авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Многопараметрические задачи теории устойчивости

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Майлыбаев Алексей Абаевич

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

01.02.01 – теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико–математических наук

Санкт-Петербург

2008

Работа выполнена в лаборатории механики природных

процессов Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор физико–математических наук Сейранян Александр Паруйрович

Официальные оппоненты:

доктор физико–математических наук, профессор Лестев Александр Михайлович член-корреспондент РАН, профессор Трещев Дмитрий Валерьевич доктор технических наук, профессор Фрадков Александр Львович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государ ственный политехнический университет

Защита состоится 9 октября 2008 г. в 14:00 часов на засе дании совета Д212.232.30 по защите докторских и кандидат ских диссертаций при Санкт-Петербургском государствен ном университете по адресу:

198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиоте ке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Универси тетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор С. А. Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена развитию многопараметрических методов теории устойчивости с при ложениями к задачам механики. Всякая физическая система содержит параметры, и основной целью настоящей диссерта ции является исследование того, как устойчивое положение равновесия или стационарное движение становится неустой чивым, или наоборот, при изменении многих параметров. В многопараметрических задачах устойчивости пространство параметров разбивается на области устойчивости и неустой чивости для конкретного положения равновесия или стацио нарного режима. Таким образом, актуальным является ана лиз границы между этими областями – границы области ус тойчивости.

Как известно, граница области устойчивости состоит из гладких поверхностей, но может иметь разного рода особен ности. Классификация типичных особенностей границы об ласти устойчивости для линейных систем обыкновенных диф ференциальных уравнений, зависящих от двух или трех па раметров, была проведена В.И.Арнольдом (1972). Возникно вение особенностей на границах областей устойчивости во многих случаях связано с недифференцируемым поведением собственных значений в зависимости от параметров в окрест ности точек кратности. В прикладном аспекте актуально пе ренести качественные результаты теории особенностей и ка тастроф в пространство параметров задачи, тем самым сде лав эту теорию также количественной, то есть конструктив ной и практичной.

В связи с этим возникает ряд общих актуальных вопро сов. Каковы законы движения собственных значений на ком плексной плоскости при изменении параметров задачи? Ка ковы соотношения между собственными значениями и свой ствами границы области устойчивости в пространстве пара метров? Каковы особенности поведения механических систем со свойствами симметрии, таких как гироскопические и кон сервативные системы? Как устроена граница области устой чивости в случае периодических систем и как исследовать ее особенности? Какие механические эффекты связаны с воз никновением особенностей на границах областей устойчиво сти?

Именно этим вопросам и задачам посвящена диссертация.

В ней развиты аналитические и численные методы, позволя ющие конструктивно проводить многопараметрический ана лиз области устойчивости в окрестности регулярных и осо бых точек ее границы. Описываются свойства и структура областей устойчивости и их границ для систем различно го вида: консервативных и неконсервативных, автономных и периодических. Решается ряд конкретных задач об устой чивости и параметрическом резонансе механических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Дается новое объяснение ряду механических эффектов и парадок сов в терминах теории особенностей и катастроф. Наконец, приводятся результаты экспериментов по параметрическому резонансу, подтверждающие эффективность разработанных методик.

Целью диссертации является создание аналитических и численных методов многопараметрического анализа гра ниц областей устойчивости для консервативных и неконсер вативных, автономных и периодических динамических си стем, описание механических эффектов, связанных с особен ностями границ областей устойчивости, решение задач об устойчивости и параметрическом резонансе для конкретных механических систем, а также экспериментальное подтвер ждение полученных результатов.

Основные результаты и их научная новизна. Ре зультаты диссертации являются новыми и состоят в следую щем:

• Развиты аналитические и численные методы анализа бифуркаций кратных собственных значений матриц, за висящих от многих параметров. Разработан метод чис ленного определения кратных собственных значений с жордановыми клетками в многопараметрических семей ствах матриц.

• Получены асимптотические выражения, локально опи сывающие область устойчивости в окрестности регу лярных и особых точек границы для механических си стем различного типа: неконсервативных, потенциаль ных, гамильтоновых и периодических. Дана классифи кация особенностей границ областей устойчивости для потенциальных, гамильтоновых и периодических систем.

• Дана классификация и проведен количественный ана лиз бимодальных бифуркаций для симметричных кон сервативных систем.

• Получены новые асимптотические формулы для обла стей параметрического резонанса для систем с большим числом степеней свободы, зависящих от трех парамет ров: параметра диссипативных сил, амплитуды и часто ты параметрического возбуждения.

• Проведен общий многопараметрический анализ устой чивости при резонансе между критической частотой флаттера автономной неконсервативной системы и ча стотой параметрического возбуждения.

