авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Устойчивость и колебания некоторых неконсервативных систем

На правах рукописи

Байков Александр Евгеньевич

Устойчивость и колебания некоторых

неконсервативных систем

01.02.01 – Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2011

Работа выполнена на кафедре «Дифференциальные уравнения»

Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Красильников Павел Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Карапетян Александр Владиленович доктор физико-математических наук, профессор, Андреев Александр Сергеевич

Ведущая организация: Вычислительный центр им. А.А.

Дородницына (ВЦ РАН)

Защита состоится 17 июня 2011 г. в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертаци онного совета Д 212.125.14 при Московском авиационном институте (госу дарственном техническом университете), расположенном по адресу: 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Автореферат разослан « » 2011 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные пе чатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секре таря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м.н., доцент Гидаспов В.Ю.

Общая характеристика работы

Актуальность работы Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости и колебаний ме ханических систем с конечным числом степеней свободы, находящихся под действием как потенциальных, так и непотенциальных (неконсервативных) сил. Под неконсервативными силами мы подразумеваем диссипативные силы, а также позиционные силы, не допускающие потенциала. Последние силы часто называют следящими, циркуляционными или силами радиальной кор рекции 1. К неконсервативным силам относят также гироскопические силы.

Интерес к неконсервативным задачам со следящими силами появился, как известно, после работ Эйлера, в которых он исследовал устойчивость форм равновесия упругой балки. Последующее изучение области примени мости метода Эйлера в задачах устойчивости упругих систем показало, что если внешние силы неконсервативны, то метод Эйлера становится, вообще говоря, непригодным. Основными методоми исследования таких задач явля ется методы теории устойчивости и колебаний.

Приближенное исследование поведения упругих систем на основе ко нечномерных моделей получило широкое распространение и выявило ряд удивительных свойств упругих систем: «негативизм», когда совместное влия ние следящей силы и внешнего момента ведет к эффекту «отрицательной»

жесткости;

«парадокс» Циглера, когда сколь угодно малые по модулю силы вязкого трения дестабилизируют равновесие системы, устойчивое в отсутствие сил трения.

Проблемы устойчивости и колебаний неконсервативных систем возника ют при проектировании конструкций в машиностроении, авиации, ракетной технике и т.д. Большое количество работ по устойчивости неконсервативных Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, Гостехиздат. 1974.

систем относится к аэроупругости 2 3. Неконсервативные задачи возникают в теории двуногой ходьбы 4.

Наибольшую известность среди неконсервативных задач получил пара докс дестабилизации (или эффект Циглера в настоящей работе). Это явление изучалось в работах В.В.Болотина, Я.Г Пановко, Г.Циглера, С.А. Агафонова, А.П Сейраняна, О.Н. Кириллова и других ученых. Отсутствие критерия существования эффекта Циглера объясняется алгебраической сложностью задачи. Так как характеристический полином содержит все коэффициенты при степенях, то неравенства, отвечающие критерию Рауса-Гурвица, имеют весьма сложный вид. Их сложно исследовать на совместность.

Моделирование динамики ракетоносителей (РН) напрямую связано с исследованием колебаний неконсервативных систем. К примеру, одной из важных и мало изученных задач в динамике РН является задача о влиянии диссипативных сил на устойчивость движения РН 5, когда система находится под воздействием следящих сил. Известно, что в некоторых случаях малые силы трения усиливают динамическую неустойчивость системы (из-за на личия дополнительных позиционных неконсервативных сил). Так, совокуп ное влияние сил аэродинамического сопротивления и реактивной силы тяги двигателя может привети к усилению поперечных колебаний РН;

сила сопро тивления и реактивная сила истечения жидкого топлива из конца заправоч ного шланга, соединяющего летательные аппараты во время дозаправки их в полете, может также привести к сильным поперечным колебаниям шланга.

Диссертация посвящена получению условий устойчивости движений ме Гроссман Е.П. Флаттер // Труды ЦАГИ. 1937. Вып. 284. 248 с.

