авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Елена анатольевна двумерные модели течения магмы в канале вулкана с учетом сжимаемости и тепловых эффектов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. M.В.Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 532.517:536.24

Веденеева Елена Анатольевна

ДВУМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЯ

МАГМЫ В КАНАЛЕ ВУЛКАНА С УЧЕТОМ

СЖИМАЕМОСТИ И ТЕПЛОВЫХ ЭФФЕКТОВ

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007 г.

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета и в лаборатории общей гидромеханики НИИ механики МГУ имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор А.А. Бармин член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук О.Э. Мельник

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.Б. Ватажин кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.И. Сахаров

Ведущая организация: Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва

Защита состоится 19 октября 2007 г. в 16 часов 20 минут на заседании дис сертационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном уни верситете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механико-ма тематического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан « » сентября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.89, доктор физико-математических наук А.Н. Осипцов 1.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вулканические извержения относятся к наибо лее разрушительным природным катастрофам, нередко сопровождающим ся большим числом человеческих жертв, и несомненно требуют изучения.

Работы по математическому моделированию вулканических изверже ний ведутся на протяжении несколько десятков лет. Тем не менее, в боль шинстве работ, посвященных моделированию течения магмы в канале вул кана, течение рассматривается как одномерное и, часто, как изотермиче ское. Актуальность работы связана с необходимостью более детального описания процессов, происходящих в поперечном сечении канала вулкана и влияющих на динамику вулканических извержений в целом. Такое ис следование важно также для интерпретации данных полевых наблюдений.

Цель работы.

• Построение двумерных моделей течения магмы в канале вулкана с учетом сжимаемости и тепловых эффектов.

• Изучение особенностей течения, связанных с тем, что плотность и вязкость магмы зависят от температуры и давления существенно нелинейным образом.

• Получение оценок максимально возможного расхода магмы.

• Выявление диапазонов применимости одномерных моделей путем сравнения результатов расчетов по двумерным и одномерным моде лям.

• Объяснение данных полевых наблюдений на активных вулканах.

Научная новизна.

• Построены квазидвумерная и полностью двумерная осесимметрич ные стационарные модели течения магмы в канале вулкана с учетом сжимаемости и тепловых эффектов.

• Показано, что за счет влияния вязкой диссипации существенно изме няется сопротивление канала вулкана по сравнению с вычисляемым по одномерным моделям: 1) в одномерных моделях сопротивление канала сильно завышено, 2) в случае больших расходов, по мере при ближения магмы к поверхности, сопротивление канала падает за счет сильного разогрева магмы в пристеночной области, а не растет, как в рамках одномерных моделей.

• Решена краевая задача определения расхода магмы в зависимости от давлений, заданных на входе и выходе из канала. Максимальный расход магмы при извержении может в несколько раз превышать по лученный в рамках одномерной изотермической модели.

• Установлено, что при моделировании эксплозивных (взрывных) из вержений перед фрагментацией не наблюдается резкого увеличения градиента давления, и, таким образом, критерии фрагментации, ис пользующие это предположение, нуждаются в пересмотре.

• Выявленное резкое увеличение температуры в пристеночной области позволяет объяснить наличие различных типов вулканических пемз, возникающих в процессе одного извержения.

• В рамках двумерной модели для реальных свойств магмы не обнару жено возникновения вторичных течений, возможность существова ния которых для модельных условий была показана ранее в литера туре. Получено хорошее совпадение результатов расчетов по полной двумерной и квазидвумерной моделям.

• Учет сжимаемости магмы в рамках двумерной модели в случае изо термического течения и течения с постоянной вязкостью показал, что в этих случаях профиль скорости остается близким к параболиче скому и для вычисления сопротивления канала можно использовать формулу Пуазейля, хотя формально она неприменима.

Научная и практическая ценность. Результаты работы, в том чис ле разработанные и реализованные эффективные численные алгоритмы для расчета течения по обеим моделям, могут быть использованы при ма тематическом моделировании вулканических извержений. Кроме того, они могут быть применены при моделировании течений жидкостей, с суще ственно меняющейся вязкостью, в трубах.

Достоверность результатов обусловлена: применением фундамен тальных уравнений гидродинамики при построении математических моде лей;

методами численного решения поставленных задач, основанными на надежных алгоритмах, успешно применявшихся ранее при исследовании течений вязких жидкостей;

хорошим совпадением результатов расчетов и аналитических решений для модельных задач;

согласованностью результа тов расчетов по квазидвумерной и двумерной моделям течения;

качествен ным соответствием полученных результатов данным полевых наблюдений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре под руководством академика РАН А.Г. Куликов ского, проф. А.А. Бармина и проф. В.П. Карликова, на конференциях — конкурсах молодых ученых НИИ механики МГУ (Москва, 2003, 2005, гг.), заседаниях Американского Геофизического Общества (США, Сан Франциско, 2001, 2006 гг.), первой Генеральной Ассамблее Европейского Общества Наук о Земле (Ницца, Франция, 2004 г.), конференции «Ломо носовские чтения» (Москва, МГУ, 2004 г.), XII школе-семинаре «Совре менные проблемы аэрогидродинамики» (Сочи, 2004 г.), Генеральной Ас самблее Международной Ассоциации Вулканологии и Химии Недр Земли (Чили, Пукон, 2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в три надцати работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 50 рисунков, 1 таблица и 87 библиографических ссылок. Общий объем работы состав ляет 212 страниц.

