авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Ивочкин Михаил Юрьевич

Интегрируемость и неинтегрируемость

уравнений движения тяжелого тела

эллипсоидальной формы на гладкой

горизонтальной плоскости

01.02.01 – теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского Государственного Уни верситета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

д. ф.-м. н., проф. Карапетян А. В.

к. ф.-м. н., доц. Ошемков А. А.

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., проф. Болсинов А.В.

к.ф.-м.н., Довбыш С.А.

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН

Защита состоится «11» декабря 2009 г. в 16 часов 30 минут на засе дании диссертационного совета Д.501.001.22 при МГУ расположенном по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, меха нико-математический факультет, аудитория 16-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-мате матического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 11 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.22, доцент Прошкин В.А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы Движение тела по гладкой горизонтальной плоскости — важная за дача аналитической механики. Эта задача является более общей и менее изученной, чем задача о движении тяжелого твердого тела с неподвиж ной точкой. Естественный вопрос для аналитической механики — при каких значениях параметров задачи дифференциальные уравнения, опи сывающие движение, допускают дополнительные интегралы. В настоя щее время появилась надежда на решение этой задачи, в связи с развити ем методов дифференциальной теории Галуа, давших новый импульс к изучению вопроса о неинтегрируемости гамильтоновых систем. По-преж нему остается важной задачей качественное исследование уже известных интегрируемых систем. Таким образом, задачи поиска новых и качествен ного исследования уже известных интегрируемых случаев действительно актуальны для современной механики.

Цель диссертационной работы Диссертация посвящена качественному изучению известных интегри руемых случаев, а также получению условий существования дополни тельных интегралов для уравнений, описывающих движение тяжелого твердого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плос кости. Исследования базируются на методах теории бифуркаций, разра ботанных С. Смейлом и А.Т. Фоменко, а также на подходах и методах исследования интегрируемости, разработанных А. Пуанкаре, В.В. Коз ловым, С.Л. Зиглиным, Ж.Ж. Моралисом-Руизом, Ж.П. Рамисом.

Все основные результаты диссертации Научная новизна работы.

являются новыми, ранее неизвестными. В работе впервые были постро ены бифуркационные диаграммы, изучены перестройки торов для диф ференциальных уравнений, описывающих движение динамически и гео метрически симметричного эллипсоида на гладкой плоскости. При раз личных предположениях о выборе параметров эллипсоида на гладкой плоскости найдены необходимые, а в некоторых случаях — и достаточ ные условия интегрируемости уравнений движения.

Все результаты диссертации научно Достоверность результатов.

обоснованы и базируются на методах топологического анализа, теории бифуркаций, методах теории динамических систем, дифференциальной теории Галуа, теории функции комплексного переменного.

Работа носит Теоретическая и практическая ценность работы.

теоретический характер, полученные результаты могут быть использо ваны в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Вы числительном центре имени А.А. Дородницына РАН, Математическом институте имени В.А. Стеклова и других научно-исследовательских цен трах.

Апробация работы.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Семинар "Современные геометрические методы"кафедры диффе ренциальной геометрии и приложений мех-мата МГУ под руко водством проф., акад. РАН А.Т. Фоменко, проф. А.В. Болсинова, проф. А.С. Мищенко, доц. А.А. Ошемкова, доц. Е.А. Кудрявцевой, 14.02. • 6-ой Международный симпозиум по классической и небесной меха нике, Великие Луки, 1-6.08. • Х Международный семинар "Устойчивость и колебания нелиней ных систем управления", Москва, 1-5.06. • Семинар "Избранные задачи динамики"кафедры теоретической ме ханики и мехатроники мех-мата МГУ под руководством проф., чл.-корр. РАН Д.В. Трещева, 16.10. • V Международная конференция "Поляховские чтения", Санкт-Петер бург, 3-6.02. • Семинар имени В.В. Румянцева кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ под ру ководством проф. А.В. Карапетяна, чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Я.В. Татаринова, 08.04. Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в пяти печатных рабо тах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 92 наименований. Общий объем диссертации — 90 стра ниц.

Содержание работы описана предметная область и цель настоящей диссер Во введении тации, дан обзор работ, посвященных исследованию интегрируемых и неинтегрируемых случаев в динамике тяжелого твердого тела на глад кой горизонтальной плоскости, приведено краткое содержание диссерта ции.

носит обзорный характер. В ней, в основном, рассмат Первая глава риваются различные методы доказательства неинтегрируемости диффе ренциальных уравнений.

