авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Артём николаевич математическое моделирование течений вязкого газа в многосвязном объёме с перфорированными стенками

На правах рукописи

УДК 533.6.011.3

Семакин Артём Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО ГАЗА

В МНОГОСВЯЗНОМ ОБЪЁМЕ С ПЕРФОРИРОВАННЫМИ СТЕНКАМИ

Специальность:

01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ижевск – 2010 2

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте прикладной механики УрО РАН

Научный руководитель: академик РАН Липанов Алексей Матвеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Горохов Максим Михайлович доктор физико-математических наук Якобовский Михаил Владимирович

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится « 23 » апреля 2010 г. в 14:30 часов на заседании диссертацион ного совета ДМ 004.013.01 в Учреждении Российской академии наук Институте прикладной механики УрО РАН по адресу: 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ УрО РАН Автореферат разослан «18» марта 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н. С.П. Копысов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы:

Явления переноса в пористой среде занимают важное место во многих практи ческих приложениях: фильтрация, разработка месторождений углеводородного сы рья, хроматография, катализ и т.д. Не менее важными и сложными являются тече ния продуктов сгорания твёрдых топлив, обтекание конструктивных элементов за ряда воспламенителя в ракетном двигателе твёрдого топлива, а также обтекание, прогрев и воспламенение артиллерийского заряда для периода пиростатики выстре ла.

Пористая среда с геометрической точки зрения имеет довольно сложное строе ние, и обычно течение жидкости или газа в такой среде исследуется с помощью пе рехода от истинных значений гидромеханических величин к фиктивным, которые «размазываются» по всей рассматриваемой среде. Далее, для этих фиктивных вели чин формулируется система уравнений гидромеханики. Получающаяся в результате этого математическая модель упрощает проблему исследования течения жидкости или газа через пористую среду и в некоторых частных случаях даже позволяет на ходить аналитические решения. Но все результаты получаются только для осред нённого по объёму течения, получить какие-либо данные о поведении жидкости или газа на уровне пор невозможно.

Однако, все практически важные физические процессы (например, очистка газа от примесей при прохождении через фильтр, разделение смеси на составные компо ненты, явление изменения скорости химической реакции при катализе) происходят на уровне пор и характер их протекания во многом зависит от локальной структуры пористой среды.

Поэтому детальное изучение таких явлений, рассмотрение физики и химии по добных процессов возможно только при исследовании течения жидкости или газа непосредственно в данной пористой среде без использования каких-либо дополни тельных гипотез и предположений. Следовательно, задачи разработки численной методики решения системы уравнений гидромеханики в пористой среде со слож ным геометрическим строением и исследования на её основе поведения жидкости или газа в такой среде являются актуальными.

Среди работ, посвящённых изучению гидромеханики, можно выделить работы таких учёных, как Лойцянский Л.Г., Седов Л.И., Шлихтинг Г. Движению газа и жидкости в пористых средах посвящены работы Лейбензона Л.С., Полубариновой Кочиной П.Я., Чарного И.А., Щелкачёва В.Н. Численные методы решения задач гидромеханики приводятся в работах Андерсона Д., Патанкара С., Роуча П., Флет чера К., Самарского А.А., Липанова А.М.

Объект исследования: течение вязкого сжимаемого газа в многосвязных об ластях.

Предмет исследования: методика численного решения уравнений гидромеха ники в многосвязных областях;

течение газа в области, заполненной сферическими частицами.

Цели диссертационной работы:

1. Разработка и реализация метода численного решения уравнений гидромеха ники в рассматриваемых многосвязных областях.

2. Исследование течения вязкого газа в объёме с перфорированными стенками, заполненном сферическими частицами.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

1. Создание стандартного набора конечных объёмов, на которые можно разби вать объём, заполненный сферическими частицами.

2. Разработка криволинейной системы координат для каждого выделенного конечного объёма.

3. Выбор формы представления системы уравнений гидромеханики для обес печения устойчивости вычислительного процесса.

4. Организация взаимодействия соседних конечных объёмов и передачи дан ных между ними.

5. Создание и тестирование программного комплекса для расчёта течения вяз кого газа в объёме с перфорированными стенками, заполненном сфериче скими частицами.

6. Проведение расчётов для исследования течения вязкого газа в объёме со сферическими частицами.

Методы исследования диссертационной работы включают методы математи ческого анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии, теории уравнений в частных производных, вычислительной математики, теории разностных схем.

Достоверность научных результатов и выводов подтверждается следующим:

1. Построенная математическая модель основывается на системе полных урав нений гидромеханики и базируется на фундаментальных законах механики сплошной среды.

2. Разработанные численные алгоритмы апробированы при решении тестовой задачи и полученные численные результаты согласуются с известными экс периментальными и расчетными данными.

На защиту выносятся:

1. Методика численного расчёта течения вязкого газа в объёме со сферически ми частицами.

2. Результаты тестовых расчётов задачи обтекания сферы, расположенной в неограниченном объёме.

3. Результаты методических расчётов для обоснования процесса сходимости при интегрировании уравнений гидромеханики по пространственным пере менным и при измельчении разностной сетки.

4. Результаты параметрических расчётов течения вязкого газа в объёме со сфе рическими частицами.

Научная новизна работы:

1. Разработана методика численного расчёта течения вязкого газа в многосвяз ных областях.

2. Впервые проведено исследование поведения вязкого газа в объёме со сфе рическими частицами на основе численного решения уравнений гидромеханики.

Практическая значимость:

1. Полученные результаты являются новыми и дают представление о характе ре течения газа через объём, заполненный сферическими частицами.

2. Приведённые теоретические положения могут быть использованы при чис ленном моделировании течения газа в различных многосвязных областях.

3. Представленная методика численного решения уравнений гидромеханики реализована в виде легко модернизируемого программного комплекса для расчёта течений в многосвязных областях с перфорированными стенками.

