авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

О движении мяча по травяному газону

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Мигунова Дарья Сергеевна

О движении мяча

по травяному газону

01.02.01 — Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва - 2012

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и ме хатроники механико-математического факультета Московского го сударственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Вильке В.Г., доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Красильников П.С., доктор физико-математических наук, профессор Влахова А.В., кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация: Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской академии наук

Защита диссертации состоится 2 ноября 2012 года в 16 часов 30 минут на заседании совета Д 501.001.22 при Московском го сударственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119991, Москва, Ленинские горы, Главное Здание МГУ, механико математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 2 октября 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Прошкин В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о движении шара по шероховатой плоскости для случая точечного контакта была решена Л. Эйлером еще в середине XVIII века. Для изучения динамики системы в случае протяженной зоны контакта была необходима теория контактного взаимодействия, основы которой были заложены Г. Герцем в конце XIX века. Дальнейшее исследование взаимодействия твердого тела и деформируемой среды проводилось такими учеными, как Рейнольдс О., Ишлинский А.Ю., Тейбор Ф.П. и др.

В данной работе деформируемая сплошная среда моделируется однородным множеством стержней, каждый из которых описыва ется при помощи выбранной модели деформации (рассматриваются модель линейной упругости и модель Кельвина-Фойхта). Подобный подход, при котором опорная плоскость представляется в виде на бора единичных деформируемых элементов, применялся в работах Максвелла Дж., Тейбора Ф.П., Больцмана Л. и других авторов.

Рассмотрение сил, действующих не в точке, а на площадке кон такта, приводит к тесной взаимосвязи между качением, скольже нием и верчением мяча. Этим же свойством обладают некоторые другие модели силы трения, которым посвящены работы Алексан дрова Е.Б., Бриллиантова Н.В., Вильке В.Г., Журавлева В.Ф., Ива нова А.П., Карапетяна А.В., Киреенкова А.А., Контенсу П., Косенко И.И., Кулешова А.С., Пасейки Г., Пешеля Т., Трещева Д.В., Шваге ра Т. и др.

Исследование динамики мяча на деформируемой поверхности ак туально также в свете значительного объема накопленных различ ными исследователями наблюдений и экспериментальных данных, требующих своего объяснения и качественного анализа. Цель рабо ты состоит в развитии методов изучения динамики контактного вза имодействия тел, в том числе с бесконечным числом степеней свобо ды, и применении этих и ранее известных методов к моделированию предложенной механической системы "мяч-газон".

Основные результаты диссертации и их научная новизна.

В работе проведено исследование динамики механической системы, состоящей из массивного шара неизменной формы и деформируе мой сплошной среды — так называемого газона. Газон смоделирован непрерывным однородным множеством стержней, недеформирован ных в отсутствие контакта с мячом. Для стержней рассмотрена мо дели линейной упругости, а также модель Кельвина-Фойхта.

Сформулирована постановка задачи о движении мяча с глад кой сферической поверхностью по газону, состоящему из упру гих деформируемых стержней. Найдены уравнения движения стержней с помощью вариационного принципа Гамильтона Остроградского. В качестве источников сил сопротивления движению рассмотрены ударное взаимодействие стержней и мяча на границе зоны контакта и упругая деформация стерж ней. Вычислена результирующая сила ударного воздействия, найдено условие существования ударов. Показано, что полу ченная сила пропорциональна квадрату скорости центра мяча и имеет две компоненты: горизонтальную, противоположную направлению движения, и вертикальную. Найдены перемеще ния свободных концов стержней и результирующая сила поля реакций, действующих на мяч со стороны стержней, которая направлена вверх вдоль оси 3. Получены уравнения движе ния мяча, имеющие сложный нелинейный характер. Движение подробно исследовано для частных режимов: движения по го ризонтальной плоскости, вертикальных колебаний и соскаль зывания по наклонной плоскости под действием силы тяжести.

В последнем случае исследовано существование стационарных движений. Показано, что в зависимости от параметров системы может существовать до двух стационарных движений, среди которых одно устойчиво, а другое неустойчиво.