Bisplingho R.L., Ashley H. Principles of aeroelasticity. 1975. New York. Dover.

Белецкий В.В., Голубицкая М.Д. Стабилизация и экстремальные свойства резонансных режимов двуногой ходьбы // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 193–200.

Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов М., "Машиностроение 1975, 416 с.

ханической системы с конечным числом степеней свободы при наличии по зиционных неконсервативных сил и анализу колебаний в зонах Циглера. Ис следуются области устойчивости и неустойчивости равновесных конфигура ций двухзвенного механизма, находящегося под действием сосредоточенной следящей силы, составляющей фиксированный угол с осью стержня. В прос тейшем случае эта модель описывает динамику заправочного шланга, нахо дящегося под действием реактивной силы истечения жидкости. Исследуются его автоколебания в зонах Циглера.

Цель диссертационной работы Цель работы – исследование устойчивости положений равновесия и колеба ний механической системы с голономными стационарными связями, имеющей конечное число степеней свободы и находящейся под действием потенциаль ных, следящих сил и сил вязкого трения, линейных по скоростям. Поскольку малые силы трения могут дестабилизировать равновесие системы, устойчивое в их отсутствие (эффект Циглера), то одной из важных целей диссертации яв ляется задача получения необходимых и достаточных условий существования эффекта Циглера. Она решается в рамках более общей проблемы построения критериев устойчивости равновесий механической системы по первому приб лижению.

Проблема исследования колебаний в зонах Циглера также является од ной из целей диссертации. Поскольку неустойчивость равновесия в зонах Циг лера имеет мягкий характер, исследуется задача существования глобально устойчивого предельного цикла, «запирающего» фазовые кривые системы в малой окрестности равновесия в системе с двумя степенями свободы.

Одной из задач диссертации является задача исследования устойчивос ти и колебаний двухзвенного механизма, нагруженного следящей силой. Эта система представляет собой дискретную модель упругого шланга, находяще гося под действием реактивной силы истечения жидкости.

Научная новизна Диссертационная работа содержит несколько новых научных результатов.

Во-первых, впервые решена задача построения критериев устойчивости рав новесия по первому приближению для механической системы с двумя сте пенями свободы со следящими, потенциальными силами и силами трения с произвольным коэффициентом трения. Как следствие, впервые получены необходимые и достаточные условия существования эффекта Циглера. Для случая малых сил трения, критерий устойчивости равновесия получены для системы с n степенями свободы.

Во-вторых, впервые получены достаточные условия существования ус тойчивого предельного цикла в малой окрестности неустойчивого равнове сия в зонах Циглера при резонансах 1:2 и 1:3. Получены оценки области притяжения предельного цикла при резонансе 1:2 в виде неравенств, наклады ваемых на параметры системы. Для резонанса 1:3 получены условия устойчи вости предельного цикла в нормализованных с помощью метода Хори-Кэмила уравнениях движения.

Наконец, впервые построены области устойчивости двухзвенного меха низма, находящегося под действием следящей силы и сил трения. Показано, что силы трения мало деформируют бесконечно связную область устойчивос ти, построенную в их отсутствие: появляются узкие зоны Циглера, которые превращаются в области асимптотической устойчивости при больших силах трения, области неустойчивости (за исключением зон Циглера) сохраняются при любых значениях коэффициента трения. Впервые построены предельные устойчивые циклы колебаний двухзвенного механизма, находящегося под дей ствием следящей силы и линейных сил трения.

Практическая значимость Практическая значимость исследований заключается в получении новых ре зультатов по устойчивости равновесия механических систем с конечным чис лом степеней свободы, находящихся под действием сил трения, потенциаль ных и следящих сил. Показано при каких условиях сколь угодно малые силы трения дестабилизируют положение равновесия. Показано также, что при определенных условиях взаимодействия сил трения и следящих сил появля ются устойчивые автоколебания дискретных моделей упругих систем, приб лиженно описывающих развитие динамической неустойчивости сложных уп ругих конструкций.

