авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Вариационная постановка и разработка методов решения задач контактного взаимодействия тел при конечных деформациях

На правах рукописи

МОРЕВ ПАВЕЛ ГЕННАДЬЕВИЧ

ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА И РАЗРАБОТКА

МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТАКТНОГО

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ ПРИ КОНЕЧНЫХ

ДЕФОРМАЦИЯХ

Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Тула 2008 2

Работа выполнена в Орловском государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Маркин Алексей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бровко Георгий Леонидович доктор физико-математических наук, профессор Шоркин Владимир Сергеевич

Ведущая организация: Пермский Государственный технический университет.

Защита диссертации состоится “01” июля 2008 г. в 10 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО “Тульский государственный университет” по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина 92 (9 101)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО “Тульский государственный университет”

Автореферат разослан “” мая 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Л.А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сейчас трудно представить создание новых произ водственных технологий без разработки адекватных математических моделей и их всестороннего исследования в численных экспериментах. Для технологий, связанных с формоизменением твёрдых тел, конечным этапом этих теоретиче ских исследований является решение соответствующей краевой задачи, кото рая, как правило, оказывается контактной. Вместе с тем такие задачи во многих отношениях – одни из самых сложных краевых задач математической физики.

Ввиду своей важности и сложности контактные задачи привлекали большое число исследователей как в нашей стране (А.С. Кравчук, В.С. Давыдов, Е.Н.

Чумаченко, Э.Р. Гольник, Н. И. Гундорова, А. А. Успехов и др.), так и за рубе жом (G. Pietrzak, A. Curnier, F. Armero, E. Petoch, P. Alart, M. Barboteu, F. Lebon, D. Barlam, E. Zahavi и др.). При этом контактная задача при конечных деформа циях по части постановки обычно рассматривалась либо как задача на услов ный экстремум некого функционала (для упругих материалов), либо как квази вариационное неравенство скоростного типа (в общем случае). Существуют также невариационные пос тановки, но к ним прибегают сравнительно редко.

В результате было разработано множество алгоритмов и пакетов про грамм, которые охватывают широкий диапазон технологических задач, однако на практике получение дос товерных результатов для сложных процессов де формирования может оказаться серьёзной проблемой, связанной с подбором нескольких параметров, отсутствующих в постановке задачи и влияющих толь ко на вычислительный процесс. Эти параметры могут меняться от задачи к за даче, поэтому их приходится каждый раз подбирать заново. При этом обычным делом является расходимость пошагового расчёта после довольно большого числа шагов, никак не связанная с потерей устойчивости реальной меха нической системы контактирующих тел. Кроме этого, предлагаемые алгоритмы чрезвычайно сложны, и для своей программной реализации требуют участия как квалифицированных математиков, так и квалифицированных программи стов, что может оказаться неприемлемым для исследователей, располагающих небольшим бюджетом.

Важно учитывать ещё два обстоятельства. Во-первых, при работе с фир менными программными продуктами предлагаемые пользователю способы описания движения абсолютно жёстких тел могут оказаться непригодными в каком-то частном случае. Например, пакеты ANSYS и NASTRAN использует декартовы координаты выделенной точки тела ("pilot node") и углы поворота вокруг неё, что не позволяет решать некоторые задачи со сложным нагружени ем. Поэтому желательно, чтобы пользователь мог самостоятельно задавать сис темы обобщённых координат для абсолютно жёстких тел. Во-вторых, в послед нее время начал проявляться интерес к микроструктуре деформируемых тел (в частности, Г. Л. Бровко исследует модели среды Коссера). Это предъявляет до полнительное требование к контактным алгоритмам, а именно: высокую точ ность расчёта в тонком приконтактном слое при конечных деформациях, по скольку в технологических процессах зачастую именно там формируется мик роструктура материала.

Таким образом, разработка более экономичных и прос тых в программи ровании способов решения остаётся актуальной проблемой.

Работа выполнялась в соответствии с научно-технической программой "Высокие технологии высшей школы" (утверждена приказом № 486 от 20.03. "Об утверждении перечня минвузовских научно-технических программ на г.");

проектами "Исследование пластического течения металла при локальном и комплексном нагружении" и "Исследование характера плас тического течения металла при получении тонкостенных осесимметричных деталей методом вал ковой штамповки", выигравшими конкурсы грантов в 1996 и 2000 г.г. соответ ственно;

проектом "Исследование плас тического течения металла при изготов лении деталей методом валковой штамповки", вошедшим в разовый заказ-на ряд в 1999 г;

проектом "Исследование напряженно-деформированного состоя ния и характера плас тического течения металла в разделительных и формооб разующих операциях при локальном деформировании", вошедшим в единый заказ-наряд в 2000 г.;

проектом “Исследование пластического формоизменения при комплексном локальном нагружении объекта деформирования”, выполнен ном по заданию Минис терства образования на проведение научных исследова ний в 2005-2007 гг.

Цели диссертационной работы. Основной целью является вариационная постановка и разработка методов решения задач взаимодействия абсолютно жёст ких тел с конечно деформируемым упругопластическим телом. Для её достиже ния оказалось необходимо:

1. Получить скоростной вариационный принцип квазистатического равно весия системы контактирующих тел, явно включающий в себя не только тензор ные поля, определяющие напряжённо-деформированное состояние (НДС), но также и обобщённые координаты и силы для абсолютно жёстких тел.

