авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Обратные коэффициентные задачи для стержней

На правах рукописи

Денина Ольга Витальевна

ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ

01.02.04 –механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону

2009

Работа выполнена на кафедре теории упругости Южного федерального университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Селезнев Михаил Георгиевич кандидат физико-математических наук, доцент Беркович Вячеслав Николаевич

Ведущая организация Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится «15» декабря 2009 г. в 15 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на Дону, ул. Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул.

Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «12» ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Коэффициентные обратные задачи для обыкновенных дифференциальных операторов и операторов в частных производных второго и четвертого порядка имеют многочисленные приложения в различных областях знания. Это вопросы идентификации неоднородных покрытий, проблемы акустического контроля при создании функционально градиентных материалов, задачи эластографии в медицинской диагностике мягких тканей, контроль скорости восстановления костной ткани в месте перелома, задачи идентификации новых композиционных материалов сложной структуры, неразрушающего контроля элементов неоднородных конструкций.

Главная проблема при исследовании подобных задач — это формулировка операторной связи между искомыми коэффициентами дифференциальных операторов и граничными полями перемещений. Это проблема обусловлена переменностью коэффициентов дифференциальных операторов и невозможностью построения в явном виде общих представлений решений, как это имеет место для операторов с постоянными коэффициентами.

Цель работы состоит в разработке методов определения законов изменения модулей Юнга и сдвига, плотности в стержне как функций координат, а также методов идентификации полостей малого размера по данным их частотного зондирования.

Методика исследований прямых задач о колебаниях неоднородных стержней основана на сведении исходных краевых задач для обыкновенных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, решение которых сведено к решению СЛАУ при помощи метода коллокаций. Для решения обратных задач был построен итерационный процесс, на каждом шаге которого для определения поправок решалось интегральное уравнение Фредгольма первого рода с гладким ядром, причем при построении численных решений был использован алгоритм А. Н. Тихонова. Начальное приближение для итерационного процесса было найдено при помощи метода квазирешений из условия минимума функционала невязки на компактном множестве. В работе для построения операторных уравнений для задачи об идентификации полости малого размера в стержне использовался также асимптотический подход, который позволил по информации о резонансных частотах стержня получить простые уравнения для нахождения параметров полости.

Достоверность выносимых на защиту результатов работы основана на корректном сведении краевых задач для неоднородного стержня к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, на строгом аппарате интегральных уравнений, теории некорректных задач, на серии вычислительных экспериментов для различных типов неоднородностей. Операторные уравнения для исследования обратных коэффициентных задач выведены двумя способами. Первый способ основан на использовании обобщенного соотношения взаимности, второй способ основан на применении метода линеаризации и использовании условия ортогональности. Полученные численные результаты тестировались путем сравнения с точным решением для частных случаев, когда задача имеет аналитическое решение.

Научная новизна. Впервые с единых позиций разработана методика определения непрерывных законов неоднородностей (упругие модули, плотность) на основе строгого исследования обратных коэффициентных задач для дифференциальных операторов второго и четвертого порядка.

Практическая ценность результатов исследования состоит в развитии методов решения задач идентификации упругих модулей, плотности как функций координат по амплитудно-частотным характеристикам в стержне при анализе продольных, изгибных и крутильных колебаний и исследовании возможностей процедуры идентификации в зависимости от частотного диапазона и вида восстанавливаемой функции.

Апробация работы. Результаты диссертации представлены на Х, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов–на–Дону, 2006г., 2007г.), на III, IV, V школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г.

Ростов-на-Дону, г. Краснодар 2004-2006 гг.), на V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела»

(г. Донецк 2008 г.), на международной научной школе-конференции «Тараповские чтения» (г. Харьков 2008г.), на IX Всероссийской конференции по биомеханике (г. Нижний Новгород 2008 г.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах. Из них три статьи [3],[11],[14] опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 119 наименований, общим объемом 114 страниц машинописного текста.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 05-01-00734 и в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы»

(2009-2010 годы) по проекту № 2.1.2/1527.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор основных проблем и результатов исследований в области коэффициентных обратных задач, проводившихся отечественными и зарубежными учеными.

