Нодирбек мухаммадович достаточные условия разрешимости задач преследования и убегания в линейных и квазилинейных дифференциальных играх

На правах рукописи

УДК 517.977.8 Умрзаков Нодирбек Мухаммадович ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ И УБЕГАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ 01.01.02 – дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент – 2012

Работа выполнена в Андижанском государственном университете Научные руководители: академик АН РУз Сатимов Нугман Юнусович доктор физико-математических наук Муминов Гуламджан Мадаминович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Маматов Машрабжан Шахабутдинович кандидат физико-математических наук, доцент Хайдаров Баходир Каюмович

Ведущая организация: Ташкентский филиал Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Защита состоится «» _ 2012 года в часов на заседании Специализированного совета Д 015.17.01 в Институте математики при Национальном университете Узбекистана по адресу: 100125, г. Ташкент, ул. Дурмон йули, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики при Национальном университете Узбекистана.

Автореферат разослан «_» _ 2012 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 015.17. доктор физ.-мат. наук А.А.Заитов ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ Актуальность работы. Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями. Динамические процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми.

В теории дифференциальных игр развиваются идеи и методы теории оптимального управления, потому что последнюю можно рассматривать как частный случай первой, когда имеется только один игрок. Рассматривая дифференциальные игры как часть математической теории управления, мы тем самым подчеркиваем соответствующий аспект теории, ее происхождение и поле возможных приложений. Вместе с тем, как это следует из самого названия, дифференциальные игры являются также составной частью теории игр. Это накладывает определенный отпечаток на терминологию и проблематику теории дифференциальных игр.

Основным математическим аппаратом теории дифференциальных игр является теория обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью дифференциальных уравнений записываются законы физики, механики, химии, биологии, астрономии, экономики и др. Использование аппарата дифференциальных уравнений приводит к тому, что в теории дифференциальных игр остро встают различные проблемы теории дифференциальных уравнений. Это обстоятельство отличает теорию дифференциальных игр от других направлений теории игр и обуславливает ее определенную самостоятельность.

Теория дифференциальных игр сформировалась как самостоятельная наука сравнительно недавно – начиная с 60-годов прошлого века. Тем не менее, отдельные задачи, которые мы сейчас могли бы с полным основанием включить в теорию дифференциальных игр, рассматривались в механике несколько веков назад1.

Прогресс теории дифференциальных игр связан прежде всего с именами Л.С.Понтрягина, Н.Н.Красовского и Р.Айзекса. Крупный вклад в развитие этой теории внесли А.А.Азамов, Е.Ф.Мищенко, Ю.С.Осипов, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян, Б.Н.Пшеничный, Н.Ю.Сатимов, А.И.Субботин, А.А.Чикрий. Интересные результаты получены в исследованиях Л.Берковица, А.И.Благодатского, А.Брайсона, П.Варайи, Дж.Варги, Р.В.Гамкрелидзе, Н.Л.Григоренко, П.Б.Гусятникова, А.В.Кряжимского, Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. – Ленинград: ЛГУ, 1977. – 222с.

А.Б.Куржанского, А.А.Меликяна, М.С.Никольский, В.В.Остапенко, У.Флеминга, А.Фридмана, А.Г.Ченцова, Ф.Л.Черноусько, Л.П.Югай и др.

Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли научные школы Л.С.Понтрягина и Н.Н.Красовского. В работах Н.Н.Красовского был предложен и развит позиционный подход к дифференциальным играм. Этот подход, основанный на конструктивных законах управления с обратной связью, позволил сформулировать центральный принцип теории позиционных дифференциальных игр теорему об альтернативе.

Идею рассматривать дифференциальную игру с двух разных точек зрения предложил Л.С.Понтрягин2. При таком подходе на первый план выдвигается один из игроков, которому предоставляется право строить управление на основе определенной информационной дискриминации противника.

