авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Контактные задачи деформирования и износа упругих и вязкоупругих тел со сложными свойствами и формой поверхности

На правах рукописи

Казаков Кирилл Евгеньевич

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

И ИЗНОСА УПРУГИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ

ТЕЛ СО СЛОЖНЫМИ СВОЙСТВАМИ

И ФОРМОЙ ПОВЕРХНОСТИ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2007

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Манжиров Александр Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Тарлаковский Дмитрий Валентинович, Московский авиационный институт (государственный технический университет);

доктор физико-математических наук, Солдатенков Иван Алексеевич, Институт проблем механики Российской академии наук

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 31 января 2008 г. в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.240.01 при Институте проблем механики Российской академии наук по адресу: 119526, Москва, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем меха ники Российской академии наук.

Автореферат разослан 28 декабря 2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук Е.Я. Сысоева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению новых плоских и осесиммет ричных задач механики контактного взаимодействия и износа тел с покры тиями. В ней исследуются закономерности эволюции контактных характе ристик вязкоупругих стареющих оснований с неоднородными покрытиями и покрытиями, имеющими реальную форму поверхности, а также износ упру гих оснований с поверхностно неоднородными покрытиями*. Изучаются эф фекты, связанные с наличием неоднородности и учетом реальной формой поверхности покрытий, а также с наличием процесса износа.

Актуальность темы. Рассмотренные в диссертации задачи механики контактного взаимодействия и износа тел с покрытиями являются актуаль ными как с точки зрения фундаментальных вопросов теории, так и с точки зрения различных приложений. В теоретическом плане эти задачи интересны тем, что впервые учитывают наличие таких факторов как конформность кон тактирующих поверхностей, сложная форма поверхности тел, поверхностная неоднородность покрытий и тем, что для их решения необходимо развивать новые математические методы (поскольку известные методы удовлетвори тельных результатов не дают). С точки зрения приложений интерес к этим задачам вызван как раз тем, что новые их особенности продиктованы потреб ностями в описании свойств неоднородности и сложной формы поверхности покрытий, которые они приобретают вследствие технологических процессов нанесения и шлифовки. Без учета подобного рода свойств воссоздать реаль ные картины процессов контактного взаимодействия тел с покрытиями невоз можно.

Цели работы: постановка контактных задач для упругих и вязкоупру гих тел с конформными и поверхностно неоднородными покрытиями, форма и неоднородность которых описываются быстро осциллирующими функция ми;

развитие проекционного метода для решения смешанных интегральных уравнений плоских и осесимметричных задач;

исследование процесса изно са упругого основания с поверхностно неоднородным покрытием;

решение модельных задач и всестороннее исследование процессов контактного взаи модействия и их особенностей;

формулировка выводов и рекомендаций прак тического характера.

Методика исследования. Представленные в диссертации исследования опираются, в первую очередь, на классические подходы механики контакт ных взаимодействий и трибологии, идеи теории контактных задач для тел с покрытиями, на теории классических и смешанных интегральных уравнений, Поверхностно неоднородными называются такие покрытия, свойства которых меняют * ся от точки к точке поверхности, но постоянны по их глубине.

на проекционный метод решения последних. При этом используются резуль таты и методы уравнений математической физики, интегральных уравнений, функционального и математического анализа, теории обыкновенных диффе ренциальных уравнений.

Научная новизна. Все рассмотренные в диссертации задачи исследова ны впервые. Их решения построены в аналитическом виде на основании про екционного метода теории смешанных интегральных уравнений. При этом быстро осциллирующие функции формы поверхности или неоднородности покрытий выделены в решении в явном виде.

На основании проведенных расчетов обнаружены и исследованы механи ческие эффекты, возникающие при учете неоднородности покрытия и слож ной формы его поверхности. Изучена задача износа упругого основания с поверхностно неоднородным покрытием. Получены ее аналитическое реше ние и простые асимптотические формулы поведения основных характеристик при больших значениях времени, удобные для использования в инженерной практике.

Практическая значимость. Контактные задачи для тел с покрытиями часто возникают при расчете механизмов и деталей машин в машинострое нии, инженерных конструкций и фундаментов в строительстве, приборов и устройств технике и радиотехнике, эффективности процессов в технологии.

Практическая значимость работы состоит в проведении исследований новых классов плоских и осесимметричных задач и построении методов решения новых интегральных уравнений, позволяющих учитывать реальные, особен ности процессов контактного взаимодействия и износа.

Представленные в диссертации исследования выполнены в рамках плано вой тематики Института проблем механики Российской академии наук Мо делирование процессов формирования, взаимодействия, деформирования и разрушения упруговязкопластических тел под действием нагрузок и физи ческих полей (Гос. рег. № 0120.0503826), а также проектов, финансируемых грантом Президента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ № НШ-1245.2006.1, Отделением энергетики, машино строения, механики и процессов управления РАН (программа № 13 ОЭ) и Рос сийским фондом фундаментальных исследований (проекты № 05-01-00002, № 05-01-00693 и № 06-01-00521).

