авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Шапеев александр васильевич вязкие несжимаемые течения жидкости в секторах и конусах

На правах рукописи

УДК 532.5.032;

519.63

Шапеев Александр Васильевич

ВЯЗКИЕ НЕСЖИМАЕМЫЕ ТЕЧЕНИЯ

ЖИДКОСТИ В СЕКТОРАХ И КОНУСАХ

Специальность: 01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2009

Работа выполнена

в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель: член-корреспондент РАН профессор Владислав Васильевич Пухначев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Виктор Михайлович Ковеня кандидат физико-математических наук, доцент Сергей Валерьевич Головин

Ведущая организация: Институт проблем механики им.

А. Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 9 июня 2009 года в 15 часов на заседании диссерта ционного совета Д 003.054.01 при Институте гидродинамики им. М. А.

Лаврентьева СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск-90, проспект ак. М. А. Лаврентьева, 15.

факс: (383) 333–16–

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гид родинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан 24 апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Ждан С. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Задачи о течениях жидкости в сек торах и конусах начали изучаться почти сто лет назад [1, 2]. После этих работ на тему течений жидкости в секторах и конусах было опубликова но много работ [3–12]. Однако в большинстве существующих работ они рассматривались в стационарной постановке, которая не позволяет изу чать развитие и установление течений. Задача о стационарных течениях в секторах изучена достаточно подробно, однако стационарные течения в конусе изучены недостаточно хорошо. Стационарная постановка позволя ет лишь находить и изучать стационарные течения (такие как, например, течения Джеффри-Гамеля [1, 2], или течения Моффатта [6]), но не поз воляет исследовать эволюцию течений. Нестационарная постановка же почти никем не рассматривалась.

Нестационарная постановка позволяет изучать эволюцию и установ ление стационарных течений, которые рассматривались в литературе.

Изучение нестационарных течений является сложной задачей, поскольку ее решения могут быть получены только численно и это может потребо вать больших вычислительных ресурсов. Поэтому для изучения нестацио нарных течений в секторах и конусах необходим эффективный численный метод.

Таким образом, актуальным является изучение нестационарных те чений в секторах и конусах (а в конусах также и стационарных течений).

В частности, актуальны изучение вопросов развития и установления ста ционарных течений, изученных ранее, и разработка эффективных чис ленных методов для расчета таких течений.

Целью работы является:

1. Разработать и реализовать эффективный численный метод для ре шения задач о течениях жидкости в секторах и конусах.

2. Изучить развитие и установление течений в бесконечных секторах на основе нестационарной автомодельной постановки.

3. Изучить осесимметричные течения в конусах с ненулевым расходом жидкости как в стационарной постановке, так и в нестационарной автомодельной постановке.

4. Исследовать эффективность численного метода реализованного в данной работе в применении к задачам о течениях в секторах и конусах.

В данной работе нестационарные течения исследуются в автомодель ной постановке, что соответствует развитию течений из начального ради ального режима в двумерном случае и из начального режима специаль ного вида в трехмерном случае.

Методы исследования. Стационарные течения в конусах изуча ются с помощью методов асимптотических разложений. Нестационарные автомодельные течения изучаются численными методами.

Достоверность результатов обусловлена точностью численного ме тода, установленной в данной работе, а также сравнениями результатов данной работы с результатами предыдущих исследований.

Научная новизна. В данной работе впервые изучается задача о течениях жидкости в секторах и конусах в нестационарной постановке.

