авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Эволюция движения систем вязкоупругих тел

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Шатина Любовь Сергеевна

Эволюция движения систем

вязкоупругих тел

01.02.01 Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва - 2012

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и ме хатроники механико-математического факультета Московского го сударственного университета имени М.В. Ломоносова.

Вильке В.Г.,

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Марков Ю.Г., доктор физико-математических наук, профессор Зленко А.А., кандидат физико-математических наук, доцент Вычислительный центр

Ведущая организация:

им. А.А. Дородницына Российской академии наук

Защита диссертации состоится 25 мая 2012 года в 16 часов 30 ми нут на заседании совета Д 501.001.22 при Московском государствен ном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 25 апреля 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Прошкин В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о движении вязкоупругих тел в гравитационном поле сил является модельной задачей в теории при ливов. Первые фундаментальные исследования в этой области при надлежат Дж.Г. Дарвину. Более детальное исследование приливных эффектов, учитывающее новую научную информацию о планетах и их спутниках, было проведено во второй половине XX века таки ми учеными как Г.Макдональд, П. Голдрайх, С. Пил, У. Каула и другими. Ряд важных результатов по приливной эволюции враща тельного движения небесных тел был получен Белецким В.В. В дан ной работе применяется метод разделения движений и усреднения, разработанный Вильке В.Г. для изучения механических систем с бес конечным числом степеней свободы, движение которых описывается сложными системами интегродифференциальных уравнений в бес конечномерных банаховых пространствах. Указанный метод позво ляет перейти от этих уравнений к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию движения исследуемой системы. Изучению систем, содержащих вязкоупругие элементы большой жесткости, посвящены работы Черноусько Ф.Л., Вильке В.Г., Маркова Ю.Г., Маркеева А.П. и др.

Исследования по влиянию упругих и диссипативных сил на эво люцию движения небесных тел актуальны также в связи с попыткой объяснить расхождения между теоретическими результатами и дан ными наблюдений и необходимостью уточнения законов движения тел в гравитационном поле сил. Цель работы состоит в развитии и углублении методов исследования эволюции движения систем с бесконечным числом степеней свободы и применении этих и ранее известных методов к исследованию диссипативной эволюции движе ния небесных тел.

Основные результаты диссертации и их научная новизна.

В работе проведено исследование диссипативной эволюции поступа тельно-вращательного движения систем вязкоупругих тел в грави тационном поле сил. Планеты моделируются однородными изотроп ными телами из материала Кельвина-Фойгта, имеющими шаровую форму в естественном недеформированном состоянии.

• Проведено исследование поступательно-вращательного движе ния двух вязкоупругих планет в поле сил взаимного притя жения в "плоском" случае, когда центры масс планет дви жутся в неподвижной плоскости, а ось вращения каждой из планет направлена по нормали к этой плоскости. Описано де формированное состояние планет в первом приближении по малым параметрам. Методом разделения движений и усред нения получена система уравнений, описывающих эволюцию поступательно-вращательного движения системы в перемен ных Андуайе-Делоне. Найдены стационарные решения этой си стемы и исследована их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Показано, что эволюционная система имеет не бо лее двух стационарных решений. В случае существования од ного стационарного решения оно является неустойчивым. В случае существования двух стационарных решений стационар ное движение, соответствующее большему расстоянию между центрами масс планет асимптотически устойчиво, а меньше му - неустойчиво. В стационарном движении планеты обра щены друг к другу одной стороной и равномерно вращаются вокруг общего центра масс по круговым орбитам. Для пла нет Солнечной системы вычислены значения радиусов стаци онарных орбит. В рамках модельной задачи о движении двух вязкоупругих тел в поле сил взаимного притяжения получено уравнение, описывающее эволюцию медленной угловой пере менной долготы перигелия. В качестве примера рассмотрена система "Солнце-Меркурий". Существенным обстоятельством является тот факт, что движение меньшей по массе планеты (Меркурия) происходит не в центральном ньютоновском поле сил, а в гравитационном поле массивного вращающегося вяз коупругого тела (Солнца).

• Рассмотрено движение связки двух вязкоупругих планет в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела. Ме тодом разделения движений и усреднения получена систе ма дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию поступательно-вращательного движения системы. Для систе мы "Солнце-Земля-Луна" с использованием данных наблюде ний определены числовые значения эквивалентных коэффици ентов вязкости планет. На основе полученных уравнений по строены графики зависимости угловых скоростей и элементов орбит изучаемых небесных тел от времени. Проведено каче ственное исследование эволюционной системы уравнений дви жения в случае, когда тело наименьшей массы моделируется материальной точкой. Показано, что в зависимости от началь ных условий эта система может иметь не более двух стацио нарных решений, и доказана их неустойчивость.

