авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Численный анализ задач неклассических теорий анизотропных оболочек.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Hа правах рукописи

ЕРМАКОВ Андрей Михайлович

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ

АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК.

01.02.04 — механика дефоpмиpуемого твеpдого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург, 2011

Работа выполннена на кафедре теоретической и прикладной механики математико механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор БАУЭР Светлана Михайловна Официальнные оппонненты: доктор физико-математических наук, профессор КОЛПАК Евгений Петрович (Санкт-Петербургский государственный университет) кандидат физико-математических наук, профессор СМОЛЬНИКОВ Борис Александрович (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет) Ведущая организациия: Южный Федеральный Университет.

(Ростов-на-Дону)

Защита состоится 9 июня 2011 г. в часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государ ственном университете по адресу: 1998504, Санкт-Петербург, Петродворец, Универ ситетский пр., д. 28, математико-механический факультет, ауд._

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д.7/ Автореферат разослан «» 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного соовета, доктор физико-математических наук, профессор Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известно, что гипотезы классической теории оболочек Кирхгофа-Лява приводят в уравнениях к погрешности порядка h/R, где h — тол щина оболочки, R — характерный размер. Существуют оболочки, в первую очередь изготовленные из неметаллических материалов, где точность классической теории становится недостаточной. Например, многие биологические и синтетические мате риалы обладают повышенной податливостью на межслоевой сдвиг и потому даже сравнительно небольшие по величине касательные напряжения, вызывающие сдвиг параллельных слоев, заметно влияют на общую деформацию оболочки, а у некот рых оболочек велико отношение толщины к радиусу. Теория изгиба таких оболочек требует введения более строгих гипотез, чем гипотезы Кирхгофа-Лява.

В связи с этим имеется ряд уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напря жений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории - гипотезы недеформируемых нормалей.

Последнее время учеными активно обсуждается возможность применения ме тодов классической механики к нанообъектам. Отмечается, что механические ха рактеристики, соответствующие наноразмерным структурным элементам, таким как балки и пластинки могут отличатся от механических характеристик, соответствую щих структурам из того же материала, имеющим "обычные"геометрические разме ры. Кроме размерных эффектов возможно проявление анизотропии нанообъектов. В работе на основе неклассических теорий балок и оболочек проводится анализ экспе рементальных данных, полученных при исследовании жесткости мостиков из нано трубок, перекрывающих отверстия пористой подложки. Для этого построена модель длинной слоистой трубки, находящейся под действием локального давления.

В работе так же изучаются некоторые математические модели био- и наномеха ники, построенные на базе неклассических теорий: теории изгиба балок Тимошенко Рейснера, уточненной итерационной теории оболочек Родионовой-Титаева-Черныха и теории анизотропных оболочек средней толщины Палия-Спиро.

В качестве биомеханического приложения рассматриваются модели корнеоскле ральной оболочки глаза. Новые знания в офтальмологии помогают более качественно диагностировать ряд заболеваний и разрабатывать эффективные методы их лечения.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является построение моделей нано- и биомеханических структур с использованием неклассических теорий балок и оболочек, а так же разработка программ для решения систем дифференци альных уравнений, описывающих эти модели.

Результаты работы вошли в выполняемые на математико-механическом факуль тете конкурсные темы Российского фонда фундаментальных исследований: «Моде ли механики деформируемого твердого тела в задачах офтальмологии», грант N 09 01-00140-a, «Влияние наноразмерности на деформационные, прочностные и физико механические свойства объектов», грант N 09-01-00623-a, «Неклассические модели в механике тонкостенных конструкций», грант N 10-01-00244.

Основные методы исследований. Для достижения поставленной цели исполь зованы некоторые неклассические теории балок и оболочек, созданы программы для построения численных решений на базе пакета Mathematica 7.0. Ряд результатов по лучен с помощью программной системы конечно-элементного анализа ANSYS 11.

Научная новизна.

Решена задача о деформации толстой цилиндрической трубки под действием ло кального нагружения. Трубка моделируется при помощи метода разбиения на слои, для описания каждого из которых применяются неклассические теории оболочек.

