авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Эффекты асимметричных модуляций в задачах тепловой конвекции

На правах рукописи

Мелентьев Анатолий Борисович

ЭФФЕКТЫ АСИММЕТРИЧНЫХ МОДУЛЯЦИЙ В ЗАДАЧАХ

ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ

01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Пермь 2012

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образо-

вательном учреждении высшего профессионального образования «Пермский государственный национальный исследовательский уни верситет»

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Тарунин Евгений Леонидович Официальные доктор физ.-мат. наук, профессор оппоненты: Брацун Дмитрий Анатольевич (зав. каф. теоретиче ской физики и компьютерного моделирования ФГБОУ ВПО «Пермский государственный педаго гический университет») доктор физ.-мат. наук, профессор Фрик Пётр Готлобович (зав. лаб. физической гид родинамики ФГБУН Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН) Ведущая орга- ФГБОУ ВПО «Глазовский государственный педа низация: гогический институт имени В. Г. Короленко», г. Глазов.

Защита состоится «15» ноября 2012 г. в 10:00 на заседании диссерта ционного совета Д 004.012.01 при ИМСС УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1, тел: (342) 2378388;

факс: (342) 2378487;

сайт: www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механи ки сплошных сред УрО РАН Автореферат разослан « » октября 2012 г.

Ученый секретарь совета Березин И.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование конвективных режимов в жид костях и газах в системах с модуляцией параметра имеет много при ложений на Земле и в космических условиях и проводилось во многих работах. Модуляция параметра относится к вопросу об управлении конвекцией за счёт внешнего воздействия. Внешние модуляции спо собны изменять устойчивость систем и порождать различные колеба тельные режимы системы в зависимости от параметров модуляций, таких, как частота, амплитуда, а также вид периодического закона мо дуляции. Однако в большинстве работ используются гармонические симметричные законы модуляций синусоидальной или прямоугольной (в виде «ступенек») формы.

Асимметричные колебания в природе не являются редкостью.

Примером этих колебаний могут служить практически все стили пла вания в воде и полёты птиц. Кроме того, перемещение поршня в дви гателе внутреннего сгорания также является асимметричным. Извест но, что асимметричность механических вибраций может быть вызвана различными способами и обладает полезными приложениями, связан ными, в частности, с механическим перемещением 1. Из этого обстоя тельства вытекает вопрос о применении такого рода колебаний в зада чах динамики жидких сред с целью выявления различных эффектов, применимых, в частности, в задачах управления конвекцией. Рассмот рение асимметричных модуляций вносит в задачу ещё один управля ющий параметр – параметр асимметрии модуляций.

Работа посвящена исследованию конвективных режимов при не гармоническом, асимметричном законе модуляции, вызванном меха Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

ническими колебаниями в типичных задачах тепловой конвекции.

Целью работы является исследование эффектов асимметричной модуляции параметров в задачах свободной конвекции. В рамках ра боты решались задачи:

1. Исследование влияния асимметрии модуляций гравитации на ре жимы конвекции в слое жидкости со свободными границами при по догреве снизу (в задаче Рэлея);

2. Исследование влияния асимметрии модуляций гравитации на надкритические режимы конвекции в полости квадратного сечения;

3. Исследование влияния асимметрии вращательных колебаний на конвективные режимы в полости квадратного сечения при подогреве снизу.

Научная новизна работы. В рамках выполнения диссертационной работы впервые:

1. Найдена формула, описывающая эффекты увеличения экстремаль ных значений интегральных характеристик установившегося колеба тельного режима конвекции при повышении асимметричности моду ляций гравитации в горизонтальном слое жидкости со свободными границами и в полости квадратного сечения при подогреве снизу. При этом показано, что среднее значение амплитуд интегральных характе ристик за период установившихся колебаний изменяется незначитель но;

2. Обнаружен эффект смещения максимума экстремальных значений интегральных характеристик установившегося режима колебаний из области резонансных частот (соответствующих «собственной» частоте системы) в сторону более низких частот при повышении асимметрич ности модуляции гравитации;

3. Найдено понижение порога устойчивости при асимметричности модуляции в задаче Рэлея;

4. Вычислительные эксперименты доказали, что повышение асиммет ричности вращательных колебаний приводит к уменьшению «крити ческого» значения амплитуды, соответствующего смене колебательно го режима с переменой знака вращения жидкости на режим без смены знака. Показано, что бифуркационная кривая, построенная для стацио нарного угла наклона, даёт информацию о конвективных режимах при наличии низкочастотных вращательных колебаний;

5. Разработаны программы, позволяющие исследовать различные ва рианты асимметричных модуляций в рассмотренных задачах.