2. Содержание работы Введение Во введении изложены современные представления о вулканических из вержениях, приведены характерные параметры вулканических систем, по яснена используемая в вулканологии терминология. Приводится краткий обзор литературы, касающейся двумерных течений жидкостей с перемен ной вязкостью и обзор существующих моделей вулканических извержений, учитывающих двумерность и неизотермичность течения магмы в канале. В конце приведена физическая постановка рассматриваемой задачи, изложе на структура диссертации, перечислены основные исследуемые вопросы.

Первая глава Первая глава посвящена математической постановке задачи.

В разделах 1.1 — 1.4 приведена полная модель течения магмы в кана ле: определена геометрия рассматриваемой области;

выписаны дифферен циальные уравнения, описывающие течение;

приводятся и обсуждаются формулы, задающие уравнение состояния магмы, ее внутреннюю энергию и вязкость;

выписаны граничные условия;

проведено обезразмеривание.

Рассматривается стационарное двумерное осесимметричное течение маг мы в круглом цилиндрическом канале. Движение происходит за счет пе репада давления между входом и выходом из канала, на магму действует сила тяжести. Магма представляет собой вязкую теплопроводную много компонентную жидкость, состоящую из расплава, газа, растворенного в расплаве, и пузырьков газа, наличие которых делает ее сжимаемой. Вяз кость магмы существенно нелинейным образом зависит от температуры и концентрации растворенного в расплаве газа. Температура изменяется за счет процессов вязкой диссипации и теплопроводности. Относительным движением фаз пренебрегается, температуры фаз считаются равными вви ду интенсивного теплообмена.

Полная система уравнений, описывающая такое течение, состоит из уравнения неразрывности, уравнений Навье-Стокса и уравнения притока тепла. В безразмерной форме в цилиндрических координатах она имеет вид 1 (rw) + (v) = r r z 1 Eu p (rw2 ) + (wv) = + ( div v) + r r z 2 r Re r 2 1 w 21 1 v w + rµ µw + µ + Re r Re r r r Re z r z 1 Eu p 1 1 v w (v 2 ) = (rwv) + + rµ + + r r z 2 z Re r r r z 1 v + div v + 2 µ F r Re z z (1) 1 EuEc Ec (ve) = (rwe) + p div v + (div v) + r r z 2 Re 2 2 w Ec w v v w + µ2 +2 +2 + + + r Re r z r z 1 1 T 1 T + r + P e r r r P e z z 1 v = µ div v = (rw) +, r r z 0 v0 R p0 v0 v0 0 v0 R cV, F r =, Ec = Re =, Eu =, Pe = 2 / µ0 0 v0 cV 0 T0 gR Оси r и z направлены по радиусу канала и вдоль его оси, r [0;

1], z [0;

L], где L — длина канала;

w и v — радиальная и продольная со ставляющие скорости;

, p, µ, e и T — плотность, давление, динамическая вязкость, плотность внутренней энергии и приращение температуры маг мы относительно заданной на входе в канал;

Re, Eu, F r, Ec, P e — числа Рейнольдса, Эйлера, Фруда, Эккерта и Пекле. Для получения безразмер ных уравнений в качестве основных размерных величин выбраны: R — радиус канала, v0 — характерная скорость течения магмы, 0 — истинная плотность расплава, p0 — гидростатическое давление на входе в канал при отсутствии в магме пузырьков с газом, T0 — температура магмы на вхо де в канал, которая считается постоянной во всем сечении, µ0 — вязкость магмы, отвечающая давлению p0 и температуре T0, cV 0 — удельная теп лоемкость расплава. В выражения для безразмерных параметров также входят: g — ускорение силы тяжести, — коэффициент теплопроводности магмы.

Для несжимаемой магмы 1. При учете сжимаемости уравнение состояния магмы имеет вид (Jaupart C., Tait S. Reviews in Mineralogy and Geochemistry. 1990. V. 24.) 1 cmax g = (1 ) m + g, =1 + (2) cmax c m где — объемная доля пузырьков в единице объема, занятого магмой, m и g — истинные плотности расплава и газа в пузырьках, c и cmax — массовая доля растворенного газа в расплаве и она же при отсутствии в магме пузырьков, то есть при = 0.

Расплав считается несжимаемым, газ в пузырьках — совершенным;

для вычисления массовой концентрации растворенного в расплаве газа исполь зуется равновесный закон растворимости p p m 1, g = g 0, g 0 = T +1 0 R g T 0 (3) c = min (c0 p, cmax ), c0 = Cf p где Rg — газовая постоянная, Cf — коэффициент растворимости газа в магме.

Внутренняя энергия сжимаемой магмы определяется формулой e = m (1 ) cV m + g cV g (T + 1), cV m = 1 (4) где cV m и cV g — удельные теплоемкости расплава и газа в пузырьках при постоянном объеме, которые считаются постоянными. Это выражение сво дится к e = (p)(T + 1), для несжимаемой магмы (p) 1.

Для вязкости магмы используется эмпирическая формула (Hess K.U., Dingwell D.B. Amer. Mineralogist. 1996. V. 81. N. 7.), в соответствии с ко торой вязкость зависит от температуры магмы и концентрации раство ренного газа в расплаве. Для характерного диапазона изменения своих аргументов вязкость может меняться на несколько порядков (рис. 1).

