авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Задачи предельного равновесия дилатирующих тел в условиях плоского напряженного состояния

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

механико-математический факультет

На правах рукописи

Мельников Андрей Михайлович

Задачи предельного равновесия дилатирующих

тел в условиях плоского напряженного

состояния

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2013 на кафедре теории пластичности

Работа выполнена механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

член-корр. РАН, д. ф.-м. н.,

Научный руководитель:

профессор, Е.В. Ломакин доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

профессор, А.В. Звягин к. ф.-м. н., старший научный сотрудник, В.А. Пелешко Институт проблем механики РАН

Ведущая организация:

Защита состоится « » 2013 г. в часов на заседании дис Д.501.001.91 при Московском государственном универ сертационного совета ситете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, главное здание МГУ, механико-математиче ский факультет, аудитория 16- механико-математиче

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ского факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « » 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.91, доктор физико-математических наук, профессор С.В. Шешенин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Основными критериями пластичности, исполь зуемыми при расчете на прочность различных конструкций, являются кри терии Мизеса и Треска. Хотя данные изотропные критерии во многих слу чаях являются достаточными для использования в качестве критериев пре дельного состояния материала при простом нагружении, их использование обусловлено скорее относительной простотой их численного и аналитическо го применения и экспериментального определения параметров, чем соответ ствием реальному поведению материала. На практике же свойства многих, в том числе изотропных, материалов демонстрируют различные отклонения от свойств, предсказываемых теорией, опирающейся на данные критерии.

Простейшим примером такого отклонения является различие пределов пла стичности при растяжении и сжатии. Для таких материалов не выполняет ся гипотеза “единой кривой”, согласно которой зависимость эквивалентного напряжения от эквивалентной деформации остается одинаковой для любого соотношения между компонентами тензора напряжений. Зависимость пласти ческих свойств от напряженного состояния может быть вызвана различием внутренних процессов, происходящих в материале при различных напряжен ных состояниях. В процессе пластического деформирования материала мо жет происходить образование дислокаций и иных микродефектов, раскрытие или закрытие микротрещин и иные процессы, влияющие на прочность мате риала. Тип этих процессов, а также соотношение между ними зависит от вида напряженного состояния. Хотя подобная зависимость более характерна для пористых материалов, она, в меньшей степени, проявляется и у металлов, прошедших обработку. Как можно более точный учет такой зависимости ва жен при расчете работы конструкций под действием экстремальных нагрузок на границе предела прочности материала. На протяжении XX века было раз работано множество критериев для учета асимметрии пластических свойств материала. Различные проблемы, связанные с поведением таких материалов рассматривались в работах С.Е. Александрова, Б.Д. Аннина, Ф. Барлата, Г.А. Гениева, Д. Друккера, Б.А. Друянова, И.В. Кучеренко, М.Н. Матчен ко, А.Ф. Никитенко, В.Н. Николаевского, А.А. Трещева, Н. Флека и других.

Описание некоторых из возможных подходов к моделированию свойств таких материалов приведено в обзоре литературы.

В данной диссертации рассматриваются свойства материалов, поведение которых может быть охарактеризовано на основе обобщенного критерия пла стичности, предложенного Е.В. Ломакиным для дилатирующих сред.

Целью диссертационной работы является изучение поведения ма териалов, пластические свойства которых описываются обобщенным крите рием, в условиях плоского напряженного состояния, вывод определяющих соотношений для плоского напряженного состояния, исследование влияния чувствительности свойств материалов к виду напряженного состояния на их прочностные характеристики, аналитическое решение различных задач для общего и частного вида зависимости свойств материала от условий нагруже ния и сравнение полученных аналитических решений в рамках упруго-пла стической модели с результатами численного решения задач для упруго-пла стического материала, полученными с помощью метода конечных элементов.

Рассмотрены задачи об определении поля напряжений в окрестности уг лового выреза, растяжении полосы, ослабленной угловыми или круговыми вырезами, о поле напряжений в окрестности кругового отверстия в пластине из жестко-идеально пластического материала.

Научная новизна Результаты, выносимые на защиту

:

• Выведены уравнения для напряжений и скоростей перемещений для ди латирующего материала в условиях плоского напряженного состояния и исследованы их свойства. Показана связь выведенных уравнений с исследованным ранее случаем плоской деформации.

