авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Исследование взаимодействия газодинамических ударных и акустических волн с конденсированными средами

На правах рукописи

Баганина Александра Евгеньевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ

УДАРНЫХ И АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН С КОНДЕНСИРОВАННЫМИ

СРЕДАМИ

Специальность 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Томск-2010

Работа выполнена на кафедре прикладной аэромеханики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Томский государственный университет”

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Васенин Игорь Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Тимченко Сергей Викторович доктор физико-математических наук, профессор Воеводин Анатолий Федорович

Ведущая организация: Учреждение российской академии наук Институт прикладной механики УрО РАН (г. Ижевск)

Защита состоится 28 декабря 2010 г. в 14.30 часов на заседании диссертацион ного совета Д 212.267.13 при ГОУ ВПО “Томский государственный универси тет” по адресу: г. Томск, пр. Ленина, 36, НИИ прикладной математики и меха ники, ауд. 242.

Отзывы направляются по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО “Том ский государственный университет” по адресу: г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан 26 ноября 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор технических наук Ю. Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сильные акустические волны (шум) являются одним из самых неприятных детищ современной цивилизации. Шум сопровождает нас в аэро портах, цехах заводов, в квартирах больших городов. Поэтому исследования, направ ленные на изучение средств защиты от шума, являются актуальными. Эти исследо вания проводятся в настоящей работе.

Ударные волны возникают, как правило, при взрывах. Они часто используются в современных технологиях. В то же время во многих случаях, например при взрывах в шахтах, они становятся опасными для человека. Для защиты от них создаются спе циальные преграды. Для проектирования преград нужны методики, позволяющие рассчитывать воздействие на них ударных волн. Такие методики разработаны в дис сертации.

В технологиях создания новых материалов в настоящее время развиваются ме тоды прессования материалов из порошков ударными волнами. В процессе прессова ния порошки представляют собой пористую среду, поры которой затекают под давле нием ударной волны. Поэтому изучаемые в диссертации модели пористых сред, де тально учитывающие процессы затекания пор при высоких давлениях, также являют ся актуальными.

Цели и задачи исследований:

1. Разработать математическую модель и методику расчета метания взрывом жидких, сыпучих и твердых конденсированных сред из специального устройства для метания. Провести исследования процессов в таких устройствах.

2. Разработать математические модели и методики расчетов затухания акусти ческих и ударных волн через одиночные и разнесенные преграды из конденсирован ных сред. Провести исследование затухания и анализ эффективности таких преград.

3. Изучить воздействие ударной волны взрыва метана в угольной шахте на бе тонную защитную перемычку и выяснить влияние параметров ударной волны и спо собов крепления перемычки на возникающие в ней опасные напряжения.

4. Разработать упругопластическую модель пористой среды с явным выделени ем отдельных пор.

5. С помощью разработанной модели пористой среды исследовать прохожде ние через пористые среды ударных и акустических волн.

Методы исследований. Разработка математических моделей для совместного решения нестационарных уравнений газовой динамики и конденсированных сред.

Численные исследования разработанных моделей на основе разностных схем С.К.

Годунова и Уилкинса.

Достоверность полученных результатов гарантируется использованием кор ректных математических постановок задач, непротиворечивостью результатов и вы водов. Результаты численных решений исследуемых математических моделей качест венно совпадают с известными экспериментальными данными. Соблюдались все кри терии, обеспечивающие устойчивость и сходимость численных решений.

Научная новизна работы. Новыми являются:

1. Результаты исследований взаимодействия газодинамических ударных и аку стических волн с рядом конденсированных веществ с учетом взаимного влияния га зовой и конденсированной сред.

2. Математическая модель пористой среды с явным выделением пор. В отличие от более ранних моделей она учитывает в комплексе: схлопывание пор с учетом их переменного во времени положения в ударной волне;

взаимодействие процессов в со седних порах;

преимущественную диссипацию энергии в области затекания пор;

влияние процессов в порах на параметры ударной волны.

3. Результаты исследований показывают, что в случае разнесенных преград за тухание волн зависит не только от параметров самих преград, но и от длины падаю щей волны, расстояния между преградами.

4. Результаты исследований прохождения сильных ударных волн через порис тые металлы, из которых следует, что первоначальное повышение температуры за ударной волной сосредоточено в окрестности схлопнувшихся пор.

Практическая значимость:

1. Разработанная математическая модель и методика расчета метания жидких, сыпучих и твердых тел с использованием взрыва может применяться при проектиро вании специальных устройств для метания.

2. Разработанные методы расчета затухания акустических волн могут исполь зоваться для проектирования преград и средств защиты от шума с учетом интенсив ности и спектра падающих волн.

3. Разработанную модель разнесенных водяных заслонов, а также результаты исследований взаимодействия ударных волн с бетонными перемычками можно при менять для расчетов при проектировании защитных сооружений в угольных шахтах.

4. Математическая модель пористых материалов, учитывающая явно схлопы вание пор, может использоваться для расчетов процесса прессования порошковых ма териалов в ударных волнах.

На защиту выносятся:

1. Физико-математическая модель и методика расчета метания взрывом твер дых, жидких и сыпучих сред. Результаты исследований процесса метания из специ ального устройства.

2. Методика расчета и результаты исследований затухания акустических и ударных волн в разнесенных преградах из конденсированных веществ.

3. Методика расчета и результаты исследований взаимодействия ударных волн взрыва метана с защитными бетонными перемычками.

4. Математическая модель пористой среды с явным выделением пор и резуль таты исследований прохождения ударных и акустических волн через пористые пре грады.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации были до ложены на следующих конференциях:

a) Международных: II Международная школа – конференция молодых ученых “Физика и химия наноматериалов” (Томск, 2009).