Проведено сравнение результатов, полученных с использованием различных неклас сических теорий оболочек. В случае однослойной оболочки проведена оценка влияния отношения h/R на соответствие результатов для неклассических теорий с результата ми, полученными при использовании трехмерной теории упругости в пакете ANSYS 11.

Для ортотропных эллипсоидальных оболочек вращения с использованием уточ ненной итерационной теории анизотропных оболочек Родионовой-Титаева-Черныха решена задача о деформации под действием нормального давления. Проведен анализ влияния степени анизотропии и отклонения от сферичесской формы на величину и форму деформации оболочек.

Аналогичная задача решена для сопряженных эллипсоидальных оболочек.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математически кор ректной постановкой задач, использованием строгих аналитических методов, сравне нием аналитических и численных результатов, а также согласованностью с экспери ментальными данными.

Научная и практическая ценность. С использованием неклассических теорий оболочек решена задача о напряженно - деформированном состоянии многослойной цилиндрической оболочки. Проведена оценка влияния отношения h/R на достовер ность полученных результатов. Представляемые решения помогают оценить возмож ность применения методов классической механики к нанообъектам. Построенные мо дели фиброзной оболочки глаза позволяют оценить зависимость "объем-давление".

Зависимость внутриглазного объема от внутриглазного давления в офтальмологии связывают с понятием ригидности глаза, которое лежит в основе клинической то нометрии, тонографии и эластометрии. Рассмотренные задачи так же могут моде лировать деформации корнеосклеральной оболочки глаза, приводящие к развитию миопии(близорукость) и гиперметропии (дальнозоркость).

Апробация работы.

Результаты работы обсуждались: на семинарах кафедры теоретической и при кладной механики мат-мех ф-та СПбГУ, на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС “Компьютерные методы в механике сплошной среды” (Санкт-Петербург 2009, 2010), на международной научной конференции по механике “Пятые Поляховские чтения” (Санкт-Петербург 2009), на конференциях Ассоциации по исследованиям в области зрения и офтальмологии (США, Флорида 2009, 2010), на Х Всеросийской конферен ции по биомеханике (Саратов 2010), на XIV Международной конференции "Совре менные проблемы механики сплошной среды"(Азов 2010).

Список публикаций.

По материалам работы опубликовано 11 статей и тезисов докладов, в том числе 4 работы [1-4] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. В работах [7,8,9] соавторам Бауэр С.М. и Воронковой Е.Б. принадлежит постановка задачи, а Ермако ву А.М. разработка метода решения и анализ полученных результатов. В работе [8] соавтору Котляру К.Е. принадлежат экспериментальные данные. В работах [4,11] Ер макову А.М. принадлежит вывод разрешающих уравнений с использованием неклас сических теорий оболочек Палия-Спиро и Родионовой-Титаева-Черныха и сравнение полученных результатов, соавторам Бауэр С.М. и Морозову Н.Ф. принадлежит поста новка задачи. Расчеты по теории Тимошенко-Рейснера выполнены Каштановой С.В.

Эксперименты, описанные в работе [11], выполнены Анкундиновым А.В.

Результаты, выносимые на защиту

:

1. С использованием неклассических теорий балок и оболочек проведен анализ напряженно-деформированного состояния многослойных шарнирно опертых цилин дрических оболочек под действием локального давления. Проведено сравнение с ре зультатами, полученными при решении этой задачи с использованием конечно-эле ментного пакета Ansys 11.

2. На основе задачи о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки, находящейся под действием локального давления, проведено сравнение тео рий Родионовой-Титаева-Черныха и Палия-Спиро с результатами трехмерной теории полученными при использовании Ansys 11. Проведена оценка влияния сотношения h/R на сходимость полученных результатов.

3. С использованием уточненной итерационной теории анизотропных оболочек решен ряд задач о напряженно-деформированном состоянии ортотропных эллипсои дальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Проведен ана лиз влияния геометрических и механических свойств оболочек на изменение их объ ема. Построены зависимости "объем-давление"для склеральной ткани глаза.

4. Решена задача о напряженно-деформированном состоянии сопряженых неод нородных ортотропных сферической и эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Проведен анализ влияния геометрико-физических параметров на изменение длины передне-задней оси глаза. Эти модели описывают механизмы развития миопии-гиперметропии глаза.

