авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Напряженно-деформированное состояние объектов в верхней мантии

На правах рукописи

ИВАНИСОВА ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

ОБЪЕКТОВ В ВЕРХНЕЙ МАНТИИ

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Краснодар

2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Ефремов Ион Иванович кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационных технологий КубГУ Лукащик Елена Павловна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математического моделирования КубГУ Павлова Алла Владимировна доктор физико-математических наук, профессор кафедры производства строительных конструкций и строительной механики КубГТУ Дунаев Владислав Игоревич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Южный научный центр РАН

Защита состоится 30 ноября 2012 г. в 14 часов на заседании диссертаци онного совета Д212.101.07 в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета по адресу: г. Краснодар, 350040, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан 29 октября 2012 г.

И.о. ученого секретаря диссертационного совета М.В. Зарецкая

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Решение проблем обеспечения сейсмической безопасности регионов тре бует исследования причин развития сейсмического процесса. Глубинные зем летрясения могут быть вызваны сложными воздействиями на части литосфер ных плит, получивших разлом в зоне астеносферы. Проблема оценки взаимо действия литосферы и верхней мантии относится к числу малоисследованных.

Открытым является вопрос о землетрясениях, эпицентры которых расположены на глубинах астеносферы, т.е. в пределах 40–350 км. В настоящей диссертации изучается возможность их возникновения в связи с разломом отвалившихся от нижних границ литосферных плит плоских фрагментов. Разрушение этих пло ских фрагментов уже при дрейфе в астеносфере может быть причиной глубин ных землетрясений.

В первом приближении литосферные плиты можно описать как твёрдые тела, перемещающиеся по поверхности мантии, от которых могут отслаиваться плоские фрагменты. Существование таких плоских фрагментов может обнару живаться магнитотеллурическим методом, сканирующим электрическое сопро тивление среды до глубины 150 км. В масштабах Земли эти фрагменты можно рассматривать как тела с относительно малой толщиной. Объектами диссерта ционных исследований являются линейно-деформируемые тела, подверженные напряжениям при их движении в астеносфере. Напряженно-деформированное состояние таких тел с учетом внешних воздействий будет определять возмож ность их разрушения и инициирования сейсмического события.

В отличие от литосферы верхняя часть мантии – астеносфера – не облада ет пределом прочности и её вещество способно к течению даже под действием очень малых избыточных давлений. Астеносфере принадлежит ведущая роль в движении литосферы. Её течение увлекает за собой литосферные плиты и вы зывает их перемещение. Динамика мантии определяет движение плит как в вертикальном, так и горизонтальном направлении. Жидкоподобное поведение верхней мантии объясняет выбор гидродинамической теории тепловой конвек ции в жидкости для исследований конвективных движений в мантии.

Таким образом, в геологическом масштабе времени астеносфера может рассматриваться как жидкая среда. Для описания процессов в земной коре и мантии используются различные модели механики деформируемого твердого тела и механики сплошных сред. Однако к настоящему времени поведение на ходящихся в верхней мантии частей литосферных плит при сложных нестацио нарных воздействиях еще мало изучено. Как правило, при моделировании дви жение в астеносфере фрагментов литосферных плит заменяется нестационар ным движением тонких упруго-деформируемых пластин в жидкой ограничен ной среде. В целом, исследуемая задача относится к классу смешанных задач, возникающих в механике сплошных сред.

Сложность задачи обтекания погруженных тел обусловливается неиз вестностью формы границы раздела сред и нелинейностью выполняемых на этой границе условий. К проблемам с границами раздела сред можно добавить учёт формы самого тела, на котором должно выполняться условие плавности обтекания. Для упрощения математической модели течения прибегают к раз личным гипотезам, исходя из физических соображений. Самой известной явля ется гипотеза о малости амплитуды волн по отношению к их длине, что, на пример, имеет место, когда возмущения на границе раздела сред достаточно малы. Первое систематическое изложение теории волн малой амплитуды при надлежит Г. Лэмбу. Воздействие тела (телесного контура) на течение при его моделировании заменяют, как правило, одной или несколькими гидродинами ческими особенностями, расположенными на срединной линии контура.

Фундаментальные методы изучения поведения погруженного тонкого те ла были разработаны такими выдающимися учёными, как М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев, Н.Е. Кочин и Л.И. Седов. Исследованию движений плоского контура в несжимаемой жидкости посвящены работы В.А. Целищева, И.И. Ефремова, Г.Г. Тумашева, С.И. Филиппова и др.

Несмотря на продолжительную историю исследований до сих пор недос таточно полных и надежных количественных данных о влиянии весомости жидкости, наличия границ жидкой среды на величину сил воздействия на по груженные упругие тела даже для плоских задач.

Предлагаемая в диссертации методика основана на методе интегральных уравнений и позволяет решать достаточно широкий класс гидродинамических задач, даёт возможность получения численных значений гидродинамических и упругих характеристик и позволяет определять параметры нормального устой чивого функционирования различных систем.