• Показано, что парадокс дестабилизации неконсерватив ной системы малыми диссипативными силами (пара докс Циглера) связан с особенностью типа “тупик на ребре” на границе области устойчивости.

• Выявлена связь бимодальных решений в оптимизации упругих конструкций по критерию устойчивости с ко нической особенностью на границе области устойчиво сти. Показано, что симметричная упругая конструкция может терять устойчивость по асимметричной форме в бимодальной точке.

• Решены задачи об устойчивости механических систем, в которых ключевую роль играют особенности на гра нице области устойчивости. К ним относятся задача о гироскопической стабилизации вращающейся системы упруго сочлененных тел, задача В.В.Болотина о ком бинационном резонансе изгибно-крутильных колебаний балки под действием периодических моментов, задача о параметрическом резонансе и оптимизации балок пере менного сечения под действием периодических осевых нагрузок, задача о резонансе упругой консольной тру бы, проводящей пульсирующую жидкость.

• Проведены экспериментальные исследования парамет рического резонанса балок постоянного и переменного сечения.

Методы исследования. В диссертации используются методы возмущений кратных собственных значений, разви тые М.И. Вишиком, Л.А. Люстерником (1960) и В.Б. Лид ским (1966), и способ их применения в многопараметриче ском случае, предложенный А.П. Сейраняном (1990), каче ственные методы теории версальных деформаций, разрабо танные В.И. Арнольдом (1971). Развиваются конструктив ные аналитические и численные методы теории бифуркаций кратных собственных значений, теории версальных дефор маций, а также методы определения и аппроксимации осо бенностей на границах областей устойчивости.

Достоверность. Результаты диссертации строго матема тически и физически обоснованы. Исследования по парамет рическому резонансу получили экспериментальное подтвер ждение.

Практическая ценность. Полученные результаты мо гут быть применены при проектировании и оптимизации ши рокого класса механических и физических систем, подвер женных явлениям статической и динамической неустойчиво сти и параметрического резонанса, например, летательных аппаратов, изделий машиностроения, строительных соору жений, электрических сетей и т.д. Результаты диссертации вошли в спецкурс кафедры прикладной механики и управле ния механико-математического факультета МГУ и моногра фию по многопараметрической теории устойчивости с при ложениями в механике.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссер тации, докладывались на всероссийских и международных конгрессах, конференциях и симпозиумах: Международных конгрессах по структурной и междисциплинарной оптими зации (Буффало, США, 1999;

Сеул, Корея, 2007), Всерос сийской конференции с международным участием “Пробле мы небесной механики” (Санкт-Петербург, 1997), Четаевской конференции “Аналитическая механика, устойчивость и уп равление движением” (Казань, 1997;

Иркутск, 2007), Между народных математических конгрессах (Берлин, 1998;

Пекин, 2002), Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 1998), Симпо зиуме AIAA/USAF/NASA/ISSMO по междисциплинарному анализу и оптимизации (Сент-Луис, США, 1998), Междуна родном симпозиуме “Динамические и технологические про блемы механики конструкций и сплошных сред” (Москва, 1999), Конференции “Современные проблемы механики”, по священной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999), Всероссийской конференции, посвященной 40-летию со дня основания кафедры “Аэрокосмические системы” МГТУ им.

Н.Э. Баумана (Москва, 2000), Международных конференци ях по дифференциальным уравнениям и динамическим си стемам (Суздаль, 2000 и 2006), Европейских математических конгрессах (Барселона, 2000;

Стокгольм, 2004), Междуна родных конгрессах IUTAM по теоретической и прикладной механике (Чикаго, 2000;

Варшава, 2004), Международной конференции “Дифференциальные уравнения и смежные во просы”, посвященной И.Г.Петровскому (Москва, 2001), Кон ференции MIT по вычислительной механике жидкости и твер дого тела (Кембридж, США, 2001), Международной школе по динамическим и управляемым системам (Суздаль, 2001), Всероссийских съездах по теоретической и прикладной ме ханике (Пермь, 2002;

Нижний Новгород, 2006), Международ ной конференции “Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания” (Об нинск, 2002), Летней школе “Современные проблемы механи ки” (Санкт-Петербург, 2002), Международных научных кон ференциях по механике “Поляховские чтения” (Санкт-Петер бург, 2003 и 2006 – пленарный доклад), Международных кон ференциях “Физика и управление” (Санкт-Петербург, 2003 и 2005;

Потсдам, Германия, 2007), VI Международном конгрес се по вычислительной механике (Пекин, 2004), Международ ной школе “Хаотические автоколебания и образование струк тур” (Саратов, 2004), Международной конференции по неса мосопряженным гамильтонианам в физике (Стамбул, 2005 – пленарный доклад), Конференции EUROMECH по нелиней ной динамике (Эйндховен, Нидерланды, 2005).

