Исследование динамических характеристик круговых цилиндрических оболочек с начальными неправильностями
На правах рукописи
ЛЕЙЗЕРОВИЧ ГРИГОРИЙ САМУИЛОВИЧ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Комсомольск-на-Амуре – 2010
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Комсомольский-на-Амуре государственный тех нический университет" (ГОУВПО "КнАГТУ").
Научный консультант: Заслуженный работник высшей школы РФ, доктор технических наук, профессор Тарануха Николай Алексеевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.А. Ковалев доктор физико-математических наук, доцент В.А. Козлов доктор технических наук, профессор Б.И. Друзь
Ведущая организация: Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского
Защита состоится 08 апреля 2011 г. в часов на заседании диссертационного совета ДМ005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления Дальнево сточного отделения РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, E-mail:
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН Автореферат разослан "_" 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук О.В. Дудко
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Замкнутые тонкостенные круговые цилиндриче ские оболочки находят широкое применение в аэрокосмической и судостроительной промышленности, в других отраслях техники. В условиях эксплуатации оболочки обычно подвергаются действию интенсивных динамических, в частности периоди ческих, нагрузок, что может привести к возникновению вибрационных хлопков, а также других сложных нестационарных процессов, нежелательных с точки зрения обеспечения их прочности. Поэтому понятен тот большой и постоянный интерес ис следователей к проблемам динамики оболочек.
Во многих случаях решение проблемы динамической прочности оболочки связано с изучением взаимодействия ее упругих колебаний. Взаимосвязанными мо гут оказаться радиальные и продольные колебания, изгибные и радиальные и т. д.
На практике чаще всего наблюдается взаимодействие изгибных форм колебаний (сопряженных и несопряженных). Это объясняется тем, что низшие частоты собст венных изгибных колебаний оболочки, как правило, много меньше основных частот продольных, крутильных и радиальных колебаний.
Наиболее сильно взаимодействие изгибных форм проявляется при колебаниях оболочки с большими амплитудами и определенных соотношениях между собст венными частотами, что создает известные предпосылки для перераспределения энергии между обобщенными координатами. Такая "перекачка" энергии, вследствие которой могут возникать интенсивные колебания по формам, непосредственно не возбуждаемым внешней нагрузкой, способна привести к аварийной ситуации.
Несмотря на важность проблемы взаимодействия форм колебаний оболочки, ей посвящено недостаточное количество научных исследований. Анализ выполнен ных работ показывает, что до настоящего времени некоторые фундаментальные во просы остаются не до конца выясненными.
При изготовлении оболочки неизбежны отклонения от идеальной формы w0 ( x, y ), называемые начальными неправильностями, начальными несовершенства ми. Сильное влияние w0 на устойчивость оболочки общеизвестно. Не менее сильно w0 влияют и на динамическое поведение оболочки, в частности на ее собственные частоты, являющиеся, как и критическая нагрузка, интегральными характеристика ми жесткости. Начальные неправильности оказывают влияние на формы собствен ных колебаний и их взаимодействие, на амплитудно-частотные кривые и т. д. Одна ко и это влияние изучено еще недостаточно.
Среди исследований, посвященных изучению влияния начальных неправиль ностей на изгибные колебания оболочек, наметилось два направления: "линейное" и геометрически "нелинейное". Математическая модель, как правило, базируется на известных уравнениях теории пологих оболочек. Оболочка считается свободно опертой по торцам. Анализ основывается на предварительном сведении контину альной оболочки к системе с конечным числом степеней свободы. Тангенциальные краевые условия удовлетворяются "в среднем".
В работах "линейного" направления установлено, что w0, соответствующие характеру волнообразования оболочки, связывают сопряженные изгибные формы.
Частотный спектр существенно расщепляется, при этом основная частота увеличи вается по сравнению со случаем идеальной оболочки. Однако эти выводы противо речат известным опытным данным. Необходимо установить причины, приводящие к такому, вероятно ошибочному, результату, и получить новое решение задачи о влиянии w0 на частоты и формы собственных колебаний (в том числе и при точном удовлетворении тангенциальным граничным условиям), находящееся в соответст вии с реальным поведением оболочки.
В работах "нелинейного" направления устанавливается связь между амплиту дой и частотой – в случае свободных колебаний оболочки, и амплитудой и парамет рами внешнего периодического воздействия – в случае вынужденных колебаний.
Несмотря на практическую важность полученных результатов, высокую степень разработанности ряда задач, некоторые фундаментальные вопросы и в этом направ лении остаются невыясненными. Так, в научной литературе, по существу, отсутст вует решение задачи об изгибных колебаниях свободно опертой по торцам относи тельно короткой оболочки при точном удовлетворении граничным условиям. Все известные решения получены на основе нелинейных конечномерных моделей, кото рые не отвечают условию свободного опирания торцов оболочки по изгибающему моменту. Тангенциальные краевые условия удовлетворяются при этом "в среднем".
Поэтому эти модели, приводящие к мягкой скелетной кривой, правомерны только для относительно длинных оболочек. Попытки решить эту же задачу, используя ко нечномерные модели, удовлетворяющие всем граничным условиям, оказались без успешными. Они всегда приводили к жесткой скелетной кривой, качественно не согласующейся с известными опытными данными. Сложилась парадоксальная си туация, при которой все усилия по уточнению конечномерной модели оболочки приводят к потере ее адекватности.
Требуется установить причины, приводящие к такому неожиданному резуль тату. Необходимо разработать новый подход к построению нелинейной конечномер ной модели оболочки любой длины (с w0 или без) и получить новое решение задачи о колебаниях оболочки с большими амплитудами при точном удовлетворении всем граничным условиям, в том числе и тангенциальным.
Целью диссертации является теоретическое исследование в линейной и гео метрически нелинейной постановках недостаточно изученного влияния начальных неправильностей на свободные и вынужденные (периодические) изгибные колеба ния тонкостенных круговых цилиндрических оболочек;
развитие положений этого раздела механики деформируемого твердого тела;
уточнение математической моде ли и уже известных решений;
получение новых научных результатов и предложение рекомендаций по их использованию.
Научная новизна. Традиционная математическая модель исследования дина мических характеристик оболочек с начальными неправильностями состоит, как правило, из следующих частей: уравнения нелинейной теории пологих оболочек;
граничные и начальные условия;
конечномерная модель оболочки, позволяющая све сти задачу о колебаниях континуальной оболочки к системе динамических (модаль ных) уравнений, описывающих движение ее дискретной модели;
модальные уравне ния, из анализа которых определяются динамические характеристики оболочки. Все части этой математической модели, за исключением первой, в настоящей диссерта ционной работе уточняются.
Одной из важнейших частей математической модели является конечномерная модель оболочки. Традиционный подход к ее построению основан на следующем. В линейной постановке считается, что w0 приводят к взаимодействию сопряженных изгибных форм. В нелинейной постановке, помимо упомянутого взаимодействия, подход предполагает и некоторые геометрические модельные представления о де формировании оболочки при больших прогибах (нерастяжимость контура попе речного сечения срединной поверхности оболочки, "преимущественное выпучивание вовнутрь"). В диссертационной работе показано, что в линейной постановке этот подход приводит к результатам, которые не согласуются с известными опытными данными, а в нелинейной постановке – к непреодолимым проблемам, связанным с удовлетворением граничным условиям.
Автором предлагается новый подход к построению конечномерной модели оболочки. Он предполагает, что возбуждение изгибных колебаний оболочки по од ной из собственных форм приводит к возникновению радиальных колебаний, кото рые, в свою очередь, генерируют сопряженную изгибную форму. В линейной по становке механизмом, "запускающим" такое взаимодействие форм колебаний, яв ляются неизбежные начальные неправильности, а при колебаниях с большими ам плитудами – начальные несовершенства и/или нелинейность оболочки.
Движение оболочки, согласно предлагаемому подходу, напоминает описанное Х. Гюйгенсом явление самосинхронизации двух маятников, установленных на об щем податливом основании, когда колебания одного маятника вызывает некоторое движение основания, а последнее, в свою очередь, возбуждает колебания второго маятника. Новый подход реально отображает физические процессы, происходящие при колебаниях оболочки (радиальные колебания оболочки были идентифицирова ны и измерены, например, М. Олсоном).
На основе уточненной математической модели в работе в линейной и геомет рически нелинейной постановках выполнено исследование влияния:
• начальных отклонений от идеальной круговой формы, малой присоединен ной массы и разнотолщинности на свободные и вынужденные изгибные колебания бесконечно длинной оболочки (кольца при плоской деформации);
• осесимметричной начальной погиби на взаимодействие малых радиальных и продольных колебаний оболочки;
• статической нагрузки, формулировки граничных условий (в том числе и тангенциальных), осесимметричных и асимметричных начальных неправильностей на свободные и вынужденные изгибные колебания оболочки.
Новый подход к построению конечномерной модели оболочки может быть, по мнению автора, использован и при изучении широкого круга проблем, близких к проблемам, затрагиваемым в настоящей диссертации: устойчивость оболочек, пара метрические колебания, панельный флаттер и др.
Автор защищает:
• уточненную математическую модель;
• методику оценки влияния начальных неправильностей на линейные и не линейные динамические характеристики оболочки конечной длины, а также кольца при плоской деформации;
• результаты решения многочисленных новых задач динамики оболочек с динамической асимметрией, а также качественные и количественные уточнения, внесенные в уже известные решения.
Достоверность исследования. Результаты работы основываются на строго доказанных выводах фундаментальных и прикладных наук. Они получены с помо щью известных, проверенных практикой, теоретических методов исследования. Ре зультаты работы многократно сопоставляются с численными результатами, полу ченными методом конечных элементов в MSC/NASTRAN, с надежными опытными данными, а также с результатами известных теоретических исследований, выпол ненных другими авторами. Проверка адекватности конечномерной модели оболочки осуществляется контролем предельных переходов, выполнением граничных усло вий, соответствием здравому смыслу и др.