• Описаны некоторые виды полей характеристик и выведены уравнения, описывающие их форму для общего случая зависимости свойств ма териала от вида напряженного состояния, которые в частных случаях такой зависимости могут быть решены аналитически.

• Построены кинематически возможные решения задач о плоскости с по лубесконечным разрезом, о растяжении полос, ослабленных угловыми или круговыми вырезами с определением полей напряжений в окрестно сти круговых и угловых вырезов для обобщенного критерия пластично сти, характеризующего зависимость свойств материала от вида напря женного состояния. Приведены примеры данных решений для критерия Друкера-Прагера.

• Проведено сравнение полученных решений с численными решениями аналогичных задач для упруго-пластического материала.

Практическая значимость. В диссертации получены кинематически допустимые решения нескольких задач определения напряженного состояния в окрестности вырезов для дилатирующих тел и показано, в целом, хорошее соответствие между этими решениями и численными решениями аналогич ных задач для упруго-пластического материала в ряде случаев. Полученные результаты могут быть использованы для предварительной оценки предель ной нагрузки и для определения полей напряжений в окрестности концен траторов напряжений в задачах плоского напряженного состояния для тел,S свойства которых зависят от вида напряженного состояния. Кроме того, по лученные уравнения для полей напряжений могут быть использованы для построения решений других подобных задач, для тел другой формы или для материалов с критерием пластичности, отличным от рассмотренного. Досто верность полученных результатов определяется применением строгих мате матических методов для получения теоретических решений, а также соответ ствием решений, полученных с использованием различных методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Ломоносовские чтения. Секция механики. 16–25 апреля 2009 года, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова.

• Современные проблемы газовой и волновой динамики. Международная конференция, посвященная памяти академика Халила Амедовича Рах матулина в связи со столетием со дня его рождения. 21–23 апреля года. Москва. МГУ им. М.В. Ломоносова.

• Международный научный симпозиум по проблемам механики деформи руемых тел, посвященный 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина.

Москва, 20–21 января 2011 года.

• X всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 24–30 августа 2011 года.

• Тайваньско-Российский Симпозиум “Deformation and Fracture in Technological Processes”, 28–30 мая 2012 года, Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН и на научно-исследовательских семинарах:

• на научно-исследовательском семинаре кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН Е.В. Ломакина, • на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри, • на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости ме ханико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под ру ководством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в печатных ра 3 статьи в рецензируемых журналах [1–3], 1 статья в рецензиру ботах, из них 1 статья в сборнике трудов емом международном периодическом издании [4], конференицй [5] и тезиса докладов [6–8].

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положе ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов прово дилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяю щим. Все представленные в диссертации результаты получены лично авто ром.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объ 139 страниц, из них 126 страниц текста, включая 63 рисунка.

ем диссертации 118 Библиография включает наименований на страницах.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В обзоре литературы приводится обзор работ, посвященных исследо ванию пластических свойств материалов с различными поведением при раз личных напряженных состояниях. В обзор включено несколько вариантов обобщенных критериев пластичности, формулировка которых включает неко торую функцию от параметра вида напряженного состояния, которая может быть выбрана на основе каких-либо предположений, либо определена экспери ментально. Проводится обзор как изотропных так и анизотропных критериев пластичности. Кроме того, приведен обзор некоторых моделей упрочнения, которые могут быть использованы вместе с описанными критериями пластич ности.

В первой главе приводится описание рассматриваемого в диссертации критерия пластичности для изотропных материалов определяющие соотно шения для жестко-пластического тела, свойства которого задаются данным критерием. Обобщенный критерий пластичности задается соотношением:

f ()0 = k, (1) = /0 — параметр вида напряженного состояния, также известный как где = 1 ii параметр трехосоности (ratio of triaxiality), — среднее напряжение, 0 = 2 Sij Sij — интенсивность касательных напряжений, Sij = ij ij — k девиатор напряжений, — константа материала. Параметр характеризует отношение гидростатического напряжения к интенсивности сдвиговых напря жений и принимает все действительные значения в общем случае. Функция f () характеризует чувствительность свойств материала к виду напряжен ного состояния, выполняя роль коэффициента, связывающего поверхность пластичности Мизеса с поверхностью пластичности рассматриваемого кри f () терия. Функция необходимым образом предполагается положительной и может быть определена экспериментально. Например, можно, исходя из f (0) = 1, k эксперимента на чистый сдвиг, принять тогда будет равняться интенсивности напряжений при достижении предела пластичности в экспе = 3s ). В этом случае для остальных значений рименте на чистый сдвиг (k параметра функция f () будет равняться отношению 3s к интенсивности напряжений для данного типа напряженного состояния. Принимая закон те чения, ассоциированный с условием (1), получим соотношения для скоростей деформации имеют вид:

1 p = h ij ()ij + ()f ()Sij /k, 3 () = f (), () = f () f (), h = H/(), (2) 12 p p, H= ij ij () = () + 2 ().