Рис. 1. Зависимость вязкости µ(c, T )|T =const (а) при температуре магмы T = 0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 (кривые 1 — 6, соответственно) и зависимость µ(c, T )|c=const (б ) для массовой концентрации растворенного газа в расплаве c = 0.01, 0.03, 0.05 (кривые 1 — 3 ).

Для такой задачи ставятся следующие граничные условия v(r, 0) = 2 va0 1 r2, z=0: w(r, 0) = 0, T (r, 0) = (r, 0) 1 r2 rdr va0 = Qm · v p T r=0: w(0, z) = 0, (0, z) = 0, (0, z) = 0, (0, z) = r r r (5) T r=1: w(1, z) = 0, v(1, z) = 0, T (1, z) = 0 или (1, z) = r 2 v p z=L: w(r, L) = 0, ( + 2µ) (r, L) = pout EuRe z T (r, L) = z Поясним, что на выходе из канала (z = L) в качестве граничного усло вия задается значение нормальной компоненты вектора напряжений, кото рое преобразовано с учетом условия для радиальной компоненты скорости;

в приближении несжимаемой магмы оно сводится к p = pout.

В разделе 1.5 приводится квазидвумерная (упрощенная) модель тече ния магмы. В предположении, что длина канала много больше его радиуса, а течение достаточно медленное: = 1/L 1, Re 1/ = L, что для ре альных вулканов выполнено, система уравнений (1) в первом приближении по малому параметру имеет вид 1 (rw) + (v) = r r z dp 2 1 v p(r, z) = p(z), = rµ (6) EuF r dz EuRe r r r 1 EuEc (ve) = (rwe) + p div v + r r z Ec v 1 1 T + µ + r Re r P e r r r Граничными условиями для (6) являются условия на входе, оси и стенке канала для w, v, T из (5), условия на выходе для этих величин не нужны.

Давление p = p(z) задается либо на входе в канал p(0) = pin, либо на выходе из него p(L) = pout.

Вторая глава В этой главе изложен численный метод решения задачи в квазидвумер ной постановке (6).

В разделах 2.1 — 2.5 излагается алгоритм численного метода на при мере случая, когда магма считается несжимаемой жидкостью, а давление задается на входе в канал. Задача решается конечно-разностным методом.

Производные аппроксимируются с первым порядком точности. Метод ре шения основан на том, что в системе (6) отсутствуют члены, содержащие вторые производные по z. Разностные уравнения, соответствующие (6), можно решать отдельно в каждом слое z = zi, где величины zi задают разбиение вдоль оси канала, если решение на предыдущем слое z = zi известно. Поэтому, двигаясь последовательно от слоя к слою, начиная с нулевого слоя в начале канала, где решение задано, можно построить ре шение во всем канале.

В разделе 2.6 обсуждается обобщение алгоритма решения задачи на случаи давления, заданного на выходе из канала, и сжимаемой магмы. В разделе 2.7 описываются используемые методы контроля достоверности получаемых численно результатов.

Третья глава В этой главе на основе квазидвумерной модели (6) рассмотрены раз личные варианты постановки задачи о течении магмы в канале, приведены результаты расчетов, дана их физическая интерпретация.

В разделах 3.1 — 3.2 изложена структура главы и приведены зна чения параметров задачи, для которых выполнены расчеты. Характерные значения размерных величин следующие R = 25 м, L = 5000 м, v0 = 1.0 м/с 0 = 2500 кг/м, T0 = 1123 К, p0 = 132.5 МПа, µ0 = 3.19 · 104 Па с cV 0 = 1200 Дж/(кг К), cVg = 1560 Дж/(кг К), Rg = 462 Дж/(кг К) Cf = 4.1 · 106 Па1/2, g = 9.8 м/с2, cmax = 0.05, = 0.8 Дж/(м с К) где через L и cVg обозначены размерные значения соответствующих без размерных параметров. Кроме того, для решения задачи должны быть заданы две из трех величин: Qm, pin, pout, но значения этих параметров для разных расчетов разные и приводятся отдельно в каждом случае.

В разделе 3.3 рассматриваются случаи экструзивного и эксплозивного типов извержений, характерных для сильновязких магм;

решается крае вая задача определения расхода магмы по заданному давлению на входе и выходе из канала. Магма считается несжимаемой жидкостью.

При экструзивных извержениях магма представляет собой пузырько вую жидкость, при эксплозивных извержениях при достижении некоторых критических условий происходит фрагментация жидкой магмы с образова нием газовзвеси. Эксплозивные извержения характерны для больших рас ходов магмы.

Экструзивные извержения полностью описываются в рамках квазидву мерной модели (6). В случае эксплозивных извержений модель (6) опи сывает течение только в той части канала, где магма представляет собой жидкость, и дополняется в области течения газовзвеси одномерной (рас сматриваются только средние по сечениям z = const характеристики те чения) изотермической моделью. Отметим, что длина зоны газовзвеси за ранее неизвестна и определяется из решения задачи о течении магмы во всем канале целиком.

