авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Pages:     | 1 || 3 |

Совершенствование аналитических методов расчёта конструкций промышленных полов из цементобетона, расположенных на упругом грунтовом основании в случае использования модели местных упругих деформаций.

-- [ Страница 2 ] --

4 d 2 X DDF3 ( x) + F3 ( x) = - = x dx (3.22) 2 3 4 6 7 8 x4 10 11 12 x = -4 - 2 2 + 2 2 2 2 - 2 2 2 2 + K.

2 4 2 4 6 8 2 4 6 8 10 122 Взяв F3(x) в виде ряда:

F3 ( x ) = b4 x 4 + b8 x 8 + b12 x12 + K (3.23) и подставив этот ряд в уравнение (3.16), определим коэффициенты b4,b8,b12, … так, чтобы наше уравнение удовлетворялось. Заметив, что:

( ) DD b4 x 4 = 4 2 2 2 b4, Горб А.М. Стр. и приравняв нулю сумму членов, не содержащих x, мы найдём, что 2 3 4 2 2 2 b4 = 2 2 или:

23 4 b4 = =.

2 4 Приравнивая нуля сумму членов, содержащих x4, находим:

b8 = -.

Далее будем иметь:

n(n - 1)(n - 2) n -1 bn = (-1) bn- 4 + 2 2 4 2 6 2 K n 2.

n ( n - 2) 2 Таким образом, третье частное решение уравнения (3.15) будет иметь вид:

34 X 8 = X 1 ln x + x- x8 + K (3.24) 128 Подобным же способом мы найдем и четвертый частный интеграл X уравнения (3.15), положив:

X 4 = X 2 ln x + F4 ( x) = 456 8 456 10 9 8 10 (3.25) = X 2 ln x + 4 x- 2 2 4 4 4 + 2 2 x + K 4 6 10 8 4 6 4 6 K10 2 4 Подставив частные решения (3.20), (3.24) и (3.25) в выражение (3.16), получим общее решение уравнения (3.15) в следующем виде:

x4 x 1 - 2 2 + 2 2 2 2 - K + z = A1 2 4 2 4 6 x8 x + A2 x 2 - 2 2 + 2 2 2 - K + 4 6 4 6 8 10 (3.26) x4 x8 34 + A3 1 - 2 2 + 2 2 2 2 - K ln x + x- x 8 + K + 2 4 2 4 6 128 1054 10 -4 x8 x10 + A4 x 2 - 2 2 + 2 2 2 - K ln x + x6 - x + K.

4 6 4 6 8 10 3456 Теперь остаётся лишь определить в каждом частном случае постоянные интегрирования A1,…,A4 так, что бы удовлетворить граничным условиям.

Рассмотрим случай, когда контур круглой пластинки конечного радиуса а совершенно свободен (не опёрт).

Горб А.М. Стр. Используя, для радиальных моментов выражение:

d 2v v dv dj v M r = - D 2 + = D + j (3.27) dr dr r r dr а для радиальных перерезывающих сил Q выражение:

d 3v 1 d 2v 1 dv Q + - = (3.28) dr 3 r dr 2 r 2 dr D напишем граничные условия в следующем виде:

d 2v 1 dv 2 +u = 0, dr r dr r = a (3.29) d d v 1 dv = 0.

+ dr dr 2 r dr r = a В дополнение к этим двум уравнениям мы имеем ещё два условия, относящиеся к центру пластинки, а именно, что прогиб в центре пластинки должен иметь конечное значение, а сумма перерезывающих сил, распределенных по боковой поверхности бесконечно малого круглого цилиндра, вырезанного из пластинки в ее центре, должна уравновешивать сосредоточенную силу P. Первое из этих двух условий приводит нас к тому заключению, что постоянная А3 в общем решений (3.26) исчезает.

Второе условие дает:

2p Qr rdq + P = 0 (3.30) 0 r =a или, если воспользоваться обозначением (3.11), d d 2v 1 dv 2pe + P = 0, - kl 4 + (3.31) dr dr 2 r dr r =e где – радиус бесконечно малого цилиндра. Подставив в это уравнение lz вместо v и воспользовавшись для z выражением (3.26), найдем, что при бесконечно малом значении x, равном /l, это уравнение сводится к равенству:

4 A 2pe + P = 0.

- kl le из которого следует, что:

P A4 = (3.32).

8pkl Горб А.М. Стр. Имея значения постоянных А3 и А4, мы можем найти из соотношений (3.29) и обе остальные постоянные А1 и А2. При заданных размерах пластинки и известных модулях пластинки и основания эти соотношения приводятся к двум линейным относительно А1 и А2 уравнениям.

6.3. Использование функций Бесселя при решении задачи об изгибе круглой пластинки.

Общее решение (3.16) уравнения (3.15) может быть представлено также через функции Бесселя. С этой целью введём в уравнение (3.15) новую переменную x = x i ;

таким путем придем к уравнению:

DD z - z = 0, (3.33) в котором:

d2 1d D = +.

x dx dx Уравнение (3.33) эквивалентно уравнению:

D(Dz + z ) - (D z + z ) = 0, (3.34) а следовательно, также и уравнению:

D(Dz - z ) + (Dz - z ) = 0. (3.35) Отсюда следует заключить, что удовлетворяется решениями (3.33) дифференциального уравнения Бесселя:

d 2 z 1 dz Dz + z = + + z = 0, (3.36) dx 2 x dx и решениями уравнения:

d 2 z 1 dz Dz - z = + - z = 0. (3.37) dx 2 x dx преобразующегося в (3.36) при подстановке в него i вместо. Поэтому совместное решение уравнений (3.36) и (3.37) можно записать в виде:

z = B1 I 0 ( x i ) + B2 I 0 ( xi i ) + B3 K 0 ( x i ) + B4 K 0 ( xi i ). (3.38) Здесь I0 и K0 – бесселевы функции соответственно первого и второго рода, от мнимого аргумента. B1,B2,… - произвольные постоянные. Поскольку аргумент x – вещественное число, все входящие в уравнение (3.38) функции имеют комплексный вид.

Горб А.М. Стр. Для выделения вещественной части решения целесообразно ввести четыре новые функции, впервые использованные Кельвином и определяемые как:

I 0 ( x ± i ) = ber x ± bel x, (3.39) K 0 ( x ± i ) = ker x ± kel x.

Полагая, далее, что:

B1 + B2 = C1l, B1 - B2 = -C 2 il, B3 + B4 = C 4 l, B3 - B4 = -C 3 il, где новые переменные С1,С2, … - вещественные числа, получаем следующее выражение для прогибов пластинки:

v = C1 ber x + C 2 bel x + C 3 kel x + C 4 ker x. (3.40) Все содержащиеся в нем функции табулированы и вещественны для вещественных значений аргумента. Для малых значений аргумента имеем:

x ber x = 1 - + K, 64 x2 x6 bel x = - + K, 4 (3.41) px ker x = - ln x + ln 2 - g + + K, x2 p x kel x = - ln x - + (1 + ln 2 - g ) + K, 4 где: = 0,5772157… - постоянная Эйлера, а ln 2 – = 0,11593….

При больших значениях аргумента пользуются следующими асимптотическими выражениями:

еs p cos s -. ber x ~ 2pх 8 еs p sin s -.



bel x ~ (3.42) 2pх 8 -s p е cos s +. ker x ~ 2x p е -s p sin s +.

kei x ~ - 2x p x где: s =.

Горб А.М. Стр. Общее решение (3.40) можно использовать для исследования любого случая симметричного изгиба круглой пластинки, при опирании её на упругое основание.

Четыре постоянные С1…С4, соответствующие в наиболее общем случае четырем граничным условиям, определяются в каждом частном случае.

Ограничимся случаем бесконечно большой пластинки, несущей сосредоточенную нагрузку P в точке x = 0. Из четырех функций, составляющих решение (3.40), первые две функции неограниченно возрастают с увеличением аргумента, в соответствии с уравнениями (3.42);

функция же ker x принимает бесконечно большое значение в начале, как это мы можем заключить из уравнений (3.41). Положив поэтому С1 = С2 = С4 = 0, приводим решение (3.40) к виду:

v = C 3 kel x. (3.43) Для определения постоянной С3, вычислим из уравнений (3.41) перерезывающую силу:

D d d 2v 1 dv C 3 D 1 px = 3 - + K.

Qr = - + (3.44) l 3 dx dx 2 x dx l x 8 С уменьшением x величина Qr стремится к С 3 D / l 3 x = C 3 D / l 2 r. С другой стороны, при равномерном распределении нагрузки P по окружности радиуса r имеем Qr = - P / 2pr. Приравнивая оба эти полученные для Qr выражения, находим:

Pl C3 = - (3.45).

2pD Подстановка C3 в уравнение (3.43) дает полное решение задачи Герца в виде:

Pl v =- (3.46) kel x, 2pD и соответствующая реакция основания определяется как:

vD p = kv = (3.47).

l kel x = -p / 4, и прогиб под нагрузкой достигает В начале координат максимального значения:

Pl v max = (3.48).

8D Для реакции основания в той же точке находим:

Горб А.М. Стр. P p max = (3.49).

8l Положительные моменты, бесконечно большие в начале координат (в точке приложения силы), уже на небольшом расстоянии от точки приложения нагрузки легко поддаются вычислению с помощью функции kel x, взятой в форме (3.41).

Введя значения прогиба из (3.46) в формулы (3.27) и (3.28), приходим к результатам:

2l P (1 + v ) ln r - g - 2 (1 - v), Mr = 4p (3.50) 2t P (1 + v) ln r - g + 2 (1 - v).

Mt = 4p Сопоставление только что полученных выражений с уравнениями для радиальных и тангенциальных моментов для концентрированно нагруженной пластины убеждает в том, что напряженное состояние пластинки близ точки приложения нагрузки, как в теории Герца, так и для свободно опертой круглой a=2le-v=1,123l, пластинки радиуса тождественно, если исключить момент P M r = M t = (1 - v ), который следует наложить на моменты для круглой 8p пластинки.

Рассмотрим теперь случай, когда нагрузка P распределена по площади круга радиуса c, малого радиуса в сравнении с l. Изгибающие моменты в центре круглой пластинки, несущей такую нагрузку, равны:

a p M r = Mt = (1 + v) ln c + 1. (3.51) 4p Введя в уравнение (3.51) подстановку a=2le-v и добавив момент M=-P/8(1-v), найдем для центра загруженного круга бесконечно большой круглой пластины изгибающие моменты:

(1 + v) P 2l ln - g + M max = (3.52) 4p c или (1 + v) P l M max = ln + 0,616. (3.53) 4p c Горб А.М. Стр. В случае высокой концентрации нагрузки значения напряжений при вычислении их из уравнения (3.53) подлежат исправлению средствами теории толстых пластин.