• Получены векторные уравнения, описывающие движение трех вязкоупругих тел в поле сил взаимного притяжения в неогра ниченной постановке задачи с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Найдено стационарное движение системы - аналог треугольных точек либрации в классической задаче трех тел. Получены поправки к взаимным расстояниям между центрами масс планет в стационарной конфигурации.

Все основные результаты, полученные в работе, являются новы ми Методы исследования. В работе используются методы анали тической механики, метод разделения движений, применяемый к ме ханическим системам, содержащим деформируемые элементы боль шой жесткости (Черноусько Ф.Л. (1980), Вильке В.Г. (1983)), метод усреднения для систем с быстрыми и медленными переменными (Ар нольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. (2009)).

Достоверность результатов. Все результаты в диссертации получены методами аналитической механики и асимптотическими методами на основе сформулированных в ней гипотез. Качественно аналитические результаты проиллюстрированы и подтверждены с помощью численного анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация но сит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в приливной теории движения планет и их спутников, а также при построении новых усложненных моделей в небесной меха нике и в динамике полета космических аппаратов. Результаты дис сертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Вычислительном центре имени А.А. Дород ницына РАН, Институте прикладной математики имени М.В. Кел дыша РАН и других научно-исследовательских центрах.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссерта ции, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Международная конференция студентов, аспирантов и моло дых учёных "Ломоносов-2009"(Москва, 13-18 апреля 2009 г.) • European Geosciences Union General Assembly 2009 (Vienna, Austria, 19-24 April 2009) • Симбирская молодежная научная школа по аналитической ди намике, устойчивости и управлению движениями и процесса ми, посвященная памяти академика В.В. Румянцева (Улья новск, 8-12 июня 2009 г.) • European Planetary Science Congress 2009 (Potsdam, Germany, 14-18 September 2009) • Международный молодежный научный форум "Ломоносов 2011" (Москва, 11-15 апреля 2011 г.) • X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоре тической и прикладной механики (Нижний Новгород, 24-30 ав густа 2011 г.) • Семинар "Динамика относительного движения" под руковод ством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц. К.Е. Якимовой, доц. Е.В.Мелкумовой (2012 г.) • Семинар "Математические методы технической механики" под руководством проф. С.Я.Степанова и доц. А.А.Бурова (2012 г.) • Семинар "Аналитическая механика и теория устойчивости" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф.

А.В. Карапетяна (2012 г.) Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Рабо ты [1,2] выполнены в соавторстве с научным руководителем д.ф.-м.н.

Вильке В.Г., которому принадлежат постановки задач и методы их исследования, и в соавторстве с д.ф.-м.н. Шатиной А.В., которая проводила научные консультации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 133 наиме нований. Работа содержит 14 рисунков. Общий объем диссертации 91 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предметная область и цель настоящей дис сертации, дан обзор работ, посвященных исследованию влияния де формаций и внутреннего трения на эволюцию поступательно-враща тельного движения систем небесных тел, а также изложены основ ные результаты диссертации.

Первая глава посвящена задаче о движении двух вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяжения. Планеты моделируются однородными изотропными вязкоупругими телами масс m1 и m2 из материала Кельвина-Фойгта, имеющими в естественном недеформи рованном состоянии шаровую форму. Так как рассматриваемая си стема изолирована, ее центр масс движется равномерно и прямоли нейно и может быть принят за начало инерциальной системы отсчета OXY Z.

Для описания вращательного движения планет вводятся подвиж (i) (i) (i) ные системы координат Ci x1 x2 x3, где Ci - центр масс i-ой плане (i) (i) (i) ты. Переход от подвижных осей к осям Кенига Ci 1 2 3 задается ортогональным оператором i (i = 1, 2). Положение точки Mi i -ой планеты определяется радиусом-вектором RMi по формуле RMi = Ri + i (ri + ui (ri, t)) (i = 1, 2), где Ri - радиус-вектор точки Ci, ri - радиус-вектор точки Mi шара в недеформированном состоянии относительно подвижной системы (i) (i) (i) (i) (i) (i) координат Ci x1 x2 x3, ui = u1, u2, u3 - вектор упругого сме щения.