Исследована динамика мяча с шероховатой сферической по верхностью на газоне. Для определения величины сил трения, действующих в точках контакта свободных концов стержней с поверхностью мяча, использован диссипативный функцио нал, учитывающий зависимость этих величин от распределе ния нормальной нагрузки, скорости точки контакта, а так же выбранной модели трения. Для произвольной модели тре ния уравнения движения получены в виде системы связанных интегро-дифференциальных уравнений. Рассмотрены частные модели трения: линейное вязкое трение, сухое трение Кулона, вязкая аппроксимация сухого трения. Для линейного вязко го трения вычислены результирующие сила и момент трения, показано существование аттрактора в случае горизонтальной плоскости и стационарных движений в случае наклонной плос кости. Приведены выражения для силы и момента трения для двух других моделей трения и результаты численного интегри рования уравнений движения.

Рассмотрена динамика взаимодействия мяча с множеством вязкоупругих стержней, описанных при помощи модели Кельвина-Фойхта. Для определения сил сопротивления, возни кающих вследствие внутренней вязкости материала стержней, сформулирован диссипативный функционал. С его помощью вычислены нелинейные вязкие силы сопротивления и показана их малость относительно других сил сопротивления. Сформу лированы уравнения движения мяча с учетом сил внутренней вязкости. Показано, что найденные вязкоупругие силы, вооб ще говоря, изменяют форму и размеры зоны контакта. Грани ца возмущенной зоны контакта вычислена аналитически, при этом в качестве критерия отрыва стержня от поверхности ша ра использовано обращение в ноль силы реакции односторон ней связи. Указан вид этой границы для некоторых частных случаев движения, приведены сравнительные графики.

Все основные результаты, полученные в работе, являются новы ми.

Методы исследования. В работе используются методы анали тической механики, методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы (Вильке В.Г. (1983)), метод малого параметра и результаты теории возмущений.

Достоверность результатов. Все результаты в диссертации получены методами аналитической механики и асимптотическими методами на основе сформулированных в ней гипотез. Качественно аналитические результаты проиллюстрированы и подтверждены с помощью численного анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация но сит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях, посвященных динамике различных ви дов спорта (теннис, футбол, гольф), при моделировании движения техники по деформируемому грунту, а также при решении инженер ных и конструкторских задач с трением между деформируемыми движущимися деталями механизмов. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В.

Ломоносова, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Вычислительном центре имени А.А. Дородницына РАН, Ин ституте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН и других научно-исследовательских центрах.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссерта ции, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

Международная конференция студентов, аспирантов и моло дых учёных "Ломоносов-2011" (Москва, 14-23 ноября 2011 г.) Седьмой международный симпозиум по классической и небес ной механике CCMECH 7 (Москва, 17-28 октября 2011 года) Всероссийский конкурс студентов и аспирантов в области ма тематических наук (Ульяновск, 8-10 июля 2012 года) Семинар "Математические методы технической механики" под руководством проф. С.Я.Степанова и доц. А.А.Бурова (2012 г.) Семинар "Аналитическая механика и теория устойчивости" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф.

А.В. Карапетяна (2012 г.) Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Ра боты [1, 2, 3, 4] выполнены в соавторстве с научным руководителем д.ф.-м.н. Вильке В.Г., которому принадлежат постановки задач и методы их исследования.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 102 наиме нований. Работа содержит 26 рисунков. Общий объем диссертации — 97 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предметная область и цель настоящей дис сертации, дан обзор работ, посвященных исследованию механики контактного взаимодействия и моделей трения, учитывающих нето чечную зону контакта, а также изложены основные результаты дис сертации.

Первая глава диссертации посвящена исследованию динамики мяча с гладкой поверхностью на травяном газоне. Мяч — это абсо лютно твердое однородное изотропное недеформируемое тело сфе рической формы радиуса, обладающее массой. Газон модели руется однородным множеством упругих стержней длины, жест ко закрепленных на опорной плоскости и имеющих прямолинейную форму в недеформированном состоянии. Стержни могут испыты вать как продольные, так и изгибные деформации, а также ударные воздействия в момент контакта с поверхностью мяча. Деформации стержней изучаются в рамках линейной теории продольных и изгиб ных деформаций.