При равномерном распределении нагрузки по площади малого прямоугольника мы можем поступить следующим образом. Эквивалентом квадратной площади, например, является круг радиусом с=0,57 u, где u – длина стороны квадрата. Подставив это в уравнение (3.53), получим:

1+ v l M max = P ln + 1,177. (3.54) 4p u Влияние любой произвольной группы сосредоточенных нагрузок на прогибы неограниченной пластинки можно определить, суммируя прогибы, производимые каждой нагрузкой в отдельности.

6.3. Решения, для краевых загружений плит.

В расчетах Л.И.Манвелова и Э.С.Бартошевича, помимо плит со свободными краями, рассмотрены также следующие граничные условия: с двух сторон плиты - свободные края, с двух противоположных сторон шарнирные соединения;

шарнирные соединения со всех сторон плиты. Б.Г.Коренев рассмотрел случаи работы плит вблизи швов для изолированной и неизолированной конструкций, используя метод компенсирующих нагрузок.

В расчетах трение в сквозных швах (на свободных краях) не учитывается. При выводе формул использованы многочисленные экспериментальные данные.

Учитывая трудности учета действительной податливости разного рода соединений плит (штыри, шпунт), вызванных наличием зазора и люфтов, расчетная величина моментов или прогибов для всех типов соединений принимается одинаковой.

Формулы прогиба и изгибающих моментов позволяют рассчитывать плиты при нагрузке, приложенной к любому участку. Однако, математическая сложность задачи не даёт возможность получить простые, для практического применения, формулы.

С целью облегчения разработанного метода было проведено большое количество числовых расчетов плит при нагрузке, приложенной к различным их участкам, на основе которых получены коэффициенты, представляющие собой Горб А.М. Стр. отношения расчетных изгибающих моментов в различных точках плиты к максимальному изгибающему моменту в ее центре. Это позволило определить внутренние усилия в плитах следующим образом: вначале плиту рассчитывают на нагрузку, приложенную к центру плиты (на определённом расстоянии от края), то есть, на т.н. нагрузку «простого вида», равномерно-распределённую по следу, центр тяжести которой совпадает с рассматриваемым сечением (расчётным центром). При этом, определяются изгибающие моменты, возникающие в рассматриваемой точке (расчётном центре). В случае действия нескольких нагрузок, приложенных вблизи расчётного центра, рассматривается нагрузка т.н. «сложного вида» и расчёт производят на действие каждой из нагрузок, приложенной в центре тяжести элементарной площадки в отдельности, с последующим суммированием полученных усилий в расчетном центре, руководствуясь принципом Сен-Венана независимости действия сил. За расчетный центр принимают наиболее нагруженный или невыгодно расположенный след, исходя из условия получения наибольшего значения изгибающего момента (рис.3.2):

Рис. 3.2. Схема расположения нагрузок.

Достаточно большие размеры плит, применяемые в практике строительства полов, дают возможность рассчитывать их на центрально приложенную нагрузку как плит неограниченных размеров.

После того, как определены изгибающие моменты от нагрузки, приложенной в центре, определяются расчетные изгибающие моменты при самых невыгодных случаях приложения нагрузки к различным участкам плиты. Это достигается умножением значения максимального момента от центрально-приложенной нагрузки на соответствующие переходные коэффициенты k, представляющие собой отношения расчётных изгибающих моментов в рассматриваемых сечениях к Горб А.М. Стр. максимальному изгибающему моменту в центре плиты.

При этом рассматриваются следующие зоны (участки) плиты:

Зона 1. Центральная зона плиты при действии нагрузки на внутреннюю область плиты. Расстояние от нагрузки до края плиты (или оси шва) более 1,2L, где L – упругая характеристика плиты:

B L=4 (3.10) Ks Зона Зона плиты вблизи швов со стыковыми или 2. (штыревыми шпунтованными соединениями, или, для армированных стержневой арматурой плит с пересечением швов арматурой сечения плиты равной по параметрам армирования штыревому соединению при действии нагрузки на расстоянии от края менее 1,2L;

Зона 3. Зона плиты вблизи т.н. «ложных» швов, устраиваемых без стыковых соединений, при действии нагрузки на расстоянии от оси шва менее 1,2L;

Зона 4. Свободный край плиты. Расстояние от нагрузки до края плиты менее 1,2L.

Зона 5. Свободный угол плиты. Расстояние от нагрузки до двух краёв плиты, образующих угол со стороной менее 1,6L.

На основании выполненных теоретических и экспериментальных исследований установлены следующие переходные коэффициенты «k» от изгибающего момента при центральном загружении к максимальным моментам при загружении плиты в различных зонах:

- для положительных изгибающих моментов:

k = 1,2 для зоны «2»;

k = 1,3 для зоны «3»;

k = 1,5 для зоны «4»;

- для отрицательных изгибающих моментов:

k = 0,45 для зоны «1»;

k = 0,75 для зоны «2»;

k = 0,82 для зоны «3»;

k = 0,95 для зоны «4»;

k = 2,7 для зоны «5»;

Горб А.М. Стр. Для расчёта бетонных или сталефибробетонных конструкций полов достаточным будет рассмотрение действия только положительных моментов для зон «1», «2», «3» и отрицательного момента для зоны «5». Ввиду того, что, как правило, нагрузки располагаются на некотором удалении от краёв плиты (стен здания), практически для расчёта большинства типов полов необходимо учитывать только зоны «1», «2», «3».

Основное достоинство рассмотренного метода заключается в простой, в математическом отношении, возможности определения усилий при расположении нагрузок в определённых критических расчетных сечениях плиты - в углу и на краевых участках.

Участки плиты, расположенные в промежуточных зонах, в большинстве случаев не представляют интереса с практической точки зрения.

Ниже приведены формулы для расчета однослойных плит полов при использовании модели коэффициента постели.

Расчетные значения изгибающих моментов определяются по формуле:

Мd = k · kN · Мс,max (3.11) переходной коэффициент от изгибающего момента, при центральном k загружении плиты, к моменту при краевых и угловых загружениях плиты.

- коэффициент, учитывающий накопление остаточных прогибов в kN основании;

Мс,,max - расчётный изгибающий момент в центре плиты пола, определяемый как сумма моментов от отдельных нагрузок по формуле:

Мс,max = M0 + Mi (3.12) изгибающий момент в расчётном центре от нагрузки простого вида, M0 равномерно-распределённой по следу, центр тяжести которого совпадает с расчётным центром и определяемый по формуле:

М0 = P · f() (3.13) расчётная нагрузка на след, центр которого совпадает с расчётным Pр центром:

Горб А.М. Стр. Pр = Р0 · f,(d);

(3.14) Р0 - нормативная нагрузка на след;

f - коэффициент перегрузки при действии статической нагрузки (d) - коэффициент динамичности при действии динамической нагрузки;

функция, значения которой принимают в зависимости от соотношения f() сторон прямоугольного следа (аr, br) или приведенного радиуса (Rr):

f( ) = F [R, (ar, br))/L] (3.15) Значение функции f() определено исходя из решения Б.Г.Коренева для изгибающего момента в центре плиты на упругом основании, отвечающего гипотезе коэффициента постели:

Мц = P.L. (0,096. F – 0,012. L) / F (3.16) где: L - упругая характеристика плиты;

F - площадь следа нагрузки.

Отсюда, значение функции f() при заданном уровне надёжности определяем по формуле:

f() = kp.L. (0,096. F – 0,012. L) / F (3.17) М.И. Горбунов – Посадов так же получил решение для функции f() интегрируя дифференциальное уравнение изгиба плит в полярных координатах, получив результаты в логарифмах:

f() = kp. (0,0592 – 0,09284. ln (R/L)) где: kp - статистический коэффициент условий работы, принимаемый в зависимости от задаваемого уровня надёжности от 0,5 до 1,3. Для любых случаев, уровень надёжности изменяется от 0,5 до 1 и зависит от следующих факторов:

- толщины плиты;

- коэффициента вариации толщины плиты;

- амплитуды колебаний температуры на поверхности плиты;

- коэффициента вариации температуры на поверхности плиты;

- коэффициента вариации интенсивности нагрузок;

- коэффициента вариации числа приложений нагрузки;

- коэффициента вариации прочности и модуля упругости бетона;

- коэффициента вариации коэффициента постели.

Горб А.М. Стр. Для плит полов, для которых характерны их толщина (от 0,15м до 0,25м), постоянная (положительная) температура на поверхности при их эксплуатации, предсказуемые значения и интенсивность эксплуатационных нагрузок, как правило, стабильный постилающий слой основания и низкие значения коэффициентов вариации по используемым материалам, коэффициент условий работы варьируется от 0,5 до 0,6.

Значения функции f() табулированы в нормативной и справочной литературе для нагрузки равномерно-распределённой по кругу или прямоугольному следу.

С учётом заданного характерного для полов коэффициента условий работы, функцию f() для большинства случаев можно определить, представив её в виде полинома. Для нагрузки равномерно - распределённой по кругу в виде полинома 4-й степени:

f( ) = А · Х 4 - В · Х 3 + С · Х 2 - D · Х + E (3.18) X = R / L - переменный коэффициент полинома;

радиус равновеликого отпечатка;

R А, В, С, D – постоянные полинома:

А = 0,3917;

В = 6,682;

С = 42,901;

D = 144,98.

Для нагрузки равномерно-распределённой по прямоугольному следу со сторонами ar и br f() представляется в виде полинома 3-й степени:

f( ) = (- А) · 3 + В · 2 - С · + D (3.19) где:,, А, В, С, D - переменные коэффициента полинома;

= ar / L;

= br / L;

А = (-А1) · 3 + В1 · 2 - С1 · + D В = А2 · 3 + В2 · 2 - С2 · + D С = А3 · 3 + В3 · 2 - С3 · + D D = (-А4) · 4 + В4 · 3 + С4 · 2 - D4 · + Е А1 = 0,0003;

В1 = 0,0111;

С1 = 0,1328;

D1 = 0,5399;

А2 = 0,00004;

В2 = 0,0596;

С2 = 1,2827;

D2 = 6,7586;

А3 = 0,0182;

В3 = 0,0155;

С3 = 6,2658;

D3 = 42,138;

А4 = 0,001;

В4 = 0,0269;

С4 = 0,9914;

D4 = 25,685;

Е = 141,72;

А(n) – D(n), E - постоянные полинома.