Векторы Ri и операторы i однозначно определяются по задан ному векторному полю RMi следующими условиями:

Ri (t) = RMi (ri, t) i dvi, ui dvi = 0, rotui dvi = 0, mi Vi Vi Vi (i) (i) (i) где dvi = dx1 dx2 dx3, i - плотность i-ой планеты (i = 1, 2).

Потенциальная энергия упругих деформаций определяется функционалом f 1 = dv1 dv2, |RM1 RM2 | V1 V где f - универсальная гравитационная постоянная.

Деформированное состояние планет описывается в рамках клас сической теории упругости малых деформаций с помощью квадра тичного функционала 2 E [u] = Ei [ui ] = i1 IiE i2 IIiE dvi, Vi i=1 i= Ei (1 i ) 2 (1 2i ) i1 =, i1 =, 2 (1 + i ) (1 2i ) (1 i ) (i) i1 0, 0 i2 3, IiE = ejj, j= (i) (i) uk ul 2 (i) (i) (i) (i) IIiE = ekk ell ekl, ekl = +, (i) (i) 2 xl xk kl где Ei - модуль Юнга i-ой планеты, i - ее коэффициент Пуассона.

Функционал диссипативных сил D[u] = i=1 Di [ui ] согласно мо дели Кельвина-Фойгта определяется соотношением Di [ui ] = i Ei [ui ] где i 0 - коэффициент внутреннего вязкого трения.

Кинетическая энергия системы задается функционалом 1 R2 i i dvi = T= M 2 Vi i= 1 1 mi R2 + = [i (ri + ui )] i dvi + i 2 2 Vi i= u2 i dvi, i + (i (ri + ui ), ui ) i dvi + Vi Vi (1) где i - угловая скорость i-го шара, i (·) = i i (·) (i = 1, 2).

Взаимное расположение планет описывается вектором R = R1 R2, соединяющим их центры масс.

Рассматривается частный случай, когда движение центров масс планет происходит в неподвижной плоскости OXY, а их враще ние происходит по нормали к этой плоскости. Существование такого класса движений было доказано в монографии Вильке В.Г. (1997), где были получены уравнения движения рассматриваемой системы в векторном виде.

В п. 1.1 формулируется постановка задачи, и выводятся урав нения движения системы в форме уравнений Рауса, каноническую часть которых составляют уравнения относительно переменных Ан дуайе-Делоне, а лагранжеву - уравнения в форме вариационного принципа Д’Аламбера-Лагранжа относительно обобщенных коорди нат, описывающих деформированное состояние планет. Вращатель ное движение планет описывается переменными I1, 1, I2, 2, а движение конца вектора R - переменными G, g, L, l. Здесь Ii модуль кинетического момента i-ой планеты относительно ее цен тра масс, i - угол, задающий в рассматриваемом частном случае (i) (i) (i) поворот подвижных осей Ci x1 x2 x3 относительно соответствую щих осей Кенига, G - модуль момента количества движения кон ца вектора R относительно начала инерциальной системы отсче та, L - модуль момента количества движения по круговой орбите с данным значением полной энергии, g - долгота перигелия орбиты, l - средняя аномалия.

В п. 1.2 методом разделения движений и усреднения выводится приближенная система уравнений относительно переменных "дей ствие" и медленных угловых переменных, описывающих диссипа тивную эволюцию поступательно-вращательного движения системы.

В соответствии с рассматриваемой моделью, жесткость планет предполагается большой, и вводятся безразмерные малые парамет ры i (i = 1, 2), обратно пропорциональные модулям Юнга планет.

При i = 0 уравнения движения системы интегрируются и описы вают движение двух абсолютно твердых шаров в поле сил взаим ного притяжения, когда конец вектора R описывает кеплеровскую орбиту, а угловые скорости планет постоянны. Это невозмущенное движение используется в качестве порождающего для определения векторов упругого смещения ui в первом приближении по малым параметрам.