Обьем и структура диссертации.

Диссеpтация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 93 наименований. Число иллюстраций равно 64. Общий объем ра боты 89 страница.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, при водится краткая история развития неклассических теорий оболочек, дается обзор ли тературы, формулируются цели и задачи работы, а также результаты, выносимые на защиту.

В первой главе исследуется напряженно-деформированное состояние много слойных анизотропных цилиндрических оболочек, находящихся под действием ло кального давления. Такая задача моделирует эксперемент, в котором определяется прогиб нанотрубки, находящейся над порой лавсановой мембраны. На трубку воз действует исследовательский зонд. Слоистая структура нанотрубок позволяет рас сматривать их как трансверсально-изотропные. Каждый слой может не менять своей структуры, но модуль сдвига в поперечном сечении G’ может существенно меняться в зависимости от наполнителя.

Задача о деформации нанотрубок решалась с использованием неклассических тео рий анизотропных оболочек, которые кроме поперечных сдвигов позволяют учесть слоистую структуру и цилиндрическую анизотропию. Использовались уточненная итерационная теория оболочек Родионовой-Титаева-Черныха и теория оболочек сред ней толщины Палия-Спиро, а так же неклассической теории балок Тимошенко-Рейс снера.

Рис. 1. Локальная нагрузка.

Теория оболочек Родионовой-Титаева-Черныха - это линейная теория однородных анизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малой податливости попереч ным сдвигам и деформированию в направлении нормали к срединной поверхности, а также поперечных нормальных напряжений и нелинейного распределения компонент вектора перемещения по толщине оболочки. Эта теория позволяет учесть повороты волокон, их искривление, а также изменение длины. В основе теории лежат следую щие гипотезы:

1) Статическая гипотеза о распределении по толщине оболочки поперечных каса тельных и нормальных напряжений по закону соответственно квадратной и кубиче ской пораболы.

2) Кинематическая гипотеза о распределении по толщине оболочки тангенциаль ных и нормальных составляющих вектора перемещения по закону соответственно ку бической и квадратной пораболы.

В теории оболочек средней толщины Палия-Спиро, так же учитываются попереч ный сдвиг и поперечные нормальные напряжения. Однако нормаль после деформации остается прямолинейной, но меняется угол наклона и длина, т.е. в основе этой теории лежат следующие гипотезы:

1). прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверх ности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными;

2). косинус угла наклона оболочки таких волокон к срединной поверхности де формированной оболочки равен осредненному углу поперечного сдвига.

Для решения задачи о деформациях трубок по теории Родионовой-Титаева-Чер ныха и по теории Палия-Спиро используется система уравнений в перемещениях.

После последовательного преобразования основных положений в обеих теориях по лучена система из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с 5-ю неизвестными функциями.

Для ее разрешения используется следующий численный метод. Перемещения сре динной поверхности i-ой оболочки задаются в виде рядов:

( ) ( (i) ) (i) (i) u(i) (, ), 1 (, ) = unm, 1nm sin[n] sin[m], ( ) ( (i) ) n=0 m= (i) (i) v (i) (, ), 2 (, ) = m=0 vnm, 2nm cos[n] cos[m], n= (i) w(i) (, ) = m=0 wnm cos[n] sin[m], m = (m)/L, n= Эти формулы учитывают симметрию деформации оболочки относительно плос кости = 0 и обеспечивают нулевые перемещения u, 1 и w при = 0, L. Выражения для v, 2 не удовлетворяют нулевым краевым условиям, однако, когда деформации не доходят до края участка, эти перемещения малы. Внешние и внутренние силы, действующие на поверхности оболочки, представляются в виде произведения разло женных в ряд сил. Локализованная на маленькой прямоугольной области нагрузка представляется в виде произведения двух рядов Фурье функций нагружения в про дольном и поперечном сечениях. Нагрузка прикладывается к внешней поверхности трубки. Расчеты показывают, что влияние давления, вызванного наполнителем, на внутренней поверхности трубки пренебрежимо мало, поэтому в окончательных расче тах оно принимается равным нулю. Подставляя эти зависимости в систему уравнений равновесия оболочки и в условия жесткого защемления слоев, получим систему из 5N алгебраических уравнений относительно компонентов деформаций оболочек и систе му из 3(N-1) уравнений относительно сил взаимодействия между слоями оболочек.

