Михаил николаевич некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа

На правах рукописи

УДК 511.9 ДОБРОВОЛЬСКИЙ Михаил Николаевич Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико – математических наук

Москва — 2009

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико–математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Журавлев Владимир Георгиевич кандидат физико-математических наук, Кан Игорь Давидович

Ведущая организация: Московский государственный педагогический университетет

Защита диссертации состоится 6 ноября 2009 г. в 16 час. 45 мин. на заседании диссер тационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете име ни М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ле нинские горы, дом 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического фа культета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 6 октября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Возникновение метода тригонометрических сумм обычно связывают с основополагающей работой Г. Вейля [1 ], хотя впервые частный случай полных рациональных тригонометрических сумм встречается уже в первой поло вине XIX века в исследованиях К. Ф. Гаусса по квадратичным вычетам [2 ]. Он рас сматривал суммы второй степени, называемые теперь суммами Гаусса. В указанной работе Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, содержался интегральный критерий равно мерного распределения последовательности по модулю 1 и были получены первые нетривиальные оценки тригонометрических сумм.

Теория равномерного распределения по модулю 1 и оценки А. Вейля полных ра циональных тригонометрических сумм по простому модулю лежали в основе теоре тико-числового метода в приближенном анализе, созданного Н. М. Коробовым в году [3 ].

Первым классом многомерных теоретико-числовых сеток были предложенные Н. М. Коробовым неравномерные сетки, обеспечивавшие детерминированные оценки погрешности приближенного вычисления многомерных интегралов вместо вероят ностных оценок того же порядка точности, получающихся по методу Монте-Карло Д. фон Неймана. В отличие от равномерных сеток, качество которых быстро убыва ло с ростом размерности единичного s-мерного куба, основной области интегриро вания, неравномерные сетки имели порядок убывания погрешности приближенного интегрирования в зависимости от числа узлов многомерной квадратурной формулы одинаковый для всех размерностей. С ростом размерности росла только константа в оценке погрешности.

Принципиальный прорыв в теории и практике вычисления кратных интегралов от гладких периодических функций многих переменных связан с методом оптималь ных коэффициентов Н. М. Коробова. Важность оптимальных параллелепипедаль ных сеток обусловлена их простотой и ненасыщаемостью алгоритмов приближенно го интегрирования по соответствующим квадратурным формулам, заключающейся в росте точности квадратурных формул с ростом гладкости интегрируемых функ ций.

К наиболее важным направлениям исследований по методу оптимальных коэф фициентов относятся получение алгоритмов вычисления оптимальных коэффициен тов высокого качества для параллелепипедальных и комбинированных сеток и изу чение гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. Именно этим двум направлениям посвящена диссертация.

В процессе диссертационного исследования обнаружилась обратная связь теоре тико-числового метода приближенного анализа с тригонометрическими суммами.

А именно, этим методом удалось получить новые результаты о тригонометрических суммах, что является третьим направлением диссертационного исследования.

В соответствии с указанными актуальными направлениями были сформулирова ны следующие цели работы:

— цель первой главы — построение алгоритмов вычисления оптимальных коэф фициентов и оценка их качества;

— цель второй главы — получение функционального уравнения гиперболической Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313– (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984) Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Из-во АН СССР, 1959.

Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062 — 1065.

дзета-фунции произвольной целочисленной решётки, как функции комплексного пе ременного;

— цель третьей главы — изучение нового класса тригонометрических сумм, ква зиполных коротких рациональных тригонометрических сумм, а также получение для них нетривиальных асимптотических формул.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми, полученными авто ром самостоятельно. Основными результатами диссертационной работы можно счи тать следующие:

— построено несколько новых алгоритмов вычисления наборов оптимальных ко эффициентов и даны оценки их качества;

— получено функциональное уравнение для гиперболической дзета-фунции про извольной целочисленной решётки;

— найдены асимптотические формулы для квазиполных коротких кубических рациональных тригонометрических сумм.

Методы исследования. В работе используются методы аналитической теории чисел и геометрии чисел.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа. Предложенные в дис сертации алгоритмы могут использоваться для практического применения при со ставлении таблиц оптимальных коэффициентов и создании программ численного интегрирования функций многих переменных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на:

— научно-исследовательском семинаре "Арифметика, алгоритмы, теория слож ности вычислений"в Московском государственном университете имени М. В. Ломо носова;

— Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" в Тульском государственном университете. Тула, ноябрь 2002.

