении ее торца и задача отражения гармонических однородных волн от торца оболочки.

В п. 2.2 проводятся аналогичные численно-аналитические расчеты для теории, основанной на гипотезах Тимошенко–Рейсснера (Т. - Р.).

В п. 2.3 анализируется область применения прикладных теорий для исследования колебаний в цилиндрической оболочке с винтовой анизо тропией по параметрам толщины и частоты (длины волн). Для сравнения используются дисперсионные кривые, посчитанные на основе соответству ющих прикладных теорий и на основе численного интегрирования трех мерных уравнений.

На рис. 2 и рис. 3 приведены графики первых двух дисперсионных кри вых для 1 = 0.92, 2 = 1 (оболочка средней толщины) и 1 = 0.7, 2 = (толстая оболочка) соответственно;

= 45.

Здесь кривые 1, 4 отвечают трехмерной теории, кривые 2, 5 - теории на основе гипотез К. - Л., кривые 3, 6 - теории на основе гипотез Т. - Р.

Кривые 1-3 отвечают при = 0 квазипродольным волнам, т.е. тем волнам, которые при = 0, (когда винтовая анизотропия отсутствует), являются продольными. Кривые 4-6 отвечают квазикрутильным волнам, т.е. тем волнам, которые при = 0 оказываются крутильными. На рис. 2 для данного диапазона частот первые три дисперсионные кривые практически совпадают.

Рис. 2: Дисперсионные кривые для 1 = Рис. 3: Дисперсионные кривые для = 0.92, 2 = 1 0.7, 2 = Как и следовало ожидать, результаты, полученные на основе гипо тез Т.–Р. более близки к трехмерной теории, чем результаты, полученные на основе гипотез К.–Л. Также видно, что увеличение толщины ведет к большему расхождению результатов. Эти графики позволяют получить некоторое представление об области применимости прикладной теории Кирхгофа–Лява и теории Тимошенко–Рейсснера. Так, например, прямо линейный участок рис. 2 первой дисперсионной кривой принадлежит об ласти 0 = 0.7, 0 = 0.65, второй дисперсионной кривой – 0 1 = 1.5, 0 = 0.9. Из этих неравенств можно сделать вывод о том, что для цилиндра с выбранными параметрами при кладная теория К.–Л. и теория Т.–Р. будет давать удовлетворительные результаты, если круговая частота c1 /r2. Поскольку множество собственных частот n (n = 1,...) неограничено и принадлежит диспер сионным кривым, то данные прикладные теории могут претендовать на достаточно точное определение только тех частот, значения которых при надлежат диапазонам 0 n, 0 n.

Теории, основанные на гипотезах Кирхгофа–Лява и гипотезах Тимошенко–Рейсснера, позволяют получить только первую критическую частоту и первые три критических частоты соответственно.

В таблице 1 в столбцах приводятся значения первых трех критических частот при = 45 для различных толщин (2 = 1, 1 - варьируется).

трехмерная теория теория Т.–Р. теория К.–Л.

1 = 0.922 1 = 0.72 1 = 0.922 1 = 0.72 1 = 0.922 1 = 0. 1.16 1.34 1.47 1.65 1.46 1. 21.73 5.87 16.93 4.53 - 24.61 6.65 19.17 5.13 - Таблица 1: Критические частоты Как показали расчеты, значения первых критических частот для раз личных теорий (для фиксированной толщины оболочки). Таким об разом, можно дать верхнюю оценку применимости прикладных теорий:

прикладная теория низкочастотных колебаний, теории, основанные на ги потезах Кирхгофа–Лява и гипотезах Тимошенко–Рейсснера, не могут пре тендовать на достаточно точное определение частот, значения которых выше первой критической частоты.

Глава 3 посвящена разработке метода исследования устойчивости ци линдрической оболочки с винтовой анизотропией при действии внешней гидростатической нагрузки и осевого сжатия.