Практическое значение. Новые теоретические положения и результаты рабо ты свидетельствуют о том, что во многих случаях нельзя пренебрегать влиянием на чальных неправильностей, неизбежных у реальной оболочки, на ее динамические характеристики. Предложенная методика, позволяющая с достаточной степенью точности оценить влияние w0, может быть в первом приближении использована при выполнении динамических расчетов реальных оболочек, применяемых в ракето строении, судостроении и других отраслях техники.
С технической точки зрения очень важно знать фактические начальные несо вершенства оболочки для возможности предсказания ее поведения. Прямой подход, который используется в настоящее время для контроля формы оболочек, сложен и требует длительных измерений. В известной работе А. Розена и И. Зингера предло жен косвенный подход, позволяющий дать предварительную оценку величины на чальных несовершенств по отклонению основных частот несовершенной и идеаль ной оболочек. Результаты настоящей работы, могут быть использованы для осуще ствления и дальнейшего развития косвенного подхода, а также для определения фактических условий закрепления торцов оболочки.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докла дывались на совместном заседании кафедр теории и проектирования корабля, меха ники деформируемого твердого тела и конструкции судов ДВГТУ (1999), семинаре ИММ ДВО РАН (2000), семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (2000), заседании диссер тационного совета по динамике и прочности машин при МГТУ им. Н.Э. Баумана (2001), семинарах ИАПУ ДВО РАН (2000, 2009). Автором сделаны доклады на Все союзной научно-технической конференции "Проблемы прочности и надежности конструкций перспективных транспортных судов и плавучих сооружений" (Ленин град, 1979), V Всесоюзной конференции "Статика и динамика пространственных конструкций" (Киев, 1985), Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы проч ности в машиностроении" (Севастополь, 1989), международной конференции "Ко раблестроение и океанотехника. Проблемы и перспективы" (Владивосток, 1998), международной научной конференции "Синергетика. Самоорганизующиеся процес сы в системах и технологиях" (Комсомольск-на-Амуре, 1998), международной кон ференции "Проблемы прочности и эксплуатационной надежности судов" (Владиво сток, 1999), XIX международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (Санкт Петербург, 2001), конференции по строительной механике корабля, посвященной памяти профессора П.Ф. Папковича (Санкт-Петербург, 2002), научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (Хабаровск, 2003), региональ ной научно-технической конференции с международным участием "Кораблестрои тельное образование и наука – 2003" (Санкт-Петербург, 2003), XXI международной конференция по теории оболочек и пластин" (Саратов, 2005), VIII всероссийской конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2008), VII международной конференции по математическому моделированию (Уль яновск, 2009) и др.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 2 монографиях и 49 научных статьях. В конце автореферата приведен список основ ных публикаций из 28 наименований.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации, состоящей из введения, восьми глав, основных выводов и библиографического списка из 173 наименований, изложен на 329 страницах. Работа содержит 155 рисунков и 4 таблицы. К диссерта ции прилагаются три акта внедрения.
Работа выполнена в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете при частичной поддержке гранта 2.1.2/3046 Министерства образова ния и науки РФ по целевой программе "Развитие научного потенциала высшей шко лы. Проведение фундаментальных исследований".
Выражаю признательность своему Учителю, ныне покойному, доктору техни ческих наук, профессору Владимиру Сергеевичу Калинину.
Благодарю своего научного консультанта, доктора технических наук, профес сора Николая Алексеевича Тарануху за многие полезные советы, которые способст вовали написанию диссертации и подготовке ее к защите.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, выделены основные противоречия между традиционными теоретическими решениями и опытными дан ными, сформулирована цель работы, изложены положения, выносимые на защиту, приведено краткое содержание восьми глав диссертации.
В обзоре работ (первая глава) основное внимание сосредоточено на исследо ваниях, которые, по мнению автора, дают наиболее полное представление о рас сматриваемой проблеме. Среди них можно выделить известные работы К.В. Авра мова, А.С. Вольмира, Э.И. Григолюка, Н.Ф. Гришина, И. Зингера, В.С. Калинина, И.Г. Кильдибекова, П.С. Ковальчука, В.Д. Кубенко, А.И. Маневича, О.П. Проценко, М. Амабили, Е. Рейсснера, Д. Эвенсена и многих др.
Анализ научной литературы показал, что, несмотря на относительно обшир ный перечень работ по динамике несовершенных оболочек, практическую значи мость полученных результатов и высокую степень разработанности отдельных за дач, некоторые фундаментальные вопросы остаются еще невыясненными. Отмече ны основные проблемы, без решения которых невозможно прогнозировать резо нансные ситуации, которые могут возникнуть при воздействии на реальную оболоч ку конечной длины динамических нагрузок. Сформулированы следующие задачи настоящего исследования.
1. Уточнить математическую модель. В частности, разработать новый единый подход к построению линейной и нелинейной конечномерных моделей тонкостен ной круговой цилиндрической оболочки любой длины.
2. Установить механизм, приводящий к взаимосвязанности сопряженных из гибных форм идеальных и несовершенных оболочек.
3. Установить причины, приводящие в традиционном решении к существен ной расстройке изгибного частотного спектра несовершенной оболочки, противоре чащей известным опытным данным, а также к ошибочному выводу об увеличении частоты основного тона по сравнению со случаем идеальной оболочки.
4. Получить новое решение задачи о собственных изгибных колебаниях несо вершенной оболочки, приводящее результаты теоретического анализа в соответст вие с реальным поведением оболочки и здравым смыслом.
5. Исследовать влияние малой присоединенной массы на частоты и формы соб ственных колебаний тонкого кольца при плоской деформации, а также совместное влияние w0 и массовых включений на расщепление частотного спектра.
6. Оценить влияние малой разнотолщинности на линейные и нелинейные ди намические характеристики тонкого кругового кольца.
7. Изучить связанность радиальных и продольных колебаний оболочки.
8. Решить задачу о нелинейных изгибных колебаниях свободно опертой иде альной круговой цилиндрической оболочки конечной длины при точном удовлетво рении всем граничным условиям, в том числе и тангенциальным.
В настоящее время при определении нелинейных динамических характеристик такой оболочки условие отсутствия изгибающего момента по торцам не выполняет ся, а тангенциальные краевые условия удовлетворяются "в среднем". В задачах ус тойчивости оболочки с этим еще можно согласиться, поскольку при ее прощелкива нии в продольном направлении возникает несколько полуволн, и поэтому ограниче ния, накладываемые закреплениями торцов на краевые волны, мало влияют на окончательный результат. В задачах динамики – нельзя, так как при колебаниях оболочки вблизи зоны главного резонанса в продольном направлении образуется только одна полуволна.
9. Исследовать влияние асимметричных и осесимметричных начальных не правильностей, а также статической нагрузки на линейные и нелинейные динамиче ские характеристики оболочки конечной длины.
Вторая глава посвящена математической модели. Приводятся основные уравнения и зависимости нелинейной теории гибких пологих оболочек. Изгибные колебания оболочки с w0 ( x, y ) описываются уравнениями 1 2w 14 = [L(w0 + w, w0 + w) L(w0, w0 )] ;
R x E (1) 1 2 q 2w D w = L(, w0 + w) + + 2, R x 2 t h h где ;
L – известные дифференциальные операторы;
w( x, y, t ) – прогиб;
( x, y, t ) – ( ) функция напряжений;
D = Eh 3 12 1 µ 2 – цилиндрическая жесткость;
Е – модуль Юнга;
µ – коэффициент Пуассона;
h – толщина стенки;
R – радиус;
– массовая плотность;
q( x, y, t ) – поперечная нагрузка;
t – время.
В настоящее время уравнения (1) являются одними из основных при опреде лении линейных и нелинейных динамических характеристик оболочки с w0. Основы этого варианта теории оболочек были заложены в работах Л.Г. Доннелла, Х.М.
Муштари и В.З. Власова. Справедливость и пределы его применимости обсуждают ся во многих статьях и монографиях. В работах И.И. Воровича и В.И. Седенко дано строгое математическое обоснование возможности использования этой теории для анализа изгибных колебаний тонкостенных оболочек с большими амплитудами.
Считается, что эта теория, опирающаяся на гипотезу Кирхгофа – Лява, дает надеж ные результаты, близкие к экспериментальным данным, при определении инте гральных характеристик, в частности низших частот собственных изгибных колеба ний тонких изотропных оболочек.
Далее в главе формулируются граничные условия, в том числе и тангенциаль ные. Особое внимание уделено выбору конечномерной модели оболочки. Предлага ется новый подход к ее построению, предполагающий взаимодействие изгибных ко лебаний с радиальными. Сопоставляются традиционные и новые модальные урав нения, из которых в дальнейшем определяются динамические характеристики обо лочки. Отмечается, что в новых уравнениях связь между сопряженными изгибными формами носит инерционный, а не упругий характер.
В третьей главе, являющейся ключевой, установлены причины, приводящие в традиционном решении для несовершенной оболочки к существенной расстройке изгибного частотного спектра, а также к ошибочному выводу об увеличении основ ной частоты по сравнению со случаем идеальной оболочки. На примере рассмотре ния более простой (предельной) задачи о влиянии w0 ( y ) на изгибные колебания бесконечно длинной оболочки (кольца при плоской деформации) продемонстрирова ны неточности, допущенные в предыдущих исследованиях. Задача имеет и само стоятельное значение, поскольку ее результаты могут быть использованы для опре деления динамических характеристик несовершенного кольца. Кроме того, как из вестно, результаты предельной задачи, полученные независимо от анализа общего случая, являются полезным средством контроля правильности общих решений, най денных в последующих главах диссертации.