— международной конференции "Аналитические и комбинаторные методы в тео рии чисел и геометрии" в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова. Москва, май 2006.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]–[6], выпол ненных по грантам РФФИ 02-01-00584, 05-01-00672 и 08-01-00790.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 119 страницах и со стоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 74 наименования, и приложения с таблицей оптимальных коэффициентов.

Краткая история вопроса В книге Н. М. Коробова [4 ] излагается теоретикочисловой метод в приближен ном анализе, созданный им в 1957 – 1963 годах. В частности, там дается теория квадратурных формул с параллелепипедальными сетками вида ({ } { }) a1 k as k (1) Mk =,..., (k = 1, 2,..., p), p p где a1,..., as – целые числа, взаимно простые с p. Класс оптимальных параллелепи [ ] p педальных сеток выделен следующим образом. Пусть p 1 – целое, p1 =, Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

[p], a = a (p) – целые, взаимно простые с p и величина символа Коробова p2 = p (m) определена равенством { 1, если m 0 (mod p), p (m) = 0, если m 0 (mod p).

Если существуют константы = (s) и B = B(s) такие, что для некоторого бесконечного множества значений p выполняется неравенство p ln p p (a1 m1 +... + as ms ) (2) B, m1... ms p m1,...,ms =p то целые a1,..., as называются оптимальными коэффициентами индекса, а со ответствующие им сетки Mk — оптимальными параллелепипедальными сетка ми.

В частности в [4 ] с. 148–157, доказаны две теоремы Н. М. Коробова, дающие до статочно удобные алгоритмы построения оптимальных коэффициентов по простому модулю и по составному, равному произведению двух простых. Первый алгоритм ос нован на поиске минимума функции Hp (z), определенной равенством p( { })2 ( { s1 }) 3s k kz 12... 1 2 (3) Hp (z) =, p k=1 p p где p — простое число, большее s. Если при z = a достигается минимум функции p 1, то целые a1 = 1, a2 = a,..., as = as1 будут Hp (z) на интервале 1 z оптимальными коэффициентами по модулю p. Легко видеть, что этот алгоритм поз воляет вычислять оптимальные коэффициенты по модулю p за O(p2 ) элементарных операций.

При больших значениях p для вычисления оптимальных коэффициентов удобнее использовать второй алгоритм Коробова, позволяющий уменьшить число соответ ствующих элементарных операций до 1+ 3 ). Для p = p p, где p и p простые, O(p большие s, причем p имеет порядок p и целого a, вычисленного по первому ал горитму с заменой в нем p на p, согласно второму алгоритму Коробова надо найти минимум функции H(z), определеной равенством pp ( { })2 ( { s1 s1 }) 3s p +p p z +p a (4) H(z) = 12 k... 12 k.

p p p p p k=1 p p 1, Если при z = b достигается минимум функции H(z) на интервале 1 z то целые a1 = p + p, a2 = p b + p a,..., as = p bs1 + p as1 будут оптимальными ко эффициентами по модулю p = p p. Легко видеть, что при этом способе)нахождения ( оптимальных коэффициентов по модулю p = p p достаточно O p1+ 3 элементар ных операций.

В 1992 году Н. М. Коробов ввёл новый класс сеток — комбинированные сет ки, основы теории которых были опубликованы в работе [6 ]. В этой работе впер вые Н. М. Коробов применил принципиально новую идею в методе усреднений, Здесь и далее означает, что из области суммирования исключен нулевой набор, для веще ственного x обозначаем x = max(1, |x|).

Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические за метки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83 — 90.

которым ранее доказывались теоремы о существовании оптимальных коэффициен тов. А именно, если имеется какая-то функция f от оптимальных коэффициентов, для которой среднее арифметическое значение по множеству всех наборов ко эффициентов заданного вида в количестве P совпадает с каким-то критерием опти мальности, то перенумеровав все наборы этого вида в порядке возрастания значений этой функции, можно значение функции f от набора с номером [(P + 1)/2] оценить величиной 2, при этом данная оценка будет справедлива для [(P + 1)/2] наборов, по которым можно усреднять значение другой функции. Особенно эффектно эта идея работает, когда f — целочисленная функция, а 1, тогда получаем более сильное утверждение о том, что для [(P + 1)/2] наборов значение f равно 0. В рабо те примером применения этой идеи являются доказательства теорем об алгоритмах построения оптимальных коэффициентов.