В 1.1 формулируется постановка задачи и вводятся основные пе ременные. В неподвижной системе координат 1 2 3 зададим 1, 2, 3 — координаты центра мяча. При условии 3 = (1+)+, 0 мяч взаимодействует со множеством стержней, и контакт происхо дит по сферическому сегменту = {(1, 2, 3 ) :1 = 1 + sin cos, 2 = 2 + sin sin, 3 = 3 cos, 0, 2}, где, – сферические координаты на поверхности мяча, а угол 0 = arccos 3. Проекцией сферического сегмента на плоскость 1 2 является круг = {(1, 2 ) : 1 = 1 + cos, 2 = 2 + sin, 0 sin 0, 2}, = sin Поле перемещений срединных линий стержней, основания кото рых принадлежат области, представлено в виде:

R(,,, ) = [ + (,,, )]e3 + [ + (,,, )]e + + (,,, )e, 0, e = e1 sin + e2 cos, e = e1 cos + e2 sin, где e1, e2, e3 – орты системы координат 1 2 3, а e, e, e – орты цилиндрической системы координат с началом в центре.

Из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского выво дятся уравнения движения стержня с граничными условиями, соот ветствующими жестко закрепленному нижнему концу и свободному верхнему.

= 1 ;

(0) = 0, 1 () = 1 2 + 2 = 0;

(0) = (0) = 0, 2 () = 0, 2 () = 4 2 + 2 = 0;

(0) = (0) = 0, 2 () = 0, 2 () = 1, 4 2 где, и — линейная плотность материала стержня, его про дольная и изгибная жесткости соответственно, и введены дифферен + циальные операторы = +, = 1, 2, 3, 4, = 1, 2.

Согласно методу разделения движений динамическая задача о продольно-поперечных колебаниях стержня заменяется квазистати ческой задачей, а процесс взаимодействия стержня с поверхностью мяча разбивается на абсолютно неупругий удар, вследствие которо го энергия рассеивается при затухающих колебаниях, и скольжение свободного конца стержня по гладкой поверхности мяча. Эти дви жения в работе считаются независимыми и рассматриваются по от дельности.

Исследование ударного взаимодействия между стержнем и сфе рической поверхностью приведено в п. 1.2. Получено условие (V, n) 0, где V — скорость мяча в системе координат 1 2 3, наложения связей на границе зоны контакта, сопутствующее вовле чению новых стержней во взаимодействие с мячом.

Поведение стержня на малом интервале времени после момента наложения связи описывается функциями (, + ) = (V, n) cos 0 + ( ) (), = () = sin (32 3 ) (, + ) = (V, n) sin 0 + ( ) () = cos () = (sh + sin )(ch ) (ch + cos )(sh sin ), 0 Здесь – корень характеристического уравнения tan = tanh, а функции (), () удовлетворяют граничным условиям (0) = () = 0, (0) = (0) = () = () = и образуют ортогональный базис в линейных многообразиях конфи гурационных пространств, описывающих продольные и поперечные колебания стержня. Функции ( ), ( ) стремятся к нулю за счет сил внутреннего вязкого трения.

Вычислена кинетическая энергия продольных и поперечных де формаций стержня в процессе контакта с поверхностью мяча:

( + 2 ) = (V, n)2 ((V, n)), (,, ) = 20 = (99 + 41 cos 0 ) На основании теоремы об изменении кинетической энергии вы числена величина нормальной средней силы, действующей на стер жень при ударе = 0 (V, n)((V, n)), где — функция Хевисай да. После интегрирования получены силы результирующего удар ного взаимодействия, пропорциональные квадрату скорости мяча:

(, 3, 3 ) = 2 sin 0 [ 2 sin2 0 (sin 0 1/3 sin3 0 )+ + 2 cos2 0 sin 0 3 sin 0 cos 0 (0 + sin 0 cos 0 )]( 3 ctg 0 ) 3 (, 3, 3 ) = cos 0 [ 2 sin2 0 (0 + sin 0 cos 0 )+ + 2 2 0 cos2 0 4 3 sin 0 cos 0 sin 0 ]( 3 ctg 0 ) Момент поля сил ударных реакций относительно центра мяча равен нулю, так как поле совпадает с нормалью к сферической по верхности мяча.

