авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Обобщенные характеристики, симметрии и точные решения интегродифференциальных уравнений теории длинных волн

На правах рукописи

Чесноков Александр Александрович

Обобщенные характеристики, симметрии и

точные решения интегродифференциальных

уравнений теории длинных волн

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Новосибирск – 2010

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН В. В. Пухначев доктор физико-математических наук, профессор В. К. Андреев доктор физико-математических наук Г. А. Хабахпашев

Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится « 06 » апреля 2010 года в 15-00 часов на заседа нии диссертационного совета Д 003.054.01 при Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН по адресу: проспект акад. Лаврентьева, 15, г. Новосибирск, 630090.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИГиЛ СО РАН.

Автореферат разослан « 01 » марта 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук С. А. Ждан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Теория распространения нелиней ных длинноволновых возмущений в неоднородных средах является важ ным и активно развивающимся разделом механики жидкости и газа. Ак туальность этой тематики связана с многочисленными приложениями теории длинных волн при моделировании крупномасштабных явлений в атмосфере и океане, имеющим практические приложения в метеороло гии и геофизике. Приближенные длинноволновые модели играют важ ную роль в задачах гидродинамики открытых русел, гидродинамиче ских проблемах транспортировки нефти и природного газа, в задачах гидроаэроупругости, связанных с конструированием судов и плавающих платформ. Широкое применение длинноволнового приближения в тео ретическом анализе волновых процессов обусловлено тем, что длинные волны затухают медленнее коротких и именно они определяют асимпто тику решения при больших временах. Кроме того, в этом случае упро щаются математические постановки задач, что позволяет более детально изучить нелинейные волновые процессы численными и особенно анали тическими методами. При этом гидродинамические модели теории длин ных волн позволяют учитывать ряд важных физических факторов, та кие как нелинейность, пространственная неоднородность (сдвиговой ха рактер движения), стратификация, эффекты коллективного взаимодей ствия пузырьков, геофизический эффект вращения, оказывающих суще ственное влияние на распространение волн в жидкости.

Длинноволновые модели, описывающие пространственно-неоднород ные движения жидкости, являются интегродифференциальными, что су щественно осложняет их качественный анализ и требует применения са мых современных подходов. Важнейшими элементами исследования гид родинамических моделей является вычисление скоростей распростране ния возмущений в жидкости, определение типа системы и изучение кор ректности постановки задачи Коши, построение классов точных реше ний уравнений, дающих представление о характерных режимах движе ния. Таким образом, изучение распространения волновых возмущений в неоднородной жидкости и развитие новых элементов теории нелиней ных интегродифференциальных уравнений является актуальной задачей теоретической гидромеханики. Научные исследования по данной темати ке, применительно к различным нелинейным длинноволновым моделям механики сплошной среды, ведутся в России и за рубежом.

Целью работы является развитие новых элементов теории гипер болических систем интегродифференциальных уравнений, построение и физическая интерпретация точных решений пространственных уравне ний теории длинных волн, а также изучение распространения нелиней ных длинноволновых возмущений в неоднородных потоках жидкости и анализ устойчивости волновых процессов.

На защиту выносятся:

• Математические модели распространения нелинейных длинновол новых возмущений в неоднородной жидкости и результаты их тео ретического анализа (обобщенные характеристики и условия гипер боличности интегродифференциальных моделей, точные решения, доказательство существования решений в классе простых волн, ре шение линеаризованных уравнений);

• Метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между ин тегральными инвариантами Римана;

• Новые элементы теории разрывных решений интегродифференци альных моделей и анализ сильных разрывов, не имеющих аналогов в классической теории гиперболических систем;

• Симметрии и новые точные решения пространственных уравнений теории длинных волн, полученные на основе систематического при менения теоретико-группового подхода.

Научная новизна. Рассмотренные в диссертационной работе гидро динамические задачи теории длинных волн являются развитием класси ческих постановок, связанным с более полным учетом реальных физи ческих факторов, таких как нелинейность, пространственная неоднород ность, стратификация и др. Основное отличие рассматриваемых мате матических моделей от обычных уравнений теории мелкой воды связано с необходимостью исследования нестандартных систем интегродиффе ренциальных уравнений. До недавнего времени аналитические резуль таты для интегродифференциальных моделей механики были преиму щественно связаны с линейной теорией и поиском законов сохранения.

Развитый В. М. Тешуковым новый теоретический подход к исследованию уравнений с операторными коэффициентами, основанный на обобщении понятий гиперболичности и характеристик, позволил продвинуться в по нимании основных закономерностей протекания нелинейных волновых процессов. Тем не менее, теория нелинейных интегродифференциальных уравнений не является завершенной и выполненные в диссертации иссле дования вносят существенный вклад в ее развитие и обобщение, а также содержат решение ряда важных гидродинамических задач.

В диссертации получено решение спектральных задач для определен ного класса операторов и построены обобщенные характеристики си стем интегродифференциальных уравнений механики сплошных сред.

Предложен и впервые применен метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между инвариантами Римана. Разработаны новые элемен ты теории разрывных решений для интегродифференциальных моде лей. Впервые проведено систематическое исследование симметрийных свойств и классов точных решений пространственных уравнений длин ных волн, учитывающих сдвиговой характер движения, неровность дна и геофизический эффект вращения. Результаты работы являются новыми, их достоверность устанавливается математическими доказательствами, иллюстрируется примерами точных и численных решений.

Теоретическая и практическая ценность. Выполненный в дис сертации анализ обобщенных характеристик интегродифференциальных моделей пространственно-неоднородного движения идеальной однород ной и стратифицированной жидкости в открытых каналах и упругих трубках позволил установить конечность скоростей распространения воз мущений, выяснить влияние завихренности (потенциальной завихрен ности) на протекание нелинейных волновых процессов и исследовать их устойчивость. Теоретические подходы, разработанные для уравне ний сдвигового движения жидкости, применены к кинетическим моде лям разреженной пузырьковой жидкости, описывающим распростране ние волн концентрации с учетом эффекта коллективного взаимодействия пузырьков. Разработанный метод построения решений для обобщенно гиперболических интегродифференциальных уравнений позволил суще ственно расширить запас точных решений уравнений вихревой мелкой воды и кинетической модели пузырьковой жидкости. При этом их инте грирование сведено к решению гиперболических систем дифференциаль ных уравнений. Большое значение имеет развитие теории разрывных ре шений интегродифференциальных уравнений, а предложенная специаль ная дискретизация, приводящая к “многослойным” гиперболическим си стемам дифференциальных уравнений, полезна для практики, посколь ку позволяет применить известные численные методы и получить коли чественные результаты. Анализ симметрийных свойств пространствен ных моделей теории длинных волн позволил получить важный теоре тический результат, имеющий прикладное значение: установлена экви валентность обычных уравнений мелкой воды и уравнений, описываю щих пространственные колебания вращающейся жидкости в круговом параболоиде (указанные модели связаны точечной заменой переменных).