3 () (), Функции и а так же их производные связаны соотношениями:

() + () = f (), () + () = 0. (3) Из соотношений (2) могут быть выведены соотношения для скорости объем ной деформации:

p = ()/(), (4) p = 3 p здесь — величина объемной пластической деформации, ii = 3 eij eij = h () — интенсивность скоростей сдвиговых пластических eij = p p ij деформаций, — девиатор пластических деформаций. В силу ij () 0.

этого предполагается, что Предельная поверхность определяемая f () 0.

критерием (1) является невогнутой при выполнении условия Дан вывод соотношений теории пластичности для случая плоского на пряженного состояния, рассматриваемого в данной работе. В силу равенства нулю одного из трех главных напряжений, область изменения параметра вида напряженного состояния ограничена:

||. (5) Для упрощения рассмотрения случая плоского напряженного состояния в S = (11 + 22 )/ водится обозначение — плоский аналог среднего напряже ния. Для жестко-пластического тела из критерия пластичности (1) следует, что связь среднего напряжения и параметра вида напряженного состояния взаимно однозначная, так как:

3 f () f () 3 k() S = =. (6) 2 f 2 () 2 f 2 () f (), данное выра При выполнении условий, наложенных выше на функцию.

жение положительно для всех значений параметра Напряжения при этом могут быть найдены по формулам:

11 = S kF (S) sin 2, 22 = S + kF (S) sin 2, 12 = kF (S) cos 2.

(7) — угол между направлением оси x1 и нормалью к площадке, на которой где действует максимальное касательное напряжение, а выражение для функции F (S) имеет вид:

1 9 ((S)) 1 F (S) =. (8) f ((S)) С учетом введенных выше обозначений, система уравнений равновесия для жестко-пластического тела примет вид:

S,1 kF (S)(S,1 sin 2 S,2 cos 2) 2kF (S)(,1 cos 2 +,2 sin 2) = 0, S,2 + kF (S)(S,1 cos 2 + S,2 sin 2) 2kF (S)(,1 sin 2,2 cos 2) = 0.

(9) S. Система урав Штрихом обозначена производная по среднему напряжению нений в частных производных (9) содержит две неизвестные величины — S.

среднее напряжение и угол Система (9) является гиперболической при |kF (S)| 1. Производная функции F (S), определенной уравнением (8) стре ±3.

мится к бесконечности при стремлении параметра к Следовательно, f () для любого допустимого вида функции существует диапазон напряже ний, в котором система уравнений равновесия не является гиперболической.

В случае гиперболичности системы (9), уравнения для характеристик и соот ношения для величин переменных вдоль них имеют вид:

dx2 cos 2 ± 1 k 2 F 2 2kF d = tg, =, dS = 0. (10) dx1 kF + sin 2 1 k2F Здесь и — индексы, обозначающие семейства характеристик гиперболи ческой системы уравнений (9). Как видно из этих соотношений, угол между характеристиками в общем случае зависит от вида напряженного состояния для любой зависимости пластических свойств от вида напряженного состоя ния, а сами характеристики не являются линиями скольжения. Если ввести, угол зависящий от вид напряженного состояния, следующим образом:

sin 2 = kF, cos 2 = 1 k2F 2, (11) то, пользуясь соотношениями вдоль характеристик (10), можно найти угол между характеристиками:

= 2 +. (12) Таким образом, в случае плоского напряженного состояния угол между ха рактеристиками зависит от напряженного состояния даже при отсутствии зависимости критерия текучести от напряжений. Кроме того, в данной главе рассматриваются основные свойства напряжений в случае гиперболичности системы уравнений равновесия и выводится система уравнений для скоростей перемещений:

(v1,1 + v2,2 ) cos 2 + kF (S)(v1,2 + v2,1 ) = 0, (13) v1,1 v2,2 = (v1,2 + v2,1 ) tg 2.