б) Всероссийских: Всероссийская конференция молодых ученых (с междуна родным участием) “Неравновесные процессы в сплошных средах” (Пермь, 2007);

IV Всероссийская конференция молодых ученых “Физика и химия высокоэнергетиче ских систем” (Томск, 2008);

VI всероссийская конференция “Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики” (Томск, 2008);

Всероссийская конфе ренция “Современная баллистика и смежные вопросы механики” (Томск, 2009);

Все российская конференция молодых ученых НПСС (с международным участием) “Не равновесные процессы в сплошных средах” (Пермь, 2009);

Научная конференция “Байкальские чтения: Наноструктурированные системы и актуальные проблемы ме ханики сплошной среды (теория и эксперимент)” (Улан-Удэ, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вы шеперечисленных конференций, а также в трех научных журналах. Из них одна ста тья опубликована в журнале из списка ВАК “Вестник Томского государственного университета. Математика и механика”.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6-ти глав, за ключения и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 120с., содержит 75 рисунков. Список источников литературы составляет 87 наимено ваний.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирова на цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

Первая глава носит обзорный характер. В ней описываются теоретические ис следования процессов деформирования и разрушения при взрывном нагружении, раз личные модели конденсированных сред. На основе анализа представленных исследо ваний сделан вывод о том, что существует незначительное количество работ, в кото рых для изучения таких процессов одновременно использовались как модели конден сированных сред, так и газодинамическая модель.

В соответствии с этим была поставлена задача об изучении взаимодействия ударных и акустических волн с конденсированными средами в постановке, вклю чающей как уравнения газовой динамики, так и уравнения конденсированных сред.

Вторая глава посвящена математическому моделированию метания взрывом жидких, твердых и сыпучих сред. В некоторых ситуациях, связанных с необходимо стью мгновенного гашения воспламенения и горения опасных очагов пожаров, могут применяться автоматические устройства, в которых пламегасящие вещества мгновен но выбрасываются взрывом специальных ВВ. При выбросе этих веществ в атмосферу они мгновенно распыляются при взаимодействии с воздухом, либо образуют пламе гасящую пену. Для расчетов процессов распыления и образования пены необходимо знать начальные параметры, с которыми вещества покидают устройство метания. Во второй главе рассматривается решение задачи о расчете этих параметров в одномер ном приближении.

При решении рассматриваемой задачи считалось, что область решения пред ставляет одномерный канал длиной L3, левый конец которого замыкается непрони цаемой твердой стенкой, другой – конденсированной средой L2rL3, состоящей в одном случае из песка, в другом из воды, а третьем изо льда (рис. 1). В сечении L стоит поршень малой толщины, который при расчетах не учитывался. На участке 0rL1 моделировался взрыв, который воздействовал на метаемое вещество (вода, песок или лед). На участке L2rL3 в лагранжевой системе координат решались од номерные уравнения сохранения массы (1) и количества движения (2), которые замы кались уравнением ударной адиабаты в форме Тэта (3).

ВОЗДУХ ВВ ВЕЩЕСТВО L L 0 L Рисунок 1 – Схема устройства для метания: ВВ – взрывчатое вещество;

ВЕЩЕСТВО – вода, песок или лед;

L1, L2, L3 – подвижные границы dr u dt = 0, (1) v v v u dr ( p ) + v u v2 dt = 0, (2) v v v n p v = A v 1. (3) 0v В этих уравнениях v – плотность, 0v – начальная плотность, uv – скорость, pv – давление вещества;

A, n – параметры адиабаты Тэта.

На участке 0rL2 решались уравнения сохранения массы газа (4), его количе ства движения (5) и энергии (6) в системе координат, связанной с подвижной грани цей L2:

g dr g u g dt = 0, (4) ( ) u g dr p g + g u g dt = 0, (5) g ug ug 2 g + dr g u g + + p g u g dt = 0.

2 2 (6) Система (4) – (6) замыкалась уравнением состояния идеального газа (7):

pg =, (7) ( k 1) g где g – плотность, ug – скорость, – внутренняя энергия, pg – давление газа;

k – пока затель адиабаты.

В начальный момент времени на участке 0rL1 задавались параметры взрыва, интенсивностью pg=6ГПа при плотности ВВ g=800кг/м3. На участке L1rL2 зада валось атмосферное давление и плотность воздуха при температуре 20C. На участке L2rL3 для метаемой среды задавались атмосферное давление и плотность среды.

На границе раздела сред L2 задавалось равенство давлений и скоростей;

на ле вой границе (рис.1) – условие непроницаемости;

на правой свободной границе – p=0.101МПа. Для удобства задания граничных условий вводились фиктивные ячейки.

Численное решение дифференциальных уравнений (1) – (7) производилось с помощью метода С. К. Годунова [1].

Численное моделирование показало, что в результате отражения ударной вол ны (УВ) от свободной границы L3 (рис.1) возникает волна разрежения, в области ко торой резко уменьшается плотность метаемого вещества и возрастает его скорость.

При плотности метаемой среды меньшей, чем начальная плотность, упругая часть давления равна нулю. Этот факт позволял продолжать расчеты, полагая P=0 при 0. При этом заложенные в модели законы сохранения продолжали выполняться и решение соответствовало физике протекающего процесса. Такой расчет для случая метания песка приведен на рис. 2, рис.3. Из графика для плотности видно, что неко торое количество песка вблизи переднего фронта его движения отрывается от основ ной метаемой массы. Данное явление напоминает отколы, которые образуются при взаимодействии сильных ударных волн с преградами из металлов и других прочных сред.

density,kg/m u,m/c 0 0 0.01 0.02 0.03 0 0.01 0.02 0. r,m r,m Рисунок 2 – Распределение скорости Рисунок 3 – Распределение плотности при метании песка при метании песка Аналогичные результаты при тех же самых предположения (P=0 при 0) были получены для воды, пористого и сплошного льда. Распределения основных па раметров плотного и пористого льда качественно подобны. Основным отличием в результатах, полученных для пористого льда в сравнении с плотным льдом, является более слабая интенсивность давления, что связано с более рыхлой структурой порис того льда. На основе проделанных расчетов были сделаны выводы, что при воздейст вии взрыва интенсивностью в 6ГПа на песок, лед и воду, метаемая среда, вылетая из устройства метания, разбрызгивается в атмосфере.

