авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Идентификация неоднородных характеристик термоупругих тел

На правах рукописи

Нестеров Сергей Анатольевич

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ТЕРМОУПРУГИХ ТЕЛ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2013

 

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор, Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты:

Наседкин Андрей Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, Южный федеральный университет, профессор кафедры математического моделирования;

Баранов Игорь Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент, Донской государственный технический университет, доцент кафедры «Прикладная математика».

Ведущая организация Кубанский государственный университет

Защита состоится «29» октября 2013 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «25» сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Николай Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Во многих областях техники все чаще приходится решать задачи, связанные с нахождением температурных напряжений неоднородных тел. Это связано с широким внедрением неоднородных материалов в области техники, где раньше широко использовались слоистые композиты: обшивка космических кораблей и сверхзвуковых самолетов, покрытия лопастей газовых турбин и режущих инструментов станков и т.д. Благодаря непрерывному изменению материальных свойств в функционально-градиентных материалах удается избежать концентрации напряжений в отличие от слоистых композитов, которым присуща концентрация напряжений в местах соединения слоев.

Термомеханические расчеты обычно проводят на основе моделей линейной термоупругости. При этом начальным этапом при использовании моделей линейной термоупругости с неоднородными характеристиками является определение точных законов неоднородности, от знания которых зависит эффективность применения неоднородных материалов. Для однородных тел термомеханические характеристики определялись из простых макроэкспериментов и для многих материалов были составлены обширные таблицы. В случае неоднородных тел прямые измерения термомеханических характеристик невозможны, поскольку они представляют собой некоторые функции координат. Нахождение термомеханических характеристик неоднородных тел представляет собой коэффициентную обратную задачу.

Обратные задачи о нахождении переменных коэффициентов дифференциальных уравнений теплопроводности и теории упругости в отдельности изучены достаточно хорошо, однако для ряда новых материалов необходимо учитывать связанность тепловых и механических полей и решать обратные задачи термоупругости.

В случае обратных задач термоупругости ранее проведенные исследования ограничивались только нахождением термомеханических характеристик слоистых тел, слабо неоднородных материалов и неоднородного полупространства.

Проведенный анализ литературы по коэффициентным обратным задачам термоупругости свидетельствует об актуальности и практической значимости дальнейшей разработки методов идентификации неоднородных характеристик термоупругих тел конечных размеров.

Цель работы заключается в постановках, разработке методов решения одномерных коэффициентных обратных задач связанной термоупругости, выводе операторных соотношений, связывающих искомые и измеряемые функции, проведении вычислительных экспериментов.

Методика исследований прямых задач термоупругости для неоднородного стержня основана на сведении задачи к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в трансформантах по Лапласу, ее решении на основе метода коллокаций и численном обращении полученного решения на основе теории вычетов. Представлены две постановки обратных задач: в трансформантах и оригиналах. В случае постановки обратных задач в трансформантах для их решения сформулирован итерационный процесс, получены интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода для определения поправок. Аналогично рассмотрены схемы для решения обратных задач в оригиналах. Представлено также решение задачи об одновременной реконструкции двух термомеханических характеристик. Интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода решены на основании метода регуляризации Тихонова А.Н.

Научная новизна диссертационной работы заключена в разработке нового подхода к идентификации термомеханических характеристик неоднородных тел конечных размеров.

Достоверность полученных результатов основана на строгом математическом аппарате динамических задач термоупругости, на корректном сведении краевых задач для неоднородного термоупругого стержня к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в трансформантах, ее решении методом коллокаций, обращении трансформант на основе теории вычетов, сравнении приближенных результатов с известными точными решениями прямых и обратных задач термоупругости.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при разработке технологии неразрушающего контроля и идентификации термомеханических характеристик функционально градиентных материалов.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на III, IV, VI, VII, VIII Всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете»

(Дивноморское, 2007, 2008, 2011, 2012, 2013 гг.), на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики»

(Тула, 2010 г.), на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), на Международной научной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика Лаврентьева М.М. «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012 г.), на XIII, XV, XVI Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2011, 2012 гг.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 19 работ.