Апробация работы:

Материалы диссертации апробированы на следующих конференциях: «Дина мика изследования – 2008» (София, 2008 г.), «Vda: teorie a praxe – 2008» (Praha, 2008 г.), «Pedn vdeck novinky – 2008» (Praha, 2008 г.), «Naukowy potencjal wiata – 2008» (Przemyl, 2008 г.), «Nastolen modern vdy – 2008» (Praha, 2008 г.), «Акту альные проблемы науки в России» (Кузнецк, 2008 г.), «Краевые задачи и математи ческое моделирование» (Новокузнецк, 2008 г.), «Актуальные вопросы современной науки» (Таганрог, 2008 г.), «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2008 г.). В целом диссертационная работа докладывалась на Учёном Совете Инсти тута прикладной механики УрО РАН (2009 г.).

Публикации:

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 12 статьях, из них 1 статья – в журнале, рекомендованном ВАК для публикации результатов дис сертации на соискание учёной степени доктора и кандидата наук по механике и статьи по перечню ВАК.

Структура и объём:

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.

Общий объём диссертации составляет 145 с., включая 19 таблиц и 80 рисунков.

Список литературы содержит 100 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, приведена научная новизна работы, представлено краткое содержа ние диссертации по главам.

В первой главе приведён обзор литературы. Рассмотрено три подхода к иссле дованию течения газа или жидкости в пористых средах (теория фильтрации, сеточ ные модели, численное решение уравнений гидромеханики). Для каждого метода приведены их достоинства и недостатки. Указано, что, когда необходимо детально рассматривать поведение жидкости или газа в поровом пространстве, определять истинные, а не средние значения гидромеханических параметров, оптимальным является третий метод – численное решение уравнений гидромеханики.

Далее приведены методы численного решения уравнений гидромеханики (ме тод конечных разностей, метод конечных элементов, метод составных сеток), дано их краткое описание.

В конце главы определён круг задач данной диссертационной работы и метод их решения.

Во второй главе рассмотрен численный метод решения задачи обтекания вяз ким газом сферических частиц в ограниченном объёме. Согласно данному методу сначала в исходной области вводится некоторая глобальная декартовая система ко ординат ( X, Y, Z ). Далее эта область делится на N подобластей или конечных объ ёмов (КО). Для объёма с перфорированными стенками, заполненном сферическими частицами, все эти КО можно свести к пяти стандартным видам (рисунок 1): прямо угольный, сферический, пирамидальный, кольцевой и цилиндрический. Прямо угольный объём представляет собой обычный прямоугольный параллелепипед. У сферического КО одной из шести граней является поверхность сферы, а боковые рёбра направлены перпендикулярно ей. Пирамидальный КО соприкасается одно временно с двумя телами, он имеет клинообразную форму и одна его вершина явля ется точкой касания тел. У кольцевого КО одна грань имеет цилиндрическую фор му. Цилиндрический КО представляет собой обычный цилиндр, используемый для описания входа и выходов.

а) б) в) г) д) Рисунок 1 Типы конечных объёмов а) прямоугольный;

б) сферический;

в) пирамидальный;

г) кольцевой;

д) цилиндрический В каждом КО вводится локальная декартовая система координат (ЛСК) (x, y, z ).

Каждая такая локальная система координат определяется заданием начала коорди ( ) ( ) ( ) O a1, a0, a 2 i = a1, a12, a1, 1 j = a1, a2, a2, 2 нат и базисных векторов 0 ( ) k = a 3, a 3, a 3 в глобальной системе координат ( X, Y, Z ).

1 2 Локальные (x, y, z ) и глобальные ( X, Y, Z ) координаты точки связаны соотно шениями:

а) (x, y, z ) ( X, Y, Z ) б) ( X, Y, Z ) ( x, y, z ) X = a1 + a1 x + a1 y + a3 z, 1 x = a1 X + a12Y + a1 Z a1 a1 a12 a0 a1 a0, 1 3 1 2 0 2 Y = a0 + a12 x + a2 y + a3 z, (1) y = a1 X + a2 Y + a2 Z a1 a1 a2 a0 a2 a0, (2) 2 2 2 2 3 22 2 Z = a0 + a13 x + a2 y + a3 z, 3 3 z = a3 X + a3 Y + a 3 Z a3 a 1 a3 a 0 a3 a0.

1 2 3 1 22 Во всех видах КО, кроме прямоугольного, помимо декартовой ЛСК необходимо также вводить криволинейную систему координат (,, ), в которой данный КО можно представить в виде параллелепипеда:

1) сферический КО = x2 + y 2 + z2, = y x, = z x, (3) где - расстояние от начала ЛСК до данной точки, 1 1, 1 1 ;

2) пирамидальный КО ( ) ( ) x2 + z 2, = 2 y x 2 + y 2 + z 2, = z x, = x2 + y2 + z 2 (4) где 0 1 r, 1 1, r - радиус сферы;

3) кольцевой КО = x 2 + z 2, = y, = z x, где 1 1 ;

(5) 4) цилиндрический КО = x, = y 2 + z 2, = arctg(z y ) + k, где. (6) Далее для каждого полученного КО в его локальной системе координат форму лируется система уравнений гидромеханики в безразмерной форме, в которой кон вективные члены представляются в симметричном виде. Эта система включает уравнение неразрывности, три уравнения импульса и уравнение энергии. В локаль ной декартовой системе координат она имеет вид:

1 u v w x + v y + w z + x + y + z + 2 div(V ) = 0, + u (7) t 2 u 1 u u u 2 uv uw 1 2u 2u 2u u + u + v + w + = + + + + t 2 x z Re x 2 y 2 z y z x y 1 p 1 + u div(V ) + div(V ), = (8) kM 2 x 2 3 Re x v 1 v v uv v 2 vw 1 2v 2v 2v v + u + v + w + Re x 2 + y 2 + z 2 = + + x t 2 y z x y z 1 p 1 + v div(V ) + div(V ), = (9) kM 2 y 2 3 Re y w 1 w w uw vw w2 1 2w 2w 2w w + u = +v +w + + + + + t 2 x z Re x 2 y 2 z y z x y 1 p 1 + w div(V ) + div(V ), = (10) kM 2 z 2 3 Re z k 2T 2T 2T T 1 T T uT vT wT T = + u +v +w + + + + + t 2 x z Re Pr x 2 y 2 z y z x y (k 1) pdiv(V) + 1 T div(V) + k (k 1)M 2 2 u 2 + 2 v 2 w y + 2 z + = x Re 2 2 u v u w v w (div(V ))2.