В третьей главе рассматривается решение задачи о затухании акустической волны в разнесенных металлических преградах. В качестве металлических преград рассматривались по отдельности пластины из стали, свинца и меди. Проводилось сравнение затухания акустической волны при прохождении преград в зависимости от количества пластин данной преграды и расстояния между ними.

Область решения представляет одномерный канал длиной L. В случае преграды из двух пластин область решения показана на рис.4.

ВЕЩЕСТВ ВОЗДУХ ВЕЩЕСТВ ВОЗДУХ ВОЗДУ 0 L4 L L1 L2 L Рисунок 4 – Область решения в случае преграды из двух пластин: ВЕЩЕСТВО – ма териал пластины;

L1, L2, L3, L4, L – подвижные границы На участках области решения 0rL1, L2rL3 и L4rL решались диффе ренциальные уравнения идеального газа (4) – (7). На участках области решения L1rL2 и L3rL4 решались одномерные уравнения (1),(2). Замыкалась данная сис тема уравнением состояния, для давления в упругой среде (8):

p = K ln 0. (8) В уравнении (8) – плотность вещества;

0 – начальная плотность вещества;

K – объемный модуль упругости.

В начальный момент времени на участках области решения занятых газом за давались атмосферное давление и плотность воздуха при температуре 20C. На участ ках области решения представляющих металлическую пластину задавались атмо сферное давление и плотность металла.

На границах раздела сред задавалось равенство давлений и скоростей;

на гра нице L1 области решения – акустическая волна по закону (9):

2 t (9) P = 101000 + 6000 cos, T где t – текущее время счета численной задачи, T1 – время полупериода косинуса. На правой границе задавались мягкие граничные условия. Для удобства задания гранич ных условий вводились фиктивные ячейки.

Численное решение представленных уравнений осуществлялось с помощью метода С.К. Годунова в лагранжевом представлении.

Было проведено сравнение интенсивности акустической волны после прохож дения преграды из одной пластины толщиной 0.05 м с интенсивностью волны после прохождения преграды из 2 пластин толщиной по 0.025 м с шагом по пространству h=0.0005м.

На рис.5 представлены кривые избыточного давления после прохождения свинцовой преграды толщиной 0.05м, преграды из двух пластин по 0.025м, с расстоя нием между пластинами 0.005м, 0.01м и 0.025м (длина участка L2rL3). Из рис.5.

видно, что значительное падение давления акустической волны происходит после прохождения разнесенной преграды из двух свинцовых пластин, суммарная толщина которых равна толщине преграды из одной пластины. Из результатов расчетов также следует, что чем больше расстояние между пластинами, тем меньше интенсивность акустической волны.

P-P00,Pa 0 0.4 0.8 1.2 1. r,m Рисунок 5 – Избыточное давление акустической волны после прохождения свинцовой преграды: сплошной линией обозначен случай расчета с преградой из 1 пластины;

пунктирной линией – из 2 пластин (расстояние между пластинами 0.01м);

штрих пунктирной линией – из 2 пластин (расстояние между пластинами 0.025м);

пунктир ной линией с двумя точками – из 2 пластин (расстояние между пластинами 0.005м) Аналогичные результаты были получены при исследовании затухания акусти ческой волны в стальной и медной преграде. На основе полученных результатов ис следования вытекают следующие выводы: значительное снижение давления акусти ческой волны наблюдается после прохождения преграды из двух разнесенных пла стин, причем, чем больше расстояние между пластинами, тем ниже давление акусти ческой волны. Наибольшее падение давления акустической волны наблюдается после прохождения свинцовой преграды, что связано с более плотной структурой металла по сравнению с медью и сталью.

Раздел 3.2 посвящен моделированию задачи затухания ударной волны в разне сенных водяных заслонах. Проводилось сравнение затухания ударной волны при прохождении разнесенного водяного заслона с одиночным водяным заслоном. Пред полагалось, что суммарная масса разнесенного заслона равна массе одиночного за слона. Проводилась оценка расстояния между разнесенными заслонами, при котором затухание ударной волны было максимальным.

Область решения задачи в случае разнесенного заслона представлена на рис.6.

газ газ заслон МВ газ заслон газ L 0 L L1 L2 L4 L L Рисунок 6 – Область решения в случае разнесенного заслона: МВ – мгновенный взрыв Во всей области решения в лагранжевой системе координат решались одно мерные уравнения (4) – (7).

В начальный момент времени на участках 0rL1, L2rL3, L4rL5 и L6rL7 задавались параметры газа: p=0.101МПа, =1.22кг/м3, u=0м/с, k=1.4. На уча стке L1 x L 2 моделировался участок повышенного давления p=0.202МПа, =1.22кг/м3, u=0м/с, k=1.4.

В области заслона применялась равновесная модель смеси газа и водяных ка пель, в которой плотность заслона zaslon равняется сумме плотности газа и массы ка пель в единице объема. В силу малых размеров капель, образующихся при прохожде нии ударной волны, в модели предполагается равенство скоростей и температур фаз [2].

При этом показатель адиабаты равновесной смеси рассчитывается по формуле zc B + (1 z )c p k zaslon =, zс B + (1 z )cv где сp – теплоемкость смеси при постоянном давлении, cv – теплоемкость смеси при постоянном объеме, z – массовая доля частиц воды, cB – теплоемкость воды.

В уравнении состояния смеси p R 1 z = (1 z ) T B учитывается доля объема, занимаемого каплями. Здесь z массовая доля воды в объе ме;

– молекулярный вес воздуха;

В – плотность воды.

На участке L3rL4, L5rL6 задавались параметры заслона p=0.101МПа, =0zaslon, k=kzaslon, u=0м/с.

Граничные условия: на левой границе области решения задавались условия не проницаемости, справа – мягкие граничные условия. Для удобства задания граничных условий вводились фиктивные ячейки. Численное решение уравнений (4) – (7) осу ществлялось с помощью разностной схемы метода С. К. Годунова в лагранжевой сис теме координат. При этом использовалась схема распада разрыва, учитывающая воз можный разрыв показателя адиабаты.