Пусть p 2, (n, p) = 1 и a1,..., as — оптимальные коэффициенты 2, n по модулю p. Комбинированными сетками называются сетки вида ({ } { }) k1 a1 k ks as k (5) M +,..., + n p n p k = 1, 2,..., p;

k = 1, 2,..., n (1 s).

В [6 ] Н. М. Коробовым доказано, что для простого p большего s существуют оптимальные коэффициенты a1,..., as по модулю p такие, что для любого выполняются оценки (ln p)(r1) p (a1 m1 +... + as ms ) (6) (r = 1, 2,..., s), (m1... ms ) p r m1,...,ms = где сумма r распространена на системы целых (m1,..., ms ), содержащие ровно r величин mj, отличных от нуля. Для погрешности квадратурной формулы 1... f (x1,..., xs )dx1... dxs = 0 ({ } { }) 1 p n k1 a1 k ks as k RN [f ] (7) = f +,..., + N k=1 k n p n p 1,...,ks = выполняется оценка (ln N )(s1) RN [f ] (8).

N Такие оптимальные коэффициенты можно найти с помощью функции Hpns (z), опре деленной равенством s( { j1 }) 3s p n kz kj 12 (9) Hpns (z) =s +, pn k=1 k,...,k =1 j=1 p n s где p — простое число большее s и n ln p, (n, p) = 1. Если при z = a достигается минимум функции Hpns (z) на интервале 1 z p 1, то целые a1 = 1, a2 = a,..., as = as1 будут оптимальными коэффициентами по модулю p и для них справедлива оценка (8) в квадратурной формуле (7).

Для переменных величин A и B 0 запись A B означает, что |A| CB с некоторой константой C 0.

Заметим, что здесь используется комбинирование параллелепипедальной сетки по простому модулю и равномерной сетки из ns точек с небольшим значением n взаимно простым с этим модулем. Впервые комбинирование двух параллепипедаль ных сеток по двум различным простым модулям встречалось во втором алгоритме Коробова. Операцию комбинирования сеток удобно называть произведением сеток (см. [8 ], [9 ]).

О качестве оптимальных коэффициентов a1 = 1, a2 = a,..., as = as1 можно судить по величине разности Hp (a) 1, имеющей для наиболее хороших оптималь ных параллелепипедальных сеток порядок O(ln2(s1) p/p2 ). Аналогично, о качестве комбинированной сетки с теми же оптимальными коэффициентами можно судить по разности Hpns (a) 1, имеющей порядок O(ln2(s1) p/(pns )2 ).

Как было указано выше, квадратурные формулы с параллелепипедальными сет ками вида:

({ } { }) 1 1 N 1 a1 k as k RN [f ] (10)... f (x1,..., xs )dx1... dxs = f,..., N N N k= 0 автоматически реагируют на гладкость интегрируемых периодических функций.

Как показал Н. М. Коробов, если f ( ) Es ( 1), то для погрешности при x ближенного интегрирования по формуле (10) справедлива оценка:

N (a1 m1 +... + as ms ) |RN [f ]| f ( )Es (11) x.

(m1 ·... · ms ) m= Здесь норма f ( )Es на банаховом пространстве Es задается через коэффициенты x Фурье равенством:

f ( )Es = sup |C(m)(m1 ·... · ms ) |, (12) x mZs а пространство Es состоит из периодических функций, для которых коэффициенты Фурье функции f ( ) x 1 f ( )e2i(m, ) d C(m)e2i(m, ), x x (13) f ( ) = x C(m) =... x x m= 0 удовлетворяют неравенству (12).

Ряд, стоящий в правой части неравенства (11), является гиперболической дзета функцией решётки (a1,..., as ;

N ) решений линейного сравнения a1 m1 +... + as ms 0 (mod N ) (14) и является частным случаем общего понятия гиперболической дзета-функцией про извольной полной решётки.

Рассмотрим произвольную решётку Rs, s 2. В работе под решёткой всегда понимается полная решётка.

Быковский В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов. Хабаровск, 1995. С. 1 — 13. (Препринт.) Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккуратова С. В. О некоторых свой ствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика.

Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100 — 113.