Фундаментальные результаты по решению дифференциальных игр преследования и убегания получены Л.С.Понтрягиным и Е.Ф.Мищенко. В работе3 сформулированы достаточные условия разрешимости задачи преследования в нелинейных дифференциальных играх. В ней использован формализм принципа максимума – одного из центральных методов теории управления. Основной результат, заключающийся в описании множества начальных точек (состояний), из которых гарантируется завершение преследования, получен при выполнении некоторых весьма громоздких условий. Однако нужно отметить, что для такого нетривиального примера, как контрольный пример Л.С.Понтрягина, эти условия выполнены.

Упрощение результатов работы2, полученное Л.С.Понтрягиным и Е.Ф.Мищенко3, в конечном счете привело к созданию Л.С.Понтрягиным первого и второго (прямых) методов решения задачи преследования в линейных дифференциальных играх. Эти методы в исследованиях П.Б.Гусятникова, М.С.Никольского, Н.Ю.Сатимова, А.З.Фазылова и других перенесены на различные классы игр.

В работе4 предложен так называемый третий метод решения задачи преследования. Этот метод в начальных вариантах занимал промежуточное положение между упомянутыми выше первым и вторым методами.

Дальнейшее развитие этот метод получил в работах5.

Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. I // ДАН СССР. – Москва, 1967. – Т.174. – №6. – С.

1278-1280.

Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Линейные дифференциальные игры // ДАН СССР. – Москва, 1961. – Т.174.

– № 1. – С. 27-29.

Сатимов Н.Ю К задаче преследования в линейных дифференциальных играх // Дифф. урав. – Минск, 1973. – Т. 9. –№ 11. –С. 2000-2009.

Азамов А.А., Саматов Б.Т. О модифицированном третьем методе в задаче преследования. – В кн.:

Неклассические задачи математической физики. – Т.: Фан. 1985. – С. 174-184.

Сатимов Н.Ю. К методам решения задачи преследования в дифференциальных играх // ДАН УзССР. – Ташкент, 1990. – №11. – С. 8-11.

Новые способы исследования дифференциальных игр преследования предложены в работах Д.А. Вагина, Н.Н.Петрова, Г.И.Ибрагимова, А.Ш.Кучкарова, Б.Б.Рихсиева, Н.А.Мамадалиева, А. А. Чикрия, А. А. Белоусова и др.

Глубокие результаты по решению дифференциальных игр с простыми движениями получили Р.Айзекс, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян, Б.Б.Рихсиев и др.

В последние годы возрос интерес к задачам управления объектами, описываемыми уравнениями с частными производными. Это объясняется, с одной стороны, потребностями механики, гидро- и газодинамики, других прикладных дисциплин, с другой стороны, в силу собственных законов развития математики. Разнообразные задачи управления для параболических и гиперболических уравнений в последние годы привлекают внимание многих исследователей. Среди них заслуживают внимания исследования С.А.Авдонина, Ш.A.Алимова, Ж.Армана, А.Г.Бутковского, Ф.П.Васильева, А.В.Горшкова, Г.Ф.Гулиева, Х.Т.Гусейновой, А.И.Егорова, Л.Н.Знаменской, Г.И.Ибрагимова, С.В.Иванова, В.А.Ильина, Ж.Лионса, К.А.Лурье, М.Маматова, Е.И.Моисеева, Ю.С.Осипова, Н.Ю.Сатимова, В.В.Тихомирова, В.Ю.Тертычного-Даури, М.Тухтасинова, А.В.Фурсикова, Г.Д.Чабакаури и др.

Степень изученности проблемы. В известных работах Л.С.Понтрягина и Е.Ф.Мищенко, посвященных линейным дифференциальным играм уклонения, сформулированы условия (так называемые условия вращаемости и преимущества), при выполнении которых в игре возможно убегание. Дальнейшие исследования дифференциальных игр уклонения в основном связаны с различными модификациями этих условий, упрощением доказательств и переносом условий вращаемости и преимущества на другие классы игр: игры с интегральными ограничениями, квазилинейные дифференциальные игры и т.п. В связи с этим особый интерес представляют критические случаи в теории дифференциальных игр уклонения, то есть такие случаи, когда не выполнено хотя бы одно из условий Л.С.Понтрягина и Е.Ф.Мищенко.