(i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) Каждый из полученных коэффициентов unm, vnm, wnm, 1nm, 2nm, X1nm, X2nm, (i) X3nm будет общим членом ряда Фурье функций деформаций и напряжений. Для реализации приведенного численного метода была разработана программа на основе пакета Mathematica 7. В работе представленны деформации нанотрубки при следующих параметрах:

внутренний радиус трубки R=2.5 нм, внешний R=16 нм, длина трубки L=500 нм, значения модуля упругости оболочки E1,2,3 = 1.75 1011 Па, коэффициенты Пуасона ij = 0.3 и сравнительно малые значения модуля сдвига Gij = 2.3 107 Па. Сила вне шего воздействия Fv = 10 нН, площадь области приложенной нагрузки [4040] нм2, Lv - координата приложения силы на внешней поверхности оболочки. Ясно, что соотно шение h/R рассматриваемой нанотрубки существенно превосходит область примени мости теории оболочек, и если рассматривать ее как однослойную, то будут получен ны некорректные результаты. Поэтому для решения поставленной задачи проводится разбиении трубки на n слоев. Расчеты показывают, что при следующем разбиение n=100, h = 0.135 нм значения прогибов оказывается очень близким к результатам, полученным с использованием трехмерной теории. Дальнейшее увеличение числа сло ев к уточнению результатов не приводит.

Таблица 1: Сравнение величин прогибов многослойной трубки.

250 220 200 170 150 120 100 70 Lv TR1 (beam) 60.61 59.7 58.07 54.14 50.52 43.65 38.12 28.47 17. TR2 (beam) 59.2 58.31 56.72 52.87 49.34 42.62 37.22 27.79 16. RTCH (shell) 57.79 56.86 55.21 51.22 47.56 40.62 35.07 25.45 14. PS (shell) 57.54 56.62 54.97 51 47.35 40.45 34.92 25.34 14. Ansys1 (solid) 54.11 53.26 51.7 48.3 45.1 39.02 34.07 25.37 15. Ansys2 (solid) 52.39 52.38 50.12 46.77 43.71 37.81 33.02 24.6 14. В таблице [1] приводятся результаты, полученные по теории Тимошенко-Рейснера [TR]. В этом случае трубка рассматривалась как балка при локальной нагрузке. А так же в таблице приводятся результаты, полученные по теориям оболочек Родионовой Титаева-Черныха [RTCH], Палия-Спиро [PS], и результаты, получающиеся при тех же параметрах МКЭ в пакете ANSYS 11, где был использован 3-х мерный 20 узловой элемент Solid 186.

Строка "TR1"соответствует значениям прогиба балки с кольцевым сечением;

стро ка "TR2— сплошной балке. Строки "Ansys1"и "Ansys2"соответствуют прогибу трубки с ответстием и сплошной трубки.

Видно, что все теории дают близкие результаты. Однако результаты, полученные с использованием теорий оболочек, ближе к результатам трехмерной теории, что мо жет быть объяснено более точным учетом цилиндрической структуры трубки, а так же области приложения внешней нагрузки.

Таблица 2: Сравнение величин прогибов для однослойной оболочки.

h/R 1/15 1/10 1/5 1/4 1/3 1/ TR1 46.33 31.91 17.55 14.71 11.88 9. RTCH 78.09 52.64 27.14 22.13 17.31 12. PS 75.28 49.82 24.29 19.26 14.39 9. Ansys1 76.36 46.44 20.37 15.9 11.95 8. В заключении проводится сравнение результатов, которые дает трехмерная тео рия в пакете Ansys 11 c результатами, получающимися по изложенным некласси ческим теориям для однослойной цилиндрической оболочки с постоянным внешним радиусом R = 16 нм и постепенно увеличивающейся толщиной оболочки (как след ствие происходит уменьшение радиуса срединной поверхности оболочки). В таблице приведены величины прогибов в центре рассматриваемых оболочек, внешняя сила Fv = 1 нН.