Рассматриваются два варианта течений: с нулевым и ненулевым расхо дом жидкости через угловую точку сектора или вершину конуса. В такой постановке впервые исследуются вопросы развития течений и установле ния течений, исследовавшихся ранее в стационарной постановке, таких как течения Джеффри-Гамеля, течения Моффатта и их аналогов в ко нусе. Обнаружен ряд новых гидродинамических явлений в нестационар ных течениях в секторах и конусах, например образование вихрей при установлении течений Джеффри-Гамеля, в которых присутствуют зоны противотока. Также впервые приводятся примеры асимптотических раз ложений решений уравнений Навье-Стокса в конусе вдали от угла.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты данной работы имеют прежде всего теоретическую ценность. Подробный числен ный и асимптотический анализ течений, проведенный в данной работе, способствует лучшему пониманию нестационарных течений в секторах и конусах, а также стационарных течений в конусах с большми углами и раствора. Результаты работы имеют также практическое значение, так как изученные в ней течения жидкости важны в таких приложениях, как машиностроение и аэрокосмонавтика. Численный метод, предложенный в данной работе, может быть обобщен для решения аналогичных задач, например, для изучения течений в конусах более общего вида (то есть, не обязательно осесимметричных).

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады вались на семинаре под руководством чл.-корр. РАН П. И. Плотникова в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В. В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством проф. С. В. Нестерова в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, на семинаре под руководством академика РАН Ю. И. Шокина и профессора В. М. Ковени в Институте вычислительных технологий СО РАН, а также на следующих научных конференциях:

Международная конференция по вычислительной математике МКВМ 2004 (Новосибирск, 2004) The 1st Mathematics and Physical Science Graduate Congress (Bangkok, Thailand, 2005), The 3rd East Asia SIAM Conference (Xiamen, China, 2007), The 3rd Mathematics and Physical Science Graduate Congress (Kuala Lumpur, Malaysia, 2007), Третья всероссийская конференция с участием зарубежных ученых “Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложе ния” (Бийск, 2008), и на следующих научных мероприятиях:

International Workshop “Modeling and Simulation in Applied Mathematics” (Nakhon Ratchasima, Thailand, 2006), Summer Mathematical Research Center on Scientic Computation and Its Applications, (Marseille, France, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано три статьи в ре ферируемых журналах, один препринт и тезисы трех конференций.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 168 страниц состоит из введения, двух глав, посвященных течениям в секторах и ко нусах соответственно, заключения, 78 иллюстраций, 3 таблиц и списка литературы из 61 наименования. Главы 1 и 2 содержат следующие раз делы: постановка задачи, численный метод и соответствующие разделы с результатами и их обсуждением.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор известных работ по вязким несжимае мым течениям в секторах и конусах, анализируются существующие ре зультаты, дается краткий обзор численных методов, которые могут быть полезны для решения данных задач, приводятся цель и значимость дис сертации, а также дается краткое описание работы.

В первой главе рассматриваются течения вязкой несжимаемой жид кости в секторах. В разделе 1.1 из уравнений Навье-Стокса динамики вяз кой несжимаемой жидкости выводятся уравнения, описывающие автомо дельные течения. Уравнения Навье-Стокса приводятся к единственному уравнению четвертого порядка для функции тока, для которого ставит ся краевая задача. Затем устанавливаются свойства полученной краевой задачи на основе анализа порядков членов уравнения. Показывается, что автомодельные течения описывают нестационарные течения жидкости, развивающиеся из радиального начального режима, и установление в них стационарных или квазистационарных режимов.

В разделе 1.2 предлагается численный метод, основанный на спек тральной дискретизации в угловом направлении (то есть, по полярному или сферическому полярному углу), конечно-разностной дискретизации в радиальном направлении и применении прямых вычислительных методов линейной алгебры к получающейся после дискретизации системе линей ных уравнений. Спектральная дискретизация в представленной работе проводится, следуя в основном [13]. Эффективность такого численного метода основывается на том, что конечно-разностная дискретизация да ет разреженную матрицу блочного вида системы дискретных уравнений, спектральная дискретизация, в силу своей экономичности, позволяет об ходиться небольшим количеством базисных функций, уменьшая размер блоков матрицы, а прямые методы линейной алгебры оказываются очень эффективными для таких матриц.