В 1.3 исследуются силы, действующие со стороны стержней на мяч после окончания переходных процессов в пренебрежении внут ренней вязкостью. Связь между перемещениями конца стержня и силой, действующей на свободный конец стержня, имеет вид:

= /, = 3 1 3 = (), = (), = (), и порождается потенциалом:

( + 2 + 2 ).

(,, ) = Условие нормальности силового поля поверхности мяча позволя ет найти,,.

Вычисленная величина результирующей силы Q = 3 e3 зависит только от глубины погружения мяча в газон и направлена по оси 3 :

( ) Q = 3 2 1 + 1, || e3, = 3 В 1.4 получены уравнения движения мяча в проекциях на оси подвижной системы координат. Уравнения представляют собой си стему обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого по рядка относительно переменных,, 3 с нелинейными правыми ча стями.

= 2 sin 0 [ 2 sin2 0 (sin 0 1/3 sin3 0 ) + 3 cos2 0 sin 3 sin 0 cos 0 (0 + sin 0 cos 0 )]( 3 ctg 0 ) = 3 = 3 + 3 2 (1 + ) + cos 0 [ 2 sin2 0 (0 + sin 0 cos 0 )+ + 2 2 0 cos2 0 4 3 sin 0 cos 0 sin 0 ]( 3 ctg 0 ) Так как в случае гладкой поверхности мяча поля сил в 1.2 и 1. нормальны сферической поверхности, момент силы равен нулю, и в уравнения движения не входит угловая скорость.

Так как полученные в 1.4 уравнения движения не могут быть раз решены в общем случае, более детальный анализ динамики гладкого мяча на газоне приводится в 1.5 для некоторых частных режимов движения.

Рассмотрено движение мяча по горизонтальной плоскости в от сутствие внешних сил, отличных от силы тяжести. Показано, что при таком движении имеет место обратная зависимость между ма лым параметром, описывающим вертикальное перемещение цен тра мяча, и горизонтальной скоростью центра мяча. Физически это означает, что с ростом скорости мяч как бы "всплывает" в га зоне;

и наоборот, чем меньше скорость, тем больше мяч погружен в газон. Похожий эффект описан в статье Пешеля Т., Швагера Т. и Бриллиантова Н.В. (1999).

Для вертикальных колебаний центра мяча уравнения движения сводятся к одному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с единственной переменной :

= 2 2 () + 3 Найдено устойчивое положение равновесия мяча на газоне * = /(3 ). В системе Maple 14 построен фазовый портрет меха нической системы с особой точкой типа "фокус".

Рассмотрено движение мяча по наклонной плоскости, углы на клона которой определяются положительными константами 0, 1.

Для движения мяча по наклонной плоскости под действием силы тя жести найдены частные решения = 0 или = и исследована их устойчивость. Так, показано, что движение "вверх" = по наклон ной плоскости неустойчиво, в отличие от движения "вниз" = 0.

Существование и количество стационарных движений в последнем случае определяется количеством корней уравнения () = 1, где функция задается соотношением () = 3 16 0 + 3 4, = 0. Если уравнение не имеет корней, стационарных движе ний, удовлетворяющих условию = 0, нет. Если уравнение имеет единственный корень, соответствующий минимуму функции (), существует единственное стационарное решение. Если у уравнения есть два корня, существуют два стационарных движения (1, 1 ) и (2, 2 ).

Устойчивость этих стационарных движений исследуется на осно ве уравнений в вариациях. Считая для определенности 1 2 и 1 2, показана устойчивость движения (2, 2 ) и неустойчивость стационарного движения (1, 1 ) согласно критерию Гурвица.

Качественный анализ движения мяча подкреплен результатами численного компьютерного моделирования.