Структура течения в обоих случаях в зоне течения пузырьковой жид кости одинакова. Для случая экструзивных извержений с Qm = 125.6 и pout = 0.075 распределения вертикальной компоненты скорости, темпе ратуры и вязкости приведены на рис. 2 и 3;

радиальная составляющая скорости не превосходит 6 · 102 практически во всей области течения за исключением начального отрезка канала порядка L/10.

Рис. 2. Распределения вертикальной компоненты скорости v(r, z) по сечени ям канала: z = 0, L/100, L/50, L/20, L/4, L (кривые 1 —6 ) во всем сечении (а) и в пристеночной области (б ).

Рис. 3. Распределения температуры T (r, z) (а) и вязкости µ(r, z) (б ) в обла сти около стенки канала в сечениях: z = 0, L/100, L/4, L (кривые 1 —4 ).

В процессе подъема магмы по каналу, по мере ее приближения к поверх ности, параболический профиль, заданный на входе в канал, становится практически прямоугольным;

в области около стенки канала образуется зона с резким изменением скорости (рис. 2). Это связано с существенным изменением вязкости магмы поперек канала за счет тепловых эффектов (рис. 3).

Изменение вязкости происходит за счет двух конкурирующих процес сов. С одной стороны, при подъеме магмы по каналу на поверхность дав ление в ней падает, и, соответственно, уменьшается концентрация раство ренного в магме газа, а ее вязкость увеличивается (рис. 1(а)). С другой стороны, за счет вязкого трения происходит выделение тепла. Наиболее интенсивно этот процесс происходит около стенки канала, где велики гра диенты скорости вследствие выполнения условия прилипания (5) (рис. 2).

За счет теплопроводности тепло передается от пристеночной области к центральной части канала, но для рассматриваемых значений параметров потоки тепла невелики. Таким образом, около стенки канала образуется узкий разогретый слой жидкости, который по мере приближения магмы к поверхности незначительно расширяется, при этом температура в нем растет (рис. 3(а)). За счет роста температуры вязкость жидкости умень шается (рис. 1(б )), около стенки образуется «смазочный» слой жидкости с малой вязкостью (рис. 3(б )).

Обнаруженные сильно разогретые слои магмы в узкой зоне около стен ки канала объясняют одновременное образование во время одного и того же извержения разных типов пемз, часть из которых имеет признаки силь ного разогрева и деформаций (Rosi M., Landi P., Polacci M., Di Muro A., Zandomeneghi D. Bull. Volcanology. 2004. V. 66. N. 4.;

Polacci M., Papale P., Rosi M. Bull. Volcanology. 2001. V. 63. N. 2-3.).

В приближении несжимаемой магмы также решена краевая задача опре деления ее расхода Qm по заданному давлению на входе pin и выходе pout из канала для случаев экструзивного и эксплозивного извержений, позволяю щая оценить максимально возможную интенсивность извержения в рамках рассматриваемой модели. Значение давления pout для экструзивных извер жений определяется весом лавового купола, его характерное значение — МПа (0.075 в безразмерных переменных);

для эксплозивных извержений — оно либо равно атмосферному, либо определяется из условия запирания канала. Давление pin ограничено прочностью горных пород, образующих стенки канала вулкана: оно не может превосходить литостатическое боль ше, чем на 20 — 30 МПа (0.16 — 0.24 в безразмерных переменных).

Течение магмы в канале вулкана в большинстве существующих моделей описывается одномерными теориями и, как правило, считается изотерми ческим. Сопротивление канала при этом вычисляется как для течения с постоянной вязкостью — течения Пуазейля (предполагая при этом, что профиль скорости параболический). Полученные результаты сравнивают ся с результатами расчетов по одномерной модели.

В случае экструзивных извержений для малых избыточных (относи тельно гидростатического) давлений pin на входе в канал зависимости Qm (pin ), полученные в рамках квазидвумерной и одномерной изотерми ческой моделей, практически совпадают (рис. 4(а)). При увеличении pin в рамках квазидвумерной модели реализуются течения с бльшими расхода о ми, чем в одномерной изотермической. По квазидвумерной модели зависи мость Qm (pin ) неоднозначна: существуют давления pin, которым отвечают два значения расхода Q1 и Q2.

m m Рис. 4. Моделирование экструзивных извержений. Зависимость расхода маг мы Qm от давления на входе в канал pin (а) при фиксированном давлении на выходе для изотермического и адиабатического условий на стенке (кривые 1, 2 ). По одномерной изотермической модели расход Q0 и по квазидвумерной m модели расходы Q1 и Q2 отвечают одинаковому давлению pin. Изменение m m сопротивления канала rz (1, z) (б ) для расходов Q1 и Q2 (кривые 1, 2 ). Кри m m вые 3 — те же зависимости для одномерной изотермической модели, график rz (1, z) (б ) отвечает расходу Qm.

Для малых расходов процессы диссипативного выделения тепла сла бые, течение близко к изотермическому. Сопротивление канала — компо v нента тензора вязких напряжений rz на стенке канала rz |r=1 = µ r r= за счет влияния вязкой диссипации практически не меняется. Изменение сопротивления обусловлено ростом вязкости магмы за счет снижения дав ления (рис. 1(а)) по мере приближения магмы к поверхности (рис. 4(б )).