2. Построить модель описания процесса контактного взаимодействия на основе предложенной формы вариационного принципа и системы эволюционных уравнений.

3. Выполнить пространственную дискретизацию полученной модели на ос нове конечноэлементной аппроксимации Разработать методику решения полу ченной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе метода Рунге-Кутта.

4. Создать и отладить программу для численного решения контактных за дач.

5. На серии численных тестов продемонстрировать достоверность предла гаемого метода и его преимущества перед существующими.

Научная новизна:

1. Предложена модификация вариационного принципа скоростного типа, позволяющая описать процесс взаимодействия жёстких тел с телами, испыты вающими произвольные деформации.

2. Разработана методика решения системы уравнений, получаемой в ре зультате дискретизации предложенной модели контактного взаимодействия, эффективная как при малых, так и при больших деформациях.

3. Получено уравнение эволюции границы поверхности контакта.

Методы исследования:

В работе использованы понятия и методы нескольких разделов механики деформируемого твёрдого тела и математики: кинематика и условия равновесия сплошной среды и абсолютно жёстких тел;

вариационный анализ;

тензорный анализ;

дифференциальная геометрия;

метод конечных элементов;

система раз решающих уравнений интегрировалась с помощью метода Рунге-Кутта 4-го по рядка.

Кроме этого, для сравнения использовался расчёт методом множителей Лагранжа с добавками (augmented Lagrangian method), выполненный коммерче ским пакетом ANSYS, показавший результаты, сходные с полученными изла гаемым методом.

Достоверность результатов обеспечивается сравнением с точными ре шениями двух тес товых задач Герца, а также с решением третьей тес товой за дачи, полученным одним из классических методов, поддерживаемым коммер ческим пакетом ANSYS.

Практическая значимость и реализация работы Разработан и реализован как пакет программ на языке FORTRAN 95 метод численного решения контактных задач с трением, ориентированный на задачи обработки металлов давлением, в которых одно упругопластическое тело взаи модействует с несколькими абсолютно жёсткими телами. Метод может оказаться полезным и в других областях, например, в механике соударения твёрдых тел.

На защиту выносится постановка и метод решения задачи стационарного взаимодействия абсо лютно жёстких тел с конечно-деформируемым упругоплас тическим телом.

Апробация. По содержанию диссертационной работы были сделаны док лады: на международном научно-техническом симпозиуме "Механика и техно логия в процессах формоизменения с локальным очагом пластической де формации", октябрь 1997, ОрелГТУ;

на международной научно-технической конференции "Ресурсосберегающие технологии, оборудование и автоматизация штамповочного производства", ноябрь 1999, ТулГУ;

на международной научно технической конференции “Информационные технологии в обработке давле нием”, апрель 2008, Украина, Краматорск Донецкой обл.;

на ежегодных научно технических конференциях в ОрёлГТУ.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 6 печат ных работ, среди которых 2 статьи в центральных научных рецензируемых из даниях;

3 статьи в различных межвузовских сборниках научно-технических трудов;

1 тезисы доклада на научно-технической конференции.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на страницах машинописного текста и содержит 15 рисунков. Состоит из вве дения, трёх глав, заключения и общих выводов по работе, списка используемых источников, включающего 59 наименований работ отечественных и зарубеж ных авторов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель ра боты, научная новизна, методы исследования, определена практическая цен ность работы, приводятся данные о публикациях, структуре и объеме диссерта ции. Сюда помещена также и обзорная час ть, состоящая из анализа известных методов решения контактных задач. Отмечается вклад отечественных учёных А.С. Кравчука, В.С. Давыдова, Е.Н. Чумаченко, Э.Р. Гольника, Н. И. Гундоро вой, А.А. Успехова. Обзор не ставит целью полноту охвата литературы по кон тактным задачам (такие публикации уже существуют). Вместо этого на при мере нескольких статей из современной научной периодики показаны харак терные особеннос ти каждого из трёх известных численных методов, называе мых автором диссертации “классическими”: метода штрафа, метода множите лей Лагранжа, метода множителей Лагранжа с добавками (реализованы, в част ности, в хорошо известных коммерческих пакетах ANSYS и NASTRAN). Пока заны их преимущес тва и недостатки, заключающиеся в следующем.

Метод штрафа. Его особенностью является использование дополни тельной переменной, характеризующей пару контактирующих тел, – зазора ме жду ними, причём допускаются как положительные, так и отрицательные зна чения этой переменной, что равносильно отказу от условия непроникновения.

Нарушению этого условия соответствует положительная энергия, пропорцио нальная штрафному множителю, и при стремление последнего к бесконечности условие непроникновения для решения контактной задачи в точности выполня ется. Однако достичь этот предельный случай на практике невозможно, а про цесс поиска приемлемых конечных значений штрафных множителей наталки вается на серьёзные препятс твия. Он может вылиться в самостоятельную про блему, требующую экстраполяции результатов нескольких расчётов. Это осо бенно неудобно для задач, требующих длительные компьютерные вычисления.