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгих математических методов при построении решений поставленных за дач и их анализе. Она основывается также на практических оценках погреш ностей выполняемых приближенных вычислений, сопоставлении получаемых в частных случаях результатов с заранее прогнозируемыми или известными.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Се минаре по механике сплошной среды им. Л.А. Галина Института проблем механики Российской академии наук (Москва, 2004);

Международной моло дежной научной конференции XXXI Гагаринские чтения (Москва, 2005);

V Российской конференции с международным участием Смешанные задачи механики деформируемого тела (Саратов, 2005);

IX Международной конфе ренции Современные проблемы механики сплошной среды, посвященной 85-летию со дня рождения акад. РАН И.И. Воровича (Ростов-на-Дону, 2005);

Международной молодежной научной конференции XXXII Гагаринские чте ния (Москва, 2006);

Международной конференции Ракетно-космическая техника: Фундаментальные и прикладные проблемы механики, посвящен ной 90-летию В.И. Феодосьева (Москва, 2006);

IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006);

35-й кон ференции по механике сплошной среды Solmech 2006 (Краков, Польша, 2006);

Индо-российском совещании по проблемам нелинейной механики деформиру емого твердого тела при больших деформациях (Дели, Индия, 2006);

Между народной молодежной научной конференции XXXIII Гагаринские чтения (Москва, 2007);

Семинаре по механике сплошной сред им. Л.А. Галина Инсти тута проблем механики Российской академии наук (Москва, 2007);

Между народной научно-технической конференции Актуальные проблемы триболо гии (Самара, 2007);

Всероссийской сессии Научного совета РАН по механи ке деформируемого твердого тела Фундаментальные и прикладные пробле мы современной механики деформируемого твердого тела (Самара, 2007);

XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Саратов, 2007);

Международной конференции Актуальные проблемы меха ники сплошной среды, посвященной 95-й годовщине со дня рождения акаде мика НАН Армении Н.Х. Арутюняну (Цахкадзор, Армения, 2007);

XI Между народной конференции Современные проблемы механики сплошной среды (Ростов-на-Дону, 2007).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введе ния, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Полный объем диссертации вместе с иллюстрациями составляет 128 страниц. Из них 9 зани мает список литературы, содержащий 112 наименований. Общее количество иллюстраций 42.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается тематика предпринятых в диссертации иссле дований и обосновывается их актуальность. Затем следуют несколько ввод ных параграфов. В § 0.1 проводится краткий обзор важнейших работ по ме ханике непрерывно наращиваемых тел и формулируется цель настоящей дис сертационной работы. В § 0.2 описываются ее структура и содержание, а так же основные особенности и методы проводимых исследований, указываются работы, в которых рассматривались сходные с изучаемыми в диссертации задачи и приводятся описания этих задач. В § 0.3 кратко описываются ис пользуемые в работе определяющие соотношения материала. В § 0.4 излагает ся проекционный метод А.В. Манжирова решения смешанных интегральных уравнений с N дополнительными условиями c(t)m(r)(I V1 )q(r, t) + (I V2 )F q(r, t) = f (r, t), r, t [0, T ], (1) q(, t)fi() d = Mi (t), i = 1,..., N, (2) N f (r, t) = i (t)fi(r) g(r, t) i= в общем случае, который используется для решения контактных и износо радиус-вектор в Rn, контактных задач в настоящей работе. Здесь r ограниченное замкнутое множество в Rn, c(t) непрерывная по t на интерва ле [0, T ] заданная функция, i (t) (i = 1,..., N ) непрерывные по t на ин тервале [0, T ] искомые функции, q(r, t) непрерывная в L2() по t на [0, T ] искомая функция, g(r, t) непрерывная в L2 () по t заданная функция, m(r) заданная функция из L2(), {f1(r),..., fN (r)} некоторая система N линейно независимых функций из L2 ();

I тождественный оператор, Vk (k = 1, 2) интегральные операторы Вольтерра с непрерывными либо полярными ядрами Kk (t, ), F вполне непрерывный, самосопряженный и положительно определенный оператор из L2() в L2().