+ + + + + + (11) y x z x z y Здесь V = (u, v, w) - вектор скорости, p,, T - давление, плотность и температу u v w ра, div(V ) = + + - дивергенция вектора скорости, Re = 0U 0 h µ - число x y z Рейнольдса, Pr = c p µ = 1 - число Прандтля, M = U 0 c0 - число Маха, c0 = kp0 0, k = C p Cv = 1.4 - отношение изобарной и изохорной теплоёмкостей.

Коэффициенты вязкости µ и теплопроводности полагаются константами.

Все переменные безразмерные. В качестве масштабов берутся: h - диаметр входно го отверстия, U 0 - максимальная величина продольной компоненты скорости в по перечном сечении входа, p0, 0 - характерные давление и плотность, соответст вующие U 0.

Безразмерное уравнение состояния:

p = T. (12) Для перехода к криволинейной системе координат в исходных уравнениях не обходимо сделать замену переменных. Например, первую производную по x надо заменить следующим выражением:

W W W W = x + x + x. (13) x Аналогичные выражения можно записать и для производных по y и z.

При интегрировании данной системы по времени используется метод Рунге Кутта второго порядка точности. При вычислении частных производных по про странственным переменным применяется центральная разностная схема произволь ного порядка точности. Для устранений нефизических осцилляций в схему добавля ется искусственная диссипация.

При нахождении частных производных по пространственным направлениям в узлах разностной сетки используется метод неопределённых коэффициентов, по зволяющий рассчитывать эти производные с любым порядком точности. Согласно этому методу для определения производной в данной точке необходимо знать зна чения искомой функции в нескольких соседних узлах. Поэтому при расчёте произ водных в точках, расположенных около границы КО необходимо «заходить» в со седние КО. Обычно разностные сетки в двух смежных КО несогласованны, т.е при «заходе» в соседний КО нужные нам точки могут не совпадать с расчётными точ ками разностной сетки этого КО (см. рисунок 2).

Рисунок 2 Область соприкосновения двух соседних КО - расчётная точка КО, - интерполируемая точка КО Поэтому для того чтобы определить значения величин в нужных точках, необ ходимо произвести интерполяцию по известным значениям величин в расчётных точках соседнего КО.

В данной работе для проведения интерполяции использовался метод, основан ный на представлении функции в виде отрезка ряда Фурье по ортогональным мно гочленам. Алгоритм метода следующий.

Неизвестное значение величины f в точке x 0 = (x0, y0, z 0 ) определяется через её известные значения в точках x m = (xm, y m, z m ), m = 1, N с помощью отрезка ряда Фурье, построенного на основе системы ортогональных многочленов:

n cijk ijk (x 0 ), f (x 0 ) = (14) i + j +k = где ( ) cijk = ijk (x ), f (x ). (15) Система ортогональных многочленов ijk (x ) строится последовательно по формулам:

ijk (x ) ijk (x ) =, (16) ijk (x ) 000 = 1, (17) ijk (x ) = x i 1 jk (x ) + y ij 1k (x ) + z ijk 1 (x ) + mnl mnl (x ), (18) M ( ) mnl = x i 1 jk (x ) + y ij 1k (x ) + z ijk 1 (x ), mnl (x ), (19) M - множество уже созданных многочленов.

Скалярное произведение и норма определяются следующим образом:

N ( f (x ), g (x )) = f (x m )g (x m ), f (x ) = ( f (x ), f (x )). (20) m = Точки x m выбираются таким образом, чтобы ijk (x ) 10 4 для всех ijk (x ).

Также в работе полагалось n = 2, N = 10, что эквивалентно интерполяции полино мом второй степени.

При проведении интерполяции возникает необходимость передачи значений гидромеханических параметров (скорости, плотности и температуры) из одного КО в другой. Поскольку плотность и температура являются скалярными величинами, то их значения не будут зависеть от ориентации локальных систем координат разных КО. Однако компоненты вектора скорости при переходе из одной системы коорди нат в другую меняются. Поэтому при передаче компонент вектора скорости из од ного КО в другой они сначала переводятся в глобальную систему координат по формулам:

U = a1 u + a1 v + a3 w, V = a12 u + a2 v + a3 w, W = a1 u + a2 v + a3 w, 1 1 2 2 3 3 (21) и далее из глобальной системы координат в локальную, но уже другого КО:

u = a1U + a12V + a13W, v = a1U + a2V + a2W, w = a3U + a3 V + a3W, 1 2 3 1 2 (22) коэффициенты перехода aij определены выше.

В качестве начальных условий берутся следующие значения:

u = v = w = 0, p = = T =1.

Граничные условия на границах многосвязной области имеют вид:

а) поверхность тел u = v = w = 0 - условия прилипания, T n = 0 - условие адиабатичности, б) вход ( ) u = f (r, 0 ) c1 ( p p1 ) f (r, s ), v = w = 0, T = 1 + s1 k p (k 1) k 1 f (r, s ), где c1 = 1 kM, p1 - среднее по входному сечению давление, s0 = 1 - заданная вели чина энтропийной функции в ядре потока, 0 = 0.2 - толщина динамического по граничного слоя, s = 0.1 - толщина теплового пограничного слоя, 1, r R f (r, ) =, R = 0.5 - радиус входного отверстия, 1 ((r R + ) )8, r R в) выход Задаём только одно условие – величину давления на выходе из объёма в сле дующей форме:

L udydz, msr (t ) = m(x, t )dx, c2 = 0.2.

p = 1 + c2 (m(L, t ) msr (t )), где m(x, t ) = L S (x ) Если какие-либо грани КО выходят на границу многосвязной области, то для этих граней ставится одно из указанных выше граничных условий.

В третьей главе приведено исследование течений вязкого газа в объёме с пер форированными стенками, заполненном сферическими частицами.