Ещё одна неприятная особеннос ть – влияние штрафных множителей на обу словленность разрешающей системы уравнений, в результате чего обусловлен ность может значительно ухудшаться в процессе оптимизации этих множите лей. Кроме того, из-за отказа от условия непроникновения, погрешность чис ленного решения в тонком приконтактном слое может быть (сравнительно с погрешностью в других областях деформируемого тела) высокой.

Достоинствами метода штрафа являются относительная простота как теоре тических основ, так и программирования, а также применимость к широкому кругу задач. Кроме этого, как указывается в документации к пакету программ ANSYS, при сильном искажении конечноэлементной сетки данный метод мо жет превосходить своего ближайшего конкурента – метод множителей Ла гранжа с добавками.

Метод множителей Лагранжа. Условие непроникновения выполняется точно, однако этот метод приводит к матрицам систем разрешающих уравне ний, обладающим одновременно несколькими нежелательными свойствами:

знаконеопределённость, несимметричность, плохая обусловленнос ть, присутст вие нулей на главной диагонали. Это нередко приводит к сравнительно боль шому объёму вычислений и медленной сходимости, а наличие нулей на глав ной диагонали затрудняет применение итерационных методов решения. Отме ченные недос татки делают метод множителей Лагранжа неконкурентоспособ ным при конечных деформациях.

Достоинством метода является отсутствие дополнительной переменной g (зазора), описывающей несуществующую степень свободы и, как следствие, от сутствие подгоночных параметров вроде штрафных множителей и точное вы полнение условия непроникновения. Поэтому ошибка численного решения в тонком приконтактном слое сравнительно низка. При малых деформациях, ко гда время счёта не столь критично, метод множителей Лагранжа превосходит остальные. Превосходство ещё ощутимее, если к точнос ти решения таких задач предъявляются повышенные требования.

Метод множителей Лагранжа с добавками. Этот сравнительно новый подход оказывается существенно сложнее двух предыдущих (и является их комбинацией) из-за методов исследования, заимствованных в негладком вы пуклом функциональном анализе. Подобно методу штрафа здесь не требуется выполнения условия непроникновения и, подобно методу множителей Ла гранжа, вводится контактное давление (являющееся этим множителем) в каче стве независимой переменной При этом каждый лагранжев множитель оказы вается суммой двух слагаемых, одно из которых пропорционально параметру штрафа. По сравнению с методом штрафа обусловленность матриц систем раз решающих уравнений существенно улучшается. И всё же она оказывается не достаточной, поскольку матрицы рекомендуется подвергать специальному пре образованию с целью дальнейшего улучшения их обусловленности. От метода множителей Лагранжа наследуются также и все остальные нежелательные свойства матриц, а от метода штрафных функций – подстраиваемые параметры.

Метод множителей Лагранжа с добавками, как показала вычислительная практика, оказался в большинстве случаев значительно эффективнее двух пре дыдущих при конечных деформациях. Он применим к широкому кругу задач.

За критическим обзором известных подходов к решению контактных за дач следует краткое описание предлагаемого метода с перечислением его свойств. Достижение этих свойств и составляло задачи исследования Первая глава посвящена пос тановке контактной задачи. Сначала даётся описание рассматриваемого класса задач. В частнос ти, отбрасываются все ско ростные эффекты (ползучесть, вязкость, инерция), однако не существует каких либо принципиальных или технических препятствий для обобщения в будущем нового метода и на эти эффекты. Далее даётся пос тановка задачи в самом об щем виде, а вся оставшаяся часть главы посвящена приведению этой поста новки к строгому виду.

С этой целью вводятся различные системы координат, необходимые для описания кинематики контактирующих тел:

1) неподвижная (вообще говоря, криволинейная), общая для всех тел;

обо ( ) значим через y = y1, y 2, y3 координаты точек деформируемого тела, а через ( ) y s(i ) = y1s(i ), y 3s( i), y3 s(i ) – координаты точек абсолютно жёсткого тела в этой системе, причём вариационные принципы даются в ковариантном виде, а ко нечноэлементная дискретизация выполнена в декартовых координатах);

2) подвижная лагранжева, связанная с деформируемым телом (необходима для определения тензора деформации);

3) система обобщённых координат q1(i ),..., q 6(i ) для n абсолютно жёстких тел (1 i n ), определяющих положение этих тел в пространс тве;

4) подвижные криволинейные 1(i ), 2(i ) на поверхностях n абсолютно жё стких тел ( 1 i n ), жёстко связанные с этими телами, так что координаты ма териальных точек поверхнос тей жёстких тел в этих системах остаются неиз менными по времени;

координаты 1(i ), 2(i ) дополняются третьей 3(i ), от считываемой по внешней нормали к поверхности абсолютно жёсткого тела.

Введённая криволинейная система координат удобна тем, что кинематические условия контактирования, прилипания, скольжения и непроникновения выра жаются в ней тривиальным образом:

3 0 – условие непроникновения;

3 = 0 – условие контактирования;

3 = 0, &1 = &2 = 0 – условия прилипания;

3 = 0, &1 0 или &2 0 – условия скольжения.

Кроме того, для точек поверхнос ти каждого абсолютно жёсткого тела верно y s(i ) = y s( i) (q1(i ),..., q6(i ), 1(i ), 2(i ) ).