Тип данной системы совпадает с типом системы (9). В случае гиперболично сти систем уравнений их характеристики также совпадают. Вдоль характе ристик системы (13) выполняются соотношения Гейрингер:

dv v3 d = 0, dv v4 d = 0. (14) v v v Здесь и —скорости вдоль соответствующих семейств характеристик, v и —нормальные к характеристикам компоненты скорости:

v3 = (v v cos )/ sin, v4 = (v cos v )/ sin, =. (15) Несмотря на различие постановок задач в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния, выведенные уравнения по форме совпа дают с уравнениями для случая плоской деформации, выведенными Е.В. Ло макиным и Б.Н. Федуловым, с той лишь разницей, что в случае плоской деформации отсутствуют ограничения на значение параметра и функция F (S) имеет вид:

2 ((S)) 1 92 ((S)) F (S) =. (16) f ((S)) Таким образом, дальнейшие выкладки можно рассматривать как развитие теории для случая обобщенной плоской задачи теории пластичности, тип F.

плоской задачи при этом определяется формой использованной функции Во второй главе приводится решение нескольких задач теории пла стичности для обобщенного критерия пластичности (1) в случае гиперболич ности системы уравнений равновесия (9) как в общем случае, так и в случае частного вида зависимости свойств материала от вида напряженного состоя ния — для критерия Друкера-Прагера. Первой рассмотрена задача об опре делении напряженного состояния в окрестности вершины полубесконечного разреза в удаленном поле растягивающих напряжений, нормальных к его по верхности. В зависимости от критерия пластичности возможно построение как непрерывного так и разрывного поля напряжений. Соответствующие по ля характеристик показаны на рис. 2. В обоих решениях использованы два x r x Рис. 1. Полубесконечный разрез в поле сил растяжения типа полей характеристик — поле прямолинейных характеристик, в котором реализуется равномерное напряженное состояние, и центрированный веер ха рактеристик, в котором прямолинейны характеристики только одного семей ства. Стоит отметить, что напряженное состояние в вершине разреза в обоих типах решения определяется неоднозначно. Напряжения на поверхности раз 12 = 22 = 0, реза равны нулю, следовательно в прилегающей области что в терминах переменных, входящих в уравнения равновесия (9), означает:

=±, S= kF (S). (17) Ox В силу симметрии, на линии положительной полуоси (рис. 2) сдвиго 12 = /4.

вые напряжения равны нулю, следовательно Поля характери стик решения должны соединить эти два граничных условия. Так как при любом критерии пластичности угол между характеристиками зависит от на пряжения, для построения веера прямолинейных характеристик необходимо построить уравнения тангенциального семейства характеристик в зависимо сти от параметра вида напряженного состояния для обобщенного критерия пластичности. Для вывода системы уравнений, определяющих веер прямоли характеристик, нейных введем вспомогательную полярную систему коор (r, ) характеристика динат с началом в центре веера. Пусть некоторая x B C D x A O (а). Характеристики для непрерывного поля напряжений x B C x A O D (б ). Характеристики для разрывного поля напряжений Рис. 2. Примеры построения полей характеристик в задаче о растяжении плоскости с линейным разрезом (r0, 0 ) проходит через точку в полярной системе координат. Уравнение ли (r0, 0 ) и образующей угол с радиус-вектором, нии, проходящей через точку описывающим точку характеристики имеет вид r = exp ln r0 ctg ()d. (18) — это угол между характеристиками, определенный уравнениями (11) Угол и (12). Этот интеграл может быть вычислен для произвольного вида функ F (S), S ции с учетом зависимости среднего напряжения от угла наклона характеристики:

1/ F (S(0 )) 1 k 2 F 2 (S(0 )) r = r0. (19) F (S()) 1 k 2 F 2 (S()) Заметим, что в случае, когда система уравнений (9) становится параболиче ской, знаменатель уравнения (19) обращается в ноль, следовательно, с помо щью центрированного веера характеристик, вообще говоря, не всегда возмож Ox1.

но соединить границу разреза с положительной полуосью оси S и углом наклона характеристики Связь между средним напряжением можно получить, воспользовавшись соотношением для угла наклона характеристики (10), k2F F + k2F 2 d = d = d d = dS. (20) 2kF 1 k 2 F характеристику Уравнения (19) и (20) образуют систему уравнений, задающую S.