Результаты диссертации докладывались на научных се минарах в МГУ им. М.В.Ломоносова, Институте проблем механики РАН, Московском физико-техническом институте, Институте вычислительной математики РАН, Саратовском государственном университете. А также за рубежом в Дат ском техническом университете, Политехническом универси тете Каталонии (Испания), Университете префектуры г.Оса ка, Университете г.Цукуба, Университете г.Саппоро (Япо ния), Даляньском техническом университете (Китай) и в Мас сачусетском технологическом институте (США).

Работа [10] была отмечена второй премией Всероссийско го конкурса молодых ученых по механике и процессам управ ления, посвященного 100-летию А.И. Лурье (2001г.), работа [12] получила премию издательства “Elsevier” за лучшую ста тью, опубликованную в журнале “Прикладная математика и механика” (2002г.), а работа [29] – премию Европейского об щества по механике (EUROMECH) за лучшую работу моло дого ученого на Международной конференции по нелинейной динамике (2005г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опуб ликованы в монографии (издательство World Scientic) и статьях (из них 25 – в отечественных и иностранных журна лах, рекомендованных ВАК РФ).

Структура и объем диссертации. Диссертация состо ит из введения, пяти глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 296 страниц. Она содержит 81 рису нок и 4 таблицы. Список литературы включает 265 наимено ваний.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации. При веден обзор литературы, касающийся вопросов поведения соб ственных значений многопараметрических систем в окрест ности точек кратности, методов и приложений теории вер сальных деформаций матриц, методов анализа границ обла стей устойчивости и их особенностей, роли этих особенностей в поведении механических систем, методов теории парамет рического резонанса и некоторых близких к теме работы при ложений в теории управления. Указаны основные цели рабо ты, кратко изложена структура диссертации, охарактеризо вана ее научная новизна, а также научная и практическая значимость, сформулированы основные положения, выноси мые на защиту.

Глава 1. Бифуркации собственных значений В первой главе разрабатывается теория бифуркаций собствен ных значений матриц, гладко зависящих от параметров. Ре зультаты этой главы составляют методологическую основу работы и используются далее во всех частях диссертации.

В §1 приводятся формулы для производных любого по рядка от простого собственного значения и собственного век тора по параметрам. §2 и §3 посвящены многопараметриче скому анализу бифуркации кратного собственного значения с жордановой клеткой. Здесь используется метод, основан ный на анализе собственных значений и собственных векто ров при возмущении вдоль гладкой кривой в пространстве параметров p() с малым вещественным параметром возму щения. Предполагается, что вектор параметров p0 = p(0) отвечает матрице с кратным собственным значением. Дан ный подход позволяет свести задачу к однопараметрической для отдельной кривой, характеризуемой начальным направ лением e = dp =0 и производными более высоких порядков.

d Возмущения кратных собственных значений при наличии малого параметра исследовались М.И. Вишиком, Л.А. Лю стерником (1960) и В.Б. Лидским (1966) в невырожденном случае. Наличие же многих параметров приводит к тому, что вдоль отдельных кривых нарушаются условия невырожден ности. Эти вырождения типичны и имеют особое значение с точки зрения теории устойчивости. В главах 2 и 3 пока зано, что возмущения параметров, стабилизирующие дина мическую систему, могут определяться вырожденными на правлениями. В §2 и §3 в многопараметрической постановке наряду с невырожденными случаями рассмотрены основные виды вырождений. Основная трудность анализа связана с недифференцируемостью собственных значений по парамет рам в точках кратности. Это приводит к асимптотическим разложениям по дробным степеням, причем дробные пока затели степеней зависят от типа вырождения. В §3 подробно рассматривается важный случай двукратного собственного значения с жордановой клеткой.

В §4 проводится аналогичное исследование для полупро стого собственного значения, которому отвечает число ли нейно независимых собственных векторов равное его алгеб раической кратности. В §5 подробно рассматривается случай полупростого двукратного собственного значения.