Результаты работы, разработанные теоретические методы, численные и полуаналитические алгоритмы используются при выполнении научно исследовательских работ в ИГиЛ СО РАН, а также применяются в кур сах лекций, читаемых в Новосибирском госуниверситете.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на на учных конференциях по механике и математике, среди которых — VIII и IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной меха нике (Пермь, 2001;

Нижний Новгород, 2006);

— Всероссийская конференция «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Пермь, 2000;

Снежинск, 2002;

Абрау-Дюрсо, 2004;

Санкт-Петербург, 2006);

— Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007);

— Всероссийская конференция «Новые математические модели в меха нике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004, 2009);

— Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: тео рия, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008);

— IV Международный конгресс по математике (Стокгольм, 2004);

— XI Международная конференция «Гиперболические уравнения: тео рия и приложения» (Лион, 2006);

— Международная конференция, посвященная 100-летию И. Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Но восибирск, 2007);

— Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Тео рия приближений» (Новосибирск, 2008);

— Международная конференция «Математические методы в геофизике»

(Новосибирск, 2008);

— Международная конференция «Симметрии в нелинейной математиче ской физике» (Киев, 2007, 2009);

— Международная конференция «Современный групповой анализ диф ференциальных уравнений» (Уфа, 2009).

Результаты работы были представлены на научных семинарах под руководством академика Л. В. Овсянникова (ИГиЛ СО РАН), академика А. Г. Куликовского, д.ф.-м.н. А. А. Бармина и д.ф.-м.н. В. П. Карликова (ИМех МГУ), академиков А. В. Гуревича и В. Е. Захарова (ФИАН), чл. корр. РАН В. М. Тешукова и д.ф.-м.н. В. Ю. Ляпидевского (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН В. В. Пухначева (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН И. А. Тайманова (ИМ СО РАН), д.ф.-м.н. В. К. Андреева (ИВМ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю. А. Маркова (ИДСТУ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю. Д. Чашечкина (ИПМех РАН).

Публикации. Полученные результаты опубликованы в 12 статьях в рецензируемых научных журналах [1]–[12], а также в трудах конферен ций [13]–[16]. Работы [4, 5] и [8, 9], выполненные совместно, получены в процессе неразделимой творческой деятельности авторов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 308 страницах текста, включая 57 рисунков и 6 таблиц, библиография содержит наименований.

Научная тематика диссертации в значительной мере сформирована под влиянием чл.-корр. РАН В. М. Тешукова, который заинтересовал ав тора теорией нелинейных длинных волн в неоднородной жидкости и ока зывал всестороннюю поддержку в работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертации, дан обзор ли тературы, изложено краткое содержание работы. Существенное внима ние уделено моделям теории длинных волн и, в частности, уравнениям вихревой мелкой воды. Именно на этой модели оттачивалась техника теоретического анализа интегродифференциальных уравнений на осно ве предложенного В. М. Тешуковым обобщения понятий характеристик и гиперболичности для систем с операторными коэффициентами вида Ut + AUx = G. (1) Здесь U(t, x, ) — вектор искомых величин, G(t, x,, U) — заданная функция, AUx — результат действия матричного оператора A на функ цию Ux. Характеристическая кривая системы уравнений (1) определя ется дифференциальным уравнением x (t) = k(t, x), где скорость рас пространения характеристики k(t, x) является собственным значением спектральной задачи (F, (A kI)) = 0. Решение этого уравнения относительно функционала F ищется в классе локально интегрируемых либо обобщенных функций. Функционал F действует по переменной, переменные t и x рассматриваются как параметры;

I — тождественное отображение;

— пробная гладкая вектор-функция. В результате дей ствия функционала F на уравнение (1) получаем соотношение на харак теристике (F, Ut + kUx ) = (F, G).

Система уравнений (1) является обобщенно-гиперболической, если все собственные значения k вещественные и совокупность соотноше ний на характеристиках эквивалентна исходным уравнениям (1).

При решении рассматриваемых задач широко применялась теория ги перболических уравнений и численные методы их решения, а также при веденное выше определение обобщенной гиперболичности для систем с операторными коэффициентами. Выяснение вопроса о гиперболичности интегродифференциальной модели является нетривиальным и требует привлечения теории сингулярных интегральных уравнений и обобщен ных функций. Для построения точных решений моделей применялись методы группового анализа. Для проведения аналитических выкладок и получения графических результатов использовались системы компью терной алгебры. Во введении также перечислены вопросы, представляю щие интерес для развития теории нелинейных интегродифференциаль ных уравнений, решению которых посвящена диссертация.

В первой главе рассматриваются интегродифференциальные моде ли, обобщающие классические уравнения мелкой воды и приближенные модели двухфазных сред. Для более точного моделирования распростра нения возмущений в жидкостях и газах необходимо привлекать гидро динамические модели, учитывающие пространственно-неоднородный ха рактер движения и эффекты коллективного взаимодействия в жидкости с пузырьками. Уравнения движения жидкости в приближении длинных волн, учитывающие эти эффекты, являются интегродифференциальны ми и попадают в класс систем с операторными коэффициентами (1).

В первом разделе главы выведена модель горизонтально-сдвигового движения идеальной несжимаемой жидкости в протяженном открытом канале переменного сечения с ровным дном в поле силы тяжести [8, 9] ut + uux + vuy + ghx = 0, hy = 0, (2) uYi (x) v ht + (uh)x + (vh)y = 0, = 0.

y=Yi Здесь t — время, x, y и z — пространственные переменные, u, v — го ризонтальные компоненты вектора скорости, уравнениями z = h(t, x), y = Y1 (x) и y = Y2 (x) заданы свободная граница и боковые стенки ка нала. Следствием модели является сохранение потенциальной завихрен ности = uy /h вдоль траекторий. Исследовать уравнения (2) удобно в полулагранжевых координатах, переход к которым осуществляется за меной переменной y = (t, x, ), где функция — решение задачи Коши = Y2 (x) + (1 )Y1 (x) t + u(t, x, )x = v(t, x, ), t= Лагранжева переменная [0, 1];

значения = 0 и = 1 соответству ют боковым границам канала y = Y1 (x) и y = Y2 (x). Замена перемен ной обратима при условии 0. Для определения функций u(t, x, ), H(t, x, ) = h получаем интегродифференциальную модель (3) ut + uux + ghx = 0, Ht + (uH)x = 0, h= H d, Y где Y (x) = Y2 (x) Y1 (x) 0 — заданная ширина канала. По струк туре модель (3) близка к уравнениям вихревой мелкой воды, описыва ющей плоскопараллельные вертикально-сдвиговые движения жидкости (В. Е. Захаров, 1980;

В. М. Тешуков, 1985). Далее предполагается моно тонность изменения скорости по ширине канала (u 0). Если удовле творить этому условию в начальный момент t = 0, то в силу системы (3) оно будет выполнено при всех t 0.

Спектральная задача для уравнений (3) имеет нетривиальные реше ния при выполнении характеристического уравнения g H d (k) = 1 (4) = 0, (u k) Y определяющего скорости распространения возмущений в жидкости. Это уравнение имеет два корня k = k j (t, x) = u(t, x, ), которым отвечают j j собственные функционалы Fj = (F1, F2 ) из класса локально интегриру емых функций:

( 1 ) g H1 d 2 d (Fj, ) =.

(u k j )2 u kj Y 0 Имеется непрерывный характеристический спектр k = u(t, x, ), ко j j торому соответствуют два собственных функционала Fj = (F1, F2 ) (действующих по переменной ) из класса обобщенных функций:

( 1 ) F, () = 1 () + u H 1 2 ();

( 1 ) ( 2 ) (1 1 )H d g 2 d F, () = 1 () +.