Из них статьи [4, 6, 10, 11, 17] опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ. Работы [4, 6, 10, 17] выполнены в соавторстве с научным руководителем – Ватульяном А.О., в которых Ватульяну А.О. принадлежит постановка задач, основные идеи по методам исследования, обсуждение результатов, Нестерову С.А. принадлежит формулировка операторных уравнений, их исследование и построение решений краевых задач, численные расчеты для различных законов изменения неоднородных характеристик. Работа [11] выполнена автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 117 наименований, включает 45 рисунков и 7 таблиц общим объемом 104 страницы машинописного текста.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01 00194-а и 13-1-00196).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор литературы по исследованию динамических прямых и обратных задач термоупругости для неоднородных тел, обоснование актуальности темы диссертационного исследования, формулировка целей работы.

Отмечен значительный вклад, который внесли отечественные и зарубежные ученые в разработку методов исследования динамических задач термоупругости: Гайдук С.И., Даниловская В.И., Жигалин А.Г., Коваленко А.Д., Козлов В.И., Купрадзе В.Д., Лычев С.А., Майзель В.М., Михайлов М.Д., Мусхелишвили Н.И., Новацкий В., Сеницкий Ю.А., Biot M.A., Boley B.A., Brull M.A., Duhamel J.M., Hertnarski R.B., Muki R., Wilms E.V. и др.

Коэффициентные обратные задачи теории упругости, теплопроводности и термоупругости для неоднородных тел исследовали как отечественные, так и зарубежные ученые: Алексеев А.С., Алифанов О.М., Аниконов А.Ю., Апбасов С.О., Белишев М.И., Бакушинский А.Б., Благовещенский А.С., Бухгейм А.Л., Гасанов А., Денисов А. М., Кабанихин С.И., Лаврентьев М.М., Ломазов В.А., Морозов В.А., Романов В.Г., Сатыбаев А.Дж., Яхно В.Г., Chang J-D., Chavent G., Cheng T.C., Chen G., Jadamba B., Hao D., Klibanov M.V., Kravaris C., Lee C.R., Lukasievicz S.A., Xu M.H. и др.

В первой главе диссертации рассмотрена общая постановка трехмерной коэффициентной обратной задачи термоупругости для неоднородных тел и постановки коэффициентных обратных задач термоупругости для неоднородного стержня в пространстве трансформант по Лапласу и в оригиналах.

В параграфе 1.1 сформулированы общие постановки трехмерных прямых и обратных динамических задач термоупругости в оригиналах и трансформантах.

В параграфе 1.2 сформулирована постановка прямой и обратной задачи термоупругости для неоднородного стержня при тепловом способе возбуждения продольных колебаний.

Рассмотрены продольные колебания жестко закрепленного на торце x = неоднородного термоупругого стержня длины l под действием приложенного к торцу x = l теплового потока q(t ) = q 0 (t ). Начально-краевая задача описывается следующими соотношениями:

x 2u = ( x) 2, (1) x t u x = E ( x) ( x), (2) x 2u + T0 ( x), (3) ( k ( x ) ) = c ( x ) x x t xt u (0, t ) = (0, t ) = 0, k (l ) (l ) = q 0 (t ), x (l, t ) = 0, (4) x u ( x,0) = u ( x,0) = ( x,0) = 0. (5) t После обезразмеривания краевая задача (1)-(5) примет вид:

1 2U = 0 ( z), (6) z U ( z )W1, (7) 1 = E ( z ) z W W 2U (k ( z ) 1 ) = c ( z ) 1 + 0 ( z ), (8) 1 z z z W U 1 (0, 1 ) = W1 (0, 1 ) = 0, k (1) (1, 1 ) = ( 1 ), 1 (1, 1 ) = 0, (9) z U ( z,0 ) = 0, (10) W1 ( z,0) = U 1 ( z,0) = ( zl ) ( zl ) l 2c c ( zl ) x k ( zl ) E ( zl ), ( z) =, ( z) = где z =, k ( z ) =, c ( z) =, E ( z) =, t1 = 0, 0 l k0 E c0 k 0 2T q l k t t u l, 1 =, W1 = 0, U 1 =, 1 = x, 0 = 0 0, = 0 0, 0 = 2 = 0, t2 = t1 l c0 E E0 E0 E0 k 0 E0 t1 c0 l E k 0 = max k ( x), c0 = max c ( x), E0 = max E ( x), 0 = max ( x), 0 = max ( x).

x[ 0,l ] x[ 0,l ] x[ 0,l ] x[ 0,l ] x[ 0,l ] Здесь 1 – безразмерное время, 0 – безразмерный параметр связанности, 0 – отношение характерного времени звуковых колебаний t 2 к времени тепловых колебаний t1.