Горб А.М. Стр. изгибающий момент в расчётном центре от сосредоточенной нагрузки Mi приложенной в центре тяжести элементарной площадки, Pi, расположенной за пределами расчётного центра и определяемый по формуле:

Mi = K4· Pi (3.20) табулированный коэффициент, принимаемый в зависимости от K4 – отношения Xi/L и Yi/L, где Xi и Yi - координаты точек приложения нагрузок Pi, определяемые по схеме расположения нагрузок.

упругая характеристика плиты (3.10) L расчётная ширина сечения плиты, принимаемая равной 1м;

b– эквивалентный коэффициент постели подстилающего основания.

Ks – нагрузка, приходящаяся на каждую элементарную площадку, Pi расположенную вне расчётного центра, заменяемая эквивалентной сосредоточенной нагрузкой с точкой приложения в центре тяжести элементарной площадки.





жёсткость сечения плиты;

для бетонного и фибробетонного сечения B– величина «В» определяется по формуле:

В = (Е · h3)/ (12 · (1- 2 ) (3.21) Е- модуль упругости бетона;

высота сечения плиты;

h - коэффициент Пуассона материала плиты (для бетона 0,2).

Предельный изгибающий момент mu для бетонных (неармированных) конструкций полов определяется учётом упруго-пластичного момента (с сопротивления) по формуле:

h mu = g c Rbt (3.22) ;

3, gc - коэффициент условий работы;

расчётное сопротивление бетона осевому растяжению;

Rbt Выше рассмотрен общий порядок расчёта конструкций бетонных полов, являющейся бесконечной гибкой плитой, лежащей на упругом основании. В современной проектной практике применяются различные, по типу армирования конструкции полов, расчёт которых, отличается как при определении действующих Горб А.М. Стр. усилий (изгибающих моментов), так и при расчёте несущей способности по первому или второму предельному состоянию, в зависимости от характера армирования конструкции плиты пола.

При расчёте действующих изгибающих моментов определяющим фактором является учёт жёсткости рассматриваемого сечения плиты. Жёсткость конструкций, лежащей на упругом основании, существенным образом определяет действительный характер её работы. По существу, характер изгибающих моментов и их величина зависят главным образом от соотношений жёсткости изгибаемой конструкции и основания. Уменьшение жёсткости конструкции, или, говоря точнее, отказ от её необоснованного преувеличения, приводит, как правило, к снижению усилий в конструкции, что приводит, во многих случаях, к заметной экономии. При этом, необходимо учитывать, что снижение жёсткости плиты ведёт к увеличению давлений на подстилающий грунт. Однако, учитывая относительную незначительность удельных давлений на грунт передаваемых плитами полов при действии эксплуатационных нагрузок влиянием увеличенного давления можно пренебречь, т.к. деформация основания происходит по начальному линейному участку диаграммы «напряжение - деформация» при весьма малых удельных давлениях, соответствующих упругой стадии работы грунта.

Горб А.М. Стр. 7. РАСЧЁТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ ПОЛОВ.

При расчёте железобетонных конструкций плит полов принимают, что при действии эксплуатационных нагрузок они работают, как правило, с раскрытием трещин в бетоне растянутой зоны. В сечениях с раскрывающимися трещинами растягивающие усилия воспринимает растянутая арматура и бетон в сжатой зоне.

Наличие арматуры, пересекающей трещины, ограничивает глубину и ширину их раскрытия.

Расчётным предельным состоянием для железобетонных полов являются предельные состояния по прочности и по раскрытию трещин, которое может быть определено следующим условиями:

Мd Мu ;

аcrc 0,4мм. (4.1) Мd - расчетный действующий изгибающий момент;

Мu - предельный изгибающий момент воспринимаемый сечением;

- ширина раскрытия трещины.

acrc Расчётный изгибающий момент, необходимый для определения сечения арматуры, определяют расчётом плиты на действие нагрузок в трёх характерных точках: в центре плиты, у края и на углу. В первом случае наибольшие значения имеют положительные изгибающие моменты, по которым вычисляют сечение арматуры в нижнем сечении плиты.

В случае действия нагрузки у края плиты расчётом определяют сечение нижней арматуры, укладываемой параллельно краю и сечение верхней арматуры, перпендикулярное ему. По значению отрицательного изгибающего момента, возникающего в плите от действия нагрузки на угол, вычисляют общее сечение верхней арматуры пересекающейся в этом углу.

Расчётные значения изгибающих моментов в различных зонах плиты определяется по формуле:

Мр = k · kN · Мс,max (4.2) k, kN, Мс,max - то же, что и в формуле (3.11) Максимальный изгибающий момент при центральном загружении плиты Мс,max определяют так же как и для бетонного сечения плиты:

Горб А.М. Стр. Мс,,max = M0 + Mi (4.3) Отличие в расчете от бетонных покрытий заключается в способе определения жесткости изгибаемых железобетонных плит. При определении жесткости железобетонные сечения нельзя рассматривать как однородные, так как в их растянутой зоне появляются трещины. Образование трещин вызывает снижение жесткости железобетонных плит. Таким образом, вследствие раскрытия трещин жесткость железобетонной плиты оказывается ниже жесткости бетонной плиты, равной по толщине.

Расчётная жёсткость железобетонной плиты пола определяется по формуле:

E s As x B= (h0 - )(h0 - x ) (4.4) yb модуль упругости арматуры;

Es начальный модуль упругости бетона;

Eb Аs площадь сечения растянутой арматуры на единицу ширины сечения плиты;

b - коэффициент, учитывающий работу бетона между трещинами в растянутой зоне и принимаемый равным при расчете по прочности 0,2, по раскрытию трещин - 1;

рабочая высота сечения (расстояние от сжатой грани сечения до h0 центра тяжести растянутой арматуры):

h0 = h - a – d/2;

(4.5) толщина плиты;

h а - толщина защитного слоя.

х высота сжатой зоны бетона в сечении:

x = (-q 0 + q 02 + 2q )h0 ;

(4.6) Es y c q0 = m;

(4.7) Eb y b - диаметр арматурных стержней;

d с - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций крайнего волокна сжатой зоны сечения, на участке между трещинами и принимаемый в зависимости от отношения шага арматуры ls, параллельной рассматриваемому сечению, к толщине Горб А.М. Стр. плиты h.

Значение коэффициента с допустимо определять по формуле, представленной в виде полинома 2-й степени:

с = А · Х 2 - В · Х + С;

(4.8) Х переменный коэффициент полинома;

– А, В, С – постоянные полинома: А = 0,1943;

В = 0,6914;

С = 1, - коэффициент армирования:

As m= ;

(4.9) h Предельный изгибающий момент железобетонных плит полов:

x mu = g c As Rs (h0 - ) (4.10) Ширина раскрытия трещин в сечениях армированных стержневой ненапрягаемой арматурой:

ss acrc = 1000 (4.11) ac Es ss - величина напряжения в растянутой арматуре:

md ss = (4.12) x As (h0 - ) расстояние между трещинами:

ac As E s h ac = k c (4.13) U s Eb Us - периметр сечения арматуры, приходящейся на единицу ширины сечения плиты.

h 2 Eb kc = -2 (4.14) x 3,5 As (ho - ) E s 1 - коэффициент, принимаемый равным: для стержневой арматуры периодического профиля - 0,7;

для сварных сеток из холоднотянутой проволоки — 1,25.

Горб А.М. Стр. 7. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЁТА ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПЛИТ ПОЛОВ.

Особенностью предварительно напряженных конструкций плит полов является то, что в общем случае такая плита является анизотропной, причем учёт анизотропии плиты имеет решающее значение для правильного принятия основных конструктивных параметров пола. Ярко выраженной ортотропностью обладают однооснообжатые предварительно напряженные плиты с поперечной нена пряжённой арматурой. Поэтому в качестве расчетной схемы для предварительно напряжённых плит должна быть принята схема ортотропной плиты, лежащей на упругом основании. Так как основным расчётным случаем является случай расположения нагрузки в центральных зонах плиты, то за основу может быть принят метод расчета плиты неограниченных размеров. Положение нагрузки на углу плиты или у шва не является расчетным, так как эти элементы предварительно напряжённой плиты пола должны иметь конструктивное усиление, обеспечивающее его прочность не ниже прочности центральных полей плит. Для учета эффективности тех или иных способов усиления краев и углов плит пола необходимо пользоваться экспериментальными и расчётными данными. Основное условие расчета соответствует формуле (1.1).

Основы теории изгиба тонких анизотропных плит были заложены в работах Геринга и Буссинеска. Большой вклад в развитие этой теории сделан Губером и С.Г. Лехницким. Б.С. Раевым-Богословским получено решение для ортотропной плиты, лежащей на упругом основании, основные расчетные формулы которого приводятся ниже.

Известно, что если плита ортотропна и направления осей х и у совмещены с главными направлениями упругости, то уравнение ее изогнутой поверхности можно записать в следующем виде:

4w 4w 4w D1 4 + 2 D3 2 2 + D2 4 + cw = q( x, y ) (5.1) x x y y где:

E1 h D1 = 12(1 - m1 m 2 ) Горб А.М. Стр. E2 h D2 = 12(1 - m1 m 2 ) D3 = D1 m1 + 2 Dk Dk = Gh 3 / D1, D2, D3 - жесткости изгиба и кручения для главных направлений;

с - коэффициент постели упругого основания;

E1, Е2 - модули упругости;

1, 2 - коэффициенты Пуассона;

G - модуль сдвига для главных направлений.

Нагрузка на плиту пола прикладывается в пределах площади контакта вертикальной нагрузки, равномерно-распределённой по следу опирания с плитой пола.

Таким образом, задача сводится к решению уравнения (5.1) для случая загружения плиты нагрузкой, распределенной по контактной площади.