При высокой кратности собственного значения анализ воз мущений вдоль кривых в пространстве параметров существен но усложняется. Это связано с увеличением числа различных “существенных” вырождений. В этом случае полезными ока зываются методы теории версальных деформаций (нормаль ных форм), часто используемые при качественном анализе в теории особенностей. В §6 и §7 разрабатывается подход, позволяющий использовать эти методы для количественного анализа кратных собственных значений. В §6 анализ крат ных корней полиномов проводится при помощи подготови тельной теоремы Вейерштрасса, а для анализа кратных соб ственных значений матриц в §7 используется теория версаль ных деформаций матриц В.И. Арнольда (1971). Научное со держание §6 и §7 состоит в развитии конструктивных мето дов, позволяющих находить преобразования исходного мно гопараметрического семейства матриц или характеристиче ских полиномов к нормальной форме вблизи точек с кратны ми собственными значениями. В дальнейшем это позволило применить методы теории версальных деформаций к коли чественному многопараметрическому анализу устойчивости.

Заметим, что ранее данные методы использовались преиму щественно для качественного анализа.

Для приложения полученных в главе 1 результатов необ ходимо развитие численных методов определения значений параметров задачи, при которых возникает кратное собствен ное значение того или иного типа. Трудности определения этих значений, как уже отмечалось выше, связаны с неглад костью собственных значений в точках кратности. Дополни тельной трудностью является необходимость работать в про странстве параметров, а не в пространстве матриц, как это обычно делалось в численных методах линейной алгебры. В §8 разработан численный метод определения кратных соб ственных значений в многопараметрических семействах мат риц. При помощи этого метода определяются значения век тора параметров, при которых возникает кратное собствен ное значение, само собственное значение и соответствующие векторы цепочки Жордана. Рассмотрен случай кратных соб ственных значений, которым отвечает одна цепочка Жорда на. Этот случай наиболее типичен для семейств несиммет рических матриц. Метод основан на теории версальных де формаций, при помощи которой удалось построить линейную аппроксимацию искомых величин. Далее эта аппроксимация используется в методе Ньютона для нахождения точных зна чений. Разработанный численный метод реализован в виде набора процедур в пакете MATLAB.

Глава 2. Особенности границ областей устойчивости автономных систем Данная глава посвящена анализу границ областей устойчи вости динамических систем общего вида. Задача об опреде лении области асимптотической устойчивости в пространстве параметров сводится к анализу спектра линеаризованной си стемы, т.е. к определению собственных значений матрицы, зависящей от параметров.

В §1 приводятся общие результаты теории особенностей, позволяющие выделить случаи общего положения при мно гопараметрическом исследовании устойчивости. В §§2–4 раз виваются количественные методы анализа области устойчи вости в окрестности регулярных и особых точек ее границы.

Подробно рассмотрены особенности, возникающие на грани цах областей устойчивости в двух и трехпараметрических си стемах. Многие особые точки на границе устойчивости связа ны с возникновением кратных собственных значений, лежа щих на мнимой оси. Это определяет особый (недифференци руемый) характер поведения собственных значений при из менении параметров, что в конечном счете отражается на сингулярной форме области устойчивости. Используя резуль таты главы 1, выводятся асимптотические формулы, позво ляющие определить область устойчивости и ее границу в окрестности особенности каждого типа. Конструктивность полученных формул определяется тем, что для их использо вания требуется лишь информация о системе в точке особен ности: производные матрицы системы по параметрам, соб ственные и присоединенные векторы.

В §5 на примере двухзвенного маятника под действием следящей силы показано, что эффект дестабилизации некон сервативной системы малыми диссипативными силами (па радокс Г.Циглера, 1952) может быть объяснен в терминах особенностей границы области устойчивости. Показано, что граница области устойчивости системы в пространстве трех параметров (величина следящей силы p и два коэффициента вязкого трения в шарнирах 1 и 2 ) имеет особенность типа “ребро” с окончанием в точке особенности “тупик на ребре” p0.

Эти особенности лежат на оси следящей силы p, т.е. отвечают системе без диссипации, рис. 1. Геометрия области устойчи вости в окрестности особенности “тупик на ребре” определя ется из общей теории, приведенной в §§1–4. Геометрические свойства данной особенности приводят к таким эффектам, как скачок (резкое уменьшение) критической нагрузки при введении сколь угодно малого демпфирования и отсутствие предела критической нагрузки при стремлении параметров диссипации к нулю.

В §6 дается обобщение полученных результатов на слу чай особенностей произвольной коразмерности для систем с произвольным числом параметров. Приводятся явные асимп тотические формулы, определяющие область устойчивости в окрестности особых точек ее границы. Эти результаты полу чены методами теории версальных деформаций, разработан ными в §6 и §7 главы 1.

Глава 3. Границы областей устойчивости консерва тивных систем В третьей главе исследуются границы областей устойчиво сти консервативных систем. В §1 рассматриваются колеба Рис. 1: Особенность “тупик на ребре” на границе обла сти устойчивости иллюстрирует парадокс дестабилизации Г.Циглера.