Значительный вклад в развитие методов исследования и решения инте гральных уравнений внесли В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, Р.В. Гольдштейн, И.Г. Горячева, В.И.Ерофеева, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников, С.А. Лурье, А.В. Манжиров, Н.Ф. Морозов, А.Д. Полянин, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, М.В. Сильников, А.В. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Л.А. Фильштинский.

Вопросы концентрации напряжений в деформируемых тонкостенных те лах были глубоко изучены в работах В.А. Бабешко, В.Г. Баженова, А.К.Беляева, И.И. Воровича, И.Г. Горячевой, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.А. Еремеева, Л.М. Зубова, Д.А. Индейцева, Л.А. Игумнова, Д.М. Климова, Л.П. Лебедева, Е.В. Ломакина, Н.Ф. Морозова, А.В. Наседкина, В. Новатского, И.Ф. Образцова, Б.Е. Победри, М.Г. Селезнева, А.Ф. Резчикова, Ю.А. Устинова, В.И. Феодосьева, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина, Ю.Г. Яновского.

Цель и задачи исследования.

Цель работы – исследование процессов, происходящих в верхнем слое мантии, в астеносфере Земли, способных вызвать глубинные землетрясения.

Достижение данной цели предполагает: построение математических моделей движения плоских фрагментов, отслоившихся от литосферных плит при неста ционарных воздействиях в области астеносферы, разработку методики числен ного эксперимента и на её основе проведение исследования влияния парамет ров жидкой среды и характера внешних воздействий на динамические характе ристики тонких плоских тел.

Выполнение следующих задач в рамках диссертационной работы способ ствовало реализации указанной цели:

1. Моделирование нестационарных движений тонкой пластины, находя щейся в весомой жидкости вблизи границы раздела сред.

2. Сведение краевой задачи к сингулярному интегральному уравнению.

3. Разработка метода численного решения интегрального уравнения.

4. Анализ влияния границ жидкой среды, весомости жидкости и жестко сти пластины на гидродинамические силы и упругие деформации.

Методы исследования.

В диссертационной работе используются классические методы теории функций комплексного переменного и теории обобщенных функций с приме нением преобразования Фурье. Предложенные численные схемы основываются на численном методе дискретных особенностей. Для проведения численного эксперимента разработаны алгоритмы, реализация которых проводилась в сре де математического пакета MathCAD.

Научная новизна.

Разработана новая методика исследования нестационарных воздействий на поведение тонких плоских фрагментов литосферных плит в астеносфере. В ходе математического моделирования получена модель поставленной задачи в виде сингулярного интегро-дифференциального уравнения. Разработана схема численного решения. Создан программный комплекс определения гидродина мических нагрузок и упругих деформаций. Проведено численное исследование гидродинамических и упругих характеристик тонкой пластины, формы кавер ны, а также формы упругой пластины. Для различных режимов движения опре делены значения параметров, при которых гибкая пластина динамически неус тойчива.

Достоверность результатов.

Достоверность полученных формул обеспечивается применением строгих математических методов. Результаты проведенных численных экспериментов согласуются с некоторыми известными результатами, полученными другими методами. Достоверность численных результатов подтверждается проведением в предельных случаях асимптотической оценки динамических реакций, а также известными точными решениями для ряда частных задач.

Научная и практическая значимость.

Полученные результаты могут быть использованы в системах монито ринга сейсмичности территории для решения проблем прогноза и снижения риска возникновения глубинных землетрясений.

Разработанные математические методы могут быть полезны в различных отраслях науки и техники, где встает проблема исследования динамического поведения гибких устройств при сложных воздействиях.

Представленные в диссертации материалы можно использовать в учеб ном процессе для демонстрации практического применения методов решения уравнений математической физики.

Исследования проводились в КубГУ при финансовой поддержке Ми нобрнауки РФ (проект 1. 1926. 2011, выполняемый в рамках государственного задания на оказание услуг (выполнение работ)).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели нестационарных движений тонких плоских фрагментов литосферных плит в верхней мантии. Разработанные методы реше ния задач для весомой ограниченной жидкой среды при следующих режимах движения:

– обтекание поступательным потоком жёсткой и упругой пластины;

– колебание жёсткой и упругой пластины;

– воздействие на жёсткую пластину волнового потока.

2. Численные схемы, учитывающие особенности решения полученных сингулярных интегральных уравнений.

3. Комплекс программ, реализующих численные схемы решений.