Для упрощения решения задачи первоначально рассматривают изгиб прямоугольной плиты с размерами сторон а и b, шарнирно опертыми краями. В этом случае решение уравнения (5.1) можно записать в виде двойного ряда Фурье:

mpx npy w = a mn sin (5.2) sin a b m n Нагрузка q=f(x,у), приложенная к плите, может быть разложена в аналогичный ряд:

mpx npy q = q mn sin (5.3) sin a b m n Если считать, что нагрузка распределена по площади прямоугольника с координатами 1, 2 и 1, 2, то:

npx 2 mpx1 nph 2 nph 4q q mn = - cos - cos cos cos (5.4) mnp a b a b Произведя необходимые преобразования, решение уравнения (5.1) можно записать в виде:

mpx npy sin sin qmn m 4 a b w= 4 (5.5) p n mn c D1 4 + 2 D3 2 2 + D2 4 + mn p a ab b Горб А.М. Стр. Изгибающие моменты:

mpx npy sin sin m2 n D q mn a 2 + m 2 b 2 m 4 a b Mx = 2 (5.6) p n D mn c + 2 D3 2 2 + D2 4 + mn p 1 a ab b mpx npy sin sin n m 2 D M y = 2 q mn 2 + m1 2 a b b a p mn m4 m2n2 n D c + 2 D3 2 2 + D2 4 + p 1 a ab b Полученные формулы являются общим решением прямоугольной ортотропной плиты с размерами а x b, лежащей на упругом основании и загруженной нагрузкой q, при условии, что ее края свободно оперты. Это решение имеет практическое значение для изучения работы плит, края которых опираются на мощные жесткие подкладки.

Чтобы преобразовать полученные формулы для решения бесконечной, плиты, достаточно принять a = b 2S, где S – упругая характеристика плиты, равная S = 4D, а нагрузку расположить в центре плиты. Если ось x расположим вдоль c направления жесткости D1 при Dl D2, а нагрузку интенсивностью q приложим к центру плиты в пределах площади, ограниченной квадратом со стороной а, то в результате преобразования получим:

16q sin ma na (-1) ( m + n ) / 2- q mn = (5.7) sin mnp 4S 4S при m = 1, 3, 5... и n = 1, 3, 5....

Тогда для прогибов и изгибающих моментов непосредственно под нагрузкой формулы приобретают вид:

(-1) ( m + n ) / 2- 64 D qmn w= (5.8) D1 (64 + m 4 ) + 2 D3 m 2 n 2 + D2 n c m n (m 2 + m 2 n 2 ) (-1) ( m+ n) / 2- D D (64 + m 4 ) + 2 D m 2 n 2 + D n M x = 8D1 q mn cmn 1 3 (n 2 + m1 m 2 ) (-1) ( m + n ) / 2- D qmn D (64 + m 4 ) + 2 D m 2 n 2 + D n M y = 8 D cmn 1 3 при m = 1, 3, 5... и n = 1, 3, 5....

Горб А.М. Стр. В результате преобразования выражений с использованием (5.8) экспериментальных данных удалось получить простые зависимости для определения расчетных изгибающих моментов Мр в плитах:

M p = M max kk x ( y ), ц (5.9) где:

M max - максимальный изгибающий момент при центральном загружении плиты;

ц k - переходной коэффициент от изгибающего момента при центральном загружении к моменту при краевом загружении плиты, принимаемый равным: для монолитных железобетонных предварительно напряженных плит с двухосным обжатием при определении расчетного момента в продольном направлении (для поперечных сечений плиты) k = 1,2;

для монолитных железобетонных предварительно напряженных плит с одноосным обжатием бетона, а также с двухосным обжатием бетона при определении расчетного момента в поперечном направлении (для продольного сечения плиты) k =1,0;

kx(y) - коэффициент, учитывающий перераспределение внутренних усилий в ортотропных плитах покрытий с различной жесткостью Dx и Dy в продольном и поперечном направлениях;

для изотропных плит с жесткостью Dx и Dy kx(y) = 1,0.

Расчётным предельным состоянием для предварительно напряженных конструкций является предельное состояние по образованию трещин. В результате расчёта должны быть определены толщина плиты, площадь поперечного сечения арматуры, величина предварительного напряжения в бетоне, при которых была бы полная гарантия отсутствия трещин в плите пола, т.е.

чтобы предельное состояние не наступило.

Основное условие расчета предварительно напряженных плит по методу предельных состояний выражается формулой (1.1). Расчетный изгибающий момент в плитах однослойных плит определяют по формуле (3.11).

В монолитных предварительно напряженных плитах с одноосным обжатием в процессе эксплуатации допускаются продольные трещины, с возникновением которых жесткость плит в поперечном направлении снижается. Плита Горб А.М. Стр. становится ортотропной, изгибающий момент в продольном направлении возрастает, а в поперечном убывает в сравнении с изотропной плитой. Для плит, имеющих предварительное напряжение в одном направлении (продольном), а в другом направлении (поперечном) армированном ненапряженной арматурой в различных направлениях плиты, жесткость будет различная. Жесткость предварительно напряженных (поперечных) сечений:

bh D y = 1,02 Eб (5.1) Жесткость продольных сечений, армированных ненапрягаемой арматурой, равна жесткости обычных железобетонных покрытий:

E a Fa x h0 - (h0 - x ) Dx = (5.2) ya Для плит с различной жесткостью (одноосно обжатых) максимальный изгибающий момент при центральном загружении плиты принимается различным для продольных и поперечных сечений. Для поперечных сечений (предварительно напряженных) имеем:

N M max = M x = k x M 1 + M x ( y ) ц i (5.3) Для продольных сечений, армированных ненапрягаемой арматурой:

N M max = M y = k y M 1 + M x ( y ) ц i (5.4) где:

kx и ky - коэффициенты, учитывающие перераспределение внутренних усилий в ортотропных плитах.

Значения кх и ку принимают в зависимости от отношения жесткостей Dy / Dx.

Для предварительно напряженных сечений предельный изгибающий момент определяют с учетом потерь напряжения арматуры от усадки бетона, релаксации стали от возможного изменения температуры в период между натяжением арматуры на упоры и бетонированием, а также от действия сил трения, возникающих при температурных деформациях плит.

Предельный изгибающий момент для предварительно напряженных сечений определяют по предельному состоянию, соответствующему стадии образования Горб А.М. Стр. трещин, с учетом работы бетона в растянутой зоне:

[ ] M пр = m (Rти - s бт )W0 k и + M об я (5.5) где:

т - коэффициент условий работы;

расчетное сопротивление растяжению при изгибе при расчете Rти предварительно напряженных сечений по образованию трещин;

s бт - величина потерь предварительного напряжения в бетоне от трения, принимаемая для монолитных полов равной 0,1 МПа на каждые 10 м длины напрягаемого участка;

- упругий момент сопротивления сечения, равный Bh2/6;

Wo - коэффициент, учитывающий число приложений нагрузки;

ku - момент равнодействующей усилий в нижней и верхней напрягаемой я M об арматуре относительно оси, нормальной к плоскости изгиба через ядровую точку, наиболее отдаленную от зоны сечения, трещинообразование которой проверяют исходя из условия:

M об = mт (Fнs н + Fнs н )(rя ± e 0 ) я (5.6) где: тТ - коэффициент точности натяжения арматуры;

Fн и Fн - площади сечения напрягаемой арматуры, расположенной, в растяну той и сжатой зонах сечений;

s н и s н - предварительное напряжение в напрягаемой арматуре;

расстояние от ядровой точки до центра тяжести сечения (для rя прямоугольных сечений rя = h/6);

е0 - эксцентриситет приложения равнодействующей усилий в напрягаемой арматуре относительно центра тяжести сечения (знак «плюс» перед е принимают в тех случаях, когда точка приложения равнодействующей усилий в напрягаемой арматуре и рассматриваемая зона сечения находятся по одну сторону от горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести сечения, и знак «минус», когда они находятся по разные стороны от оси):

Горб А.М. Стр. Fнs н Yн - Fнs н Yн e0 = (5.7) N N 0 = Fнs н + Fнs н Yн и Yн - расстояние от горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести сечения до верхней и нижней арматуры;

sн =s0 -sп ;

s н = s 0 -s п (5.8) s 0 и s н - предварительное напряжение (без учета потерь), соответственно, в нижней и верхней арматуре, принимаемое равным:

для стержневой арматуры:

s 0 = s 0 = Rап - r для арматуры из высокопрочной проволоки и прядей:

s 0 = s 0 = 0,8Rап - r расчетное сопротивление арматуры растяжению;

Raп r допускаемое отклонение величины предварительного напряжения арматуры, принимаемого по нормативным данным;

s п и s п - потери предварительного напряжения соответственно в нижней и верхней арматуре;

s п = s п = s у + s р + s пл (5.9) s у, s р и s пл - потери предварительного напряжения арматуры от усадки бетона, релаксации напряжений и от ползучести бетона, определяемые по нормативным данным.

Предварительное напряжение в бетоне:

s0F sб = s min (5.10) bh где:

- площадь напрягаемой арматуры;

F b и h - ширина и высота сечения плит.

При армировании плит в поперечном направлении ненапрягаемой арматурой предельный изгибающий момент определяют как для обычных железобетонных сечений.

Горб А.М. Стр. 9. РАСЧЁТ СТАЛЕФИБРОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПОЛОВ.

Бетон, является структурно - неоднородным анизотропным материалом, обладающим относительно высокой прочностью на сжатие, плохо воспринимающий растягивающие усилия. При проектировании конструкций этот недостаток устраняется, как правило, благодаря включению в бетон стержневой (направленной) стальной арматуры, которая воспринимает возникающие растягивающие напряжения после образования трещин в крайних волокнах сечения растянутой зоны. Иногда предусматривается конструктивное армирование бетонного сечения, способное ограничить неконтролируемое развитие трещин или предотвратить его разрушение при действии случайных факторов.

Альтернативой стержневому армированию, при определённых условиях, может являться дисперсное армирование исходного бетона различными типами волокон (фибр);

при этом, конструкция приобретает свойства нового композитного материала, называемого фибробетоном, характеризующегося наличием определённых свойств, отличных от неармированных или армированных стержневой арматурой бетонных конструкций.

В общем случае, фибробетоном называют композиционный материал, состоящий из цементной матицы с крупным заполнителем или без него с равномерным или заданным распределением по её объёму ориентированных или хаотично расположенных дискретных волокон (фибр) различного происхождения и свойств.

Конструирование любого композиционного материала с целью придания ему необходимых свойств, базируется на принципах, сформулированных на основе определённых знаний структуры этого материала, принципах структурообразования и возможности регулирования его параметров путём воздействия на его структуру в рамках заданного технологического процесса.

Теоретические основы расчёта прочности фибробетона как композитного материала в упругой стадии работы основывается на законе аддитивности (правило смеси). При этом, несущая способность фибробетона в данном контексте определяется исходя из более низких значений модуля упругости и уровня предельных деформаций матрицы по сравнению с этими же параметрами для армирующих волокон.