В начале главы для подтверждения правильности работы изложенного выше метода конечных объёмов приведена тестовая задача – задача обтекания сферы. В этом случае расчётная область представляет собой шар радиуса 7.8, в который по мещена сфера радиуса 0.5. Данная расчётная область делится на 6 сферических КО.

В качестве критерия правильности расчётов рассматривался коэффициент сопро тивления сферы Cx. Число Маха M бралось 0.1. В этом случае результаты расчётов должны совпадать с данными для несжимаемой жидкости и, следовательно, значе ния Cx, полученные путём расчётов, можно сравнивать со стандартной кривой ко эффициента сопротивления сферы несжимаемой жидкости, аппроксимируемой за висимостью:

( ) Cx = 1 + 0.25 Re + 0.0117 Re, 1 Re 1000. (23) Re Результаты расчётов представлены на рисунке 3. Из этого рисунка видно, что полученные расчётные значения хорошо соответствуют стандартной кривой коэф фициента сопротивления.

При Re 250 были измерены длина отрывной зоны за сферой и угол отрыва по тока (таблица 1). Здесь Р – значения, полученные в данной работе, далее идут ре зультаты, приведённые в работах других авторов (1 – Гущин В.А., Матюшин П.В., – Jenson V., 3 – Taneda S., 4 – Rimon Y., Cheng S.I.). Из таблицы 1 видно, что полу ченные результаты удовлетворительно совпадают с данными других работ.

1, 0, 0 200 400 600 800 Рисунок 3 Зависимость коэффициента сопротивления от Re 1 – расчёт, 2 – стандартная кривая (23) Таблица Длина отрывной зоны l и угол отрыва потока, Re l Р Р 1 2 3 4 1 3 40 0.28 0.29 0.20 0.32 0.34 35 36.5 - 50 0.40 - - 0.47 - 41 - - 100 0.80 0.77 - 0.91 0.86 52 53.8 53 250 1.12 - - - - 65 - - Далее рассматривалось течение вязкого газа в объёме с перфорированными стенками, в который помещалось от 1 до 64 сфер радиуса 0.5. Объём представляет собой прямоугольный параллелепипед. Расчёты проводились при Re = 100, 500 и M = 0.6. Для 1-3 сфер течение при Re = 100 получается стационарным, а при Re = 500 – нестационарным, периодическим. Для 4-64 сфер течение в обоих случаях стационарно. Ниже приведены рассматриваемые случаи положения сфер и некото рые результаты расчётов.

Для одной сферы рассматривались три варианта ей положения:

1) сфера находится в центре канала;

2) сфера опускается на расстояние одного радиуса от центра канала;

3) сфера касается нижней плоскости канала.

Размеры области: длина – 3, ширина – 3, высота – 3. Вход располагается в цен тре передней грани, два выхода находятся на вертикальной оси симметрии задней грани. Вход и выходы – цилиндры радиуса 0.5.

На рисунке 4 приведены графики Cx(t), а на рисунке 5 представлены примеры полей скоростей в горизонтальной плоскости симметрии XZ, Y = 1.5 для варианта (сфера находится в центре объёма).

При Re = 100 течение получается стационарным (рисунок 4.а). Из рисунка 5.а видно, что газ втекает в расчётную область в виде явно очерченной струи, которая сохраняет свою форму до столкновения со сферой. В процессе её обтекания струя приобретает форму купола, края которого направлены к выходам из объёма. При этом скорость движения газа уменьшается. В рассматриваемом горизонтальном сечении XZ, Y = 1.5 около боковых стенок объёма и в кормовом пространстве сферы находятся отрывные зоны. Вихри, расположенные около левой и правой боковых стенок, по размеру вдоль оси x равны длине расчётной области и занимают про странство от передней до задней граней рассматриваемого объёма. Два других вих ря занимают всё пространство между сферой, задней гранью объёма и набегающим потоком газа, т.е их длина вдоль оси x равна 1, а вдоль оси z - 0.5. Можно указать также, что поле скоростей симметрично относительно оси x. Аналогичные вихри в вертикальном сечении XY, Z = 1.5 отсутствуют.

При Re = 500 течение является нестационарным и периодическим (рисунок 4.б).

Если рассматривать горизонтальную плоскость симметрии области XZ, Y = 1.5 (ри сунок 5.б), то картина течения следующая. Газ входит в расчётную область в виде струи, движется по направлению к сфере, наталкивается на неё и приобретает купо лообразную форму, продолжая двигаться к выходам. Через определённые проме жутки времени по обе стороны от входящего потока газа образуются небольшие вихри, которые, далее, движутся вдоль потока газа от передней стенки объёма к задней и объединяются с находящимся там стационарным вихрём. Одновременно с каждой стороны струи может находится до трёх вихрей: только что образовавшийся около передней стенки, движущийся по направлению к задней грани и стационар ный вихрь около задней стенки. Данная система вихрей заменяет большие вихри, занимавшие всё пространство между передней и задней гранями объёма при Re = 100. Между сферой и задней гранью рассматриваемой области как и при Re = 100 располагается отрывная зона, но в данном случае она имеет более сложное строение. В частности, в месте отрыва набегающей струи от сферы периодически образуется маленький вихрь. Далее, он отрывается от сферы и движется к задней стенке объёма.

На рисунке 4.б W-образный минимум отражает отрыв вихрей сначала от перед ней стенки, потом от поверхности сферы. Одинарный минимум соответствует нача лу образования вихря у поверхности сферы в месте отрыва потока, а небольшая впадина на восходящей ветке отмечает зарождение вихря у передней стенки.

а) б) Рисунок 4 График C x = C x (t ) при а) Re = 100, б) Re = а) Re = 100 б) Re = Рисунок 5 Поле скоростей в сечении XZ, Y = 1.5 для варианта На рисунке 6 приведена разностная сетка для вариантов 2 и 3. Суммарное коли чество точек по всем КО равно 90168 (вариант 2) и 85486 (вариант 3), в пирами дальном КО – 456, в кольцевом – 700, в сферическом – 5648.