Поэтому для малых расходов зависимости Qm (pin ), полученные в рамках квазидвумерной и одномерной изотермической моделей, практически сов падают (рис. 4(а)). Для больших расходов магмы влияние вязкой дисси пации на сопротивление играет ведущую роль: за счет образования око ло стенки канала прогретой «смазочной» зоны с малой вязкостью по ме ре приближения магмы к поверхности сопротивление канала падает, а не растет как для малых расходов (рис. 4(б )). Поэтому при одинаковых зна чениях давления на входе pin и выходе pout из канала возможно течение магмы и с малым Q1, и с гораздо бльшим Q2 расходами (рис. 4(а)).

о m m Неоднозначность зависимости Qm (pin ) в случае эксплозивных извер жений исчезает (рис. 5(а)). Решение, когда магма практически не разо гревается в пристеночной зоне, отсутствует. В зоне течения пузырьковой жидкости влияние вязкой диссипации играет ведущую роль для всего диа пазона изменения давлений на входе в канал pin и всего соответствующего Рис. 5. Моделирование эксплозивных извержений. Зависимость расхода маг мы Qm от давления на входе в канал pin (а) при фиксированном давлении на выходе для изотермического и адиабатического условий на стенке (кривые 1, 2 ). Кривая 3 — та же зависимость, полученная для одномерной изотер мической модели. По квазидвумерной модели расход Q3 отвечает давлению m p3 ;

по одномерной изотермической — давлению p4 p3, а давлению p in in in in соответствует расход Q4 Q3. Зависимость давления p(z) (б ) для расхода m m Q3 (p3 ) (кривая 1 ) и эта же зависимость для одномерной изотермической m in модели для Q4 (p3 ) и Q3 (p4 ) (кривые 2, 3 ). Вертикальные пунктирные m in m in прямые (б ) соответствуют фрагментации магмы.

диапазона изменения расходов Qm.

Падение давления вдоль канала в зоне течения пузырьковой жидко сти обусловлено действием силы сопротивления канала и силы тяжести, в зоне газовзвеси — только силой тяжести, так как сопротивление стенок канала в этой зоне пренебрежимо мало. Для малых расходов Qm зона те чения пузырьковой жидкости занимает малую часть канала, поэтому для таких расходов давление на входе в канал pin при эксплозивных изверже ниях существенно меньше, чем при экструзивных (см. рис. 4(а) и 5(а)). C увеличением расхода длина зоны газовзвеси уменьшается практически до нуля, пузырьковая жидкость занимает почти весь канал.

За счет падения сопротивления в рамках квазидвумерной модели в зоне течения пузырьковой жидкости перед фрагментацией не наблюда ется сильного увеличения градиента давления — такого как в одномерной изотермической модели (рис. 5(б )).

В разделе 3.4 приведены расчеты по квазидвумерной модели (6) с уче том сжимаемости магмы в случае, когда весь канал заполнен пузырьковой жидкостью.

Распределения вертикальной компоненты скорости, температуры, плот ности и давления для Qm = 2.5 и pout = 0.063 приведены на рис. 6, 7, 8(а);

радиальная компонента скорости w(r, z) во всем канале не превосходит 2.5 · 103.

Рис. 6. Распределения скорости v(r, z) (а) и температуры T (r, z) (б ) по се чениям канала z = 0, L/4, L/2, (3/4)L, L (кривые 1 — 5 ) в пристеночной области. Для сравнения приведены эти же распределения по сечениям z = 0, (3/4)L, L (кривые 6 — 8 ), полученные в рамках квазидвумерной модели без учета сжимаемости магмы.

Рис. 7. Изменение плотности магмы на стенке канала (1, z) и это же распре деление, полученное в рамках одномерной изотермической модели (а, кри вые 1 и 2 ). Изменения плотности магмы относительно значения на стенке:

(r, z) = (r, z) (1, z) в пристеночной области канала при z = 0, L/10, L/4, L/2, (3/4)L, L (б, кривые 1 — 6 ).

Рис. 8. Изменение давления p(z) (а) и сопротивления канала rz (1, z) (б ) (кривые 1 ). Для сравнения приведены эти же распределения, полученные в рамках одномерной изотермической модели и квазидвумерной модели без учета сжимаемости магмы (кривые 2 и 3, соответственно).

Падение давления по мере продвижения магмы к поверхности, с одной стороны, вызывает падение плотности магмы вдоль канала (рис. 7(а)) и, в силу закона сохранения массы, приводит к увеличению средней скорости течения по сечениям z = const (рис. 6(а)). С другой стороны, оно ведет к росту вязкости магмы (рис. 1(а)).

Изменение градиента давления вдоль канала (рис. 8(а)) обусловлено изменением сопротивления стенки (рис. 8(б )) и снижением веса магмы (за счет снижения ее плотности — рис. 7(а)), которое ведет к уменьшению его абсолютного значения.

Рост средней скорости течения при подъеме магмы на поверхность, если считать, что профиль скорости параболический или близкий к нему, и рост вязкости магмы за счет падения давления приводят к росту сопротивле ния канала. Последний, в свою очередь, вызывает увеличение абсолютного значения градиента давления.

В одномерной изотермической модели при учете сжимаемости магмы имеет место влияние всех вышеперечисленных процессов и только их.

В рамках квазидвумерной модели с учетом сжимаемости магмы (6) па дение плотности магмы вдоль канала, кроме того, вызывает незначитель ное понижение температуры в центральной части канала (рис. 6(б )).