Обратными задачами об определении переменных коэффициентов дифференциальных операторов ранее занимались Алексеев А. С., Аниконов Ю. Е., Бухгейм А. Л., Ватульян А. О., Денисов А. М., Кабанихин С. И., Лаврентьев М. М., Марченко В. А., Романов В. Г., Потетюнко Э. Н., Яхно В.Г., Bui H.D., Chan T.F., Chen J., Cox S.J., Gockenbach M.S., Herglotz G., Jadamba B., Jimnez R. D., Khan A.A., Knowles I., Marinov T. T., McLaughlin J., Raciti F., Rouhani B.D., Tai X.C. и другие отечественные и зарубежные авторы. Изложены основные способы формулировки операторных соотношений, различные постановки (стационарная и нестационарная), обсуждены основные этапы численной реализации. Отметим, что большинство результатов по решению обратных задач относится к областям типа полуплоскости и полупространства;

исследование граничных задач для ограниченных областей при установившихся колебаниях имеет свою специфику.

В первой главе формулируются основные подходы к исследованию коэффициентных обратных задач, сформулированы постановки одномерных ОЗ для уравнений колебаний упругих стержней.

В первом параграфе рассмотрена общая постановка обратной задачи для упругого тела. Краевая задача, описывающая установившиеся колебания с частотой ограниченной области V с границей S = Su S имеет вид:

ij, j + 2ui = 0, i = 1, 2,3 (1) ij = сijkl uk,l, k, l = 1, 2, = 0, ij n j = pi ui Su S здесь n j - компоненты единичного вектора внешней нормали к S, cijkl компоненты тензора упругих модулей, являющиеся кусочно-непрерывными функциями координат и удовлетворяющие обычным условиям симметрии и положительной определенности.

Также имеется дополнительная информация = f i ( x, ), [1, 2 ] (2) ui S описывающая измерение поля перемещений на части границы S, на которой осуществляется нагружение. Требуется восстановить компоненты тензора модулей упругости и плотность.

Сформулированная обратная коэффициентная задача является нелинейной некорректной задачей. Основная трудность при исследовании таких задач состоит в процедуре построения операторных уравнений, связывающих искомые и измеряемые при анализе волновых процессов функции. В настоящей работе операторные уравнения выведены двумя способами. Первый способ основан на использовании обобщенного соотношения взаимности (3), полученного А. О.

Ватульяном (Доклады РАН 2005.Т. 405№3, С. 343-345) p ( u ) cijkl )uk,l) ui(, j) dV + ( (2) ui( ) dS + (c 2 1 (2) (1) ijkl i i V S (3) [1, 2 ] ( 2 ) (1) ( + )ui ui dV = 0, 2 (1) (2) V здесь ui(1), cijkl, (1) и ui( 2 ), cijkl, (2) - основные характеристики двух решений задачи (1) (2) (1), отвечающих различным смещениям, напряженным состояниям, различным модулям упругости и плотностям.

На основе обобщенного соотношения взаимности сформулировано операторное уравнение для общего случая коэффициентных обратных задач для оператора теории упругости.

(n) uk,l )ui(, j ) dV + 2 ( n ) ui( ( n 1) ui( n 1) ui( n 1) )dS = 0, [1, 2 ] n 1 n с p(f dV + ijkl i i V V S (n=1,2,..N). (4) Соотношение (4) можно трактовать как интегральное уравнение относительно компонент сijkl) ( x ) и ( n ) ( x ), если предварительно решена прямая задача о (n нахождении полей смещений ui( n1) и деформаций ui(,nj1) внутри области V и на ее сijkl1) ( x ) и ( n1) ( x ). Определим (n границе S с упругими характеристиками удельную потенциальную и кинетическую энергию:

1 ij ij dV = 2 V cijkl ui, j uk,l dV П= 2V u K= dV i 2 V Заметим, что подынтегральные выражения в объемных интегралах в (4) представляют собой по форме аналог удвоенной удельной потенциальной энергии деформаций и удельной кинетической энергии, в которой перемещения и деформации соответствуют n-1 итерации (предыдущей), а модули – n итерации (последующей). Мерой выхода из итерационной процедуры является функционал ui( n1) ) 2 dSd, (f невязки и если его значение становится меньше i S погрешности входной информации, то процесс необходимо остановить.

В следующих параграфах первой главы на основе предложенного подхода рассмотрен ряд обратных задач для стержня.

