авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами

На правах рукописи

РОМАНОВ Максим Николаевич

ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ

ПРОНИЦАЕМЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2011

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и матема-

тической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, г. Ростов-на-Дону.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент В. В. Колесов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Н. В. Никитин доктор физико-математических наук, Е. А. Демехин

Ведущая организация: Пермский государственный университет

Защита состоится 21 октября 2011 г. в 15 часов на заседании диссер тационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном универ ситете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, Главное здание МГУ, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механи ко-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.89, доктор физико-математических наук А. Н. Осипцов 1.

Общая характеристика работы

В диссертации исследуются течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными вращающимися проницаемыми концентри ческими цилиндрами при наличии радиального потока жидкости, на правленного от одного цилиндра к другому. Рассматривается случай, ко гда внешние массовые силы отсутствуют и количество жидкости, поступа ющей в полость между цилиндрами через поверхность одного цилиндра, равно количеству жидкости, которая отводится через поверхность другого цилиндра.

Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче яв ляется двумерным: он представляет собой стационарное вращательно-сим метричное течение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости.

Ему соответствует точное решение уравнений Навье-Стокса, которое су ществует при любых значениях параметров задачи.

В экспериментах, однако, данное течение реализуется далеко не все гда: при изменении параметров задачи (например, при увеличении скоро сти вращения внутреннего цилиндра) оно может потерять устойчивость и смениться вторичным режимом. При этом возможны два типа потери устойчивости основного стационарного течения. В результате монотонной вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вторичным ста ционарным течением, а в результате колебательной трехмерной неустой чивости автоколебательным режимом с бегущими в азимутальном на правлении волнами.

Целью данной работы является исследование режимов, которые возникают вблизи точки пересечения нейтральных кривых, отвечающих этим двум типам потери устойчивости основного режима.

Актуальность работы. Помимо общетеоретического интереса, изу чение течений вязкой жидкости между вращающимися проницаемыми ци линдрами привлекает внимание исследователей прежде всего в связи с воз можностью использования его результатов в технических устройствах, со держащих динамические фильтры. Такие фильтры обычно состоят из вра щающегося пористого внутреннего цилиндра и неподвижного или тоже вращающегося пористого внешнего цилиндра. Фильтрат обычно подает ся через проницаемую стенку внутреннего цилиндра и отводится через внешний цилиндр. Такие устройства используются, например, для отделе ния примесей в отработанном машинном масле, для расщепления крови и выделения из нее плазмы, для противодействия обрастанию мембран в системах очистки питьевой воды посредством обратного осмоса, в био технологиях и т. п.

Необходимо отметить также, что рассматриваемая задача представля ет собой особенно удобный объект для численных исследований благодаря тому, что переходы к достаточно сложным режимам движения жидкости возникают здесь при довольно малых числах Рейнольдса.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Объем диссертации 123 стра ницы, включая 59 рисунков, 16 таблиц и список литературы из 161 работы.

В главе 1 исследована устойчивость основного режима движения жид кости в линейной постановке. Во второй главе исследована устойчивость основного режима в нелинейной постановке. В главе 3 приведены резуль таты численного анализа режимов, возникающих после потери устойчиво сти основного стационарного течения. В заключении кратко суммирова ны результаты проделанной работы. В приложениях приведены таблицы критических значений чисел Рейнольдса, графики нейтральных кривых и рассчитанные коэффициенты амплитудной системы.

Научная новизна. В диссертации впервые подробно исследованы вторичные стационарные, периодические и квазипериодические течения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами, возникаю щие в результате потери устойчивости основного стационарного течения.

Построены бифуркационные диаграммы, показывающие эволюцию и би фуркации этих режимов. Обнаружены хаотические движения жидкости, возникающие в результате каскада удвоений периода квазипериодических течений.