параметрически, в зависимости от параметра Аналогично можно определить центрированный веер прямолинейных характеристик. В этом случае угол равен углу наклона характеристики, и закон его изменения имеет вид:

k2F F + k2F 2 d = d = d + d = dS. (21) 2kF 1 k 2 F Уравнение, описывающие зависимость радиуса от напряжения остается тем же, что и в предыдущем случае. Система уравнений, параметрически задаю характеристику, щая состоит из уравнений (19) и (21).

В случае, когда построение непрерывного решения невозможно, можно б, построить разрывное поле напряжений, подобное показанному на рис. 2, OB где — линия разрыва напряжений. На линии разрыва непрерывны нор мальное и касательное к линии разрыва напряжения. Положение линии раз рыва и скачок тангенциальной компоненты напряжений находится из соотно шений для напряжений вдоль характеристик (10) и условия пластичности (1).

Возможность построения непрерывного либо разрывного решения определя ется использованным критерием пластичности.

Построенное решение естественным образом может быть расширено и на его основе можно построить решения задач о напряженном состоянии в окрестности углового выреза в поле сил растяжения, а также о предельном состоянии полосы с угловыми вырезами.

Рис. 3. Плоскость с круговым отверстием под действием равномерной растягивающей нагрузки Другой подход к решению задач теории пластичности продемонстриро ван в решении задачи о нахождении поля напряжений при всестороннем рас тяжении бесконечной плоскости с круговым отверстием, свободным от на пряжений (рис. 3). Эта задача также может рассматриваться как задача о предельном состоянии кольца под действием всесторонней равномерно рас пределенной по внешнему радиусу нагрузки, при этом напряжение на внеш нем радиусе кольца является предельным значением напряжения, при кото ром кольцо полностью переходит в состояние пластичности. В этом случае задача становится одномерной (остается только зависимость от радиуса) и уравнение равновесия принимает вид:

dr r + = 0. (22) dr r r В силу симметрии касательные напряжения равны нулю, следовательно = 4 и уравнение равновесия принимает вид:

d(S kF (S)) 2kF (S) = 0. (23) dr r Уравнение равновесия имеет решение:

S r F (S0 ) dS ln = ln, (24) r0 F (S) 2kF (S) S S0 — среднее напряжение при r = r0. В диссертации показано, что данное где решение стремится к напряженному состоянию, характеризующемуся значе || = нием параметра 2, т.е. в случае плоского напряженного состояния значе ние параметра, получаемое при решении данной задачи, выходит за пределы области гиперболичности системы уравнений равновесия (9) для произволь ного критерия пластичности в форме (1). Используя решение уравнения (24) в задаче о кольце, можно найти радиальное напряжение на внешнем радиусе, при котором кольцо переходит в состояние пластичности. Для этого необходи r, мо в уравнение (24) поставить значение равное внешнему радиусу кольца.

Рассмотрены примеры решения приведенных выше задач для критерия f () = 1 + C.

Друкера-Прагера, получаемого из выражения (1) при Пара метр в пластической области может быть выражен через среднее напряже S:

ние 2 S =. (25) 3 k 2 CS S При этом среднее напряжение находится в пределах 3k 3k S. (26) 3 2C 3 + 2C F (S) Функция в этом случае может быть явно выражена через среднее на пряжение:

2 1 9k 6kC F (S) = (9 4C 2 ) S+. (27) 9 4C 2 9 4C 3k Система уравнений (9) для напряжений становится параболической при 3k ± S= 2C. (28) 9 4C 2 2 9 C Уравнения (10) для характеристик и соотношения вдоль них могут быть про интегрированы. Для сокращения записи введем обозначения:

9 S 6C a=, s= +. (29) 9 4C 2 k 9 4C P AB C 2 O D 2h P C = 1, Рис. 4. Непрерывное поле характеристик в задаче о растягиваемой полосе при = / В этих обозначениях уравнения (10) для характеристик принимают вид:

a3 +(a+1/3)s cos 2 ± 2 dx2 a a s = tg, =. (30) dx1 + sin s 3a a2 s Соотношения вдоль них имеют вид:

1+ a s(1 + 3a ) 3a 2 3a + 1 arcsin s + arcsin a (a s) 1 + 3a (31) a + s(1 + 3a ) arcsin 4 = const.

(a + s) 1 + 3a Основным отличием данных уравнений от случая, рассмотренного в работах F Е.В. Ломакина и Б.Н. Федулова является зависимость функции от среднего напряжения, отсутствовавшая при плоской деформации.