В первом разделе изучаются собственные колебания кругового кольца с w0 ( y ) = ha0 sin ( 0 y + 0 );
0 = n0 R, (2) где a0 – амплитуда;
n0 – число окружных волн;
0 – начальный фазовый угол.
Уравнения движения получены из (1) при l. Их точность ограничена те ми же пределами, что и точность исходных уравнений. Целью главы является полу чение не столько количественной, сколько качественной оценки влияния w0 ( y ) на колебания кольца при соблюдении условия n 2 1, которое, как известно, всегда выполняется при колебаниях тонких оболочек конечной длины.
Традиционная линейная конечномерная модель кругового кольца с начальны ми неправильностями имеет вид:
w( y, t ) = h[a1 (t ) sin y + a2 (t ) cos y ];
= n R, (3) где сопряженные изгибные формы sin y, cos y, характеризуемые одним и тем же числом волн n, являются формами собственных колебаний идеального кольца. Для идеального кольца этим формам соответствует одна и та же частота.
Автором предлагается уточнение конечномерной модели (3). Считается, что неизбежные начальные неправильности являются механизмом, запускающим взаи модействие изгибных колебаний кольца с радиальными.
В этом случае прогиб кольца аппроксимируется выражением w( y, t ) = h[a(t )sin ( y + ) + (t )] = h[a1 (t )sin y + a2 (t )cos y + a3 (t )], (4) где a1 (t ) = a(t )cos ;
a2 (t ) = a(t )sin, а координата (t ) = a3 (t ) соответствует ради альным колебаниям несовершенного кольца.
Сначала приводится традиционное решение задачи ( n0 = n ). Методом Бубнова – Галеркина получена система двух связанных модальных уравнений:
a1 + (1 + 6a0 cos2 0 )a1 + 3a0 sin 20 a1 = 0;
a2 + 3a0 sin 20 a1 + (1 + 6a0 sin2 0 )a2 = 0, (5) 2 2 2 в которой точками обозначено дифференцирование по безразмерному времени = t ( – собственная частота идеального кольца).
Из (5) видно, что связь между сопряженными изгибными формами является упругой. Уравнения, подобные (5), могут быть получены при l из уравнений известных работ Н.Ф. Гришина, В.Д. Кубенко и др.
Найдены квадраты безразмерных собственных частот кольца с w0 ( y ) :
01k = (01k ) = 1;
02 k = (02 k ) = 1 + 6a0, 2 2 (6) где индекс "k" означает, что решение является традиционным, а квадрат безразмер ной собственной частоты идеального кольца равен 2 = R 2 (1 µ 2 )2 E = 12 ;
= (n 2 h R ).
(7) Из (6) видно, что частотный спектр несовершенного кольца, всегда удваивает ся. Низшая частота 01k не зависит от амплитуды начальных отклонений a0, а вто рая частота 02 k значительно превышает частоту основного тона идеального кольца.
Расстройка квадратов собственных частот может быть очень существенной. Напри мер, при амплитуде a0 = 1 она равна k = 02 k 01k = 6.
2 Далее приводится решение задачи, основанное на уточненной конечномерной модели (4). Сформулированы и доказаны следующие предположения.
Предположение 1. Отклонения, не соответствующие характеру волнообра зования кольца ( n0 n ), не влияют на его динамические характеристики.
Предположение 2. Начальные неправильности, соответствующие характеру волнообразования кольца ( n0 = n ), при произвольных начальных условиях приводят к связанным изгибно-радиальным колебаниям.
Предположение 3. Механизмом, запускающим взаимодействие изгибных и радиальных колебаний, являются начальные неправильности, неизбежные у реаль ного кругового кольца.
Предположение 4. Начальные неправильности, соответствующие характеру волнообразования кольца, приводят к расщеплению изгибного частотного спектра.
Значения расщепленных собственных частот не зависят от начала отсчета несо вершенств и их расстройка незначительна.
Предположение 5. Низшая из расщепленных собственных частот несовер шенного кольца всегда меньше собственной частоты идеального кольца.
При доказательстве предположений 4 и 5 использовано допущение о нерас тяжимости контура несовершенного кольца. Получены следующие выражения для квадратов безразмерных собственных частот:
01 = (01 ) = 1 a0 2 ;
02 = (02 ) = 1 = 01k, 2 2 2 (8) Движение несовершенного кольца с первой собственной частотой 01 пред ставляет собой связанные изгибно-радиальные колебания:
[ ] w1 ( y, t ) = ha1 sin ( y + 0 ) + 0,5 a0 2 sin (01t + 1 ). (9) Колебания кольца со второй частотой 02 происходят по форме, сдвинутой по отношению к первой изгибной форме на угол 2, и не сопровождаются радиаль ными колебаниями:
w2 ( y, t ) = ha2 cos( y + 0 )sin (02 t + 2 ). (10) Из (8) следует, что в новом решении начальные неправильности всегда умень шают низшую частоту 01 по сравнению со случаем идеального кольца.
Энергетическая оценка влияния w0 ( y ) подтвердила этот вывод.
Эффект расщепления частотного спектра представлен на рис. 1. Расчеты вы полнены при = 0,25. Сплошная горизонтальная линия = 1 соответствует собст венной частоте идеального кольца. Новому решению 01 (a 0, ) и 02 (a 0, ) = = отвечают пунктирная и горизонтальная линии. Для возможности сопоставления ре зультатов нового и традиционного решений на рисунке показаны графики частот 01k (a 0, ) = 02 (a 0, ) = = 1 и 02 k (a 0, ) (штриховая линия), вычисленных по формулам (6). Видно, что в новом решении расстройка собственных частот незна чительна, что создает известные предпосылки для интенсивного энергообмена меж ду сопряженными изгибными формами.
Традиционное решение ( ) Собственная частота 01 a0, 0.25 2 Идеальное кольцо ( ) 02 a0, 0. ( ) 01k a0, 0. ( ) 02k a0, 0. Новое решение 0 0.5 a Амплитуда начальных неправильностей Рис. 1. Расщепление изгибного частотного спектра Предположение 6. Начальные отклонения, соответствующие характеру вол нообразования кольца, приводят к взаимодействию сопряженных изгибных форм, а также к фиксации положения узлов этих форм в окружном направлении. Каж дой из сопряженных изгибных форм соответствует своя собственная частота.
Это предположение объясняет эффект биения, обнаруженный в экспериментах с оболочками конечной длины. Заметим также, что для идеального кольца каждая точ ка окружности может стать узлом колебаний.
Предположение 7. Возбуждение колебаний несовершенного кольца по одной из собственных изгибных форм приводит к возникновению радиальных колебаний, ко торые, в свою очередь, генерируют сопряженную изгибную форму. Иными слова ми, радиальные колебания являются механизмом, запускающим взаимодействие сопряженных изгибных форм. Таким образом, движение несовершенного кольца напоминает описанное Х. Гюйгенсом явление самосинхронизации двух маятников, установленных на общем податливом основании.
При доказательстве последнего предположения допущение о нерастяжимо сти контура кольца было опущено. Ортогонализация уравнения движения к форме прогиба (4) привела к трем связанным модальным уравнениям:
a1 + a1 + 0,5 a0 a3 cos 0 = 0;
a2 + a2 + 0,5 a0 a3 sin 0 = 0;
(11) a3 + 12a3 6a0 (a1 cos 0 + a2 sin 0 ) 0,5 = 0.
Найдены следующие значения квадратов собственных частот:
01 1 a0 2 ;
02 = 1;
03 12 + 6a0.
2 2 2 2 (12) Первым двум частотам соответствуют преимущественно изгибные, а третьей – преимущественно радиальные колебания кольца. Выражения для 01 и 02 совпа дают с (8), что свидетельствует о том, что колебания кольца происходят практиче ски без растяжения его контура. Частота преимущественно радиальных колебаний 03 увеличивается с ростом амплитуды начальных несовершенств.
Анализ третьего уравнения (11) показывает, что его первое инерционное сла гаемое намного меньше двух остальных. Это обстоятельство объясняется, в частно сти, тем, что квадрат радиальной парциальной частоты, равный 12, значительно превышает квадрат изгибной парциальной частоты. Тогда, пренебрегая первым сла гаемым в третьем уравнении (11), можно найти, что a3 0,5 a0 (a1 cos 0 + a2 sin 0 ) 2 = 0,5 a0 a cos( n 0 ) 2. (13) Определив вторую производную a3 по выражению (13) и подставив ее значе ние в первые два уравнения (11), придем к двум модальным уравнениям относи тельно координат a1 и a2, которые полностью совпадают с уравнениями, описы вающими колебания кольца с w0 ( y ) без растяжения его контура.
Показано, что пренебрежение первым малым слагаемым в третьем уравнении (11) вовсе не означает, что и в первых двух уравнениях можно принять a3 = 0, как это часто делается для упрощения нелинейных модальных уравнений, описывающих колебания оболочки конечной длины, в соответствии со "статическим" приемом, предложенным А.С. Вольмиром.
В заключение первого раздела динамические характеристики несовершенного кольца определены МКЭ в среде пакета MSC/NASTRAN. Численные расчеты под твердили адекватность новой линейной конечномерной модели.
Во втором разделе третьей главы предлагается новый подход к построению нелинейной конечномерной модели идеального кругового кольца. Считается, что возбуждение изгибных колебаний кольца с большими амплитудами по одной из соб ственных форм (например, по форме sin y ) приводит к возникновению радиальных колебаний, которые, в свою очередь, смещают возбуждаемую изгибную форму в ок ружном направлении на угол (t ). В этом случае прогиб кольца аппроксимируется выражением w( y, t ) = h[a (t ) sin[ y + (t )] + (t )], (14) где второе слагаемое соответствует радиальным колебаниям.