а) б) Рисунок 6 Разностная сетка для вариантов 2 (а) и 3 (б) Для случая двух сфер рассматривались четыре варианта их взаимного положе ния:

1) центры сфер расположены на оси симметрии объёма, при этом сферы каса ются друг друга;

2) центры сфер расположены на оси симметрии объёма, расстояние между сферами равно один, три, шесть и девять радиусов;

3) сферы касаются друг друга и нижней грани объёма;

4) расстояние между сферами равно два радиуса, сферы расположены на ниж ней грани объёма.

Размеры области Q в вариантах №1, 2 брались следующими: длина – 5.5, шири на – 3, высота – 3. Исключение составляет случай, когда расстояние между сферами равно 6 и 9 радиусов, здесь длина Q равнялась 7 и 8.5. Вход располагается в центре передней грани, два выхода находятся на вертикальной оси симметрии задней гра ни. Вход и выходы – цилиндры радиуса 0.5. Координаты центра первой сферы – (1.5;

1.5;

1.5).

В таблице 2 приведены некоторые параметры течения для вариантов №1, 2 при Re = 100. В этой таблице l - расстояние между сферами (радиусы), p1 и p2 - значения давления в передней и задней критических точках первой сферы, p3 и p4 - значения давления в передней и задней критических точках второй сферы, Cx1 и Cx2 - коэф фициенты сопротивления первой и второй сфер, соответственно, u - угол отрыва потока от первой сферы, p - угол, отсчитываемый от задней критической точки первой сферы до точки минимума давления на поверхности сферы, pmin - минималь ное давление на сфере.

Из таблицы 2 следует, что при некотором l (1;

3) Cx2 = 0, т.е. главный вектор сил, действующих со стороны набегающего потока газа на вторую сферу, равен ну лю. Но данное положение неустойчиво, т.к. при любых отклонениях от него на сфе ру начинает действовать сила, стремящаяся увести её от данного положения.

На рисунке 7 приведены поля скоростей в вертикальной плоскости симметрии XY, Z = 1.5 для Re = 100 (стационарное течение) и Re = 500 (нестационарное перио дическое течение) при l = 1.

Таблица Некоторые параметры течения при Re = u, p, L p1 p2 p3 p4 Cx1 Cx2 pmin 0 2.17 1.33 1.33 1.37 - - 67 114 1. 1 2.17 1.35 1.34 1.37 1.03 -0.10 73 119 1. 3 2.18 1.38 1.38 1.37 0.92 0.10 81 119 1. 6 2.19 1.39 1.40 1.37 0.94 0.15 81 119 1. 9 2.19 1.39 1.40 1.38 0.94 0.16 81 119 1. а) Re = 100 б) Re = Рисунок 7 Поле скоростей в сечении XY, Z = 1.5 для двух сфер На рисунке 8 приведены коэффициент давления и распределение температуры по поверхности первой сферы, а на рисунке 9 – по поверхности второй сферы при Re = 100. Коэффициент давления определяется формулой:

p cp =. (24) 1 kM Для первой сферы графики cp и T при изменении l различаются незначительно.

Для второй сферы с ростом l точки минимума и максимума cp постепенно меняются местами, а профили T сначала растут (l = 0, 1, 3), потом падают (l = 6) и снова начи нают расти (l = 9). Также на рисунке 9 можно видеть, что при переходе от l = 6 к l = 9 значения cp и T меняются значительно в меньшей степени, чем при остальных изменениях l. Это относится и к данным таблицы 2.

а) б) Рисунок 8 Распределение давления (а) и температуры (б) по поверхности первой сферы для различных l при Re = а) б) Рисунок 9 Распределение давления (а) и температуры (б) по поверхности второй сферы для различных l при Re = Когда в объёме располагалось три сферы, рассматривались три возможных ва рианта их положения:

1. Центры сфер располагаются в точках с координатами (1.5;

1.5;

2.0), (3.0;

1.5;

1.0), (4.5;

1.5;

2.0), т.е. центры сфер лежат в плоскости y = 1.5 и расстояние между сферами вдоль оси x равняется одному радиусу. Размеры объёма: длина – 6.0, ширина – 3.0, высота – 3.0.

2. Центры сфер располагаются в точках с координатами (1.5;

1.5;

1.78868), (2.0;

1.5;

0.92265), (2.5;

1.5;

1.78868), т.е. они лежат в вершинах равностороннего тре угольника со стороной, равной диаметру сфер, в плоскости y = 1.5. Размеры объёма:

длина – 4.0, ширина – 3.0, высота – 3.0.

3. Центры сфер располагаются в точках с координатами(1.5;

1.5;

1.78868), (1.5;

2.0;

0.92265), (1.5;

2.5;

1.78868), т.е. они также лежат в вершинах равносторонне го треугольника со стороной, равной диаметру сфер, но в плоскости, параллельной передней грани, x = 1.5. Размеры объёма: длина – 3.0, ширина – 3.0, высота – 4.0.

Здесь полагалось, что передний левый нижний угол объёма расположен в точке с координатами (0;

0;

0). Вход расположен в центре передней грани, два выхода ле жат на вертикальной оси симметрии задней грани.

На рисунке 10 приведены поля скоростей в горизонтальной плоскости симмет рии XZ, Y = 1.5 для Re = 100 (стационарное течение) и Re = 500 (нестационарное периодическое течение) для варианта №1.

При Re = 100 для варианта №1 коэффициенты сопротивления сфер имеют сле дующие значения: Cx1 = 0.72, Cx2 = 0.63, Cx3 = 0.13, т.е. наибольшему воздействию со стороны набегающего потока газа подвергаются первая и вторая от входа сферы.

В точках лобовой поверхности этих сфер, расположенных под углами 24 и 13, от считываемых от передних критических точек первой и второй сфер, соответствен но, в сечении XZ, Y = 1.5, давление достигает своего максимума: pmax1 = 1.99 - для первой сферы, pmax2 = 1.85 - для второй сферы. Далее, в точках, расположенных под углами 96 и 114, отсчитываемых от задних критических точек первой и второй сфер, соответственно, давление принимает минимальные значения pmin1 = 1.12 для первой сферы и pmin2 = 1.27 для второй сферы. Они располагаются перед соответст вующими точками отрыва потока (67 и 63). В остальной области, включая про странство около третьей сферы, давление находится в интервале (1.3;

1.4) и резко падает до 1 в выходных отверстиях из объёма.