На основании данных уравнений приведены примеры решения описан ных выше задач. Для задачи о растяжении полосы с угловыми вырезами (рис. 4) построена зависимость предельной нагрузки (нагрузки, при которой центральное сечение целиком находится в области пластичности) от угла вы C, определяющего чувствительность пластических свойств реза и параметра среды к виду напряженного состояния (рис. 5). Кроме того для каждого зна 1, C = 0. C = 0. 1, C = 0. 1, P P 1, 1, 1 5 3 4 16 8 Рис. 5. Изменение коэффициента усиления (отношение предельной нагрузки в о полосе с 2h без выреза) в зависимости угловыми вырезами к предельной нагрузке в полосе ширины C от угла выреза и коэффициента C, чения угла выреза найдено значение параметра разделяющего области построения разрывного и непрерывного решения. Построение неразрывного поля напряжений в задачах о растяжении плоскости и полосы с угловым вы 2 C, резом величины возможно для параметров и лежащих выше линии, изображенной на рис. 6.

Найдено аналитическое решение задачи о растяжении плоскости с кру говым отверстием. Уравнение (24) в случае критерия Друкера-Прагера при нимает вид:

r 33 9 4C 2 S 6C ln = arcsin + r0 9 k 9 4C 2 9 4C 33 3 + 4C arcsin 6 + 2C 2 9 4C (32) 2 1 9 S 6C ln + + 4 9 4C 2 k 9 4C 2 1 9 3 + 4C + ln 1.

4 9 + 4C 2 6 + 2C Соответствующие этому решению напряжения приведены на рис. 7. Построено 1, 5 1 0, 5 0 0, 5 1 1, C, Рис. 6. Значение половины угла выреза отделяющее область, в которой возможно по строение непрерывного поля напряжений в окрестности углового выреза, от области в которой возможно построить только разрывные решения решение задачи о предельном состоянии полосы симметричными круговыми вырезами. Для сравнения приведены, полученные в работах Е.В. Ломакина и Б.Н. Федулова решения аналогичных задач для случая плоской деформации.

1, r /k, C = 0. /k, C = 0. r /k, C = 0. /k, C = 0. r /k, C = 0. /k, C = 0. 0, 0 5 10 15 r r Рис. 7. Напряжения в осесимметричной задаче о растяжении плоскости с круговым отвер C стием при различных значениях коэффициента В третьей главе проводится сравнение полученных аналитических ре шений для критерия Друкера-Прагера с численными решениями для упруго пластического материала, полученными методом конечных элементов в про грамме Code_Aster. Для моделирования поведения жестко-пластического ма териала использован материал с большим модулем Юнга и пренебрежимо ма лым упрочнением. В задаче о напряженном состоянии в окрестности углового выреза продемонстрировано близкое соответствие форм пластической обла сти с формой полей характеристик. Сравнение напряжений на горизонталь ной линии симметрии со значениями из аналитических решений показывает, что данные величины весьма близки (рис. 8).

Хорошее соответствие было также получено при моделировании задачи о растяжении плоскости с круговым отверстием (рис. 9).

В задачах о растяжении полос с угловыми и круговыми вырезами полу ченные поля напряжений и области пластичности существенно отличаются от полей, полученных в рамках жестко-пластической модели, в силу наличия в 1, 1, C = 0. C = 0. 1, C = 0. FEM C = 0. 3+C 3k FEM C = 0. 1, FEM C = 0. 1, 1 5 3 4 16 8 Рис. 8. Сравнение напряжений в задаче о напряженном состоянии в окрестности вер шины углового выреза на линии симметрии, полученных в результате численного решения с теоретическими центре полосы упругой области. Значения предельной нагрузки, полученные при численном решении задачи, меньше значений в аналитических решениях, представленных в предыдущей главе для кинематически возможных полей.

Так как полученные аналитические решения большей части задач (кро ме центрально симметричной задачи о растяжении плоскости с круговым отверстием) нельзя рассматривать как точные решения, поскольку в них и не учитывалось влияние напряженного состояния в жестких областях, то ре шения, полученные методом конечных элементов, в той или иной мере мо гут отличаться от них. Аналитические решения задач о растяжении полос и о напряженном состоянии вблизи углового выреза являются кинематически возможными, поэтому различие в значениях предельной нагрузки для растя жения полосы с угловыми вырезами и наличие упругих областей в задачах о растяжении полос с угловыми и круговыми вырезами вполне ожидаемы.