Достоверность результатов подтверждается результатами тести рования используемых программ расчетов;

соответствием с известны ми решениями в предельных случаях;

совпадением данных, получен ных разными методами и в рамках разных подходов;

использованием известных апробированных методов и алгоритмов расчёта.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в 9 ра ботах [1-9]. Из них 2 статьи [1-2] в центральных российских изданиях из перечня ВАК, 1 статья в сборнике трудов международной конфе ренции [3], 5 статей в печатных периодических изданиях не входящих в перечень ВАК [4-8], 1 статья в электронном журнале [9]. Личный вклад автора в работы [1-9] состоит в построении уравнений и раз ностных схем, в реализации методов исследования, в численных рас четах и обработке результатов вычислительных экспериментов. По материалам диссертации написаны и зарегистрированы программы, реализующие используемые модели [10-13], а также программа, реали зующая варианты асимметричного вращения элементов инерцои да [14].

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссер тации, докладывались на следующих научных семинарах и конферен циях: Краевая дистанционная научно-практическая конференция мо лодых учёных и студентов «Молодёжная наука Прикамья», Пермь, 2009;

International Summer School “Advanced Problems in Mechanics”, Repino, 2010;

Всероссийская конференция молодых учёных «Неравно весные переходы в сплошных средах», Пермь, 2010;

Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и фи зике», Новосибирск, 2010;

Всероссийская научно-практическая конфе ренция с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», посвященная 50-летнему юбилею механи ко-математического факультета ПГУ, Пермь, 2010;

Пермский гидро динамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, Пермь, ПГНИУ, 2011, 2012;

научный семинар ИМСС УрО РАН, Пермь, 2012.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из списка условных сокращений, введения, включающего общую характеристи ку работы, четырёх глав, заключения, списка литературы (163 наиме нования), состоящего из списка использованных источников и списка публикаций автора. Работа содержит 46 рисунков и 7 таблиц. Общий объем диссертации 130 страниц.

Практическая ценность: полученные результаты расчётов, выяв ленные зависимости и составленные программы могут быть использо ваны для расчёта влияния на конвективные режимы асимметричности модуляций гравитации и вращательных колебаний при планировании соответствующих лабораторных экспериментов и производства в наземных условиях и в невесомости.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится общая характеристика работы.

В первой главе диссертации проводится обзор работ, связанных с темой исследования. В первом параграфе рассмотрены работы, в кото рых исследуются эффекты асимметричных колебаний при наличии нелинейности в механике. В следующем параграфе проведён обзор работ по использованию модуляции в конвективных задачах: при мо дуляции температуры, при модуляции гравитации, при вращательных колебаниях. Затем рассмотрены работы по негармоническим модуля циям в конвективных задачах, и сделан вывод о том, что в перечис ленных работах редко рассматривались случаи модуляции конечной частоты и амплитуды и почти не рассматривались случаи асимметрич ной модуляции. Поэтому для рассмотрения эффектов асимметрично сти вначале требуется найти решение для симметричного варианта модуляций.

Во второй главе рассмотре ны режимы конвекции в гори зонтальном слое вязкой несжи маемой жидкости со свободны ми границами и подогревом сни зу при наличии синусоидальных Рис. 1. Схема задачи из второй и асимметричных модуляций главы гравитации (рис. 1).

Размер рассматриваемой конвективной ячейки соответствовал ми нимуму на нейтральной кривой линейной теории устойчивости.

В первом параграфе описана асимметричная модуляция, использу емая в работе:

a cos(1t ), t [0, t1 );

1 t0 t f (t ), (1) a cos(2 (t t1 )), t [t1, t0 ), 2 t где f - функция модуляции (в главах 2 и 3 - координата слоя и поло сти по вертикали, в главе 4 - угол поворота полости), a - амплитуда, t0 - период модуляции, t1 - первая часть периода, 1, 2 - цикличе ские частоты модуляций на первой и второй части периода, - пара метр асимметрии. В дальнейшем будет использована циклическая ча стота колебаний на полном периоде 2 / t0.

Рассмотрена возможность замены используемой асимметричной модуляции суммой членов ряда Фурье. Отмечено присутствие эффекта Гиббса при описании второй производной от функции модуляции и отмечена сложность в добавлении нового параметра – числа членов ряда при описании второй производной с помощью суммы членов ряда Фурье. Сделан вывод о целесообразности использования кусочного задания модуляции.