4. Результаты численных исследований влияния глубины погружения и весомости жидкости на гидродинамические и упругие характеристики, на фор му каверны и форму гибкой пластины, на коэффициенты прохождения и отра жения. Расчётные данные о влиянии на гидродинамические характеристики массы пластины при колебании в весомой жидкости;

о влиянии упругих свойств пластины на ее устойчивость при колебаниях и поступательном движе нии.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на на учном семинаре кафедры вычислительной математики и информатики Кубан ского государственного университета, на XII Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харь ков, 2005), на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы ма тематического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 2005), на VIII и X междуна родных научно-практических конференциях «Инновационные технологии в об разовательном процессе» (Краснодар, 2006, 2008), на VI Всероссийской конфе ренции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007), на IV, V Всероссийских научных конферен циях молодых учёных и студентов «Современное состояние и приоритеты раз вития фундаментальных наук в регионах» (Анапа, 2007, 2008), на Восьмой мо лодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (Казань, 2009), на Международной научно-технической конференции «Современные информационные технологии» CIT-conference (Пенза, 2010), на XIV Междуна родной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды»

(Ростов н/Д;

Азов, 2010).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 18 работ [1–18], в том числе 10 в со авторстве, из них 5 – в изданиях, рекомендованных ВАК. В работах [1], [6–8], [12] научному руководителю профессору И.И. Ефремову принадлежат поста новка задачи и основные идеи. Автору диссертации принадлежат реализация идей И.И. Ефремова, вывод основных соотношений и формул, получение чис ленных результатов и их анализ. В работах [3], [4], [17], [18] научному руково дителю доценту Е.П. Лукащик принадлежат постановка задачи, выбор методов решения и указание основных параметров исследования. В [2], [17], [18] соав тору Ю.Н. Колесниковой принадлежит часть исследований, проведённых в слое весомой жидкости.

Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программный комплекс нахождения гидродинамических характеристик погруженного профиля» № 2011616071 от 3. 08. 2011.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка ли тературы из 107 наименований. Нумерация формул и рисунков ведётся по гла вам. Общий объём работы – 145 страниц, диссертация включает 55 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована практическая значимость и необходимость ис следований нестационарных процессов, происходящих в верхней мантии Зем ли, для диагностики и прогнозирования глубинных землетрясений. Отмечаются свойства физических тел и сред, характерных для рассматриваемых физических явлений, полезные при построении адекватных математических моделей. Изла гаются используемые в диссертационной работе подходы к разработке методов и численных схем решения поставленных задач. Сформулирована цель и задачи работы, приведены положения, выносимые на защиту. Делается обзор литера туры и современного состояния изучаемых проблем.

Общим во всей работе при математическом моделировании задач являет ся линеаризация уравнений и граничных условий. В линеаризованной поста новке задачи решаются методом интегральных уравнений с применением пре образования Фурье. В результате решение исходной задачи сводится к реше нию сингулярного интегрального уравнения, ядро которого вычисляется с по мощью теории функций комплексного переменного. Для численного решения интегрального уравнения применяется метод дискретных вихрей или дискрет ных особенностей.

Первая глава посвящена исследованию движения тонкой пластины длины 2l при погружении её в весомую жидкость на глубину H. Постановка краевой задачи производится относительно потенциала скорости j ( x, y ) возмущённого течения:

Dj = 0 при y H, кроме { y = 0, x [- l, + l ]}, j + n j = 0 при y = H, x2 y j df = u x l, при y dx y= j ® 0 при x ® - для всех y, j ( x, y ) C = const при x ® +, j ( x, y ) ® 0 при y ® - равномерно по x, g где n = 2, u – скорость набегающего потока на бесконечности перед пла u стиной;

g – сила тяжести;

f (x) – форма обтекаемого тела.

Для решения краевой задачи вводится в рассмотрение функция распреде p - p+ ления гидродинамического давления вдоль пластины g ( x) = -, p- и p+ ru – давление в жидкости под и над пластиной;

r – плотность жидкости.

В результате получено интегральное уравнение относительно g :

l g ( s)k ( x - s)ds = -u f ( x), (1) -l 1 1 x k ( x) = P + 2 - R( x), 2p x x + 4 H n + eb x (n cos 2b H + b sin 2b H ) db - 2 при x 0;

p 0 b +n R( x) = e- b x + n p b 2 + n 2 (n cos 2 b H + b sin 2 b H ) db - 2n e - 2n H cosn x при x 0.

Решение интегрального уравнения (1) используется при определении зна чений нормальной силы, момента и центра давления в безразмерном виде по формулам 1l 1l cm g (x )dx, cm = x g (x )dx, xd = c.

cy = u l -l u l 2 -l y Численное решение уравнения (1) выполнено методом дискретных вих ( ) ( ) рей с точками xi = -l + i - 1 2l, s j = -l + j - 3 2l, i, j = 1, N, N – количество 4N 4N точек.

Отдельно в первой главе проводится учет толщины пластины и исследу ется движение погруженной тонкой пластины с образованием кавитационной области. При решении таких задач потенциал возмущённого течения представ ляется как сумма потенциалов вихревого и простого слоя. Для этих потенциа лов сформулированы и решены краевые задачи.