Предложенный численный метод используется для изучения тече ния нестационарных автомодельных течений. Отдельно друг от друга рассматриваются два варианта течений: с нулевым и ненулевым расходом жидкости через угловую точку сектора (положительный расход жидкости соответствует источнику, а отрицательный стоку). В стационарном слу чае течения с ненулевым расходом жидкости связаны с так называемыми течениями Джеффри-Гамеля, а течения с нулевым расходом связаны с течениями с вихрями Моффатта (также называемыми просто течениями Моффатта).

В разделе 1.3 рассчитываются автомодельные течения с ненулевым (а) линии тока (б) линии тока Рис. 1: Течение с источником при Re = 9.5 и = 30, в различные мо менты безразмерного времени t. При этих значениях параметров в ста ционарном режиме течения имеются противотоки вблизи стенок. Видны два вихря, образовавшиеся в процессе установления такого течения. На втором графике виден установившийся стационарный радиальный режим течения вблизи вершины.

расходом жидкости в широком диапазоне значений числа Рейнольдса Re и угла раствора сектора 2. В численном расчете обнаружено, что все изу ченные течения при времени t стремятся к соответствующим режи мам Джеффри-Гамеля, когда последние устойчивы. Тем самым подтвер ждается вывод о том, что автомодельная формулировка позволяет изу чать вопросы развития и установления стационарных режимов течений в секторе. Также обнаружено, что когда стационарные течения Джеффри Гамеля с источником неустойчивы, то тогда же и неустойчивы автомо дельные течения. В расчетах наблюдается гидродинамический эффект возникновения в процессе установления течения двух симметричных вих рей, которые двигаются в сторону, противоположную углу области (см.

рис. 1).

Течения со стоком, которые более устойчивы, чем течения с источ ником, при очень больших числах Рейнольдса имеют погранслои вблизи стенок конуса. Обнаружено, что численный метод адекватно описывает течения с такими погранслоями (хотя в решении наблюдается явление Гиббса), и в частности, не расходится при увеличении Re. Более подроб ные результаты о точности расчетов течений с погранслоями приведены во второй главе (для задачи о течениях в конусах).

В разделе 1.4 рассматриваются автомодельные течения в секторах (а) линии тока (б) линии тока (в) линии тока (г) линии тока Рис. 2: Автомодельное течение с нулевым расходом жидкости при Re = и = с нулевым расходом жидкости. Результаты расчетов показывают, что во всех случаях эти течения стремятся к квазистационарным режимам те чений при t, аналогично поведению течений с ненулевым расходом.

При малых и умеренных углах раствора образуются квазистационарные вихри Моффатта с увеличивающимися размерами. Проведенное сравне ние отношения интенсивностей и размеров вихрей с теоретическими зна чениями указывает на то, что предложенный метод может рассчитывать вихри Моффатта с высокой точностью, несмотря на возможные боль шие отношения интенсивностей соседних вихрей (например, 9.61 · 106 при = 60 ).

Во второй главе рассматриваются осесимметричные вязкие несжи маемые течения в конусах. Вследствие того, что стационарные течения в конусах другими исследователями изучены не настолько основатель но, насколько были изучены течения в секторах, то сначала изучются как стационарные, так и нестационарные течения в конусах. Задача о течениях в конусах во многом сходна с задачей о течениях в секторах.

Отличия заключаются в особенностях на оси конуса и в вершине кону са. С особенностью на оси конуса можно справиться специальной заменой переменной. Особенность в вершине конуса для течений с ненулевым рас ходом жидкости является более сильной по сравнению с особенностью в угловой точке сектора. Это является причиной доминирования инерци онных сил вблизи вершины, что в свою очередь приводит к образованию погранслоев вблизи стенок (вне зависимости от того, насколько мал рас ход жидкости).