(u u)2 u u Y 0 Здесь f = f (t, x, ), f = f (t, x, );

= (1, 2 ). Действие собственных функционалов Fj, Fj на систему уравнений (3) приводит ее к характе ристической форме (соотношениям на характеристиках) j rt + k j rx = F (k j );

j Rt + uRx = F (u), t + ux = 0, H d g u R=u, =, u u Y H 1 u H d g H d gY (x) r =k j j ;

F (z) = 2.

u kj u z Y Y (x) 0 Условия обобщенной гиперболичности уравнений (3) формулируют ся в терминах предельных значений комплексной характеристической функции (z) из верхней + и нижней полуплоскостей на отрезке [u0, u1 ] (индексы 0 и 1 соответствуют значениям функций при = 0;

1).

Лемма 1. Пусть u(t, x, ), H(t, x, ) удовлетворяют условиям + (u) ± = 0 (5) arg = 0, (u) (arg± — приращение аргумента комплексной функции ± при изме нении от нуля до единицы при фиксированных t, x). Тогда характе ристическое уравнение (4) имеет только вещественные корни.

Лемма 2. Пусть функции S1, S1, S2 удовлетворяют условию Гёль дера по переменной и для вектор-функции S с компонентами S1, S выполнены соотношения (Fj, S) = 0, (Fj, S) = 0, (j = 1, 2). При этом для функций u(t, x, ), H(t, x, ) выполнены условия (5). Тогда S 0.

Леммы 1, 2 и определение обобщенной гиперболичности позволяют сформулировать следующий результат.

Теорема 1. Для течений с монотонным по ширине канала профилем скорости условия (5) являются необходимыми и достаточными для гиперболичности уравнений (3), если функции u, H, дифференцируе мы, u, удовлетворяют условию Гёльдера по переменной.

Теорема 1 использована для выяснения устойчивости решений уравне ний (3). Установлено, что на классе решений u = (x + C())t1, H = t1, (Y = const) при определенном задании функции C(), отвечающей за сдвиг скорости, в процессе эволюции течения от непрерывного характе ристического спектра отделяются комплексные корни, соответствующие возникновению длинноволновой неустойчивости.

Для анализа стационарных решений в качестве лагранжевой коорди наты выберем функцию тока, вследствие чего H = hy = h/y = 1/u.

Рассмотрим течения, в которых u 0. Интегрирование уравнений (3) дает u = 2(C() gh), H = 1/ 2(C() gh). (6) Здесь C() 0 — произвольная возрастающая функция, а глубина слоя жидкости h(x) находится из замыкающего соотношения:

d (7) K(h) = Y (x)h, K(h) =.

2(C() gh) Функция K(h) 0 определена на интервале h [0, hb ), hb = C(0)/g — максимальная глубина потока. Существуют единственные значения h = h hb и Y = Ym 0, определяемые из условий K(h ) = Ym h, K (h ) = Ym. На интервале h (0, hb ) уравнение (7) при Y (Ym, Yb ) имеет два корня h = h1 h и h = h2 h ;

при Y Yb = K(hb )/hb — один корень h = h1 h (см. рис. 1). Течение, на котором выполнено неравенство K (h) g H d 1 =1 (8) u Y Y будем называть докритическим, а течение, на котором выполнено об ратное неравенство — сверхкритическим. Критическому течению соот ветствует достижение знака равенства в (8). Согласно определению, ре шение h1 уравнения (7) является сверхкритическим, а решение h2 — до критическим. В случае Y = const и отсутствия сдвига скорости получа ем классические условия докритичности |u| gh и сверхкритичности |u| gh потока. В силу (7), (8) в докритическом режиме течения глу бина слоя жидкости h(x) возрастает (убывает) при возрастании (убыва нии) поперечного сечения канала Y (x), а в сверхкритическом режиме h(x) убывает (возрастает) при возрастании (убывании) Y (x).

2.0 y y=Y2(x) K 0. 1.0 x -1.0 0. -0. 1. -0. 2 y=Y1 (x) -1. 0.4 0.8 h Рис. 1: Сплошная линия — характерный Рис. 2: Линии тока в докритическом вид зависимости K = K(h);

пунктир и стационарном течении с рециркуляци штрих-пунктир — прямые с угловым ко- онной зоной. Пунктир — линия тормо эффициентом Ym и Yb, соответственно. жения.

Исследованы стационарные течения, возникающие при локальном из менении поперечного сечения канала. Остановимся на докритическом об текании локального расширения канала: Y (x) = Y0 = const для |x| d;

Y (x) 0 для x (d, 0) и Y (x) 0 для x (0, d). Продолжение решения в область, где Y (x) Kb /hb становится невозможным, так как уравнение (7) не имеет докритической ветви решения. При Y (x) Kb /hb происходит замедление потока, а в слое = 0 его остановка. Построим стационарное течение другой структуры, включающее рециркуляцион ные зоны с замкнутыми линиями тока. Пусть в точках x = x1 и x = x (d x1 x2 d) выполняются равенства Y (x1 ) = Y (x2 ) = K(hb )/hb.

На интервалах x (d, x1 ) и x (x2, d) решение задается формулами (6), где h(x) — докритический корень уравнения (7). Существует про должение решения в область x x1, такое что при x1 x x2 часть канала по ширине Y1 (x) y Yr (x) занимает рециркуляционная зона, а в области Yr (x) y Y2 (x) решение по прежнему задается соотноше ниями (6). В рециркуляционной зоне функция u обращается в нуль на линии y = Yc (x), при этом горизонтальная компонента скорости отрица тельна для y (Y1, Yc ) и положительна для y (Yc, Yr ). Для решения в рециркуляционной зоне имеем представление u = 2(G() gh), H = 1/ 2(G() gh).

Непрерывность скорости при переходе через границу y = Yr (x) влечет равенство C(0) = G(0). Функция G() определена для (c, 0), где c (h) 0 — корень уравнения G() gh = 0. Линия = c (h) задает слой торможения, в котором скорость равна нулю. Граница рециркуля ционного течения y = Yr (x) и линия торможения задаются уравнениями 2 d Y1 (x) + Yr (x) Yr (x) = Y1 (x) +, Yc (x) =.

2(G() gh) h(x) c (h) Глубина слоя жидкости h(x), на интервале течения с рециркуляционной зоной, связана с функциями C(), G() и Y (x) соотношением ( 1 ) 1 d d h= +2.

2(C() gh) 2(G() gh) Y 0 c (h) Множество решений задачи о течении в рециркуляционной зоне имеет произвол в одну функцию одной переменной. Для построения решения необходимо задать функцию h(x), либо G(). При этом функция G() (либо h(x)) определяется в ходе построения решения задачи. Линии тока в точном решении с зоной возвратного течения показаны на рис. 2.

Во втором разделе главы выведена и исследована нелинейная модель сдвигового осесимметричного течения идеальной несжимаемой жидко сти в протяженной цилиндрической трубке с упругими изотропными стенками [1, 13]. Преобразованиями эта модель сводится к уравнени ям, описывающим плоскопараллельные вертикально-сдвиговые движе ния тонкого слоя жидкости в канале с твердым дном y = 0 и упругой верхней границей y = h(t, x) ( h ) y ( ) v= ut + uux + vuy + p(h) x = 0, ht + u dy = 0, ux dy, x 0 где p(h) заданная функция, определяющая эластичные свойства кана ла (Т. Педли, 1983). В полулагранжевых переменных модель сводится к интегродифференциальной системе уравнений сдвигового движения тон кого слоя баротропной жидкости со свободной границей ( ) (9) ut + uux + p(h) x = 0, Ht + (uH)x = 0, h= H d, условия гиперболичности которой уже известны (В. М. Тешуков, 1995).