В главе 1 исследуется контактное взаимодействие жесткого штампа и вяз коупругого основания с тонким покрытием в случае, когда поверхности штам па и покрытия являются конформными (взаимоповторяющимися). Подобная задача может возникнуть, например, когда штамп погружается в затвердева ющее покрытие до его полного отверждения, в результате чего поверхность покрытия принимает форму основания штампа. Примерами таких покрытий может служить слой клея, бетона в его молодом возрасте, многих полимер ных материалов. В разделе 1.1 рассмотрены плоские, а в разделе 1.2 осесим метричные контактные задачи для неоднородных стареющих вязкоупругих оснований в случае их конформного контакта с жесткими штампами. Даны их постановки. Получены разрешающие смешанные интегральные уравне ния. При решении этих уравнений использован обобщенный проекционный метод, который реализован для конкретных типов уравнений плоских и осе симметричных задач. Решен ряд модельных задач, включая задачи, в кото Фиг. 1. Конформный контакт штампа и вязкоупругого основания в плоском случае рых форма штампа описывается быстро осциллирующими функциями. Изу чено влияние формы основания штампа на напряженно-деформированное со стояние области контакта и на кинематические характеристики штампа.

В § 1 раздела 1.1 дается постановка плоской контактной задачи для вязко упругого основания с покрытием и жесткого штампа в случае их конформно го контакта. Предполагается, что и основной слой, и покрытие изготовлены из однородных вязкоупругих стареющих материалов (рис. 1). Считается, что область контакта не изменяется с течением времени, а покрытие имеет тол щину, которая много меньше этой области контакта (ширины штампа), т.е.

покрытие тонкое. Жесткость верхнего слоя не превышает жесткости ниж него. Между слоями, а также между нижним слоем и подстилающим осно ванием осуществляется либо идеальный, либо гладкий контакт. При помощи известного решения задачи о действии нагрузки на слой с тонким покрытием выводится интегральное уравнение контактной задачи для слоя с покрытием, форма которого совпадает с формой основания штампа (x [a, a], t 0 ):

q(x, t)h(x) 2(1 2 ) q(x, t) k (I V1 ) + (I V2)F = (t) + (t)x,(3) E1(t 1 ) E2(t 2) a a q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t) = e(t)P (t), (4) a a где q(x, t) контактные давления под штампом, P (t) сила давления, приложенная в момент времени 0, e(t) эксцентриситет ее приложения;

Ek (t 2) модули упругомгновенной деформации покрытия (k = 1) и ниж него слоя (k = 2), 2 коэффициент Пуассона нижнего слоя;

k безраз мерный коэффициент, зависящий от условий соединения покрытия с нижним слоем, I тождественный оператор;

Vk интегральные операторы Вольтер ра с ядрами ползучести K (k) (t, ) (k = 1, 2);

F интегральный оператор с известным ядром плоской контактной задачи kpl [(x )/H];

h(x) толщина покрытия, H толщина нижнего слоя, (t) осадка штампа, (t) угол его наклона. При помощи замены переменных уравнение (3) и дополнительные условия (4) можно привести к виду (x [1, 1], t 1) m(x)c(t)(I V1 )q(x, t) + (I V2)F q(x, t) = (t) + (t)x, (5) 1 q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t), (6) 1 где функция m(x) пропорциональна толщине покрытия. Уравнение (5) явля ется частным случаем уравнения (1). Вводя обозначения kpl (x, ) Q(x, t) = m(x)q(x, t), k(x, ) =, m(x) m() AQ(x, t) = k(x, )Q(, t) d, уравнение (5) и дополнительные условия (6) приведем к виду (t) (t)x c(t)(I V1 )Q(x, t) + (I V2 )AQ(x, t) = + (7) m(x) m(x) 1 Q(, t) Q(, t) d = P (t), d = M(t). (8) m() m() 1 Параграф 2 этого раздела посвящен подробному описанию решения по ставленной в § 1 задачи на основании изложенного во введении обобщенного проекционного метода в конкретном случае плоской задачи. Решение урав нения (7) при условиях (8) в классе непрерывных в гильбертовом простран стве L2 [1, 1] по времени t функций.

Для этого сначала строится полная ортонормированная в L2[1, 1] система функций такая, что она содержит в качестве первого элемента const/ m(x), а в качестве второго линейную комбинацию первого элемента и x/ m(x).

Oстальные элементы этой системы можно представить в виде произведения функций, зависящих от x и весовой функции 1/ m(x). Система функций, удовлетворяющая оговоренным выше условиям, может быть построена на основании следующих формул 1 n Pn (x) d, P0 (x) =, pi ()pj () d = ij, pn (x) =, Jn = 1 m() J m(x) J0 J1 · · · Jn J0 J1 · · · Jn (9) J1 J2 · · · Jn+1 J1 J2 · · · Jn+ Pn (x) =, 1 = 1, n =.....

........

......

n1n......