Диссертация посвящена решению одной из приоритетных задач (по клас сификации Рабиновича Б.И.) в ракетно-космической технике: изучению на основе дискретных моделей влияний диссипативных сил на динамическую неустойчивость РН при наличии дополнительных позиционных неконсерва тивных сил.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло жения:

1. Получен критерий устойчивости по первому приближению положения равновесия механической системы с двумя степенями свободы с голо номными и стационарными связями, находящейся под действием потен циальных, следящих сил и линейных сил вязкого трения, произвольных по модулю.

2. Получен критерий устойчивости положения равновесия такой системы с n степенями свободы, когда силы трения малы.

3. Получены достаточные условия существования в зонах Циглера устой чивых предельных циклов механической системы с двумя степенями свободы при резонансах 1:2 и 1:3. Получена оценка области притяжения предельного цикла при резонансе 1:2 в виде неравенств на параметры задачи. Предельный цикл при резонансе 1:3 исследован на асимптоти ческую устойчивость.

4. Исследована динамика механической системы, расположенной на го ризонтальной плоскости, состоящей из двух стержней, соединенных с помощью спиральных пружин. На свободный конец второго стержня действует следящая сила. Построены бесконечно связные области устой чивости положений равновесия системы, зоны Циглера. Исследованы автоколебания системы при резонансах 1:2 и 1:3.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на 10 Международной кон ференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Донецк, 2008 г.) [1], на Симбирской молодежной научной школе по аналитической ди намике, устойчивости и управлению движениями и процессами (Ульяновск, 2009 г.) [2], на Всероссийском Семинаре «Аналитическая механика, устойчи вость и управление движением» (Ульяновск, 2010 г.) [5]. Также результаты докладывались на семинаре им. В.В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ и на семинаре «Динамические системы и ме ханика» в МАИ.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 6 работ [1–6], из них две статьи в журнале, рекомендованном ВАК [4, 6], одна статья в другом журнале [3], тезисы на учных конференций [1, 2, 5]. Опубликованные в данных журналах статьи полностью отражают содержвание всех глав диссертации.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, от ражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с Красильни ковым П.С. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации Работа состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации – 93 страницы.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор мулирована цель и аргументрирована научная новизна исследований, пока зана практическая значимость полученных результатов, представлены выно симые на защиту научные положения.

В первой главе исследована устойчивость равновесия механической системы с идеальными стационарными голономными связями и находящейся под действием потенциальных, следящих сил и диссипативных сил вязкого трения. Колебания системы описываются уравнениями Лагранжа 2-го рода.

Предполагается наличие у системы тривиального равновесия q = q = 0.

Получены уравнения первого приближения, приведенные к нормальным координатам (1) x + B x + Cx + P x = Для случая двух степеней свободы, существует критерий устойчивости системы в отсутствие сил трения:

trC 0, det(C + P ) 0, (trC)2 4 det(C + P ) 0 (2) Далее рассматривается задача устойчивости при малых силах трения (ко эффициент трения много меньше единицы). Используя теорему о неявной функции, были получены необходимые и достаточные условия асимптоти ческой устойчивости по первому приближению в виде достаточно простых неравенств, накладываемых на параметры задачи.

Теорема 1. Пусть выполнены неравенства (2). Если параметр h, вычисляе мый по формуле h = tr(B) · trC tr(BC), удовлетворяет двойному неравенст ву 2 1 trB h 2 trB то существует 1 0, такое, что равновесие x = x = 0 уравнений (1) асимптотически устойчиво при (0, 1 ]. Наоборот, если выполнено 2 h 1 trB или h 2 trB равновесие неустойчиво при (0, 1 ]. Наконец, если условия (2) нарушены, то с точностью до вырожденных случаев равновесие x = x = 0 уравнений (1) неустойчиво, когда [0, 1 ].

Из этих результатов явствует критерий существования эффекта Цигле ра, и как следствие, необходимое условие существования такого эффекта – наличие следящих сил в системе. Вводится понятие зоны Циглера. Она представляет собой область в пространстве параметров, в которой равновесие устойчиво в отсутствие сил трения и неустойчиво при добавлении линейных диссипативных сил сколь угодно малых по величине.