тельные системы с потенциальными силами. Положение рав новесия такой системы устойчиво при условии, что функ ция потенциальной энергии имеет в данной точке минимум.

При помощи анализа возмущений простых и кратных частот колебаний описывается регулярная часть границы области устойчивости и классифицируются ее особенности. В част ности показано, что в случае общего положения граница об ласти устойчивости двухпараметрической системы не имеет особенностей, а единственной особенностью в случае трех па раметров является конус. Выводятся формулы, позволяющие определять область устойчивости в окрестности произволь ной регулярной или особой точки ее границы по собственным векторам и производным функции потенциальной энергии, вычисленным в рассматриваемой точке.

В §2 исследуется устойчивость упругого составного стерж ня, нагруженного продольной силой F. Стержень состоит из четырех звеньев равной длины, соединенных упругими шар нирами с различными коэффициентами жесткости a2 (конеч i номерная модель упругого стержня переменного сечения).

При определенном выборе коэффициентов жесткости крити ческая нагрузка является бимодальной, т.е. одной и той же критической силе отвечают две линейно независимые фор мы потери устойчивости. При ограничении на жесткость си стемы (условии, аналогичном постоянству объема стержня) бимодальное решение соответствует максимуму критической силы как функции коэффициентов жесткости, т.е. бимодаль ное решение является оптимальным. Оптимальность бимо дальных решений определяется геометрией конической осо бенности границы области устойчивости, рис. 2. Этот эф фект, очевидно, является общим, что и объясняет естествен ность оптимальных упругих конструкций с бимодальными критическими нагрузками. В течение последних 30 лет ре шения такого типа были найдены разными авторами в раз личных механических системах.

В §3 излагается общая теория бимодальных бифуркаций в потенциальных системах с одной или двумя симметрия ми. Дается полная классификация бифуркаций и перестроек при изменении параметров системы. Все формулы записа ны в явном виде в терминах производных функции потен циальной энергии системы с произвольным числом степеней свободы. В качестве механического примера исследуются по теря устойчивости и закритическое поведение упругого со ставного стержня, нагруженного продольной силой. Обнару жен эффект потери устойчивости симметричного составного стержня по асимметричной форме.

§4 посвящен исследованию границ областей устойчиво Рис. 2: Коническая особенность в точке максимума критиче ской нагрузки (бимодальное решение).

сти линейных гамильтоновых систем. Дается классифика ция особенностей общего положения на границах областей устойчивости в случае систем с двумя и тремя параметра ми. Классификация проводится с использованием версаль ных деформаций гамильтоновых матриц, полученных Д.М.

Галиным (1975). Далее выводятся конструктивные формулы, позволяющие находить область устойчивости в окрестности произвольной (регулярной или особой) точки границы. Га мильтоновы системы отличаются довольно большим числом типов особенностей и высокими кратностями собственных значений, определяющих особые точки, рис. 3. Так, в слу чае общего положения максимальная кратность собственного значения в точке на границе области устойчивости трехпара метрической системы равна шести (особенность типа “трех гранный шпиль” 06 ).

В §5 рассматриваются две механические задачи. В задаче об устойчивости упругой шарнирно опертой трубы, проводя щей жидкость, исследована область гироскопической стаби лизации. На границе этой области имеется особенность типа точки возврата. Вторая задача связана с вращением в по ле силы тяжести системы, состоящей из тяжелого диска, со единенного с ротором при помощи двух стержней. Система является статически неустойчивой, но может быть стабили зирована вращением (гироскопическая стабилизация). Пока зано, что в пространстве трех параметров (частоты враще ния и коэффициентов упругой податливости двух шаровых шарниров) область гироскопической стабилизации имеет осо бенность типа “трехгранный шпиль” (±i)4 (последняя осо бенность, изображенная на рис. 3). Эта особенность отвечает резонансу, в котором все четыре частоты системы совпада ют, образуя жорданову клетку. В обеих задачах геометрия особенности существенно влияет на процесс гироскопической стабилизации. Наличие особенности приводит к тому, что об ласть гироскопической стабилизации является очень узкой.

Общие результаты §4 существенно облегчают анализ грани цы такой области.

Глава 4. Многопараметрическая теория параметриче ского резонанса В четвертой главе развиваются общие методы многопарамет рического анализа устойчивости линейных систем с коэффи Рис. 3: Особенности общего положения на границе области устойчивости трехпараметрических гамильтоновых систем (“S” обозначает область устойчивости).