Горб А.М. Стр. Разновидностью фибробетона является сталефибробетон, представляющий собой бетон – матрицу из тяжёлого или мелкозернистого бетона, в который, для достижения требуемых свойств, добавляются стальные фибры, равномерно распределенные по всему объему бетона. Совместная работа бетона и стальных фибр обеспечивается сцеплением по их поверхности и анкеровкой волокон в бетоне за счет их периодического профиля, кривизны в продольном и поперечном направлении, а также наличием анкеров на концах фибр.

Цели и назначения армирования стальной фиброй и обычного стержневого армирования различны. Стальные волокна добавляют в бетон, главным образом, для того, чтобы повлиять на механизм трещинообразования в бетоне. Присутствие стальных волокон в бетоне уменьшает риск образования и развития трещин при его усадке, а также обеспечивает частичное или полное сохранение несущей способности элемента конструкции после образования структурных трещин в бетон-матрице. Наличие стальной фибры в бетоне усиливает его способность к поглощению энергии при разрушении за счёт увеличения работы, которую необходимо затратить для образования новых поверхностей при образовании и развитии трещин.

Когда бетонный элемент находится под действием нагрузки, он деформируется, с образованием микротрещин, которые при дальнейшем возрастании нагрузки образуют макротрещины. Волокна, введённые в исходный бетон, в том числе, пересекают вершины образующихся трещин и замедляют их дальнейшее распространение, придавая бетону значительную остаточную прочность после образования трещин.

Кривая диаграммы «напряжение-деформация» для бетона, армированного стальными волокнами, после образования трещин имеет характерный ниспадающий участок, называемый деформационным разупрочнением, при этом прочность фибробетона на изгиб уменьшается с ростом его деформации после начала трещинообразования. Такой эффект присущ только композитным материалам, работа которых отличается от работы элементов, с направленным стержневым армированием, где после образования тещины в крайнем волокне растянутой зоны происходит значительное повышение сопротивление изгибу после начала трещинообразования, при условии, обеспечения уровня армирования выше Горб А.М. Стр. минимального.

Характер изменения свойств конструкций из сталефибробетона при разрушении зависит от того, что является контролирующим фактором - нагрузка или деформация.

Уменьшение прочности сталефибробетона при изгибе после образования трещины можно обосновать, если рассмотреть поведение свободно опертой балки, нагруженной сосредоточенной силой в её центре. При нагружении сталефибробетонной балки на нижней её поверхности образуются множественные микротрещины в пределах её центральной трети в отличии от бетонной балки, где образуется одна характерная трещина приблизительно в середине пролёта.

Характер образования трещин в фибробетонной балке схож с трещинообразованием в железобетонной балке. В случае контролируемого уменьшения действующей нагрузки на фибробетонную балку, происходит деформационное разупрочнение с плавным развитием образовавшихся микротрещин, с постепенным уменьшением её несущей способности, в отличие от бетонной балки, где после появления первой трещины, пронизывающей всё сечение элемента, происходит мгновенное её разрушение. Параметры деформационного разупрочнения сталефибробетона также заметно отличается от параметров железобетона, который при деформации становится более «жёстким», за счёт увеличения напряжения в арматуре растянутой зоны после образования трещины в бетоне растянутой зоны. Для обеспечения дальнейшей деформации образца необходимо увеличить нагрузку с целью развития пластических деформаций в растянутой арматуре и в сжатой зоне бетона.

Испытания с контролем нагрузки не показывают никаких существенных различий в диаграммах «напряжение-деформация» свободно опертой балкой из неармированного бетона и сталефибробетона. Характер диаграммы для железобетонной балки армированной стержневой арматурой при возрастании нагрузки отличается от фибробетонной и бетонной балки наличием площадки текучести и способностью к дальнейшему деформированию при увеличении нагрузки.

Введение стальных фибр в бетон обеспечивает значительное повышение пластичности образца после образования трещин, что является неоспоримым Горб А.М. Стр. преимуществом при расчёте статически неопределимых систем, например, в многопролетных балках и в плитах, лежащих на упругом основании.

Особенности и преимущества использования сталефибробетона можно увидеть по поведению балки, с защемлёнными опорами (т.е. при ограничении вертикальных и горизонтальных перемещений).

Рассмотрим два равномерно - нагруженных геометрически идентичных бетонных образца балок, одна из которых изготовлена из сталефибрбетона, а другая – из неармированного бетона, с заделкой на опорах. Напряжённо - деформируемое состояние обеих балок при работе в упругой стадии практически не отличается, до тех пор, пока изгибающий момент на опоре не достигнет предела прочности, который будет почти одинаковым для каждой балки.

Балка из неармированного бетона разрушится сразу же после появления первой трещины на опорах, так как величина сопротивления действующему изгибающему моменту на опорах быстро упадет до нуля, вызывая рост напряжений в пролете, превышающий прочность бетонного сечения на изгиб для свободно-опёртой однопролётной балки. Балка из фибробетона не разрушится при условии, что она имеет достаточную способность к перераспределению моментов с защемлённых опор на пролет, чтобы сохранить равновесие. Она разрушится, когда действующий изгибающий момент на опорах станет равным моменту в пролете.

Остаточный момент на опоре при разрушении определяется образованием пластического шарнира. Однако, увеличение прочности и пластичности многопролётной бетонной балки из дисперсно армированного бетона можно ожидать только в том случае, если процент армирования стальными фибрами будет выше необходимого минимального уровня.

Отсюда следует, что композиты на основе фибробетона можно использовать для частичной или полной замены стержневой арматуры в статически неопределимых балках и плитах, где при трещинообразовании происходит перераспределение изгибающих моментов. Необходимую величину сопротивления усилиям высоконапряженных участков фибробетонных элементов можно обеспечить дополнительным стержневым армированием. Использование фибробетона, оправдано для плит полов, лежащих на упругом грунтовом основании и для плит, опертых на малоподвижные свайные опоры, где значения изгибающих моментов Горб А.М. Стр. максимально на опорах. В этом случае напряжения перераспределяются, позволяя развиваться сетке трещин.

Применение фибрового армирования в конструкциях промышленных полов обеспечивает его преимущество по сравнению с неармированными и армированными стержневой арматурой конструкциями благодаря улучшению ряда технико-эконимических показателей.

Экономическая эффективность сталефибробетонных конструкций по сравнению с железобетонными обуславливается за счёт:

- снижения трудоёмкости;

- снижения материалоёмкости;

- повышения долговечности;

- увеличения межремонтного ресурса;

- исключение недостатков присущих стержневому армированию.

В сопоставлении с конструкциями полов устраиваемых без фибрового или стержневого армирования улучшаются следующие свойства:

- удельная работа деформации разрушения;

- прочность на растяжение;

- ударная прочность;

- трещиностойкость;

- усталостная прочность;

- усадочные деформации;

- долговечность;

- межремонтный ресурс.

Улучшение свойств фибробетона зависит от параметров армирования:

объёмного содержания арматуры, а также соотношения между параметрами фибрового армирования и параметрами структуры бетонной матрицы.

Фибробетонные конструкции по виду армирования рассматриваются как сталефибробетонные (СФБ) – при расчетном армировании только фибрами, равномерно распределенными по объему элемента или комбинированно армированные (сталефиброжелезобетонные) (СФЖБ) – при их армировании стальными фибрами, в сочетании со стержневой (направленной) арматурой.

Количество стальной фибры, добавляемой в бетон, назначается таким образом, Горб А.М. Стр. чтобы обеспечить значимое, планируемое и длительное улучшение требуемых свойств фибробетонных конструкций по сравнению с неармированным бетоном.

При конструировании фибробетонных элементов определяющим является величина минимально допустимого объёма содержания фибр в матричном бетоне.

При расчёте фиброармированных элементов на осевое растяжение в предельной стадии учитывается только работа фибр по аналогии с расчётом железобетона, учитывающего расчётное сопротивление стержневой арматуры на растяжение. При этом, хаотично распределённые по объёму элемента волокна приводятся к направленному путём учёта соответствующих коэффициентов, при условии возможности восприятия растягивающих усилий только фибрами, расчётное сопротивление на растяжение которых превышает расчётное сопротивление неармированного бетона. Данная ситуация реализуется при условии содержания фибр выше минимального уровня. В противном случае растягивающие усилия воспринимаются совместно бетоном и фибрами.

При изгибе, минимально допустимое содержание фибр в бетоне должно отвечать ситуации, при которой усилие, возникающее в сталефибробетонном изгибаемом элементе в момент предшествующий образованию трещин, могло бы быть воспринято в момент образования трещин в сжатой зоне сечением сталефибробетоном, а в растянутой только фибрами, считающимися «размазанными» в пределах площади растянутой зоны.

Как правило, объёмное содержание фибр в конструкциях полов находится в пределах 20 – 40 кг/куб.м. (0,25% - 0,5%), что является армированием ниже минимального уровня. При расчёте предельных усилий в статически определимых системах (свободно опёртых балках и плитах) при данном проценте армирования расчёт производится до достижения усилия, которое способно воспринимать расчётное сечение в момент предшествующий образованию трещин. Расчёт плит полов, лежащих на упругом основании, учитывая реактивное давление основания, обеспечивающего перераспределение положительных и отрицательных изгибающих моментов, допускает предельное состояние, соответствующее усилию, которое может быть воспринято элементом в момент образования трещин в растянутой зоне даже при условии содержания фибр в бетоне ниже минимального Горб А.М. Стр. уровня. Расчёт, при этом, производится по условиям прочности и предельному значению изгибающего момента, соответствующего усилию, возникающему в момент образования трещин, по аналогии с расчетом железобетонных конструкций с учетом расчётных характеристик сталефибробетона.

Расчётным предельным состоянием для СФБ и СФЖБ полов являются предельные состояния по прочности и по образованию трещин, которое может быть определено следующим условиями:

Мd Мu = М crc;

(6.1) Мd - расчетный изгибающий момент;

Мu - предельный изгибающий момент сталефибробетонного сечения;

М crc – предельный изгибающий момент воспринимаемый (усилие) элементом в момент образования трещин.

Расчётные значения изгибающих моментов в различных зонах плиты определяется по аналогии с бетонным и железобетонным сечениями по формуле:

Мd = k · kN · Мс,max (6.2) где: k, kN, Мс,max - то же, что и в формуле (3.11) Максимальный изгибающий момент при центральном загружении плиты Мс,max определяется так же как и для бетонного или железобетонного сечения плиты:

Мс,,max = M0 + Mi (6.3) Расчётная жёсткость СФБ и СФЖБ сечения (при фибровом армировании ниже минимального уровня) может определяться по аналогии с бетонным сечением (3.18).