Определение 1 Гиперболической дзета-функцией решётки называется фун кция H (|), = + it, задаваемая при 1 абсолютно сходящимся рядом (x1 ·... · xs ). (15) H (|) = x Определение 2 Обобщенной гиперболической дзета-функцией решётки на ( ) зывается функция H +, = + it, задаваемая при 1 абсолютно b сходящимся рядом ( ) (x1 ·... · xs ).

= (16) H + b + x b Первоначально гиперболическая дзета-функция решёток изучалась только для це лочисленной решётки решений сравнения (14) и для вещественных значений 1.

Для этого случая были получены следующие результаты. Н. М. Коробов 1959 г. по казал, что если целые a1,..., as — оптимальные коэффициенты индекса по модулю N, то для решётки = (a1,..., as ;

N ) и её гиперболической дзета-функции H (|) справедливо неравенство B lns N s(1 + 2())s1 2() (17) H (|) +.

N N С другой стороны, если N 2s и a1,..., as — произвольные целые, то для решёт ки = (a1,..., as ;

N ) и её гиперболической дзета-функции H (|) справедливо неравенство ( )s s 1 ln N (18) H (|).

1 4 (s 1) N Эта оценка снизу указывает наилучший возможный порядок погрешности для па раллелепипедальных и комбинированных сеток. В настоящее время вопрос о дости жимости такого порядка остается открытым. По теореме Шарыгина [10 ], доказан ной в 1963 году, порядок погрешности)квадратурной формулы с весами на классе Es ( s не может быть меньше O N ln N при любом выборе сетки и весов в квадратур ной формуле с N узлами. Таким образом, из результатов Н. М. Коробова 1959– годов следует, что известные оптимальные параллелепипедальные сетки дают по рядок погрешности не более чем на ( 1)s + 1 степень логарифма от числа точек сетки хуже оптимальной.

В работе [11 ] Н. С. Бахвалов в 1959 году установил важную связь между вели чиной параметра гиперболического креста, не содержащего ненулевых точек дан ной решетки, и погрешностью квадратурной формулы с параллелепипедальной сет кой (10) на классе Es. Усеченной нормой называется величина q( ) = x1... xs, а ги x перболический параметр решетки определяется равенством q() = min q( ).

x \{ x 0} Множество точек K(T ) = { | q( ) T } называется гиперболическим крестом, x x а величина T — его параметром. Ясно, что при T q() гиперболический крест K(T ) не содержит ненулевых точек решетки. Согласно Н. С. Бахвалову, если Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. № 4. С. 784 — 802.

Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959.

№ 4. С. 3 — 18.

a1,..., as — произвольные целые, то для решётки = (a1,..., as ;

N ) и её гипербо лической дзета-функции H (|) справедливо неравенство ( )s 32 (1 + ln q())s (19) H (|) 4.

1 q() В этой же работе Н. С. Бахвалов показал, что для простых p существуют решётки с q() N ln(s1) N.

В 1976 году К. К. Фролов в работе [12 ], используя алгебраические сетки, порож денные чисто вещественным алгебраическим полем степени s, построил сетки для которых на классе Es достигается правильный порядок погрешности приближенно го интегрирования и правильный порядок гиперболической дзета-функции решётки, ( ) то есть O N lns1 N. При этом исследования по методу оптимальных коэффици ентов не потеряли своей актуальности, так как квадратурные формулы К. К. Фро лова с алгебраическими сетками гораздо сложнее квадратурных формул Н. М. Ко робова с параллелепипедальными сетками.

В 1984 году в работе [13 ] Н. М. Добровольский обобщил результаты Коробова и Бахвалова о гиперболической дзета-функции решеток на случай произвольной решётки. Из обобщенной теоремы Бахвалова как элементарное следствие получал ся результат К. К. Фролова о гиперболической дзета-функции решётки. Из работ [14 ] и [15 ] следует, что результаты Н. М. Коробова о параллелепипедальных сет ках и К. К. Фролова об алгебраических сетках являются следствиями общей тео рии обобщенных параллелепипедальных сеток с весовыми функциями, в которой центральную роль играет гиперболическая дзета-функция решёток. Отметим, что весовые функции в этой теории выбраны таким образом, что для целочисленных решёток они суммируются и получаются равные веса. В этом случае важную роль играют полные рациональные кратные тригонометрические суммы по обобщенным рациональным парралелепипедальным сеткам. Эти суммы играют такую же харак теристическую роль, что и символ Коробова, поэтому их называют многомерным символом Коробова. Изучение гиперболической дзета-функция решёток было про должено в работах [16 ], [17 ], [18 ],[19 ], [20 ] несколькими авторами.