Здесь y = (t, x, ), H = 0 — якобиан перехода к полулагранжевым переменным. Следствием уравнений является сохранение завихренности = uy = u /H вдоль траекторий. Рассматриваемая задача имеет непре рывный k = u и дискретный k1 u0 = u(t, x, 0) и k2 u1 = u(t, x, 1) характеристический спектр, определяемый уравнением ( 1 ) H d (k) = 1 P (10) H d = (u k) 0 (предполагается, что u 0;

P (h) = ph (h)). Для гладкого решения u(t, x, ), H(t, x, ) условия обобщенной гиперболичности уравнений (9) имеют вид (5) с функцией, определенной в (10).

Простыми волнами будем называть решения системы уравнений (9) вида u = u((t, x), ), H = H((t, x), ). Согласно (9) функции u(, ), H(, ) определяются из уравнений ( 1 ) (u k)u + P H d H d = 0, (11) 0 (u k)H + Hu = 0, k = t /x.

Нетривиальные решения (11) существуют когда k совпадает с одним из корней характеристического уравнения (10) (k = k1 (), k = k2 ()) или принадлежит отрезку [u0 (), u1 ()]. Пусть k = k2 () u;

в каче стве переменной (t, x) возьмем функцию h(t, x). Рассмотрим задачу о примыкании простой волны к заданному сдвиговому потоку u = u0 (), H = H0 () по характеристике h = h0. Из системы уравнений простых волн (11) и уравнения (10) получаем задачу Коши для определения че тырех функций u(h, ), H(h, ), u (h, ) и k(h):

P (h) P (h)H P (h)u uh =, Hh =, uh =, uk (u k)2 (u k) ( )( 1 ) 3P (h) H d Ph H d (12) kh = +, (u k)4 P 2 (u k)3 ) 0 = u0 (), k u = u0 (), H = H0 (), u = k2.

h=h0 h=h0 h=h0 h=h Здесь k2 u0 () — корень уравнения 1 H() d P (h) = 1;

h0 = H0 () d.

(u0 () k) 0 Отметим свойство простых волн: если u(h0, 1 ) = u(h0, 2 ), то всюду в области определения решения u(h, 1 ) = u(h, 2 ). Если при h = h выполняется неравенство u0 () = 0, то u (h, ) = 0 в области волны.

Теорема 2. Пусть u0 () — непрерывно дифференцируемая, H0 () — непрерывная на отрезке [0, 1] функции такие, что u0 () 0, H0 ()/u0 () a 0, H0 () 0, k2 u0 (1) +, и выполнены условия (5). Тогда система уравнений (12) имеет един ственное решение на любом интервале h (0, b] (h0 (0, b]), причем u(h, ) — дифференцируемая, H(h, ) — непрерывная функции.

В случае замыкания модели по закону p(h) = C1 h + C2 вычисле на 5-параметрическая группа допускаемых преобразований, состоящая из двух переносов, галилеева переноса и двух растяжений (при = имеется проективное преобразование). С использованием одномерных представителей оптимальной системы подалгебр выписаны подмодели и некоторые из них проинтегрированы. Построены автомодельные ре шения, выражаемые через неполные бета-функции.

В третьем разделе исследованы характеристические свойства уравне ний длинных волн, описывающих плоскопараллельные сдвиговые движе ния двухслойной стратифицированной идеальной жидкости над ровным дном со свободной границей в поле силы тяжести [3]. В полулагранжевых переменных интегродифференциальные уравнения движения имеют вид 1 g u1t + u1 u1x + g H1x d + H2x d = 0, 0 Hit + Hi uix + ui Hix = 0, (i = 1, 2) (13) 1 u2t + u2 u2x + g H1x d + g H2x d = 0 (индекс 1 относится к нижнему слою, 2 — к верхнему;

2 1 ). В пред положении монотонности профиля скорости (ui 0, u20 = u2 |= u11 = u1 |=1 ) определены скорости распространения возмущений (име ется непрерывный и дискретный характеристический спектр), вычисле на характеристическая форма системы и сформулированы необходимые условия гиперболичности модели (13).

В отличие от предыдущих моделей в данном случае характеристиче ское уравнение имеет достаточно сложный вид 1 H1 d H2 d (k) = 1 g g + (u1 k)2 (u2 k) 0 (14) 1 1 ( 2 ) H1 d H2 d µ= +g 2 µ =0.

(u1 k)2 (u2 k)2 0 В безвихревом случае уравнения двухслойной мелкой воды являются ги перболическими, если на решении существует четыре вещественных кор ня характеристического уравнения (Л. В. Овсянников, 1979). Для обоб щенной гиперболичности системы (13) также необходимо существование четырех вещественных корней уравнения (14).

Лемма 3. Если на заданном решении ui, Hi (i = 1, 2) выполняется одно из следующих условий:

1) q1 µ, p1 µ;

2) q2 µ, p1 µ;

3) q1 µ, p2 µ;

4) q2 µ, p2 µ, p2 (k ) + q 2 (k ) µ;

2 ( u20 + u11 ) 2 5) p (k ) 1 +, q (k ) 1 + k =, 1 1 то уравнение (14) имеет четыре вещественных корня. Условие от сутствия комплексных характеристик имеет вид (5) с функцией, определенной формулой (14). Приращение аргумента вычисляется при изменении u от u10 до u11 и от u20 до u21.

Получение достаточных условий гиперболичности уравнений движе ния оказалось сопряжено с принципиальными трудностями, связанными с анализом однозначной разрешимости сингулярных интегральных урав нений на разомкнутых контурах, содержащих как характеристическую часть, так фредгольмов оператор первого рода.

В четвертом разделе главы проведен теоретический анализ одномер ного кинетического уравнения пузырьковой жидкости [2, 14] l = (1 + )1 j ft + (p l)fx + (p l)lx fp = 0, (15) (Б. Пертам и др., 1999). Здесь f (t, x, p) — плотность распределения пу зырьков по декартовой координате x и импульсам пузырьков p в момент времени t 0;

(t, x), j(t, x) — нулевой и первый моменты функции распределения. Уравнения (15) преобразованы к виду (1) и подвергнуты * Рис. 3: Характеристики уравнения (16) Рис. 4: Заданный фон (кривая 1), бегу (кривые = const). щая волна (кривая 2).

характеристическому анализу. Имеется только непрерывный веществен ный характеристический спектр k = p l в области, где f 0.

Теорема 3. Пусть функция f дифференцируема по всем переменным, fp гёльдерова по переменной p, функции f и fp обращаются в нуль при |p|. Тогда условия fp (t, x, p ) dp ± ± arg = 0, = 1 + (p l) ± i(p l)2 fp = p p являются необходимыми и достаточными для обобщенной гиперболич ности системы уравнений (15). Приращение аргумента вычисляется при изменении p от до для фиксированных значений t, x.