Связь диссертационной работы с тематическими планами НИР.

Тема диссертационной работы Умрзакова Нодирбека Мухаммадовича на тему «Достаточные условия разрешимости задач преследования и убегания в линейных и квазилинейных дифференциальных играх» была утверждена на Ученом совете Андижанского государственного университета 17 октября 2011года (протокол № 3) и исследование проводилось в рамках гранта ОТ Ф1-009 «Определение длины оптимальных промежутков неколеблемости дифференциальных операторов».

Понтрягин Л.С. Мишенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх // Диф. ур. – Минск, 1971. –Т. 7. № 3. – С. 436-445.

Цель исследования. Разработка новых подходов, позволяющих получить достаточные условия убегания, более слабые, чем известные;

развитие методов решения дифференциальных игр преследования и построение стратегии игроков в линейных дифференциальных играх.

Задачи исследования. В диссертационной работе рассматриваются следующие задачи:

- задача убегания в линейных и квазилинейных дифференциальных играх - разработка методов решения дифференциальных игр преследования и убегания;

- построение стратегий преследования, когда на движения участников наложены различные ограничения;

- задача преследования в гильбертовом пространстве.

Объект исследования. Управляемые процессы, описываемые дифференциальными уравнениями.

Предмет исследования. Линейные и квазилинейные дифференциальные игры преследования и убегания при наличии геометрических, интегральных и различных ограничений.

Методы исследований. В диссертации применены методы дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории функций действительной переменной и теории дифференциальных игр.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты:

- решение задачи убегания в двумерных линейных дифференциальных играх;

- решение задачи убегания в квазилинейных дифференциальных играх;

- решение задачи преследования в линейных дифференциальных играх при различных ограничениях на управляющие параметры;

- решение задачи преследования в дифференциальных играх при различных ограничениях на управляющие параметры в гильбертовом пространстве.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В качестве основных результатов можно отметить следующие:

- получены достаточные условия убегания для двумерных линейных дифференциальных игр;

- получены достаточные условия убегания для квазилинейных дифференциальных игр;

- предложен новый способ преследования в линейных дифференциальных играх;

- получены достаточные условия для возможности завершения преследования в линейной дифференциальной игре с различными ограничениями;

- получены условия, для возможности завершения преследования в игре в пространстве l2 при наличии различных ограничений на управление игроков.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Работа носит теоретический характер. Результаты, представленные в работе, и методы, предложенные при доказательстве этих результатов, применимы в дальнейших исследованиях по теории управляемых процессов, протекающих в условиях конфликта. Кроме того, эти результаты и методы могут быть включены в учебную программу специализированных курсов для магистров в высших учебных заведениях.

Реализация результатов. Диссертация носит теоретический характер.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре при кафедре «Оптимальное управление» НУУз (руководитель:

академик Н.Ю.Сатимов, 2002-2005), на семинаре отдела прикладной математики Института математики и информационных технологий (руководитель: проф А.А.Азамов 2011), на семинаре при кафедре «Математика» АндГУ (руководитель: ф.м.ф.д. В.Г.Миладжонов 2006-2012), на семинаре при специализированном Совете Д 015.17.01 (Института математики при Национальном университете Узбекистана, руководитель:

академик М.С.Салахитдинов), на международных научных конференциях “Управление и оптимизация динамических систем” (CODS-2009, Ташкент, 2009), «Современные проблемы математической физики и информационных технологий» (Ташкент, 2005), «Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики» (Ташкент, 2004), на республиканской научной конференции молодых ученых математиков, посвященной 125-летию академика В.И.Романовского (Ташкент, 2004).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12], список которых приведен в конце автореферата. В работе [3] решение задачи при | v | 1 принадлежит диссертанту. В работе [10] постановка задач и идея доказательства теоремы принадлежат соавтору, а в [12] результаты получены в совместных исследованиях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка использованной литературы включающего 101 наименование. Диссертация изложена на страницах компьютерного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дан обзор работ, относящихся к теме, обоснована актуальность темы и дано краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются линейные и квазилинейные дифференциальные игры убегания. В §1.1 рассматривается линейная дифференциальная игра z = Cz u + v + a, (1) – линейное отображение, u – параметр преследования, где z, C :

2 2 v – параметр убегания, u U, v V, U и V – компактные подмножества ;

терминальное множество M – начало координат плоскости 2.