В соответствии с геометрической гипотезой Кирхгофа-Лява и теори ей “среднего изгиба”для компонент деформаций срединной поверхности определены следующими выражениями:

12 = a1 (vr + v ) +, zz = Dvz + z, 2 z = Dv + a vz + z, rz = r = 0. (32) Для тензора изменения кривизн, соответственно, имеем = a2 ( v vr ), zz = D2 vr, z = a1 Dv 2a1 D vr. (33) Используя вариационный принцип Лагранжа, получаем следующие уравнения равновесия:

a1 T + DTz + a1 Q1 a1 T + q = 0, DTzz + a1 Tz a1 Tz + qz = 0, (34) a1 Q1 + DQ2 a1 T a1 (T + Tz z ) D(Tz + Tzz z ) qr = 0, где qz, q, qr – компоненты вектора внешней нагрузки, снесенной на срединную поверхность. Поперечные силы Q1 и Q2 выражаются через моменты следующим образом:

Q1 = DM + a1 Mz, Q2 = DMz + a1 Mzz.

Заменами vz v vr Tzz y1 =, y2 =, y3 =, y4 = z, y5 =, (35) h h h Eh Tz Q2 Tz Tzz z Mzz y6 =, y7 =, y8 =.

E h Eh Eh система уравнений (34) сводится к системе обыкновенных дифференци альных уравнений dy = W (y, q), (36) dz где W – вектор, компоненты которого зависят от компонент вектора y и вектора внешней нагрузки q.

В этой работе рассмотрены два вида внешней нагрузки: гидростатиче ское внешнее давление pr и осевое сжатие pz. В этом случае в уравнениях (36), в пределах рассматриваемой теории, для гидростатического давле ния qr = pr, q = pr z, qz = pr, (37) a для осевого сжатия qr = 0, q = 0, qz = 0. (38) Обозначим через v 0 (pr ) и v 0 (pz ) решение нелинейной осесимметрич ной задачи при действии гидростатического давления или осевого сжатия соответственно. Решение уравнения (36) отыскивается в виде v = v 0 + U, (39) где –формальный малый параметр.

Для определения критических значений pr = p и pz = p, при которых r z происходит ветвление решения нелинейной задачи, компоненты вектора U отыскиваются в виде Uj = Ujc (z) cos(n) + Ujs (z) sin(n) (j = 1, 2, 3), (40) где в индексах введены эквивалентные обозначения: 1 r, 2, z, n = 0, 1,....

После подстановки (40) в (39) и (36) получается система шести обыкно венных дифференциальных уравнений относительно Ujc, Ujs. Для даль нейших исследований строится эквивалентная ей система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, коэффициенты которой неявным образом (через компоненты вектора v 0 ) зависят от z и p.

Задачи о существовании нетривиальных решений краевых задач для систем ОДУ методом прогонки сводятся к существованию нетривиальных решений линейных однородных алгебраических систем, и, следовательно, к задаче поиска нулей их определителей.

В качестве иллюстрации приведем расчеты для композита из стек лопластика со следующими значениями упругих постоянных: E = 3.7 · 1011 Н/м2, E = 5.6 · 109 Н/м2, G = 3.4 · 109 Н/м2, = 0.31, = 0.32, и геометрическими характеристиками: a = 0.01м, L = 10a, h = 0.033a, где a, L, h–радиус срединной поверхности, длина и толщина оболочки соответственно.

На рис. 4 отражены результаты расчета критической нагрузки p от па r раметра. Кривая 1 отвечает биспирально-армированной оболочке, кри вая 2 - спирально-армированной оболочке. Зависимости p () имеют гло r бальный максимум при = 90 ;

при этом n = 2. На рис. 5 показана форма потери устойчивости спирально- армированной оболочки при = 20 для случая внешнего гидростатического давления (при n = 2). Следует за метить, что на рис. 5 и ниже, на рис. 7, ориентация сетки, нанесенная на поверхность формы оболочки, не связана с углом армирования, а определена особенностью построения графиков в среде Maple.

Рис. 4: Критическая нагрузка при дей ствии внешнего гидростатического дав Рис. 5: Форма потери устойчивости ления спирально-армированной оболочки при = 20 для случая внешнего гидроста тического давления (при n = 2) На рис. 6 отражены результаты расчета критической нагрузки Pz (Pz = p E h) от параметра ;

при этом n = 4. Кривая 1 отвечает биспирально z армированной оболочке, кривая 2 - спирально-армированной оболочке.

Кривые 1 и 2 имеют глобальные максимумы, соответственно, при и 31 и локальные максимумы, соответственно, при 75 и 76.