а) Re = 100 б) Re = Рисунок 10 Поле скоростей в сечении XZ, Y = 1.5 для трёх сфер Для случая четырёх сфер рассматривался только один вариант, когда эти сферы образуют пирамиду (рисунок 11).

Рисунок 11 Расчётная область для четырёх сфер Здесь объём имеет один вход и четыре выхода. Радиус входа – 0.5, радиус вы ходов – 0.35, т.е. общая площадь выходов в два раза больше площади входа. Разме ры объёма следующие: длина – 4.0, высота – 1.81650, ширина – 1.86603. Размеры расчётной области подобраны таким образом, чтобы его боковые стенки касались пирамиды, составленной из сфер.

Сферы, составляющие пирамиду, обозначаются следующим образом: верхняя сфера называется сферой H, сфера основания, касающаяся левой грани параллеле пипеда, - сферой E, сферы основания, касающиеся правой стенки параллелепипеда, - F и G, соответственно. Начало координат ГСК располагается в центре тяжести треугольника с вершинами в центрах сфер основания, ось x направлена в сторону выходов, ось y - вверх. Центры сфер имеют координаты (r = 0.5 - радиус сфер):

22 2 1 r, H 0;

r ;

0.

E 0;

0;

r, F r ;

0;

r, G r;

0;

3 3 3 Ниже приведены некоторые результаты исследования течения вязкого газа для случая четырёх сфер.

В пространстве перед пирамидой напротив входа можно выделить довольно чёткую струю газа, движущуюся по направлению к пирамиде. В нижней части этого пространства под входом располагаются два больших вихря с осью вращения, па раллельной оси y, которые по мере продвижения вверх по оси y уменьшаются в размере, приближаются к пирамиде и отходят к боковым граням. Около верхней и нижней граней параллелепипеда вдоль лобовой поверхности сфер располагаются два вихря с осью вращения, параллельной оси z. В пустое пространство внутри пи рамиды газ попадает по криволинейному каналу, образованному сферами H, E и G.

Это вполне объяснимо, поскольку именно этот канал расположен по ходу движения струи. По каналу, ограниченному сферами основания E, F, G, газ из данной области движется вниз. Одновременно газ движется в сторону выхода из пирамиды по кана лам с границами, образованными сферами H, E, F и H, F, G.

За пирамидой располагается область, заполненная многочисленными вихрями с осями вращения, параллельными как оси y, так и оси z. С ростом числа Рейнольдса количество вихрей и их интенсивность растут (max = 5.77 при Re = 100 и max = 8. при Re = 500 в пространстве за пирамидой 3x3.8, где max - максимум модуля за вихрённости). Данная область смещена преимущественно к основанию пирамиды.

В кормовом пространстве верхней сферы H располагаются два вихря, вытянутые к задней грани расчётной области в виде хвоста. С ростом числа Рейнольдса данные вихри удлиняются, одновременно растёт их интенсивность.

На рисунках 12-13 представлены поля скоростей в горизонтальном сечении плоскостью, проходящей только через сферы основания (рисунок 12) и все четыре сферы одновременно (рисунок 13).

Особо необходимо отметить, что уже при Re = 500 в пространстве между сфе рами внутри пирамиды, несмотря на его очень маленький размер, образуется не сколько небольших вихрей, размеры которых сопоставимы с размером данной об ласти (рисунок 14).

В центре пирамиды максимальное значение скорости равно 0.8 для Re = 100 и 1.1 для Re = 500, т.е. величина скорости имеет тот же порядок, что и при входе в объём. Давление изменяется в интервале (2.3;

2.5) для Re = 100 и (1.4;

1.5) для Re = 500, температура - в интервале (1.4;

1.5) для Re = 100 и (1.1;

1.2) для Re = 500.

В области перед пирамидой давление лежит в интервале (2.7;

3) при Re = 100 и (1.5;

1.7) при Re = 500, после пирамиды – в интервале (1.7;

2) при Re = 100 и (1.2;

1.3) при Re = 500. В выходах оно резко падает до 1.

Температура распределена по объёму более равномерно: при Re = T (1.4;

1.5), при Re = 500 T (1.1;

1.2). Только при входе газа в объём наблюдается понижение его температуры.

а) Re = 100 б) Re = Рисунок 12 Поле скоростей в сечении XZ, Y = -0.26 для четырёх сфер а) Re = 100 б) Re = Рисунок 13 Поле скоростей в сечении XZ, Y = 0.41 для четырёх сфер а) XZ, Y = 0.1 б) XY, Z = 0. Рисунок 14 Поле скоростей в центре пирамиды при Re = 500 в плоскостях а) XZ, Y = 0.1, б) XY, Z = 0. Далее рассматривается неплотная кубическая упаковка сфер (4-64 сферы), когда в первом слое каждая сфера касается только четырёх соседних сфер, и все после дующие слои повторяют первый. Расчётная область Q представляет собой прямо угольный параллелепипед с одним входом и четырьмя выходами цилиндрической формы. Вход размещается в центре передней грани, выходы - в центрах квадрантов задней грани, образованных её горизонтальной и вертикальной осями симметрии.

Пример расчётной области приведён на рисунке 15 для упаковки (3;

3;

3), где сначала указывается количество поперечных слоёв, а затем количество сфер вдоль осей y и z. Число Рейнольдса бралось 25, 100 и 500, число Маха равно 0.15.

Средние характеристики течения приведены в таблице 3. Здесь M = (Mx;

My;

Mz) упаковка сфер, Mx - число сфер в направлении оси x, My - число сфер в направлении оси y, Mz - число сфер в направлении оси z, N - суммарное по конечным объёмам количество точек разностной сетки. Далее идут средние по поперечному сечению значения давления p, модуля вектора скорости V и продольной компоненты ско рости u. Индексы 1 и 2 относятся к поперечным сечениям, расположенным перед и после упаковки сфер на расстоянии 0.03, соответственно.