Общее число систем координат равно 2+2n, где n – число абсолютно жёс тких тел. Таким образом, даже в простейшем случае n=1 необходимы 4 системы ко ординат.

Затем даются необходимые понятия кинематики деформируемых сред.

Пусть r – радиус-вектор произвольной точки неподвижной глобальной системы ( ) r отсчёта, эi = i (1 i 3) – локальный базис системы координат y1, y 2, y 3, y эi (1 i 3) – двойственный ему базис в пространстве ковекторов, так что э j эi = ij. Тогда градиентом векторного (или ковекторного) поля a(y) называ ется тензор второго ранга a, равный a a = эi i = i a j э i э j = i a j эi э j. (1) y ( ) В декартовой ортогональной системе координат x1, x 2, x3 с базисом (k1, k 2, k 3 ) градиент имеет вид a j a = i k i k j, x причём нет различия между верхними и нижними индексами. Введём также транспонированный градиент aT, равный a aT = i эi = i a j э j эi = i a j э j эi. (2) y В декартовой ортогональной системе координат он выражается как a j aT = i k j ki, x причём снова нет различия между верхними и нижними индексами. Заметим, что тензору aT в отечественной литературе соответс твует тензор a в зару бежной и наоборот.

Деформацией скорости называется тензор второго ранга d = (v + vT ), (3) где v есть поле скорости материальных точек деформируемого тела. Вихрем на зывается тензор второго ранга = (vT v ). (4) Далее даётся вывод нового скоростного вариационного принципа квази статического равновесия системы контактирующих тел. Сначала контакти рующие тела (деформируемое и абсолютно жёсткое) рассматриваются по от дельнос ти, и для каждого записывается известный из литературы вариацион ный принцип равновесия. Для деформируемого тела это – скоростной принцип, впервые полученный в 1983 г. О.Л. Толоконниковым, А. А. Маркиным и В.Ф.

Астаповым и впоследствии видоизменённый А. А. Поздеевым, П. В. Трусовым и Ю.И. Няшиным (изменение заключается в выражении материальной производ ной через коротационную) r v ( d + w w + ( v ))dV = V (t ), (5) = v (p + p( v n d n)) dS & S (t ) родственный принципу Журдена. Неизвестным здесь является поле скорости v W21) ( W21) – функциональное пространство Соболева);

интегрирование ( ( производится по актуальным объёму тела V(t) и площади контакта S(t), соответ ствующим моменту времени t;

, d, – тензоры истинного напряжения Коши, деформации скорости и вихря;

p, n – давление и внешняя нормаль, относя щиеся к актуальной поверхности контакта S(t);

r – коротационная производная в определяющем соотношении для материала деформируемого тела, связанная со спином = + w (в частности, если используется производная Яумана, то w=0). В качестве примера физически корректного подхода к построению опре деляющих соотношений приводятся работы проф. ТулГУ А.А. Маркина. Усло вия варьирования: 1) v = 0 на поверхности закрепления Su (t ) ;

2) на поверхно стях прилипания S w (t ) и скольжения S (t ) выполнены условия прилипания и скольжения, которые в явном и простом виде приводятся ниже.

Данный вариационный принцип является слабой формой уравнения равно весия сплошной среды. Его выбор обусловлен тем, что альтернативные вари анты, т.е. задачи на условный экстремум и квазивариационные неравенс тва, решаются методами теории оптимизациии, страдающими рядом недос татков, отмеченных во Введении.

Равновесие абсолютно жёсткого тела описывается принципом виртуальной работы, которому автор придаёт скоростную форму Q q + v s (p s + p s ( v n d n))dS = 0, && (6) & S (t ) ( ) где q = q1,...,q 6 – обобщённые координаты абсолютно жёсткого тела (считаем для краткости, что такое тело одно;

общий случай очевиден и сводится к рас ширению размера тензоров q и Q до 6n), причём для некоторых из них задан закон перемещения (пус ть L – множество их номеров), для остальных – закон нагружения (I={1,…,6}\L – множество их номеров);

Q = (Q1,...,Q6 ) – энер гетически сопряжённые им обобщённые силы;

p s – внешнее по отношению к абсолютно жёсткому телу давление. Ясно, что обобщённые скорости с номера ми k L не варьируются, поэтому соответс твующие слагаемые в первой свёрт ке (6) обращаются в ноль.

С помощью условий сопряжения в зоне контакта (силового p = p s, выра жающего третий закон Ньютона, а также кинематического v = vt + v s, где v t есть скорость скольжения) вариационные принципы (5) и (6) можно объединить в один новый принцип r && v ( d + w w + ( v))dV = Q q + V (t ) + vt (p + p( v n d n))dS. (7) & S (t ) В координатной записи последний интеграл, как это показано в тексте диссер тации, имеет вид &l & j + (a i q m + b i n ) + g 1 ( g ) dS, & &j i jm & jn j l S (t ) где 1 i 3;

1 m 6;

1 j, l, n 2 ;

g = | det( g nj ) | ;

g nj = e n e j – метрика на по верхности абсолютно жёсткого тела (ввиду недеформируемости тела она не за висит от t);

e1,e 2 – касательный базис системы координат 1, 2 ;

i – компо ненты ковектора давления в базисе e1, e 2, e3 ;

тензоры a и b определяются соот ношениями e j = j ei и j = a j q k + b j l.