Различие в расчёте между бетонными, железобетонными и СФБ (СФЖБ) сечениями плит полов состоит в методике определения предельных усилий (изгибающих моментов). Предельные усилия, воспринимаемые фибробетонным сечением элемента определяются, исходя из следующих предпосылок:

- сопротивление сталефибробетона растяжению представляется напряжениями, равными Rfbt и равномерно распределенным по растянутой зоне сталефибробетона;

Горб А.М. Стр. - сопротивление сталефибробетона сжатию представляется напряжениями, равными и равномерно распределенным по сжатой зоне R fb сталефибробетона;

- деформации (напряжения) в стержневой арматуре определяют в зависимости от высоты сжатой зоны сталефибробетона;

- растягивающие напряжения в стержневой арматуре принимают не более расчетного сопротивления растяжению Rs ;

- сжимающие напряжения в стержневой арматуре принимают не более расчетного сопротивления сжатию Rsc.

Расчетные сопротивления сталефибробетона сжатию Rfb и растяжению Rfbt определяется в зависимости от класса по прочности на сжатие бетона - матрицы, геометрии и размеров сечения элемента.

При определении R fbt различаются два случая:

1-й случай: сопротивление растяжению сталефибробетона исчерпывается из за обрыва некоторого количества фибр и выдергивания остальных, что определяется условием:

lf l f, an ;

(6.4) 2-й случай: сопротивление растяжению сталефибробетона исчерпывается из-за выдергивания из бетона условно всех фибр, что определяется условием:

lf l f, an. (6.5) В формулах (6.4), (6.5) l f, an - длина заделки фибры в бетоне, обеспечивающая ее разрыв при выдергивании, определяемая по формуле:

h f d f,red R f, ser l f, an =, (6.6) Rb, ser где:

d f, red - приведенный диаметр используемой фибры;

R f, ser – нормативное сопротивление растяжению фибр;

Горб А.М. Стр. hf – коэффициент, учитывающий анкеровку фибры.

Если имеет место 1-й случай исчерпания сопротивления растяжению сталефибробетона, то величина R fbt определяется по формуле:

l fan R fbt = m1 К Т k or k р m fv R f (1 - ) + 0,1 Rb (0,8 - 2 m fv - 0,005 ) (6.7) lf где:

m1 – коэффициент условий работы для фибры;

k or – коэффициент ориентации, учитывающий ориентацию фибр в объеме элемента в зависимости от соотношения размеров сечения элемента и длины фибры;

коэффициент, учитывающий вероятность пересечения фибрами расчётной kp – плоскости;

m fv – коэффициент фибрового армирования по объему;

K T – коэффициент, определяемый по формуле:

K T = 1 - (1,2 - 80 m fv ) 2, (6.8) Если имеет место 2-ой случай исчерпания сопротивления растяжению сталефибробетона, величина R fbt определяется по формуле:

k or k р m fv l f + 0,08 - 0,5 m fv ), R fbt = m2 Rb ( К Т (5.9) 8 h f d f,red где: m2 – коэффициент условий работы, для фибры.

Расчетное сопротивление сжатию сталефибробетона определяется в R fb зависимости от класса по прочности на сжатие бетона - матрицы, вида, размеров и прочности фибр, геометрии и размеров сечения элемента. Величина R fb определяется по формуле:

R fb = Rb + (k n j f m f R f ), (6.10) где:

kn – коэффициент, учитывающий работу фибр в сечении, перпендикулярном направлению внешнего сжимающего усилия;

Горб А.М. Стр. jf коэффициент эффективности косвенного армирования фибрами, – вычисляемый по формуле:

5+ L jf =, (6.11) 1 + 4,5L где:

k n m fv R f L=. (6.12) Rb Значение предельного изгибающего момента в сечении Мu, определяют по формулам:

- при фибровом армировании:

M u = R fbbx 0,5h (6.13) где, h – высота сечения (толщина плиты);

b – ширина рассматриваемого сечения, принимаемого равной 1,0 м;

x - высота сжатой зоны:

R fbt h x= ;

(6.14) R fb + R fbt - при комбинированном армировании:

h-x x M u = R fbbx(h - - a) + Rsc As' (h - a ' - a ) - R fbt b(h - x ) - a ;

(6.15) 2 где:

a и a ' – расстояние от центра тяжести растянутой (сжатой) арматуры до ближайшей грани сечения;

расчетное сопротивление арматуры сжатию для предельных Rsc состояний первой группы.

В правой части уравнения (6.15), при наличии стержневого армирования только в растянутой зоне 2-й член равен нулю.

Высоту сжатой зоны x, при этом, определяют из условия:

R sc As' + R fb bx = R fbt b(h - x) + R s As (6.16) где: As, As' - площади сечения соответственно растянутой и сжатой арматуры.

В левой части уравнения (47) при наличии стержневого армирования только в растянутой зоне 1-й член равен нулю.

Горб А.М. Стр. Изгибающий момент, воспринимаемый элементом до образования первой трещины, определяется из выражения, учитывающего совместную работу бетона матрицы и фибр в сжатой и растянутой зонах. При этом, принимая во внимание упругопластический момент сопротивления, соответствующий неармированному бетону получим:

М = Rfbt. Wpt = Rfbt. b. h2 / 3,5 (6.17) где:

Rfbt = Rbtn. (1-mf ) + sft. mf. kor = Rbtn. (1-mf )+ 2.n. Rbtn.mf. kor (6.18) M = Rbtn. (1-mf.2.n.mf. kor ). bh2 /3, отсюда: (6.19) Усилие, воспринимаемое элементом в момент образования трещин, составляет:

Mcrc = Rtfb. Atfb.z (6.20) где: n = Ef / Eb Atfb = b.(h - x) (6.21) Плечо внутренней пары сил находится из условия:

z = (h – x)/2 + x/2 = h/2 (6.22) Положение нейтральной оси находим из условия:

Rfb. b. x - Rtfb. b. (h - x) = 0 (6.23) Отсюда получаем:

x = (Rtfb. h) / (Rfb + Rtfb) (6.24) Подставляя значение x в исходную формулу, получим:

Mcrc = Rtfb. (1- Rtfb / (Rfb + Rtfb). (b. h2/2) (6.25) Mcrc = ((Rfb.Rtfb))/ (Rfb + Rtfb)). (b. h2/2) или: (6.25*) Горб А.М. Стр. 10. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПОЛОВ.

При необходимости устройства полов под особо тяжелые нагрузки от технологического оборудования, а также в случае необходимости усиления конструкции существующих полов, одним из наиболее распространенных решений являются многослойные плиты полов с различными вариантами армирования, обладающими большой долговечностью и допускающие широкое использование местных строительных материалов для сооружения нижних слоёв многослойных конструкций плит полов. Выполненные исследования показывают, что необходимая несущая способность многослойных плит может быть достигнута при оптимальном соотношении толщин слоёв и их прочностных параметров.

Наиболее полное использование прочности материалов достигается при определённом соотношении расчетных параметров слоев: их толщин, модулей упругости и других характеристик. При отклонении этих параметров от оптимального значения большая часть нагрузки будет восприниматься одним из слоев, а другие слои будут недогружены. Это приведет к снижению долговечности конструкции и, в ряде случаев, к неоправданным экономическим затратам.

Расчет многослойных конструкций полов с теоретической точки зрения представляет более сложную задачу, чем однослойных. Расчетные значения изгибающих моментов с достаточной надежностью можно определить путём решения контактной задачи слоистых систем. В связи со сложностью работы жестких многослойных конструкций под нагрузкой внутренние усилия (изги бающие моменты) и деформации (прогибы) плит определяются по расчетной схеме многослойной плиты на упругом основании при центральном (симметричном) расположении действующей сосредоточенной нагрузки. Несимметричное распо ложение нагрузки и влияние различных способов соединения плит между собой учитывают путем введения поправочных коэффициентов к значению напряжений и изгибающих моментов для центрального расположения нагрузки. Расчет многослойных систем в зависимости от способа соединения различных слоев необходимо вести применительно к одному из двух следующих случаев: с «нескрепленными» слоями и со «скрепленными» слоями.

Горб А.М. Стр. Первый случай расчета находит применение при укладке каждого слоя по разделительной прослойке, допускающей сдвиг вышележащего слоя по нижнему слою.

Второй случай предусматривает сращивание верхнего слоя с нижним, исключающее возможность сдвигов одного слоя относительно другого. Когда верхний слой бетона надежно связан с бетоном нижних слоев, несущая способность многослойной системы практически не отличается от соответствующей монолит ной. Расчетный момент может определяться по формулам для расчета однослойных плит исходя из приведённого значения характеристик многослойной конструкции.

Поскольку в силу ряда технологических условий в большинстве случаев при устройстве полов получил наибольшее распространение первый способ, ниже рассматривается решение, когда слои не скреплены друг с другом. Отсутствие сцепления слоев друг с другом соответствует наиболее опасному случаю, что также идет в запас прочности и обеспечивает долговечность конструкции пола в целом.

Рассмотрим многослойную бесконечно протяженную в плане плиту, состоящую из произвольного числа слоев и лежащую на упругом полупространстве или на основании Винклера (рис 7.1). При расчете многослойных плит должно удовлетворяться условие (1.1) для каждого слоя.

Рис. 7.1. Схема многослойной плиты на упругом основании.

Для определения расчетного изгибающего момента задача рассматривается в цилиндрической системе координат r, q, z. Каждый слой плиты характеризуется Горб А.М. Стр. модулем упругости Е, коэффициентом Пуассона mi и толщиной Нi.

Примем, что на верхнюю поверхность плиты действует равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью q = const по площади круга радиусом R.

На нижнюю поверхность плиты действует реактивное давление со стороны упруго го полупространства или винклеровского основания. Между слоями силы трения отсутствуют. Граничные условия для плиты, лежащей на упругом полупространстве, записываются в виде:

szi = - q;

- R r R;

z = H;

при rz1 =0;

- r ;

szi = szi+1;

z = Hi ;

при: rz1 =0;

rzi+1 =0;

wi=wi+1 (i=1,2…, N) (7.1) Граничные условия для плиты, лежащей на винклеровском основании, записываются в виде:

szi = - q;

–R r R;

z = H;

при rz1 =0;

- r ;

szi = szi+1;

- r ;

z = Hi ;

при rz1 =0;

rzi+1 =0;

wi=wi+1 (i=1,2…, N) (7.2) z = 0 szN = c wN rzn = где: с – коэффициент постели, Нi – координата границы раздела i - го и i + 1 слоя.