В обратной задаче требуется восстановить одну из безразмерных теплофизических характеристик стержня ( с (z ), k (z ), (z ) ) при известных остальных по дополнительной информации о безразмерном приращении температуры на торце стержня 1 [a, b].

W1 (1, 1 ) = f ( 1 ), (11) Если дополнительная информация известна в любой момент времени, то обратную задачу можно сформулировать и в пространстве трансформант. Для этого к уравнениям (6)-(9) применено преобразование Лапласа по переменной 1, а в качестве дополнительной информации использована трансформанта безразмерного приращения температуры на торце стержня ~ ~ W1 (1, p1 ) = f ( p1 ), p1 [0, ). (12) В параграфе 1.3 сформулирована постановка прямой и обратной задачи термоупругости для неоднородного стержня при возбуждении продольных колебаний под действием приложенной к торцу x = l силы  P(t ) = p0 (t ).  В этом случае обезразмеривание задачи выполняется аналогично обезразмериванию p безразмерные величины: = задачи (1)-(5). При этом введены новые, E t 2 =. Безразмерные функции напряжения, смещения и приращения t температуры обозначены с нижним индексом «2» и удовлетворяют уравнениям вида (6)-(8), а обезразмеренные граничные условия имеют вид:

W W2 (0, 2 ) = U 2 (0, 2 ) = 0, (1, 2 ) = 0, 2 (1, 2 ) = ( 2 ), (13) z В качестве дополнительной информации выступает безразмерное торцевое смещение стержня U 2 (1, 2 ) = g ( 2 ), 2 [c, d ]. (14) или трансформанта безразмерного торцевого смещения ~ ~ U 2 (1, p 2 ) = g ( p 2 ), p 2 [0, ). (15) В обратной задаче требуется восстановить одну из безразмерных механических характеристик стержня ( (z ), E (z ), (z ) ) при известных остальных по дополнительной информации (14) или (15).

В параграфе 1.4 сформулированы постановки в оригиналах обратных задач по одновременной реконструкции двух термомеханических характеристик неоднородного термоупругого стержня при совместном анализе продольных колебаний, возбужденных нагрузками с различными законами изменения.

Во второй главе изложены методы решения прямых задач для неоднородного термоупругого стержня.

В параграфе 2.1 обезразмеренная краевая задача (6)-(10) после применения преобразования Лапласа по 1 сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в пространстве трансформант:

1 ~ ~ ~ W1 ( z, p1 ) = K 1 ( z,, p1 )W1 (, p1 )d + K 2 ( z,, p1 )1 (, p1 )d + d1 ( z, p1 ), 0 1 ~ ~ ~ 1 ( z, p1 ) = K 3 ( z,, p1 )W1 (, p1 )d + K 4 ( z,, p1 )1 (, p1 )d. (16) 0 Здесь ядра K 1 ( z,, p1 ), K 2 ( z,, p1 ), K 3 ( z,, p1 ), K 4 ( z,, p1 ) и правая часть min{ z, } 2 ( ) d K 1 ( z,, p1 ) = p1 (c ( ) + имеют вид:, ) d1 ( z, p1 ) E ( ) k ( ) ( ) min{ z, } ( ) d ( )d, K 3 ( z,, p1 ) = p 2 K 2 ( z,, p1 ) = p1 0, E ( ) min{ z, } 0 E ( ) k ( ) ~ ( p ) d.

1 z ( )d, d1 ( z, p1 ) = 1 k ( ) K 4 ( z,, p1 ) = p 2 E ( ) min{ z, } 0 Система уравнений (16) решается численно на основе метода коллокаций с использованием квадратурной формулы трапеций.

Аналогичным образом получена система интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода при решении задачи о продольных колебаниях термоупругого стержня, возбужденного механическим способом.