& & & i i ik il Условия варьирования переменных следующие:

1) y k = 0 на поверхности Su (t ), где 1 k 3 ;

& 2) i = 0 на поверхности S w (t ), где 1 i 2 ;

& 3) на поверхности S (t ) вариация скорости скольжения ie i параллельна ка & сательной составляющей давления i ei, где 1 i 2 ;

4) ql = 0, где l L.

& Заданными (известными) переменными являются:

1) скорости обобщённых сил Q j (t ), где j I ;

& 2) обобщённые скорости q l (t ), где l L ;

& 3) скорости y k (t ) точек поверхности Su (t ), где 1 k 3.

& ( ) Напомним, что y 1, y 2, y 3 – глобальные криволинейные координаты, кото рые, в частности, могут быть декартовыми. Распределённые неконтактные на грузки пока не рассматриваются, чтобы не загромождать формулы. Они будут учтены ниже по стандартной методике МКЭ.

Помимо вариационного принципа (7), выражающего условие квазистацио нарного равновесия, в постановку задачи необходимо включить кинематиче ские выражения тензоров v, vT, d,, w через поле скорости, а также опреде ляющее соотношение, уравнение эволюции тензора напряжения, начальные и граничные условия. Все необходимые кинематические выражения выписаны в начале раздела за исключением тензора w. В приводимых ниже численных примерах полагалось w=0, что означает использование производной Яумана.

Определяющее соотношение запишем в виде r = D v. (8) Оно является дос таточно общим и позволяет учес ть все подходы к построению таких соотношений. В частности, уравнение r = D d легко приводится к ука ( ) занному виду, если учесть, что d = v + (v )T.

Дадим конкретизацию (8) для приводимых ниже численных примеров. В них используется соотношение j = D d с производной Яумана. Тензор D в глобальных декартовых координатах имеет вид ijkl 3GS ij S kl E при активном нагружении D ijkl = 2 (1 + H / (3G )) ijkl E при обратимом нагружении где E ijkl – изотропный тензор упругости, S ij – девиатор тензора напряжения, – интенсивнос ть напряжения. Условие перехода из упругого состояния в пла стическое: = H ( p ), где H ( p ) – кривая упрочнения, p – параметр Удкви ста. Поскольку активное нагружение сопровождается упругим деформирова нием, приведём правило разложение деформации на упругую и плас тическую составляющие. Именно: упругая деформация считается малой и принимается аддитивное разложение скорости d = de + d p (9) на упругую d e и пластическую d p. Для упругой деформации при активном на гружении принимается закон j = E d. (10) e Условие активного нагружения: d p 0, (11) условие начала разгрузки: d p 0. (12) Таким образом, для численных примеров берётся теория изотропного упроч няющегося материала с малой упругой деформацией.

Эволюционное уравнение напряжённого состояния имеет вид = j +. (13) & Начальные условия, помимо исходного положения тел, формулируем как нена груженность в момент времени t=0:

t = 0 = 0, Q t =0 = 0. (14) Наконец, граничные условия в контактных задачах задаются неявно через закон трения. В численных примерах принимался изотропный закон Кулона с посто янным коэффициентом k:

p t k pn. (15) Итак, постановка вариационной задачи полностью завершена. Полученная система уравнений (1)-(4), (7)-(15) описывает процесс квазистатического взаи модействия жёстких тел с конечно-деформируемым упругоплас тическим те лом. Отметим две её особенности. Во-первых, одновременно рассматриваются как поля (скорость, напряжение, давление), так и дискретные переменные (обобщённые координаты и обобщённые силы). Во-вторых, обобщённые коор динаты абсолютно жёстких тел и обобщённые силы явно входят в пос тановку задачи, что существенно упрощает программную реализацию.

Аналитическое решение системы (1)-(4), (7)-(15) невозможно, поэтому не обходимы численные методы. В качес тве такового был выбран метод конечных элементов (МКЭ), хорошо зарекомендовавший себя в облас ти нелинейных за дач механики твёрдого тела. Применению МКЭ к решению данной системы уравнений полнос тью посвящена вторая глава.

В первой главе приводится ещё один результат: вывод кинематического уравнения эволюции границы поверхнос ти контакта. Показано, что скорость движения этой границы представляет сумму двух слагаемых, обусловленных независимыми эффектами: “наплывом-откатом” материала деформируемого тела, а также скольжением по поверхности абсолютно жёсткого тела.

Вторая глава описывает процедуру конечноэлементной пространственной дискретизации системы уравнений (1)-(4), (7)-(15) и методику решения полу чающейся в результате разрешающей системы уравнений. Сюда включена также и программная реализация.