Остановимся на алгоритме построения решений модели (15) в классе бегущих волн f = f (, p), l = l(), = x Dt. Кинетическое уравнение (p l D)fl + (p l)fp = 0. (16) интегрируется в явном виде f = (), = p2 /2 (D + l)p + l2 /2, а зави симость l() = const задается произвольно. Рассмотрим задачу Коши ( ) (17) f (l0, p) = f0 (p), l0 = 1+ f0 (p) dp pf0 (p) dp для уравнения (16). Условия (17) обеспечивают непрерывное примыка ние бегущей волны к заданному стационарному однородному по про странству решению f = f0 (p). Как видно из рис. 3, для l l0 решение задачи Коши однозначно определяется по начальным данным в областях 1 и 2. В области 3 (куда не приходят характеристики пересекающие прямую l = l0 ), ограниченной кривой = s0 = D2 /2 Dl0, решение на ходится из дополнительного интегрального уравнения. Для построения решения в области 3 преобразуем соотношение ( ) (18) l = 1+ f dp pf dp в интегральное уравнение для определения функции () на интервале (s, s0 ), где s = D2 /2Dl. Для этого в (18) перейдем к переменной.

В результате получаем интегральное уравнение Абеля для определения функции () в области 3. В бегущей волне концентрация пузырьков возрастает (рис. 4). Особенностью решения является возможность про извольно задать гладкую функцию l = l().

Во второй главе предложен новый подход к построению решений обобщенно-гиперболических систем с операторными коэффициентами, которые приводятся к интегральным инвариантам Римана. Метод ос нован на функциональной зависимости между инвариантами Римана и позволяет свести решение исходной интегродифференциальной модели к интегрированию системы дифференциальных уравнений. Метод ис пользован для построения решений уравнений вихревой мелкой воды и одномерного кинетического уравнения Руссо — Смереки.

В первом разделе второй главы построен специальный класс решений уравнений вихревой мелкой воды ( h ) y u dy = 0, v = ux dy (19) ut + uux + vuy + ghx = 0, ht + x 0 (Д. Бенни, 1973), а также выполнены численные расчеты непрерывных и разрывных сдвиговых движений тонкого слоя тяжелой идеальной жид кости со свободной границей [4]. Уравнения (19) удобно преобразовать к “кинетическому” виду u Wt + uWx ghx Wu = 0, h = W du, (20) u (21) u1t + u1 u1x + ghx = 0, u0t + u0 u0x + ghx = 0.

Здесь W = 1 (аналог функции распределения, = uy ) является иско мой функцией переменных t, x и u. Функции u0 (t, x) и u1 (t, x) — гори зонтальные скорости на дне и свободной границе. Уравнения (20), (21) формируют замкнутую систему интегродифференциальных уравнений для определения искомых функций W (t, x, u), u1 (t, x) и u0 (t, x).

Введем новую функцию u W (t, x, u ) du R(t, x, u) = u g.

u u u На решениях уравнений (20), (21) величина R удовлетворяет такому же уравнению, как и W. Действительно, Rt + uRx ghx Ru = 0. Величины W (t, x, u) и R(t, x, u) будем называть интегральными инвариантами Ри мана. Рассмотрим решения с функциональной зависимостью между W и R. Пусть W = (R), где произвольная гладкая функция. Выражение ( u1 ) W du W = (R) = u g (22) u u u представляет нелинейное интегральное уравнение для определения неиз вестной функции W = W (u0, u1, u). Предположим, что это интегральное уравнение решено и функция W (u0, u1, u) известна. Используя второе уравнение (20), определяем зависимость h(t, x) = h(u0, u1 ), подстановка которой в уравнения (21) дает замкнутую систему дифференциальных уравнений ( ) ( ) u1t + u1 u1x + g h(u0, u1 ) x = 0, u0t + u0 u0x + g h(u0, u1 ) x = 0. (23) для функций u0 и u1. Предположим, что система (23) также решена и функции u0 (t, x), u1 (t, x) определены. В этом случае, при выполне нии условий обобщенной гиперболичности модели, функция W (t, x, u) = W (u0 (t, x), u1 (t, x), u), найденная из уравнения (22), удовлетворяет ки нетическому уравнению (20).

Пусть зависимость между инвариантами Римана W и R линейная:

a1 = gctg(µ), W = (R) = a(R b), b и µ — произвольные постоянные (µ (0, 1), µ = 1/2). Тогда (22) яв ляется линейным сингулярным интегральным уравнением, решение ко торого (в классе функций ограниченных при u = u0 и неограниченных при u = u1 ) находится в явном виде ) ( u u )µ sin(µ) ( u b µ(u1 u0 ) (24) W (u0, u1, u) =.

u1 u g 4 h 0,16 y t= 0, t=1 t= 0, 0, y=h 0, 0, 0, 0, x x 0 3,0 4, 3, 1,0 0 10 1, 0,5 2,0 2,5 Рис. 5: Свободная граница y = h() и Рис. 6: Глубина слоя жидкости: сплош вектор скорости (u(, y), v(, y)) в ав- ная линия — многослойная модель (28), томодельной простой волне. пунктир — специальный класс (27).

Подстановка (24) в (20) позволяет выразить глубину слоя жидкости h(t, x) в терминах u0 и u1 :

( ) h(u0, u1 ) = µg 1 (u1 u0 ) 21 (1 µ)(u1 u0 ) + u0 b.

В результате этого исходная интегродифференциальная модель сведена к решению системы из двух дифференциальных уравнений (23), допус кающих формулировку в инвариантах Римана ( ) ( ) u0 ci µ rit + ci rix = 0;

ri = b ci b µ(u1 u0 ) (25) u1 ci (i = 1, 2), где 1 µ gh + µ(u1 u0 ) + b (u1 u0 )2.

c1,2 = gh + µ(u1 u0 ) Получены точные решения уравнений (25), соответствующие автомо дельным простым волнам: r2 (u0, u1 ) = r20 = const, c1 (u0, u1 ) = = x/t.

Пример такого решения при следующих значениях параметров (µ = 0,6;

b = 3;

r20 = 10;

g = 9,8) приведен на рис. 5.

Для моделирования разрывных решений уравнений вихревой мелкой воды использованы интегродифференциальные законы сохранения ut + uux u0t u0 u0x = 0, Ht + (uH)x = 0, ( 1 ) ( 1 ( 1 )2 ) (26) g u2 H d + uH d + H d = 0, t x 0 0 записанные в полулагранжевых переменных (В. М. Тешуков, 1995), где y = (t, x, ), H = 0 — якобиан перехода к лагранжевой перемен ной. Если перед разрывом имеется решения из специального класса (с линейно-зависимыми инвариантами Римана), то за скачком решение не принадлежит этому классу. Но поскольку величина W на разрыве со храняется, а инвариант R имеет второй порядок малости по сравнению с амплитудой скачка = [h], то с точностью до O( 2 ) за скачком решение также из специального класса. Описание разрывных решений в специ альном классе основывается на законах сохранения массы и импульса ( ) ht + mx = 0, mt + n(h, m) + gh2 /2 x = 0, (27) где m и n первый и второй моменты функции W.

Для применения стандартных численных подходов, основанных на различных модификациях метода С. К. Годунова, уравнения (26) необхо димо преобразовать к системе дифференциальных законов сохранения.