Во втором параграфе сформулированы обратные задачи для установившихся продольных колебаний консольно закрепленного неоднородного стержня под действием силы на конце. Соответствующая краевая задача имеет вид:

du ( x, ) d + ( x ) F ( x ) u ( x, ) = (5) E ( x)F ( x) dx dx u(0, ) = du (l, ) = P E ( l ) F (l ) dx Также известна дополнительная информация об амплитудно-частотной характеристике торца стержня вида (2), имеющая вид:

u(l, ) = f1 ( ), [1, 2 ] (6) В этой задаче переменными являются 3 функции: модуль Юнга E ( x ), плотность ( x ) и площадь поперечного сечения F ( x ) ;

все эти функции однозначно из одной задачи определить нельзя, поэтому далее рассмотрены следующие три варианта формулировки обратных задач F ( x ) и ( x ) - известные функции;

требуется найти E ( x ).

1.

F ( x ) и E ( x ) - известные функции;

требуется найти ( x ).

2.

E ( x ) и ( x ) - известные функции;

требуется найти F ( x ).

3.

На основании подхода, сформулированного в первом параграфе, при использовании гипотез теории стержней выведены операторные уравнения для решения этих задач.

Например, для постановки 1, когда неизвестной является функция E ( x ), характеризующая закон изменения модуля упругости, операторное уравнение типа (4) в итерационном процессе имеет вид:

du ( n1) ( x, ) l dx F ( x )E ( x)dx = P ( f1 ( ) u (l, )), [1, 2 ] ( n 1) (n) (7) В третьем параграфе сформулированы обратные задачи для установившихся изгибных колебаний консольно закрепленного неоднородного стержня под действием поперечной силы на конце. Краевая задача имеет вид:

d2 d 2w E ( x ) J ( x ) 2 ( x, ) 2 F ( x ) ( x ) w( x, ) = 0 (8) dx dx dw w ( 0, ) = 0, ( 0, ) = dx d d 2w d 2w J ( x ) E ( x ) 2 ( l, ) = 0, J ( x) E ( x ) 2 (l, ) = P dx dx dx Также известна дополнительная информация об амплитудно-частотной характеристике торца стержня следующего вида:

w(l, ) = f 2 ( ), [3, 4 ] (9) Аналогично задаче о продольных колебаниях в этом параграфе выведены операторные уравнения для решения задач об идентификации функций, характеризующих законы изменения модуля упругости и плотности.

Например, для постановки, когда неизвестной является функция, характеризующая закон изменения плотности и имеется априорная информация о законах изменения модуля упругости и площади поперечного сечения, операторное уравнение типа (4) в итерационном процессе имеет вид:

l F ( x )( w ( n 1) ( x, )) 2 ( n ) ( x )dx = P ( f 2 ( ) w( n1) (l, )), [3, 4 ] (10) В четвертом параграфе доказаны теоремы единственности для поставленных обратных задач. Также показано, что в рамках исследования только одной из задач (о продольных или об изгибных колебаниях) невозможно восстановить обе функции: модуль упругости и плотность, так как в этом случае восстановление искомых характеристик неединственно. В пятом параграфе описаны общие подходы при исследования обратных и некорректных задач.

Во второй главе рассмотрены конкретные реализации по решению сформулированных в первой главе постановок обратных задач для неоднородных стержней при продольных колебаниях. Итерационные процессы для этих задач были построены независимо от общего подхода и опирались на метод интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода.

Было проведено обезразмеривание исходной задачи:

x = lz, u = lu, E ( x ) = E0 E ( z ), ( x ) = 0 ( z ), F ( x ) = F0 F ( z ), z [0,1], где E0 = max E ( x ), 0 = max ( x ), F0 = max F ( x ) x[0,l ] x[0,l ] x[0,l ] 2 l 2 0 P 2 =, P= E0 E0 F Отметим, что далее для всех функций знак тильды над ними опускался.

На первом этапе на основе сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода решалась прямая задача о нахождении функции смещения на свободном конце стержня при известных характеристиках стержня:

d 1 z F (t ) (t )u(t, )W (t, z )dt = P E ( ) F ( ) u( z, ) (11) 0 t d,0 t z F ( ) E ( ) W ( t, z ) = z d F ( ) E ( ),z t Для решения интегрального уравнения (11) использовался метод коллокаций.

Интегралы заменялись их приближёнными значениями по квадратурным формулам (в настоящей работе применялась формула Симпсона). При удовлетворении интегрального уравнения в наборе точек в соответствии с методом коллокаций задача сводилась к решению алгебраической системы относительно узловых неизвестных.