На рис. 7 показана форма потери устойчивости спирально-армированной Рис. 6: Критическая нагрузка при дей ствии осевого сжатия Рис. 7: Форма потери устойчивости спирально-армированной оболочки при = 20 для случая осевого сжатия (при n = 4) оболочки при = 20 для случая осевого сжатия (при n = 4).

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Основные соотношения прикладных теорий Кирхгофа–Лява и Тимошенко–Рейсснера для исследования волновых процессов в ци линдрической оболочке с винтовой анизотропией.

2. Метод построения дисперсионных кривых для осесимметричных ко лебаний и отвечающих им элементарных решений, исследование вли яния угла армирования на собственные колебания оболочки при од нородных граничных условиях и решение задачи для оболочки ко нечной длины при возбуждении одного из торцов.

3. Метод построения дисперсионных кривых для изгибных колебаний и отвечающих им элементарных решений, решение задачи о распро странении гармонических волн в полубесконечной оболочке при кине матическом возбуждении торца и задачи отражения гармонических однородных волн от торца.

4. Прикладная теория продольно-крутильных длинноволновых колеба ний для нахождения решения, отвечающего малым параметрам ча стоты и волнового числа, построенная на основе трехмерных уравне ний теории упругости. Результаты анализа областей применимости прикладных теорий для исследования волновых процессов в ЦОВА.

5. Метод построения дисперсионных кривых на основе трехмерных урав нений теории упругости для исследования высокочастотных колеба ний.

6. Метод исследования устойчивости спирально- и биспирально-армированных оболочек и результаты исследований при действии гидростатического давлении и осевого сжатия.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Панфилов И. А. Анализ собственных частот и форм цилиндриче ской оболочки с винтовой анизотропией // Труды IV Всероссийской школы-семинара “Математическое моделирование и биомеханика в современном университете”. Ростов-на-Дону: Изд. Терра Принт, 2008.

С. 76-77.

2. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Отражение однородных волн от торца полубесконечной цилиндрической оболочки с винтовой анизо тропией // Труды XII международной конференции “Современные проблемы механики сплошной среды”. Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР, 2008. T. 2. С. 152-156.

3. Панфилов И. А. Колебания и волны цилиндрической оболочки с вин товой анизотропией // Труды V Всероссийской школы-семинара “Ма тематическое моделирование и биомеханика в современном универси тете”. Ростов-на-Дону: Изд. Терра Принт, 2009. С. 82-84.

4. Панфилов И. А. Собственные частоты и формы цилиндрической обо лочки с винтовой анизотропией с учетом усилий предварительного напряженного состояния // Сб. Трудов VII школы-семинара “Мате матическое моделирование, вычислительная механика и геофизика”, 2009. С. 93-96.

5. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией на основе теории Тимошенко–Рейсснера // Труды XIII международной конфе ренции “Современные проблемы механики сплошной среды”. Ростов на-Дону: Изд. ЦВВР, 2009. T. 2. С. 156-161.

6. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики.

Естественные науки, 2009. С. 97-105.

7. Панфилов И. А. Длинноволновые низкочастотные колебания и волны в цилиндре с винтовой анизотропией // Труды аспирантов и соиска телей Южного федерального университета. Ростов н/Д: ИПО ПИ ЮФУ, 2010. Т. XV. С. 56-59.

8. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Колебания и волны в цилиндре с винтовой анизотропией // Акустический журнал, 2010. Т. 56. № 6.

С. 759-766.

9. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Критические частоты и высоко частотные колебания для тел с винтовой анизотропией // Труды XIV международной конференции “Современные проблемы механики сплошной среды”. Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР, 2010. T. 1. С. 265-269.

10. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Исследование волновых процессов в цилиндре с винтовой анизотропией // Математический форум. Т.

4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2010. С. 317-337.

11. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Исследование гармонических коле баний полого цилиндра с винтовой анизотропией на основе трехмер ных уравнений теории упругости и анализ областей применимости некоторых прикладных теорий // Владикавказский математический журнал, 2011. Т. 13. Вып. 2. С. 35-44.

12. Гетман И. П., Карякин М. И., Мостипан Г. О., Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые задачи устойчивости оболочек со сложной геометрией и физико-механическими свойствами // Известия ВУЗов.

Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики. Есте ственные науки, 2011. № 4. С. 24-31.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.