Используемый математический аппарат. Для вывода формул коэффициентов амплитудной системы применялась теория бифуркаций коразмерности два, развитая в работах В. И. Юдовича, Ж. Йосса и П. Шос са. Вторичные стационарные, периодические и квазипериодические тече ния жидкости найдены путем аналитического и численного анализа ком плексной системы амплитудных уравнений. Для расчета трехчастотных квазипериодических течений жидкости (им соответствуют циклы мотор ной подсистемы) на начальном этапе применялся метод установления с по следующим уточнением периода течения и координат точки на течении ме тодом отыскания неподвижной точки эволюционного оператора или отоб ражения Пуанкаре. Устойчивость трехчастотных квазипериодических те чений и их бифуркации исследовались путем вычисления мультипликато ров Флоке.

Научная достоверность результатов обусловлена корректностью математической постановки задачи, строгостью математических методов, применяемых в работе. Все вычисления, выполненные в работе, проводи лись с контролируемой точностью.

Научная и практическая значимость работы. Полученные ре зультаты являются частью общего исследования задач о движениях вяз кой жидкости для систем с цилиндрическими симметриями. Практическая значимость работы заключается в возможности использования результа тов в технических устройствах, в частности, содержащих динамические фильтры.

Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в НИИ механики МГУ, в Институте космических исследований РАН (г. Москва), в Институте гидродинамики и Институте теплофизики СО РАН (г. Ново сибирск), в Пермском государственном университете, в Тбилисском мате матическом институте АН Грузии, в НИИ механики и прикладной мате матики (г. Ростов-на-Дону), в Южном федеральном университете.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и об суждались на научных семинарах кафедры вычислительной математи ки и математической физики ЮФУ, на семинаре по механике сплошных сред в Институте механики МГУ (2011), на международных конференци ях Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбу лентность (Москва, 2008, 2010) и на международных конференциях Со временные проблемы механики сплошной среды (Ростов н/Д, 2009, 2010).

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опуб ликовано 9 печатных работ [1–9], из них 3 статьи [1–3] в изданиях, вхо дящих в перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, утвержденных ВАК.

В совместных публикациях [1–8] постановка задачи и разработка алго ритмов расчета коэффициентов амплитудной системы и численного иссле дования устойчивости и бифуркаций решений моторной подсистемы вы полнена В. В. Колесовым. Реализация этих алгоритмов, проведение ком пьютерных вычислений, расчет нейтральных кривых и вывод формул для расчета коэффициентов амплитудной системы выполнены автором диссер тации.

Представленные в диссертации исследования поддерживались гран тами: Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 11 05-01138, и Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы Научные и научно-педагогические кадры инноваци онной России на 2009–2013 гг., гос. контракт № 14.740.11.0877.

2. Содержание работы Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации и обзор современного состояния проблемы, изложена структура и основные поло жения диссертации.

В первой главе исследуется устойчивость основного режима движе ния жидкости в линейной постановке задачи.

В § 1.1 выписаны уравнения движения вязкой жидкости в цилиндри ческих координатах и краевые условия. Они допускают точное решение, представляющее собой основное стационарное вращательно-симметричное течение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости V0 и давле ния r v0 V0 = {v0r, v0, 0}, 0 = +3 ds + const, s s ar+1 + b, = 2, r 0 v0r =, v0 = (1) r a ln r +, = 2, r R2 1 R2 1 b = 1 a, a1 = a=,, 0 =.

R+2 1 ln R Здесь = 1 R1 / число Рейнольдса, коэффициент кинема тической вязкости, 0 = S/1 R1 безразмерный коэффициент, харак теризующий поток жидкости сквозь цилиндры, S размерный коэффи циент, определяющий интенсивность поступления жидкости через поверх ность одного цилиндра и вытекания ее через поверхность другого цилин дра, = 2 /1 отношение угловых скоростей вращения цилиндров, R = R2 /R1 отношение радиусов цилиндров (R1 R2 ), = S/ радиальное число Рейнольдса. При 0 радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему, а при 0 наоборот.

Далее в § 1.2 приводится уравнение линий тока основного режима (1) и дается описание его траекторий движения частиц жидкости.

Наличие даже небольшого радиального потока жидкости ( = 0) при водит к тому, что радиальная компонента вектора скорости становится ненулевой. Поэтому частицы жидкости перемещаются не только в азиму тальном, но и в радиальном направлении (рис. 1).