Это достигается разбиением по лагранжевой переменной на M слоев и осреднением уравнений в предположении линейности профиля скорости в каждом из слоев. В результате получена дифференциальная система законов сохранения для полной модели вихревой мелкой воды hi + (uci hi ) = 0, (i hi ) + (uci i hi ) = 0, t x t x (M( ( )2 ) ) (28) M m i hi g + uci hi + + hi = 0.

t x i=1 12 2 i= Здесь hi (t, x), i (t, x) = uy и uci — глубина, вихрь и средняя скорость в i-ом слое;

m(t, x) — полный горизонтальный импульс жидкости;

( )1 ( ) ( ) i M M i M i hi j hj m i h2.

uci = + hi hi j hj + i 2 2 i= j=1 i=1 i=1 j= Для вычислений использована центральная схема второго порядка точности (Х. Нессьяху, Э. Тэдмор, 1990), не требующая решения задачи Римана и поэтому эффективная в случае большого числа уравнений в системе. Результаты расчета распада начального разрыва, полученные по моделям (27) и (28), представлены на рис. 6. Как видно из графиков, имеется достаточно хорошее совпадение даже в случае значительной ам плитуды разрыва. Рис. 7, 8 иллюстрируют влияние завихренности на распространение волн. Пусть b = 12, а параметр µ меняется в интер вале [0,1;

0,7]. Как видно из рис. 8, сдвиг скорости увеличивается при y h 0,7 m =0, 0, 0, 0, 0,5 m =0, 0, 0, 0, 0,3 0, 0, m =0, 2 0, 0,1 u x 0 -1,5 -0, -1,0 0, - -2 0 Рис. 7: Глубина h при t = 0 (линия 0) и Рис. 8: Начальный профиль скорости t = 0, 5 (линия 1 — модель мелкой воды, при разных значениях параметра сдви 2 и 3 — многослойная модель (28)). га µ.

уменьшении µ. Если параметр µ 1/2, то глубина h, вычисленная по многослойной модели, близка к результатам, полученным по классиче ским уравнениям мелкой воды (рис. 7, сплошная линия 1). Значительное расхождение в вычислениях по полной и осредненной моделям наблюда ется при µ = 0,25 и µ = 0,1 (пунктирные линии 2 и 3 на рис. 7). Раз рывы, распространяющиеся влево и вправо, симметричны относительно оси x = 0 в случае использования классических уравнений мелкой воды.

При расчете по многослойной модели (28) прерывные волны, двигающи еся в противоположных направления, свойством симметрии не обладают, что обусловлено влиянием неоднородности потока.

Во втором разделе главы аналогичные результаты получены для од номерной кинетической модели пузырьковой жидкости [5] ft + (p j)fx + pjx fp = 0, pit + (pi j)pix pi jx = 0. (29) (Дж. Руссо, П. Смерека, 1996). Здесь f (t, x, p) — функция распределения пузырьков, t — время, x — пространственная переменная, p — импульс пузырьков, j(t, x) — первый момент функции распределения. Предпола гается, что f отлична от нуля только на интервале p (p1, p2 ). Установ лено, что система (29) приводится к интегральным инвариантам Римана (В. М. Тешуков, 1999). Поиск решений с линейно-связанными инвариан тами Римана приводит к представлению ( )( )µ sin(µ) 1 µb(p2 p1 ) p p f= +b.

p2 p p При этом интегрирование исходной кинетической модели (29) сводится к решению системы дифференциальных уравнений для функций p1 (t, x), p2 (t, x) с известной зависимостью j = 1, p2 ). Другие решения модели j(p Руссо — Смереки получены в [12].

В третьей главе рассматривается задача о распаде произвольного разрыва для уравнений длинных волн под крышкой, а также задача о распространении бора на сдвиговом потоке со свободной границей. По строены новые типы разрывов, сочетающие свойства прерывной волны и контактного разрыва.

В первом разделе третьей главы исследована задача о распаде про извольного разрыва для нелинейных уравнений, описывающих плоско параллельное вертикально-сдвиговое движение идеальной несжимаемой жидкости, полностью занимающей протяженный канал [6] y h ut + uux + vuy + p = 0, v= (30) ux dy, ux dy = 0.

x 0 Здесь u, v — проекции вектора скорости на оси x и y, направленные вдоль и по глубине канала, p — давление на верхней стенке y = h0 = const, нижняя стенка — y = 0. Без ограничения общности полагаем, что расход жидкости Q = 0. Для уравнений (30) рассмотрим задачу Коши { ur (y) = 1 (y h0 /2), x u t=0 = ul (y) = 2 (y h0 /2), x Уравнения (30) для двухслойного движение жидкости с кусочно-постоян ной завихренностью (i = const) преобразуются к виду ( ) 1 2 h 1 2 2 h h + 2 h (31) + = 0, (h) = h, t x 2h0 2 где h(t, x) — граница раздела потоков с завихренностями 1 и 2. По из вестной функции h однозначно восстанавливается непрерывный кусочно линейный профиль скорости u(t, x, y). Условие сильной нелинейности уравнения (31) имеет вид 1/2 1 /2 2. При выполнении этого усло вия решение задачи Римана дается простой волной (рис. 9) (22 1 )h0 (22 1 )2 h2 h0 (2k + 2 h0 ) x h(k) = + +, k=.

3(1 2 ) 9(1 2 )2 3(1 2 ) t Вдоль линии раздела потоков формируется струйное течение, направ ленное к верхней границе канала (0 2 1 ).

При нарушении условий сильной нелинейности характеристик реше ние задачи включает сильный разрыв и примыкающую к нему автомо дельную простую волну. Скорость D и амплитуда h разрыва опреде ляются из системы (h ) = Dh, (h ) = D. Получение разрывного решения основано на построении “выпуклого” расширения для закона сохранения (31) с учетом условий устойчивости (О. А. Олейник, 1958).

y yh G B C 0 2 0, 1 0, ur ul 4 h w2 w1 0,4 * 5 0, 0 k -2 D Fk A F Рис. 9: Траектории частиц в волне Рис. 10: Траектории частиц в разрывном взаимодействия сдвиговых потоков. решении (0 2 1, 1 /2 2).

Траектории движения частиц в построенном разрывном решении по казаны на рис. 10, полученном при 1 = 10, 2 = 1, h0 = 1. Сдвиговой поток с завихренностью 2, занимающий перед разрывом k = D всю глубину канала 0 y h0, за разрывом занимает лишь его часть h y h0 (траектории 1–3 на рис. 10). В области k D, 0 y h ча стицы совершают возвратное относительно волны движение, т.е. величи на u k меняет знак (траектории 4–7 на рис. 10). Построенное решение содержит особенность, в которой частицы приходят на линию разры ва из области k D и, изменив на разрыве эйлерову координату y и вектор скорости, возвращаются в область k D. Таким образом, раз рывное решение сочетает свойства прерывной волны (имеются частицы, которые пересекают фронт разрыва) и контактного разрыва (имеются частицы, которые скользят вдоль фронта). Для определения соответ ствия частиц жидкости перед и за разрывом использовано соотношение [(u D)dy] = 0, вытекающее из локального закона сохранения массы.

На построенном решении выполнены соотношения [] = 0 и [Q] = 0, вы ражающие сохранения вихря и расхода, формирующие вместе с преды дущим равенством соотношения Гюгонио для модели (30). При переходе через разрыв энергия слоя жидкости убывает.

Во втором разделе главы получена последовательность гладких реше ний уравнений вихревой мелкой воды (19) сходящаяся к разрывному ре шению, моделирующему распространение бора [15]. Для построения ре шений в классе бегущих волн использована кинетическая формулировка модели и метод, изложенный в четвертом разделе первой главы. Проана лизировано поведение жидких частиц в окрестности резкого изменения глубины и показано, что новый тип разрыва является характерным для длинноволновых моделей сдвигового движения жидкости.