Для заданных форм пластины найденные решения для потенциалов ис пользовались при определении интенсивности вихревого слоя g (x ). Коэффици ент нормальной силы вычисляется по формуле + [g ( s ) -n s q( s )]ds, cy = - где n = n l, q определяется производной от функции распределения толщины пластины.

На рис. 1, 2 приведены графики зависимостей коэффициента нормальной силы от числа Фруда Fr = 1 / 2n l в том случае, когда форма границы пласти ны описывается уравнениями f + ( x) = a (1 + x - x 2 ), f - (x) = a x, a – угол атаки.

Рис. 1. Зависимость коэффициента нормальной силы от малых чисел Фруда при разных глубинах погружения пластины Рис. 2. Зависимость коэффициента нормальной силы от больших чисел Фруда при разных глубинах погружения пластины При изучении задачи кавитационного обтекания рассматривается тонкая пластина длиной 1 с длиной каверны l 1. В окрестности передней кромки ин тенсивности вихрей g (x ) и источников q (x ) имеют один и тот же порядок осо бенности, а в окрестности хвостовой части каверны особенность есть только у интенсивности источников. Для того чтобы сравнять порядки особенности ин тенсивностей, выполнена замена переменных z = x, t = s. Дискретные зна чения g j и q j найдены с применением численного метода дискретных особен ностей, в котором рассматриваются N вихрей и источников на отрезке [0, 1]:

( ) ( ) ( ) ( ) z1i = i - 1 N, t 1 j = j - 3 N, z 2i = i - 3 N, t 2 j = j - 1 N, i, j = 1, N 1 1 1 4 4 4 и M источников, заменяющих каверну за пластиной (на отрезке [1, l ]):

( ) M-1, t 3 j = 1 + ( j - 1 ) M-1, z3i = 1 + i - 3 l l 4 z4i = 1 + (i - 1 ) M-1, t 4 j = 1 + ( j - 3 ) M-1, i, j = 1, M.

l l 4 Значения q j, j = 1, N + M используются для нахождения толщины кавер ны и её формы.

Коэффициенты нормальной силы и момента относительно передней кромки определяются по формулам 1 с y = 2 g (s )ds, сm = 2 sg (s )ds.

0 На рис. 3 приведены формы каверны при заданной форме пластины f 0 ( x ) = - x для l = 4, N = 40, M = 80.

а) б) Рис. 3. Форма каверны: а) для h = 0,1 ;

б) для h = 0, при разных значениях числа кавитации s Во второй главе исследуются гармонические с частотой w колебания пластины длиной 2l вблизи границы раздела сред. Рассматривается весомая жидкость бесконечной глубины. Краевая задача для комплексных амплитуд имеет вид Dj = 0, j w 2j - g = 0 при y = h, y j = u y ( x), y = 0, x [- l, + l ], y j ® 0 при y ® -, ± is x j = B± e при x ® ±, s 0, j C = const при x ® ±l, j x ~ ( x ± l ), a 1 при x ® m l, -a где u y (x) – заданная комплексная амплитуда вертикальной скорости точек пла стинки, h – глубина погружения пластины.

Относительно функции g (x ), которая связана с перепадом давления p + - p- = iwg (x ), получено интегральное вдоль пластины формулой r x уравнение l g ( s )k ( x - s)ds = -u y ( x), (2) -l 1 1 x in x - n sign x e e - 2n h + где k ( x ) = P - 2 2p x x + 4h signx - b x n cos 2 b h + b sin 2 b h w db, n = +n p e.

n2 +b2 g Функция g (x ) относится к классу функций, неограниченных на кромках пластины, с дополнительным условием безциркуляционного обтекания +l g (s )ds = 0, -l что обеспечивает ограниченность давления на кромках.

С помощью численного решения уравнения (2), в котором использованы 1 4l 3 4l, i = 1, N - 1, j = 1, N, най точки xi = -l + i -, s j = -l + j - 4 2N - 1 4 2N - дены безразмерные коэффициенты нормальной силы () () cn = -i (c1n + ic 2 n ), c1n = - sg 1 s j, c2 n = - sg 2 s j 2N 2N N j =1 N j = и присоединённого момента инерции ( ) () s 2g 2 (s j ).

N N 1 s 2g 1 s j, I 2 np = I nр = -i I1nр + iI 2 np, I1np = N N j =1 j = В § 2.5 и 2.6 гл. 2 при рассмотрении движения пластины производится учет её массы M. Вертикальные перемещения центра масс f с (x) пластины описываются следующим дифференциальным уравнением:

d 2 fс =P-Q, M (3) dt где Q = Q0 e -i w t — заданное возмущение нагрузки на пластинку, P — гидро динамическое давление жидкости на пластину.

Результаты расчётов для случая поступательных колебаний массивной M ~ h ~ w 2l, h=,n = пластины при разных значениях m = приведены на рис. r l2 l g и 5.