В результате подстановки найденных решений ui в правые части канонических уравнений для "медленных" переменных I1, I2, G, L, g и усреднения их по "быстрой" угловой переменной l, получена следующая эволюционная система уравнений:

G i (1a) Ii = nF2 (e) i F1 (e) (i = 1, 2), G12 L L i (1b) L = nF3 (e) i F2 (e) G12 G i= G i (1c) G = nF2 (e) i F1 (e) G12 L i= 32 i i D2i f 3 m6 m6 G3 i g = + G7 (m1 + m2 )3 L3 i i= 15i f 3 m6 m6 3 1 + e2 + e4 (1d) + G6 (m1 + m2 )6 2 где ri0 - радиус i-ой планеты в естественном недеформированном со I стоянии, i = Ai - ее угловая скорость, Ai - центральный момент i 1 G2 - эксцентриситет орбиты конца инерции (i = 1, 2), e = L f 2 m 3 m вектора R, n = - его среднее орбитальное движение, (m1 + m2 )L 1 = f m2, 2 = f m1, 2 i f 6 m12 m12 D2i i i 2 4(1 + i )(13 + 9i )ri, D2i =, 1 i i = 18 6 105(5i + 7) (m1 + m2 ) F1 (e) = 1 + 3e2 + 8 e4, F2 (e) = 1 + 15 e2 + 45 e4 + 16 e6, 3 2 F3 (e) = 1 + 31 e2 + 255 e4 + 185 e6 + 25 e8.

2 8 16 Уравнения (1a)-(1c) образуют замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций I1, I2, L, G, имеющую первый интеграл, выражающий закон сохранения модуля момента количества движения системы относительно общего центра масс, (2) G + I1 + I2 = G0.

Уравнение (1d) интегрируется после нахождения функций I1, I2, L и G.

Стационарные решения полученных уравнений найдены в п. 1.3.

Показано, что в стационарном движении система двух планет дви жется как твердое тело, то есть планеты обращены друг к другу одной стороной, а их центры масс равномерно движутся по круго вым орбитам.

В зависимости от значения первого интеграла (2) система может иметь не более двух стационарных решений.

При G0 3 4 3k, где k = m1 + A2 f 2 m3 m3, система имеет два A 1 + m2 стационарных решения, одно из которых, соответствующее больше му расстоянию между центрами масс планет, асимптотически устой чиво, а второе неустойчиво.

Если G0 = 3 4 3k, то система имеет ровно одно неустойчивое ста ционарное движение.

В случае G0 3 4 3k стационарных движений нет.

Этот результат соответствует полученному ранее в монографии Вильке В.Г. (1997).

Полученные результаты иллюстрируются на примере Солнечной системы в п. 1.4, где в качестве первого тела рассматривается Солн це, а в качестве второго - одна из планет. Показано, что для всех планет Солнечной системы выполнено условие существования двух стационарных решений. Вычислены радиусы стационарных орбит и проведено сравнение полученных результатов с текущими зна чениями больших полуосей орбит планет. Показано, что планеты земной группы (Меркурий, Венера, Земля, Марс) находятся ближе к неустойчивым стационарным орбитам, а орбиты планет-гигантов (Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна) близки к соответствующим устойчивым стационарным орбитам.

Уравнение (1d), описывающее эволюцию медленной угловой пе ременной g, рассматривается отдельно в п. 1.5 на примере системы Солнце-Меркурий.

Правую часть уравнения (1d) можно представить в следующем виде:

(3) g = g1 + g2 + q1 + q2, 27f 1/2 m1 m2 ri0 h(i )i n2 1 + 2 e2 + 1 e4, где qi = 28a7/2 (1 e2 )5 (m1 + m2 )1/ 9(m1 + m2 )1/2 f 1/2 mi ri0 h(i )i gi = i (i = 1, 2), 140a7/2 (1 e2 ) G2 (m1 + m2 ) (1 + )(13 + 9),a= - большая полуось ор h() = f m2 m (5 + 7) биты.

Следует отметить, что существенным отличием между аналогич ным уравнением, полученным в диссертации Шатиной А.В. (2007), где изучалось движение планеты в центральном поле сил, и уравне нием (3), описывающим изменение долготы перигелия орбиты пла неты, движущейся в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела, является наличие в его правой части слагаемого g1, зависящего от массы, радиуса и угловой скорости этого тела, причем в случае системы Солнце-Меркурий именно оно вносит основной вклад в эво g q q люцию перигелия, так как g2 1, g1 1 и g2 1.

1 1 Приближенно можно считать, что 9 f (m1 + m2 )h (1 ) m1 r10 (4) g 1.

140E1 a7/2 (1 e2 ) Согласно данным наблюдений, смещение перигелия Меркурия составляет 570 /100лет (Роузвер Н.Т. (1985)).

На основании формулы (4) были вычислены значения модуля Юнга вязкоупругого тела, моделирующего Солнце, для разных зна чений коэффициента Пуассона Таким образом, соответствующим выбором модуля Юнга E1 в рамках данной постановки задачи можно добиться совпадения тео ретического значения наблюдаемого смещения перигелия Меркурия с наблюдаемым.