Производилось сравнение давления УВ после прохождения одного водяного заслона длинной 3.4м с давлением УВ после прохождения двух заслонов с одинако выми длинами по 1.7м. Полагалось, что суммарная масса двух водяных заслонов рав на массе одного водяного заслона. По проведенным оценкам затухание ударной вол ны будет максимальным, если расстояние между заслонами не меньше 30м при дли не участка повышенного давления L1rL2 равного 10м. Как видно из рис.7 интен сивность ударной волны после прохождения 2 водяных заслонов почти в 2 раза меньше интенсивности ударной волны после прохождения 1 водяного заслона.

p-p0,Pa 0 40 80 r,m Рисунок 7 – Избыточное давление ударной волны после прохождения: одного водя ного заслона длиной 3.4м (сплошная линия);

двух водяных заслонов длиной по 1.7 м (пунктирная линия). p00 = 0.101МПа Таким образом, большей эффективностью защитного сооружения обладает система из 2 водяных заслонов, при этом расстояние между заслонами должно быть в несколько раз больше длины ударной волны.

В четвертой главе рассматривается решение задачи затухания ударной волны в бетонной перемычке в двумерной поста z новке. Область решения задачи представле на на рис.8. На участке L1zL2, 0rR за давались параметры взрыва, на участке L L3zL4, 0rR задавались параметры бе- опоры тонной перемычки, на остальных участках крепление области решения задались параметры воз- L по стенкам бетон духа. Бетонная перемычка рассматривалась L в рамках модели сжимаемой идеальной уп ругопластической среды. Во всей области решения задачи ре- L взрыв шались двумерные уравнения, выражающие L законы сохранения, кинематические и фи зические соотношения для сжимаемой иде альной упругопластической среды в ла- r 0 R гранжевой форме для плоской декартовой Рисунок 8 – Область решения задачи прямоугольной системы координат (r,z):

Проекции уравнения движения:

V rr rz d ar = r = + (10) ;

0 r z dt d z V zz rz az = = + (11), 0 z r dt где rr = Drr–(p+q), zz = Dzz–(p+q), rz = Drz;

ar, az – компоненты ускорения в на правлениях r, z соответственно;

V=0/ – безразмерный удельный объем;

0, – на чальное и текущее значения плотности среды;

q – псевдовязкость, вводимая для “раз мазывания” фронта ударной волны.

Уравнение неразрывности:

dV.

V= = V r + z. (12) r z dt Уравнение энергии:

V dE...

+ V ( Drr rr + Dzz zz + Drz rz ) = E= = ( p + q ) t dt (13) z r z r V = ( p + q ) + V Drr + Dzz + Drz +, r t r z z r z r. z.

.

;

rz = + где rr.

;

zz = = (14) z r r z Компоненты дивиатора напряжений:

. V.

.

dDrr dDrz + ;

dDzz = 2G. V.

= 2G rr = G rz + rz, + zz ;

(15) 3V zz 3V rr dt dt dt 1 где rr = Drz r z ;

zz = Drz z r ;

rz = r z (Dzz Drr ).

2 z r z r r z Здесь, zz, rz - поправки компонент дивиатора напряжений.

На участке области решения L3zL4, 0rR в качестве уравнения состояния принималось уравнение:

(16.a) p = -KlnV, где K – модуль объемного сжатия вещества.

В областях занятых газом 0zL3, 0rR и L4zL, 0rR использовалось уравнение состояния идеального газа:

(16.б) p = (k-1)E, где k – показатель адиабаты, a модуль сдвига G полагался равным нулю.

Начальные условия прочной среды задавались исходя из ее напряженного со стояния в покоящейся атмосфере и вычислялись согласно модели односторонней де формации [3]. Поэтому при t=0 производился пересчет плотности, координат лагран жевой сетки и удельного объема. Плотность сжатой перемычки определялась из уравнения:

zz (17) сж = 0 бетон exp, ( K + 4G / 3) где 0бетон – начальная плотность бетона;

G – модуль сдвига бетона. Пересчет коорди нат лагранжевой сетки производился с учетом изменения шага по оси z на участке L3zL4, 0rR занятом бетонной перемычкой. С учетом сжатия бетонной перемыч ки в начальный момент времени шаг dzн по оси z пересчитывался по формуле:

0бетон dzн = dz.

сж В начальный момент времени на участках области решения занятых газом за давались следующие условия: t = 0;

r = 0;

z = 0;

p0 = 0.1МПа;

= 0газа;

E = p0(k-1)0газа.

На участке L1zL2, 0rR области решения согласно гипотезе мгновенной детонации задавались следующие условия: t = 0;

r = 0;

z = 0;

p0 = Pвзрыв;

= 0газа;

E = p0(k-1)0газа.

На участке области решения L3zL4, 0rR принимались условия:

t = 0;

r = 0;

z = 0;

= сж;

rz = 0;

zz = -0.1МПа;

rr = zz/(1-);

2 p = K ln сж ;

Drr = G ln сж ;

Dzz = G ln сж ;

Drz = 0;

0бетон 0бетон 0бетон 3 где - коэффициент Пуассона.

Область решения задачи ограничена четырьмя основными границами Г1, Г2, Г3, Г4. На границах Г1 и Г3 граничные условия задавались в зависимости от постав ленной задачи и среды. В областях занятых газом на данных границах ставились ус ловия непротекания: r,. Для незакрепленной бетонной перемычки на этих грани 1 цах использовались условия скользкой стенки r = 0;

rz = 0. Если боковые стенки пе ремычки были закреплены, то на них принимаются условия r = 0;

z = 0. Границы Г и Г4 неподвижны. На них нормальная составляющая скорости газа z = 0.

Для решения поставленной задачи применялась разностная схема метода Уил кинса [4].