· · · xn 1 x Jn Jn+1 · · · J2n Гильбертово пространство L2[1, 1] можно представить в виде прямой (1) (2) суммы ортогональных подпространств L2 [1, 1] = L2 [1, 1] L2 [1, 1], (1) где L2 [1, 1] евклидово пространство с базисом {p0(x), p1(x)}, (2) а L2 [1, 1] гильбертово пространство с базисом {p2(x), p3 (x),...}. Подын тегральная функция и правая часть также представляются в виде алгебраи (1) (2) ческой суммы функций, непрерывных по времени t в L2 [1, 1] и L2 [1, 1], соответственно, то есть Q(x, t) = Q1(x, t) + Q2 (x, t), f (x, t) = f1 (x, t) + f2 (x, t), Заметим, что в представлении для Q(x, t) нам известно слагаемое Q1(x, t), функции разложения которого определяются дополнительными условия ми (8):

P (t) J0M(t) J1P (t) z0 (t) =, z1 (t) =, J0 J0 (J0J2 J1 ) а слагаемое Q2(x, t) требуется найти. Для правой части наоборот требу ется определить f1(x, t), а функция f2 (x, t) 0. Отмеченные особенности позволяют классифицировать полученную в итоге задачу как частный слу чай обобщенной проекционной задачи, рассмотренной в разделе разделе 0.4.

Окончательные формулы для определения контактных давлений имеют вид:

Q(x, t) = z0 (t)p0(x) + z1 (t)p1(x) + zk (t)k (x), k= (0) (1) (I V2 ) z0 (t)Kk + z1 (t)Kk (k) zk (t) = (I + Wk ), k (x) = i pi (x), c(t) + k i= (k) (k) k(x, ) = Rmn pm (x)pn(), Rmn n = k m, m = 2, 3,...

m=0 n=0 n= (0) (1) (k) (k) Kk = R0nn, Kk = R1n n, k = 2, 3,..., n=2 n= t Wk f (x, t) = Rk (t, )f (x, ) d, где Rk (t, ) (k = 2, 3,...) резольвента ядра c(t)K1(t, ) + k K2(t, ) Kk (t, ) =.

c(t) + k В результате получены точные аналитические формулы в рядах с выделе нием особенности:

q(x, t) = z0 (t)P0 (x) + z1 (t)P1 (x) + · · ·, (10) m(x) где Pk (x) (k = 0, 1,...) построенные по (9) полиномы. Решения тако го вида позволяют производить аналитические вычисления для оснований с покрытиями, имеющих толщину, которая описываются быстро осциллирую щими и даже разрывными функциями, чего невозможно добиться другими известными методами. Получены также формулы для осадки и угла наклона штампа:

J (t) = 2 c(t)(I V1 )z1 (t)+ J0 J2 J (1) + (I V2 ) R10z0 (t) + R11z1 (t) + Kk zk (t), k= 1 J (t) = (t) + c(t)(I V1 )z0(t)+ J0 J (0) + (I V2 ) R00z0 (t) + R01z1 (t) + Kk zk (t).

k= В §§ 3–5 ставятся и выписываются решения задач о нахождении эксцен триситета приложения нагрузки по заданному углу поворота (при заданной силе);

о нахождении силы приложения по известной осадке штампа (при за данном моменте);

о нахождении решения интегрального уравнения с извест ной правой частью (при заданных осадке и угле поворота). Решения всех за дач строятся на основании проекционного метода, а структура полученных решений схожа с полученной в § 2.

Численные расчеты для оснований с покрытиями, профиль которых по вторяет форму основания штампа, представлены в § 6. Показано, что распре деление контактных давлений и поведение штампа существенно зависят от формы покрытия (или штампа, поскольку речь идет о конформном контак те), а учет явления конформного контакта приводит к результатам, принци пиальным образом отличающимся от классического случая (рис. 2, 3). Иссле довано влияние силы и эксцентриситета ее приложения на характер решения.

В частности, установлено, что угол наклона штампа может менять свой знак с течением времени даже при постоянных силе и эксцентриситете;

существует эксцентриситет приложения постоянной силы, при котором угол наклона не меняется с течением времени, причем этот эксцентриситет не зависит от вели чины силы;

при постоянной силе приложения контактные давления, осадка и угол поворота штампа прямо пропорциональны ее значению, откуда следует, Фиг. 2. Распределение контактного давления при P (t) 1, e(t) для m(x) = 1 + 0.05 sin(30x) при t = Фиг. 3. Распределение контактного давления при P (t) 1, e(t) для m(x) = 0.7 + 0.4x2 (1 t = 1, 2 t = 1.5, 3 установившееся распределение) что характер поведения штампа на слое не зависит от значения силы (если при каком-либо значении постоянной силы, действующей на штамп, происхо дит отрыв, то и при любом другом значении отрыв также будет происходить;

если при какой-либо постоянной силе угол поворота меняет свой знак с те чением времени, то и при любой другой он также будет менять этот знак, причем в тот же самый момент времени и т. д.). Отмечено, что с помощью использованного метода можно решать контактные задачи для оснований с покрытиями и штампов, имеющих сложный профиль поверхности, определя емый экспериментально при помощи специальных измерительных приборов, причем функции m(x) в этом случае оказываются сильно осциллирующими.