При этом аналитическое решение хорошо описывает поле напряжений и фор му пластических областей в окрестности угловых и круговых вырезов для 0, 0, 0, 0, 0 1 2 3 4 5 6 r r r /k /k FEM r /k FEM /k Рис. 9. Сравнение аналитического решения задачи о растяжении плоскости с круговым C = 0. отверстием с численным решением для случая C.

произвольных значений параметра В Заключении в заключении приводится обзор основных результатов диссертации:

1. Для исследуемого критерия пластичности выведены основные уравне ния и соотношения для случая плоского напряженного состояния.

2. Рассмотрены случаи гиперболичности и параболичности системы урав нений равновесия. В условиях гиперболичности системы уравнений рав новесия найдены уравнения характеристик для скоростей и напряже ний и исследованы соотношения вдоль них. Исследованы основные свой ства полей напряжений в области гиперболичности уравнений.

3. Проведен сравнительный анализ решений для условий плоского напря женного состояния и плоской деформации дилатирующих тел.

4. Получены уравнения для построения центрированного поля прямоли нейных характеристик и поля характеристик в центрально симметрич ной задаче.

5. Построены решения задач о полях напряжений в окрестности углового выреза, в растягиваемой плоскости с круглым отверстием, а также в растягиваемых полосах с угловыми и круговыми вырезами для общего случая зависимости свойств материала от вида напряженного состоя ния, а также для критерия Друкера-Прагера.

6. В рамках критерия Друкера-Прагера проведен анализ влияния чув ствительности пластических свойств материалов к виду напряженного состояния на величину возникающих напряжений и предельных нагру зок. Продемонстрировано заметное влияние параметра, определяющего чувствительность свойств материала к виду внешних воздействий, на характер получаемых решений.

7. Проведено сравнение аналитических решений различных задач, полу ченных в рамках модели жестко-пластического тела с решениями ана логичных задач для упруго-пластического материала, полученными ме тодом конечных элементов. Показано, что численные и аналитические решения задач для полей напряжений в окрестности вырезов весьма близки и аналитические решения могут быть использованы для оценки величины напряжений в этих случаях. В некоторых задачах о растя жении полос с вырезами аналитические решения дают верхнюю оценку предельной нагрузки, но при определенных значениях механических и геометрических параметров они могут быть использованы с достаточ ной степенью точности.

Список публикаций 1. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Пластическое плоское напряженное со стояние тел, свойства которых зависят от вида напряженного состояния // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2, № 2. С. 48–64.

2. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Задачи плоского напряженного состояния тел с вырезами, пластические свойства которых зависят от вида напряжен ного состояния // Механика твердого тела. 2010. № 6. С. 123–135.

3. Мельников А. М. Плоское напряженное состояние полосы из материа ла, свойства которого зависят от вида напряженного состояния // Вест ник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4.

С. 2352–2353.

4. Lomakin E. V., Melnikov A. M. Limit plastic state of notched stripes with Stress state dependent properties // Deformation and Fracture in Technologi cal Processes. Key Engineering Materials. 2013. Vol. 528. Pp. 79–88.

5. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Растяжение пластины с разрезом, пла стические свойства которой зависят от вида напряженного состояния // Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпози ума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина (Москва, 20–21 января 2011 года). М.:

Изд-во МГУ, 2011. С. 172–177.

6. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Плоское пластическое течение сред, чув ствительных к виду напряженного состояния, в окрестности надрезов // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. Апрель 2009 года. Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2009. С. 107.

7. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Пластическое течение дилатирующих сред в условиях плоского напряженного состояния // Современные про блемы газовой и волновой динамики. Тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти академика Халила Амедовича Рахма тулина в связи со столетием со дня его рождения. 21–23 апреля 2009 года.

Москва. МГУ им. М.В. Ломоносова. 2009. С. 63.

8. Lomakin E. V., Melnikov A. M. Limit plastic state of notched stripes with stress state dependent properties // NSC-RFBR. Taiwan-Russia Symposium.

Russian Academy of Sciences. A. Yu. Ishlinsky Institute for Problems in Me chanics. Deformation and Fracture in Technological Process. Book of Abstracts.

28–30 May 2012. Moscow, Russia. 2012. P. 21.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.