Во второй главе исследуется движение двойной планеты, моде лируемой двумя вязкоупругими шарами с массами m2 и m3, в грави тационном поле вязкоупругого тела массы m1. Предполагается, что m2 /m1 1, m3 /m2 1, а расстояние между телами, составляющи ми двойную планету, много меньше расстояния от их барицентра до третьего тела. Эта глава является обобщением работы Вильке В.Г., Шатиной А.В. (2001), где движение двойной планеты осуществля лось по орбитам с нулевыми эксцентриситетами в гравитационном поле неподвижного притягивающего центра.

В п. 2.1 описывается "плоская" постановка задачи, когда центры масс планет движутся в неподвижной плоскости, а их угловые ско рости ортогональны этой плоскости. Взаимное расположение планет описывается с помощью векторов R1 = C1 C и R2 = C2 C3, где Ci центр масс i-ой планеты, C - барицентр двойной планеты. Получе ны уравнения движения системы в форме уравнений Рауса, состоя щих из канонических уравнений относительно переменных Андуайе Делоне I1, I2, I3, L1, L2, G1, G2, 1, 2, 3, l1, l2, g1, g2, где перемен ные Ik, k (k = 1, 2, 3) описывают вращательное движение планет, а переменные Gj, gj, Lj, lj (j = 1, 2) - орбитальное движение кон цов векторов R1, R2, и уравнения в форме вариационного принципа Д’Аламбера-Лагранжа для определения векторов упругого смеще ния.

В п. 2.2 методом разделения движений и усреднения осуществля ется построение приближенной системы обыкновенных дифферен циальных уравнений относительно переменных "действие", описы вающих эволюцию поступательно-вращательного движения двойной планеты в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела. В случае отсутствия деформаций "невозмущенные" уравнения инте грируются и описывают движение, когда концы векторов R1 и R движутся по кеплеровским орбитам, а планеты вращаются с посто янными угловыми скоростями. Это движение используется в каче стве порождающего для определения вынужденных колебаний вяз коупругих шаров.

В результате подстановки найденных в первом приближении по малому параметру i функций ui (ri, t) (i = 1, 2, 3) в правые части уравнений относительно переменных "действие" и усреднения этих уравнений по быстрым угловым переменным l1 и l2 (рассматривается нерезонансный случай), получена следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений седьмого порядка:

G (5a) I1 = 12 1 3 F1 (e1 ) n1 F2 (e1 ), G1 L G ij i (5b) Ij = j F1 (ei ) ni F2 (ei ) (j = 2, 3), G12 L i i i= L 1i (5c) L1 = i F2 (e1 ) n1 F3 (e1 ), G12 G 1 i= L 2i (5d) L2 = i F2 (e2 ) n2 F3 (e2 ), G12 G 2 i= G 1i (5e) G1 = i F1 (e1 ) n1 F2 (e1 ), G12 L 1 i= G 2i (5f) G2 = i F1 (e2 ) n2 F2 (e2 ), G12 L 2 i= 182 f 8 m12 (m2 + m3 ) D21 1 где 11 =, 1 M 182 f 8 m14 (m2 + m3 ) D2j j j j 1j =, M 182 f 8 m12 m14 D2j j j j j k 2j = (j, k = 2, 3, j = k), (m2 + m3 ) функции F1 (e), F2 (e), F3 (e) и выражение D2i определены выше, f -универсальная гравитационная постоянная, M = m1 + m2 + m3, i - плотность i-ой планеты, ri0 - ее радиус в естественном недефор I мированном состоянии, i = Ai - угловая скорость i-ой планеты, Ai i G j ее центральный момент инерции (i = 1, 2, 3), ej = - эксцен L j f 2 m3 (m2 + m3 ) триситет орбиты конца вектора Rj (j = 1, 2), n1 =, M L f 2 m3 m - соответствующие средние орбитальные движе n2 = (m2 + m3 ) L ния.

Система уравнений (5) имеет первый интеграл, выражающий за кон сохранения модуля кинетического момента системы относитель но общего центра масс:

I1 + I2 + I3 + G1 + G2 = G0.

В п. 2.3 для случая, когда планета массы m3 моделируется ма териальной точкой (13 = 23 = 0), проведено исследование стаци онарных решений соответствующей системы уравнений. Показано, что в зависимости от начальных условий система может иметь одно или два стационарных решения, оба из которых неустойчивы, либо не иметь стационарных решений. В стационарном движении все три планеты расположены на одной прямой и равномерно вращаются вокруг общего центра масс как твердое тело.