Предложены графические методы решения контактных задач по нескольким уже известным решениям, основанный на линейности решения относительно силы и эксцинтриситета ее приложения, а также метод определения области приложения нагрузки.

Как уже было сказано, раздел 1.2 посвящен решению осесимметричных контактных задач для тел с покрытиями в случае их конформного контакта с жесткими штампами.

В первом параграфе этого раздела дается постановка таких осесимметрич ных контактных задач, выводится основное интегральное уравнение и запи сываются дополнительные условия. Полученное интегральное уравнение, как и в плоском случае, является частным случаем уравнения (1), что позволяет использовать описанный во введении проекционный метод в частном случае осесимметричной задачи. Подробное решение приведено в § 2 раздела 1.2. Как и в плоском случае полученное решение имеет структуру 1 q(r, t) = v0 (t)P0 (r) + · · ·, m(r) где Pk (r) (k = 0, 1,...) некоторые полиномы специального вида. Как вид но, и в осесимметричном случае решение интегрального уравнения есть про изведение функции, имеющей особенности (возможно разрывы, осцилляции) и некоторой гладкой функции, что позволяет вести расчеты для оснований, профили поверхностей которых получены из реальных экспериментов.

В следующем параграфе представлено решение задачи при заданной осад ке штампа, когда распределение контактных давлений и сила приложения нагрузки подлежат определению. Решение и структура решения этих задач аналогично проделанному выше.

В параграфе § 4 замечено, что осесимметричная задача в известном смыс ле проще, нежели плоская задача, так как в ней присутствует всего одна степень свободы осадка. Однако все качественные выводы, сделанные для плоской задачи и не относящиеся к повороту, переносятся и на осесимметрич ные задачи. С помощью проведенного в этом параграфе численного расчета показано, что графики распределения контактных давлений целесообразно преобразовывать к их реальному виду, что связано с нелинейной заменой переменных по радиальной координате.

Раздел 1.3 подводит черту под рассмотренными в 1.1 и 1.2 задачами. В нем даются общие выводы, относящиеся к контактным задачам для тел с по крытиями, форма которых повторяет форму основания штампа, приводятся наиболее значимые формулы, даются рекомендации практического характе ра.

Глава 2 посвящена задачам контактного взаимодействия жесткого штам па и вязкоупругих оснований с тонкими упругими поверхностно неоднород ными покрытиями, то есть покрытиями, свойства которых меняются от точки к точке его поверхности, но постоянны по глубине. Поверхностная неоднород ность покрытия возникает обычно вследствие особенностей нанесения этого покрытия на основной слой, а также при поверхностной обработке уже нане сенных покрытий (лазерная обработка, ионная имплантация и т. д.). Поверх ностная неоднородность может быть вызвана также использованием различ ных материалов при изготовлении покрытий. В разделе 2.1 рассматриваются плоские, а в разделе 2.2 осесимметричные контактные задачи для вязкоупру гих оснований с поверхностно неоднородными покрытиями. Изучается влия ние вида неоднородности покрытия на контактные напряжения под штампом, а также на его осадку и угол поворота.

Параграф 1 раздела 2.1 посвящен постановке плоской контактной задачи для вязкоупругих оснований с поверхностно неоднородными упругими по крытиями. Как и в случае конформного контакта предполагается, что по крытие тонкое по сравнению с шириной штампа, а его жесткость не превы шает жесткости нижнего слоя. Как и ранее, между слоями, а также между нижним слоем и подстилающим основанием может осуществляться либо иде альный, либо гладкий контакт. Смешанное интегральное уравнение для такой постановки и дополнительные условия имеют вид (x [a, a]) q(x, t)h 2(1 2 ) q(x, t) + (I V2 )F = (t) + (t)x g(x), (11) R(x) E2 (t 2) a a q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t) = e(t)P (t), (12) a a В отличие от случая конформного контакта, теперь рассматриваются упру гие покрытия, а в правой части интегрального уравнения появляется функ ция формы основания штампа g(x), которая, по сути, является функ цией зазора между штампом и слоем в их недеформированном состоя нии (когда они соприкоснулись, но до начала действия силы, g(x) 0, x0 [a, a] : g(x0) = 0). После замены переменных уравнения (11) и (12) преобразуются к виду (x [1, 1], t 1) c(t)m(x)q(x, t) + (I V2 )F q(x, t) = (t) + (t)x g(x), (13) 1 q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t). (14) 1 Здесь функция m(x) обратно пропорциональна жесткости покрытия R(x).