Алгебраические поля сыграли важную роль в работах С. М. Воронина и Н. Те Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818–821.

Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090–84.

Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая дзета–функция алгеб раических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, № 2327–B90.

15 Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Es (c) и Hs (c). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6091–84.

Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета функции решёток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. C. 522–526.

Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета-функции решё ток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд–во ТулГУ, 1996. С. 77 — 87.

Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета–функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.3. С. 99–108.

Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Дис.... канд. физ.-мат. наук. Москва.

МПГУ, 1999.

Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета–функции решёток. Дис....

канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

миргалиева [21 ], [22 ], [23 ], но были основаны на совсем других идеях и давали новые виды оптимальных коэффициентов параллелепипедальных сеток по простым моду лям, связанным с порядком круговых полей.

Как уже отмечалось выше, первые работы Н. М. Коробова по применению мето дов теории чисел к построению многомерных квадратурных формул были основаны на оценках А. Вейля полных рациональных сумм по простому модулю или аналогич ных оценках полных рациональных сумм по квадрату простого модуля (см. [24 ], [25 ]).

Таким образом, мы видим прямую связь между тригонометрическими суммами и теоретико-числовыми квадратурными формулами. А именно, результаты, например, о полных рациональных тригонометрических суммах такие как теорема А. Вейля дают результаты о квадратурных формулах.

Как правило, в вопросах связанных с числом решений сравнений возникают пол ные или короткие рациональные тригометрические суммы, а в вопросах о числе решений диофантовых уравнений появляются общие суммы Г. Вейля вида P e2if (x), (20) x= где f (x) = n xn +... + 1 x + 0 — произвольный многочлен с действительными коэффициентами.

Если мы на ряду с полной суммой p f (x) 2i p (21) e x= рассмотрим сумму вида () p p fp (x) x 2if 2i ps, p (22) e = e x=1 x= где fp (x) = as xs + as1 pxs1 +... + a1 ps1 x, то получим короткую рациональную сумму по модулю ps, которую надо исследовать методом Г. Вейля, но здесь возни кают определенные трудности. Итак, в случае, когда f (x) = an xn +... + a1 x + a0 — многочлен с целыми коэффициентами, мы получаем короткую рациональную три гонометрическую сумму вида:

( ) an xn an1 xn p p an xn +pan1 xn1 +... +pn1 a1 x+pn a ax +... + 1 +a 2i + 2i pn pn1 p pn (23) e = e.

x=1 x= Как известно (см.[29 ], с. 96), для такого класса сумм нельзя получить общей нетриви альной оценки методом Вейля, так как этот класс содержит суммы, модуль которых по порядку равен длине суммы.

В данной работе будет показано, что даже для простейшей суммы такого вида p xn 2i pn (24) e x= Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. № 5. С. 189 — 194.

Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59. № 4.

Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Мат. заметки. 1989. Т. 46. № 2. С. 34 — 41.

Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.:

МЦНМО, 2004.

нельзя применить оценки Вейля.

Отметим, что тригонометрические суммы более общего вида P axn 2i pt (25) e x= рассматривались в работе А. А. Карацубы [26 ]. Используя свои результаты из работы [27 ], он показал: Пусть q = p t, P = q r. Если P = a0 p s + a1 p s1 +... + as1 p + as, p 1, 0 p 1, 1, — p-ичное разложение числа P, то имеет 1 a0 a место асимптотическая формула P axn 2i = Aa0 p s + a0 p s + + O(P 1 r2 ), q S= e x= где величины A,,, определяются равенствами [] p 2i axn t A = n (t 1) p, e = + 1, = n (t).

n x = Здесь предполагались следующие соглашения: n, t, P, a — целые числа, n 20, r — вещественное число, 1 r 0.1n, t n, p — простое число, (a, p) = 1, P 1.

В этом общем результате А. А. Карацуба выделял особенно простой вид асимп тотической формулы при P = ps и t 0 (mod n), когда P axn r 2i = P 1 n + O(P 1 r2 ), q S= e x= Для случая сумм вида (24) будет показано, что теорема А. А. Карацубы не приме нима по существу, а не только из-за несоответствия областей параметров.