В четвертой главе рассматриваются уравнения пространственного движения тонкого слоя идеальной тяжелой жидкости с учетом сдвига скорости по глубине, геофизического вращения и неровности дна.

В первом разделе главы исследованы симметрии и классы точных ре шений уравнений длинных волн на пространственном сдвиговом потоке со свободной границей [7] ut + uux + vuy + wuz + ghx = 0, vt + uvx + vvy + wvz + ghy = 0, ht + uhx + vhy w ux + vy + wz = 0;

= 0, w = 0.

z=h z= Найдены допускаемые операторы, формирующие 9-и мерную алгебру Ли L9, изоморфную алгебре Ли операторов уравнений обычной мелкой во ды (Л. В. Овсянников, 1958), для которой известна оптимальная система подалгебр (А. С. Павленко, 2005). С использованием двумерных предста вителей оптимальной системы подалгебр построены и интерпретированы новые классы точных решений. Получены стационарные вращательно симметричные решения, описывающие движение жидкости с зонами воз вратного течения. Найдены устойчивые нестационарные решения, опи сывающие растекание (схлопывание) параболической полости.

Во втором разделе методы группового анализа применены к геофизи ческой модели вращающейся мелкой воды [10, 11] ut + uux + vuy f v + ghx = 0, vt + uvx + vvy + f u + ghy = 0, ht + (uh)x + (vh)y = 0.

(А. Гилл, 1986;

А. Майда, 2003;

Дж. Педлоски, 1987). Вычислена 9-и мер ная алгебра Ли допускаемых операторов Lf и установлен ее изоморфизм с предыдущей алгеброй Ли L9. С использованием симметрий выполне но групповое размножение решений, а также построение и физическая интерпретация вращательно-симметричных решений. Принципиальным результатом раздела является нахождение точечного преобразования, связывающего эту модель с обычными уравнениями мелкой воды.

Третий раздел главы, на котором остановимся более подробно, обоб щает предыдущие результаты [10, 16]. Рассмотрим нелинейные простран ственные колебания тонкого слоя идеальной жидкости в круговом пара болическом бассейне, вращающемся с постоянной угловой скоростью f / относительно вертикальной оси z. В цилиндрической системе координат (r,, z) движение жидкости описывается системой уравнений ( ) U V U V 2 f 2r U fV +U + +g h + Z = 0, t r r r 4 r ( ) V V V V UV g (32) +U + + + fU + h + Z = 0, t r r r r r h 1 (rU h) 1 (V h) + + = 0;

Z =.

t r r r Здесь U, V — радиальная и окружная компоненты вектора скорости;

h — глубина жидкости;

положительные постоянные g, f и f 2 /(4g) — ускорение свободного падения, параметры Кориолиса и рельефа дна.

Алгебра Ли L симметрий уравнений (32) изоморфна алгебре Ли L симметрий обычных уравнений мелкой воды, которая разлагается в пря мую сумму 6-мерного радикала и простой алгебры Ли sl(2). Известно, что простая алгебра Ли sl(2) для уравнений мелкой воды состоит из оператора переноса по времени, проективного оператора и растяжения:

X8 = t2 t + trr + (r tU )U tV V 2thh, X7 = t, X9 = 2tt + rr U U V V 2hh.

Соответствующая простая алгебра Ли sl(2) симметрий уравнений (32) формируется следующими нетривиальными операторами ( ) F7 = 2 1 t f 1 F8, = 2 g ( ) ( ) F8 = 1 1 + cos(t) t 21 r sin(t)r f (2)1 1 + cos(t) + ( ) ( ) +21 U sin(t) r cos(t) U + 21 V + f r sin(t)V + +h cos(t)h, F9 = 2 1 sin(t)t r cos(t)r + f 1 sin(t) + ( ) ( ) + U cos(t) + r sin(t) U + V + f r cos(t)V + +2h cos(t)h, которые будут использованы ниже для генерации решений. Анализ сим метрийных свойств модели (32) позволяет сформулировать теорему.

Теорема 4. Уравнения (32), описывающие в приближении мелкой во ды движение идеальной жидкости во вращающемся круговом парабо лическом бассейне, и обычные уравнения мелкой воды (уравнения (32) при f = 0, = 0) связаны точечным преобразованием / 2 t t ft t = tg, r = r cos, = +, 2 2 ( fr) t r t t (33) U = U cos + sin, V = V + cos, 2 2 2 2 ( ) t h = h cos2 = 2 g.

Действительно, если функции U (t, r, ), V (t, r, ) и h(t, r, ) удовлетво ряют уравнениям (32), то функции U (t, r, ), V (t, r, ) и h (t, r, ), определяемые формулами (33), являются решением обычных уравнений мелкой воды.

Замечание. В осесимметричном случае при любой функции Z = Z(r) замена переменной V = V f r/2 исключает из уравнений (32) сла гаемые, отвечающие за силу Кориолиса и центробежную силу. Этого можно добиться и в пространственном случае с произвольной функцией Z = Z(r, ) с помощью преобразования (33) при = f, дополненного ( ) соотношением Z = Z f 2 r2 /(8g) cos2 (f t/2).

Конечные преобразования, соответствующие операторам F7, F8 и F использованы для группового размножения решений.

Теорема 5. Если совокупность функций U = U (t, r, ), V = V (t, r, ), h = h(t, r, ) удовлетворяет системе уравнений (32), то той же системе уравнений удовлетворяет совокупность функций ) ( (t, r, ) + ( 1) + r U (t, r, ) = U, 2 2 + 2 (1 + 2 ) ) ( (t, r, ) f r ( 1)( ) + (34) V (t, r, ) = V, 2 + 2 2) 2 (1 + 2 + t h(t, r, ) = h(t, r, );

= tg, (1 + 2 ) где величины t, r и определены формулами (1 + 2 ) t = arctg( ) + (t), r = r, 1 + 2 ( ) = f arctg( ) arctg( ) ;

= tg t.

y y a b 1 1.0 1. 0.5 0.5 2 x x -0. -1.0 0.5 -1.0 0.5 1. -0. -0.5 -0. 4 3 -1.0 -1. Рис. 11: Деформация материального контура при движении жидкости по формулам (35): a — контуры 0 4 соответствуют t = 3n/, n = 0 4;

b — окружности 1, 2 — t = 0;

спирали 3, 4 — t = 25/.

Здесь = exp(2a) 0;

a — групповой параметр;

(t) = 2n/, где n ( ) — целое число, такое что t = t|a=0 (2n 1)/, (2n + 1)/.

Применим теорему к стационарным вращательно-симметричным ре шениям U = U = 0, V = V (r) (глубина слоя жидкости восстанавли вается по заданной функции V (r) с использованием третьего уравнения системы (32)). Преобразование (34) приводит к классу осесимметричных периодических по времени решений системы уравнений (32) (1 + 2 ) ( ) r (2 1) h= hr, U=, 1 + 2 2 1 + 2 2 (35) ( ) (1 + 2 ) f r ( 1)( 2 1) V =V r.

1 + 2 2 1 + 2 Нелинейные колебания жидкости, описываемые классом решений (35), обладают свойством изохронности. Период решения 2 = T= g определяется только кривизной параболоида в полюсе и не зависит от амплитуды колебания. Аналогичные решения были получены и экспери ментально подтверждены при анализе осесемметричных решений урав нений (32) (П. Н. Свиркунов, 1996;

М. В. Калашник и др., 2004).