Далее рассмотрен случай больших сил трения. Используя простые физи ческие соображения, основанные на предположении существования критичес кого значения коэффициента трения, при котором неустойчивость равно весия сменяется асимптотической устойчивостью, были получены критерии устойчивости по первому приближению при любых значениях параметра.

Необходимые и достаточные условия существования имеют вид Лемма 1. С точностью до вырожденных случаев критическая величина существует тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

(i) (trC)2 4 det(C + P ) 0, h (ii) trC 0, (trC)2 4 det(C + P ) 0, det(C + P ) 0, h (iii) trC 0, (trC)2 4 det(C + P ) 0, det(C + P ) ( ) (2 ) h 0, 1 trB 2 trB, Результаты исследований сформулированы в виде отдельной теоремы, закрывающей проблему построения критериев устойчивости по первому приб лижению тривиального равновесия системы с двумя степенями свободы, на ходящейся под действием потенциальных, следящих сил и линейных сил вязкого трения.

Рассмотрена также механическая система с n степенями свободы свободы.

С помощью алгоритма Леверье получены критерии устойчивости тривиаль ного равновесия с малыми силами трения. Однако в этом случае не удалось построить необходимые и достаточные условия устойчивости для произволь ных значениях параметра. Уже в случае n = 3 сталкиваемся с алгебраически сложной проблемой существования. Здесь также остается открытым вопрос о связи с топологией областей устойчивости. Таким образом, случай n требует отдельного рассмотрения.

В третьем параграфе первой главы формулируется проблема устойчивос ти по первому приближению исходной механической системы, дополненной гироскопическими силами. Показано, что в отсутствие сил трения равновесие неустойчиво. Поэтому ставится задача стабилизации равновесия гироскопи ческими силами при малых силах трения, превышающих некоторое пороговое значение. Получены некоторое достаточные условия такой стабилизации.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию некоторых колеба ний механических систем со следящими силами, причем основное внимание уделяется зонам Циглера. Как следует из первой главы, малые силы трения вызывают «слабую» неустойчивость равновесия. Поэтому основное внимание во второй главе посвящено вопросу построения асимптотически устойчивых предельных циклов в зонах Циглера.

Рассмотрена система с двумя степенями свободы, находящаяся под дей ствием потенциальных, следящих сил и линейных сил вязкого трения. Урав нения Лагранжа второго рода приведены к виду, разрешенному относительно вторых производных. Далее вводится масштабирующая замена переменных, такая, что приведенные уравнения описывают колебания в малой окрестности равновесия ( ). Переход к главным координатам x1, x2 с помощью неособой линейной замены переменных и разложения нелинейных функций в ряд Тей лора, преобразует уравнения к виду, содержащему члены первого и второго порядка малости. Последующая замена переменных вида x = 1 e1 cos 1 + 2 e2 cos x = 1 1 e1 sin 1 2 2 e2 sin приводит укороченные уравнения к стандартному виду многочастотной сис темы, содержащей быстрые и медленные переменные:

j = fj sin j j j = j + fj cos j j j j = 1, Здесь fj представляет собой сумму двух форм: линейной (по скоростям xj ) и квадратичной (по координатам xj и скоростям xj ).

Усреднение системы по быстрым переменным показало, что в нерезо нансной ситуации исследуемая нелинейная система эквивалентна уравнениям первого приближения.

Подробно исследован резонанс 1:2. Показано, что усредненная система допускает четыре стационарных решения, которым соответствует единствен ный предельный цикл в исходной системе. Получены условия их асимпто тической устойчивости и показано, что устойчивые равновесия возможны только в зонах Циглера. Доказана теорема о существовании асимптотически устойчивого предельного цикла в исходных уравнениях движения. Описана область притяжения устойчивого предельного цикла. Отдельно исследуются эффекты, обусловленные бифуркациями корней характеристического урав нения.