Введя обозначения a1 (t ) = a(t )cos (t );
a2 (t ) = a(t )sin (t );
a3 (t ) = (t ), прогиб (14) можно представить и в виде w( y, t ) = h[a1 (t )sin y + a2 (t )cos y + a3 (t )]. (15) Сформулированы и доказаны следующие два предположения.
Предположение 1. Геометрическая нелинейность кольца является механиз мом, запускающим взаимодействие его изгибных и радиальных колебаний.
Предположение 2. Возбуждение нелинейных изгибных колебаний кольца по одной из собственных форм приводит к возникновению радиальных колебаний. По следние колебания, в свою очередь, генерируют сопряженную изгибную форму. Та ким образом, радиальные колебания выступают в качестве своеобразной инерци онной связи между сопряженными изгибными формами.
Колебания идеального кольца с большими амплитудами также напоминают описанное Х. Гюйгенсом явление самосинхронизации двух маятников.
В третьем разделе изучаются свободные нелинейные колебания кольца с на чальными неправильностями. Прогиб аппроксимируется выражением (15).
Анализ динамических уравнений показывает, что взаимодействие изгибных колебаний с радиальными, а также связанность сопряженных изгибных форм обу словлены как нелинейностью кольца, так и наличием w0 ( y ).
Динамические характеристики определены методом Рунге – Кутта и сопос тавлены с решениями, найденными методами Бубнова – Галеркина и Крылова – Бо голюбова. Квадраты безразмерных частот свободных нелинейных колебаний несо вершенного кольца вычисляются по следующим формулам [ ] 1 ( A1 ) = (1 ) = 01 1 01 (1 + 21 )A12 4 ;
~ 2 2 2 (16) [ ], 2 ( A2 ) = ( 2 ) = 02 1 02 (1 + 1 22 )A22 ~ 2 2 2 ~ и – нелинейные частоты;
A и A – амплитуды свободных колебаний;
~ где 1 2 1 21 = a 20 a10 и 22 = a10 a 20 – коэффициенты собственных форм.
Скелетные кривые (16) относятся к мягкому типу. Вследствие w0 ( y ) они сме щаются в зону меньших частот. Расстройка нелинейных частот усиливается с ростом амплитуды начальных неправильностей и/или параметра.
Показано, что изгибные колебания тонкого кольца с большими амплитудами происходят практически без растяжения его контура.
В четвертом разделе изучаются вынужденные нелинейные колебания кольца.
Считается, что нагрузка "резонансно" распределена по отношению к одной из из гибных форм: q ( y, t ) = q sin y cos t. Рассматриваются колебания вблизи зоны глав ного резонанса ( = 1 ), где имеет место наиболее сильная связь и энергообмен между сопряженными изгибными формами. Периодические решения найдены мето дом Крылова – Боголюбова. Показано, что колебания могут представлять собой ли бо движение по одной изгибной форме, непосредственно возбуждаемой нагрузкой ( a1 ( ) = A1 cos ;
a2 ( ) = 0 – симметричная реакция), либо бегущую волну ( a1 ( ) = A1 cos ;
a2 ( ) = A2 sin – несимметричная реакция), когда возбуждаются обе изгибные формы, либо нестационарные процессы перестройки от одного режи ма движения к другому. Для ответа на вопрос о реализуемости того или иного ре жима движения исследована его устойчивость.
Амплитудно-частотная характеристика симметричной реакции тонкого несо вершенного кольца показана на рис. 2 жирными линиями.
q = 0,04;
SL2 0. = 0,1;
a0 = SR A A A Амплитуда B A1 1. A SR A SL C 0.9 0.95 1 1. A 1, 0.04, 1, 0.1, SL1 A 1, 1, 0.1, SL2 A 1, 1, 0.1, SR1 A 1, 0.1, SR2 A 1, 0. Безразмерная частота Рис. 2. Симметричная реакция несовершенного кольца Расчеты выполнены при a0 = 1;
= 0,1;
q = 0,04. Тонкие сплошные линии ог раничивают две области неустойчивости. Область A является классической для сис темы с одной степенью свободы при мягкой характеристике. Ее правая граница SL 2 ( A1, a0, ) совпадает со скелетной кривой несовершенного кольца. Взаимодейст вие сопряженных изгибных форм обусловливает появление дополнительной области B. Ее левая граница SR1 ( A1, a0, ) совпадает со скелетной кривой идеального кольца.
Начальные отклонения приводит к разрыву этих областей. Ширина "трещины" (об ласть C), в которой симметричная реакция устойчива, определяется расстройкой скелетных кривых идеального кольца и кольца с w0 ( y ). Маркер установлен на низ шей собственной частоте 01 = 0,976. Вторая частота 02 = = 1.
Рис. 3 демонстрирует влияние w0 ( y ) на несимметричную реакцию кольца.
Жирные линии соответствуют амплитуде сопряженной изгибной формы cos y, пунктирные – амплитуде непосредственно возбуждаемой формы sin y.
q = 0,04;
0. = 0,1;
a0 = A AL2 = AR A A 2( 1 ) Амплитуда A A AR A AL A A 0.96 0.98 1 1. A A 1, 1, A A 1, 1, AL1 A 1, 1, AL2( 1 ), AR1( 1 ), AR2 A Безразмерная частоа Рис. 3. Несимметричная реакция несовершенного кольца Тонкими линиями показаны границы областей устойчивости двухмодового режима движения (режима бегущей волны). Маркер установлен на резонансной час тоте c = 0,9877. Индекс "A", добавленный частотам, соответствует двухмодовому режиму движения кольца.
На рис. 4 показано влияние начальных отклонений на амплитудно-частотные кривые для непосредственно возбуждаемой изгибной формы (жирные линии отве чают симметричной реакции, а пунктирные – несимметричной). Тонкими линиями показаны границы устойчивых режимов движения.
q = 0,04;
A1 0.976 0. = 0,1;
A a0 = SR A SL A AL2 = AR A Амплитуда A1 1. A SL A AR2 = SR A AL A 0.9 0.95 1 1. A 1, 1, A A 1, 1, SL1 A 1, 1, SL2 A 1, 1, AL1 A 1, 1, AL2( 1 ), AR1( 1 ), SR1 A 1, AR2 A Безразмерная частота Рис. 4. Амплитудно-частотные кривые несовершенного кольца Прохождение зоны главного резонанса происходит следующим образом. Сна чала имеет место симметричная реакция. При = SL1 амплитуда стоячей волны резко увеличивается, а затем, с ростом частоты вынуждающей нагрузки, начинает уменьшаться. При AL1 AL 2 реализуются и одномодовый режим движения, и режим бегущей волны. Последний становится неустойчивым при = AL 2. В диа пазоне AR1 SR1 имеют место обе реакции. При = SR1 симметричная реак ция, а при = AR 2 = SR 2 несимметричная реакция становятся неустойчивыми.
Наконец, при SR 2 вновь реализуется движение типа стоячей волны.
В пятом разделе третьей главы изучается влияние малой разнотолщинности h( y ) = h[1 + 2(a10 sin 0 y + a20 cos 0 y )];
0 = n0 R;
n0 (17) на вынужденные нелинейные колебания кольца. Прогиб представлен выражением (15). Координата a3 (t ) определена из условия нерастяжимости контура кольца.
Модальные уравнения получены с помощью уравнений Лагранжа. Считается, что вынуждающая нагрузка "резонансно" распределена по отношению к изгибной фор ме sin y. Рассматривается случай, когда n0 = n. Найдены собственные частоты:
01 02. Их расстройка увеличивается с ростом амплитуд a10 и/или a20. При a10 0, a 20 0 возбуждение формы sin y приводит к возникновению сопряженной формы cos y даже в линейной постановке. При a10 0, a 20 = 0 (или наоборот) связь между сопряженными формами отсутствует, однако расщепление изгибного частот ного спектра сохраняется.
Периодическое решение, соответствующее главному резонансу, найдено ме тодом Крылова – Боголюбова. Исследована устойчивость одно- и двухмодового ре жимов движения. Сделан вывод о том, что нелинейное поведение разнотолщинного кольца аналогично поведению кольца с w0 ( y ).
В этом же разделе приведены результаты расчета кольца переменной толщи ны, выполненные МКЭ в пакете MSC/NASTRAN. Показано, в частности, что при n0 = 2n несовершенства вида (17) уменьшают собственную частоту 01 по сравне нию со случаем кольца постоянной толщины: 01 02.
В шестом разделе третьей главы изучаются собственные колебания кольца с начальными неправильностями, несущего малую массу. Показано, что присоеди ненная масса усиливает расстройку изгибного частотного спектра. Следовательно, устранить эффект его расщепления соответствующим подбором величины и точки крепления малой массы не удается. Традиционное решение этой же задачи приво дит к прямо противоположному результату, который является ошибочным.
В первом разделе четвертой главы приводятся результаты расчета собствен ных частот идеальной оболочки конечной длины, выполненных по точным уравне ниям (соответствующим варианту теории оболочек В.В. Новожилова), уравнениям Доннелла – Муштари – Власова, при пренебрежении тангенциальными составляю щими сил инерции, а также МКЭ в пакете MSC/NASTRAN. Как и в исследованиях, выполненных другими авторами, показано, что в широком диапазоне изменения па раметров и = mR nl, характеризующих относительную толщину и длину обо лочки, теория Доннелла – Муштари – Власова дает значения всех трех собственных частот близкие к точным (причем две высшие частоты, соответствующие преиму щественно продольным и крутильным колебаниям оболочки, по этим теориям прак тически неотличимы).