На основе математической модели, описанной выше, было проведено исследо вание воздействие взрыва на бетонную перемычку. Предполагалось, что предел прочности бетона с модулем сдвига G = 3.2ГПа и коэффициентом Пуассона = 0. равен 32 кГ/см2. На основе данного факта были построены зависимости давления взрыва от длины участка взрыва, при которых возможно разрушение бетонной пере мычки определенной длины.

Согласно данным по горным выработкам интенсивность взрыва в выработке не превышает 16 атм, а длина участка взрыва не больше 30 метров, поэтому все расчеты были проведены при параметрах взрыва не превышающих указанных выше. Началь ная плотность бетона полагалась равной = 2600 кг/м3.

В расчетах учитывались три состояния бетонной перемычки (рис.8): бетонная перемычка находится в свободном, не закрепленном положении;

бетонная перемычка закреплена в виде опоры;

бетонная перемычка закреплена по стенкам.

На рис.9 и в таблице 1 отражены результаты расчетов взрывного нагружения не закрепленной бетонной перемычки длиной 2м. На рис.9 область ниже кривой соот ветствует взрыву, при котором не происходит разрушение перемычки, а область вы ше кривой – взрыву, при котором возможно разрушение перемычки. В таблице 4. указаны параметры взрыва, при которых напряжение -zz достигает значения 32кГ/см2.

Таблица 1 – Параметры взрыва, при ко торых напряжение -zz в свободной бе тонной перемычке достигает значения 32 кГ/см Pвзр10-5, Па Lвзр, м 15. 4.0 16. 4.25 15. 15. 4.5 15. P*10-5, a 4.75 14. 14. 5.0 14. 5.5 14. 5.75 14. 14. 6.0 14. 6.5 14. 12.0 14. 0 10 20 L,m 17.5 14. Рисунок 9 – Зависимость давления 30.0 14. взрыва Pвзр от длины участка взрыва Lвзр для случая расчета со свободной бетонной перемычкой Также был проведен расчет для бетонной перемычки, закрепленной в виде опоры. Результаты расчетов отражает рис.10 и таблица 2. Длина перемычки также полагалась равной 2м.

Таблица 2 – Параметры взрыва, при которых в перемычке закрепленной в виде опоры напряжение -zz достигает значения 32 кГ/см Pвзр10-5, Па Lвзр, м 2.5 16. P*10-5, a 4.0 13. 5.5 10. 6.5 8. 7.0 7. 7.75 7. 9.0 6. 9.75 6. 0 10 20 L,m 20.0 5. Рисунок 10 – График зависимости дав 30.0 5. ления взрыва Pвзр от Lвзр для случая расчета с бетонной перемычкой, закре пленной в виде опоры При взрыве в 1.6 МПа для разрушения перемычки, закрепленной в виде опоры, необходим участок взрыва почти в 2 раза меньший, чем для случая расчета со сво бодной перемычкой. И если для свободной перемычки необходим взрыв больше или равный 1.43МПа, то для перемычки, закрепленной виде опоры, разрушение вызывает взрыв интенсивностью 0.56МПа при Lвзр = 30м.

Также был исследован случай с бетонной перемычкой, закрепленной по стен кам. В результате расчетов было выяснено, что даже при взрыве интенсивностью 0. МПа может произойти разрушение перемычки.

Из расчетов вытекает вывод, что наиболее взрывоустойчивой является пере мычка, не закрепленная по стенкам, ей уступает бетонная перемычка, закрепленная в виде опоры, а наименее устойчивой к взрывам является перемычка с креплением по стенкам. Следует отметить, что перемычка, не закрепленная по стенкам, после воз действия на нее ударной волны приобретает некоторую скорость и может представ лять определенную опасность. Так при интенсивности взрыва Pвзр = 1.6МПа и длине участка взрыва Lвзр = 4м скорость движения бетонной перемычки достигает 2 м/c.

В пятой главе излагается математическая модель и результаты математическо го моделирования прохождения ударных волн через пористые упругие и упругопла стические среды с явным выделением пор. z В начальный момент времени t=0 бесконечная пла- стина из пористого материала, движущаяся со скоростью u0, сталкивается с абсолютно жесткой поверхностью.

Предполагалось, что поры являются каналами, парал- k лельными плоскости столкновения и расположены в виде 1 рядов так, как показано на рис.11. При дополнительном предположении об одинаковом расстоянии между рядами пор и равенстве сечений каналов в качестве области ре шения можно рассматривать прямоугольник (рис.11), бо ковые стороны которого являются границами симметрии r решения. Деформируемая среда рассматривается в рамках Рисунок 11 – Область модели сжимаемой упругопластической среды. Течение решения задачи этой среды является двумерным и рассматривается в пе ременных Лагранжа. Так как заложенная в модели симметрия существенно использу ется в алгоритме расчета, рассматриваются только волны, распространяющиеся в на правлении оси z.

Поставленная задача с математической точки зрения описывается уравнениями выражающими законы сохранения, кинематические и физические соотношения для сжимаемой упругопластической вязкой среды (10) – (15) в плоской системе коорди нат.

Уравнение состояния использовалось в форме Грюнайзена (V ) 0 ET p = p y (V ) +, V где 0 – начальная плотность;

V=0/ – безразмерный удельный объем;

py(V) – упругая составляющая давления;

ET – тепловая энергия единицы массы вещества;

(V) – ко эффициент Грюнайзена.

Зависимость py(V) вычислялась с помощью ударной адиабаты сплошной среды по методу [5].