В § 2 приведено решение поставленной в § 1 контактной задачи (13), (14).

Структура решения для контактных напряжений получается такой же, как и в задаче о конформном контакте, то есть удается в решении в явном виде вы делить функцию m(x), а значит и связанную с ней функцию жесткости R(x).

Фиг. 4. Распределение контактного давления при P (t) 1, e(t) 0 при t = Фиг. 5. Распределение контактного давления при P (t) 1, e(t) (1 t = 1, 2 t = 1.5, 3 установившееся распределение) Параграфы 3–5 раздела 2.1 посвящены решению задач, когда задан угол поворота, но неизвестен момент приложения силы;

когда задана осадка, но неизвестна сила приложения нагрузки;

когда заданы осадка и угол поворота штампа, а сила и момент приложения подлежат определению. Во всех по ставленных задачах, разумеется, неизвестным остается и распределение кон тактных давлений. Решения всех описанных задач, найденных при помощи проекционного метода, имеют структуру, схожую с той, что была получена в § 2.

В параграфе 6 приведены численные расчеты для оснований с поверх ностно неоднородными покрытиями. Произведены расчеты как для покры тий, жесткости которых изменены локально (рис. 4), так и для покрытий, жесткости которых описываются кусочнопостоянными функциями (рис. 5).

Рассмотрен случай, когда покрытие состоит из двух материалов, граница раз дела которых совпадает с осью штампа. Проиллюстрировано влияние формы штампа на распределение контактных давлений и на осадку штампа. Отме чено, что большинство графических методов, рассмотренных в параграфе раздела 1.1 работают и в случае поверхностной неоднородности. Однако сле дует учитывать тот факт, что в правой части разрешающего интегрального уравнения появляется функция формы основания штампа, вносящая свои коррективы в решение.

В разделе 2.2 рассматриваются осесимметричные контактные задачи для оснований с поверхностно неоднородными покрытиями. В первом парагра фе выводится разрешающее интегральное уравнение, во втором приводится его решение. Структура его, как и ранее, представляет из себя произведение жесткости покрытия и некоторой функции непрерывной по t со значениями из L2(0, 1). В параграфе 3 рассматривается решение задачи при известной правой части, то есть при заданной осадке штампа. Здесь следует лишь от метить, что все качественные выводы, сделанные для плоской задачи и не относящиеся к повороту штампа распространяются и на осесимметричную.

Основные результаты главы зафиксированы в 2.3.

В главе 3 рассматриваются контактные задачи износа упругих оснований с поверхностно неоднородными покрытиями. Считается, что между слоями, а также между нижним слоем и подстилающим основанием осуществляет ся идеальный контакт. Предполагается, что скорость изнашивания слоя пря мо пропорциональна касательным усилиям и осредненному значению модуля скорости скольжения V и обратно пропорциональна твердости покрытия, а касательные усилия и контактные давления связаны законом Кулона. Рас сматриваются кусочно однородные покрытия, отношения твердостей и жест костей которых совпадают, а также покрытия, технологический процесс нане сения или упрочнения которых делает их твердости и жесткости зависящими от координат точек поверхности, но не влияет на их отношение. Раздел 3. посвящен плоским контактным задачам износа, а раздел 3.2 осесимметрич ным. Структура разделов совпадает со структурой разделов 1.1, 2.1 и 1.2, 2.2, соответственно.

В § 1 раздела 1.1 рассматриваются плоские износо-контактные задачи. Раз решающее интегральное уравнение и дополнительные условия имеют вид (x [a, a], t 0) t q(x, t)h k1k2 V 2(1 2 ) + q(x, s) ds + F q(x, t) = (t) + (t)x g(x), (15) kT T (x) T (x) E a a q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t) = e(t)P (t), (16) a a где k1, k2, kT некоторые размерные и безразмерные коэффициенты, а T (x) функция прочности покрытия. После замены переменных урав нения (15), (16) принимают вид (x [1, 1], t 1) t cm(x) q(x, t) + V q(x, ) d + F q(x, t) = (t) + (t)x g(x), (17) 1 q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t). (18) 1 t Видно, что слагаемое q(x, t) + V 1 q(x, ) d можно записать в операторном виде (I V1 )q(x, t), где V1 оператор, ядро которого постоянно и рав но V. Таким образом, уравнение (17) является частным случаем обще го уравнения (1) и может быть решено при помощи проекционного метода А.В. Манжирова.