= 0. = Рис. 1. Линии тока основного стационарного течения при R = 2, = 0.05, = 10.

В § 1.3 сформулирована постановка задачи устойчивости. С ростом числа Рейнольдса основной режим может потерять устойчивость двумя способами. В результате его монотонной вращательно-симметричной не устойчивости возникает вторичное стационарное течение. Колебательная трехмерная неустойчивость порождает автоколебательный режим с бегу щими в азимутальном направлении волнами. Соответствующие этим би фуркациям нейтральные кривые при определенных значениях параметров задачи могут пересекаться.

В § 1.4 путем наложения возмущений V и соответственно на ком поненты скорости V0 и давление 0 основного стационарного течения (1), исходные уравнения сводятся к нелинейной задаче для возмущений v 1 1 vr 2 v D1 vr D2 vr + 2 + = + 2v, r r r r vr v 1 1 v 2 vr D2 v 2 + D1 v + + = + gvr, r r r r 1 1 vz D1 vz + = D2 vz + 2, div V = 0, (2) z r vr = v = vz = 0 (r = 1, R), D2 = 2, D1 = + + (V, ), t r r r a ( + 2) r, = 2, v0 d 1 g= =, + v0 = a r dr r, = 2.

r Уравнения движения жидкости и основной режим симметричны от носительно вращений около оси цилиндров на произвольный угол, сдви гов вдоль этой оси на произвольное расстояние и инверсии J (зеркальной симметрии относительно отражений в плоскости поперечного сечения ци линдров). Соответствующие формулы выписаны в § 1.5.

§ 1.6 посвящен численному исследованию устойчивости основного режима относительно бесконечно малых возмущений. Приводятся ре зультаты расчета нейтральных кривых, соответствующих монотонной вра щательно-симметричной и трехмерной колебательной потере устойчиво сти.

Нейтральная кривая, соответствующая бифуркации возникновения вторичного стационарного течения, находится путем решения линеаризо ванной задачи устойчивости, отвечающей (2), для случая, когда возмуще ния являются монотонными и вращательно-симметричными. После раз деления переменных получается вещественная спектральная задача для определения критического значения числа Рейнольдса.

Для расчета нейтральной кривой, соответствующей бифуркации воз никновения азимутальных волн, предполагаем возмущения колебательны ми и трехмерными. После разделения переменных получается комплекс ная спектральная задача для определения критического значения числа Рейнольдса и частоты нейтральной азимутальной моды c.

Спектральные задачи решались численно методом пристрелки. Ре зультатом данного расчета являются зависимости критических значений числа Рейнольдса и частоты нейтральной колебательной моды c от отно шения угловых скоростей вращения цилиндров.

Особое внимание уделяется отысканию точек пересечения нейтраль ных кривых, поскольку вблизи таких точек взаимодействие мод, соответ ствующих вторичному стационарному течению и азимутальным волнам, может приводить к возникновению достаточно сложных режимов движе ния жидкости.

Расчеты показали, что при определенных значениях параметров за дачи нейтральные кривые не имеют точек пересечения, а при других зна чениях параметров они пересекаются в одной или нескольких точках. Гра фики нейтральных кривых и таблицы критических значений чисел Рей нольдса представлены в приложении 1.

Во второй главе исследуется устойчивость основного режима в не линейной постановке.

В § 2.1 разыскивается решение нелинейной задачи для возмущений (2) в точке (, ), лежащей вблизи точки пересечения нейтральных кривых (, ), в виде |1 |( + ), |2 |(p + p ), V= = (3) = 0 ()0 (r, z) + eic t [1 ()1 (r,, z) + 2 ()2 (r,, z)] +..., p = 0 ()p0 (r, z) + eic t [1 ()p1 (r,, z) + 2 ()p2 (r,, z)] +....

Здесь 1 = и 2 = малые параметры одного порядка, 0, 1, 2 неизвестные комплексные амплитуды функции медленно го времени = |1 |t;

c неизвестная циклическая частота, найденная при = и = ;

0, p0 собственное решение линеаризованной задачи устойчивости для монотонных вращательно-симметричных возму щений;

1, p1 и 2, p2 независимые собственные решения линеаризо ванной задачи устойчивости для колебательных трехмерных возмущений.