Определение 1.1. Будем говорить, что из начального положения z 0 возможно уклонения от встречи, если можно построить измеримую функцию v = v(t ), t 0, v(t ) V, так, чтобы для произвольной измеримой функции u = u (t ), t 0, u (t ) U, z = z (t ), t 0, решения уравнения z = Cz u (t ) + v(t ) + a, z (0) = z 0, ни при каком значении времени t, t 0, не попадало на точку 0. При этом, для нахождения значения v (t ) параметра v V в каждый момент времени t 0 используются значения u(t ) и z(t ) параметра u и фазового вектора z в тот же момент времени t. В случае, когда возможно уклонение от встречи из произвольного начального положения z 0 0, будем говорить, что в игре (1) возможно убегание.

Будем считать, что V (очевидно, изменив вектор a, этого можно добиться).

Доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Если: А) при повороте системы координат игра (1) не может быть описана формой z1 = c11 z1, z2 = c21 z1 + c22 z2 u + v + a, где c11, c21, c22, a – некоторые постоянные числа, u U 1, v V 1 ;

В) множество V не является одноточечным;

C) U V, то в игре (1) возможно убегание.

Нужно заметить, что если одно из условий А) и Б) не выполняется, то уравнение (1) характеризуется неуправляемой ситуацией.

В §1.2, примыкающем к исследованиям7, продолжено изучение задачи уклонения от встречи (с точкой 0) для двумерных игр. В ней получено более общее достаточное условие, гарантируется возможность уклонения из всех Крамаровский В.Б. Об одном классе квазилинейных дифференциальных игр // УзМЖ. – Ташкент, 1992. – № 3-4. – С. 65-71, Кучкаров А.Ш., Рихсиев Б.Б. О возможности уклонения от встречи в линейной дифференциальной игре убегания // Прикладная математика и механика. – Москва, 2002. – Т. 66. – Выпуск 2. – С. 246-250, Сатимов Н.Ю., Рихсиев Б.Б. Методы решения задачи уклонения от встречи в математической теории управления. – Т.: Фан, 2000. – 176с.

начальных точек, отличных от 0. В конце параграфа рассмотрены примеры, иллюстрирующие основной результат.

В §1.3 доказывается теорема о возможности убегания для дифференциальной игры, являющаяся обобщением на случай n -мерного евклидова пространства теоремы об убегании одного класса двумерных квазилинейных дифференциальных игр доказанной в §1.2.

Во второй главе исследуются задачи преследования с различными ограничениями на управление игроков. В §2.1 рассматривается линейная дифференциальная игра преследования, описываемая уравнением z = Сz u + v, (2) n n где z, C – линейное отображение пространства в себя, u – параметр преследующего, v – параметр убегающего, они удовлетворяют ограничениям | u (t ) | 1, 0 t, v (t )dt, || v() ||= где – положительная константа. Терминальное множество имеет вид M = {z : z n, | z | l}, где – ортогональное проектирование n на L, L – некоторое подпространство n, l – заданное положительное число.

Определение 2.1. Будем говорить, что в игре (2) из начальной точки (начального положения) z0 n \ M можно завершить преследование за время T ( z 0 ), если существует функция u = u (t, v), 0 t T ( z 0 ), v V, u (t, v) U, такая, что для произвольной измеримой функции v = v(t ), 0 t T ( z 0 ), v(t ) V, функция u (t, v(t )), 0 t T ( z 0 ), является измеримой и z = Cz u (t, v (t )) + v (t ), z = z (t ), 0 t T ( z 0 ), уравнения траектория z (0) = z 0, попадает на M, т.е. z (t ) M при некотором t = t ' [0, T ( z 0 )]. Число T ( z 0 ) называется временем преследования из точки z 0, функция u (t, v), 0 t T ( z 0 ), v V, – функцией преследования.