С помощью разложения в ряд Тейлора проведён асимптотический анализ динамических свойств колеблющейся тонкой и массивной пластины.

В § 2.7 и 2.8 рассмотрены колебания тонкой пластины при движении в весомой жидкости бесконечной глубины. В качестве основной неизвестной ве личины поставленной краевой задачи рассматривается полная вихревая интен сивность, равная сумме интенсивностей присоединенных и свободных вихрей.

На рис. 6, 7 приведены результаты численного эксперимента при разных глу бинах погружения пластинки и значениях параметра весомости.

Рис. 4. Зависимость коэффициента присоединённых масс сn1 и коэффициента ~ демпфирования сn 2 от приведённой частоты при h = 0, Рис. 5. Зависимость коэффициента присоединённых масс сn1 и коэффициента ~ демпфирования сn 2 от приведённой частоты при h = 0, wl gl при n = Рис. 6. Зависимость амплитуды нормальной силы от числа Струхаля p = = u u Рис. 7. Зависимость амплитуды нормальной силы от малых чисел Струхаля при h = 0, В § 2.9 и 2.10 изучено воздействие на пластину, погруженную в весомую жидкость бесконечной глубины, плоских регулярных волн.

В результате дифракции возникает отражённая плоская волна. Общий по тенциал j волнового движения состоит из потенциала j * падающего поля и ~ потенциала j дифрагированного поля. Волновые движения жидкости рассмат риваются как установившиеся гармонические колебания частоты w.

С использованием комплексного представления потенциалов для ампли ~ туды дифракционного потенциала j ставится следующая краевая задача:

Dj = 0 при y h, кроме { y = 0, x [- l, + l ]}, ~ ~ - n j + j ~ = 0, y y =h ~ in x j = B ± e, x ® ±, ~ j j * = - An e in x, x l, = y y =0 y y = w где n = ;

l – полудлина пластины.

g Поставленная краевая задача сводится к интегральному уравнению вида (2) с правой частью, равной An ein x.

Безразмерные коэффициенты прохождения T и отражения R определя ются по формулам 1 - 2n h - in x - 2n h in x g (x ) e dx, g (x ) e dx, T = 1+ e R=e -1 - h ;

n =n l.

где h = l На рис. 8 представлены коэффициенты отражения и прохождения в зави симости от приведённой частоты n. Показано, что для коэффициентов отраже 2 ния и прохождения справедлив закон сохранения энергии: R + T = 1.

Рис. 8. Зависимость модуля коэффициента отражения R и прохождения T от приведённой частоты n при разных h Третья глава посвящена постановке и решению связанной задачи гидро упругости тонкой упруго-деформируемой пластины в потоке тяжелой жидко сти бесконечной глубины при различных условиях закрепления кромок пласти ны.

В качестве уравнения связи формы деформируемой пластины f (x) с рас пределением давления вдоль её границ рассмотрено уравнение цилиндрическо го изгиба пластины d4 f d2 f D 4 -T = p- - p +, (4) dx dx где D – изгибная жесткость;

Т – усилие в срединной плоскости.

Для решения упругой части (4) задачи применён метод функций Грина.

Реакции гидродинамических сил на гибкую погруженную пластину, а также формы прогибов упругой пластины определены через решение интегрального уравнения 1 G x -x g (x ) P - R( x - x ) + l 1, 2 ( x, x, b ) dx = + 2p x - x ( x - x ) + 16 h x - = - f 0 ( x ), x 1, l ru l rul 2 f 0 ( x) – начальная форма пластины;

b =, m=, l= где, m T D Fr = u, 2g l 2b 2 (ch 2b - b sh 2b - 1) {(ch b (1 + x ) - 1) [ch b (1 + x ) + 1 - ch 2b - ch b (1 - x ) + b (1 - x )sh 2b ] - sh(b (1 + x )) [sh b (1 + x ) + b (1 + x ) - 2b ch b (1 - x ) + G1 ( x,x, b ) = + b (1 - x ) ch 2b - sh 2b + sh b (1 - x )]}, x x, x {(1 - ch b (1 + x )) 2b (ch 2b - b sh 2b - 1) [ch b (1 + x ) + 1 - ch 2b - ch b (1 - x ) + 2b sh b (1 - x )] + + (sh b (1 + x ) - b (1 + x )) [sh b (1 + x ) + sh b (1 - x ) - sh 2b ]}, x x, 1 sh b (1 - x ) ch b (1 + x ) - (1 - x ), x x, - b sh 2b G2 ( x, x, b ) = 1 ch b (1 - x ) sh b (1 + x ) - 1 (1 + x ), x x, x b 2 sh 2 b ( ) 1 + es x - cos 4hs + 2 Fr 2 s sin 4hs ds при x 0;

p 0 4 s Fr + 2 + ( ) e- s x R( x) = cos 4hs + 2 Fr 2 s sin 4hs ds p 0 4 s Fr + 2 2h - 1 e - Fr cos x при x 0.