В своей монографии [28 ]Монтгомери в пункте 8 на странице 194 сформулировал k k xk, |a/q| 1/q 2, (a, q) = следующую проблему: "Покажите, что если P (x) = j = 1, то ( )1/k N 1 q e(P (n)) k N 1+ (26) +k.

qN n= Или же постройте контрпример. Даже незначительные улучшения существующих границ были бы интересны. Например, при k = 3 и q N 3/2 получите верхнюю границу o(N 3/4 ), скажем O(N ) где 3/4."

Ясно, что при f (x) = x3, рассматривая сумму p N x 2if ( x ) e2i q, (27) e = p x=1 x= Карацуба А. А. Асимптотические формулы для некоторого класса тригонометрических сумм // ДАН СССР. 1966. Т. 169. № 1. С. 9 — 11.

Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Известия АН СССР. 1964. Т. 28 №1. С. 237 — 248.

Montgomeri Hugh L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Providence, R.I. : Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society, 1994. (Заглавие серии: Regional conference series in mathematics, no.

84) Здесь e(P (n)) = e2iP (n).

мы попадаем в случай N = p, q = p3 = N 3. При g(x) = px3, рассматривая сумму p N x 2ig ( x ) e2i q, (28) e = p x=1 x= мы попадаем в случай N = p, q = p = N. Наконец, при h(x) = p3 x3, рассматривая 2 сумму 2ih( x ) 2i x p2 N p2 (29) e = e q, x=1 x= 2 мы попадаем в случай N = p, q = p = N 2. Таким образом, все эти три случая попадают в область гипотезы Монтгомери и не поддаются исследованию ни методом Г. Вейля, ни методом А. А. Карацубы.

Содержание работы Первая глава "Оптимальные коэффициенты комбинированных сеток" по священа построению алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов и оценке их качества.

Цель данной главы — провести сравнение качества квадратурных формул с па раллелепипедальными сетками и комбинированными сетками, используя величину погрешности приближенного интегрирования функции 3s (1 2{x1 })2... (1 2{xs }) по единичному s-мерному кубу [0, 1]s. Данная функция принадлежит классу Es. В этой главе доказаны следующие две основные теоремы об оптимальных коэф фициентах, дающие алгоритмы их вычисления.

Теорема 15. Пусть p — простое число. Если при z1 = a1 достигается минимум функции Hp (1, z1 ) на интервале 1 z1 p1, и при найденных a1,..., ak1 при zk = ak достигается минимум функции Hp (1, a1,..., ak1, zk ) на интервале 1 zk p 1 (1 k s 1), то целые a1, a2,..., as1 будут оптимальными коэффициентами по модулю p.

Теорема 16. Пусть p 17 — простое число и n ln p. Если при z1 = a1 дости гается минимум функции Hpn2 (1, z1 ) на интервале 1 z1 p 1, и при найденных a1,..., ak1 при zk = ak достигается минимум функции Hpnk+1 (1, a1,..., ak1, zk ) на p 1 (1 k s 1), то целые a1, a2,..., as1 будут опти интервале 1 zk мальными коэффициентами по модулю p для комбинированной сетки из N = pns точек.

На основании этих алгоритмов составлены таблицы оптимальных коэффициен тов для параллелепипедальных и комбинированных сеток, приведенные в приложе нии к диссертации, и дается сравнение их качества. Из анализа этих таблиц можно сделать вывод о сопоставимости величин погрешностей для обоих типов сеток.

Вторая глава "Функциональное уравнение для гиперболической дзета функции" посвящена получению функционального уравнения для гиперболиче ской дзета-функции целочисленных решеток, как функции комплексного перемен ного.

Как обычно через N ( ) = |x1... xs | будем обозначать мультипликативную норму x вектора. Она отлична от нуля только для точек общего положения, то есть точек, x не имеющих нулевых координат. Используя мультипликативную норму, в этой главе даются новые определения.

Определение 3 Дзета-функцией решётки называется функция (|), = + it, задаваемая при 1 рядом |x1 ·... · xs |. (30) (|) =, N ( )= x x Вообще говоря, дзета-функция решётки существует не для всякой решётки, так как соответствующий ряд может расходиться для любого значения = + it, но для произвольной декартовой решётки она очевидно существует при 1.