Во втором параграфе с помощью маломодовой модели конвекции Лоренца исследовалось влияние асимметричности модуляций на ха рактеристики установившихся колебаний. Система уравнений Лорен ца, как и в работе Д.В. Любимова, Т.П. Любимовой и Б.С. Марышева имела вид:

X Pr r M (t ) Y Pr X, Y X Y XZ, Z bZ XY, (2) где X, Y, Z - амплитуды трёх Лоренцовских мод ( X характеризует скорость вращения конвективных валов, а Y и Z — искажения поля температуры), Pr - число Прандтля, b 4(1 2 )1 - геометрический параметр, r Ra / Ra* - нормированное число Рэлея ( Ra* - критиче Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С. Влияние шума на возникновение конвекции в модулированном поле тяжести // Изв.

РАН, Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2010. №6. С.30-37.

ское значение числа Рэлея в отсутствие колебаний), а M (t ) - модуля ционная составляющая:

a12 [cos 1t ]/ 2, 0 t t1, M (t ) (3) a2 [cos 2 (t t1 )]/, t1 t t0.

2 a a2 H 3 / Ra* - безразмерная где амплитуда модуляции, 1, 2,, t, t1, t0 соответствуют безразмерным аналогам (1).

Значительная часть расчётов соответствовала условиям невесомо сти. Для решения уравнений системы использовался метод Рунге Кутты 4 порядка с автоматическим подбором шага по времени для обеспечения относительной погрешности менее 10-6. Анализ результа тов и нахождение аналитических зависимостей производилось с по мощью метода наименьших квадратов.

Для случая невесомости найдена зависимость, показыва ющая понижение критического значения амплитуды модуляции (рис. 2) при увеличении парамет ра асимметрии:

a* ( ) 5, 086 0, 4, 738 0,348( 1), (4) 1 5.

Рис. 2. Нейтральные кривые на карте устойчивости: амплитуда Получены зависимости экс a, обратная частота модуляций тремальных значений характери 1 для трёх значений параметра асимметрии 1;

2;

5 стик интенсивности течения от параметра асимметрии при различной амплитуде модуляции. Показа но, что при значительном влиянии асимметрии на экстремальные ха рактеристики конвективного течения, изменение средних за период интегральных характеристик незначительно.

Для случая надкритических значений числа Рэлея (но меньших значения, когда появляются собственные колебания системы в отсут ствие модуляций) показано увеличение амплитуды колебаний вслед ствие отклонения параметра асимметрии от 1.

а б Рис. 3. Зависимость максимальных значений X от частоты модуляций для параметров: r 2;

a 0, 2 и параметров асимметрии: а) 1;

2 / 3;

1/ 2 ;

б) 1;

1,5;

Обнаружено, что для 1 максимум интенсивности течения коле бательного режима, соответствующий резонансу, смещается в область более низких частот (рис. 3а). Для 1 область резонанса на ампли тудной кривой «размывается» и наблюдается рост интенсивности те чения на низких частотах (рис. 3б).

Получены зависимости экстремального значения амплитуды коле баний и соответствующей частоты модуляции от параметра асиммет рии:

X * ( ) 0,89 2 1,82 2,78, * ( ) 1,67 0,38, 0,5 1, (5) X * ( ) 0,127 1,72, * 2,06, 1 2.

В третьем параграфе главы исследованы режимы конвекции с по мощью полных уравнений конвекции в приближении Буссинеска. В переменных функции тока, вихря скорости и температуры T уравнения имели вид:

T Gr(t ) 0, t y x x, y x (6) T T T T.

t y x x y Pr Здесь Pr - число Прандтля, Gr(t ) Gr0 Grm (t ) - постоянная и моду лируемая компоненты числа Грасхофа.

12GrA [cos(1t )] / 2, 0 t t1 ;

Grm (t ) 2 (7) 2 GrA [cos(2 (t t1 ))] /, t1 t t0.

Для решения системы уравнений использовался метод конечных разностей на сетке, обеспечивающей погрешность решения по инте гральным характеристикам не более 2%. Уравнения для вихря скоро сти и температуры решались по явной схеме, а для функции тока - ме тодом последовательной верхней релаксации на каждом шаге по вре мени. Счёт производился до установления экстремумов интегральных характеристик на соседних периодах с относительной точностью 10 -6.

На вертикальных границах использовалось условие периодичности решения. Для экономии времени счёта использовался метод продол жения по параметру.

Исследованы надкритические режимы, обсуждены картины тече ний. Проведено сравнение с результатами, полученными с помощью модели Лоренца, и показано отличие значений резонансных частот.

При этом обнаружено и сходство: в обоих случаях значения характе ристик интенсивности течения изменяется в пределах 15% при 1/ 2 2.