Во втором разделе четвертой главы изучается влияние осесимметричной на чальной погиби на взаимодействие радиальных и продольных колебаний. Считается, что края оболочки шарнирно оперты и могут свободно смещаться в продольном на правлении x. Начальная погибь имеет вид w0 ( x) = ha30 sin 2 m x;
m = m l, (18) где a 30 – безразмерная амплитуда погиби, положительная при направлении к оси оболочки;
m – число полуволн.
Уравнения движения несовершенной оболочки записаны с учетом тангенци альной составляющей сил инерции. Их решение ищется в виде u ( x, t ) = ha cos m x cos 0 t ;
w( x, t ) = hc sin m x cos 0 t, (19) где 0 – частота собственных колебаний оболочки с начальной погибью.
Найдены безразмерные частоты 01 02 ( 02i = R 2 (1 µ 2 ) 2i E ). Построены графики зависимости этих частот, а также отношения амплитуд 0 = a c от относи тельной длины оболочки = mR l, ее толщины = h R и амплитуды погиби a 30.
Показано, что при 1, то есть для относительно длинных оболочек, и 0 = продольные колебания преобладают над исчезающими радиальными, а при 0 = 02, наоборот, преобладают радиальные колебания оболочки. При 1 роли частот меняются. При = 1 отношение амплитуд 0 1 при 0 = 01 и при 0 = 02, что свидетельствует о сильном взаимодействии радиальных и продольных колебаний оболочки. Установлено, что погибь практически не влияет на частоты преимущественно продольных колебаний. При 0,5 частоты продольных колеба ний реальных оболочек можно вычислять по одномерной стержневой теории с обычным модулем Юнга E, а при 1,5 – с приведенным E = E (1 µ 2 ). При 0,5 1,5 ( l R 2,1 6,3 ) из-за сильной связи радиальных и продольных колебаний для определения частот надлежит применять теорию оболочек. В этом же диапазоне изменения параметра нельзя пренебрегать тангенциальными составляющими сил инерции в уравнениях, описывающих изгибные колебания несовершенной оболочки.
Показано, что осесимметричная погибь (независимо от ее направления) увеличивает частоты преимущественно радиальных колебаний. С ростом амплитуды погиби и/или параметров и это влияние усиливается.
Известно, что связанность радиальных и продольных колебаний идеальной оболочки обусловлена исключительно отличием коэффициента Пуассона µ от нуля.
Установлено, что начальная погибь вида (18) эту связь может усилить, если a 30 0, уменьшить при a 30 0 и вовсе устранить, когда a30 = 2 µ 2.
В пятой главе изучаются собственные колебания оболочки конечной длины с асимметричными начальными неправильностями. Анализ основывается на резуль татах и выводах третьей главы. Наряду с уже известными результатами, которые иногда существенно уточняются (как качественно, так и количественно), в главе представлены и результаты решения ряда новых задач.
В первых двух разделах представлено традиционное решение для свободно опертой по торцам оболочки. Прогиб в первом приближении имеет вид w( y, t ) = h[a1 (t ) sin y + a2 (t ) cos y ]sin x;
= m l. (20) В задачах динамики оболочек наибольший практический интерес представля ет основная частота, которой отвечает одна полуволна, образующаяся в продольном направлении. Этот случай, когда m = 1, в дальнейшем и изучается.
Рассмотрены два вида начальных неправильностей:
w0 ( y ) = ha0 sin (y + 0 ) = h[a10 sin y + a20 cos y ];
(21) w0 ( x, y ) = ha0 sin ( y + 0 )sin x = h[a10 sin y + a20 cos y ]sin x. (22) Тангенциальные граничные условия N1 = T = 0 ( N1, T – погонные продольное и касательное усилия, соответственно) удовлетворены "в среднем".
Найдены собственные частоты: 1 01k = 01k 02k = 02k ( – безраз мерная собственная частота идеальной оболочки). Показано, что несовершенства вида (21) и (22) существенно расщепляют частотный спектр, при этом основная час тота увеличивается по сравнению со случаем идеальной оболочки.
В третьем разделе предлагается уточнение линейной конечномерной модели (20). Считается, что асимметричные начальные неправильности приводят к взаимо действию изгибных и радиальных колебаний оболочки.
Рассматривается свободно опертая по торцам оболочка, имеющая начальные неправильности в окружном направлении с числом волн n0 :
w0 ( y ) = ha0 cos 0 y;
0 = n0 R. (23) Прогиб представляется в виде ряда h[a (t ) sin n y + a2 m,n (t ) cos n y + a3m,n (t )], w( x, y, t ) = sin m x (24) 1m, n n где a1m,n и a2 m,n отвечают изгибным, а a3m,n – радиальным колебаниям оболочки.
Уравнения теории пологих оболочек решены по схеме П.Ф. Папковича.
Структура полученных динамических уравнений свидетельствует о взаимосвязанно сти изгибных форм с разным числом окружных волн n (несопряженных изгибных форм). Взаимодействие сопряженных изгибных форм при начальных неправильно стях вида (23) отсутствует, однако расщепление изгибного частотного спектра имеет место. При n = n0, а также при n = 2n0 начальные отклонения приводят к свя занным изгибно-радиальным колебаниям оболочки.
Далее анализируются частные случаи. Сначала в (24) удерживается только один члена ряда и считается, что n0 = n. Найдены три собственные частоты:
01 1 02 03 (знак равенства имеет место для кольца). Первой частоте соот ветствуют преимущественно изгибные, второй – чисто изгибные, а третьей – пре имущественно радиальные колебания оболочки. Установлено, что начальные от клонения от круговой формы всегда уменьшают основную частоту 01 по сравне нию со случаем идеальной оболочки. При этом число волн n, соответствующее ос новной частоте, может увеличиться. Показано, что 02 = 01k. График, иллюстри рующий расщепление изгибного частотного спектра, по виду аналогичен графику, изображенному на рис. 1. В новом решении расстройка частот 01 и 02 незначи тельна, что подтверждается и известными опытными данными. Показано, что час тота преимущественно радиальных колебаний 03 всегда увеличивается по сравне нию со случаем идеальной оболочки. Предельный переход к кольцу подтвердил адекватность линейной конечномерной модели (24).
Затем решение задачи получено при удержании в (24) нескольких членов ря да. Установлено, что низшие частоты собственных изгибных колебаний оболочки могут быть вычислены по первому приближению в широком диапазоне изменения параметров волнообразования = n 4 (h R ) и = mR nl.
В заключение раздела значения собственных частот оболочки с начальными неправильностями в окружном направлении были получены МКЭ в пакете MSC/NASTRAN. Так, для оболочки с параметрами: l = 1,2 м;
R = 2 м;
h = 0,01 м;
f 0 = 0,01 м;
Е = 2105 МПА;
= 0,00795 Мнс2/м4;
µ = 0,3;
n = 10 при краевых усло виях Навье они оказались равными: 01 = 99,8 Гц;
02 = 114 Гц (основная частота идеальной оболочки – = 114 Гц). Теоретические значения соответствующих частот равны: 01 = 100 Гц, 02 = 115 Гц ( = 115 Гц).
На рис. 5 показаны сопряженные изгибные формы оболочки с w0 ( y ). Видно, что колебания оболочки с частотой = 01 = 99,8 Гц сопровождаются заметными радиальными колебаниями (рис. 5, а). При колебаниях оболочки с частотой = 02 = 114 Гц радиальные колебания отсутствуют (рис. 5, б).
В четвертом разделе изучается влияние начальных неправильностей, имею щих вид (22). Прогиб оболочки аппроксимируется выражением w( x, y, t ) = h{[a1 (t ) sin y + a2 (t ) cos y + a3 (t )]sin x + a4 (t ) sin 3x}. (25) а) б) Рис. 5. Сопряженные изгибные формы несовершенной оболочки (МКЭ) Решение уравнений теории пологих оболочек по схеме П.Ф. Папковича (при удовлетворении тангенциальным краевым условиям "в среднем") приводит к четы рем связанным динамическим уравнениям. Найдены четыре собственные частоты 01 1 02 03 04. Первым двум частотам соответствуют преимущественно изгибные, а третьей и четвертой – преимущественно радиальные колебания оболоч ки. Установлено, что начальные неправильности вида (22) уменьшают основную частоту 01 по сравнению со случаем идеальной оболочки. При этом число волн n, соответствующее основной частоте, может увеличиться. Показано, что 02 = 01k.
Расстройка изгибного частотного спектра увеличивается с ростом амплитуды на чальных несовершенств, оставаясь все же незначительной. Частоты преимущест венно радиальных колебаний 03 и 04 всегда увеличиваются по сравнению со слу чаем идеальной оболочки. Предельный переход к кольцу подтвердил адекватность линейной конечномерной модели (25).
В пятом разделе пятой главы продемонстрирована возможность упрощения системы модальных уравнений уточненным "статическим" приемом.
При исследовании изгибных колебаний оболочек обычно полагают, что их собственные частоты, отвечающие разным числам волн n, настолько разнесены друг от друга, что связанностью соответствующих им форм можно пренебречь. Однако многие реальные оболочки имеют близкие собственные частоты. В шестом разделе пятой главы на частном примере показано, что механизмом, запускающим взаимо действие несопряженных изгибных форм, может являться не только геометрическая нелинейность оболочки, но и неизбежная начальная погибь.