В разделах 2.1 и 2.2 дается математическая постановка задач об ав томодельных и о стационарных течениях в конусах. Вывод уравнений во многом повторяет соответствующий раздел диссертации о течениях в секторах. Разница заключается в том, что в уравнениях течений в кону сах присутствует особенность на оси вращения конуса, что обуславливает введение вспомогательной переменной s = cos, где 0 сфери ческий полярный угол.

В разделе 2.3, по аналогии с задачей о течениях в секторах, на ос нове простого анализа порядков членов в уравнениях показывается, что автомодельные течения описывают развитие течений из начальных ре жимов специального вида с полным расходом жидкости Q(t) = c t (для заданной константы c) и установление в течениях квазистационарных ре жимов. Также показывается, что автомодельные течения могут иметь два или три режима в зависимости от значений числа Рейнольдса Re: началь ный режим, квазистационарный режим с преобладающими нелинейными силами инерции и, в случае малых Re, квазистационарный режим с пре обладающими линейными силами вязкости. Число Рейнольдса Re здесь соответствует скорости нарастания расхода жидкости Q.

Также в разделе 2.3 проводится асимптотический анализ уравнений Стокса и Навье-Стокса вдали от вершины конуса, результаты анализа сравниваются с результатами существующих работ. Следует отметить, что результаты существующих работ не во всем согласуются между собой.

Анализ уравнений Стокса во многом следует работе Керчмана [10], на основе которого приводится (впервые) анализ уравнений Навье-Стокса.

Все результаты асимптотического анализа подтверждаются численными экспериментами. Обсуждаются причины отличия результатов данной ра боты от результатов работ [3, 7, 8].

В разделе 2.4 описывается численный метод для расчета течений в конусах, который во многом аналогичен методу для течений в секторах.

Отличие метода заключается в базисе и точках коллокации для спек тральной дискретизации, которые адаптируются для краевых условий задачи о течениях в конусах из критерия оптимальности, предложенного в работе [13].

В разделе 2.5 расчитываются стационарные течения в конусах с ис точником или стоком в его вершине. Численные эксперименты указывают на то, что задача о течениях с источником плохо поставлена: в ней воз никают неблагоприятные градиенты давления, которые дестабилизируют стационарное течение. Течения со стоком удается рассчитать для любых значений угла раствора (заметим, что число Рейнольдса для стационар ных течений в конусе не определяется). Результаты расчетов полностью согласуются с результатами асимптотического анализа решений вдали от угла, проведенного в [10] и в данной работе, а также с результатами асимп тотического анализа решений вблизи угла, полученными в [9].

Предложенный численный метод исследуется на основе задачи о ста ционарных течениях в конусе. В частности показывается, что погранс лой, всегда возникающий вблизи вершины конуса, адекватно описывается спектральной дискретизацией и имеет место сходимость численного ре шения с первым порядком вблизи погранслоя. На умеренном расстоянии от вершины сходимость численного решения экспоненциальная по коли честву базисных функций спектрального метода и квадратичная по ша гу сетки конечно-разностного метода. Это подтверждает эффективность предложенного метода.

В разделе 2.6 рассчитываются автомодельные течения в конусах с ненулевым расходом жидкости Q. В случае источника (Q 0) не удается рассчитать течение во всем конусе. Удается лишь рассчитать течения в конусах с отсеченной вершиной. На основе рассчитанных течений в кону (а) линии тока (б) линии тока Рис. 3: Автомодельное течение при Re = 0.1 и = сах с отсеченной вершиной делается предположение, что реальные тече ния с источником не автомодельны, возможно даже турбулентны вблизи вершины.

Автомодельные течения в конусах со стоком удается рассчитать при произвольных значениях Re и. В течениях четко видны начальный режим, квазистационарный режим с преобладающими нелинейными си лами инерции и, в случае небольших Re, квазистационарный режим с преобладающими линейными силами вязкости. Это находится в полном соответствии с выводами, сделанными на основе анализа порядка членов уравнений. Особенно интересны течения с /2 (то есть, в области ши ре полупространства). Там промежуточный квазистационарный режим с преобладающими силами вязкости имеет зоны противотока. По аналогии со случаем течений в секторе, в конусе возникают вихри в переходной зоне между начальным и конечным режимами течения (см. рис. 3).