Сходимость по количеству точек разностной сетки исследовалась при всех Re на упаковках (1;

2;

2) и (2;

2;

2). При Re = 25 на упаковке (1;

2;

2) рассматривалось три сетки. При переходе от сетки №1 (23716 точек) к сетке №2 (66004 точек) макси мальное изменение средних величин составило 3.7%, а при переходе от сетки №2 к сетке №3 (203820 точек) – 1.7% (см. таблицу 3). В остальных случаях рассматрива лись только сетки, соответствующие сеткам №2 и №3 данного случая. Разница ме жду средними величинами на наименьшей и наибольшей разностных сетках не пре восходит 2.2% для Re = 25, 100 и 4.7% для Re = 500.

Физическая адекватность расчётов проверялась с помощью закона сохранения массы, согласно которому для стационарного течения в отсутствии источников и стоков должно выполняться условие m1 = m2, где m – массовый расход в попереч ном сечении перед (1) и после (2) упаковки. Для всех рассматриваемых упаковок разница между m1 и m2 не превосходит 3.4%, причём ошибка растёт с увеличением числа сфер. Данная погрешность расчётов при выполнении закона сохранения мас сы образуется за счёт трёх факторов: погрешность численного интегрирования при вычислении массового расхода, погрешность интерполяции (значения гидромеха нических переменных передаются из одного конечного объёма в другой с помощью полиномиальной интерполяции, которая реализовывалась без учёта законов сохра нения), погрешность разностной схемы (разностная схема построена на основе сис темы уравнений гидромеханики в симметричной форме и, следовательно, не явля ется консервативной, т.е. реализует интегральные законы сохранения с некоторой ошибкой).

Таблица Средние характеристики потока в неплотной кубической упаковке сфер M N p1 p2 u1 u V V 1 Re = 25, M = 0. (1;

2;

2) 23716 1.297 1.056 0.288 0.313 0.185 0. 66004 1.283 1.054 0.288 0.320 0.187 0. 203820 1.295 1.053 0.293 0.321 0.188 0. (1;

3;

3) 147534 1.179 1.010 0.340 0.281 0.185 0. (1;

4;

4) 261620 1.162 1.011 0.430 0.376 0.184 0. (1;

5;

5) 408262 1.131 0.992 0.500 0.369 0.183 0. (1;

6;

6) 587460 1.107 0.975 0.576 0.448 0.185 0. (2;

2;

2) 95484 1.559 1.068 0.285 0.360 0.188 0. 271276 1.592 1.069 0.290 0.365 0.188 0. (3;

3;

3) 283070 1.571 1.017 0.341 0.370 0.184 0. (4;

4;

4) 627236 1.678 1.019 0.425 0.466 0.183 0. Re = 100, M = 0. (1;

2;

2) 66004 1.108 1.038 0.321 0.281 0.185 0. 203820 1.107 1.034 0.327 0.282 0.185 0. (1;

3;

3) 147534 1.050 0.997 0.359 0.247 0.183 0. (3;

3;

3) 283070 1.146 1.001 0.364 0.287 0.182 0. Re = 500, M = 0. (1;

2;

2) 125570 1.065 1.028 0.428 0.455 0.183 0. 212676 1.059 1.024 0.413 0.450 0.184 0. (1;

3;

3) 278640 1.013 0.991 0.392 0.353 0.178 0. (3;

3;

3) 511184 1.049 0.994 0.408 0.350 0.181 0. Далее изложим полученные результаты. Из таблицы 3 видно, что при переходе через упаковку сфер средняя скорость газа в продольном направлении u возраста ет, причём она зависит только от числа поперечных слоёв упаковки Mx. С ростом Mx также увеличивается перепад давления p1 p2, т.к. газу необходимо преодолевать всё большее расстояние между рассматриваемыми поперечными сечениями. Но при возрастании My и Mz перепад давления уменьшается, что сопровождается ростом V. С увеличением Re значения p1 p2 падают, т.к. требуется меньше усилий для того, чтобы протолкнуть газ через упаковку сфер. Также падает величина u2 u1, т.е. скорость газа в продольном направлении увеличивается в меньшей степени.

Характер течения следующий. Газ входит в объём в виде чётко очерченной струи. Наталкиваясь на упаковку сфер, поток разбивается на несколько меньших струй, которые движутся по направлению к выходам через криволинейные каналы, образованные сферами. При этом даже при Re = 25 в пространстве между сферами наблюдаются небольшие вихри (рисунок 16). На рисунке 17 приведены профили продольной компоненты скорости для упаковки (3;

3;

3) в поперечном сечении меж ду вторым и третьим слоями вдоль оси y. Там же приведён данный разрез, на кото ром пунктиром указана линия измерения с координатой Z = 1. Из рисунка 17 видно, что скорость движения центральных струй больше пристеночных. Но с ростом Re максимальная скорость в центре падает, а около стенок растёт. При этом пики гра фика смещаются к стенкам.

Рисунок 15 Рассматриваемая область (вид сбоку) Рисунок 16 Поле скоростей в продольном сечении Z = 1. для упаковки сфер (3,3,3) при Re = Рисунок 17 Профиль продольной компоненты вектора скорости в поперечном сечении X = 2.32 вдоль оси y для упаковки (3,3,3), 1 - Re = 25, 2 - Re = 100, 3 - Re = ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты, полученные в диссертационной работе, состоят из сле дующих положений:

1. Разработан метод численного решения уравнений гидромеханики в много связных областях на примере прямоугольного объёма с перфорированными стенка ми, заполненного сферическими частицами. Создан набор стандартных типов ко нечных объёмов (КО), на которые можно разбить исходную область со сфериче скими частицами. Для каждого конечного объёма разработана криволинейная сис тема координат. Для организации взаимодействия между КО предложено три мето да интерполяции гидромеханических переменных (метод, основанный на вычисле нии определителей;

метод, основанный на разложении функции по формуле Тейло ра;

метод, основанный на представлении функции в виде отрезка ряда Фурье по ортогональным многочленам). При проведении расчётов разностная схема, постро енная исходя из дивергентной формы записи системы уравнений гидромеханики, оказывалась неустойчивой при Re 100. Устойчивость достигнута лишь при пере ходе к системе уравнений гидромеханики, в которой конвективные слагаемые запи сываются в симметричной форме.