При этом вектор 2 получается инверсией J (см. § 1.5) из вектора 1, так что 2 = J1. Величины порядка 1, 2 и выше в (3) опущены.

Амплитуды 0, 1, 2 разложений (3) удовлетворяют следующей си стеме с кубическими ведущими нелинейными членами:

d = ( + A|0 |2 + B|1 |2 + B |2 |2 )0 + D0 1 2, d d1 = (µ + P |0 |2 + Q|1 |2 + R|2 |2 )1 + S0 2, (4) d d = (µ + P |0 |2 + R|1 |2 + Q|2 |2 )2 + S0 1.

d Амплитудная система (4) получена путем использования техники тео рии бифуркаций, связанной с применением теоремы о нейтральном мно гообразии. Впервые эта система была получена В. И. Юдовичем в России и Ж. Йоссом и П. Шосса во Франции. Она является обобщением извест ного амплитудного уравнения Ландау.

Система (4) применима в широком классе задач о течениях жидко сти между вращающимися цилиндрами, обладающих группой симметрии G (см. § 1.5), но в различных задачах значения ее коэффициентов будут различными.

Коэффициенты системы (4) выражаются явно через решения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными комплексными коэффициентами. Соответству ющие формулы приводятся в § 2.6.

В § 2.2 приводится система обыкновенных дифференциальных урав нений первого порядка, представляющая собой основной объект анали за устойчивости и бифуркаций вторичных режимов в проблеме Куэтта– Тейлора для проницаемых цилиндров моторная подсистема амплитуд ной системы.

Представление комплексных амплитуд в форме 0 = 0 ei0, 1 = 1 ei1, 2 = 2 ei2 позволяет для модулей амплитуд 0, 1, 2 и фа зового инварианта = 20 + 1 2 получить следующую замкнутую систему, которая называется моторной подсистемой амплитудной системы d = + A2 + Br (2 + 2 ) 0 + D0 1 2 cos, 0 1 d d = (µr + Pr 2 + Qr 2 + Rr 2 )1 + (Sr cos + Si sin )2 2, 0 1 2 d d = (µr + Pr 2 + Rr 2 + Qr 2 )2 + (Sr cos Si sin )2 1, (5) 0 1 2 d d = C(2 2 ) 2D1 2 sin Si (2 2 ) cos + 1 2 1 d + Sr (2 + 2 ) sin 2 /1 2, C = 2Bi + Qi Ri.

1 2 Исследование моторной подсистемы (5) позволяет отыскать стацио нарные, периодические и квазипериодические течения. Причем стационар ные, периодические и двухчастотные квазипериодические режимы нахо дятся аналитически. Трехчастотные квазипериодические течения рассчи тываются численно.

§ 2.3 содержит формулы для отыскания двух стационарных течений:

основного режима и вторичного стационарного вращательно-симметрич ного течения. Им соответствуют равновесия моторной подсистемы, кото рые лежат на инвариантных плоскостях.

В § 2.4 выписаны формулы для отыскания периодических режимов движения жидкости. Это следующие течения: чистые азимутальные вол ны, пара спиральных волн, смешанные азимутальные волны первого и вто рого родов. Периодическим течениям, также как и стационарным (§ 2.3), соответствуют равновесия моторной подсистемы, которые лежат на инва риантных плоскостях.

§ 2.5 содержит формулы для отыскания квазипериодических колеба тельных режимов с двумя независимыми частотами. Всем таким течениям соответствуют равновесия общего положения моторной подсистемы.

§ 2.6 посвящен расчету коэффициентов амплитудной системы. Для реализации этих вычислений потребовалось рассчитать на компьютере ре шения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных диффе ренциальных уравнений с переменными комплексными коэффициентами.

Вычисления проводились для фиксированных значений следующих трех параметров: отношения радиусов цилиндров R, аксиального и азиму тального волновых чисел и m.