Траектории движения частиц на решении (35) имеют вид f( ) 1 + 2 arctg( ) arctg( ) + r(t) = r0, (t) = 0 + 1 + 2 ( ) V (r0 ) + arctg( ) + (t), r где (t) определенная выше функция;

постоянные r0, 0 задают началь ное положение частицы. Траектории частиц являются эргодическими (для любого 0 существует t 0, что при t = t частица находится на расстоянии не более от начального положения при t = 0).

Деформация материального контура в процессе эволюции течения (35) показана на рис. 11. Графики получены при V (r) = lr2 ;

g = f = 1;

= 5;

l 0,27;

= 3/2. На рис. 11, a материальный контур показан при t = 3n/ (n принимает значения 0 4, что соответствует лини ям 0 4). Пунктир — траектория движения частицы. С ростом време ни рассматриваемый контур закручивается в спираль (рис. 11, b). Здесь окружности 1 и 2 — материальные контуры при t = 0;

спирали 3 и 4 — соответствующие материальные контуры при t = 25/ 35,12.

Полученные результаты, в частности, теоремы 4 и 5 обобщены на случай пространственных вертикально-сдвиговых нелинейных колеба ний тонкого слоя вращающейся жидкости в круговом параболоиде, опи сываемых интегродифференциальными уравнениями движения.

Основные научные результаты диссертации.

• Определены скорости распространения нелинейных длинноволно вых возмущений в неоднородной жидкости на основе применения теории обобщенных характеристик к интегродифференциальным си стемам уравнений движения. Построены обобщенные характеристи ки и сформулированы условия гиперболичности для:

– модели горизонтально-сдвигового движения тонкого слоя иде альной жидкости в открытом канале переменного сечения;

– уравнений сдвигового осесимметричного движения жидкости в протяженной упругой трубке;

– модели завихренного плоскопараллельного движения двухслой ной стратифицированной жидкости со свободной границей;

– одномерного кинетического уравнения разреженной пузырько вой жидкости.

Для рассмотренных интегродифференциальных моделей построены классы точных решений и исследована их устойчивость;

доказано существование решений в классе простых волн, непрерывно примы кающих к заданному сдвиговому потоку;

дано решение линеаризо ванных уравнений.

• Предложен метод построения решений нелинейных интегродиффе ренциальных уравнений, основанный на функциональной зависи мости между инвариантами Римана. Применение метода к уравне ниям вихревой мелкой воды и кинетическому уравнению Руссо — Смереки разреженной пузырьковой жидкости позволило получить следующие результаты:

– построен специальный класс решений моделей, характеризую щийся линейной зависимостью между интегральными инвари антами Римана и описываемый гиперболической системой двух дифференциальных уравнений с двумя параметрами;

– выполнено численное моделирование распространения непре рывных и разрывных длинноволновых возмущений, продемон стрировано влияние пространственной неоднородности потока на распространение волн.

• Выполнен анализ разрывных решений интегродифференциальных моделей сдвигового движения жидкости, в том числе:

– решена задача о распаде произвольного разрыва для уравне ний вертикально-сдвигового движения жидкости под крышкой в классе течений с постоянной завихренностью;

– построены последовательности гладких решений уравнений вих ревой мелкой воды, сходящиеся к разрывным решениям.

При этом установлено, что сильный разрыв в рамках моделей мел кой воды для сдвиговых движений сочетает свойства ударной (пре рывной) волны и контактного разрыва.

• Найдены симметрии и классы точных решений пространственных длинноволновых моделей с учетом эффектов вращения, сдвига ско рости и рельефа дна:

– получено точечное преобразование, приводящее уравнения, опи сывающие пространственные колебания тонкого слоя вращаю щейся жидкости в круговом параболоиде, к обычным уравнени ям мелкой воды;

– построены классы точных решений пространственных уравне ний теории длинных волн (периодические по времени решения, стационарные решения с рециркуляционными зонами, а также вращательно-симметричные решения, описывающие различные режимы растекания и схлопывания жидкого кольца).

Основные публикации по теме диссертации [1] Чесноков А. А. Осесимметричные вихревые движения жидкости в длинной эластичной трубе // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 4. С. 76–87.

[2] Чесноков А. А. Характеристические свойства и точные решения кинетического уравнения пузырьковой жидкости // ПМТФ. 2003.

Т. 44, № 3. С. 41–50.

[3] Чесноков А. А. О распространении длинноволновых возмущений в двухслойной завихренной жидкости со свободной границей // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2. С. 99–110.

[4] Teshukov V., Russo G., Chesnokov A. Analytical and Numerical Solutions of the Shallow Water Equations for 2-D Rotational Flows // Math.

Models Methods Appl. Sci. 2004. V. 14, № 10. P. 1451–1479.

[5] Руссо Дж., Тешуков В. М., Чесноков А. А. Специальный класс реше ний кинетического уравнения пузырьковой жидкости // ПМТФ.

2005. Т. 46, № 2. С. 33–43.

[6] Чесноков А. А. О взаимодействии сдвиговых потоков идеальной несжимаемой жидкости в канале // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 6. С. 34– 47.

[7] Чесноков А. А. Симметрии и точные решения уравнений мелкой воды на пространственном сдвиговом потоке // ПМТФ. 2008. Т. 49, № 5. C. 41–54.

[8] Чесноков А. А., Ляпидевский В. Ю. Волновые движения жидкости в узком открытом канале // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 2. С. 61–71.

[9] Ляпидевский В. Ю., Чесноков А. А. Докритические и сверхкритиче ские горизонтально-сдвиговые течения в открытом канале пере менного сечения // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 6. С. 123–138.

[10] Chesnokov A. A. Symmetries and exact solutions of the rotating shallow water equations // Europ. J. Appl. Math. 2009. V. 20. P. 461–477.

[11] Чесноков А. А. Симметрии уравнений теории мелкой воды на вра щающейся плоскости // СибЖИМ. 2008. Т. 11, № 3. С. 135–146.

[12] Чесноков А. А. Распространение волн концентрации в пузырьковой жидкости // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, Ч. 2. Спец.

вып. С. 680–685.

[13] Чесноков А. А. Простые волны на сдвиговом потоке идеальной жид кости в удлиненном эластичном канале // Проблемы теоретиче ской и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодеж ной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 172–177.

[14] Чесноков А. А. Характеристики, точные и численные решения од номерного кинетического уравнения пузырьковой жидкости // Сб.

трудов IX Всероссийской конференции “Современные проблемы ма тематического моделирования”, Дюрсо: ЮГИНФО, 2001. С. 397–404.

[15] Чесноков А. А. Бегущие волны на сдвиговом потоке идеальной жид кости // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тру ды 37-й Региональной молодежной школы-конференции. Екатерин бург: УрО РАН, 2006. С. 322–327.

[16] Чесноков А. А. Волновые движения жидкости во вращающемся па раболическом бассейне // Сб. трудов XIII Всероссийской конфе ренции “Современные проблемы математического моделирования”, Дюрсо: ЮГИНФО, ЮФУ, 2009. С. 442–449.

Подписано в печать « 25 » января 2010 г. Заказ № Формат бумаги 60 84 1/16 Объем 2 п. л.

Тираж 100 экз. Бесплатно Отпечатано в полиграфическом участке ИГиЛ СО РАН 630090 Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева,

 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.