В параграфе 2.2 изложены и сравнены два эффективных метода обратного преобразования Лапласа, широко применяемых при решении нестационарных динамических задач – применение теории вычетов и метод Дурбина.

В параграфе 2.3 приведено решение обезразмеренной задачи о продольных колебаниях неоднородного термоупругого стержня в оригиналах. Численно – аналитические решения СЛАУ, получившиеся после дискретизации системы (16) в Maple, показали, что трансформанты температуры и напряжения в узловых точках являются дробно-рациональными функциями от параметра преобразования Лапласа с одинаковыми знаменателями. Показано, что все полюса трансформант температуры и напряжений простые и могут быть найдены с достаточной точностью. Поэтому для нахождения оригиналов функций по их трансформантам в работе применялась теория вычетов. При = 0 множество полюсов разделяется на два подмножества. Первое включает в себя пары чисто мнимых чисел, отвечающих задаче теории упругости, а второе содержит вещественные отрицательные числа, отвечающие задаче теплопроводности. При эти полюса трансформируются в пары комплексно сопряженных чисел с отрицательными вещественными частями.  Проведено исследование влияния различных законов изменения механической и тепловой нагрузок, законов неоднородности и параметра связанности на поля безразмерных смещений и температуры.

В третьей главе диссертации изложены методы решения коэффициентных обратных задач термоупругости для неоднородных тел. В работе представлены три способа получения операторных соотношений, связывающих искомые термомеханические характеристики с трансформантами перемещений и приращения температуры на части границы тела: использование слабой постановки прямой задачи, обобщенного соотношения взаимности и линеаризации на основе принципа ортогональности.

В параграфе 3.1 для построения операторных соотношений получена слабая постановка прямой задачи термоупругости в трансформантах по Лапласу.

После линеаризации нелинейных операторных соотношений получена система двух интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в трансформантах для организации итерационного процесса по нахождению поправок безразмерных коэффициентов.

В параграфе 3.2 на основе применения обобщенного соотношения взаимности в трансформантах и линеаризации были получены интегральные уравнения, совпадающие с полученными ранее в параграфе 3.1.

В параграфе 3.3 получены операторные уравнения для решения коэффициентной обратной задачи термоупругости неоднородного стержня.

После обезразмеривания операторные уравнения имеют вид:

~( dU 2n 1) 1 ~( E ) dz + p 2 ( n 1) (U 2n 1) ) 2 dz ( n 1) ( dz 0 ~( dU 2n 1) ~ ( n 1) ~ ~( ~ ( n 1) W2 dz = ( p 2 )( g ( p 2 ) U 2n1) (1, p 2 )), (17) dz ~ dW1( n 1) 1 ~ k ) dz + p1 c ( n 1) (W1( n 1) ) 2 dz + ( n 1) ( dz 0 ~ dU 1( n 1) ~ ( n 1) ~ ~ ~ + 0 p1 ( n 1) W1 dz = ( p1 )( f ( p1 ) W1 ( n1) (1, p1 )). (18) dz В случае если требуется восстановить только одну термомеханическую характеристику при известных остальных, уравнения (17), (18) распадаются на независимые интегральные уравнения.

Так, для нахождения поправок k ( n1) ( z ) при реконструкции безразмерного коэффициента теплопроводности необходимо решать интегральное уравнение:

~ ( n 1) dW1 ~ ~ ~ k ( n 1) ) 2 dz = ( p1 )( f ( p1 ) W1 ( n1) (1, p1 )). (19) ( dz ~ Здесь W1( n1) ( z, p1 ) – вычисленная трансформанта безразмерного приращения температуры на (n 1) итерации.

При постановке обратной задачи термоупругости для стержня в оригиналах, из (17), (18) операционным способом были получены операторные уравнения на основе теорем о свертке и о дифференцировании оригинала.

Так, для нахождения поправок k ( n1) ( z ) имеем интегральное уравнение:

k R1 ( z, 1 ) dz = ( 1 )( f ( ) W ( n 1) (1, )) d, 1 [a, b], ( n 1) (20) 0 где ядро интегрального уравнения (20) имеет вид:

1 ( n 1) ( n 1) ( z, ) W1 ( z, 1 ) W R1 ( z, 1 ) = d.

z z В работе натурный эксперимент был заменен вычислительным.