Результаты вычислений для случая, когда радиус внешнего цилиндра в два раза превосходит радиус внутреннего цилиндра R = 2 и азимуталь ное волновое число m = 1 при различных значениях радиального числа Рейнольдса и аксиального волнового числа представлены в приложе нии 2.

В третьей главе приводятся результаты численного анализа режи мов, возникающих после потери устойчивости основного стационарного те чения.

В § 3.1 изучаются стационарные, периодические и двухчастотные ква зипериодические режимы движения жидкости, соответствующие равнове сиям моторной подсистемы, а также их устойчивость и бифуркации. Уста новлено, что при определенных значениях параметров задачи от некото рых равновесий ответвляются предельные циклы. Результаты вычислений представлены бифуркационными диаграммами.

Для случая, когда радиальный поток жидкости направлен от внут реннего цилиндра к внешнему ( = 0.25), возмущения являются 2-пе риодическими в азимутальном направлении ( = 2), точка пересечения нейтральных кривых расположена выше нейтральной кривой, соответству ющей бифуркации возникновения вторичного стационарного течения ( = 10), схема бифуркационных переходов представлена на рис. 2.

На схеме одинарными линиями изображены J-симметричные течения, двойными линиями J-связанные пары течений. Устойчивые течения на рисованы сплошными линиями, неустойчивые штриховыми. Точками обозначены бифуркации течений, соответствующих равновесиям моторной подсистемы. Кружками отмечены точки, в которых ответвляются трехча стотные квазипериодические режимы движения жидкости. Им соответ ствуют циклы моторной подсистемы.

В рассматриваемом случае существуют следующие течения: основное стационарное течение M F, вторичное стационарное течение SF, чистые азимутальные волны AW, пара спиральных волн SW, смешанные ази мутальные волны первого рода M W +, смешанные азимутальные волны второго рода M W, а также две J-связанные пары двухчастотных квази периодических течений, соответствующих равновесиям общего положения QP F1 и QP F2.

Рис. 2. Схема переходов при R = 2, = 0.25, m = 1, = 2, = 10.

Бифуркационные значения: µ1 = 0, µ2 = 6.8648, µ3 = 6.8778, µ4 = 7.3809, µ5 = 8.4264, r r r r r µ6 = 8.5841, µ7 = 8.5986, µ8 = 8.8269, µ9 = 9.2312.

r r r r При µr = µ4, µr = µ6 и µr = µ9 ответвляются трехчастотные квазипе r r r риодические течения. Им соответствуют J-симметричные циклы моторной подсистемы (а при µr = µ4 пара циклов).

r Таким образом, для рассматриваемых значений параметров задачи в диапазоне µ7 µr µ9 нет ни одного устойчивого равновесия моторной r r подсистемы. Это означает, что в данном интервале изменения свободного параметра µr в экспериментах могут реализоваться достаточно сложные режимы движения жидкости.

§ 3.2 содержит результаты расчета квазипериодических колебатель ных режимов движения жидкости с тремя независимыми частотами, ко торым соответствуют предельные циклы изолированные периодические решения моторной подсистемы. Обнаружены устойчивые и неустойчивые симметричные циклы, а также инверсионно-связанные пары несиммет ричных циклов. Исследованы бифуркации циклов. Установлено, что при определенных значениях параметров задачи бифуркации циклов приводят к возникновению хаотических аттракторов. Выполнен расчет инверсионно связанной пары хаотических режимов движения жидкости, соответствую щих хаотическим аттракторам моторной подсистемы, возникающей в ре зультате бесконечного каскада удвоений устойчивых инверсионно-связан ных пар предельных циклов моторной подсистемы.

Однооборотные циклы. Симметричные циклы. В случае R = 2, = 1, m = 1, = 2, = 10 единственный устойчивый J-симметричный предельный цикл A0 (рис. 3) ответвляется при µr = 22.3504 от смешанных азимутальных волн второго рода M W. Он существует для µr 22. и устойчив в интервалах 7.4303 µr 7.7875, 8.1833 µr 22.3504. При µr = 8.1833 цикл A0 теряет устойчивость в результате бифуркации потери симметрии: от цикла ответвляется устойчивая J-связанная пара циклов A1.