В параграфе § 2 приводится решение поставленной задачи. В нем в явном виде выделена функция прочности покрытия. Показано, что при постоянных силе P и моменте M, действующих на штамп, для упругого основания при больших значений времени в представлении контактных давлений остаются только главные члены разложения и тогда уравнение (10) можно предста вить в виде произведения функции твердости T (x) и некоторой линейной функции, то есть q(x, t) = AT (ax)(1 + x), где коэффициент обусловлен наличием перекоса штампа за счет приложен ного момента M или продольной неоднородности покрытия. Отмечено, что коэффициенты и A не зависят от функции формы основания g(x) и опре деляются из условий равновесия штампа на слое. При постоянных силе P и моменте приложения нагрузки M осадка и угол поворота стремятся к ли нейным по времени функциям, причем углы наклона асимптот определяются исключительно скоростью износа штампа.

Следующие три параграфа посвящены постановкам и решениям задач с известной функцией угла поворота, с известной функцией осадки штампа и с заданной правой частью. Для всех трех постановок получены решения.

В параграфе 6 приведены численные расчеты задач износа упругих осно ваний с поверхностно неоднородными покрытиями, при различных распреде лениях неоднородности. Установлено, что процесс износа под штампом про исходит неравномерно. При снятии штампа под ним образуется некоторый профиль поверхности. Если, например, твердость описывается некоторой ос циллирующей функцией, то образуется волнистая поверхность (рис. 6, 7).

Также установлено, что образовавшийся профиль тем выше, чем меньше жесткость нижнего слоя. Осадка штампа практически не зависит от распре деления твердости.

В раздел 3.2 рассматриваются осесимметричные износо-контактные зада чи. В § 1 приводится их постановка, а в § 2 решение. Третий параграф по Фиг. 6. Распределение контактных давлений при различных моментах времени.

P (t) 10, e(t) 0, m(x) = 1 + 0.5 sin(15x), c = 0.1, g(x) Фиг. 7. Профиль изношенной поверхности в различные моменты времени. P (t) 10, e(t) 0, m(x) = 1 + 0.5 sin(15x), c = 0.1, g(x) (1 t = 3.5, 2 t = 8.5, 3 t = 13.5, 4 t = 18.5) священ решению интегрального уравнения с известной правой частью. Как и в плоском случае отдельно выделяются решения для задач с упругими ос нованиями.

Важнейшие результаты выполненных в третьей главе исследований опи саны в 3.3.

В заключении сформулированы выводы и перечислены основные науч ные результаты всей диссертационной работы.

Использованный в данной работе проекционный метод позволяет едино образно подойти к решению сложных разнообразных контактных задач, как к решению некоторой общей проекционной задачи. В частности, он показы вает, что в случае плоской контактной задачи существует четыре различных варианта постановки: 1) когда заданы осадка и угол поворота штампа (то есть правая часть уравнения задана), 2) когда заданы осадка штампа и мо мент приложения нагрузки, 3) когда заданы угол поворота штампа и сила приложения нагрузки, 4) когда заданы сила и момент приложения нагрузки.

Каждая из постановок представляет из себя отдельную задачу со своим спе цифическим интегральным оператором, что приводит к необходимости для каждой из четырех задач строить свою систему собственных функций.

Следует заметить, что решения задач с неполной информацией о правой части и дополнительными условиями (случаи 1)–3)) не были ранее получе ны даже для упругого материала. Это удалось сделать только при помощи проекционного метода А.В. Манжирова. Более того, он позволил построить новое эффективное решение классической задачи для интегрального уравне ния Фредгольма второго рода с ядром Шмидта при заданной правой части, отличающееся от классического решения данного Шмидтом и приведенного в книге Гурса.

В приложении демонстрируются преимущества использованного проек ционного метода по сравнению с известными методами.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Поставлены и решены плоские и осесимметричные задачи о конформном контакте между вязкоупругими стареющими основаниями с покрытиями и жесткими штампами. Показана важность учета конформного контакта, его существенное отличие от классического гладкого. Решение задач получено в аналитическом виде, причем в выражениях для контактных напряже ний функция формы основания выделена явно, что позволяет проводить расчеты для реальных форм поверхности покрытий, описываемых быстро осциллирующие функции.

2. Поставлены и решены плоские и осесимметричные задачи для поверхност но неоднородных вязкоупругих слоистых оснований. Такой тип неоднород ности учтен впервые, причем в полученном решении функция жесткости верхнего тонкого слоя выделена явно, что дает возможность расчета как быстро осциллирующих, так и кусочно-постоянных функций жесткости, которые часто встречаются на практике.

3. Предложена простейшая модель износа поверхностно неоднородного упру гого основания. Решена соответствующая износо-контактная задача в ана литическом виде. Получены простые асимптотические формулы, пригод ные для использования в инженерных расчетах.

4. Развит проекционный метод решения смешанных интегральных уравнений для использования в конкретных плоских и осесимметричных контактных и износо-контактных задачах для тел с поверхностно неоднородными по крытиями и покрытиями со сложной формой поверхности.