В этом параграфе получены следующие результаты.

Теорема 2.1. Пусть существует положительная константа d, такая, что || etC || d для всех t 0. Тогда в игре (2) возможно завершение преследования из произвольной точки z0 n \ M за время T ( z0 ) = d | z0 | + d 4 K 2 ( N 1), cd 3 (| z0 | + 2 ), c =|| ||, [a] – целая где K = max(| z0 |,1), = max(,1), N = l часть числа a.

Теорема 2.2. Пусть существуют положительные константы m, d и функция T ( z ), z R n \ M, такие, что T z e rC Sdr, а) T = T ( z ) m | z |, e TC где S – единичный замкнутый шар в n с центром в начале координат;

б) || etC || d для всех t 0.

Тогда в игре (2) возможно завершение преследования из произвольной начальной точки z0 n \ M за время T2 ( z0 ) = m | z0 | + ( N 1) d 2 m 2 K 2, d 2 m(| z0 | + 2 ), K = max(| z0 |, 1), = max(, 1).

где N = l При доказательстве теоремы 2.1 в явном виде построено управление преследующего.

В §2.2. рассматривается линейная дифференциальная игра преследования, описываемая уравнением вида (2). При этом терминальное множество есть начало координата в n.

Доказана следующая Теорема 2.3. Если существует положительная константа, такая, что || e tC || d для всех t 0, тогда в игре (2) возможно завершение преследования из произвольной начальной точки z 0 0 за время T ( z0 ) = + T1 ( z0 ) + ( n0 1)T2, 4 T1 ( z0 ) = d | z0 | + d 8 2 K (| z0 | + 2 ), T2 = + d 7 2 K + d 8 2 K 2, где 16d K = max (| z 0 |, 1), = max (, 1), n0 =.

При доказательстве теоремы 2.3 в явном виде построено управление преследующего.

В §2.3 исследуется линейная дифференциальная игра преследования, описываемая уравнением вида (2). Терминальное множество является началом координат пространства n.

Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 2.4. Если убегающий игрок выбирает управление v = v(t ), 0 t, такое, что v(t ) 0 для любого t 0, и существует положительное число m такое, что для всех t || e tC || m, то в игре (2) возможно завершение преследования из произвольной начальной точки z 0 за время ) ( 1 m + m 2 + 4t0 2, T= 4 m | z0 | m где t0 =, число T удовлетворяет уравнению T T t0 = 0.

Теорема 2.5. Пусть существует положительное число m такое, что для всех t 0 имеет место || e tC || m.

Тогда в игре (2) возможно завершение преследования из произвольной начальной точки z 0 за время ) ( 1 m + m 2 + 4t0 2, T = T ( z0 ) = 4 m | z0 | где t0 =.

При доказательстве теоремы 2.4 построено управление преследующего и используется суперпозиция функции в виде v( (t )), где v (r ) – измеримая функция, (t ) – строго возрастающая абсолютно непрерывная функция.

Утверждается измеримость функции v( (t )) по аргументу t.

В третьей главе рассматриваются дифференциальные игры в гильбертовых пространствах. В §3.1 исследуется дифференциальная игра, описываемая следующей счетной системой дифференциальных уравнений zi = i zi ui + v, i = 1, 2,..., (3) где i 1, ui 1, v 1.

Игра (3) будет считаться завершенной, если zi=0 при некотором i=i0.

Далее, предполагаются известными начальные положения zi0 точек zi:

zi(0)=zi0. Считается, что все zi 0 0.