± Рис. 3. Симметричный цикл A0 при µr = 12 в случае R = 2, = 1, m = 1, = 2, = 10. Координаты точки на цикле: 0 = 0.188204, 1 = 0.135322, 2 = 0.135322, = 3.141593. Период T = 0.367969. Устойчив.

Дальнейшее уменьшение параметра µr приводит к тому, что в точках µr = 7.7875 и µr = 7.4303 цикл A0 претерпевает еще две бифуркации потери симметрии, в результате которых ответвляются неустойчивые J связанные пары циклов A2 и A3.

±1 ± Инверсионно-связанные пары несимметричных циклов. Устойчивая J-связанная пара циклов A1 (рис. 4) при µr = 8.1833 ответвляется от ± J-симметричного цикла A0. Она существует в интервале 8.1782 µr 8.1833 и устойчива всюду, где существует. В точке µr = 8.1782 пара циклов A1 одновременно гибнет с неустойчивой J-связанной парой циклов B±1, ± которая существует для µr 8.1782.

Рис. 4. Один из циклов пары циклов A1 при µr = 8.18 в случае R = 2, = 1, m = 1, ± = 2, = 10. Координаты точки на цикле: 0 = 0.172140, 1 = 0.128736, 2 = 0.128743, = 3.317110. Период T = 1.043100. Устойчив.

Удвоения циклов. Вычисления показывают, что J-связанные пары несимметричных циклов моторной подсистемы могут претерпевать бифур кации удвоения периода, в том числе и неограниченные последовательно сти таких бифуркаций.

Устойчивая J-связанная пара двухоборотных предельных циклов G± (рис. 5) в случае R = 2, = 1, m = 1, = 3, = 10 ответвляется при µr = 11.9237 от J-связанной пары предельных циклов G±1. Она устойчива в интервале 11.9237 µr 12.0078. В точке µr = 12.0078 претерпевает бифуркацию удвоения периода цикла и от нее ответвляется устойчивая J-связанная пара четырехоборотных предельных циклов G±3.

Рис. 5. Один из двухоборотных циклов J-связанной пары циклов G± при µr = 11.9312 в случае R = 2, = 1, m = 1, = 3, = 10.

Координаты точки на цикле: 0 = 0.078606, 1 = 0.151073, 2 = 0.175375, = 2.628381.

Период T = 0.567672. Устойчив.

Сложные режимы. Для значений параметров R = 2, = 0.25, m = 1, = 2, = 10 в точке µr = 8.608252 от J-симметричного цикла E ответвляется устойчивый двухчастотный квазипериодический режим E, фазовые траектории которого лежат на инвариантном двумерном торе. Он существует при µr 8.608252. Проекции фазовых траекторий в начальной стадии формирования (на небольшом отрезке времени) показаны на рис. 6.

Отображение Пуанкаре, соответствующее тору E, приведено на рис. 7.

Рис. 6. Устойчивый двумерный тор E с вращением при µr = 8.603 в случае R = 2, = 0.25, m = 1, = 2, = 10. Координаты точки на торе: 0 = 0.140548, 1 = 0.037003, 2 = 0.037003, = 138.23.

Рис. 7. Отображение Пуанкаре двумерного тора E с вращением при µr = 8. в случае R = 2, = 0.25, m = 1, = 2, = 10.

Таким образом, для данных значений параметров задачи в зазоре между двумя цилиндрами могут наблюдаться течения жидкости, имею щие сложную структуру.

Расчеты стохастических решений моторной подсистемы проводились методом установления путем прямого численного интегрирования систе мы (5) методом Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-го порядка точности с автома тическим выбором шага интегрирования. Результаты вычислений выводи лись на экран дисплея в виде проекций фазовых траекторий на координат ные плоскости и образов отображения Пуанкаре. При построении отобра жения Пуанкаре секущая плоскость автоматически выбиралась трансвер сальной к траекториям системы (5) в некоторый фиксированный момент времени.