5. Все задачи сопровождаются детальными модельными расчетами, а также графиками, на которых впервые показаны распределения контактных на пряжений в случаях реальных функций поверхностной неоднородности и экспериментально измеренного профиля поверхности. На основании ана лиза полученных решений и расчетов обнаружены новые механические эффекты. Сделаны практически важные выводы.

ПУБЛИКАЦИИ Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. Казаков К.Е. Контактные задачи для тел с покрытиями // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. №4(54). С. 176–196.

2. Казаков К.Е., Минеева О.М. Осесимметричная контактная задача для упругого основания с тонким неоднородным покрытием // Междунар.

молод. науч. конф. XXXI Гагаринские чтения, Секция №3, Механика и моделирование материалов и технологий, Москва, 5–9 апреля 2005 г. Тез.

докл. Москва: ИПМех РАН, 2005. С. 20–21.

3. Казаков К.Е. Об износе поверхностно неоднородного основания // Сме шанные задачи механики деформируемого тела: Материалы V Рос. конф.

с междунар. участием / Под ред. акад. Н.Ф. Морозова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 171–174.

4. Казаков К.Е. Осесимметричная контактная задача для вязкоупругого ос нования с тонким неоднородным покрытием // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX Международной конференции, по священной 85-летию со дня рождения академика РАН И.И. Воровича, г. Ростов-на-Дону, 11–15 октября 2005 г. Т. 1. Ростов-на-Дону: Изда тельство ООО ЦВВР, 2005. С. 93–97.

5. Манжиров А.В., Казаков К.Е. Плоские и осесимметричные контактные задачи для вязкоупругих стареющих тел с поверхностно неоднородными покрытиями // Проблемы механики деформируемых тел и горных по род. Сборник статей к 75-летию со дня рождения Е.И. Шемякина. М.:

Физматлит, 2006. С. 411–422.

6. Казаков К.Е. Осесимметричная контактная задача для вязкоупругого те ла с покрытием переменной толщины // XXXII Гагаринские чтения. На учные труды Международной молодежной научной конференции в 8 то мах. Москва, 4–8 апреля 2006 г. М.: МАТИ, 2006. Т. 1. С. 124–125.

7. Казаков К.Е. Контактные задачи для тел с покрытиями // Ракетно космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы ме ханики: Материалы Международной конференции, посвященной 90 летию В.И. Феодосьева. Москва, 4–6 мая 2006 г. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. С. 53.

8. Казаков К.Е. Плоские контактные задачи для тел с покрытиями перемен ной толщины // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. III (Нижний Новгород, 22–28 авгу ста 2006). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. М.И. Лобачевского, 2006. С. 103.

9. Manzhirov A.V., Kazakov K.E., Fedotov I. Wear of elastic foundations with inhomogeneous coatings // 35th Solid Mechanics Conference. Volume of Abstracts. Krakow, September 4–8, 2006. Warsaw: In-t of Fund. Tech.

Research of the Polish Academy of Sciences, 2006. P. 279–280.

10. Manzhirov A.V., Kazakov K.E. Contact problems for covered solids with real surface shape // Proceedings. Indo-Russian workshop on Problems in Nonlinear Mechanics of Solids with Large Deformation. November 22–24, 2006, IIT Delhi. New Delhi: IIT Delhi, 2006. P. 63– 11. Казаков К.Е. Контактные задачи для тел со сложными свойствами и фор мой поверхности // Междунар. молод. науч. конф. XXXIII Гагаринские чтения, Секция №3, Механика и моделирование материалов и техно логий, Москва, 3–7 апреля 2007 г. Тез. докл. М.: ИПМех РАН, 2007.

С. 30–31.

12. Манжиров А.В., Казаков К.Е. Износ вязкоупругого основания с неод нородным покрытием // Сборник трудов международной научно технической конференции Актуальные проблемы трибологии, июнь 2007 г., в 2-х томах. Том 1. М: Машиностроение, 2007 г. 507 с. C. 338–351.

13. Казаков К.Е. Контактные задачи для тел с покрытиями // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной сре ды. Тезисы докладов Международной конференции / Под ред. акад.

Н.Ф. Морозова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 128 с. С. 53–54.

14. Казаков К.Е. Осесимметричная контактная задача о склейке // Ак туальные проблемы механики сплошной среды. Труды Международ ной конференции, посвященной 95-летию академика НАН Армении Н.Х. Арутюняна. 25–28 сентября 2007, Цахкадзор, Армения. Ер.: Ере ванский государственный университет архитектуры и строительства, 2007. 531 с. С. 200–204.

15. Казаков К.Е. Плоский конформный контакт штампа и вязкоупругого ос нования с покрытием // Современные проблемы механики сплошной сре ды. Труды XI Международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 26–29 но ября 2007 г. Ростов-на-Дону: Издательство ООО ЦВВР, 2007.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.