В случае невесомости подтверждено понижение критического зна чения амплитуды модуляций числа Рэлея (в нашем случае, совпадаю щем с числом Грасхофа, т.к. Pr 1 ) при повышении асимметричности модуляции:

GrA ( ) 3344 228,7 3115,3 228,7( 1), 1 5.

* (8) Найдены зависимости экстремальных значений интегральных ха рактеристик от параметра асимметрии для режимов с одинаковой надкритичностью амплитуды модуляций.

В третьей главе диссертации ис следованы надкритические режимы конвекции в замкнутой полости квад ратного сечения при подогреве снизу при наличии гармонических и асим метричных модуляций конечной ча стоты (рис. 4). Случай симметричных Рис. 4. Схема задачи из модуляций в подобной постановке был третьей главы рассмотрен в работе Г.И. Бурдэ3.

Система уравнений конвекции в приближении Буссинеска в терми нах функции тока и вихря скорости решалась аналогично алгоритму, описанному во второй главе. На твёрдых границах вихрь определялся по формулам Тома.

Рассматривалось фиксированное надкритическое значение числа Рэлея (но меньше значения, когда появляются собственные колебания Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей в модулированном поле внешних сил // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М: ИПМ АН СССР, 1970. №2. С.196-201.

системы в отсутствие модуляций). Обнаружено повышение интенсив ности течения при отклонении параметра асимметрии от 1. Показано, что для 1 максимум функции тока колебательного режима, соот ветствующий резонансу на амплитудной кривой, смещается в область более низких частот. Найдена зависимость экстремального значения максимума функции тока m и соответствующего значения частоты от параметра асимметрии:

m ( ) 1,57 2 3,48 7,15, * ( ) 33,46 3,33, 0,5 1. (9) * Для 1 показано «размытие» области резонанса и увеличение значений характеристики интенсивности течения в области низких частот. Показано, что среднее за период значение интегральных харак теристик изменяется незначительно при изменении параметра асим метрии. Проведено сравнение с задачей Рэлея из второй главы.

В четвёртой главе исследовалась естественная конвекция при низкоча стотных вращательных колебаниях бесконечного горизонтального ци линдра квадратного сечения при по догреве снизу (рис. 5). Аналогичная постановка в случае высоких частот Рис. 5. Схема задачи из чет рассматривалась в работе А.А. Ива вёртой главы новой и В.Г. Козлова4.

Система уравнений, описывающая поведение жидкости отличается от классического приближения Буссинеска добавлением в уравнение Иванова А.А., Козлов В.Г. Вибрационная тепловая конвекция при непоступательных колебаниях полости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2003. № 3. С. 26-43.

для скорости слагаемых, соответствующих силам, возникающим при вращении:

() p Pr Gr T (i sin (t ) j cos (t )) t ( w(t ) r w(t ) ( w(t ) r ) 2 w(t ) ), div 0, (10) cos(1t ), t [0, t1 );

T ()T T, (t ) 0 0 cos(2 (t t1 )), t [t1, t0 ).

t Здесь (u,,0) - скорость жидкости, T - температура, p - давле ние, Pr - число Прандтля, Gr - число Грасхофа, r ( x, y,0) - радиус w (0,0, ) вектор, - угол поворота, - угловая скорость, w (0,0, ) - угловое ускорение, i, j - единичные горизонтальный и вертикальный векторы, направленные вдоль оси x и y.

Рис. 6. Бифуркационная кривая для Рис. 7. Зависимость максимума постоянного угла наклона 5 функции тока от числа Грасхофа при модуляции угла наклона с па раметрами 0 5;

t0 1;

Система уравнений (10) решалась аналогичным, описанному в гла ве 3, образом. Показано, что бифуркационная кривая, построенная для стационарного угла наклона (рис. 6), даёт полезную информацию о возникающих конвективных режимах при наличии вращательных ко лебаний конечной частоты.

Сплошные линии 4 и 5 на рис. 6 соответствуют кубической аппрок симации двух устойчивых ветвей. Штриховая линия 3 соответствует ветвлению решений при 0. Пунктирная линия 6 определяет поло жение неустойчивой ветви, построенной методом наименьших квадра тов.

Методом вычислительных экспериментов с перебором угла наклона с шагом 0,1 и числа Грасхофа с шагом Gr 10 была получена анали тическая зависимость «критиче ского» значения угла наклона Рис. 8. Зависимость критического полости * (Gr ) (рис. 8) в виде значения угла наклона полости от числа Грасхофа полинома третьей степени, соот ветствующего значению Gr* (см. рис. 6), ниже которого не существует режима с вращением жидкости по часовой стрелке.