Нетрудно видеть, что гиперболическая дзета-функция целочисленной решётки непосредственно выражается через сумму дзета-функции решётки и дзета функций соответствующих целочисленных решёток меньших размерностей, которые получаются отбрасыванием нулевых координат.

Заметим, что гиперболическая дзета-функция не является однородной, как функ ция решётки, а дзета-функция решётки является: (T · |) = T s (|).

( Определение 4 Обобщенной дзета-функцией решётки называется функция ), = + it, задаваемая при 1 рядом +b ( ) |x1 ·... · xs |.

+ = (31) b + N ( )= x b, x При получении функционального уравнения гиперболической дзета-функции ис пользовался новый подход. Если ранее для доказательства существования анали тического продолжения гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки использовалось только разложение целочисленной решётки по подрешёт ке det · Zs и затем функциональное уравнение Гурвица, то теперь использовались тригонометрические суммы решётки, что позволило использовать известные свой ства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.

В этой главе получены следующие основные результаты о функциональных урав нениях для дзета-функции и гиперболической дзета-функции целочисленных реше ток, как функций комплексного переменного.

Теорема 21. Для дзета-функции произвольной целочисленной решётки в ле вой полуплоскости 0 справедливо функциональное уравнение 1( )s ( ) ( | ) = M ()N 1 (p) 1.

N Теорема 22. Для гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки в левой полуплоскости 0 справедливо функциональное уравнение ( ) s M N t (p) H ( | ) = N t1 1.

t j t t=1 t Jt,s j Здесь (p) — присоединенная решётка, которая определяется через взаимную ре шётку соотношением (p) = det · и — "присоединеная" t-мерная решётка (p) jt из координатной гиперполуплоскости, заданной вектором t — номеров ненулевых j координат.

В третьей главе "Квазиполные тригонометрические суммы" оценки по грешности приближенного интегрирования периодических функций от одной пере менной применяются для получения асимптотических формул для величины квази полной рацинальной тригонометрической суммы. Суть этого подхода заключается в следующем. Пусть g(x) = e2if (x), где дважды непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция f (x) удовлетворяет условию f (1) f (0) — целое число. (32) В силу этого условия g(0) = g(1) и функцию g(x) можно на отрезке [0;

1] разло жить в абсолютно сходящийся ряд Фурье:

1 g(x)e2imx dx = C(m)e2imx, e2i(f (x)mx) dx. (33) g(x) = C(m) = m= 0 Если F = max |f () (x)| ( = 1, 2), то для коэффициентов Фурье дважды непрерыв 0x но дифференцируемой функции g(x) = e2if (x) при m = 0 справедлива оценка:

2F1 + 2F1 + F |C(m)| (34).

2m Таким образом, в обозначениях Н. М. Коробова g(x) E1 (см. [4 ]).

Рассмотрим квадратурную формулу правых прямоугольников для функции g(x):

1 () 1 2if p x Rp [f ].

2if (x) p (35) e dx = e p x= Для погрешности приближенного интегрирования Rp [f ] справедливо равенство · (2F1 + 2F1 + F2 ) |Rp [f ]| (36) Rp [f ] = C(mp),.

6p m= Тригонометрическую сумму вида () p x 2if p (37) e x= будем называть квазиполной, если для дифференцируемой функции f (x) выпол нено условие (32), которое будем называть условием квазиполноты. Очевидно, что выполняется тривиальная оценка () p x 2if p (38) e p.

x= Из оценки для погрешности приближенного интегрирования и квадратурной форму лы правых прямоугольников для функции g(x) следует асимптотическое равенство для квазиполной тригонометрической суммы:

() p (f, p) · · (2F1 + 2F1 + F2 ) x 2if e2if (x) dx + p (39) e =p, 6p x=1 где для величины (f, p) справедливо неравенство |(f, p)| 1.

Заметим, что любая полная рациональная тригонометрическая сумма по модулю p является квазиполной короткой рациональной тригонометрической суммой. Дей ствительно, если f (x) = an xn +...+a1 x+a0 — многочлен с целыми коэффициентами a и fp (x) = an pn1 xn +... + a2 px + a1 x +, то справедливо равенство p () p p f (x) x 2i 2ifp p p.

e = e x=1 x= Очевидно, что в этом случае применить формулу (39) невозможно, так как F npn1 |an | и F2 n(n 1)pn1 |an |.