Определение 3.1. Будем говорить, что в игре (3) возможно завершение преследования из начального положения z ( 0) = ( z10, z 20,...), если существуют число T = T ( z ( 0) ) и функции ui = ui (t, v), 0 t T, v 1, i=1, 2,…, такие, что для произвольной измеримой функции v = v(t ), 0 t T : 1) все функции u i (t, v (t )), 0 t T, являются измеримыми;

2) найдется значение j z j (t ), 0 t T, уравнения индекса i, для которого решение z j = j z j u j (t, v(t )) + v(t ), z j (0) = z j 0, обращается в ноль, т.е. zj(t)=0 при некотором t = t [0, T ].

Определение 3.2. Будем говорить, что в игре (3) возможно уклонение от встречи из начального положения z ( 0), если существует измеримая функция v = v(t ), 0 t T, v(t ) 1, такая, что для произвольных измери мых функций u i = u i (t ), 0 t T, u (t ) 1, i=1, 2,…, решения z1(t), z2(t),...

уравнений z1 = 1 z1 u1 (t, v(t )) + v(t ), z1 (0) = z10, z 2 = 2 z 2 u2 (t, v(t )) + v(t ), z 2 (0) = z 20,... соответственно не обращаются в 0: zi (t ) 0 для всех i=1,2,... и t 0.

В этом параграфе: 1) выделено бесконечное множество начальных положений z ( 0), из которых гарантируется завершение преследования (теорема 3.1.);

2) указано бесконечное множество начальных положений, для которых установлена возможность уклонения от встречи (теорема 3.1.).

В §3.2 исследуется задача преследования, описываемая дифференциальным уравнением z = z u + v, z ( 0 ) = z ( 0 ), (4) где, z, u, v, z ( 0) l2, u – параметр управления преследующего, v – параметр управления убегающего.

Функция u (t ) = (u1 (t ), u 2 (t ),... ) с измеримыми по Лебегу компонентами на [0, ) и удовлетворяющая условию u (t ), | u (t ) |= i i = где – заданное положительное число, называется допустимым управлением преследующего.

Функция v (t ) = (v1 (t ), v2 (t ),... ) с измеримыми по Лебегу компонентами на [0, ) и удовлетворяющая условию v (t ), | v(t ) |= i i = где – заданное положительное число, называется допустимым управлением убегающего.

Таким образом, на управление игроков наложены геометрические ограничения. В этом параграфе приводятся достаточные условия для возможности завершения преследования из любого начального положения за конечное время.

В §3.3 рассматривается дифференциальная игра, описываемая уравнением (4). При этом функция u (t ) = (u1 (t ), u 2 (t ),... ) с измеримыми по Лебегу компонентами на [0, ) и удовлетворяющая ограничению u (t ), | u (t ) |= i i = где – заданное положительное число, называется допустимым управлением преследующего.

Функция v(t ) = (v1 (t ), v2 (t ),... ) с измеримыми по Лебегу компонентами на [0, ) и удовлетворяющая ограничению vi (t ), || v(t ) ||= 0 i =1 где – заданное положительное число, называется допустимым управлением убегающего.

Таким образом, на управление игроков наложены различные ограничения.

Доказывается следующая теорема.

Теорема 3.4. Если 0, то в игре (4) из каждого начального положения z ( 0) возможно завершение преследования за время ) ( + + 4 | z (0) 2 (0) T = T (z )= |.

4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Диссертационная работа посвящена изучению задачи преследования убегания с геометрическими и различными ограничениями. Основными результатами диссертации являются следующие:

- получены достаточные условия для возможности убегания в классе двумерных линейных дифференциальных игр;

- получены достаточные условия для задачи убегания в квазилинейных играх при наличии геометрических ограничений на управления игроков;

- исследована линейная дифференциальная игра двух лиц с различными ограничениями. Найдены достаточные условия для возможности завершения преследования из всех начальных точек;

- предложен новый способ преследования в линейных дифференциальных играх;

- получены достаточные условия для возможности завершения преследования в дифференциальной игре многих лиц с геометрическими ограничениями в пространстве l2.