Вторая глава посвящена изучению трения, возникающего при движении мяча с шероховатой поверхностью по газону. Задача на хождения результирующих силы и момента трения сводится к инте грированию по поверхности контакта элементарных сил и моментов, возникающих при скольжении свободного конца стержня по поверх ности шара. При этом необходимо учитывать распределение кон тактных напряжений, которое принимается совпадающим с анало гичным распределением в предположении о гладкости поверхности контакта, полученным в главе 1.

В 2.1 сформулирован диссипативный функционал, описывающий рассеяние энергии механической системы вследствие трения:

2 [ve, 3 ] = (3,,,,, )(ve ) ei + (Z + e ) e e e3 ]2, ve = [ = Z = ( sin + )e + ( cos + )e Здесь ve — скорость свободного конца стержня относительно по верхности мяча. Компоненты силы и момента трения находятся как частные производные функционала по компонентам скорости или угловой скорости. Полное выражение диссипативного функци онала позволяет написать замкнутую систему связанных интегро дифференциальных уравнений. В дальнейшем функционал и опре деленные на его основе сила и момент вычисляются приближенно с точностью до главных членов.

В выражение для диссипативного функционала входит функция (ve ), описывающая мощность трения в точке соприкосновения мяча и стержня в зависимости от относительной скорости точки контакта ve. Рассмотрению различных исследованных в литературе моделей сил трения, посвящен раздел 2.2. Для более подробного исследова ния выбраны три различные функции (ve ), соответствующие ли нейному вязкому трению, сухому трению Кулона и, наконец, вязкой аппроксимации сухого трения:

1), 2), 1 1 1 2 + 2 3, 1 0, 2 0, 3) 2 4 Модель сухого трения имеет существенный недостаток, связан ный с отсутствием производной функции в нуле, который приво дит к появлению зон застоя при нулевых значениях относительной скорости, к потере единственности решений возникающих диффе ренциальных уравнений и к появлению в ряде случаев зависимости движений от предыстории движений. Модель с вязкой аппроксима цией задается гладкой функцией и обладает немаловажным физи ческим свойством: коэффициент трения покоя в ней выше коэффи циента трения скольжения.

В 2.3 на основе диссипативного функционала вычисляются ком поненты силы и момента трения для модели линейного вязкого тре ния, что дает возможность сформулировать уравнения движения мяча:

4 = 2 2( 2 + 2 2 2) 3 44 2 [ + (1 sin ) 2 cos ] = 45 2 (1 cos + 2 sin ) = ( 2 + 2 2 4 2) + 3 2 (1) 1 = 45 2 (1 + 1 sin ) 2 = 45 2 (2 1 cos ) 3 = 5 3 Эти уравнения имеют нелинейные правые части и в случае гори зонтальной плоскости описывают систему с единственным аттракто ром, соответствующим положению равновесия мяча на плоскости:

0 = 0, 0 =, 0 = В случае наклонной плоскости в зависимости от параметров си стемы могут существовать стационарные движения, соответствую щие равномерному прямолинейному качению мяча по газону. При ведены графики, соответствующие результатам численного интегри рования уравнений движения мяча, для случаев гладкой поверхно сти мяча и поверхности с линейным вязким трением. Показано, что пренебрежение членами младшего порядка при вычислении силы и момента трения вносит малое возмущение в траекторию мяча.

В 2.4 сформулированы интегральные выражения для компонент силы и момента трения в случае сухого трения Кулона. Вычислена сила трения для аппроксимации сухого трения, показано, что она имеет нелинейный характер. Громоздкие выражения для силы и мо мента не позволяют дать качественное описание характера движения в этом случае. Для случая вязкой аппроксимации сухого трения про ведено численное моделирование и построены графики в сравнении с движением с линейным вязким трением.

В выражения для всех компонент силы и момента трения в обо их рассмотренных случаях входят компоненты скорости и угловой скорости мяча, что приводит к взаимосвязи между движениями мя ча: скольжением, верчением, качением. В отличие от классического результата Эйлера (1758 г.), в котором после окончания этапа про скальзывания мяч может независимо катиться и вращаться вокруг вертикальной оси, взаимосвязь трех видов движения шара характер на для задач, где модель трения строится по протяженной площадке контакта (Журавлев В.Ф. (1998 г.), Карапетян А.В. (2008 г.), Алек сандров Е.Б., Вильке В.Г., Косенко И.И. (2008 г.)).