2. На основе изложенных в главе 2 теоретических положений создан программ ный комплекс для проведения расчётов течения вязкого газа в объёме с перфориро ванными стенками, заполненном сферическими частицами. Он протестирован на задаче обтекания сферы в неограниченном объёме в диапазоне чисел Рейнольдса 401000. Полученные значения коэффициента сопротивления сферы, угла отрыва потока и длины отрывной зоны удовлетворительно совпадают с эксперименталь ными данными и результатами расчётов других авторов.

3. В случае, когда в рассматриваемом ограниченном объёме располагается одна сфера, проведено исследование сходимости решения по количеству точек разност ной сетки и порядку точности пространственных производных. Показано, что для получения сходящегося решения достаточно использовать разностную схему чет вёртого порядка точности по пространственным переменным.

4. В работе рассмотрено течение вязкого газа в объёме с перфорированными стенками, в котором располагаются одна, две, три и четыре сферы в различных по ложениях, а также неплотная кубическая упаковка сфер (4-64 сферы) при Re = 100 и Re = 500. Для каждого случая проанализирован характер формирования вихрей, образующихся отрывных зон и движения вязкого газа в целом для объёма в рас сматриваемых условиях. В итоге получается, что, когда в объёме располагаются одна, две или три сферы, течение газа при Re = 100 становится стационарным, а при Re = 500 – нестационарным, периодическим. Когда в объёме располагаются четыре и более сфер, течение является стационарным как при Re = 100, так и при Re = 500.

Во всех случаях при переходе от Re = 100 к Re = 500 наблюдается увеличение коли чества вихрей, они становятся более интенсивными и усложняется сама их структу ра.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Липанов А.М., Семакин А.Н. Обтекание вязким газом сферических частиц в ог раниченном объёме // Вестник Удмуртского университета. Математика. Меха ника. Компьютерные науки. 2009. Вып. 4. С. 79-86.

2. Липанов А.М., Семакин А.Н. Обтекание вязким газом системы двух сфер в объёме с перфорированными стенками // Математическое моделирование. 2009.

Т. 21, № 7. С. 67-74.

3. Липанов А.М., Семакин А.Н. Обтекание трёх сфер потоком вязкого газа при Re=100 // Вестник ИжГТУ. 2008. № 4. С. 203-205.

4. Липанов А.М., Семакин А.Н. Применение метода конечных объёмов к задаче обтекания сферы // Материали за 4-а международна научна практична конфе ренция «Динамика изследования – 2008». Т.27. Математика. Съвременни техно логии на информации. Здание и архитектура. София: «Бял ГРАД-БГ» ООД, 2008.

С. 31-35.

5. Липанов А.М., Семакин А.Н. Структура течения, распределение давления и тем пературы при обтекании сферы, расположенной в объёме с перфорированными стенками, потоком газа // Materily IV mezinrodn vdecko-praktick konference «Vda: teorie a praxe – 2008». Dl 14. Matematika. Vstavba a architektura. Praha:

Publishing House «Education and Science» s.r.o., 2008. С. 39-42.

6. Липанов А.М., Семакин А.Н. Течение вязкого газа в трёхсвязной области (две сферы в прямоугольном объёме) // Материалы международной научно практической конференции «Актуальные проблемы науки в России». Выпуск V.

Т.3. Кузнецк: КИИУТ (филиал ПГУ), 2008. С. 101-103.

7. Липанов А.М., Семакин А.Н. Некоторые параметры течения при обтекании вяз ким газом системы двух сфер // Materialy IV Midzynarodowej naukowi praktycznej konferencji «Naukowy potencjal wiata – 2008». T.9. Techniczne nauki.

Budownictwo I architektura. Matematyka. Fizyka. Przemyl: Nauka i studia, 2008. С.

81-84.

8. Lipanov A.M., Semakin A.N. Methods for mathematical modeling of a viscous gas flow in porous media // Materily IV mezinrodn vdecko-praktick konference «Pedn vdeck novinky – 2008». Dl 6. Matematika. Modern informani technolo gie. Fyzika. Vstavba a architektura. Praha: Publishing House «Education and Sci ence» s.r.o., 2008. С. 28-30.

9. Липанов А.М., Семакин А.Н. Обтекание вязким газом четырёх соприкасающих ся сфер // Materily IV mezinrodn vdecko-praktick konference «Nastolen mod ern vdy – 2008». Dl 8. Matematika. Modern informani technologie. Fyzika.

Vstavba a architektura. Praha: Publishing House «Education and Science» s.r.o., 2008. С. 17-20.

10. Липанов А.М., Семакин А.Н. Метод конечных объёмов: аналитические преобра зования координат для различных типов конечных объёмов и примеры расчётов при Re=100 // Краевые задачи и математическое моделирование: сб. ст. 9-й Все российской научной конференции. 28-29 ноября 2008 г. В 3 т. Т. 1. Новокузнецк, 2008. С. 59-63.

11. Липанов А.М., Семакин А.Н. Обтекание вязким газом сферы в объёме с перфо рированными стенками // Международная Интернет-конференция «Актуальные вопросы современной науки»: Сборник научных трудов. М.: Издательство «Спутник +», 2008. С. 82-85.

12. Семакин А.Н., Липанов А.М. Обтекание вязким газом сферы в прямоугольном объёме при наличии точки касания // Актуальные проблемы современной науки:

Труды 4-го Международного форума (9-й Международной конференции моло дых учёных и студентов). Естественные науки. Ч. 1-3: Математика. Математиче ское моделирование. Механика. Самара: Изд-во СамГТУ, 2008. С. 231-234.

Подписано в печать «15» марта 2010 г.

Бумага офсетная. Формат 6084/ Объём 1,44 п.изд.л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИПМ УрО РАН 426067, г. Ижевск, ул. Т.Барамзиной,

 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.