циентами, периодически зависящими от времени. Устойчи вость периодической системы определяется при помощи ме тода Флоке, требующего вычисления фундаментальной мат рицы системы. Тогда асимптотическая устойчивость опреде ляется условием || 1 для всех мультипликаторов системы (собственных значений матрицы монодромии). Для вычис ления производных матрицы монодромии по параметрам ис пользуются формулы, полученные в работе А.П.Сейраняна, Ф. Солема и П. Педерсена (1999).

В §1 выводятся формулы для производных по параметрам произвольного порядка для матрицы монодромии и ее муль типликаторов. Анализируются бифуркации кратных мульти пликаторов при изменении параметров системы.

В §2 дается классификация особенностей на границе об ласти устойчивости периодических систем в случае общего положения. Эти особенности геометрически аналогичны осо бенностям в случае автономных систем. Типы особых точек определяются перечислением собственных значений, лежа щих на единичной окружности, и их жордановой структурой.

Но в периодических системах имеются типы особых точек, существенно отличающиеся от случая автономных систем.

Выводятся аппроксимации области устойчивости в окрестно сти регулярных и особых точек ее границы. В формулах для аппроксимаций требуется лишь информация о системе в рас сматриваемой точке: производные матрицы системы по пара метрам и времени, фундаментальная матрица, мультипли каторы, собственные и присоединенные векторы. Посколь ку фундаментальная матрица обычно известна из анализа устойчивости в данной точке, предлагаемый подход позволя ет эффективно определять локальную форму границы обла сти устойчивости.

В §3 полученные результаты применяются к задаче об устойчивости упругой составной трубы, проводящей жидкость, для анализа влияния пульсаций на критическую среднюю скорость потока. Показано, как результаты §2 позволяют при существенно меньшем объеме численных расчетов (по срав нению с прямым применением метода Флоке) определять ста билизирующие направления в пространстве параметров.

В §4 рассматриваются колебательные системы с произ вольным числом степеней свободы под действием малого па раметрического возбуждения и при наличии малых дисси пативных сил. Исследуется поведение мультипликаторов в окрестности точек простого и комбинационного резонансов (в точках резонанса возникают двукратные полупростые муль типликаторы). Выводятся общие формулы первого прибли жения для областей простого и комбинационного резонан сов (областей неустойчивости) в невырожденном случае. Эти формулы записаны в терминах частот и форм собственных колебаний соответствующей невозмущенной консервативной системы. Для двух важных типов периодического возбужде ния, определяемых скалярным периодическим множителем или симметрической матрицей возбуждения, области резо нансов являются полуконусами в пространстве трех парамет ров: частоты и амплитуды параметрического возбуждения и параметра диссипации, рис. 4. Хорошо известные образы зон простого резонанса на плоскости частота–амплитуда возбуж дения в системах без и при наличии диссипации являются вертикальными сечениями полуконуса плоскостью = const, ограниченными гиперболами. В случае комбинационного ре зонанса описан феномен дестабилизации малой диссипацией Рис. 4: Полуконус области параметрического резонанса в пространстве параметров.

в терминах бифуркации кратного полупростого мультипли катора.

В §5 исследуется влияние малого периодического по вре мени возбуждения на устойчивость неконсервативной систе мы. Предполагается, что автономная система теряет устой чивость статическим (дивергенция) или динамическим (флат тер) способом. Выводятся формулы для аппроксимации гра ницы области устойчивости при наличии малого периодиче ского возбуждения. При этом считается, что система зави сит от вектора постоянных параметров. Показано, что гра ница области устойчивости является гладкой в случае дивер генции автономной системы, но может иметь особенности в случае флаттера. Особенности возникают в случае резонанса между частотой возбуждения и частотой флаттера. Ре зонансное соотношение имеет вид 2/k при целом k 0.

Это соотношение похоже на классическое условие простого параметрического резонанса колебательной системы, однако здесь – критическая частота флаттера системы, а не соб ственная частота колебаний.

Глава 5. Параметрический резонанс в механических системах В пятой главе решаются задачи о параметрическом резонан се в конкретных механических системах. Рассматриваются бесконечномерные системы, которые методом Галеркина или методом конечных разностей сводятся к конечномерным.

В §1 решается задача о комбинационном резонансе для плоской формы балки под действием периодических момен тов (задача В.В.Болотина). Изгибно-крутильные колебания балки описываются функциями, зависящими от продольной координаты и времени. В данной системе существенным яв ляется комбинационный резонанс, обусловленный взаимодей ствием изгибной и крутильной форм колебаний одного и то го же тона. Используя результаты §4 главы 4, получена об щая формула для зон комбинационного резонанса. Числен ные расчеты области резонанса, проведенные с помощью ме тода Флоке, хорошо согласуются с полученной асимптотиче ской формулой.