Приведено описание различных методов доказательства неинтегриру емости, сформулированы соответствующие теоремы, условия их приме нения и преимущества одних методов перед другими. Показана связь од них методов доказательства неинтегрируемости с другими. Далее подроб но излагается следующий подход к исследованию неинтегрируемости, ос нованный на линеаризации дифференциальных уравнений в окрестности частного нестационарного решения. Пусть исходная система интегрируе ма. Тогда и линеаризованная система тоже интегрируема. Пусть первые ненулевые члены в разложении первых интегралов на решении имеют первый порядок (т.е. интегралы функционально независимы на частном решении). Выбор частного решения зависит от вида дифференциальных уравнений. В качестве такого решения можно взять, например, перио дическое или квазиоднородное решение. Такие решения позволяют ис пользовать локальные методы, верные лишь в предположении функци ональной независимости интегралов на частном решении. Более общий случай возникает, когда предполагается, что необязательно первый член в разложении интегралов на решении ненулевой (т.е. интегралы могут быть зависимы на решении, но независимы в его окрестности). Тогда применяются методы, разработанные С.Л. Зиглиным и Ж.Ж. Морали сом-Руизом, Ж.П. Рамисом в предположении комплексности системы дифференциальных уравнений. Метод Зиглина основан на вычислении группы монодромии для нормального уравнения в вариациях. Однако, этот метод в общем случае неконструктивен, в отличие от метода диффе ренциальных групп Галуа (Моралиса-Руиза-Рамиса): поскольку в общем случае не существует процедуры вычисления группы монодромии. Более общий метод Моралиса-Руиза-Рамиса представляет собой линейный ана лог теоремы Арнольда-Лиувилля о фазовых торах.

Существенным шагом в применении данных методов является вы бор частного решения, что дает необходимые условия интегрируемости;

затем берется другое частное решение и находятся другие условия инте грируемости. В итоге эти условия пересекаются лишь в исключительных случаях. Такой подход оказался продуктивным. Например, для уравне ний вида Эйлера-Пуассона берутся три вида частных решений, приме нявшихся еще Ковалевской и Ляпуновым.

Первое решение используется для случая различных моментов инер ции и является «не физическим»: вектор восходящей вертикали равен нулю, а импульс является решением уравнений Эйлера. Риманова по верхность такого частного решения есть тор, параметризованный ком плексным временем. Если вычислять группу монодромии для уравнения в вариациях, то она состоит из двух образующих и условие их коммутиру емости равносильно однозначности решения в окрестности особой точки (это есть не что иное, как тест Ковалевской-Пенлеве на однозначность решений).

Вторые два решения применяются для динамически симметричного тела и при определенном расположении центра масс: это решения ви да 1 = 3 = 2 = 0 для произвольного расположения центра масс, а также решения вида 1 = 2 = 3 = 0 для случая, когда центр масс рас положен в экваториальной плоскости тела. (Здесь (1, 2, 3 ) — вектор угловой скорости и (1, 2, 3 ) — единичный вектор восходящей верти кали). Остальные переменные выражаются через эллиптические функ ции в зависимости от времени. В линеаризованных около этих решений уравнениях осуществляется замена времени, такая, что коэффициенты этого линейного уравнения, которые выражались через эллиптические функции, будут выражаться через рациональные функции. Для таких уравнений существует алгоритм Ковачича, позволяющий проверить их разрешимость в квадратурах, причем, если рассматривается условие вы полнения теста Ковалевской-Пенлеве, то проверяется условие однознач ности решения линейных уравнений. Таким образом находятся условия существования интеграла в мероморфных функциях (или, в частном слу чае, алгебраическая полная интегрируемость).

Другой подход к доказательству неинтегрируемости основан на вве дении определенным образом малого параметра, возмущающего интегри руемую систему. В работах Ж.Ж. Моралиса-Руиза, Ж.П. Рамиса пока зано, что такой подход аналогичен подходу дифференциальной теории Галуа. Это позволяет выявить ряд эффектов, которые возникают при переходе к неинтегрируемости, например, в случае возмущения сепара трис.

Результаты, изложенные в этой главе, используются при доказатель стве неинтегрируемости в следующих главах.

рассматривается следующая постановка задачи:

Во второй главе имеется эллипсоид, который движется по гладкой горизонтальной плос кости, причем • две полуоси эллипсоида-поверхности равны • два главных центральных момента инерции равны, главные цен тральные оси инерции сонаправлены с главными осями эллипсо ида-поверхности • центр масс лежит на оси динамической и геометрической симмет рии Этот случай аналогичен случаю Лагранжа в задаче о движении твер дого тела вокруг неподвижной точки. В отличие от случая Лагранжа те перь в гамильтониане изучаемой задачи коэффициенты при импульсах зависят от координат, потенциальная энергия — алгебраическая функ ция координат. Основная цель работы — произвести топологический ана лиз системы, т.е. описать изменение числа инвариантных торов в зави симости от значений постоянных первых интегралов. При переходе по стоянных интегралов через критические значения этот тор вырождается или в окружность, или в точку, или в прямое произведение восьмерки и окружности. Для произвольного случая распределения параметров по строены и классифицированы бифуркационные диаграммы, т.е. опреде лены те значения постоянных первых интегралов, при переходе через которые изменяется число инвариантных торов;

аналитически доказано, что число таких бифуркационных диаграмм равно семи. Затем изучено, как именно изменяется число торов при переходе значений параметров через ветви бифуркационной диаграммы. Введены определенным обра зом координаты, упрощающие все вычисления. В них проведено иссле дование знака приведенного потенциала, что и дает условия на измене ние собственных значений стационарных движений. Далее изучены осо бенности бифуркационной диаграммы, построены и классифицированы изоэнергетические многообразия. По результатам этих исследований по строены топологические инварианты, описывающие тип данной гамиль тоновой системы.