Для рациональных тригонометрических сумм первой степени верно обратное:

любая квазиполная рациональная тригонометрическая сумма первой степени явля ется полной тригонометрической суммой.

Для достаточно широкого класса квазиполных коротких рациональных тригоно метрических сумм можно получить асимптотическую формулу вида:

() p x 2if e2if (x) dx + pRp [f ], p (40) e =p x=1 e2if (x) dx = 0 и Rp [f ] = o (1).

если (41) Для простоты изложения в диссертации рассматривается только случай ква зиполных коротких кубических рациональных сумм с f (x) = ax3, где a — целое число, хотя аналоги многих из доказанных ниже утверждений будут справедливы и для f (x) = axn при любом n 2.

В нашем случае s = 1, t = n, r = n и теорема А. А. Карацубы, как будет видно из дальнейшего, в форме S = O(P 1 r2 ) перестает быть верной, хотя для большинства значений коэффициента a будет справедлив более сильный результат |S| 2P 2.

В этой главе получены следующие основные результаты для квазиполной корот кой кубической тригонометрической суммы p ax 2i p3, S(a, p) = e x= где a — целое, и для квазиполной короткой рациональной кубической тригономет рической суммы m m p p N m1 x3 x3 x 2i p 2i e2i q.

m1 m p3m p2m+ S(p,p ) = e = e = x=1 x=1 x= Теорема 25. Справедливо асимптотическое равенство ( ) ia 4 (a)23a B1 + iB2 1 (a) + i2 (a) S(a, p) = p + +, p a 2p 33a 1 ( ) cos (2t) 1.241 B1 = 3 cos 2x3 dx + dt 1.242 +, t 0 1 ( ) 1 sin (2t) 0.570 + B2 = 3 sin 2x dx + dt 0.571 +, 4 t 0 cos (2t) a 0 1 (a) = dt, t a 1 sin (2t) |4 (a)| 2 (a) = a2 dt, 1.

4 t a Теорема 26. Справедливо асимптотическое равенство 2m+ B1 +iB2 p 3 + O (pm3 ) при m = 1,..., 9, S(pm1, pm ) = B1 +iB2 p7 + O (p7 ).

при m = 10, 3 m при m 11.

O (p ) Сравним полученный результат с гипотезой Монтгомери. Согласно этой гипотезе для тригонометрической суммы N x (42) S (N, q) = eq n= справедлива оценка ( )1/ 1 q |S (N, q)| N 1+ (43) +3.

qN При N = pm, q = p2m+1 = N 2+ m получаем ( )1/ N 2+ m |S (N, q)| N 1+ 2 N 3 ++ 3m. (44) + N 2+ m N По теореме 26 справедливо асимптотическое равенство ( ) B1 +iB2 N 2 + 3m + O N 1 m 1 3 при m = 1,..., 9, ( 7) S (N, q) = B1 +iB2 N 10 + O N при m = 10, (45).

( ) O N 1 m при m 11.

Отсюда следует, что при m = 1,..., 10 гипотеза Монтгомери — неравенство (26) справедливо. При m 11 получается оценка с 3/4. При m 13 соотношения (45) лучше, чем общая оценка методом Вейля (см. [ ] с. 96) |S (N, q)| N 4 + 4m +.

3 (46) При m 13 предложенный метод дает оценку хуже, чем метод Вейля.

В заключение выражаю благодарность своему научному руководителю профес сору Чубарикову Владимиру Николаевичу за постановку задачи.

Литература В журналах из списка ВАК:

[1] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета функции целочисленных решеток // ДАН. Т. 412, № 3, Январь 2007. С. 302–304.

[2] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика.

Механика. 2007. № 5. С. 18–23.

[3] Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. Тул ГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 — 90.

В прочих изданиях:

[4] Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных се ток // Чебышевский сборник 2004. Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им.

Л.Н.Толстого. С. 95–121.

[5] Добровольский М. Н. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочислен ных решёток // Чебышевский сборник 2006 Т. 3. Вып. 2(4). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 43 — 59.

[6] Добровольский М. Н. Квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы // Чебышевский сборник 2009 Т. 10. Вып. 1(29). Тула, Из-во ТГПУ им.

Л.Н.Толстого. С. 4 — 25.