На втором этапе при помощи метода линеаризации (когда искомые функции представлялись в виде разложения по формальному параметру в окрестности начального приближения) был построен итерационный процесс.

Используя условие ортогональности, удалось исключить полевые характеристики первого приближения и сформулировать интегральные уравнения Фредгольма первого рода для нахождения поправок. Отметим, что построенное уравнение полностью совпало с построенным другим методом в первой главе.

На каждом шаге построенного итерационного процесса посредством решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода находилось новые значения u ( n1), с помощью которых вычислялись правая часть интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода и его ядро. Отметим, что для вычисления производной du ( n 1) ( z, ), входящей в ядро интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, dz использовалась интерполяция кубическими сплайнами. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода является некорректной задачей и требует регуляризации, в настоящей работе был использован регуляризующий алгоритм А.Н.Тихонова. После решения этого уравнения вычислялась поправка к модулю упругости, и с ее учетом осуществлялся следующий этап итерационного процесса.

В первом параграфе рассмотрена задача об идентификации модуля Юнга в стержне при продольных колебаниях.

Первый этап итерационного процесса требует знания начального приближения. В настоящей работе начальное приближение E0 ( z ) строилось в классе линейных положительных ограниченных функций вида E0 ( z ) = a0 + a1 z.

Из априорной информации об ограниченности модуля упругости 0 E E0 ( z ) E+ можно получить следующие ограничения на параметры a0 и a1 :

E a0 E+, E a0 + a1 E+, (12) которые определяют компактное множество U на плоскости изменения параметров (a0, a1 ). Значения постоянных a0 и a1 находились из условия минимума следующего функционала невязки на построенном компактном множестве U :

u (1, ) f1 ( ) d, Ф= (13) где u(1, ) - функция смещения на свободном конце стержня при линейном законе изменении модуля E0 ( z ) = a0 + a1 z.

Предложенная схема показала свою работоспособность в достаточно представительной серии вычислительных экспериментов при восстановлении гладких неоднородностей (для полиномиальных (монотонных и немонотонных), тригонометрических, показательных функций с большим градиентом).

На рис. 1 в качестве примера представлены результаты восстановления безразмерной функции, характеризующей изменение модуля упругости, на первом, третьем и пятом шагах итерационного процесса для следующих законов ( z ) = 2 + 0.5z 3, E ( z ) = 1 + z 3. В серии расчетов было принято 1 = 2, 2 = 3, что соответствует частотному диапазону, расположенному между 1-ой и 2-ой резонансными частотами;

измерения производились для пяти частот внутри выбранного диапазона.

Рис. Были проведены вычислительные эксперименты об определении влияния количества частот, в которых произведены измерения, на точность восстановления функции. В качестве примера на рис. 2 приведен график относительной погрешности для восстановления безразмерной функции, характеризующей изменение модуля упругости для следующих законов ( z ) = 1 + z, E ( z ) = 1 + (1.5z 0.7) 2. В серии расчетов было принято 1 = 1.5, 2 = 3.9, что соответствует частотному диапазону, расположенному между 1-ой и 2-ой резонансными частотами. Расчеты производились для двух, трех, пяти частот внутри выбранного диапазона;

для обеспечения необходимой точности потребовалось не более 5 итераций. Из рис.2 видно, что наименьшая погрешность достигается, когда входная информация задается для пяти частот внутри выбранного диапазона.

Рис. Проведены вычислительные эксперименты по нахождению сингулярных чисел для оператора в уравнении Фредгольма 1-го рода. Показано, что сингулярные числа можно условно разбить на два подмножества, причем сингулярные числа первого подмножества определяются достаточно устойчиво, а сингулярные числа второго подмножества находятся на уровне погрешности вычислений. Сделан вывод, что число сингулярных чисел из первого подмножества связано с числом частот, в которых произведены измерения.

Также проводились вычислительные эксперименты, когда входная информация была зашумлена.

Во втором параграфе рассмотрена обратная задача о восстановлении плотности в стержне при анализе продольных колебаний. Для решения задачи был построен итерационный процесс, на n-ом шаге которого для определения поправки необходимо решать следующее интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

(u ) ( n 1) ( z, ) F ( z ) ( n ) ( z )dz = P ( f1 ( ) u ( n1) (1, )), [1, 2 ] (14) Было установлено, что для обеспечения единственности решения необходимо знание априорной информации о значении функции плотности в месте защемления стержня. Отметим, что в противном случае погрешность восстановления функции на защемленном конце составляет около 16%.