Вся область пористого тела разбивалась на подобласти Gk, каждая из которых содержала в центре схлопывающуюся пору (рис.12).При схлопывании симметричных пор средняя скорость среды не изменяется, поэтому работа сил давления при затека нии поры переходит во внутреннюю энергию. Предполагалось, что возникающая при схлопывании поры внутренняя энергия равномерно рас пределяется по частицам граничащих с порами, так что на каждую лагранжеву частицу границы приходится по ток внутренней энергии, равный G k _ 1 pk dVk, N k 0 dt где dVk/dt – скорость изменения объема поры с номером _ k, pk – среднее интегральное давление по границе об ласти Gk, Nk – число лагранжевых частиц по границе по Рисунок 12 – Подоб ры. При этом скорость dVk/dt находилась в результате ласть Gk расчетов перемещения лагранжевых координат границ поры. Таким образом, в предложенной модели фактически решалось следующее уравнение энергии _ p dVk V dE P dV Drr rr + Dzz zz + Drz rz, = + 0 dt k 0 N k dt 0 dt в котором начало затекания каждой поры автоматически учитывалось при достиже нии на границе каждой поры условия текучести Мизиса [6].

Начальное состояние материала пластины, которая двигалась со скоростью z= u0, предполагалось невозмущенным. Поэтому при t=0 в области, занятой материалом, задавались равенства: z = -u0, r = 0, ij = 0, ij = 0, Dij = 0,=0, =0. Поры в веще стве полагались пустыми, поэтому в них задавалась =0.

В силу периодичности постановки задачи в направлении оси r в качестве об ласти решения рассматривался показанный на рис.11 прямоугольник, ограниченный поверхностями 1, 2, 3, 4, k. При этом поверхности 1, 2– являются поверхно стями симметрии, а поверхность 4– свободна от напряжений. Граничными условия ми на поверхности контакта пластины с жесткой поверхностью 3 являются условия z = 0 и zz = 0. На свободной поверхности 4 отсутствуют нормальное и касательное напряжения, что равносильно равенствам zz = 0 и rz = 0. Расчет в ячейках, гранича щих с пустыми порами, проводится точно также как и во внутренних ячейках облас ти. Поскольку в граничных ячейках пор все параметры равны нулю, то на границах пор k автоматически выполняются условия, справедливые для свободных поверхно стей.

Для решения поставленной задачи применялась разностная схема метода Уил кинса. В начальный момент времени для аппроксимации в окрестностях пор приме нялись сетки с квадратными и восьмигранными порами рис.13. При прохождении ударной волны и затекании пор, разностная сетка в их окрестности приобретала вид, показанный на рис.14.

0.08 0. 0.078 0. z, m z, m 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0.002 0.004 0. 0 0.002 0.004 0. r, m r, m Рисунок 13 – Участок расчетной сетки Рисунок 14 – Участок расчетной сетки с восьмигранными порами в момент затекания поры В процессе расчетов контролировалось расстояние между граничными узлами пор и их площадь. Как только эти величины становились меньше наперед заданных малых значений, пора считалась закрытой, а сетка в ее окрестности перестраивалась в новую, близкую к прямоугольной (рис.14). При перестроении сетки с учетом законов сохранения пересчитывались все параметры, как в узлах, так и во внутренних ячей ках.

В некоторых случаях для предотвращения нежелательных искажений ячеек в процессе счета применялась в начальный момент времени неравномерная сетка, по зволяющая уменьшить искажение ячеек в следующие моменты времени. Такая сетка показана на рис.3. Однако в процессе расчетов во избежание дополнительных ошибок интерполяции перестройка сетки проводилась только один раз в окрестности каждого схлопывающегося узла.

Достоверность модели подтверждается сравнением ударных адиабат с экспе риментальными данными, приведенными в книге [5]. На рис.15 показана зависимость давления от плотности для свинца с пористостью =0.16, рассчитанная по приведен ной выше модели. Крестами отмечены экспериментальные точки. Пунктирной лини ей обозначена ударная адиабаты сплошного свинца.

На рис.16 приведены результаты расчета ударной адиабаты меди с пористо стью =0.3 (сплошная кривая) и экспериментальные данные (кружки). Для сравнения приведена также зависимость, рассчитанная по известной формуле Я.Б. Зельдовича и Ю.П. Райзера [8] (штрихпунктир).

P, G P,G 8 9 10 11 12 12 13 14, g/cm3, / Рисунок 15 – Ударные адиабаты свин- Рисунок 16 – Ударные адиабаты меди:

ца: сплошной линией обозначены ре- сплошной линией обозначены резуль зультаты расчета по вышеуказанной таты расчета по вышеуказанной моде модели;

крестами – экспериментальные ли;

кружками – экспериментальные данные данные;

штрихпунктирной линией – ударная адиабата Я.Б. Зельдовича и Ю.П. Райзера [7] В разделе 5.6 приводится модификация предложенной модели для расчета за жигания безгазового пиросостава ударной волной взрыва. Уравнение энергии было дополнено слагаемыми, учитывающими обобщенные химические реакции и тепло проводность. В результате уравнение энергии, записанное для температуры T, приня ло вид q1 K f E RT _ p dV k dE y V dT 1 P dV, Drr rr + Dzz zz + Drz rz + T + a = + + e c 0 dt 0 N k dt 0 c dt dt (18) в котором использовны обозначения: - температуропроводность;

q – теплота хими ческой реакции;

Kf – предэкспонента в выражении для скорости обобщенной химиче ской реакции, a – концентрация несгоревшего компонента, 1 – плотность вещества при которой изучалась кинетика вещества, E – энергия активации;

с – теплоемкость;

R – газовая постоянная.

Так как для интегрирования уравнения энергии необходимо знать концентра цию a, то уравнение (18) дополняется уравнением для скорости изменения концен трации горючего a.

da E = aK f e RT. (19) dt Проведенные оценки показали, что характерное время химической реакции K f и время распространения тепла 2 /, где размеры области решения, r = e E / RT соответственно на два и четыре порядка превосходят время затекания поры. Поэтому при расчетах задача расщеплялась по времени.

На первом этапе рассчитывалось распределение температуры при схлопывании пор без учета тепловыделения за счет реакции и теплопроводности. На втором этапе интегрировалось уравнение теплопроводности с химическими реакциями и начальной температурой, вычисленной на первом этапе.

Задача решалась для следующих параметров, заданных заказчиком:

E = 64000 дж/моль;

Kf = 54000c-1;

q = 500000дж/кг;

c=230дж/кгK;

= 0.2.