Так же, как и в случае несжимаемой магмы, при учете сжимаемости в квазидвумерной модели вблизи стенки канала формируется разогретый (рис. 6(б )) «смазочный» слой жидкости с малой вязкостью, что приводит к схожей перестройке течения. В случае сжимаемой магмы за счет роста средней скорости течения при подъеме магмы по каналу, влияние вязкой диссипации усиливается (рис. 6, 8(б )).

Падение температуры в центральной части канала (за счет снижения плотности) и ее рост около стенки (за счет влияния вязкой диссипации) вызывают изменение плотности магмы в поперечных сечениях z = const (рис. 7(б )), которое приводит к дополнительному росту температуры в области около стенки канала.

Падение плотности магмы вдоль канала и еще большее снижение сопро тивления канала по сравнению со случаем несжимаемой магмы (рис. 8(б )), приводят к снижению абсолютного значения градиента давления и по срав нению с одномерной изотермической моделью, и по сравнению с квазидву мерной моделью без учета сжимаемости магмы (рис. 8(а)).

В разделе 3.5 приведено развитие квазидвумерной модели экструзив ных извержений на случай, когда существенно наличие в магме кристал лов. Магма моделируется несжимаемой жидкостью с вязкостью, зависящей от объемной доли кристаллов, которая, в свою очередь, считается линей ной функцией температуры. Показано, что в этом случае в одномерной изотермической модели сопротивление канала также завышено.

В разделе 3.6 приведены выводы к третьей главе.

Четвертая глава В этой главе последовательно изложен численный метод решения зада чи в полной двумерной постановке. Приведены результаты тестовых расче тов и описаны используемые методы контроля достоверности получаемых результатов.

Задача решалась методом контрольного объема, для решения дискрет ных аналогов уравнений использовался алгоритм SIMPLER (Patankar S.

Numerical heat transfer and fluid flow. New York: Hemisphere Publishing Corporation. 1980.). При построении решения учитывались особенности рассматриваемого течения: геометрия расчетной области (характерное зна чение отношения длины канала к его радиусу — 200);

сильно меняющаяся вязкость, зависящая от давления и температуры;

формирование вблизи стенки канала очень узкого слоя жидкости с высокой температурой, вяз кость в котором меняется более чем на два порядка.

Тестирование численной схемы осуществлялось на течениях несжима емой жидкости в предположении, что радиальная компонента скорости отсутствует. Рассматривались случаи постоянной вязкости (течение Пуа зейля) и вязкости, заданной в виде функции от координат, при которой задача имеет аналитическое решение. Для контроля достоверности полу чаемых результатов, проверялось выполнение интегральных законов со хранения для объемов, представляющих собой канал неполной длины.

Пятая глава В этой главе в полной двумерной постановке (основанной на решении полных двумерных уравнений Навье-Стокса совместно с уравнением энер гии (1)) рассмотрены две модели течения магмы в канале: с учетом и без учета ее сжимаемости. Приведены результаты расчетов, дана физическая интерпретация полученных результатов. Обсуждается применимость од номерной и квазидвумерной моделей течения.

В разделах 5.1 — 5.2 изложена структура главы и приведены значе ния параметров задачи, для которых выполнены расчеты.

В разделе 5.3 рассматривается модель течения в случае, когда магма считается несжимаемой жидкостью с вязкостью, зависящей от температу ры и концентрации растворенного в расплаве газа (рис. 1).

Такая постановка задачи соответствует рассмотренной в разделе 3.3, где для описания течения используется квазидвумерная модель. В разделе 3.3 получено качественное объяснение образования разных типов вулка нических пемз во время одного и того же извержения, но доля разогре той магмы оказалась много меньше, а ее температура — выше, чем ре ально наблюдаемые, что можно объяснить тем, что в действительности, по-видимому, под действием некоторых факторов вблизи стенки происхо дит перемешивание магмы. Анализ устойчивости решения задачи о тече нии магмы в трещине под действием силы тяжести в схожей упрощенной постановке и расчет по полным уравнениям показали, что для модельных свойств магмы в области около стенки канала могут возникать вторичные течения (Costa A., Macedonio G. J. Fluid Mech. 2005. V. 540.). Поэтому возникло предположение о возможности появления вторичных течений и в исследуемой задаче (когда движение происходит за счет перепада дав ления между входом и выходом из канала, канал моделируется круглым цилиндром с размерами, характерными для вулканов;

для вязкости магмы используется эмпирическая, а не модельная зависимость) при рассмотре нии ее в полной двумерной постановке.

На рис. 9 приведены распределения вертикальной компоненты скоро сти и температуры, полученные по полной модели для Qm = 1.57 и pout = 0.075. Изменение радиальной составляющей скорости во всей области те чения не превосходит 6 · 104, давления поперек канала — 3 · 105.

Рис. 9. Распределения вертикальной компоненты скорости v(r, z) (а) и тем пературы T (r, z) (б ) в сечениях канала z = 0, (3/4)L, L (кривые 1 —3 ) в области около стенки. Кривые 4 получены в рамках квазидвумерной модели при z = L. Для сечения z = (3/4)L кривые, полученные в рамках полной двумерной и квазидвумерной моделей, совпадают так, что неразличимы на этих графиках.