Сформулированные задачи (7.1), (7.2) являются осесимметричными. Применяя способ суперпозиции нагрузок, эти задачи можно использовать для определения напряжённо-деформированного состояния многослойной плиты при действии нескольких сосредоточенных нагрузок.

Деформации и перемещения многослойной плиты связаны известными зависимостями:

u u er = ;

xq = ;

r r w u w ez = ;

g rz = + (7.3) z z r Горб А.М. Стр. Напряжения и перемещения для i–го слоя плиты должны удовлетворять следующей системе из двух дифференциальных уравнений равновесия в напряжениях:

s ri t rzi s ri - s qi + + = r z r t rzi s zi t rzi + + = 0;

(7.4) r z r и в перемещениях:

1 li ui Du i - + = 1 - 2 m i r r 1 l i Dwi + =0 (7.5) 1 - 2 m i z u i u i wi где, li = ++ - объёмное расширение в i–м слое.

r z r Задачу теории упругости для многослойной плиты будем решать с помощью функций напряжения Лява i;

. Можно легко убедиться, что системы уравнений (7.5) удовлетворяются, если напряжения и перемещения искать в виде:

2j m i Dj i - 2 i s ri = z r 1 2j i m i Dj i - s qi = z r r 2j i s zi = (2 - m i )Dj i - z z 2j (1 - m i )Dj i - 2 i t rzi = z z 1 + m i 2j i ui = Ei rz 2q 1 + mi 2(1 - m i )Dq i - 2i w0 = (7.6) z Ei где функция напряжений i i (r,z) удовлетворяет бигармоническому = уравнению:

2 1 2 2j i 1 j i 2j i = 2 2j i = 2+ + + +2 (7.7) r r r z 2 r 2 r r z Горб А.М. Стр. Оператор Лапласа представляет собой следующую величину:

2 1 = + +2 (7.8) r 2 r r z Задача теории упругости для многослойного полупространства, в котором вместо винклеровского основания берут упругое однородное основание, рассмотрена в работе В. С. Никишина и Г. С. Шапиро.

Здесь и ниже используются результаты этой работы для построения решения рассматриваемой задачи о многослойной плите с нескреплёнными слоями, лежащей на упругом винклеровском основании под действием сосредоточенной нагрузки распределённой по кругу ограниченного радиуса.

С помощью интегрального преобразования Хенкеля функция интенсивности нормальной нагрузки представляется в виде:

p(r ) = ap(a ) I 0 (ar )da (7.9) где, p (a ) - трансформатор Хенкеля:

p(a ) = rp (r ) I 0 (ar )da (7.10) I0 (r) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Функция напряжения для i–го слоя плиты берётся в следующем общем виде:

j i = {[ Ai (a ) + zBi (a )]e az + [c i (a ) + zDi (a )]e ar }I 0 (ar )da (7.11) Подставим функцию в формулы и проведём их (7.11) (7.6) дифференцирование, в результате получим следующие выражения для напряжений и перемещений:

I (ar ) s ri = a 2 Dri (a, z )I 0( a, r) - Du i (a, z ) i da ar I (ar ) s q i = a 2 Dq i (a, z )I 0( a, r) - Du i (a, z ) i da dr Горб А.М. Стр. s zi = a 2 Dz i (a, z )I 0( a, r).da t rzi = a 2 Dt i (a, z )I 0( a, r) da Ei u i = aDu i (a, z )I i( a, r) da 1 + mi Ei wi = aDwi (a, z )I 0( a, r) da (7.12) 1 + mi Здесь функции: ri, qi, zi, i, ui, wi, при i = 1,2… N определяются по формулам В.С. Никишина и Г.С. Шапиро.

Для удобства решения задачи переходим от переменных r, z к безразмерным переменным = r/R, t = z/H.

Кроме этого, введём новые переменные интегрирования = r и параметры:

g i = H i H ;

l = H R;

d i = Ei Ei + xi = d i (1 + m i +1 )(1 + m i ) Переходим также от переменных Ai, Bi, Ci, Di к новым переменным A, Bi, Ci, Di и получаем:

b 2 b blg i - Ai (b ) = Ai e R4 R b 2 b blg i - Bi (b ) = 3 Bi e R R b 2 b - blg Ci ( b ) = C i e R4 R b 2 b - blg Di ( b ) = Di e R3 R (i = 1,2,3… N) (7.13) Горб А.М. Стр. Напряжения и перемещения в безразмерных переменных:

I ( rb ) s ri = b Dri ( b, t ) I 0 ( rb ) - Du i (b, t ) 1 db rb I ( rb ) s q i = b Dq i ( b, t ) I 0 ( rb ) - Du i (b, t ) 1 db rb s zi = b D zi (b, t ) I 0 ( rb )db t rzi = b Dt i (b, t ) I 0 ( rb )db D + mi R Du i ( b, t ) I 1 ( rb )db ui = Ei 1 + mi R Dwi ( b, t ) I 0 ( rb )db wi = (7.14) Ei В результате преобразования формул (7.6) – (7.14) получаем следующие замкнутые системы функциональных уравнений относительно функций Bi (), Di () (i = 1,2…N), B N+1 () и Bi (), Di () (i = 1, 2… N), которые записываются в следующей матричной форме:

b1 ( b ) p ( b ) N 1(1, 2) ( 2, 2 ) D1 (b ) R2 2, 2 ) ( M M 2 2, 2 ) M M ( R3( 2, 2) = (7.15) BN ( b ) M 0 DN (b ) M N2-,1 ) ( RN2, 2) ( p N2+2 ) B N +1 (b ) M N2, 2) ( (, N 1(1, 2) ( 2, 2 ) p( b ) B1 ( b ) R2 2, 2 ) ( M 1 0 D1 (b ) M 2 2, 2 ) ( R3( 2, 2) = (7.16) M M O RN2, 2) BN ( b ) M N2-,1 ) (2 ( G N1, 2) D N ( b ) ( Матрицы N1, Mi, Ri, G N имеют следующий вид:

Горб А.М. Стр. [ ] N 1(1, 2) = - 2 bl (1 - g 1 ) + j1 ( b )j1 ( b )e - bl (1-l1 ) j (b )e - bl (g i -1 - li ) - 2 bl (g i -1 - g i ) + j i (b ) M i( 2, 2) = i - bl ( g i -1 -g i ) (1 - m i )e - (1 - m i ) 2bl (g i -1 - g i ) - j i ( b ) - j i ( b )e - bi (g i -1 -g i ) Ri( 2, 2 ) = - bl ( g i -1 -g i ) - c i -1 (1 - m i ) c i -1 (1 - m i )e [ ] PN 2,1 ) = - c N1 (1 - m N +1 ) ( + [ ] G N1, 2) = (bj N - q (1 - m N )) - blg N - b (-2blg N -1 + j N ) + q(1 - m N ) ( где:

j i = 1 + 2j i ( b );

1+ mN q=2 cR;

EN (1 + m i +1 ) Ei (7.17) ci =.

(1 + m i ) Ei + В случае равномерно распределённой нагрузки интенсивностью q = const по кругу радиусом R трансформант Хенкеля имеет вид:

I (b ) p ( b ) = -q (7.18) b Напряжения в многослойных плитах при несимметричном расположении нагрузки и влияние различных способов соединения плит между собой учитываются путём умножения напряжения или моментов при центральном загружении плиты на переходной коэффициент k’ :

ski = k’ sцki (7.19) где ski - напряжения в плите при несимметричном расположения нагрузки;

k’- переходной коэффициент, определяемый по рис 7.2 в зависимости от наличия и вида стыковых соединений;

при устройстве в плитах со сквозными швами краевого армирования коэффициент k’ принимают как для варианта со стыковыми соединениями;

sцki – напряжения в плите при симметричном (центральном) приложении нагрузки.

Горб А.М. Стр. Рис. 7.2 Варианты двухслойных конструкций плит.

При расчете двухслойных плит должно удовлетворяться условие (1.1) для плит верхнего и нижнего слоев.

Предельный изгибающий момент mu определяют по формуле (3.19), (4.7), (5.13), при этом предельный изгибающий момент в плитах нижнего слоя, вычисленный по этой формуле, следует умножать на поправочный коэффициент km, определяемый по графику (рис. 7.2) в зависимости от толщины верхнего слоя.

Рис. 7.2. График для определения поправочного коэффициента km,.

Горб А.М. Стр. Расчетные изгибающие моменты в плитах верхнего и нижнего слоев двухслойного покрытия md,sup(inf), на единицу ширины сечения плиты определяються по формулам:

- в плитах верхнего слоя с совмещенными швами:

k ' mc, max md,sup = (7.20) B 1 + inf Bsup - в плитах нижнего слоя с совмещенными швами:

md, inf = k’mc, max - md, sup ;

(7.21) - в плитах верхнего слоя с несовмещенными швами:

k1mc,max md,sup = (7.22) B 1 + inf Bsup - в плитах нижнего слоя с несовмещенными швами:

mc,max md,inf = (7.23) Bsup 1+ Binf где:

mc,max - максимальный изгибающий момент, при центральном загружении однослойной плиты жесткостью Binf + Bsup ;

Bsup, Binf - жесткость плит соответственно верхнего и нижнего слоев, отнесенная к единицам ширины их сечений;

- поправочный коэффициент, принимаемый равным:

k' 1,5 - при отсутствии стыковых соединений в верхнем и нижнем слоях;

1,4 - при устройстве стыковых соединений только в нижнем слое;

1,3 - при устройстве стыковых соединений только в верхнем слое;

1,2 - при устройстве стыковых соединений в верхнем и нижнем слоях;

k1 - поправочный коэффициент, учитывающий концентрацию изгибающих моментов в верхнем слое двухслойного покрытия с несовмещёнными швами над краями и углами плит нижнего слоя, принимаемый равным:

1,3 - при отсутствии стыковых соединений в верхнем и нижнем слоях;

Горб А.М. Стр. 1,2 - при устройстве стыковых соединений только в нижнем слое;

1,1 - при устройстве стыковых соединений только в верхнем слое;

1,05 - при устройстве стыковых соединений в верхнем и нижнем слоях или только в верхнем слое;

При усилении существующих плит полов необходимо руководствоваться положениями по расчёту двухслойных плит с несовмещёнными швами.