В п. 2.4 осуществлен переход от уравнений (5) относительно пе ременных Андуайе-Делоне к уравнениям относительно переменных i (i = 1, 2, 3), nj, ej (j = 1, 2). В рамках изучаемой постановки задачи рассмотрен пример системы "Солнце-Земля-Луна". На осно ве данных наблюдений определены числовые значения параметров системы - эквивалентных коэффициентов вязкости планет. С помо щью системы Matlab7.0.1 получены графики, отображающие карти ну эволюции системы в будущем.

В настоящее время Луна удаляется от Земли. Согласно получен ным численным результатам, наибольшее расстояние, на которое она удалится, составит 512,4 тыс. км, что в 1,3 раза больше текущего значения большой полуоси ее орбиты. Одновременно с этим пери од обращения Земли вокруг оси сравняется с периодом обращения Луны вокруг Земли и составит 42,2 суток. Эти значения близки к полученным в работе Вильке В.Г., Шатиной А.В. (2001). Далее уг ловая скорость Земли продолжит убывать, а среднее орбитальное движение Луны - возрастать, и стационарного движения система не достигнет. Эксцентриситет лунной орбиты будет возрастать до мак симального значения, равного 0,1112, а затем начнет убывать.

Описанная картина эволюции лунной орбиты сходна с той, что была получена Г. Макдональдом (1964) при рассмотрении движения Луны по эксцентрической орбите без учета влияния Солнца.

В главе 3 исследуется поступательно-вращательное движение трех планет, моделируемых однородными изотропными вязкоупру гими шарами масс m1, m2 и m3 в поле сил взаимного притяжения в общей постановке задачи.

В п. 3.1 на основе вариационного принципа Д’Аламбера Лагранжа выводятся точные уравнения движения системы.

В п. 3.2 методом разделения движений получена система при ближенных уравнений движения трех вязкоупругих шаров с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией.

В случае, когда планеты моделируются абсолютно твердыми ша рами, система имеет стационарные движения, в которых центры масс планет образуют равносторонний треугольник, и система рав номерно вращается относительно общего центра масс с угловой ско ростью, направленной вдоль постоянного вектора кинетического мо мента (лагранжевы треугольные точки либрации).

В п. 3.3 найден аналог треугольных точек либрации для систе мы трех вязкоупругих тел. В этом движении диссипация энергии отсутствует, планеты движутся как одно тело с постоянной угловой скоростью, при этом их центры масс находятся в неподвижной плоскости, ортогональной вектору угловой скорости, образуя тре угольник общего положения. Стороны этого треугольника R12, R и R23 в первом приближении по малым параметрам i (i = 1, 2, 3) определяются следующими формулами:

f (1) Rij = R + 4 Rij, R 4m1 + 28m2 5m3 28m1 + 4m2 5m (1) R12 = 1 + 2 + 3, 12m1 12m 4m1 + 28m3 5m1 28m1 + 4m3 5m (1) R13 = 1 + 2 + 3, 12m1 12m 4m2 + 28m3 5m1 28m2 + 4m3 5m (1) R23 = 1 + 2 + 3, 12m2 12m где f - универсальная гравитационная постоянная, R = 3 f M 2, 4i 2 (1 + i )(13 + 9i ) M = m1 + m2 + m3, i = ri0, ri0 - ради i 105(5i + 7) ус i-ой планеты в недеформированном состоянии, i - ее плотность (i = 1, 2, 3).

В заключении сформулированы основные результаты диссерта ции.

Публикации по теме диссертации 1. Вильке В.Г., Шатина А.В., Шатина Л.С. Движение трех вяз коупругих планет в поле сил взаимного притяжения // Косми ческие исследования, 2009, т.47, №5, с. 471-476.

2. Вильке В.Г., Шатина А.В., Шатина Л.С. Эволюция движе ния двух вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяже ния // Космические исследования, 2011, т.49, №4, с. 355-362.

3. Шатина Л.С. Эволюция движения двойной планеты в гра витационном поле массивного вязкоупругого тела // Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 2011, №6, с.32-37.

4. Шатина Л.С. Эволюция движения связки двух вязкоупругих планет в гравитационном поле массивной вязкоупругой плане ты // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лоба чевского, 2011, №4, часть 2, с. 361-363.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.