Как оказалось, изменение давления поперек канала мало, соответствен но отсутствует перенос жидкости в радиальном направлении и стационар ные вторичные течения в решении полной задачи не возникают. Таким образом, учет всех членов исходных уравнений не приводит к качествен ному и количественному изменению картины течения при значениях пара метров, отвечающих течению магмы в канале вулкана. Решения, получен ные по полной двумерной и квазидвумерной моделям, хорошо совпадают (рис. 9). Количественное несовпадение результатов расчетов и полевых на блюдений не связано с возникновением стационарных вторичных течений.

За возникновение активного перемешивания, вероятно, ответственны дру гие механизмы, например, такие как негладкость стенок канала, их плав ление, эрозия или отток газа из магмы в окружающие породы.

В разделе 5.4 учитывается сжимаемость магмы. Рассмотрены два случая: изотермическое течение (в этом случае вязкость магмы является функцией давления) и течение с постоянной вязкостью.

В случае изотермического течения получено, что изменение давления в радиальном направлении во всем канале мало (не превосходит 3% от его значения). Наиболее сильно давление меняется на выходе в силу вли яния граничного условия (5), так как задается не давление, а компонента тензора напряжений p zz.

Из упрощенных уравнений импульсов (6) для изотермического течения аналитически следует, что в квазидвумерной постановке задачи распреде ление продольной компоненты скорости по радиусу всегда является пара болическим. Проведенные расчеты полностью соответствуют этому ана литическому выводу. Радиальная компонента скорости в расчетах во всем канале не превосходит 102.

Вследствие вышесказанного изменения вдоль канала средней скорости течения (за исключением малой окрестности выхода из канала), плотности и давления, рассчитанные по полной двумерной и одномерной моделям, совпадают с точностью до 2 · 103.

Таким образом, если течение рассматривается как изотермическое, то решения, полученные в рамках одномерной и полной двумерной моделей, хорошо совпадают друг с другом, если не рассматривать детали поведения течения на выходе из канала.

Распределения продольной компоненты скорости и температуры для случая течения с постоянной вязкостью для Qm = 1.57 и pout = 0. представлены на рис. 10. Радиальная компонента скорости во всем канале не превосходит 103, изменение давления поперек канала — 106.

В такой постановке задачи имеют место такие же процессы, как и рас смотренные в разделе 3.4. За счет падения давления по мере приближения магмы к поверхности, плотность магмы уменьшается, а средняя скорость течения растет (рис. 10(а)). Снижение плотности вдоль канала приводит Рис. 10. Распределения вертикальной компоненты скорости v(r, z) (а) и тем пературы T (r, z) (б ) по сечениям канала z = 0, L/4, L/2, (3/4)L, L (сплошные кривые 1 — 5 ). Для сравнения приведены распределения в этих же сечениях v(r, z) (а), полученные по одномерной изотермической модели, и T (r, z) (б ), полученные по квазидвумерной модели.

к снижению температуры магмы в центральной его части (рис. 10(б )). За счет вязкого трения вблизи стенки формируется разогретый слой жидко сти (рис. 10(б )). Но, в отличие от раздела 3.4, вязкость магмы постоянна, поэтому обратное влияние температуры на поле течения проявляется толь ко через изменение плотности в поперечных сечениях.

Рассчитанные в рамках полной двумерной и квазидвумерной моделей распределения продольной компоненты скорости совпадают с точностью до 7 · 102, радиальная составляющая скорости мала и не превосходит 2 · 102, распределения давления, температуры (рис. 10(б )) и плотности совпадают с точностью до 4 · 105, 2 · 103 и 2 · 104, соответственно. То есть такое течение хорошо описывается в рамках квазидвумерной модели.

Изменения температуры и плотности вдоль радиуса не превосходят 0. (рис. 10(б )) и 103, соответственно. Этих изменений недостаточно, чтобы поменять структуру течения. Профиль скорости остается близким к па раболическому (рис. 10(а)). Поэтому, при сравнении с одномерной изотер мической моделью распределения средней скорости течения, давления и плотности совпадают с точностью до 4 · 102, 2 · 103. Формула Пуазейля хорошо описывает сопротивление канала, хотя формально и неприменима.

В разделе 5.5 приведены выводы к пятой главе.

Заключение В заключении подведены итоги работы и сформулированы её основные результаты.

3. Основные результаты и выводы В работе изучены стационарные двумерные осесимметричные течения магмы в канале вулкана с учетом процессов вязкой диссипации и тепло проводности, а также сжимаемости магмы. Построены две модели течения магмы в канале: полная двумерная модель, основанная на полной системе уравнений Навье-Стокса и уравнении притока тепла, и квазидвумерная, получающаяся из полной системы уравнений предельным переходом при стремлении отношения длины канала к его радиусу к бесконечности. На основе этих двух моделей рассматриваются различные постановки задачи.

Особенности изучаемого течения связаны, во-первых, с тем, что для вязкости и плотности магмы используются существенно нелинейные зави симости от температуры и давления, во-вторых, — с геометрией рассмат риваемой области: длина канала на два порядка больше его радиуса. Для такого течения разработаны и реализованы программы расчетов по квази двумерной и полной двумерной моделям.

Выявлено, что влияние тепловых эффектов на течение магмы в канале существенно.