В разделе 2.7 рассчитываются автомодельные течения с нулевым расходом жидкости. Результаты расчетов этих течений во многом анало гичны результатам расчетов соответствующих течений в секторах: вблизи вершины при малых и умеренных углах раствора возникают квазистаци онарные вихри типа вихрей Моффатта.

Сравнение параметров вихрей в последовательности вихрей Моф фата, наблюдающихся в численных расчетах, с их теоретическими зна чениями приведено в таблице 1. Следует отметить, что вихри в расчетах квазистационарны: они развиваются во времени, но в каждый момент вре мени асимптотически (то есть при t ) удовлетворяют стационарным Таблица 1: Отношение размеров и интенсивностей последовательных вих рей теоретич. отношение вычисленное отношение размеров интенсивностей размеров интенсивностей 30 3.32632 53849.9 3.33015 54284. 45 7.40679 266990 7.41364 7.59639 · 106 7.63238 · 60 26.3870 26. 3.51892 · 1012 3.57354 · 75 1327.87 1333. уравнениям движения. Расчеты проведены с шагом сетки по оси = ln r равным h = 0.01 и всего с N = 3 базисными полиномами в спектральной дискретизации. Хорошее совпадение рассчитанных параметров вихрей с их теоретическими значениями говорит о высокой точности метода. А тот факт, что для достижения такой точности расчета достаточно всего лишь трех базисных функций, говорит о высокой экономичности метода. Заме тим также, что предложенный в работе метод достаточно точно передает характеристики вихрей, даже при = 75, когда отношение размеров последовательных вихрей порядка 1300, а отношение их интенсивностей порядка 3.5 · 1012.

В заключении работы сформулированы следующие основные ре зультаты диссертации.

1. Предложен эффективный численный метод для расчета автомодель ных и стационарных вязких несжимаемых течений в секторах и ко нусах.

2. Впервые проведен асимптотический анализ решений вдали от вер шины конуса стационарных уравнений Навье-Стокса.

3. Проведены численные расчеты стационарных течений в конусах, полностью согласующиеся с результатами асимптотического анали за.

4. Рассчитаны автомодельные течения в секторах и конусах со стоком, источником и нулевым расходом жидкости.

5. В результате проведенных расчетов показано, каким образом уста навливаются соответствующие стационарные режимы течений в сек торах и конусах.

6. Обнаружено, что автомодельные течения в секторах неустойчивы при тех же значениях параметров (, Re), при которых неустойчивы и стационарные течения Джеффри-Гамеля.

7. Обнаружены новые эффекты, в частности, образование вихрей при установлении течений в секторах и конусах с зонами противотока.

8. Точность предложенного в работе численного метода тщательно изу чена на основе численных экспериментов.

9. Установлено, что предложенный в работе метод позволяет адекват но расчитывать течения с погранслоем вблизи вершины конуса и имеет высокую точность при умеренных и большх расстояниях от и его вершины.

Список литературы [1] Jeery G. B. The two-dimensional steady motion of a viscous uid // Phil. Mag. 1915. Vol. 29. Pp. 455–465.

[2] Hamel G. Spiralformige bewegungen zaher ussigkeiten // Jahresbericht Deutch. Math. Verein. 1917. Vol. 25. Pp. 34–60.

[12] Akulenko L. D., Georgievskii D. V., Kumakshev S. A., Nesterov S. V.

New solutions and hydrodynamical eects in the Jeery-Hamel problem // Russ. J. Math. Phys. 2005. Vol. 12, no. 3. Pp. 269–287.