В главе 3 исследуются особенности механической системы для случая вязкоупругих стержней, связанные с внутренней вязкостью материала, из которых они изготовлены. В работе используется мо дель Кельвина-Фойхта, объединяющая упругие и вязкие свойства.

В п. 3.1 решается задача приближенного определения главного вектора сил. Сформулирован функционал внутренних диссипатив ных сил [1 2 +2 ( 2 + 2 )], [ (,, ), (,, )] = 2 где 1, 2 — коэффициенты вязкости при продольных и попе речных деформациях стержня, а — невозмущенная зона контакта (круг). С учетом сил внутренней вязкости получены возмущенные уравнения движения стержней с точностью до членов более высоко го, чем () и ( 2 ) порядка малости.

Силы сопротивления, порождаемые диссипативным функциона лом, получены в виде 2 2 2 1 = 41 + 142 2 3 122 2 5 31 = и должны быть добавлены в правые части уравнений движения (1). Силы внутренней вязкости имеют нелинейный характер и малы по сравнению с силами, рассмотренными в главах 1, 2.

Учет возмущенных уравнений движения стержней приводит к изменению пятна контакта в процессе движения мяча. Определению новой, возмущенной формы зоны контакта посвящен п. 3.2.

В качестве критерия отрыва конца стержня от поверхности мяча используется условие обращения в ноль силы реакции односторонней связи, действующей в точках контакта стержней и поверхности мяча 2 2 3 + + = 0, где компоненты силы реакции получены из гранич ных условий вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

1 [ () + 1 ()] = 2 [ () + 2 ()] = 2 2 () = В предположении о малости коэффициентов вязкости 1, = 1, 2 уравнение границы возмущенной зоны контакта получено с точностью до малых первого порядка в виде 2 () + 21 [ 2 cos ( ) ], 2= 2 считая отрицательным выражение в квадратных скобках. В про тивном случае, если 2 cos ( ), граница зоны контакта совпадает с невозмущенной, т.е. дугой окружности.

Далее проводится аналитическое исследование качественного из менения формы пятна контакта.

Для случая = 0 зона контакта отличается от невозмущенной в левой полуплоскости, т.е. при выполнении условия 3, 2 и представляет собой кривую, полностью лежащую внутри окруж ности невозмущенной области.

Для случая = 0, 0 показано, что граница возмущенной зоны контакта является окружностью, концентрической с невозмущенной, и полностью лежащей внутри последней. При = 0, 0 границы возмущенной и невозмущенной зон контакта совпадают.

Для случаев, когда одновременно и не обращаются в ноль, приведены примеры взаимного расположения возмущенной и невоз мущенной границ, являющиеся комбинацией двух рассмотренных частных случаев. В частности, показано, что для 0 и различ ных реализуются варианты, при которых возмущенная граница отличается от невозмущенной по дуге, большей или меньшей полу окружности, а также может быть представлена окружностью, це ликом лежащей внутри границы круга, но не концентрической с ней.

В заключении сформулированы основные результаты диссерта ции.

Публикации по теме диссертации 1. Вильке В.Г., Мигунова Д.С. О движении мяча по травяному газону // ПММ, 2011, т. 75, вып. 5, с. 801-812.

2. Vil’ke V.G., Migunova D. About movement of a ball on a Grassy lawn. In: Classical and Celestial Mechanics. Selected Papers, Gadomski L., Krasil’nikov P.S., Prokopenya A.N. (Eds.).

Wydawnictwo Collegium Mazovia, Siedlce, 2012, pp. 195-205.

3. Vil’ke V.G., Migunova D. About movement of a ball on a Grassy lawn. In: "7th International Symposium on Classical and Celestial Mechanics. Book of Abstracts", Wydawnictwo Collegium Mazovia, Siedlce, 2011, pp. 100-102.

4. Вильке В.Г., Мигунова Д.С. О движении мяча по травяному га зону // Сборник работ победителей "Всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в об ласти математических наук". Издательский центр УлГУ. 2012.

С. 74-77.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.