Обратимся к дискретизации. Отбросим последнее слагаемое в левой части (7), предполагая малость скорости объёмной деформации для (непористых) ме таллов, на которые в первую очередь и ориентирован новый метод. Поля и их ап проксимации будем для упрощения обозначений приравнивать друг другу, что не вызовет недоразумений. В качестве глобальной системы координат возьмём де картову прямоугольную (при этом верхние и нижние тензорные индексы не различаются). Введём КЭ аппроксимацию поля скорости v i = x i = xi H n ( x), & &n где 1 i 3, 1 n N, H n (x ) – базисная функция, связанная с n-ым узлом ( ) An x1, xn, xn КЭ сетки, N – число этих узлов. На поверхности контакта S(t) пе n рейдём к определённым ранее криволинейным координатам:

& j = &nj H n ( ), ( ) где 1 j 2, 1, n – криволинейные координаты узла An S (t). Правая часть n (7) после этого принимает вид ( gH m ) & k Qk + nj n + nj m H n l blji H m + lj g & &i & & &j q dS + i k I S (t ) (16) j qr l H n dS + n & a jr l &, S (t ) где 1 l 3;

1 r 6;

1 i, j 2;

1 m, n N ;

n = H n j dS &j & S (t ) есть скорости узловых сил трения. Следующим шагом дискретизируем левую часть (7), используя определяющее уравнение (8). Имеем:

&i jilk & k ki jk x, j (D x,l (d jk w jk ) ( ki + wki )) dV = V (t ) i m k jilk H n x l (B n ki + jk C n )) dV = K mnx i x k, xm H, j ( xn D = (17) & & &n ljk ik &m &n,l lki V (t ) где 1 i, j, k, l 3;

1 m, n N ;

запятой обозначено дифференцирование по де n n картовым координатам;

Bljk и C lki – коэффициенты пропорциональности, воз никающие при дискретизации тензоров d w и + w :

d jk w jk = x l Bljk, ki + wki = xn Clki ;

&n n &l n в частности, если в определяющем уравнении используется коротационная производная Яумана, то w=0, 2Bljk = lj H,n + lk H,nj, 2Clki = lk H,i li H,n, n n n k k где lj – символ Кронекера;

K ik = H,m (D jilk H,n Bkjl li jl Ckli )dV mn n n (18) j l V (t ) есть глобальная матрица жёсткости МКЭ. Далее показано, как последнюю сум му в (17) представить в форме, включающей обобщённые координаты абсо лютно жёсткого тела. Переходя к одноиндексной нумерации всех степеней сво боды q i, x n для узлов An S, n для узлов An S, выводим из дискретной k i формы вариационного принципа (7) типичную для МКЭ линейную систему ОДУ K mnu n = Fm & (19) & где u n – степени свободы в одноиндексной нумерации, Fn – энергетически со пряжённые им силы. После некоторых преобразований этой системы (заполне ния нулями с трок матрицы K, соответствующих неварьируемым степеням сво боды за исключением элементов этих с трок, находящихся на главной диаго нали, которые замещаются единицами, а так же заменой в правой части скоро стей сил на скорости координат для неварьируемых степеней свободы) полу чаем разрешающую систему ОДУ. Заметим, что силы трения задаются неявно законом трения, однако при вычислениях учес ть их не составляет труда. Рас пределённые неконтактные нагрузки (силу тяжести, гидростатическое давление и др.) можно внести непосредственно в правую часть (19) согласно формулам, приводимым в учебниках по МКЭ.

Приведённая система ОДУ интегрируется на основе многомерного вари анта метода Рунге-Кутта 4-го порядка h = x n +1 xn y n +1 = y n + ( f 0 + 2 f1 + 2 f 2 + f 3 )h f 0 = f (x n, yn ) 1 f1 = f xn + h, yn + f 0h 2 1 f 2 = f xn + h, y n + f1h 2 f 3 = f (xn + h, y n + f 2 h) Выбор именно этой схемы объясняется следующими соображениями. Особен ностью задач обработки металлов давлением является то, что картина дефор мирования гораздо сильнее зависит от параметра нагружения, чем от прос тран ственных координат. Так, если для КЭ-аппроксимации по прос транс твенным координатам обычно хватает ~100 конечных элементов, приходящихся на ха рактерный размер, то число шагов нагружения обычно на несколько порядков выше, а при линейной аппроксимации по времени на шаге вообще может ока заться неприемлемо большим. Отсюда ясно, что процедура интегрирования по времени должна иметь больший порядок точности, чем по прос транс твенным координатам. Отметим также, что при решении контактных задач ввиду очень сложных граничных условий и различных нелинейнос тей могут возникать про блемы с устойчивостью вычислений. Следовательно, процедура интегрирова ния по времени системы разрешающих уравнений должна быть очень устойчи вой и допускать широкое варьирование шага интегрирования. Этим условиям удовлетворяет метод Рунге-Кутта. Наиболее эффективной по соотношению “точность-объём вычислений" считается вышеприведённая схема 4-го порядка.

При её использовании в целях упрощения вычислений используется рекомен дуемое рядом авторов разделение нелинейнос тей задачи на физические и гео метрические с целью отбросить последние, что может быть оправдано, если шаги нагружения в пошаговом анализе выбраны достаточно малыми, и от сутствует эффект изгибания.

Программное обеспечение оказывается самым простым по сравнению с из вестными методами решения контактных задач: штрафных функций, множите лей Лагранжа, множителей Лагранжа с добавками, математического програм мирования (сводящегося в конечном счёте к одному из трёх вышеупомянутых) и, по существу, может быть создано в результате несложной модернизации ти пичного пакета программ для МКЭ, работающего с узловыми силами и скоро стями конечноэлементной сетки. Описание таких программ можно легко найти в обширной литературе по МКЭ.