В третьем параграфе решена задача об идентификации осесимметричной полости малого размера в стержне кругового поперечного сечения радиуса R.

На основе метода линеаризации, когда функция F ( z ) представлялась в виде F ( z ) = F0 ( z ) ( z ), было получено операторное уравнение для нахождения поправки ( z ) :

( z ) ( E ( z )(u ( z, )) 2 ( z )(u0 ( z, ))2 )dz = Pu1 (1, ), [1, 2 ] (15) В частном случае для стержня постоянной плотности и постоянного модуля Юнга, ослабленного полостью малого размера, полагая F0 = 1, легко находим u0 ( z, ), а уравнение (15) приобретает вид:

P cos(2 z ) ( z )dz = ( f1 ( ) u (1, ) ), [1, 2 ] cos (16) где ( z ) - положительная функция с компактным носителем, моделирующая наличие полости в стержне. Полученное уравнение является интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода, оно решалось с помощью регуляризующего алгоритма А.Н.Тихонова. Проведенные численные эксперименты показали, что метод А.Н.Тихонова дает хорошие результаты только в том случае, когда известен отрезок, на котором локализована полость. Для определения носителя полости был предложен следующий алгоритм. На основе асимптотического подхода была получена формула для нахождения поправок к резонансным частотам для стержня, ослабленного полостью:

( z ) cos( 1n = 2 (17) z )dz 0n 0n где 0n - резонансная частота для стержня без полости. В случае когда ( z ) сферическая полость с центром в точке c0 радиуса r0 формула (17) после упрощения дает:

c r 1n = 02n cos 2 0n 0 (18) l 3 l Были проведены расчеты по определению первого безразмерного волнового числа по асимптотической формуле (17) и путем прямого расчета первого собственного значения интегрального оператора, к которому сводится краевая задача (5) при разных формах полости и положениях ее центра;

расхождение составило величины порядка 10-4-10-5 для размеров полости порядка 0.2R. Это обстоятельство позволило применять асимптотическую формулу для малых по объему полостей для процедуры идентификации полости. Была получена 1 c формула = arccos ± 27 + 12, где = 0, причем выбирается знак «+», 6 l 11 0, и знак «–», если 11 0. После определения c если величина r определяется из формулы (18). Таким образом, зная поправки для первой и для второй резонансных частот, можно найти центр сферической полости и ее радиус. Далее на отрезке [c0 r0, c0 + r0 ] форму полости можно уточнить, решая уравнение (16). Таким образом, задача была разбита на два этапа. На первом этапе на основе анализа резонансных частот определяется носитель полости, а на втором происходит детализация ее формы на основе решения уравнения Фредгольма 1-го рода при помощи метода регуляризации А. Н. Тихонова.

Предложенный подход позволяет достаточно точно восстанавливать такие характеристики полости как центр и объем (погрешность восстановления центра полости не превышает 2%, объема —3%).

В четвертом параграфе рассмотрена задача о восстановлении модуля сдвига при анализе крутильных колебаний стержня.

Краевая задача, описывающая крутильные колебания консольно закрепленного стержня под действием крутящего момента на свободном конце, после отделения временного множителя имеет вид:

du ( x, ) d G( x) J p + J p ( x ) u ( x, ) = (19) dx dx u (0) = du (l, ) = M G (l ) J p dx Известна дополнительная информация об амплитудно-частотной характеристике торца стержня:

u (l, ) = f 3 ( ), [5, 6 ] (20) Цель задачи — восстановить неизвестную функцию модуля сдвига G ( x ) при известной плотности по информации (20).

Отметим, что краевая задача (19) подобна краевой задаче, описывающей продольные колебания неоднородного стержня. Методика решения этой задачи аналогична решению задачи о восстановлении модуля Юнга при анализе продольных колебаний стержня.

В третьей главе рассмотрены конкретные реализации по решению сформулированных в первой главе постановок обратных задач для неоднородных стержней при изгибных колебаниях.