В случае больших расходов поведение сопротивления канала качествен но иное, чем рассчитанное по формуле Пуазейля: при подъеме магмы по каналу сопротивление падает, а не растет. Учет сжимаемости магмы при водит к еще бльшему снижению сопротивления канала за счет влияния о вязкой диссипации, а не к еще бльшему его росту за счет увеличения ско о рости, как это следует из одномерной изотермической модели без учета и с учетом сжимаемости магмы. В одномерных моделях сопротивление сильно завышено. Полученные зависимости изменения сопротивления вдоль кана ла могут быть использованы для корректировки одномерных моделей.

Установлено, что при моделировании эксплозивных извержений в рам ках квазидвумерной модели перед фрагментацией не наблюдается резкого изменения градиента давления. Таким образом, критерии фрагментации, использующие предположение о сильном увеличении градиента давления перед фрагментацией, нуждаются в корректировке.

В рамках квазидвумерной модели в приближении несжимаемой магмы решена краевая задача определения расхода магмы в зависимости от дав ления, заданного на входе в канал. Эта зависимость в случае экструзивных извержений неоднозначна: существует такой интервал давлений на входе в канал, что при одном и том же значении давления возможны извержения как с малым, так и с большим расходами. Показано, что в рамках постро енной модели могут реализовываться извержения с расходами в несколько раз превышающими расходы, полученные в рамках одномерной изотерми ческой модели.

В узкой зоне около стенки канала выявлены сильно разогретые слои магмы, наличие которых объясняет одновременное образование во время одного и того же извержения разных типов пемз, часть из которых имеет признаки сильного разогрева и деформаций.

Результаты расчетов течения магмы в канале вулкана по квазидвумер ной модели сравнивались с результатами расчетов по полной двумерной модели. Показано, что в случае, когда магму можно считать несжимаемой жидкостью, результаты расчетов по полной и квазидвумерной моделям совпадают с точностью до 10%. Возникновения вторичных стационарных течений в полной модели для реальных условий подъема магмы не проис ходит.

Установлено, что при учете сжимаемости магмы в приближении, когда вязкость магмы считается постоянной, профиль скорости остается близким к параболическому, и формула Пуазейля хорошо описывает сопротивление канала, хотя формально и неприменима.

Публикации по теме диссертации 1. Melnik O.E., Rose W.I., Fedotova (Vedeneeva) E.A. Modeling of Discharge Rate Variations on Santiaguito Volcano, Guatemala// AGU, San Francisco, USA, 10-14 December 2001. 82(47).

Abstract

V52C-09.

2. Е.А. Веденеева. Течение магмы в канале вулкана с учетом тепло вых эффектов// Тр. конф.-конкурса молодых ученых. НИИ механики МГУ. М.: Изд-во МГУ. 2004. C. 55-63.

3. Vedeneeva E.A., Melnik O.E., Barmin A.A. Influence of viscous dissipation on magma flow in volcanic conduits// EGU Assembly, Nice, France, 25- April 2004. Geophysical Research Abstracts. 2004. V. 6, 07304. SRef-ID:

1607-7962/gra/EGU04-A-07304.

4. Бармин А.А., Веденеева Е.А., Мельник О.Э. Влияние вязкой диссипа ции на течение магмы в канале вулкана// Тезисы докладов конферен ции «Ломоносовские чтения», МГУ. М.: Изд-во МГУ. 2004. C. 31.

5. Бармин А.А., Веденеева Е.А., Мельник О.Э. Неизотермическое тече ние сильновязкой магмы в канале вулкана с учетом влияния вязкой диссипации// Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 6. С. 21-32.

6. Vedeneeva E.A., Melnik O.E., Barmin A.A., Sparks R.S.J. Viscous dissipation in explosive volcanic eruptions// Geophysical Research Letters.

2005. V. 32. N. 5. L05303. Doi:10.1029/2004GL020954.

7. Бармин А.А., Веденеева Е.А., Мельник О.Э. Влияние тепловых эффек тов на течение магмы в канале вулкана// Тезисы докладов XII школы семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». М.: Изд-во МГУ. 2004. C. 16-17.

8. Barmin A.A., Vedeneeva E.A., Melnik O.E., Sparks R.S.J. Viscous dissipation in explosive volcanic eruptions// IAVCEI General Assembly 2004, Pucon, Chile, 14-19 November 2004. CD paper.

9. Веденеева Е.А. Двумерная модель течения магмы в канале вулкана, учитывающая влияние тепловых эффектов// Тр. конф.-конкурса мо лодых ученых. НИИ механики МГУ. М.: Изд-во МГУ. 2006. С. 128-135.

10. Веденеева Е.А. Течение магмы в канале вулкана с учетом сжимаемости и тепловых эффектов// Тр. конф.-конкурса молодых ученых. НИИ механики МГУ. М.: Изд-во МГУ. 2007. С. 96-104.

11. Costa A., Melnik O., Sparks R. J., Vedeneeva E. Thermal budget of magma flows in a conduit: effects of viscous heating and heat loss// AGU, San Francisco, USA, December 2006. 87(52). Abstract V32C-03.

12. Веденеева Е.А. Двумерные модели течения магмы в канале вулкана, учитывающие сжимаемость магмы и тепловые эффекты// Изв. РАН.

МЖГ. 2007. № 4. С. 27-38.

13. Costa A., Melnik O., Vedeneeva E. Thermal effects during magma ascent in conduits// Journal of Geophysical Research. In press.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.