Для случая R = 2, = 1, m = 1, = 3, = 10 рассчитаны J-свя занные пары устойчивых предельных циклов G±n, претерпевающих при увеличении µr бифуркации удвоения периода. Всего удалось проследить таких последовательных бифуркаций. Соответствующие им критические значения µn параметра µr представлены в таблице.

r Критические значения µr для бифуркаций удвоения циклов G±n при R = 2, = 1, m = 1, = 3, = 10.

µn n = (µn µn1 )/(µn+1 µn ) n r r r r r 1 11. 2 12.007761 5. 3 12.024356 4. 4 12.027907 4. 5 12. Согласно закону универсальности Фейгенбаума, при неограниченной последовательности бифуркаций удвоения устойчивых циклов, приводя щей к возникновению хаотического аттрактора, последовательность отно шений n = (µn µr )/(µn+1 µn ) 4.6692, n когда n.

r r r Значения n, представленные в таблице, с удовлетворительной точно стью соответствуют закону универсальности Фейгенбаума. Это позволяет предположить, что µn µ 12.028875, когда n, и при µr = µ r r r в результате каскада бифуркаций удвоения J-связанных пар циклов G±n возникает J-связанная пара хаотических аттракторов G±, которая суще ствует при µr µ.

r Вычисления данное предположение подтверждают. Проекции фазо вой траектории одного из аттракторов J-связанной пары G± на коорди натные плоскости показаны на рис. 8.

Рис. 8. Один из аттракторов J-связанной пары хаотических аттракторов G± при µr = 12.05 в случае R = 2, = 1, m = 1, = 3, = 10. Координаты точки на аттракторе: 0 = 0.090088, 1 = 0.100506, 2 = 0.252663, = 1.729146.

Таким образом, вычисления показали, что при продолжении решений моторной подсистемы по параметру наблюдаются следующие типы бифур каций:

ответвление симметричного цикла от симметричного равновесия моторной подсистемы в результате колебательной потери устойчивости равновесия;

ответвление J-связанной пары несимметричных циклов от J-свя занной пары несимметричных равновесий в результате колебательной по тери устойчивости пары равновесий;

ответвление одной J-связанной пары несимметричных циклов от другой в результате бифуркации удвоения пары циклов;

ответвление J-связанной пары несимметричных циклов от симмет ричного цикла в результате бифуркации потери симметрии цикла;

одновременное возникновение (или исчезновение) двух симметрич ных циклов из воздуха ;

одновременное возникновение (или исчезновение) двух J-связанных пар несимметричных циклов из воздуха ;

ответвление симметричного двумерного тора от J-симметричного цикла;

возникновение J-связанной пары несимметричных хаотических ат тракторов в результате бесконечного каскада удвоений J-связанной пары несимметричных циклов.

В заключении к диссертации подведены итоги работы и сформули рованы основные результаты и выводы.

3. Основные результаты и выводы В работе исследованы различные режимы движения вязкой несжи маемой жидкости в зазоре между двумя бесконечными концентрическими вращающимися проницаемыми цилиндрами в случае, когда имеется при ток жидкости через поверхность одного цилиндра и отток через поверх ность другого. Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче представляет собой стационарное вращательно-симметричное те чение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости. Это течение может потерять устойчивость двумя способами. В результате монотонной вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вторичным ста ционарным течением, а в случае колебательной трехмерной неустойчиво сти вторичным автоколебательным режимом типа бегущих азимуталь ных волн. Вблизи пересечения этих двух бифуркаций существует множе ство различных вторичных режимов, возникающих благодаря нелинейно му взаимодействию монотонной вращательно-симметричной и колебатель ных трехмерных мод.

Исследование линеаризованной задачи устойчивости показало,что ко гда цилиндры вращаются в разные стороны и модуль отношения угловых скоростей достаточно велик, рост скорости втекания жидкости через по верхность внутреннего цилиндра дестабилизирует основной режим, при чем этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше величина отноше ния угловых скоростей вращения цилиндров. Если же цилиндры вращают ся в одинаковых направлениях либо модуль отношения угловых скоростей вращения цилиндров имеет небольшие значения, то ситуация усложняется.