Коэффициенты дифференциальных операторов уравнений термоупругости a (z ) восстанавливались в два этапа. На первом этапе определялось начальное приближение в классе положительных ограниченных линейных функций a ( 0) ( z ) = kz + b на основе минимизации функционала невязки на компактном множестве в R 2. В случае теплового нагружения функционал невязки имеет вид:

P J 1 = ( f ( 1 ) W ( n 1) (1, 1 )) 2 d 1, (21) где [0, P0 ] - безразмерный временной отрезок, на котором минимизируется невязка J 1. В случае механического нагружения функционал невязки имеет вид:

H J 2 = ( g ( 2 ) U 2n 1) (1, 2 )) 2 d 2, ( (22) [0, H 0 ] - безразмерный временной отрезок, на котором минимизируется где невязка J 2.

На втором этапе определялись поправки реконструируемых функций a ( n1) ( z ) путем решения соответствующего интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Решение ИУФ 1-го рода является некорректной задачей и требует регуляризации, которая осуществлялась на основе метода регуляризации Тихонова А.Н.  После нахождения поправок строилось новое приближение и осуществлялся итерационный процесс по схеме a ( n ) ( z ) = a ( n 1) ( z ) + a ( n 1) ( z ). На каждом шаге итерационного процесса решалась прямая задача с уточненными характеристиками. Прямая задача решалась с помощью сведения ее к соответствующей системе ИУФ 2-го рода в трансформантах, решения ее на основе метода коллокаций и обращении полученного решения на основе теории вычетов. Выход из итерационного процесса осуществлялся по достижении соответствующим функционалом невязки (21), (22) порогового значения, равного 10 6 или по достижении предельного количества итераций, равного 20.

В параграфе 3.4 изложена процедура одновременного восстановления двух термомеханических характеристик. Так, для нахождения поправок при одновременной реконструкции двух теплофизических характеристик – безразмерных коэффициента теплопроводности k (z ) и удельной объемной теплоемкости c (z ) – необходимо решать систему двух интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода:

1 WI(n1) ( z, ) WI(n1) ( z, 1 ) W (n1) ( z, ) (n1) 1 d k dz + d c (n1) I WI ( z,1 )dz = ( n1) z z 0 0 0 = I ( 1 )( f I ( ) WI( n1) (1, ))d, 1 WIIn1) ( z, ) WIIn1) (z,1 ) ( z, ) (n1) ( n1) 1 ( n1) WII ( ( d k dz + d c WII ( z,1 )dz = ( n1) z z 0 0 0 = II ( 1 )( f II ( ) WIIn1) (1, ))d.            ( (23) Здесь WI( n 1) ( z, 1 ) и W II( n 1) ( z, 1 ) – вычисленные путем решения прямой задачи (6)-(10) безразмерные приращения температуры на (n 1) итерации при законах изменения тепловой нагрузки I ( 1 ) и II ( 1 ) соответственно, f I ( 1 ) и f II ( 1 ) – измеряемые торцевые приращения температуры при первом и втором законах изменения тепловой нагрузки соответственно.

При этом выбор начального приближения и выход из итерационного процесса осуществлялся с использованием функционала невязки следующего вида:

P P J 3 = ( f I ( 1 ) W (1, 1 )) d 1 + ( f II ( 1 ) WII n 1) (1, 1 )) 2 d 1.

( n 1) 2 ( (24) I 0 В параграфе 3.5 получено операторное уравнение, связывающего безразмерную удельную объемную теплоемкость стержня с измеряемой трансформантой безразмерного приращения температуры на торце стержня с помощью метода линеаризации на основе принципа ортогональности.

В параграфе 3.6 представлена реализация метода Тихонова А.Н. при решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в трансформантах и оригиналах.

В четвертой главе представлены результаты вычислительных экспериментов по идентификации неоднородных характеристик термоупругого стержня. Приведены расчеты при различных граничных условиях, параметре связанности, законах неоднородности. При проведении вычислительных экспериментов принято: n = 20, 0 = 10 6, = 0.1, = 0.05.

В первой серии проводились вычислительные эксперименты по реконструкции безразмерных характеристик в пространстве трансформант.