Результаты, представленные в таблице [2] показывают, что теории оболочек Ро дионовой-Титаева-Черныха и Палия-Спиро дают близкие значения прогибов. Так же близки и другие величины, характеризующие напряженно-деформированное состоя ние оболочек. При увеличении относительной толщины оболочки величины прогиба, получаемые по теории Палия-Спиро ближе к значениям, получаемым методом ко нечных элементов. Чем ближе цилиндрическая трубка к сплошной, тем лучшие ре зультаты дает формула, получающаяся по теории Тимошенко-Рейснера для прогиба балки.

Во второй главе решаются линейная и нелинейная задачи о напряженно-дефор мированном состоянии ортотропных эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Такая задача может моделировать поведение кор неосклеральной оболочки глаза при увеличении внутриглазного давления. Задача ре шается с использованием новой уточненной итерационной теории анизотропных обо лочек Родионовой-Титаева-Черныха.

Рис. 2. Оболочка вращения.

В силу симметрии сечения вдоль главных осей решается одномерная задача, в которой все функции зависят от координаты [0, /2] (рис. 2). Задача решает ся в перемещениях. После преобразования основных соотношений теории оболочек полученна система из трех дифференциальных уравнений 6-го порядка с 6 гранич ными условиями и тремя неизвестными функциями - w (нормального прогиба), u (касательного смещения) и 1 (угла наклона нормали к срединной поверхности). Ко эффициенты системы зависят от модулей упругости в тангенциальных направлениях E1, E2 и модуля упругости E3 в нормальном направлении. Для ее решения использу ется конечно-разностный численный метод. На интервале [0, ] изменения вводится равномерная сетка, содержащая n узлов. Производные функций аппроксимируются с помощью разностных коэффициентов. В результате этого метода задача сводит ся к системе линейных алгебраических уравнений порядка (3n 3)(3n 3), которая решается в пакете Mathematica 7.0.

Пусть R2, R1 длины ее главных полуосей (рис. 2). Параметр K = R2 /R1 ха рактеризует форму рассматриваемого эллипсоида. Предполагается, что при отсут ствии внутреннего давления начальные объемы оболочек равны. На рис. 3 представ Рис. 3. Изменение объема в зависимости от R2 /R1.

лены изменения внутреннего объема для различного соотношения главных полуосей трансверсально-изотропной эллипсоидальной оболочки, находящейся под действием внутреннего давления P =100 мм. рт. ст. (E1 = E2 = 1.43 МПа, E3 = 0.0143 МПа, ij =0.4) Начальный объем равен объему сферической оболочки радиуса R=12 мм и толщины h=0.5 мм. Наибольшее относительное изменение внутреннего объема про исходит в случае, когда оболочка имеет форму сплюснутого эллипсоида. Наименьшее изменение объема соответствует сферической форме. Для эллипсоидальной вытяну той оболочки характерно незначительное возрастание значения изменения объема при увеличении соотношения главных полуосей.

Для изотропного или трансверсально-изотропного материалов сферической обо лочки результатом воздействия внутреннего давления будет абсолютно симметричное расширение рассматриваемой сферы. В случае же существенного различия между тангенциальными модулями упругости расширение теряет свой равномерный харак тер. В работе рассматриваются модели ортотропии для каждой из которых выполня ется следующее соотношение E1 E2 = E 2 ( E — модуль упругости трансверсально изотропной сферы) Показано, что при одном и том же внутреннем давлении анизотропия материала существенно увеличивает изменение внутреннего объема по сравнения с изотропным случаем. Если для сферической оболочки модуль упругости склеральной оболочки в направлении линий широты E2, больше модуля упругости в направлении линий долготы E1, то под действием внутреннего давления оболочка стремится принять форму вытянутого эллипсоида. В случае, когда E2 /E1 1, сферическая оболочка стремится принять форму сплюснутого эллипсоида.

Проведено исследование поведения ортотропных эллипсоидальных оболочек под действием внутреннего давления. Исследуется случай, когда отношение модулей упру гости для эллипсоидальной оболочки удовлетворяет условию E2 /E1 1. Полученный результат для сплюснутого эллипсоида R2 /R1 1 показывает, что прогиб в полюсе становится больше, а уменьшение оси экватора остается столь же малым. Во втором случае, когда R2 /R1 1, под воздействием внутреннего давления область в окрест ности полюса эллипсоида становится более гладкой.