В §2 исследуются колебания упругой балки переменно го сечения, нагруженной периодической осевой силой. Рас сматривается произвольный периодический закон изменения осевой силы и учитывается внешнее демпфирование. Выво дятся общие формулы для зон простого и комбинационного резонансов в терминах собственных частот и мод свободных колебаний балки. Определяются критические значения ам плитуды возбуждения и поправки к значениям соответству ющих резонансных частот.

В §3 решается задача оптимизации формы балки по кри териям параметрического резонанса. Рассматривается плос кая балка переменной ширины и фиксированной массы под действием периодической осевой силы. Формулируются две задачи оптимизации: максимизация критической амплитуды силы и минимизация ширины области резонансных частот для заданной зоны резонанса. Показано, что эти задачи эк вивалентны при условии малости амплитуды возбуждения и коэффициента внешнего демпфирования. Более того, опти мальное решение оказывается не зависящим от закона перио дического изменения силы, коэффициента внешнего демпфи рования и номера резонанса, однако существенно зависит от граничных условий. Разработан конструктивный метод оп тимизации, в котором задача сводится к минимизации функ ционала, зависящего только от частот и мод свободных коле баний стержня. Таким образом, нет необходимости исполь зовать метод Флоке в процессе оптимизации. Численно най дены оптимальные решения для шарнирно опертой балки и балок с граничными условиями упругой и жесткой заделки.

Существенно, что предложенный метод может быть исполь зован в других задачах оптимизации по критериям парамет рического резонанса.

В §4 приводятся экспериментальные результаты по опре делению зон параметрического резонанса для однородного и оптимального шарнирно опертых стержней. Эксперимен ты проводились автором совместно с Х.Ябуно и Х.Канеко в лаборатории нелинейной динамики университета г.Цукуба (Япония). Форма оптимального стержня определяется ре шением, полученным в предыдущем параграфе. На рис. изображены границы областей параметрического резонанса Рис. 5: Теоретические и экспериментальные границы зоны параметрического резонанса для однородного и оптимально го стержней.

на плоскости: частота – амплитуда возбуждающей силы. Пу стые и черные кружки обозначают экспериментальные дан ные для однородного и оптимального стержней, соответствен но. Пунктирной и сплошной линиями показаны границы, по лученные теоретически. Экспериментальные результаты сви детельствуют о хорошем совпадении с теорией.

В §5 исследуется влияние пульсаций жидкости на устой чивость упругой трубы. Труба консольно закреплена в вер тикальном положении со свободным концом внизу. В случае постоянной скорости потока жидкости потеря устойчивости вертикального положения равновесия происходит динамиче ским способом (флаттер). Критическим является третий тон колебаний. Исследуются нерезонансный и резонансный ре жимы пульсаций скорости потока жидкости. При определен ных значениях параметров системы показано, что в нерезо Рис. 6: Граница области устойчивости для трубы, проводя щей жидкость, при резонансном режиме пульсаций скорости жидкости.

нансном режиме пульсации стабилизируют систему: крити ческая средняя скорость потока возрастает (в главном члене – пропорционально квадрату амплитуды пульсаций).

В случае резонанса между частотой пульсаций и крити ческой частотой флаттера 2 наблюдается “провал” на границе области устойчивости, рис. 6 (параметры: частота и амплитуда µ пульсаций и средняя скорость потока u0 ;

область устойчивости находится под изображенной поверх ностью). При этом пульсации могут существенно понизить критическую среднюю скорость потока. Полуконическая осо бенность, которая реализуется в данном случае, подобна по луконусу области резонанса колебательной системы (рис. 5).

Однако как физические параметры системы, так и сам ре зонансный эффект в данном случае – другие. В частности, резонанс в данной задаче возможен только на критическом тоне флаттера. При значениях средней скорости потока ни же критической скорости для автономной системы наблю даются выпуклые области резонанса на плоскости: частота– амплитуда пульсаций (сечения конической части границы го ризонтальной плоскостью u0 = const). Это объясняет, поче му в данной системе не наблюдаются области резонанса на первом тоне колебаний. Используя симметрию задачи, в § показано, что резонансный режим пульсаций всегда приво дит к такой же особенности на границе области устойчивости с характерным провалом при частотах, близких к резонанс ным.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Монография:

1. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications. New Jersey: World Scientic, 2003. 420p.

Статьи:

2. Майлыбаев А.А. О касательных конусах к области устой чивости семейства действительных матриц. Вестник Московского университета. Математика, механика.

1998. Вып. 6. С. 51–54.

3. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Особенности границ областей устойчивости. Прикладная математика и ме ханика. 1998. T. 62. № 6. С. 984–995.

4. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Об особенностях гра ницы области устойчивости. Доклады РАН. 1998. Т. 359.

№ 5. С. 632–636.

5. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. О границах областей устойчивости гамильтоновых систем. Прикладная ма тематика и механика. 1999. T. 63. № 4. С. 568–579.

6. Майлыбаев А.А. Приведение семейств матриц к нор мальным формам и приложение к теории устойчивости.

Фундаментальная и прикладная математика. 1999. T.

5. № 4. С. 1111–1133.

7. Майлыбаев А.А. Метод приведения семейств матриц к нормальным формам. Доклады РАН. 1999. Т. 367. № 2.

С. 168–172.

8. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Об особенностях гра ниц областей устойчивости гамильтоновых и гироско пических систем. Доклады РАН. 1999. T. 365. № 6. С.

756–760.

9. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Об особенностях гра ниц параметрического резонанса. Доклады РАН. 2000.

T. 373. № 5. С. 623–627.

10. Майлыбаев А.А. Об устойчивости полиномов, завися щих от параметров. Изв. РАН. Теория и системы управ ления. 2000. № 2. С. 5–12.

11. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. О границах области параметрического резонанса. Прикладная математика и механика. 2000. T. 64. № 6. С. 947–962.

12. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Параметрический ре зонанс в системах с малой диссипацией. Прикладная математика и механика. 2001. T. 65. № 5. С. 779–792.

13. Майлыбаев А.А. Вычисление кратных собственных зна чений и жордановых цепочек векторов для матриц, за висящих от параметров. Доклады РАН. 2001. T. 379. № 2. С. 165–169.

14. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Параметрический ре зонанс в системах с малой диссипацией. Доклады РАН.

2001. T. 378. № 5. С. 633–638.

15. Григорян С.С., Майлыбаев А.А. О подготовительной теореме Вейерштрасса. Математические заметки. 2001.

T. 69. № 2. С. 194–199.

16. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Трехмерные области параметрического резонанса. Труды МИАН. 2002. Т. 236.

С. 304–317.

17. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Взаимодействие соб ственных значений при изменении параметров. Докла ды РАН. 2003. T. 393. № 5. С. 609–614.

18. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Бимодальные бифур кации положений равновесия в симметричных потенци альных системах. Доклады РАН. 2007. Т. 417. С. 49–55.

19. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. Sensitivity analysis of eigenvalues and singularities of stability domains. Procee dings of the 7th AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization (St.Louis, USA). 1998. V. 3. P. 2166–2176.

20. Mailybaev A.A. Transformation of families of matrices to normal forms and its application to stability theory. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1999. V. 21. No. 2. P. 396–417.

21. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. On singularities of a boundary of the stability domain. SIAM J. Matrix Anal.

Appl. 1999. V. 21. No. 1. P. 106–128.

22. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Multimodal optimal solutions and singularities of stability boundary. Proceedings of the 3nd World Congress of Structural and Multidiscipli nary Optimization (Bualo, USA). 1999. V. 3. P. 156–158.

23. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. Singularities of Stability Boundaries in Optimization Problems. Proceedings of the II International Conference “Strength, Durability and Sta bility of Materials and Structures” (Panevezys, Lithuania).

1999. P. 282–287.

24. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. On stability boundaries of conservative systems. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 2001. V. 52. No. 4. P. 669–679.

25. Mailybaev A.A. Transformation to versal deformations of matrices. Linear Algebra Appl. 2001. V. 337. No. 1–3. P.

87–108.

26. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. Stability boundaries of linear periodic systems. Proceedings of the 1st MIT Confe rence on Computational Fluid and Solid Mechanics (Cam bridge, USA). 2001. V. 2. P. 1613–1616. Amsterdam: Else vier, 2001.

27. Mailybaev A.A. On stability domains of nonconservative systems under small parametric excitation. Acta Mechanica.

2002. V. 154. No. 1–4. P. 11–33.

28. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Interaction of eigen values in multi-parameter problems. Journal of Sound and Vibration. 2003. V. 267. P. 1047–1064.

29. Mailybaev A.A., Yabuno H. and Kaneko H. Optimal shapes of parametrically excited beams. Structural and Multidis ciplinary Optimization. 2004. V. 27. No. 6. P. 435–445.

30. Mailybaev A.A. Computation of multiple eigenvalues and generalized eigenvectors for matrices dependent on para meters. Numerical Linear Algebra with Applications. 2006.

V. 13. P. 419–436.

31. Mailybaev A.A., Seyranian A.P. Bifurcations of Equilibria in Potential Systems at Bimodal Critical Points. Journal of Applied Mechanics. 2008. V. 75. 021016.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.