Выяснено, что изменение параметра связанности практически не влияло на результаты реконструкции, но коэффициент температурного напряжения с увеличением параметра связанности восстанавливался лучше. Монотонные функции восстанавливались с меньшей погрешностью, чем немонотонные. При реконструкции безразмерных удельной объемной теплоемкости, коэффициента температурного напряжения, плотности наибольшая погрешность восстановления возникала в окрестности торца z = 0. Это связано с тем, что ядра соответствующих интегральных уравнений обращаются в нуль при z = 0.

На рисунках сплошной линией изображен точный закон, точками – восстановленный, пунктиром – начальное приближение.

На рисунке 1 показан пример реконструкции убывающей функции k ( z ) = cos( z ) при тепловой нагрузке ( 1 ) = H ( 1 ). Начальное приближение k 0 ( z ) = 0.95 0.35 z, параметр связанности 0 = 0.01. Для достижения порогового значения в функционале (21) потребовалось 4 итерации. Погрешность восстановления на последней итерации не превысила 3%.

На рисунке 2 приводится пример реконструкции возрастающей функции ( 2 ) = sin(2 2 ).

при механической нагрузке Начальное E ( z) = 2 z приближение E 0 ( z ) = 0.7 + 0.25 z, параметр связанности 0 = 0.05. Потребовалось итерации, при этом максимальная погрешность на последней итерации не превысила 5%.

На рисунке 3 показан результат восстановления немонотонной функции ( z ) = 1 + sin( 4 z ) при нагрузке ( 1 ) = ( 1 ) и заданных торцевых значениях.

0 ( z ) = 1 + 0.2 z, 0 = 0.4.

Начальное приближение параметр связанности Потребовалось 8 итераций, при этом максимальная погрешность на последней итерации не превысила 8%.

Рисунок 1. Восстановление k (z ) Рисунок 2. Восстановление E (z ) Рисунок 3. Восстановление (z ) Во второй серии проводились эксперименты по реконструкции термомеханических характеристик в оригиналах. Обсуждено влияние на точность реконструкции зашумления входной информации, типа нагружения, границ временного интервала и количества точек наблюдения внутри него.

Зашумление входной информации моделировалось с помощью соотношения f h ( 1 ) = f ( 1 )(1 + h ), где h – величина амплитуды зашумления, – случайная величина с равномерным законом распределения на отрезке [1,1]. Процедура реконструкции коэффициентов оказалась устойчива к 3%-му шуму. При этом погрешность реконструкции не превышала 17%.

На рисунке 4 представлен результат восстановления возрастающей функции ( z ) = 0.5e 2 z 0.2 при нагрузке ( 2 ) = 2 e 2 и заданных торцевых значениях.

0 ( z ) = 0.1 + 2.9 z, параметр связанности 0 = 0.05.

Начальное приближение Потребовалось 6 итераций при 4 точках наблюдения на безразмерном временном отрезке [0,2]. Максимальная погрешность реконструкции на последней итерации при этом не превысила 4%.

На рисунке 5 представлен результат восстановления убывающей функции при нагрузке ( 2 ) = H ( 2 ). Параметр связанности 0 = 0.03. Поправки E ( z) = 1+ z находились при решении обратной задачи на безразмерном временном отрезке [0,1] и 3 точках наблюдения внутри него, при этом потребовалось 6 итераций.

На рисунках 6, 7 представлены результаты одновременной реконструкции c ( z ) = cos( z ) k ( z ) = 0.2 + z 2. Параметр связанности двух характеристик и 0 = 0.05, начальные приближения: k 0 ( z ) = 0.1 + z.

c0 ( z ) = 1.05 0.5 z, При I ( 1 ) = 1e, реконструкции использовались тепловые нагрузки: II ( 1 ) = H ( 1 ). Поправки находились при решении обратной задачи в случае первой нагрузки на безразмерном отрезке [0,1] и 5 точках измерения внутри него;

в случае второй нагрузки на безразмерном отрезке [0,0.5] и 4 точках измерения внутри него. Выход из итерационного процесса был осуществлен по достижении предельного количества итераций. Максимальная погрешность реконструкции на последней итерации при этом достигла 8%.

Рисунок 4. Восстановление (z ) Рисунок 5. Восстановление E (z ) Рисунок 6. Восстановление c (z ) Рисунок 7. Восстановление k (z ) В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Представлены постановки коэффициентных обратных задач термоупругости для неоднородного стержня как в изображениях по Лапласу, так и в оригиналах.