Fr 2 Fr Индекс 1 в производной функции Грина соответствует случаю жесткого закрепления, а индекс 2 — случаю шарнирного закрепления кромок пластины.

В результате дискретизации интегральное уравнение для гибкой пласти ны трансформируется в систему линейных алгебраических уравнений, которая представляется в матричном виде следующим образом:

( A - kB )g = C, (5) где A и B – матрицы порядка N N ;

C – вектор правой части;

g – вектор ин тенсивностей дискретных вихрей g i ;

k принимает значение m в случае мягкой пластины и l в случае упругой.

Точки разрывов гидродинамических нагрузок (рис. 9) на упругую пла стину соответствуют действительным значениям собственных чисел матрицы B -1 A (5);

если собственные числа – комплексные, то потери устойчивости не происходит.

Рис. 9. Влияние изгибной жесткости на значение гидродинамической нагрузки при Fr = 2, h = 0, (–– шарнирное, – – жесткое закрепление) Рис. 10. Зависимость наименьшего критического значения m 1 от малых чисел Фруда Зависимость значения наименьшего критического числа m1, при котором происходит потеря статической устойчивости мягкой пластины, от весомости жидкости при различных глубинах погружения изображена на рис. 10.

В четвертой главе предметом исследований являются волновые движе ния, возникающие в весомой жидкости бесконечной глубины при колебаниях погруженной упругой тонкой пластины. Для определения прогибов пластины под действием гидродинамических сил используется линейное дифференци альное уравнение изгиба пластины при наличии заданных постоянных усилий в срединной плоскости:

d4 f - r 0 h0 w f + D 4 = ( x ) - rgf, (6) dx где D — изгибная жесткость пластины;

w — частота колебаний пластины;

h0 — толщина пластины;

r 0 — плотность материала пластины;

r — плот ность жидкости;

P (x ) — гидродинамическое давление.

Решение уравнения (6) проводится методом функций Грина. Для по строения функции Грина используются балочные функции Крылова S ( x ), V ( x ), U ( x ), T ( x ). Вид функции Грина зависит от условий закрепления упру гой пластины.

Выражение для упругих перемещений свободно опертой балки имеет вид in x g (x )[1 - S (m ( x - x ))]dx + A V (m (1 + x )) + B T (m (1 + x )), f (x ) = a a mn - 1 -1 где константы определяются по формулам -1 g ( s){V (2m )[1 - S (m (1 - s ))] + T (2m )U (m (1 - s ))}ds ;

Aa = V ( 2 m ) - T 2 ( 2 m ) - g ( s){V (2m )U (m (1 - s )) + T (2m )[1 - S (m (1 - s ))]}ds ;

B= a V ( 2 m ) - T 2 ( 2 m ) - rh ( r 0 h0w 2 - rg ) l = (m n - 1)b, m = 0 0 — относительная масса, m= rl D w 2l rgl — параметр упругости, n = b=.

D g Упругие перемещения консольной балки имеют следующий вид:

in x g (x )[1 - S (m ( x - x ))]dx + A bV (m (1 + x )) + B bU (m (1 + x )), f (x ) = mn - 1 -1 g (s ){V (2m )U (m (1 - s )) - S (2m )T (m (1 - s ))}ds ;

A=b T (2 m )V (2 m ) - S 2 (2 m ) - g (s ){T (2m )T (m (1 - s )) - S (2m )U (m (1 - s ))}ds.

B=b T (2 m )V (2 m ) - S 2 (2 m ) - По распределению упругих перемещений можно определить изгибающий момент и перерезывающую силу по следующим формулам:

d 2 f (x ) d 3 f (x ) M (x ) = - D ;

Q( x ) = - D.

dx 2 dx На рис. 11 показано поведение гидродинамической нормальной силы в зависимости от изменения упругих свойств (жесткости) пластины.

С помощью решения задачи о собственных колебаниях закрепленной пластины определены критические значения параметров m n, соответствующие динамической неустойчивости колеблющейся пластины.

На рис. 12 и 13 показано распределение динамических характеристик для пластины различной жесткости. Вид кривых обусловлен близостью параметра m к соответствующему собственному значению для данного способа закрепле ния.

Рис. 11. Влияние жесткости на величину коэффициента присоединенных масс l при n = 0,5, h = 0,5, m = (–– свободно опертая балка, - - - - консольная балка) б) a) Рис. 12. Зависимость распределения: а) изгибающего момента;

б) перерезывающей силы от упругих свойств свободно опертой балки (n = 0,5, h = 0,5, m=10 ) б) a) Рис. 13. Зависимость распределения: а) изгибающего момента;

б) перерезывающей силы от упругих свойств консольной балки (n = 0,5, h = 0,5, m = 10 ) В заключении приведены основные выводы по диссертации.