Горб А.М. Стр. 11. РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ КОНСТРУКЦИЙ БЕТОННЫХ ПОЛОВ С УЧЕТОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НАГРУЗОК ОТ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ГРУЗОПОДЪЁМНОГО ТРАНСПОРТА.

11.1. Динамическое воздействие подвижной нагрузки.

Особенность динамической задачи - необходимость учета сил инерции, являющихся функциями массы многослойных плит и их ускорений. Расчету плит, лежащих на грунтовом основании, на воздействие динамических нагрузок посвящены работы В.Ф. Бабкова, А.П. Синицина, В.А. Киселева, Б.Г. Коренева, Г.И. Глушкова, И.А. Медникова. При динамическом расчете расчетную модель назначают с учетом необходимой точности решения, которая соответствует системе с бесконечным числом степеней свободы. Она приводит к необходимости интегрирования неоднородного дифференциального уравнения в частных производных, так как перемещения точек плиты являются функциями координат и времени:

4w 4w 4w 2w 4 + 2 2 2 + 4 + m 2 - p ( x, y ) = g ( x, y, t ) (8.1) D y x x y t где:

D - цилиндрическая жесткость плиты;

w - прогиб плиты;

х, у - координаты срединной плоскости плиты;

m - масса плиты;

2w m 2 - силы инерции плиты;

t р(х, у) - реактивный отпор основания;

g ( x, y, t ) - нагрузка.

Рассмотрим решение уравнения для случая движения нагрузки, (8.1) распределенной по площади одного прямоугольника, по плите неограниченных размеров при винклеровской модели основания.

Определение усилий в плите при действии нескольких нагрузок может быть произведено с помощью принципа суперпозиции нагрузок. Введем вместо неподвижных координат х и у подвижные и, движущиеся вместе с нагрузкой с Горб А.М. Стр. постоянной скоростью v (рис. 8.1). Тогда получим:

x = x - vxt ;

h = y - v y t (8.2) где: vx, vy - проекции скорости на оси координат х и у;

t - время.

Произведя замену х и у в уравнении (8.1) на и, получим:

4w 4w 2w 2 2w 4w 2w D 4 + 2 2 2 + + m 2 v x + 2 v x v y + v y + cw = p (x ;

h ) (8.3) x h 4 x xh x h h Рис. 8.1. Расчётная схема для определения динамического воздействия подвижной нагрузки.

Согласно этому методу известно, что если (х, у) и ее частные производные есть непрерывные функции, равные нулю в бесконечности, то для трансформанта Фурье j ( x, y)e i (ax + b y ) E j (a, b ) = (8.4) dxdy 2p - - существует обратное преобразование:

Ej a b e - i (ax + b y ) j ( x, y ) = da db (8.5) 2p (,) - ei (ax + by ) и, интегрируя по всей плоскости, Уравнение (8.3) умножаем на 2p получаем:

D (a 2 + b 2 ) E (a, b ) - m(v xa + v y b ) 2 E (a, b ) + cE (a, b ) = E p (a, b ) (8.6) Откуда:

Горб А.М. Стр. E p (a, b ) da db E (a, b ) = (8.7) c - m(v xa + v y b ) 2 + D (a 2 + b 2 ) Используя выражение (8.5) получаем:

E p (a, b ) e -i (ax + bh ) c - m (v a + v dadb = (8.8) wx,h 2p b ) 2 + D(a 2 + b 2 ) - - x y Если принять, что vy = 0 - нормальный режим движения транспортного средства (- vx = v), а p(;

) соответствует нагрузке, равномерно распределенной по прямоугольнику со сторонами 2а и 2b с интенсивностью q, то после ряда преобразований получим выражения для прогибов плиты и изгибающих моментов:

cos ax cos bh sin aa sin b bdb 4q ab [c - mv a = ] w(x,h ) p + D (a 2 + b 2 ) 4qD (a 2 + b 2 m ) sin aa sin b b cos ax cos bhdadb p Mx = [ ] (8.9) ab c - mv 2a 2 + D(a 2 + b 2 ) 4qD ( ma 2 + b 2 ) sin aa sin b b cos ax cos bhdadb Mh = [ ] p 00 ab c - mv 2a 2 + D (a 2 + b 2 ) С целью получения решения для движущейся сосредоточенной силы Р необходимо принять условия а 0, b 0, 4abq = Р. После ряда преобразований получим:

cos ax cos bhdadb P c - mv a w(x,h ) = p2 + D(a 2 + b 2 ) PD (a 2 + mb 2 ) cos ax cos bhdadb Mx = 2 (8.10) p 0 0 c - mv 2a 2 + D (a 2 + b 2 ) PD ( ma 2 + b 2 ) cos ax cos bhdadb p 2 c - mv 2a 2 + D(a 2 + b 2 ) Mh = На основании полученных выражений можно вычислить динамические коэффициенты как отношение моментов или прогибов плиты пола при динамической и статической нагрузках (статические моменты и прогибы вычисляются по формулам (8.9), (8.10), при условии, что v = 0).

Для многих практических задач можно удовлетвориться приближенным решением, рассматривая плиту как систему с несколькими степенями свободы.

Горб А.М. Стр. Наиболее простой моделью для приближенного решения динамической задачи будет система с одной степенью свободы, которая дает приемлемую точность.

Дифференциальное уравнение движения для системы с одной степенью свободы имеет вид:

d 2w dw + kФ + kw = P(t ) (8.11) MП dt dt где:

Мп - приведенная масса плиты;

w - прогиб плиты;

- коэффициент жесткости плиты;

k Ф - модуль затухания;

P(t) - подвижная нагрузка.

Приведенную массу плиты с присоединенной массой грунта определим из условия, что кинетическая энергия системы, состоящей из плиты с присоединенной массой основания, равняется кинетической энергии сосредоточенной массы, расположенной в заданной точке. Примем условие, что при колебаниях, сохраняется одна и та же форма упругой поверхности плиты. Уравнение поверхности выразим так:

w( x, y ) = wmax j ( x, y ) sin p(t - a ) (8.12) где:

w(x, y) - прогиб в произвольной точке с координатами х и у;

wmax - максимальный прогиб;

- угол, определяемый начальными условиями.

Условие равенства кинетической энергии плиты с присоединенной массой основания кинетической энергии сосредоточенной массы запишем следующим образом:

U пл + U осн = U пр (8.13) где:

Uпл - кинетическая энергия плиты с распределенной массой;

Uосн - кинетическая энергия присоединенного грунтового основания;

Uпр - кинетическая энергия приведенной сосредоточенной массы.

Выражения для определения Uпл, Uосн, Uпр имеют вид:

Горб А.М. Стр. ll = l п h( w) 2 dxdy U пл lll 1 z = l r h( w ) 2 dxdydz (8.14) U осн 2000 h M п ( w) U пр = где:

- длина плиты (для бесконечных плит - диаметр чаши прогиба при l деформации плиты);

lп - масса плиты, отнесенная к единице объема;

lr - масса единицы объема грунтового основания;

h - толщина плиты;

hо - глубина деформируемого слоя;

- ордината точки, расположенной на произвольной глубине.

z Подставляя выражение (8.14) в равенство (8.13), для упрощения заменяя прямоугольные координаты полярными и производя необходимые преобразования, получаем:

p 2R p / 2 R h 4l [2 f 0 (x )] rdrdj + h 2 [2 f 0 (x )] z dzdrdj M п = 4l п h 2 (8.15) 00 0 D Обозначив R = 3,8, l = и через f0 () – функцию Бесселя, окончательно c получим:

M п = 3,76l 2 l п h + l0 h0 (8.16) Коэффициент жесткости плиты k выражает усилие, необходимое для создания единичного перемещения. Он может быть выражен величиной, обратной прогибу плиты:

k = 2,4 cEб h 3 (8.17) где: с - коэффициент постели грунта;

Еб - модуль упругости бетона;

h - толщина плиты.

Модуль затухания Ф характеризует влияние неупругих сопротивлений грунта и определяется опытным путем (значение Ф меняется от 0,003 до 0,010 в зависимости Горб А.М. Стр. от вида грунтов). Чтобы определить нагрузку P(t) переменную во времени, воспользуемся методом приведенных сил. Для этого быстро перемещающуюся по плите нагрузку заменим одной неподвижной силой в центре приведения, но меняющей свое значение во времени. Закон изменения приведенной силы во времени определим из условия, что статическое перемещение центра приведения в любое мгновение от любой силы при её фактическом для данного мгновения положения на плите равняется перемещению такого же центра от приведенной силы с соответственно подобранным значением. Принимая значение прогиба центра плиты при любом расположении нагрузки в виде одной полуволны синусоиды, получим:

P(t ) = P sin mt (8.18) m = pv / l где m - частота вынужденных колебаний плиты заданной жёсткости;

v - скорость движения нагрузки;

l - то же, что и в формуле (8.14).

При расчетах конструкций плит учитывают максимальные значения прогибов и усилий, то есть начало колебательного процесса, а не конец. Поэтому при выполнении практических расчетов влияние неупругих сопротивлений грунта можно не учитывать. С учетом такого допущения интеграл дифференциального уравнения (8.11) может быть определен следующими формулами:

при mt1 (нагрузка движется по плите):

P w = wст ( p sin mt - m sin pt ) max (8.19) p - m при mt1 (нагрузка сошла с плиты):

{[ p sin mt - m sin pt ] + [ p sin m(t - t1 ) - m sin p(t - t1 )]} P w = wст max (8.20) p - m где:

k p= - частота собственных колебаний плиты;

MП P wст = - прогиб плиты при статической нагрузке Р.

max p MП Горб А.М. Стр. По формулам (8.19) и (8.20) можно определить коэффициент динамичности как отношение прогибов покрытий при динамической и статической нагрузках.

Формулы для коэффициентов динамичности в зависимости от = р/m, т. е. от соотношения частот собственных р и вынужденных m колебаний, а также характера колебаний плиты будут следующие:

свободные колебания 1:

2b bp kД = cos 1- b вынужденные колебания = 1:

kД = p 2 (8.21) вынужденные колебания = 1 3:

b 2p kД = sin b -1 b + вынужденные колебания 3:

b kД = b - Для практических расчетов с достаточной точностью можно применять решения для системы и с одной степенью свободы. Суммарное воздействие подвижной нагрузки будет определяться коэффициентом динамичности.



Pages:     | 1 || 3 |
 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.