Результаты, представленные в работе, и методы, предложенные при доказательстве этих результатов, могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории управляемых процессов, протекающих в условиях конфликта.

В заключение считаю своим долгом отметить, что пользовался особым вниманием академика АН РУз Н.Ю.Сатимова, к моему глубокому сожалению, рано ушедшего из жизни.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ 1. Сатимов Н.Ю., Умрзаков Н.М. Об одной дифференциальной игре многих лиц в гильбертовом пространстве // Известия ВУЗов Физико-математической науки. – Ташкент, 2003. – № 3-4. – C. 3-8.

2. Умрзаков Н.М. Об одном методе решения задачи преследования в дифференциальных играх со смешанными ограничениями на управляющие параметры // УзМЖ. – Ташкент, 2004. – № 3. – С. 62-66.

3. Умрзаков Н.М. Задача об уклонении в единичном круге // V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых: Тез. докл.

межд. конф. 1-3 ноября 2004. – Новосибирск, 2004. – С. 32.

4. Умрзаков Н.М. Об одной задаче преследования при различных ограничениях на управляющие параметры // Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики: Тез. докл.

межд. конф. 16-19 ноября 2004. – Ташкент, 2004. – Т. II. – С. 105-107.

5. Умрзаков Н.М. Об одной двумернной дифференциальной игре // Материали республиканской научной конференции молодых ученых- математиков, посвященной 125-летию академика В.И.Романовского. –Ташкент, 2004. – С.

93-95.

6. Умрзаков Н.М. Об одной дифференциальной игре при различных ограничениях на управляющие параметры // ДАН РУз. – Ташкент, 2005. – № 4. – С. 16-19.

7. Умрзаков Н.М. Об одном способе решения задачи преследования // Cовременные проблемы математической физики и информационных технологий: Тез. докл. межд. конф. 18-24 апреля 2005. – Ташкент, 2005. – Т.

2. – С. 56-59.

8. Умрзаков Н.М. Об одной дифференциальной игре описываемой бесконечной системой дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и топология: Тез. докл. межд. конф. 17-22 июня 2008. – Москва, 2008. – С. 408 409.

9. Умрзаков Н.М. Об одном способе уклонения от встречи в квазилинейных дифференциальных играх // Управление и оптимизация динамических систем – CODS – 2009: Тез. докл. межд. конф. 28-30 сентября 2009. – Ташкент, 2009.

– С. 105-106.

10. Муминов Г.М., Умрзаков Н.М. О возможности поимки в одной дифференциальной игре, описываемой счетной системой дифференциальных уравнений // Научный вестник АндГУ. – Андижан, 2011. – № 1. – C. 5-9.

11. Н.Умрзаков. О задаче уклонения для квазилинейных дифференциальных игр // УзМЖ, – Ташкент, 2011. – № 4. – C. 169-175.

12. Nodir Umrzakov, Gafurjan Ibragimov. Sufficient conditions for evasion in a linear differential game // Journal of Mathematics Research. – Toronto, 2011. – V. 3. – No. 4. – P. 168-173.

Физика-математика фанлари номзоди илмий даражасига талабгор Умрзаов Нодирбек Мухаммадовичнинг 01.01.02–дифференциал тенгламалар ихтисослиги бўйича «Чизили ва квазичизили дифференциал ўйинларда увиш ва очиш масалаларининг ечилиши учун етарли шартлар» мавзусидаги диссертациясининг РЕЗЮМЕСИ Таянч сўзлар: очиб-кетиш масаласи, таъиб этиш масаласи, дифференциал ўйин, бошарув, геометрик чеклов, интеграл чеклов.

дифференциал тенгламалар билан Тадиот объектлари:

ифодаланадиган бошарув жараёнлари.

Ишнинг масади: очиб-кетиш мумкин бўлиши учун шарт топиш, таъибни якунлаш мумкин бўлиши учун шарт топиш, иштирокчиларнинг бошарувини уриш.