2. Разработаны методы решения прямых задач о продольных колебаниях неоднородного термоупругого стержня под действием механического и теплового нагружения.

3. Представлены способы построения операторных соотношений и итерационных процессов в обратных задачах по идентификации характеристик неоднородного термоупругого стержня.

4. Проведены вычислительные эксперименты по определению характеристик неоднородного термоупругого стержня при продольных колебаниях.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Нестеров С.А. Об одном методе решения нестационарной задачи теплопроводности для неоднородного стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. III Всерос. школы-семинара п. Дивноморское, 28 мая-1 июня 2007. С.63-64.

2. Нестеров С.А. О реконструкции коэффициента теплопроводности неоднородного стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. IV Всерос. школы-семинара п.

Дивноморское, 2-6 июня 2008. С.75-76.

3. Нестеров С.А. Об особенностях идентификации теплофизических характеристик неоднородных тел // Актуальные вопросы современной науки:

Сб. науч. трудов Межд. Интернет-конф. г. Таганрог, 3-5 сентября 2008. С.85-90.

4. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению коэффициентов переноса // Известия вузов. Северо-Кавказский регион.

Естественные науки. 2009. №3. С. 39-43.

5. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению коэффициентов переноса и модуля Юнга неоднородного стержня // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XIII Межд. конф.

Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009. Т.1. С. 44-48.

6. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Коэффициентные обратные задачи термоупругости для неоднородных тел // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2009. №3. С. 24-30.

7. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях постановки коэффициентных обратных задач для неоднородного стержня // Теоретическая и прикладная механика. 2009. Вып.46. С. 118-124.

8. Ватульян А.О., Нестеров С.А. К определению неоднородных свойств термоупругих тел // Современные проблемы математики, механики, информатики: Труды Межд. науч. конф. Тула, 22-26 ноября 2010. С. 114-118.

9. Нестеров С.А. Об одной коэффициентной обратной задаче термоупругости для стержня // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VI Всерос. школы-семинара п.

Дивноморское, 30 мая-2 июня 2011. С. 72-73.

10. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях идентификации неоднородных свойств термоупругих тел // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. №1. С.29-36.

11. Нестеров С.А. Проблемы идентификации неоднородных свойств термоупругой среды // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.

Лобачевского. 2011 № 4(4). С. 1657-1658.

12. Нестеров С.А. Реконструкция удельной теплоемкости неоднородного термоупругого стержня // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2011. Т. XVI. С. 73-77.

13. Нестеров С.А. Идентификация неоднородных свойств термоупругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XV Межд. конф. Ростов-на-Дону, 4-7 октября 2011. Т. 2. С. 186-190.

14. Нестеров С.А. О некоторых одномерных обратных задачах термоупругости и пороупругости // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всеросс. школы семинара п. Дивноморское, 28 мая-1 июня 2012. С. 94-94.

15. Нестеров С.А. Об особенностях постановки и решения коэффициентной обратной задачи термоупругости для неоднородных тел // Обратные и некорректные задачи математической физики: Тез. докл. Межд. конференции, посвященной 80-летию со дня рождения акад. Лаврентьева М.М. Новосибирск, 5-12 августа 2012. С. 320-320.

16. Нестеров С.А. Об особенностях решения коэффициентной обратной задачи термоупругости для стержня // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2012. Т. XVII. С. 59-63.

17. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению неоднородных свойств термоупругих тел // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №4. 2012. С. 25-29.

18. Ватульян А.О, Нестеров С.А. Численная реконструкция термомеханических характеристик неоднородного термоупругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XVI Меж. конф.

Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012. Т.1. С. 50-54.

19. Нестеров С.А. Численное решение одномерной коэффициентной обратной задачи термоупругости // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VIII Всерос. школы семинара п. Дивноморское, 27-31 мая 2013. С. 89-89.

Для заметок Сдано в набор 17.09.2013. Подписано в печать 17.09.2013.

Формат 60х84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 0,7.

Бумага офсетная.

Тираж 120 экз. Заказ 1709/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии»

340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30- www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru  

 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.