В случае модуляции (при 1 ) соответствующие бифуркацион ные кривые имели вид рис. 7. Как видно, значение числа Грасхофа Gr 7300 разделяет два режима: при Gr 7300 существует режим конвективного течения со сменой направления вращения, при Gr 7300 конвективное течение сохраняет знак m и колеблется око ло значения m, соответствующего стационарному режиму при 0.

В случае асимметричной модуляции ( 1 ) зависимость m (Gr ) уже не симметрична относительно оси m 0.

Обработка результатов вычислительных экспериментов с перебо ром амплитуды угла поворота 0 и числа Грасхофа Gr позволила получить зависимость «критического» значения амплитуды 0 (Gr ), в * случае модуляции:

Gr 0 (Gr ) 11 th(1,076 ( 1)), 6 103 Gr 20 103, t0 1, 1. (11) * Зависимость (11) соответствует фиксированному периоду модуля ций t0 1. Вычислительные эксперименты с меньшими значениями периода обнаружили, что повышение асимметричности вращательных колебаний приводит к уменьшению «критического» значения ампли туды 0. В случае низких частот ( t0 0,5 ) «критическое» значение * амплитуды слабо зависит от параметра асимметрии. Введён критерий появления режима со сменой направления вращения жидкости за пе риод. Этот критерий объединяет амплитуду и период вращательных колебаний:

Sa ( (t ) * )dt Sa 4, 2 103.

* (12) t ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Впервые найдены аналитические зависимости интегральных харак теристик надкритических режимов конвекции от трёх параметров за дачи, показывающие увеличение экстремальных значений характери стик при различных значениях параметра асимметрии.

2. Обнаружено, что амплитудные кривые для значений параметра асимметрии 1 и 1 отличаются, особенно на низких частотах.

3. Показана эффективность использования амплитудных характери стик ветвления при фиксированных значениях угла наклона для пред сказания результатов перестройки течения при вращательных колеба ниях в случае низких частот.

4. Впервые обнаружено понижение «критического» значения ампли туды вращательных колебаний при отклонении параметра асимметрии от 1 в случае высоких частот.

5. Показано, что при сильном влиянии асимметрии на экстремальные интегральные характеристики течения, среднее за период значение этих величин меняется незначительно (не более 3%).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА 1. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Эффекты асимметричных коле баний в конвекции // Вычислительная механика сплошных сред.

Пермь: ИМСС УрО РАН. №3, 2012. С. 284-291.

2. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Эффекты медленных враща тельных колебаний полости, подогреваемой снизу // Естественные и технические науки. М.: Издательство «Спутник+». №1, 2012.

С. 28-37.

3. Melentyev A.B., Tarunin E.L. Modulation of gravity in problem of free convection // Proceedings of XXXVIII International Summer School Conference APM 2010. St. Petersburg, 2010. P. 453-456.

4. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Варианты асимметричного вращения // Межвуз. сб. науч. трудов «Проблемы механики и управления. Нели нейные динамические системы». Пермь, 2009. Вып. 41. С. 109-117.

5. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Резонанс при модуляции ускорения свободного падения в задаче о свободной конвекции при подогреве снизу // Межвуз. сб. науч. трудов «Проблемы механики и управления.

Нелинейные динамические системы». Пермь, 2010. Вып. 42. С. 78-87.

6. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Асимметричные модуляции ускоре ния свободного падения в задаче о свободной конвекции в замкнутой области // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2011. Вып. 1. С. 71-75.

7. Мелентьев А.Б. Эффекты асимметричных вращательных колебаний в задаче о тепловой конвекции в полости квадратного сечения с подо гревом снизу // Вестник Пермского Университета: Математика, Меха ника, Информатика. Пермь, 2011. Вып. 4. С. 41-48.

8. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Асимметричная модуляция гравита ции в задаче Рэлея // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2012. Вып. 1. С. 55-60.

9. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Вращательные колебания в задаче о свободной конвекции с подогревом снизу // Эл. Журнал «Универси тетские исследования». URL: http://www.uresearch.psu.ru (дата обраще ния 05.06.2012).

10. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010615830 «Линейная устойчивость». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 07.09.10.

11. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2011613731 «Модель Лоренца». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 13.05.11.

12. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010615831 «Конвекция в квадрате». Авторы: Мелентьев А.Б., Та рунин Е.Л. Дата регистрации 07.09.10.

13. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2012612816 «Конвекция с наклоном полости». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 21.03.12.

14. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010611554 «Исследование асимметричного вращения маятника».

Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 25.02.10.

Подписано в печать 4.10.2012 г. Формат 6084/16.

Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ № Отпечатано на ризографе ООО «Учебный Центр «Информатика»

614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.