В случае ортотропии, когда E2 /E1 1, эллипсоидальная сплюснутая оболочка R2 /R1 1 принимает еще более сплюснутую форму. Прогиб на экваторе при такой же нагрузке гораздо больше, чем в рассмотренных выше случаях, а смещение точки полюса будет минимальным. Полученный результат для вытянутой эллипсоидальной оболочки R2 /R1 1 показывает что, эллипсоид принимает более вытянутую форму.

В заключении главы решается нелинейная задача о напряженно деформированном состоянии ортотропных сферических оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Моделирование производится с использова нием метода последовательных нагружений — дельта метода. В дельта-методе на каждом из этапов учитывается, что оболочка меняет свою форму и дальше на каждом шаге решается задача линейной теории оболочек.

При малых деформациях линейная теория дает удовлетворительные результаты.

При больших деформациях в окрестности точки полюса линейная теория дает некор ректное решение. Использование дельта метода позволяет получить более точное и корректное решение при существенно больших деформациях.

В третьей главе с использованием теории оболочек Родионовой-Титаева-Черны ха исследовано напряженно деформированное состояние сопряженных анизотропных эллипсоидальной и сферической оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Анализируются результаты для различных соотношений величин полуосей эллипсоида и модулей упругости орторопного материалла.

Такая задача может моделировать деформации корнеосклеральной оболочки гла за, приводящие к развитию миопии(близорукость) и гиперметропии (дальнозоркость).

Внешняя оболочка глаза - корнеосклеральная (фиброзная) оболочка состоит из рого вицы и склеры. Известно, что изменение длины переднезадней оси глаза только на 0, мм изменяет зрение на 1,0 диоптрию. Для нормального зрения человека необходимо, чтобы отраженные от объекта лучи, попадающие в глаз, фокусировались строго на сетчатке. Миопия (близорукость) чаще всего связана с тем, что склера имеет форму вытянутого эллипсоида, а гиперметропия (дальнозоркость) может быть вызвана тем, что форма глаза близка к форме сплюснутого эллипсоида. Это приводит к тому, что фокусная точка располагается за сетчаткой.

Рис. 4. Геометрическая модель глаза Исследуется модель, приведенная на рис. 4, и в силу симметрии сечения вдоль оси АС, рассматриваются лишь 2 соединенные дуги АВ и ВС с введенными на их концах А и С условиями симметрии. В точке их соединения — В должны выполняться соответствующие условия сопряжения. Таким образом, для каждой из дуг АВ, ВС, можно рассматривать отдельно 2 одномерные задачи теории оболочек. На свободных концах дуг А,С (рис. 4) для компонентов смещения должны выполняться 6 условий симметрии. В точке сопряжения дуг должны выполняться 6 условий непрерывности перемещений, моментов, усилий и угла поворота. Таким образом, получена система из шести дифференциальных уравнений 12-го порядка с 12 граничными условиями и 6-ю неизвестными функциями. Для ее решения используется конечно-разностный численный метод. В результате этого метода задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (3n(2) + 3n(1) 3) (3n(2) + 3n(1) 3), которая разрешается в пакете Mathematica 7.0.

Показано, что усилия, возникающие в сопряженных оболочках, вследствие воз действия внутреннего давления приводят к существенному прогибу роговицы. Мак симальный прогиб для обеих оболочек происходит в окрестности точки сопряжения.

Исследовано влияние на форму прогиба отношения модулей упругости, действующих (2) (2) в тангенциальных направлениях оболочки моделирующей склеру E2 /E1.

На рис 5. представлен случай, когда в сферической системе координат модуль упругости склеральной оболочки в направлении линий широты, больше модуля упру (2) (2) гости в направлении линий долготы E2 /E1 1.

Рис. 5. Деформация составной оболочки, соответствующая состоянию миопии глаза (из книги Lang, Ophthalmology, 2000) Видно, что влияние анизотропии в значительной степени усилило прогиб в по люсе склеральной оболочки, и глаз стал приобретать форму вытянутого эллипсоида.