Разработаны математические модели для различных типов нестационар ных движений фрагментов литосферных плит в астеносфере. При моделирова нии фрагменты литосферных плит заменялись тонкими упруго деформируемыми пластинами, а область астеносферы — жидкой ограниченной средой. На основе этих моделей проведено математическое исследование и по лучены следующие результаты:

1. При поступательном движении тонкой слабо искривленной жесткой пластины в слое весомой жидкости установлено:

- немонотонное поведение нормальной силы при малых числах Фруда и малых погружениях пластины;

при погружениях менее 0,5 длины пластины на блюдаются локальные максимумы при числах Фруда, меньших глобального;

при этом с уменьшением погружения максимум коэффициента нормальной си лы смещается в сторону меньших чисел Фруда;

аналогичный эффект обнару жен и для слабо искривлённой дужки, и при учете толщины пластины;

- при малых числах Фруда наблюдается резкий перепад величины мо дуля коэффициента момента относительно середины пластинки;

коэффициент момента имеет наименьшее значение в районе максимума нормальной силы;

- колебание центра давления в передней части пластинки;

перемещение центра давления к середине пластинки наблюдается в окрестности числа Фруда 0,5, причем тем значительнее, чем меньше глубина погружения пластинки.

2. Изучено влияние границ и весомости жидкости на гидродинамические характеристики тонкой кавитирующей пластины и форму каверны. Установле но, что каверна имеет волнообразную верхнюю границу, но этот эффект пропа дает с увеличением глубины погружения пластины и с уменьшением параметра весомости жидкости n = 1 Fr 2.

3. При исследовании симметричных колебаний жёсткой пластины, по груженной в весомую жидкость, получено, что при малых погружениях и ма лых частотах резко меняет направление нормальная сила.

При рассмотрении несимметричных колебаний обращает на себя внима ние тот факт, что присоединенный момент инерции при небольших частотах имеет резонанс. Положение резонансных пиков зависит от глубины погруже ния.

Изучено влияние массы колеблющейся пластины на величину гидроди намических нагрузок на пластину. С уменьшением массы пластины уменьша ются коэффициенты демпфирования и присоединённых масс.

Показано, что при малых погружениях пластины и небольших частотах вынужденные колебания носят резонансный характер. При этом слой жидкости между пластиной и верхней границей жидкости играет роль восстанавливаю щей силы. На основе асимптотики получены формулы для оценки коэффициен та нормальной силы с учетом и без учета массы симметрично колеблющейся пластинки.

4. При рассмотрении колебаний тонкой жёсткой пластины в потоке весо n мой жидкости бесконечной глубины показано, что при числах Струхаля p (n – параметр весомости жидкости) возмущения представляют собой комбина цию 4 типов волн (одна волна распространяется вперед, а три – назад за пла n стину);

при p – комбинацию только 2 типов волн, которые распространя ются за пластину.

5. В рамках построенной модели воздействия плоских регулярных волн на пластину исследовано влияние приведенной частоты на коэффициенты про хождения и отражения. Анализ результатов показал, что:

- с уменьшением глубины погружения тонкой пластинки локальный максимум модуля коэффициента отражения, а также локальный минимум мо дуля коэффициента прохождения смещаются в сторону меньших частот;

- с увеличением глубины погружения тонкой пластинки модуль коэф фициента отражения уменьшается, а модуль коэффициента прохождения уве личивается.

6. Результаты численного эксперимента для случая обтекания поступа тельным потоком гибкой пластины подтвердили, что упругие деформации из меняют распределение нагрузки вдоль пластины. Установлено, что поведение упругой пластины в потоке жидкости существенно зависит от условий закреп ления. Так, при жесткой заделке по обоим краям пластина становится более ус тойчивой.

Произведённые численные исследования поведения гибкой пластины по зволили установить зависимость нормальной силы от изгибной жесткости и на тяжения, а также определить формы прогибов упругой пластины.

Проведено исследование влияния весомости жидкости и упругих свойств на устойчивость пластины в потоке.

7. При изучении установившихся колебаний упругой пластины рассмот рены два случая закрепления: шарнирное закрепление обоих концов (свободно опертая балка) и жесткое закрепление одного конца пластинки, другой конец – свободен (консольная балка). Полученные закономерности свидетельствуют о том, что:

- значения, при которых происходит потеря устойчивости, зависят от свойств пластины (жесткости, массы), свойств жидкости и частоты колебаний;

- консольная балка менее устойчива, чем свободно опертая балка, т.е.

при прочих равных условиях резонансные явления наблюдаются для более же стких пластин.

Полученные характеристики поведения жестких и упругих пластин по зволяют определить качественный и количественный характер геодинамиче ских процессов, способных вызвать землетрясения на глубинах астеносферы.

Отмеченные закономерности могут быть полезны в системах прогноза сейсми ческой активности.