Исследован резонанс 1:3 с помощью метода Хори-Кэмила. Нормализо ванная система уравнений движения допускает четыре стационарных реше ния. Получены достаточные условие их асимптотической устойчивости, вы раженное через параметры задачи.

В третьей главе исследуется устойчивость и колебания механической системы, находящейся в горизонтальной плоскости и состоящей из двух стерж ней, соединенных друг с другом с помощью спиральных пружин. На свобод ный конец второго стержня действует следящая силы F, составляющая фик сированный угол с осью стержня (рис. 1).

В частном случае = 0 двухзвенный механизм является известной системой Циглера. В работе 6 описано множество положений равновесия меха низма в отсутствие сил трения, построена область устойчивости по первому приближению в виде бесконечно связного множества в пространстве пара метров задачи. В диссертационной работе показано, что малые силы вязкого трения слабо деформирует это множество, сохраняя сложную картину че редования областей устойчивости и неустойчивости: области устойчивости становятся областями асимптотической устойчивости за исключением узких зон Циглера, в которых развивается «слабая неустойчивость». Области неус тойчивости сохраняются, незначительно увеличиваясь за счет присоединения Krasilnikov P. On a discrete model of the elastic rod // Intern J. Nonlinear Sci. and Numer. Simulation.

2001. №3. P. 295-298.

Рис. 1. Двухзвенная стержневая система зон Циглера (рис. 2).

Показано также, что при больших силах трения разбиение пространства параметров на области устойчивости и неустойчивости сохраняется, за иск лючением зон Циглера, в которых равновесие стабилизируется и становится асимптотически устойчивым.

Далее исследуются автоколебания стержневой системы при резонансах 1:2 и 1:3. Получены выражения для частот 1, 2 линейных колебаний в окрестности положения равновесия, а в плоскости параметров задачи пост роены резонансные кривые 2 = 21, 2 = 31.

Получены условия существования и устойчивости предельных циклов при резонансах 1:2, 1:3. Выделены участки резонансных кривых, принад лежащие зонам Циглера (согласно результатам второй главы диссертации, устойчивые предельные циклы принадлежат зонам Циглера). Для конкрет ных значений параметров, принадлежащих выделенным участкам кривой Рис. 2. Область устойчивости в безразмерных параметрах (, ). Серые участки Fl соответствуют точки неустойчивости, а светлые – устойчивости. Здесь =, где l – c длина стержня, c – жесткость спиральной пружины.

2 = 21, аналитически построен устойчивый предельный цикл в проекции на плоскость (x1, x2 );

проведены численные расчеты фазовых кривых, начальные значения которых взяты из области притяжения предельного цикла. Получи лось асимптотическое стремление изображающей точки к устойчивому пре дельному циклу.

Список публикаций [1] Baikov A.E., Krasilnokov P.S. On the destabilization paradox in system with two degrees of freedom // Устойчивость управления и динамики твердого тела: Тезисы докладов X международной конференции. – Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2008. С. 108–109.

[2] Байков А.Е. О предельном цикле в зоне Циглера при резонансе 1:2 // Симбирская молодежная научная школа по аналитической динамике, ус тойчивости и управлению движениями и процессами: Тезисы докладов.

Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2009. С. 35.

[3] Байков А.Е., Красильников П.С. Об устойчивости потенциальной меха нической системы со следящими и диссипативными силами// ESMC Lis bon 2009 Minisymposium MS-4 Kinetics, Control and Vibroheology KIN CONVIB – 2009. P. 81–96.

[4] Байков А.Е., Красильников П.С. Об эффекте Циглера в неконсервативной механической системе // ПММ. 2010. Т. 74, Вып. 1.

С. 74–88.

[5] Байков А.Е. Резонанс 3:1 в неконсервативной системе с двумя степенями свободы// Всероссийский Семинар «Аналитическая механика, устойчи вость и управление движением»: Тезисы докладов. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2010. С.11.

[6] Байков А.Е. Предельный цикл при резонансе 1:2 в неконсервативной системе // ПММ. 2011. Т. 75, Вып. 3. С. 385–396.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.