(1) (2) Принятая в модели более мягкая оболочка роговицы E1 /E1 0.2 под действием внутреннего давления стала более острой, что тоже может приводить к миопии (Lang, Ophthalmology, 2000).

Рис. 6. Деформация составной оболочки, соответствующая состоянию гиперметропии глаза (2) (2) В случае E2 /E1 1, под действием внутреннего давления (рис. 6) склеральная оболочка принимает форму сплюснутого эллипсоида, и усилия, возникающие на ли нии сопряжения, делают склеральную оболочку более пологой. Полученная картина соответствует форме глаза с развившейся гиперметропией.

В заключении главы проводится исследование сопряженных неоднородных сфе рических оболочек. Известно, что одним из факторов вызывающих миопию является то, что склеральная оболочка в тыльной части глаза становится существенно более мягкой (Duke-Elder. Diseases of the eye. 1956). Этот случай можно описать моделью, когда материя склеральной оболочки является неоднородной и ее упругие свойства начинают резко уменьшаться при приближении к нижнему полюсу.

Рис. 7. Деформация неоднородной оболочки, соответствующая состоянию миопии глаза (из книги Duke-Elder. Diseases of the eye. 1956) Уменьшение величины модуля упругости склеры приводит к существенному уве личению прогиба склеры, в окрестности полюса. Видно, что существенные деформа ции, вызывающие изменение переднезадней оси глаза происходят именно в тыльной части с более мягкой материей.

В заключении представлены результаты выносимые на защиту.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние склеры и роговицы, как ортотропных неоднородных сопряженных сферических оболочек. // Российский журнал биомеханики. No.1, 2009, с. 49- 2. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние сопряженных транс версально-изотропных эллиптических оболочек под действием внутреннего давления.

// Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер.1. вып.3, 2009. с. 110-118.

3. Ермаков A.M., Большие деформации ортотропной сферической оболочки под действием внутреннего давления. // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер.1. вып.4, 2010. с.

119-126.

4. Бауэр С.М., Ермаков A.M., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф. Применение неклас сических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров много слойных нанотрубок. // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер.1. вып.1, 2011. с. 22-30.

Другие публикации:

5. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние ортотропных неодно родных сопряженных эллиптических оболочек, находящихся под действием внутрен него давления. // Труды семинар "Компьютерные методы в механике сплошного те ла"за 2008-2009. Издательство СПБГУ, 2009, с. 4-16.

6. Ермаков A.M. К вопросу о деформировании склеры. // Международная науч ная конференция по механике "Пятые поляховские чтения."3-6.02.2009, Санкт-Петер бург, Россия, Тезисы докладов. 2009. с. 207.

7. Bauer S.М., Ermakov A.M., Voronkova E.B., Tonometric Estimation of Mechanical Properties of a Cornea and Sclera. // The Association for Research in Vision and Ophthal mology. (ARVO) Annual Meeting 2009. 3-7.05.2009. Fort Lauderdale, Florida. Program 1756. Poster A385.

8. Bauer S.М., Ermakov A.M., Kotliar K.E., Voronkova E.B., Biomechanical Analysis of Parameters Inuencing Pressure-Volume Relationship in the Human Eye. // The As sociation for Research in Vision and Ophthalmology.(ARVO) Annual Meeting 2010. 2 6.05.2010. Fort Lauderdale, Florida. Program 5557. Poster A612.

9. Бауэр С.М., Ермаков A.M., Воронкова E.Б., О моделях фиброзной оболочки глаза для анализа зависимостей "объем-давление". // Х Всероссийская конференция.

"Биомеханика 2010". 16-22.05.2010, Саратов, Россия, 2010 Тезисы. с. 10. Ермаков A.M., О деформации склеральной оболочки под действие высокого внутриглазного давления. // Х Всероссийская конференция. "Биомеханика 2010". 16 22.05.2010, Саратов, Россия, 2010 Тезисы. с. 11. Анкудинов A.В., Бауэр С.М., Ермаков A.M., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф. О механических параметрах асбестовых нанотрубок. // XIV Международная конферен ция "Современные проблемы механики сплошного тела."19-24.06.2010, Азов, Россия, 2010. с. 35-

 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.