[11] Rivkind L., Solonnikov V. Jeery-Hamel asymptotics for steady state Navier-Stokes ow in domains with sector-like outlets to innity // J.

Math. Fluid Mech. 2000. Vol. 2, no. 4. Pp. 324–352.

[10] Керчман В. И. Бифуркация многомодовых течений вязкой жидкости в плоском диффузоре // Изв. АН СССР МЖГ. 1972. № 2.

С. 41–47.

[3] Bond W. N. Viscous ow through wide angle cones // Phil. Mag.

1925. Vol. 50. Pp. 1058–1066.

[4] Rosenhead L. The steady two-dimensional radial ow of viscous uid between two inclined plane walls // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1940. Vol.

175, no. 963. Pp. 436–467. http://www.jstor.org/stable/97501.

[5] Fraenkel L. E. Laminar ow in symmetrical channels with slightly curved walls. i. on the Jeery-Hamel solutions for ow between plane walls // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1962. Vol. 267, no. 1328. Pp. 119–138.

[6] Moatt H. K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Mech. 1964. Vol. 18. Pp. 1–18.

[7] Ackerberg R. The viscous incompressible ow inside a cone // J. Fluid Mech. 1965. Vol. 21, no. 1. Pp. 47–81.

[8] Goldstein S. On backward boundary layers and ow in converging passages // J. Fluid Mech. 1965. Vol. 21, no. 1. Pp. 33–45.

[9] Brown S. N., Stewartson K. On similarity solutions of the boundary layer equations with algebraic decay // J. Fluid Mech. 1965. Vol. 23, no. 4. Pp. 673–687.

[13] Malek A., Phillips T. N. Pseudospectral collocation methods for fourth order dierential equations // IMA J. Numer. Anal. 1995. Vol. 15, no. 4. Pp. 523–553.

Публикации автора по теме диссертации 1. Шапеев А. В. Нестационарное автомодельное течение вязкой несжи маемой жидкости в плоском диффузоре // Изв. РАН МЖГ. 2004.

№ 1. С. 41–46.

2. Шапеев А. В. Исследование смешанной спектрально-разностной ап проксимации на примере задачи о вязком течении в диффузоре // Сибирский журнал вычислительной математики. 2005. Т. 8, № 2. С. 149–162.

3. Shapeev A. V. Application of combined spectral and nite dierence method to unsteady viscous uid ow in conical domains // Abstracts of the 3rd East Asia SIAM Conference / Xiamen, China. 2007.

November.

4. Shapeev A. V. Application of combined spectral and nite dierence method to unsteady viscous uid ow in conical domains // The 3rd Mathematic and Physical Science Graduate Conference / Kuala Lumpur, Malaysia. 2007. December. Pp. P1MS–2.

5. Шапеев А. В. Стационарные осесимметричные течения вязкой жид кости в конусе // Тезисы докладов третей всероссийской конферен ции с участием зарубежных ученых “Задачи со свободными грани цами: теория, эксперимент и приложения”. г. Бийск: 2008. июнь июль.

6. Shapeev A. V., Lin P. An asymptotic tting nite element method with exponential mesh renement for accurate computation of corner eddies in viscous ows // SIAM J. Sci. Comput. 2009. Vol. 31, no. 3.

Pp. 1874–1900.

7. Шапеев А. В. Вязкие несжимаемые осесимметричные течения в ко нусах. Новосибирск, 2009. Препринт / Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН;

№2-09.

Подписано в печать..2009 г.

Формат 60 Уч.-изд. л. Заказ № Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, Подписано в печать 15.04.2009 г.

Формат 60 Уч.-изд. л. Заказ № Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, Подписано в печать 16.04.2009 г.

Формат 60 Уч.-изд. л. Заказ № Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, Подписано в печать..2009. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная № 1.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ №.

Лицензия ПЛД № 57-19 от 16 декабря 1996 г.

Отпечатано на полиграфическом участке Ин-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева.

630090 Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.