Третья глава посвящена численным тес там, демонстрирующим дос товер ность и преимущества предлагаемого метода.

рис. 3 Задача Герца рис. 4 Решение задачи Герца Пример 1. Контактная задача Герца.

Классическим тестом для контактных пакетов программ является задача Герца, поскольку она имеет аналитическое решение. Её особенностью являются малые деформации и малые повороты, следовательно, можно использовать практически любые определяющие соотношения. Бесконечно длинная толстая труба внешнего радиуса 0,16 м и внутреннего 0,1 м сжимается двумя парал лельными абсолютно жёсткими плитами с силой F (см. рис. 3). Трение отсутст вует. Свойства материала: упругий изотропный, модуль Юнга E = 9,8 108 н / м 2, коэффициент Пуассона =0,3. Требуется найти распределение давления по по верхности контакта для двух значений погонной сжимающей силы:

F = 9,8 102 н / м и F = 19, 6 10 2 н / м. Задача имеет горизонтальную и верти кальную оси симметрии. Решения в предположении плоского деформирования приведены на рис. 4, где они сравниваются с аналитическими. Использовалась конечноэлементная сетка с переменным шагом из линейных треугольных эле ментов. Давление рассчитывалось в узлах сетки. Погрешность решения для данной дискретизации можно признать удовлетворительной. Она примерно со ответствует погрешности, полученной другими исследователями, использо вавшими метод множителей Лагранжа, который в данном случае, ввиду малых деформаций, предпочтительнее из всех классических.

Пример 2. Заготовка в виде сектора кольца с внешним радиусом 3 10 2 м, внутренним радиусом 2,5 10 2 м и углом / 8 закреплена по внутренней дуге AB и обкатывается по внешней дуге CD роликом радиуса 1,5 10 2 м с центром O (см. рис. 5, на котором показано исходное положение). При этом центр ро лика равномерно поворачивается по часовой стрелке на угол / 16 вокруг цен тра сектора, к ролику прикладывается линейно возрастающая от нуля сила прижима, направленная к центру сектора, а также линейно возрастающий от нуля тормозной момент относительно центра O. Деформация считается пло ской. Максимальное погонное значение прижимающей силы F0 =7,5 105 н/м, максимальное погонное значение тормозного момента M 0 =2 103 н м / м. Ос тальные условия задачи следующие: модуль сдвига G=2,7 1010 н / м 2, коэффи циент Пуассона =0,32, трение подчиняется закону Кулона с коэффициентом 0,2, пластическое поведение материала считается изотропным с линейным уп рочнением, начальный предел текучести 0 = 1, 93 108 н / м 2, модуль упрочне ния H = 9, 62 108 н / м 2. Похожие задачи возникают при исследовании новой технологии поверхностного упрочнения деталей.

Расчёты производились на последовательно измель чаемых сетках до достижения следующего критерия:

при измельчении сетки в 2 раза интенсивность на пряжения меняется в пределах 10% в той области, где она не слишком мала (не менее 10% от макси мальной). Использовались линейные треугольные конечные элементы. Результаты расчёта на самой мелкой сетке представлены на рис. 6а, 7а.

Та же задача решалась пакетом ANSYS на сетке Рис. 6а Изолинии интенсивности напряжения [10 8 н / м 2 ] ниже 0, новый метод:

1 – 0,43;

2 – 0,87;

3 – 1,3;

4 – 1,73.

Рис. 6б Изолинии интенсивности напряжения [10 8 н / м 2 ] ниже 0, пакет ANSYS:

1 – 0,4;

2 – 0,8;

3 – 1,2;

4 – 1,55.

Рис. 7а Изолинии интенсивности E F напряжения [10 8 н / м 2 ] выше 0, новый метод:

1 – 2,2;

2 – 2,6;

3 – 3,0;

4 – 3,5.

F E Рис. 7б Изолинии интенсивности напряжения [10 8 н / м 2 ] выше 0, пакет ANSYS:

1 – 2,5;

2 – 2,9;

3 – 3,3;

4 – 3,9.

примерно с той же густотой узлов, но с использованием треугольных 6-узловых квадратичных конечных элементов (сетки из линейных треугольных элементов не рекомендованы разработчиками ANSYS – см. документацию для ANSYS).

Метод решения – множителей Лагранжа с добавками как наиболее эффектив ный из классических. Результаты расчёта представлены на рис. 6б, 7б. Перей дём к сравнению результатов. Прежде всего отметим, что параметр Удквиста не превысил 0.25, что говорит о приемлемос ти производной Яумана в данном рас чёте. Для удобства изолинии интенсивности напряжения ниже и выше началь ного предела текучести показаны на разных картинках и в разных масштабах.

Дуга контакта EF всюду выделена жирной линией. Видно, что изолинии рис.

6а, 7а и рис. 6б, 7б, соответствующие близким значениям интенсивности на пряжения (эти значения различаются на 9-12%), имеют сходную форму. Учи тывая вычислительную сложность примера 2, согласование изолиний можно признать удовлетворительным и достаточным для подтверждения работоспо собности предлагаемого метода.