При расчете ударной волны согласно техническому заданию на левой границе области задавалось давление продуктов взрыва ТНТ PТНТ = 5ГПа. Диаметр пор при нимался равным 0.5мм.

На графике 17 приведены зависимости температуры пиросостава от времени в точке максимальной температуры после схлопывания поры с учетом теплопроводно сти и без ее учета. Видно, что оба графика почти сливаются. Этот результат указывает на то, что при высоких температурах, получающихся при схлопывании пор, приход тепла от химической реакции значительно превосходит его отвод путем теплопро водности. На графике 18 приведены зависимости от времени доли прореагировавшего материала для тех же двух случаев.

0. 0. 1-a T, K 0. 0. 0 0.001 0.002 0. 0 0.001 0.002 0. t, c t, c Рисунок 18 – Зависимости от времени Рисунок 17 – Зависимости температуры доли прореагировавшего материала в пиросостава от времени в точке макси точке максимальной температуры по мальной температуры после схлопыва сле схлопывания поры с учетом тепло ния поры с учетом теплопроводности и проводности и без ее учета без ее учета В шестой главе представлены результаты расчетов задачи затухания слабой ударной волны в пористых и сплошных металлах.

Предполагалось, что давление ударной волны не превышает предела текучести материала пластины. Проведено сравнение амплитуд z ударных волн после прохождения пористых и сплошных металлических пластин. Показаны результаты исследова- L ния влияния пористости металла на коэффициент затуха ния ударной волны.

Задача решалась в рамках модели упругопластиче- L ской среды. Движение такой среды описывалось с позиции Лагранжа. Исследование звукоизоляционных свойств по ристых металлов проводилось на стальной, медной и алю миниевой пористой пластине.

L Область решения задачи представляет двумерный канал длиной L и шириной R (рис.19). На участке L1zL2, 0rR задавалась область повышенного давле- L ния, на участке L3zL4, 0rR в одном случае задава- СД L лись параметры металлической сплошной пластины, в другом металлической пористой пластины (рис.19), на ос тальных участках области решения задавались параметры 0 Rr воздуха. 1, 2, 3 и 4 – неподвижные границы. На рис.19 Рисунок 19 – Область представлена область решения задачи в случае исследова решения задачи ния пористой металлической пластины, предполагается, что поры расположены в виде рядов, так как показано на рисунке.

Во всей области решения задачи решались двумерные уравнения выражающие законы сохранения, кинематические и физические соотношения для сжимаемой упру гопластической вязкой среды (10) – (15). На участке области решения L3zL4, 0rR в качестве уравнения состояния принималось уравнение: p=-KlnV, где K – модуль объемного сжатия вещества, V – безразмерный удельный объем. Во всей остальной области решения на участках 0zL3, 0rR и L4zL, 0rR при нималось следующее уравнение состояния: p= (k-1)E, где k – показатель адиабаты, а модуль сдвига G полагался равным нулю.

Начальные условия прочной среды задавались исходя из ее напряженного со стояния в покоящейся атмосфере и вычислялись согласно модели односторонней де формации [3].

В начальный момент времени на участках области решения занятых газом за давались следующие условия: t = 0;

r = 0;

z = 0;

p = p0 = 0.1МПа;

= 0газа;

E = p0(k-1)0газа. На участке L1zL2, 0rR области решения согласно гипотезе мгно венной детонации задавались следующие условия: t = 0;

r = 0;

z = 0;

p = p +6000Па;

= 0газа;

E = p0(k-1)0газа.

На участке области решения L3zL4, 0rR принимались условия:

t = 0;

r = 0;

z = 0;

= сж;

rz = 0;

zz = -0.1МПа;

rr = zz/(1-);

сж ;

Drr = G ln сж ;

Dzz = G ln сж ;

Drz = 0.

p = K ln 0м 0м 0м где - коэффициент Пуассона;

где 0 м – начальная плотность металлической пласти ны;

сж – плотность металла сжатого под атмосферным давлением, которая вычисля лась согласно модели односторонней деформации;

G – модуль сдвига металлической пластины.

Область решения задачи ограничена четырьмя основными границами 1, 2, и 4. На границах 1 и 3: r = 0. Границы 2 и 4 неподвижны. На них нормальная составляющая скорости z = 0. Так как в ячейках пор все параметры равны нулю, то на границах пор автоматически выполняются условия, справедливые для свободных поверхностей.

Было проведено исследование влияния пористости металлической пластины на затухание ударной волны слабого взрыва, проходящей данную пластину. Проводи лось сравнение давления ударной волны (УВ), прошедшей пористую металлическую пластину с давлением УВ, прошедшей сплошную металлическую пластину. Коэффи циент затухания УВ рассчитывался по следующей формуле kp=Pвыхs/Pвых, где Pвых – нормальное избыточное давление после прохождения пористой пластины;

Pвыхs – нормальное избыточное давление после прохождения сплошной пластины.

Значение пористости металлической пластины определялось по следующей формуле =100%(0 - 00)/0, где 0 – плотность сплошного металла;

00 – плотность пористого металла.

В расчетах толщина пластины (L3zL4) задавалась равной 0.01м, а длина участка области решения от взрыва до пластины (L2zL3) в 3 раза больше длины участка взрыва (L1zL2). Участок области решения 0zL3 задавался такой длины, чтобы УВ отразившаяся от поверхности металлической пластины за все время счета не успела достигнуть границы 2 (рис.19). Для различных значений пористости раз мер и геометрия пор задавалась одинаковыми, и для достижения определенного зна чения пористости варьировалось только расстояние между порами по оси 0z.

В результате исследования данной задачи были выявлено, что наибольшим ко эффициентом затухания обладает пористый алюминий, а наименьшим пористая медь (табл.3). Также было выявлено, что в результате прохождения слабой УВ через пред ставленные пористые металлы, происходит многократное отражение УВ от поверхно стей пор и взаимодействие отраженных УВ друг с другом. Эти процессы приводит к неоднозначной зависимости интенсивности УВ на выходе из пластины от ее пористо сти.