Исходная задача была обезразмерена:

x = lz, u = lu, E ( x ) = E0 E ( z ), ( x ) = 0 ( z ), F ( x ) = F0 F ( z ), J ( x ) = J 0 J ( z ), z [0,1], где E0 = max E ( x ), 0 = max ( x ), F0 = max F ( x ), J 0 = max J ( x ) x[0,l ] x[0,l ] x[0,l ] x[0,l ] 2 0 F0l 4 Pl 4 =, P= E0 J 0 J 0 E Далее для удобства для всех функций знак тильды над ними опускался.

Прямая задача о нахождении функции смещения на свободном конце стержня при известных характеристиках стержня решалась на основе сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода:

( z )(1 ) d 1 z w ( z, ) F ( ) ( ) K ( z, ) w (, ) d = P (21) J ( ) E ( ) 0 ( z )( ) d,0 z 0 J ( ) E ( ) K (, z ) = z ( z )( ) d, z J ( ) E ( ) В первом параграфе решена задача о восстановлении модуля упругости в стержне при анализе изгибных колебаний. Был построен итерационный процесс уточнения неизвестной функции, на n-ом шаге которого для определения поправки необходимо решать следующее интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

d 2 w( n1) ( z, ) ( ) (n) ( n 1) dz 2 J ( z ) E ( z )dz = P f 2 ( ) w (1, ), [3, 4 ] (22) 0 Показано, что для обеспечения единственности решения задачи необходима априорная информация о значении функции модуля Юнга на свободном конце стержня.

На рис. 3 представлены результаты восстановления безразмерной функции, характеризующей изменение модуля упругости для следующих законов ( z ) = 1 + z, E ( z ) = 2 + 0.5sin(2 z ). В расчетах принято 1 = 2.8, 2 = 4 (что соответствует частотному диапазону, расположенному между 1-ой и 2-ой резонансными частотами);

расчеты производились для пяти частот внутри выбранного диапазона. Сплошной линией показан график исходной функции, квадратиками - восстановленной. Прерывистой линией показано начальное приближение, найденное из условия минимума функционала невязки типа Ф (13).

Рис. Во втором параграфе решена обратная задача о восстановлении плотности в стержне при анализе изгибных колебаний. Было установлено, что также как и для задачи о восстановлении плотности при продольных колебаниях, для обеспечения единственности решения необходима априорная информация о значении функции плотности в месте защемления стержня.

Вычислительные эксперименты показали, что неоднородности с конечным числом разрывов первого рода (например, кусочно-постоянные) восстанавливаются значительно хуже гладких и на основе предложенной схемы дают близкие к искомым в среднеквадратичном. Был проведен эксперимент по сравнению амплитудно-частотных характеристик для двух стержней: в первом закон изменения плотности представлен исходной кусочно-постоянной функцией, а во втором — восстановленной гладкой. На рисунке 4 показаны результаты этого эксперимента. Сплошной линией показана амплитудно частотная характеристика для первого стержня, а разрывной—для второго.

Рис. Результат эксперимента показал, что до первого резонанса АЧХ для первого и второго стержней практически совпадают;

далее отличие наблюдается только в области резонансных частот.

В третьем параграфе решена задача о восстановлении двух функций плотности и модуля упругости при совместном анализе продольных и изгибных колебаний. Для решения задачи был построен итерационный процесс, на n-ом шаге которого для определения поправок необходимо решать следующую систему интегральных уравнений Фредгольма первого рода:

du ( n1) ( z, ) 1 (n) ( n 1) (n) dz F ( z ) E1 ( z )dz (u ( z, )) F ( z ) ( z )dz = 2 0 ( ) = P f1 ( ) u ( n 1) (1, ), [1, 2 ] (23) d 2 w( n1) ( z, ) 1 (n) ( n 1) (n) dz 2 J ( z ) E ( z )dz ( w ( z, )) F ( z ) ( z )dz = 4 0 ( ) = P f 2 ( ) w( n 1) (1, ), [3, 4 ] Рис. На рис. 5 представлены результаты восстановления безразмерных функций, характеризующих плотность и модуль Юнга для следующих законов ( z ) = 1 + ( z 0.5) 2, E ( z ) = 1 + ( z 0.3)2. В этом эксперименте считалось известным значение функции плотности на защемленном конце. При продольных частотные отрезки [1, 2 ] = [2,3], и изгибных колебаниях рассматривались [3, 4 ] = [2.4,3.2], находящиеся между первой и второй резонансными частотами (как для продольных, так и для изгибных колебаний), измерения производились для пяти частот внутри выбранного диапазона. Для восстановления оказалось достаточно 5-ти итераций.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Сформулированы постановки коэффициентных обратных задач для упругих стержней о восстановлении модуля Юнга, модуля сдвига, плотности и формы поперечного сечения по амплитудно-частотным характеристикам.