Тадиот методлари: диссертацияда дифференциал тенгламалар, чизили алгебра, аиий ўзгарувчили функциялар назарияси ва дифференциал ўйинлар назарияси методларидан фойдаланилди.

Олинган натижалар ва уларнинг янгилиги:

- чизили ва квазичизили дифференциал ўйинларда очиб-кетиш учун етарли шартлар аниланди;

- чизили дифференциал ўйинларда таъиб этишнинг янги усули ишлаб чиилди;

- турли чекловлар билан берилган чизили дифференциал ўйинда таъибни тугатиш мумкин бўлиши учун етарли шартлар аниланди;

- l2 фазода турли чекловлар билан берилган чизили дифференциал ўйинда таъибни тугатиш мумкин бўлиши учун етарли шартлар аниланди.

Амалий аамияти: диссертация ишида олинган натижалар илмий назарий аамиятга эга. Улардандан бошарилувчи системалар назариясининг математик моделларини тади этишда фойдаланиш мумкин.

Татби этиш даражаси ва итисодий самарадорлиги: магистр ва аспирантларга махсус курслар ўишда фойдаланиш мумкин.

ўлланиш соаси: диссертациянинг тадиот натижаларидан дифференциал тенгламалар, математик бошарув амда дифференциал ўйинлар назарияларида фойдаланиш мумкин.

РЕЗЮМЕ диссертации Умрзакова Нодирбека Мухаммадовича на тему: «Достаточные условия разрешимости задач преследования и убегания в линейных и квазилинейных дифференциальных играх» на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения Ключевые слова: задача убегания, задача преследования, дифференциальная игра, управление, геометрическое ограничения, интегральное ограничения.

Объекты исследования: управляемые процессы, описываемые дифференциальными уравнениями.

Цель работы: найти условия для возможности убегания, найти условия для возможности завершения преследования, построение управления игроков.

Методы исследования: используются методы дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории функций действительных переменных и теории дифференциальных игр.

Полученные результаты и их новизна:

- получены достаточные условия для возможности убегания в линейных и квазилинейных дифференциальных играх;

- предложен новый способ преследования в линейных дифференциальных играх;

- получены достаточные условия для возможности завершения преследования в линейной дифференциальной игре с различными ограничениями;

- получены достаточные условия для возможности завершения преследования в игре в пространстве l2 при наличии различных ограничений на управления игроков.

Практическая значимость: результаты, полученные в диссертации, имеют теоретический характер, их можно использовать в исследовании математических моделей в теории управляемых систем.

Степень внедрения и экономическая эффективность: можно использовать при чтении специальных курсов для магистров и аспирантов.

Область применения: результаты исследований, изложенные в диссертации, могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений, математической теории управления и теории дифференциальных игр.

RESUME Thesis of Umrzakov Nodirbek Muhammadovich on the scientific degree competition of the doctor of philosophy in physics and mathematics on speciality 01.01.02 – differential equations, subject: “Sufficient conditions to solvability of the problems of the pursuit and evasion in linear and quasi-linear differential games”.

Key words: evasion problem, pursuit problem, differential game, control, geometric constraint, integral constraint.

Subjects of research: control processes described by differential equations.

Purpose of work: to find sufficient conditions for solvability pursuit and evasion problems and construct control of player.

Methods of research: methods of differential equations, linear algebra, real analysis, and theories of the differential games are used.

The results obtained and their novelty:

- sufficient conditions are received for solvability of evasion problem in linear and quasi-linear differential games.

- new method of the pursuit is offered in linear differential game.

- sufficient conditions are received for solvability of pursuit problem in linear differential game with different constraints.

- sufficient conditions are received for solvability of pursuit problem with different constraints on controls of players in the space l2.

Practical value: the results obtained in the thesis have theoretical character and may be used to investigate mathematical models of the theory controlled systems.

Degree of embed and economic effectiveness: the results may be used in teaching special course for masters and PhD students.

Field of application: the results can be used in theory of differential equations, mathematical control theory and differential games.