Таблица 3 – Коэффициенты затухания УВ для представленных металлов Сталь Алюминий Медь 191 352 kp (=69%) 26 29 kp (=45%) 57 65 kp (=22%) Выводы по работе:

Разработаны подходы и алгоритмы решения задач о взаимодействии газодинамиче ских волн с конденсированными средами:

1. Предложены математические модели и разработаны методики расчета динами ческих процессов в устройствах для метания взрывом жидких, сыпучих и твер дых сред. Проведены численные исследования процесса метания и показано, что на баллистические параметры, вылетающей из устройства среды, оказывает большое влияние волны разряжения, возникающие на границе раздела сред и внешней атмосферы.

2. Разработаны методики и программы расчета затухания газодинамических волн при их прохождении через разнесенные преграды из конденсированного веще ства. Показано, что при прохождении разнесенных преград газодинамические волны затухают намного сильнее, чем в одиночной преграде, содержащей ту же самую массу конденсированной среды. Найдено, что величина затухания волны зависит от свойств среды, длины падающей волны и расстояния между преградами.

3. При исследовании затухания ударных волн в водяных заслонах, применяемых для защиты в шахтах, получен важный практический результат, согласно кото рому в разнесенных заслонах ударная волна затухает в 2 раза сильнее, чем в одном заслоне, содержащем такое же количество воды. Найдено, что расстоя ние между разнесенными заслонами должно быть больше 30 метров.

4. Исследовано воздействие в двумерной постановке ударных волн взрыва на воз водимые в шахтах прочные бетонные перемычки. Найдены параметры взрыва, при которых напряжения в бетонной перемычке не достигают критических значений. Исследованы различные способы крепления перемычек.

5. Разработана физико-математическая модель пористой среды с явным выделе нием пор. Показано, что эта модель удовлетворительно описывает ударные адиабаты пористых металлов. Показана применимость модели для изучения зажигания пористых горючих ударными волнами. С применением разработан ной модели пористой среды проведены исследования затухания акустических волн в пористых металлах: меди, алюминии и стали в зависимости от величины их пористости. Найдено, что наибольшее затухание волн происходит в порис том алюминии при пористости =69%.

Публикации по теме диссертации 1. Баганина А.Е. Математическая модель прохождения ударных волн через пористые среды / Баганина А.Е. // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. – 2010. – № 4 (12). – С. 51-53.

2. Петрова (Баганина) А.Е. Математическое моделирование взаимодействия газо вого взрыва с бетонной стенкой / И.М. Васенин, А.Е. Петрова (Баганина) // Изв.

ВУЗов. Физика. – 2007. – Т.50, № 9/2– С. 229-232.

3. Петрова (Баганина) А.Е. Метание взрывом жидких и сыпучих сред / И.М. Ва сенин, Б.И. Ворожцов, А.Е. Петрова (Баганина), Э.Р. Шрагер // Изв. ВУЗов.

Физика. – 2007. – Т. 50, № 9/2.– С. 225-228.

4. Петрова (Баганина) А.Е. Метание взрывом жидких и сыпучих сред / И.М. Ва сенин, Б.И. Ворожцов, А.Е. Петрова (Баганина), Э.Р. Шрагер // Неравновесные процессы в сплошных средах : материалы всероссийской конф. молодых уче ных. – Пермь, 2007. – С. 103-106.

5. Петрова (Баганина) А.Е. Метание взрывом льда / Б.И. Ворожцов, А.Е. Петрова // Физика и химия высокоэнергетических систем : cборник материалов IV все российской конференции молодых ученых. Томск, 22-25 апр. 2008 г. – Томск :

ТМЛ.-Пресс, 2008. – С. 268-271.

6. Петрова (Баганина) А. Е. Метание взрывом жидких, твердых и сыпучих сред с учетом их упругости / И.М. Васенин, А.Е. Петрова (Баганина) // Фундамен тальные и прикладные проблемы современной механики : сборник материалов VI всероссийской конференции. Томск, 30сент. – 2 окт. 2008 г. – Томск, 2008. – C. 342-343.

7. Петрова (Баганина) А.Е. Численное исследование прохождения ударной волны через пористый свинец / И.М. Васенин, А.Е. Петрова (Баганина) // Неравновес ные процессы в сплошных средах : материалы всероссийской конф. молодых ученых. – Пермь, 2009. – С. 60-63.

8. Петрова (Баганина) А.Е. Математическое моделирование прохождения ударной волны через пористые среды / И.М. Васенин, А.Е. Петрова (Баганина), Э.Р.

Шрагер // Байкальские чтения: Наноструктурированные системы и актуальные проблемы механики сплошной среды (теория и эксперимент) : научн. конф. – Улан-Удэ, 19-22 июня 2010 г. – Ижевск : Изд-во ИПМ УрО РАН, 2010. – С. 116-118.

Список цитируемой литературы 1. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов [и др.]. – М. : Наука, 1976. – 400 с.

2. Математическое моделирование горения и взрыва высокоэнергетических систем / И.М. Васенин [и др.] ;

под. ред. И.М. Васенина. – Томск : Изд-во Том. гос. ун та, 2006. – 322 с.

3. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Теория упругости : учеб. пособие / Л.Д.

Ландау, Е.М. Лифшиц. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 248 с.

4. Численные методы в задачах физики быстропротекающих процессов : учебник для втузов / A.B. Бабкин [и др.]. – М. : Изд-во МГТУ, 2006. – 519 с.

5. Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатическому рас ширению конденсированных веществ при высоких плотностях энергии / М.В.

Жерноклетов [и др.] ;

ВНИИЭФ. – Черноголовка, 1996. – 384 c.

6. Селиванов В.В. Прикладная механика сплошных сред / В.В. Селиванов ;

МГТУ.

– М., 2000. – 246 с.

7. Зельдович Я.Б. Физика ударный волн и высокотемпературных гидродинамиче ских явлений / Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. – М. : Физматгиз, 1963. – 200 c.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.