Пример 3. Цель данного примера – продемонстрировать возможности, не доступные пакету ANSYS. Кольцо переменной толщины внешнего ра диуса 3 10 2 м и внутреннего 2,5 10 2 м с центрами C1 и C 2 внешней и внут ренней окружностей, отстоящими на 10 3 м, обкатывается 4 роликами по сим метричной относительно прямой C1C 2 схеме – см. рис. 8. Обратим внимание, что C1 и C 2 – начальные положения центров внешней и внутренней границ кольца, поскольку в дальнейшем кольцо деформируется. Центры двух ро ликов O1 и O2 поворачивается вокруг C1 навстречу друг другу, причём O1 ос таётся на неизменном расстоянии от C1. К центру O2 прикладывается Рис. 8 Схема нагружения в Рис. 9 Изолинии интенсивнос ти напряжения [108 н/м2] :

примере 3 1 – 1,93;

2 – 1,72;

3 – 0, направленная к C1 прижимающая погонная сила. Кроме того, к роликам с цен трами O1 и O2 прикладываются одинаковые по величине и противоположные по направлению тормозные погонные моменты относительно их центров. Ос тавшиеся два ролика движутся и нагружаются симметрично первым двум. Точ кам заготовки на оси симметрии C1C 2 запрещается перемещаться в вертикаль ном направлении и разрешается в горизонтальном. Все ос тальные условия взя ты из примера 2.

Заметим, что из-за переменной толщины кольца задачу нельзя переформу лировать таким образом, чтобы рассматривать движение центров роликов O1 и O2 в декартовых координатах. Следовательно, пакеты ANSYS и NASTRAN, по крайней мере в своём стандартном исполнении, решить пример 3 не в состоя нии.

Результаты расчёта представлены на рис. 9. Параметр Удквиста не превы сил 0.03, что говорит о приемлемости производной Яумана в данном расчёте. В силу симметрии показана половина заготовки. Зона пластичности ограничена изолинией №1. Видно, что один ролик пластическую деформацию не вызы вает, тогда как под воздействием другого она развивается не только под прока танной поверхностью, но и с обратной стороны заготовки. С практической точ ки зрения это свидетельс твовало бы о необходимости изменения данной схемы упрочнения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Решена новая актуальная научная задача, состоящая в разработке и чис ленном исследовании модели контактного взаимодействия абсолютно твёрдых тел с упругопластическим телом, испытывающем конечные деформации.

2. Предложена модификация скоростного вариационного принципа квазиста тического равновесия системы контактирующих тел, явно включающая в себя не только тензорные поля, определяющие НДС, но также обобщённые координаты и силы для абсолютно жёстких тел. Построенная модель позволяет описать произ вольные движения абсолютно жёстких тел, тогда как у фирменных программ ных продуктов выбор этих движений ограничен.

3. На основе конечноэлементной аппроксимации выполнена пространствен ная дискретизация системы уравнений, описывающей процесс контактного взаи модействия.

4. Разработана методика решения полученной системы обыкновенных диф ференциальных уравнений на основе метода Рунге-Кутта.

5. Получено уравнение эволюции границы поверхности контакта, явно опре деляющее эту поверхность.

6. Создана и отлажена FORTRAN программа для численного решения кон тактных задач.

7. На серии численных тестов продемонстрирована достоверность предлагае мого метода и его преимущества перед существующими. К тому же предлагае мый метод выгодно отличается от существующих (штрафных функций (P), множителей Лагранжа (L), множителей Лагранжа с добавками – augmented La grangian method (A), используемых в пакетах ANSYS и NASTRAN) эффектив ностью как при больших, так и при малых деформациях (в отличие от P, L, A), а также высокой точнос тью решения в тонком приконтактном слое благодаря выполнению условия непроникновения (в отличие от P и A).

8. Благодаря эффективности и простоте программирования новый метод может быть полезен исследователям, располагающим даже небольшим бюдже том.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Морев П. Г. Конечноэлементный анализ упругопластических моделей в процессах ОМД// Сборник научных трудов ОрёлГТУ. 1996, Т. 9, С. 42-47.

2. Морев П. Г. Использование схемы Рунге-Кутта в конечноэлементном анализе процессов ОМД// Исследования в области теории, технологии и обору дования обработки металлов давлением. Межвузовский сб. научных трудов.

Орёл: ОрёлГТУ-ТулГУ,1998, С. 134-139.

3. Морев П. Г. Учёт контакта инструмент-заготовка в конечноэлемент ных моделях// Известия ТулГУ, сер. Механика деформируемого твёрдого тела и обработка металлов давлением. 2003, вып. 1, С. 51-56.

4. Морев П. Г. Вариант метода конечных элементов для контактных задач с трением// Известия РАН, сер. Механика твёрдого тела. 2007, №4, С.

168-182.

5. Голенков В.А., Морев П.Г., Радченко С.Ю. Методы математического мо делирования и новые задачи ОМД// Тематический сборник научных трудов “Совершенствование процессов и оборудования обработки давлением в метал лургии и машиностроении”. 2008, Украина, г. Краматорск Донецкой обл., ДГМА, С. 15-19.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.