В седьмом разделе изучается влияние формулировки тангенциальных гранич ных условий на изгибные колебания свободно опертой оболочки, имеющей началь ные неправильности вида (22). Рассматриваются четыре варианта граничных усло вий N1 = T = 0;
N1 = v = 0;
u = T = 0;
u = v = 0, которые удовлетворяются точно. Про гиб аппроксимируется выражением (25), при этом форма радиальных колебаний представлена одним слагаемым ( a4 (t ) = 0 ). Определены три собственные частоты, зависящие от типа тангенциальных закреплений торцов оболочки. Первым двум частотам соответствуют преимущественно изгибные, а третьей – преимущественно радиальные колебания оболочки. На рис. 6 представлена зависимость квадрата низ шей собственной частоты оболочки с параметрами l R = 0,6;
R h = 200 от амплиту ды начальных несовершенств a10 (a20 = 0). Расчеты выполнены при µ = 0,3 и числе окружных волн n = 10.
N1 = v = 0 u=v= a Амплитуда начальной погиби N1 = T = 0. "в среднем" a N1 = T = a 0. l/R = 0,6;
a R/h = 200;
n = 10;
u=T= 0. a a20 = 0;
µ = 0, 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1. 2 2 2 2 01 a 10, 0, 10, 01v a 10, 0, 10, 01u a 10, 0, 10, 01uv a 10, 0, 10, 01 a 10, 0, Квадрат безразмерной частоты Рис. 6. Влияние формулировки тангенциальных граничных условий Видно, что при всех вариантах тангенциальных граничных условий начальные неправильности уменьшают основную частоту. Удовлетворение тангенциальным граничным условиям "в среднем" приводит к заметной погрешности при определе нии собственных частот. При свободном сближении торцов оболочки ( u 0 ) оно приводит к их завышению, а при отсутствии сближения ( u = 0 ) точные значения собственных частот занижаются. Расчеты показывают, что расстройка изгибного частотного спектра зависит как от амплитуды начальных несовершенств, так и от типа тангенциальных граничных условий. При ограничении смещения торцов обо лочки она увеличивается.
Заметное влияние начальные неправильности оказывают и на частоты пре имущественно радиальных колебаний, всегда увеличивая их, по сравнению со слу чаем идеальной оболочки.
В восьмом разделе изучается влияние всестороннего внешнего статического давления и начальных неправильностей вида (22) на динамические характеристики оболочки. В ряде работ отмечается, что собственные частоты несовершенной обо лочки при относительно небольших уровнях нагрузки могут несколько увеличи ваться по сравнению со случаем идеальной ненагруженной оболочки. Достовер ность этого вывода в разделе ставится под сомнение.
Положение статического равновесия определено в рамках нелинейной теории пологих оболочек при удовлетворении тангенциальным граничным условиям N1s = Ts = 0 "в среднем". Далее рассматриваются собственные колебания нагружен ной оболочки около устойчивого "в малом" положения равновесия. Динамический прогиб аппроксимируется выражением (25) при a4 (t ) = 0. Найдены три собственные частоты. Первым двум частотам 01 02 соответствуют преимущественно изгиб ные, третьей – преимущественно радиальные колебания. Построены графики, иллю стрирующие зависимость низшей частоты 01 от статической нагрузки и амплитуды начальных несовершенств. Установлено, что уменьшение основной частоты 01, по сравнению со случаем идеальной оболочки, имеет место даже при малом уровне статической нагрузки. С ростом нагрузки понижающее влияние w0 ( x, y ) на частоту основного тона резко усиливается, при этом может измениться число волн n, соот ветствующее низшей частоте. Расстройка изгибного частотного спектра с ростом статической нагрузки увеличивается.
При 01 = 0 получено значение "верхней" критической нагрузки.
В девятом разделе исследуется влияние начальных неправильностей на соб ственные колебания оболочки, оба торца которой жестко защемлены. Сначала ре шение задачи получено при использовании традиционной линейной конечномерной модели несовершенной оболочки:
w( x, y, t ) = h[a1 (t ) sin y + a2 (t ) cos y ]sin 2 x. (26) Считается, что форма начальных несовершенств находится в "резонансе" с формой изгибных колебаний оболочки. Тангенциальные граничные условия удовле творены "в среднем". Найдены две собственные частоты 1 01kc 02 kc (индекс "c" означает, что оболочка по концам жестко защемлена). Установлено, что основная частота увеличивается по сравнению со случаем идеальной оболочки, причем еще в большей степени, чем для случая свободного опирания торцов. К аналогичным вы водам приходят и другие авторы.
Далее производится уточнение конечномерной модели оболочки, предпола гающее взаимодействие изгибных и радиальных колебаний. Найдены три собствен ные частоты 01c 1 02 c 03c. В новом решении основная частота несовершен ной оболочки меньше основной частоты идеальной оболочки, а 02 c = 01kc. Рас стройка изгибного частотного спектра незначительна. Показано, что частота пре имущественно радиальных колебаний увеличиваются по сравнению со случаем иде альной оболочки.
В шестой главе изучается влияние осесимметричной начальной погиби w0 ( x) = ha30 sin 0 x;
0 = m0 l (27) на линейные динамические характеристики оболочки.
В первом разделе рассматривается вопрос о формах собственных колебаний свободно опертой оболочки, имеющей начальную погибь вида (27).
Показано, что такая погибь не приводит к взаимодействию изгибных колеба ний оболочки с радиальными и не расщепляет частотный спектр.
Существует два класса независимых решений удовлетворяющих и уравнениям движения оболочки, и рассматриваемым граничным условиям:
w(1) ( x, y, t ) = sin n y ha1m,n (t ) sin m x;
w( 2) ( x, y, t ) = cos n y ha2 m,n (t ) sin m x. (28) m m Далее оценивается влияние осесимметричной погиби ( m0 = 1) на изгибные ко лебания основного тона. Прогиб оболочки представляется выражением w( x, y, t ) = h(a11,n sin 1 x + a12,n sin 2 x + a13,n sin 3 x )sin n y, (29) то есть в первом разложении (28) удерживаются три члена ряда.
Тангенциальные граничные условия удовлетворены "в среднем". Найдены три собственные частоты: 01 02 03. Показано, что погибь, направленная к оси обо лочки, приводит к существенному снижению основной частоты. Взаимодействие форм собственных колебаний, характеризуемых разным числом полуволн m, оказы вается незначительным, поэтому низшие собственные частоты могут быть вычисле ны при удержании в (28) только одного члена ряда:
w( x, y, t ) = ha sin y sin x;
= n R;
= l. (30) Во втором разделе рассматриваются собственные изгибные колебания нена груженной оболочки, свободно опертой по торцам. Прогиб оболочки аппроксими руется выражением (30). Рассмотрены четыре варианта тангенциальных граничных условий N1 = T = 0;
N1 = v = 0;
u = T = 0;
u = v = 0, которые удовлетворены точно.
Приведены графики, иллюстрирующие влияние типа тангенциального закрепления торцов оболочки, ее относительной длины и толщины, а также амплитуды началь ной погиби на частоту собственных изгибных колебаний. Зависимость частоты от амплитуды погиби a 30 носит нелинейный характер. С ее ростом (при a 30 0 ) часто та сначала убывает, затем проходит через минимум и начинает возрастать. При от сутствии сближения торцов оболочки различным формам волнообразования n соот ветствует практически одно и то же значение амплитуды погиби, при котором дан ная частота минимальна: a 30 0,7 0,8. При свободном сближении торцов картина иная: с увеличением числа волн n значение амплитуды погиби, оказывающей наи большее понижающее влияние на частоту, заметно уменьшается. С ростом относи тельной длины оболочки влияние погиби на частоту становится все менее замет ным. Оболочка наиболее чувствительна к начальной погиби при свободном сближе нии торцов ( u 0 ). Погибь, направленная от оси оболочки, всегда увеличивает час тоты собственных изгибных колебаний. Показано, что удовлетворение тангенциаль ным граничным условиям "в среднем" приводит к заметной погрешности в собст венных частотах. Число волн n, соответствующее основной частоте, зависит от спо соба тангенциального закрепления торцов оболочки.
При свободном сближения торцов оболочки начальная погибь не оказывает влияния на частоты собственных радиальных колебаний. При u = 0 погибь, направ ленная от оси оболочки, эти частоты увеличивает, а при a 30 0 до некоторого зна чения a30 имеет место снижение частот, а затем начинается их возрастание.
Результаты теоретического анализа в первых двух разделах подтверждены численными расчетами, выполненными МКЭ в пакете MSC/NASTRAN.
В третьем разделе исследуются собственные колебания оболочки с началь ной погибью (27), нагруженной всесторонним внешним статическим давлением.
Рассмотрены тангенциальные граничные условия: N1 = T = 0;
N1 = v = 0, которые удовлетворяются точно. Показано, что влияние w0 ( x) на частоты собственных из гибных колебаний заметно усиливается при приближении значения нагрузки к кри тическому, вычисленному с учетом начальной погиби. Каждому сочетанию пара метров, характеризующих геометрию оболочки, форму волнообразования и нагруз ку, соответствует свое значение амплитуды погиби, оказывающей наибольшее по нижающее влияние на частоты собственных колебаний. С ростом длины оболочки это значение амплитуды погиби возрастает. Нагрузка изменяет число волн n, соот ветствующее низшей частоте. Анализ графиков, иллюстрирующих влияние танген циальных граничных условий и амплитуды начальной погиби на колебания нагру женных оболочек, показывает, что, как и для ненагруженных оболочек, удовлетво рение этим условиям "в среднем" приводит к существенной погрешности при вы числении собственных частот.
Произведена оценка влияния w0 ( x) и моментности докритического состояния оболочки на величину критической нагрузки.
В четвертом разделе изучается влияние начальной погиби w0 ( x) = ha30 sin 2 x;
= l (31) на изгибные колебания оболочки, торцы которой жестко защемлены.