Список работ, опубликованных автором по теме диссертации:

Статьи в рецензируемых научных изданиях, включенных в перечень ВАК:

1. Ефремов И.И., Иванисова О.В., Лукащик Е.П. Колебания массивной твердой пластинки в весомой жидкости // Экологический вестник научных цен тров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №1. С. 30–34.

2. Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Определение смоченной длины тонкого профиля, глиссирующего по поверхности весомой жидкости // Эколо гический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудни чества. 2009. №2. С. 18–21.

3. Лукащик Е.П., Иванисова О.В. Влияние волнообразования на гидро упругую устойчивость подводного профиля // Вестник Томского государствен ного университета. Математика и механика. 2011. №1(13). С. 105–119.

4. Лукащик Е.П., Иванисова О.В. Исследование динамической гидроуп ругости погруженной пластины на основе теории обобщенных функций // Эко логический вестник научных центров Черноморского экономического сотруд ничества. 2011. №1. С. 49–61.

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011616071 от 3.08.2011 / Программный комплекс нахождения гидродина мических характеристик погруженного профиля. Иванисова О.В. Заявка № 2011614241, дата поступления 09.06.2011г.

Статьи в сборниках научных трудов и тезисах докладов на научно-практических конференциях:

6. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Колебания пластинки под свободной поверхностью весомой жидкости // Труды XII Междунар. симп. МДОЗМФ.

2005. С. 140–144.

7. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Гидродинамические характеристики малопогруженного подводного крыла // Современные проблемы математиче ского моделирования: труды XI Всерос. школы-семинара. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 2005. С. 138–144.

8. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Колебания тонкого профиля, глисси рующего по свободной поверхности тяжелой жидкости // Инновационные тех нологии в образовательном процессе: материалы VIII межрегиональной науч. метод. конф. Краснодар: КВВАУЛ, 2006. Т. 2. C. 57–60.

9. Иванисова О.В. Колебания массивной твердой пластинки под сво бодной поверхностью весомой жидкости // Проблемы механики: теория, экспе римент и новые технологии: тезисы докл. VI Всерос. конф. молодых ученых.

Новосибирск: Доксервис, 2007. С. 27–28.

10. Иванисова О.В. Форма свободной поверхности при колебаниях твер дой пластинки, плавающей на поверхности весомой жидкости // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: труды IV Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение Юг, 2007. Т. 2. С. 129–130.

11. Иванисова О.В. Вращательные колебания пластинки под свободной поверхностью весомой жидкости // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: труды международных школ-семинаров. Орёл: Изд-во ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», 2007. Вып. 5. С. 53–57.

12. Ефремов И.И., Иванисова О.В., Лукащик Е.П. Дифракция волн на массивной пластине, плавающей на поверхности тяжелой жидкости неограни ченной глубины // Инновационные технологии в образовательном процессе:

материалы X Юбилейной Междунар. науч.-практ. конф. Краснодар: КВВАУЛ, 2008. Т. 3. C. 77–81.

13. Иванисова О.В. Дифракция волн на погруженной пластине // Совре менное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах:

труды V Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Краснодар: Про свещение-Юг, 2008. Т. 2. С. 113–115.

14. Иванисова О.В. Обтекание тонкого телесного профиля под свободной поверхностью весомой жидкости // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: труды междунар. школ-семинаров. Орёл: Изд-во ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», 2008. Вып. 6. С. 45–50.

15. Иванисова О.В. Стационарное обтекание тонкого профиля с каверной конечной длины под свободной поверхностью тяжёлой жидкости // Лобачев ские чтения – 2009: материалы Восьмой молодёжной науч. школы конференции. Казань: Казан. матем. об-во, 2009. Т.39. С. 235–237.

16. Иванисова О.В. Кавитационное обтекание тонкого профиля под сво бодной поверхностью весомой жидкости // Прикладная математика и механика:

сб. науч. тр. Ульяновск: УлГТУ, 2009. С. 109–117.

17. Лукащик Е.П., Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Исследование гид роупругого взаимодействия при обтекании гибкого крыла ограниченным пото ком весомой жидкости // Современные информационные технологии: труды Междунар. науч.-техн. конф. Пенза: Пензенская гос. технологическая академия, 2010. Вып. 11. С. 23–25.

18. Лукащик Е.П., Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Устойчивость уп ругого профиля при движении в слое весомой жидкости // Современные про блемы механики сплошной среды: труды XIV Междунар. конф. Ростов н/Д:

Изд-во ЮФУ, 2010. Т.2. С. 202–206.

Автореферат И в а н и с о в а Ольга Владимировна НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБЪЕКТОВ В ВЕРХНЕЙ МАНТИИ Подписано в печать 12.05.09 Формат 60x84 1/16.

Печать цифровая. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № Издательско-полиграфический центр Кубанского государственного университета 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская,

 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.