В зависимости от значений других параметров задачи изменение скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего или внешнего цилин дров может оказывать как дестабилизирующее, так и стабилизирующее воздействие на основной режим.

Исследование моторной подсистемы позволило найти следующие вто ричные течения жидкости: вторичное стационарное течение, пара спираль ных волн, чистые азимутальные волны, смешанные азимутальные волны первого и второго родов, а также двухчастотные и трехчастотные квазипе риодические движения жидкости. Эти режимы при различных значениях параметров оказываются как устойчивыми, так и не устойчивыми. С по мощью численного анализа их бифуркаций удалось отыскать ряд режимов имеющих существенно более сложную природу, в том числе и хаотические движения.

Основные научные результаты, представленные в диссертации:

1. В широком диапазоне изменений параметров задачи рассчитаны нейтральные кривые, соответствующие монотонной вращательно-симмет ричной и трехмерной колебательной потере устойчивости основного режи ма, а также точки их пересечения.

2. Исследовано влияние направления и интенсивности радиального потока жидкости на устойчивость основного стационарного движения жидкости.

3. Путем применения теории бифуркаций коразмерности два получе ны формулы для коэффициентов амплитудной системы трех комплексных дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими ведущими нелинейными членами. Данная система описывает различные движения жидкости, существующие вблизи пересечения бифуркаций возникновения вторичного стационарного течения и автоколебаний с бегущими в азиму тальном направлении волнами. Коэффициенты этой системы рассчитаны на компьютере путем решения серии линейных краевых задач.

4. Путем аналитического и численного анализа амплитудной системы найдены стационарные, периодические и квазипериодические колебатель ные течения жидкости с двумя и тремя независимыми частотами. Иссле дованы их устойчивость и бифуркации.

5. Обнаружено, что при определенных значениях параметров задачи образуются режимы движения жидкости, имеющие достаточ но сложную природу. В частности, в результате последовательного удво ения инверсионно-связанной пары несимметричных циклов возникают сто хастические аттракторы амплитудной системы, которым соответ ствуют хаотические режимы движения жидкости.

Публикации по теме диссертации 1. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет стационарных, перио дических и квазипериодических движений вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Изв. РАН, МЖГ. 2010. № 6. С. 53–62.

2. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет бикритических точек в задаче об устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Изве стия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки.

2009. № 5. С. 28–30.

3. Колесов В. В., Романов М. Н. Пересечение бифуркаций воз никновения вихрей Тейлора и азимутальных волн между вра щающимися проницаемыми цилиндрами// Известия вузов.

Северо-кавказский регион. Естественные науки. 2009. С. 112– 114.

4. Колесов В.В., Романов М.Н. Монотонная и колебательная неустойчи вость основного режима движения жидкости между двумя вращаю щимися проницаемыми цилиндрами // Рук. деп. в ВИНИТИ, 2010.

№ 483-В2010. 27 с.

5. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет вторичных течений вязкой жид кости, возникающих вблизи пересечения бифуркаций рождения вихрей Тейлора и азимутальных волн, между проницаемыми цилиндрами // Совр. проблемы механики сплошной среды. Труды XIV международ ной конференции. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. Т. 2. С. 156–160.

6. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет коэффициентов амплитудной системы в задаче о движениях вязкой жидкости между двумя вра щающимися проницаемыми цилиндрами // Совр. проблемы механи ки сплошной среды. Труды XIII международной конференции. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. Том II. С. 103–107.

7. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет нейтральных кривых, соответ ствующих потере устойчивости основного режима движения жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Неделя науки 2007. Ростов н/Д: Изд-во ЦВВР, 2007. С. 37–39.

8. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости кругового движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами // Материалы междуна родной конференции Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008. С. 74.

9. Романов М. Н. Расчёт коэффициентов амплитудной системы в задаче об устойчивости течений между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Труды аспирантов и соискателей Южного федерально го университета. Ростов н/Д: ИПО ПИ ЮФУ, 2009. Том XIV. С. 61–65.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.