Прогиб в первом приближении представлен в виде w( x, y, t ) = h[a1 (t ) sin y + a2 (t ) cos y + a3 (t )]sin 2 x. (32) Установлено, что влияние начальной осесимметричной погиби на частоты и формы собственных колебаний оболочки с жестко защемленными торцами, в целом, такое же, как и для случая свободно опертой оболочки.
В седьмой главе рассматриваются свободные нелинейные колебания шарнир но опертой оболочки. Изучается влияние осесимметричных и асимметричных на чальных несовершенств, статической нагрузки и формулировки тангенциальных граничных условий на динамические характеристики оболочки.
В первом разделе рассматривается идеальная оболочка. Как уже отмечалось выше, традиционный подход к построению нелинейной конечномерной модели обо лочки предполагает взаимодействие сопряженных изгибных форм, а также некото рые геометрические модельные представления о ее деформировании при конечных прогибах. При таком подходе прогиб оболочки, совершающей колебания вблизи зо ны главного резонанса, представляется в виде:
w( x, y, t ) = h{[a1 (t ) sin y + a2 (t ) cos y ]sin x + ( x, y, t )}, = l, = n R. (33) Установлено, что характер нелинейного поведения оболочки существенно за висит от выбора функции ( x, y, t ). На основании последних работ ее рекомендует ся принимать в виде ( x, y, t ) = ( x, t ) = a3 (t ) sin 2 x, где координата a3 (t ) представ ляет собой либо независимую координату, либо координату, определяемую из усло вия нерастяжимости контура поперечного сечения срединной поверхности оболоч ки. Это приводит в теоретическом анализе к мягкой скелетной кривой, качественно согласующейся с известными опытными данными. Такой подход способствовал объяснению ряда специфических явлений, проявляющихся при колебаниях оболоч ки с большими амплитудами. Однако рекомендуемое выражение для ( x, t ) не удовлетворяет условию свободного опирания торцов оболочки по изгибающему мо менту. Поэтому традиционный подход может быть использован в нелинейном ана лизе, но только для относительно длинных оболочек.
Предлагается иной подход к построению нелинейной конечномерной модели идеальной оболочки. Считается, что возбуждение изгибных колебаний оболочки с большими амплитудами приводит к возникновению радиальных колебаний. При та ком подходе функция ( x, y, t ) = ( x, t ) может быть получена "суммированием" форм малых радиальных колебаний идеальной оболочки.
Далее приводится традиционное решение. Прогиб оболочки имеет вид w( x, y, t ) = h{ a1 (t ) sin y + a2 (t ) cos y ]sin x + a3 (t ) sin 2 x}.
[ (34) Граничные условия N1 = T = 0 удовлетворены "в среднем". Система динами ческих уравнений получена уточненным "статическим" приемом.
Скелетные кривые, отвечающие колебаниям оболочки по одной из изгибных форм sin y sin x ( a1 ( ) = A1 cos k ;
a2 ( ) = 0 ) или cos y sin x ( a1 ( ) = 0 ;
a2 ( ) = A2 cos k ), описываются одним и тем же уравнением мягкого типа:
2 ( A ) = ( ) = (1 + 3e A 2 4 ) (1 + e A 2 2 ).
~ (35) 1 k i k i i При двухмодовом режиме движения оболочки, когда координаты изменяются ~ по закону a1 ( ) = A1 cos ck ;
a2 ( ) = A2 sin ck ;
ck = ck k, колебания представ ляют собой бегущую в окружном направлении изгибную волну с постоянными ам плитудой ( A1 = A2 ) и фазовой скоростью. При этом квадрат нелинейной частоты связан с амплитудой зависимостью ck ( A1 ) = 1 + e1 A12.
(36) Необходимо отметить, что при использовании "статического" приема без его уточнения коэффициент e2 в (35) оказывается равным нулю. В этом случае можно придти к неверному выводу о том, что скелетная кривая двухмодового режима дви жения оказывается более мягкой, чем одномодового.
Затем эта же задача решается на основе нового подхода. Прогиб аппроксими руется выражением (25). Получена система четырех связанных динамических урав нений. Показано, что колебания оболочки происходят около положения равновесия, смещенного по направлению к ее оси. Приведенные скелетные кривые относятся к мягкому типу. Скелетная кривая, отвечающая традиционному решению, проходит выше скелетной кривой нового решения. Это объясняется тем, что традиционный подход приводит к завышению жесткости оболочки. С уменьшением длины оболоч ки расхождение результатов, полученных на основе традиционного и нового подхо дов, увеличивается. Предельный переход к кольцу подтвердил адекватность конеч номерной модели (25).
Далее система четырех модальных уравнений упрощена уточненным "стати ческим" приемом и сведена к системе двух уравнений. Ее решение практически сов пало с решением исходных четырех уравнений.
В заключение первого раздела, по-видимому, впервые дано объяснение при чины, по которой функция ( x, t ) = a3 (t ) sin x, отвечающая всем граничным усло виям свободного опирания торцов оболочки, но не рекомендуемая традиционным подходом, приводит для относительно длинных оболочек к жесткой скелетной кри вой, качественно не согласующейся с опытными данными.
Во втором разделе седьмой главы рассматривается оболочка с осесиммет ричной начальной погибью (27), нагруженная всесторонним внешним статическим давлением. Динамический прогиб представлен выражением (25) (при a4 (t ) = 0 ).
Тангенциальные граничные условия удовлетворены "в среднем". В полученных мо дальных уравнениях связь обобщенных координат обусловлена нелинейностью обо лочки и наличием начальной погиби. Показано, что движение нагруженной оболоч ки может происходить по одной из изгибных форм или представлять собой бегущую в окружном направлении изгибную волну. Построены графики, иллюстрирующие влияние амплитуды начальной погиби, нагрузки и числа волн n на скелетные кри вые одно- и двухмодового режимов движения оболочки. Установлено, что погибь, направленная к оси нагруженной оболочки, оказывают сильное влияние на характер скелетных кривых. Они заметно смещаются в зону низших частот, выпрямляются и из мягких могут превратиться в жесткие. С ростом амплитуды колебаний изменяет ся число волн n, отвечающее низшей частоте. При уменьшении амплитуды колеба ний обе нелинейные частоты сливаются в одну, поскольку w0 ( x) не расщепляет из гибный частотный спектр.
В третьем разделе изучается влияние статической нагрузки и асимметрич ных начальных неправильностей вида (22). Получены уравнения скелетных кривых, отвечающих изгибным формам sin y sin x и cos y sin x (они отличаются друг от друга, так как 01 02 ), а также двухмодовому режиму движения оболочки. По строены графики, иллюстрирующие влияние нагрузки и начальных неправильно стей на одно- и двухмодовый режимы движения оболочки. Их анализ показывает, что статическая нагрузка (совместно с w0 ( x, y ) ) увеличивает расстройку нелиней ных частот и может изменить число волн n, отвечающее их минимальным значени ям. С ростом амплитуды колебаний это влияние ослабевает. Если для идеальной оболочки амплитуды сопряженных изгибных форм при двухмодовом режиме дви жения равны между собой, и бегущая волна имеет постоянную амплитуду, то для несовершенной оболочки амплитуда сопряженной формы всегда больше амплитуды непосредственно возбуждаемой формы.
В четвертом разделе, по-видимому, впервые изучено влияние формулировки тангенциальных граничных условий, удовлетворяемых точно, на нелинейные дина мические характеристики идеальной оболочки. Прогиб оболочки аппроксимирован выражением (25) ( a4 (t ) = 0 ). Скелетные кривые, соответствующие колебаниям по одной из изгибных форм sin y sin x или cos y sin x, описываются одним и тем же уравнением мягкого типа, по виду аналогичным (35). Двухмодовый режим движе ния оболочки представляет собой бегущую в окружном направлении волну с посто янными амплитудой и фазовой скоростью. Графики скелетных кривых построены для четырех вариантов краевых условий N1 = T = 0;
N1 = v = 0;
u = T = 0;
u = v = 0.
Показано, что удовлетворение этим условиям "в среднем" приводит к заметной по грешности при определении динамических характеристик оболочки конечной дли ны. Для случая свободного сближения торцов оболочки ( u 0 ) частоты одно- и двухмодового режимов движения оболочки завышаются, а при неподвижных торцах ( u = 0 ) – в еще большей степени занижаются.
В восьмой главе изучаются вынужденные нелинейные колебания свободно опертой по торцам оболочки. Считается, что вынуждающая нагрузка неравномерно распределена по ее поверхности: q ( x, y, t ) = q sin y sin x cos t.
В первом разделе рассматривается идеальная оболочка. Осесимметричная часть прогиба представляется в двух видах, соответствующих традиционному и но вому решениям. Тангенциальные граничные условия удовлетворены "в среднем".
Ортогонализация уравнения движения и уточненный "статический" прием приводят к системе двух модальных уравнений. Их периодическое решение при 1 найде но методом Крылова – Боголюбова. Получены дифференциальные уравнения отно сительно неизвестных амплитуд и фаз колебаний, на основе которых изучаются возможные режимы движения оболочки.
Одному из режимов движения соответствуют колебания по изгибной форме, непосредственно возбуждаемой вынуждающей нагрузкой. Анализ устойчивости од номодового режима движения оболочки, как и для случая идеального кольца, при вел к двум областям неустойчивости. Левая область является традиционной для сис тем с одной степенью свободы и мягкой характеристикой. Нелинейное взаимодей ствие сопряженных изгибных форм обусловливает появление дополнительной, пра вой области, в которой симметричная реакция идеальной оболочки также неустой чива. Общей границей для обеих областей неустойчивости является скелетная кри вая симметричной реакции.