2. В рамках асимптотического подхода при использовании информации о резонансных частотах для стержня решена задача об определении параметров малой полости в стержне.

3. Разработаны методы построения итерационных процессов при формулировке операторных соотношений в коэффициентных обратных задачах для продольных, крутильных и изгибных колебаний.

4. Разработаны алгоритмы и программы, реализующие процедуру определения модуля Юнга, модуля сдвига, плотности и формы поперечного сечения, как функций координат.

5. Проведены масштабные вычислительные эксперименты в коэффициентных обратных задачах для стержней при различных видах неоднородностей (слабонеоднородных, полиномиальных (монотонных и немонотонных), тригонометрических, показательных с большим градиентом, разрывных).

Представлены рекомендации по выбору частотного диапазона, позволяющие наиболее эффективно осуществлять численное решение поставленных задач.

6. Решены обратные задачи об определении трех характеристик стержня:

модуля Юнга, модуля сдвига и плотности как функций координат при совместном анализе продольных, изгибных и крутильных колебаний стержня.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ (фамилия соискателя: Бочарова О.В. – до вступления в брак, Денина О.В. - после вступления в брак) 1. Аникина Т.А., Бочарова О.В. К идентификации сращивания костной ткани //Тезисы докладов IX Всероссийской конференции по биомеханике. Нижний Новгород. 2008. С. 94-95.

2. Бочарова О.В., Жарков Р.С. Асимптотический анализ продольных и поперечных колебаний стержня // Труды III Школы-семинара “Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика”, Ростов-на-Дону, 15-19 ноября 2004г., Изд. ООО“ЦВВР”.2004. С.50-52.

3. Бочарова О.В., Ватульян А.О., Жарков Р.С. Реконструкция полости в упругом стержне // Известия Вузов Северо-Кавказского региона. Сер. Естественные науки. Издательство Ростовского госуниверситета. 2006. №2. С.28-32.

4. Бочарова О.В., Жарков Р.С. Реконструкция малой полости в стержне при анализе продольных и поперечных колебаний // Материалы IV школы семинара “Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика”. Экологический вестник научных центров (ЧЭС). Спецвыпуск.

2006. С. 77-80.

5. Бочарова О.В. Реконструкция малой полости в стержне при анализе продольных колебаний // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т. XII. Ростов-на-Дону. 2006. С. 10-12.

6. Бочарова О.В. Идентификация модуля упругости в стержне // Труды X Международной конференции “Современные проблемы механики сплошной среды”. Изд-во “ЦВВР”. 2006. Т. 2. С. 94-98.

7. Бочарова О.В. Обратные задачи для упругого стержня при продольных колебаниях // Труды V Школы-семинара “Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика”, Ростов-на-Дону, 18-21 декабря 2006г., Изд.ООО “ЦВВР”. 2007. С.50-52.

8. Бочарова О.В., Солуянов Н.О. Об определении локальных и распределенных неоднородностей в стержнях и пластинах. Тезисы докладов XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды, 27 августа 1сентября 2007 г., Саратов. С. 24.

9. Бочарова О.В. О реконструкции плотности в неоднородном стержне // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т. XII.

Ростов-на-Дону. 2007. С. 3-5.

10.Бочарова О.В., Ватульян А.О. О методах идентификации неоднородных свойств упругих стержней // Теорет. и прикладная механика. 2007. Вып. 43.

С. 168–175.

11.Бочарова О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи для упругого неоднородного стержня // Известия Вузов Северо-Кавказского региона. Сер. Естественные науки. Издательство Ростовского госуниверситета. 2008. №3. С.33-37.

12.Бочарова О.В., Ватульян А.О. Об обратных задачах для неоднородных стержней // Сборник материалов международной научной конференции Тараповские чтения, издательство Харьковского национального университета, 21-25 апреля 2008 г., С. 75-77.

13.Бочарова О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи для стержней //Труды XI Международной конференции “Современные проблемы механики сплошной среды”. Изд-во “ЦВВР”. 2007. Т.1. С. 84-88.

14. Бочарова О.В., Ватульян А.О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня// Акустич. журн. 2009. Т. 55. №.3. С. 275-282.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.