рассматривается движения эллипсоида, мало отли В третьей главе чающегося от шара: вводится возмущение полуосей bi = R + Bi. Тогда, как показано в работе А.А. Бурова, А.В. Карапетяна (1985), необходи мыми условиями существования дополнительного интеграла будут:

• центр масс эллипсоида совпадает с его геометрическим центром • главные центральные оси инерции сонаправлены с главными осями эллипсоида-поверхности • выполнено условие Клебша (B2 B3 )J1 + (B3 B1 )J2 + (B1 B2 )J3 = 0.

В этой работе в качестве частного решения была выбрана сепаратри са, затем вычислялся интеграл Пуанкаре-Мельникова. Более сильные условия можно получить исследуя второе приближение, что и было сде лано в диссертации уже с использованием другого частного решения, выраженного через эллиптические функции. Для изучения уравнений, линеаризованных в его окрестности, был применен метод Зиглина. Ри манова поверхность решения — это тор, параметризованный временем, имеющий ровно одну особую точку. Условие метода Зиглина — комму тируемость образующих тора — переходит в условие отсутствия ветвле ния около этой особой точки, что дает во втором приближении условие B1 = B2 = B3 в качестве необходимого условия интегрируемости, вместо условия Клебша.

рассматривается качение эллипсоида, для кото В четвертой главе рого • две полуоси эллипсоида-поверхности равны • два главных центральных момента инерции равны, главные цен тральные оси инерции сонаправлены с главными осями эллипсо ида-поверхности • центр масс лежит в экваториальной плоскости Берется частное решение, соответствующее вращению тела вокруг вертикали. С помощью замены переменных уравнения движения норма лизуются в окрестности этого частного решения. Доказательство неин тегрируемости проводится методом, разработанным в работах В.В. Коз лова, А.Д. Брюно: за счет выбора постоянной интеграла площадей до стигается условие резонанса 1:3. В итоге условие резонанса и условие равенства нулю резонансного члена дают два соотношения на пять пара метров задачи. К сожалению, в отличие от задачи движения тяжелого тела с неподвижной точкой, данный метод не позволяет сделать в об щем случае окончательный вывод о существовании интегралов уравне ний движения. Однако, с его помощью показано, что дополнительного интеграла нет для аналога случая Ковалевской.

рассматривается задача о качении шара. Для этой В пятой главе задачи число параметров равно числу параметров в задаче о движении тяжелого тела с неподвижной точкой. Указываются частные решения уравнений движения, для каждого частного решения находятся необхо димые условия существования дополнительных интегралов. Основной результат сформулирован в двух теоремах.

Если главные центральные моменты инерции различ Теорема ны, то система уравнений движения не является алгебраически полной интегрируемой системой, за исключением случая Эйлера, когда центр масс совпадает с геометрическим.

Если хотя бы два главных центральных момента инер Теорема ции совпадают, то система уравнений движения не является алгебраи чески полной интегрируемой системой, за исключением аналога случая Лагранжа, когда центр масс расположен на оси динамической симмет рии.

Заключение:

• Дан топологический анализ динамики тяжелого динамически сим метричного эллипсоида вращения на гладкой горизонтальной плос кости (аналог случая Лагранжа): построены бифуркационные диа граммы Смейла, описаны перестройки торов Лиувилля, построены топологические инварианты теории Фоменко.

• Получено необходимое условие существования дополнительного ме роморфного интеграла уравнений движения тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости для случая эл липсоида с мало различающимися полуосями, центр масс которого совпадает с геометрическим центром.

• Получены необходимые условия существования аналитического ин теграла уравнений движения тяжелого динамически и геометриче ски симметричного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоско сти для случая, когда центр масс эллипсоида лежит в экваториаль ной плоскости.

• Получены необходимые и достаточные условия того, что система уравнений движения тяжелого неоднородного шара на гладкой го ризонтальной плоскости является алгебраически полной интегри руемой системой.

Список публикаций • 1. Ивочкин М.Ю. Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой плоскости, Матем. сб., 2008, 199:6, 85- • 2. Ивочкин М.Ю. Необходимые условия существования дополни тельного интеграла в задаче о движении тяжелого эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости, ПММ том 75, вып. 5, 858-863, • Ивочкин М.Ю. "Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой горизонтальной плоскости", VI Международный симпози ум по классической и небесной механике, Великие Луки, 1-6.08.2007, (тезисы докладов) • Ивочкин М.Ю. "Необходимые условия существования дополнитель ного интеграла в задаче о движении тяжелого трехосного эллип соида на гладкой горизонтальной плоскости", Х Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управле ния", Москва, 1-5.06.2008, (тезисы докладов) • Ивочкин М.Ю. "Применение методов дифференциальной теории Галуа в задаче о движении тяжелого шара на гладкой горизонталь ной плоскости", тезисы V Международная конференция "Поляхов ские чтения", Санкт-Петербург, 3-6.02.2009, (тезисы докладов)

 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.