В том диапазоне частот вынуждающей нагрузки, где симметричная реакция неустойчива, система уравнений относительно амплитуд и фаз колебаний имеет и решение, которое характеризуется более сложным, чем стоячая волна, движением.
Установлены разность фаз, связь между амплитудами сопряженных изгибных форм, а также зависимость между квадратом частоты двухмодового режима движения оболочки и амплитудой непосредственно возбуждаемой изгибной формы. Прогиб оболочки при несимметричной реакции представляет собой бегущую волну. Найде ны границы области устойчивости двухмодового режима движения оболочки. Уста новлен диапазон частот нагрузки, в котором оба режима движения идеальной обо лочки оказываются неустойчивыми.
Во втором разделе изучается влияние осесимметричной погиби (27). Показа но, что связь между сопряженными изгибными формами обусловлена нелинейно стью оболочки и начальной погибью. Периодические решения, соответствующие главному резонансу, найдены методом Крылова – Боголюбова. Определены области устойчивости одно- и двухмодового режимов движения оболочки. Установлен диа пазон частот внешней нагрузки, в котором обе реакции неустойчивы. Осесиммет ричная погибь, снижающая собственную частоту, смещает нижнюю часть ампли тудно-частотных кривых в зону меньших частот. С ростом амплитуды колебаний влияние w0 ( x) ослабевает. Погибь несколько уменьшает ширину области неустой чивости одномодового режима движения оболочки и, соответственно, уменьшает диапазон частот вынуждающей нагрузки, в котором несимметричная реакция явля ется устойчивой. Сделан вывод о том, что осесимметричная начальная погибь, не приводящая к расщеплению изгибного частотного спектра, не вносит каких-либо качественных изменений при прохождении зоны главного резонанса по сравнению со случаем идеальной оболочки.
В третьем разделе изучаются вынужденные колебания оболочки с асиммет ричными начальными неправильностями (22). Анализ динамических уравнений по казывает, что взаимодействие изгибных и радиальных колебаний обусловлено не только нелинейностью оболочки, но и наличием начальных несовершенств. Перио дические решения в зоне главного резонанса найдены методом Крылова – Боголю бова. Определены области устойчивости одно- и двухмодового режимов движения.
Как и для кольца, начальные неправильности, соответствующие характеру волнооб разования оболочки, приводят к разрыву левой классической и правой дополни тельной (порожденной взаимосвязью сопряженных изгибных форм) областей неус тойчивости симметричной реакции.
Рис. 7 иллюстрирует одно- (жирные штриховые линии) и двухмодовый (тон кие сплошные линии и пунктирные линии с кружочками) режимы движения обо лочки с параметрами l / R = 0,6;
R / h = 200;
a10 = 1 при q = 0,03.
Видно, что начальные неправильности смещают нижнюю часть амплитудно частотных кривых обоих режимов движения оболочки в зону меньших частот. С ростом амплитуды колебаний влияние несовершенств ослабевает.
Поведение оболочки с асимметричными начальными неправильностями (рис.
8) качественно отличается от поведения идеальной оболочки или оболочки, имею щей начальную осесимметричную погибь. Из-за расщепления частотного спектра, может отсутствовать диапазон частот вынуждающей нагрузки, в котором оба режи ма движения неустойчивы. Однако всегда имеется некоторый диапазон частот, в ко тором режимы стоячей и бегущей волны реализуются одновременно.
q = 0,03;
А2 1. l/R = 0,6;
() A2 A R/h = 200;
1. a10 = 1;
А A n = Амплитуда A A A 0. 0.8 0.9 1 1. () () () ( ) ( ) 2 2 2 2 A A1, A A1, c A1, A1, 0.03, A1, Квадрат безразмерной частоты Рис. 7. Симметричная и несимметричная реакции несовершенной оболочки A 0.9237 1. SL A AL A 1. AL A Амплитуда A SR A1 A A P SR22=AR A SL 0. M A N AR 0.8 0.9 1 1. () ( ) () () () () () () () 2 2 2 2 2 2 2 2 A A1, A1, q, SL1 A1, SL2 A1, SR1 A1, SR2 A1, AL1 A1, AL2 A1, AR1 A Квадрат безразмерной частоты Рис. 8. Симметричная и несимметричная реакции несовершенной оболочки (амплитуда A1 ) Жирные сплошные линии на рисунке отвечают симметричной реакции, пунк тирные линии с кружочками – несимметричной. Тонкими сплошными линиями по казаны границы устойчивых режимов движения. Маркеры установлены на квадра тах собственных частот малых изгибных колебаний.
Прохождение зоны главного резонанса происходит следующим образом. Сна чала имеет место симметричная реакция. При = SL1 в точке M происходит скачок с нижней ветви на верхнюю, после чего амплитуда A1 постепенно уменьшается. На чиная с = AL1, помимо режима стоячей волны реализуется и двухмодовый режим движения оболочки ( A1 0, A2 0 ). При = AL 2 в точке P амплитуда несиммет ричной реакции резко увеличивается, а затем постепенно уменьшается. В диапазоне частот SR1 SR 2 имеет место только несимметричная, а при AR 2 – наобо рот, только симметричная реакция.
В пятом разделе восьмой главы приводятся некоторые известные экспери ментальные данные. Продемонстрировано как качественное, так и количественное согласование, этих данных с результатами настоящей диссертационной работы.
В заключительной части работы сформулированы основные выводы.
1. Повторный анализ работ, посвященных изучению влияния начальных не правильностей на изгибные колебания оболочек, позволил автору обнаружить в них и устранить несущественные неточности. Однако анализ оставил в силе ряд фунда ментальных вопросов по изучаемой проблеме, главные из которых были связаны:
• с расхождением результатов теоретического анализа, приводящего к су щественному расщеплению изгибного частотного спектра, с известными опытными данными, свидетельствующими о незначительном его расщеплении;
• с очевидным несоответствием здравому смыслу результатов теоретиче ского анализа о влиянии начальных отклонений от идеальной круговой формы на частоты собственных изгибных колебаний оболочки;
• с увеличением собственных частот несовершенной оболочки при относи тельно небольших уровнях всестороннего внешнего статического давления по срав нению со случаем идеальной ненагруженной оболочки;
• с непреодолимыми проблемами, связанными с удовлетворением гранич ным условиям при исследовании изгибных колебаний свободно опертой оболочки конечной длины с большими амплитудами.
• с возможностью устранения эффекта расщепления изгибного частотного спектра за счет соответствующего прикрепления к оболочке малой массы.
Для решения этих, а также ряда других вопросов в работе предложено уточ нение традиционной математической модели, в частности, в ее ключевой части, свя занной с построением конечномерной модели оболочки.
2. Предложен новый подход к построению конечномерной модели оболочки.
Считается, что возбуждение изгибных колебаний оболочки по одной из собственных форм приводит к возникновению радиальных колебаний, которые, в свою очередь, генерируют сопряженную изгибную форму. В линейной постановке механизмом, "запускающим" такое взаимодействие, являются начальные отклонения от идеаль ной круговой формы, неизбежные у реальной оболочки, а в нелинейной постановке – начальные неправильности и/или геометрическая нелинейность оболочки. Конеч номерная модель оболочки, построенная на основе нового подхода, реально ото бражает физические процессы, происходящие при ее колебаниях, а также отвечает, по мнению автора, известным требованиям наглядности и достаточной простоты.
3. Новый подход принципиально отличается от традиционного подхода, кото рый в линейной постановке предполагает, что начальные неправильности напрямую приводят к взаимодействию сопряженных изгибных форм, а в нелинейной постанов ке основывается и на некоторых геометрических модельных представлениях о де формировании оболочки при больших прогибах.
4. На основе предложенной конечномерной модели оболочки получены новые динамические уравнения, анализ которых позволил автору привести в соответствие результаты теории и опыта, а также получить ответ на все другие невыясненные фундаментальные вопросы, упомянутые выше.
5. Установлено, что начальные неправильности оказывают существенное влияние на частоты и формы собственных изгибных колебаний, на амплитудно частотные кривые и области устойчивости возможных режимов движения оболочки при ее колебаниях с большими амплитудами. Начальные отклонения, совпадающие по форме с характером волнообразования оболочки, приводят к незначительному расщеплению изгибного частотного спектра. При этом основная частота всегда уменьшается, а не увеличивается по сравнению со случаем идеальной оболочки, как это принято считать в настоящее время.
6. Новая конечномерная модель позволяет удовлетворить точно всем гранич ным условиям задачи (в том числе и тангенциальным), и поэтому она адекватна оболочке любой длины. Показано, что удовлетворение тангенциальным граничным условиям "в среднем" может привести к заметной погрешности при определении динамических характеристик оболочки конечной длины.
7. Сопоставление теоретических результатов с результатами численного ана лиза, с надежными опытными данными, а также с результатами известных теорети ческих исследований, выполненных другими авторами, позволяет говорить о том, что уточненная математическая модель приводит к правильному качественному и количественному описанию динамических характеристик оболочек конечной длины с начальными неправильностями, что, в свою очередь, свидетельствует о приемле мости выполненного исследования в целом.
8. Методика оценки влияния начальных неправильностей на динамическое поведение оболочки, а также полученные в работе расчетные формулы и графики в первом приближении могут быть использованы при выполнении проектировочных динамических расчетов реальных оболочек, применяемых в ракетостроении, под водном судостроении и других отраслях техники.
9. Предложенный подход к построению конечномерной модели оболочки мо жет быть использован и при изучении широкого круга проблем, близких к пробле мам, затрагиваемым в диссертации и имеющим большое практическое значение. К ним, например, можно отнести статическую и динамическую устойчивость, пара метрические колебания, панельный флаттер и др.